I - Integris Indefinids MAT6 - Cálculo I - FEA, Economi - List de Eercícios Clcule s integris indefinids bio: 7 + +. d.. tg d 5. 7... 6. 9.. 5. 8... 7... 6. sen cos d 8. d. + d. 5 +d 7. d (rcsen). e d. e rctg d 6. + e cos d 9. e d. sec d 5. e d. 7 d 6. tg d 9. d. + sec d 5. +8 d 8. +8+ e d. +e e +e d. (+) 6 d 7. r ln d,r IR. rctg d. cos d 6. cos 7 d tg sec d tg d + d +ln d ln d sen +cos d sen d sen d (ln) d rcsen d sen cos d sen cos d sen ++5 8. d 9. cos ( )( )( ) d d +8+ ++5 5 ++. ( ) d. ( ) d 8 d. d 5. e d ln(+ + )d 7. d 5 + 8. ln d
9. 5. sen(ln ) d 5. +b d 5. d 5. +b d +5+ + + d 5. +d 55. d 56. (+ ) d 57. cos d cos 58. sen 5 5 d 59. sen d 6. sen ( ) cos 5( ) d 6. sen 5 cos d 6. sen d 6. sen cos 5 d cos 6. sen cos d 65. cos 6 ()d 66. sen 6 d 67. sen cos d 68. d 69. + d (Sugestão: Fç u = 6 ) 7. 7. + ( +) d 7. + ( +)(+) d II - Aplicções d Integrl Definid rctg d 7. d d. Clcule áre d região compreendid entre os gráficos de f() = + e g() = +, com. (Resp.: ). Desenhe região A = B C D e clcule áre de A, onde B = {(,y) IR : y }, C = {(,y) IR : y } e D = {(,y) IR : y ++} (Resp.:. Desenhe região do plno delimitd pel curv y = e por su ret tngente no ponto de 7 bsciss =. Clcule áre dest região. (Resp.: ). Clcule sen( +)d. (Resp.: ) ) 5. Encontre o volume de um pirâmide cuj bse é o qudrdo de ldo L e cuj ltur é h. π 6. Clcule lim n + n (sen π n +sen π n (n )π +...+sen ). (Resp.: ) n 7. Clcule o comprimento do gráfico de f() = ln(cos), pr π. (Resp.: ln((+ )) 8. Clcule o comprimento d stróide cuj equção é +y =. (Resp.: 6)
9. Ddos,b >, clcule áre d região do plno crtesino limitd pel elipse + y b =. (Resp.: πb). Clcule o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eio O do conjunto ) A = {(,y) IR : y, +y 5 e > } [ ] (Resp.: π (5 5 )d+ d+ (5 )d =...) b) A = {(,y) IR : y e ( ) +y π } (Resp.: 6 ) c) A = {(,y) IR : e e y e π } (Resp.: (e e ) ) d) A = {(,y) IR : >, y e / y / } (Resp.:. O disco + y é girdo em torno d ret = b (b > ) pr gerr um sólido, com form de um pneu. Esse sólido é chmdo toro. Clcule seu volume. (Sugestão: Note que y dy = π.) (Resp.: (πb)(π )). Clcule o volume de um clot esféric de ltur h (h ) de um esfer de rio. (Resp.: π( h )h ) 5π 6 ). Um nel esférico é o sólido que permnece pós perfurção de um burco trvés do centro de um esfer sólid. Se esfer tem rio R e o nel esférico tem ltur h, prove o fto notável de que o volume do nel depende de h, ms não de R.. Deposit-se dinheiro de mneir contínu em um cdernet de poupnç, um t de R$ 5., por no. Determine o sldo o finl de um no, dmitindo um t de juros de % o no, compostos continumente.
5. Um pequen compnhi fz trblhos de impressão e eecut miori de seu trblho em um único equipmento. Os lucros d firm são influencidos diretmente pel quntidde de mteril que prens pode produzir (ssumindo que outros ftores, tis como slários, são mntidos constntes). Podemos dizer que o equipmento está produzindo gnhos contínuos pr compnhi. Nturlmente, eficiênci do trblho pode declinr conforme ele se torn velho. Em um tempo t, sej K(t) t nul de gnho proporciondo pel prens (i.e. o equipmento estrá produzindo K(t) reis por no no tempo t). Assumindo um t de juros r (compostos continumente), o vlor presente VP(T,T ) dos gnhos proporciondos pel prens entre os tempos T e T > T será, então, ddo por: VP(T,T ) = T T K(t)e rt dt () () Assum um t de juros r de % o no e K(t) = t, t. Clcule o vlor presente do rendimento proporciondo pel prens no primeiro no. (b) Devido à perd de rendimento pelo envelhecimento, firm decide trocr prens periodicmente (i.e. vende prensvelh e compr um nov). Assumque cd troc tenh um custo fio cujo vlor presente é de 8 reis. Um prens nov cust 5 reis (vlor presente), e prens velh pode ser vendid 5 t reis (tmbém vlor presente) pós t nos de uso. Assum K(t) = K t, t, e r = (pr fcilitr). Clcule o período T em que devem ser feits s trocs de modo mimizr o lucro nul médio d firm; pr este vlor de T, clcule o vlor mínimo d t de gnho K = K() de um prens nov pr que o negócio sej viável (i.e. pr que o lucro nul médio sej positivo). 6. Encontre o vlor presente de gnhos contínuos sobre os próimos 5 nos, dmitindo um t de juros de % o no, compostos continumente, e um t de gnhos de e,8t mil reis por no no tempo t (em nos). 7. Um fábric de pneus pr viões determin que o seu custo mrginl com produção de pneus é, +5 reis qundo o nível de produção é de pneus por di. Se os custos fios são de R$ 5, por di, encontre o custo totl pr se produzir pneus por di. 8. O benefício do consumidor pr um comodidde que tenh um curv de demnd p = f() é ddo por: BC = A [f() B]d, onde quntidde demndd é A e o preço é B = f(a). Encontre o benefício do consumidor pr curv de demnd p = 5,, ssumindo um nível de vends de uniddes. 9. R$., são depositdos em um bnco, recebendo % de juros o no, compostos continumente. Clcule o vlor médio do sldo n cont durnte os próimos dez nos.
. Um loj vende um certo produto um t de g(t) uniddes por semn no tempo t (tempo em semns). No tempo t =, loj tem Q uniddes do produto em estoque. () Encontre um fórmul pr quntidde f(t) do produto em estoque no tempo t. (b) Admit que g(t) = rt, ddo r >. Clcule r pr que o estoque sej esgotdo em A semns. (c) N situção do item nterior, clcule o estoque médio durnte o período t A.. Um cert compnhi produz microscópios pr lbortórios. Suponh que compnhi esper vender 6 microscópios durnte um no, um fluo de vends constnte (i.e. vende um quntidde fi de microscópios por unidde de tempo). Estes 6 microscópios serão produzidos em um cert quntidde de lotes durnte o no, de modo concluir produção de cd lote etmente qundo cb de vender todos os microscópios do lote nterior. A produção de cd lote tem um custo fio de R$ 5. Os custos de seguro são de R$ por microscópio por no, cobrdos com bse no estoque médio nul (i.e. o custo nul totl de seguros é igul o nível médio de microscópios em estoque durnte o no vezes R$ ). Os custos de rmzenmento são de R$ 5 por microscópio por no, cobrdos com bse no nível de estoque máimo (i.e. o custo nul totl de rmzenmento é igul o número máimo de microscópios que ficrão em estoque vezes R$ 5). A rzão de os custos de rmzenmento serem cobrdos sobre o nível máimo do estoque deve-se o fto de que será locdo um espço fio, correspondente à cpcidde máim do estoque, pr rmzenr os microscópios (sendo fio o custo de locção deste espço, i.e. independe d quntidde de microscópios em estoque). Dimensione cpcidde máim do estoque (i.e. o número máimo de microscópios ser comportdo pelo estoque) e determine o número de lotes que devem ser produzidos de modo minimizr s despess totis d compnhi. Justifique. III - Integris Imprópris Definição (Integris Imprópris) Sejm > e f : [,+ ) R integrável em [,b], pr todo b >. Se eistir o limite: lim b + b f()d = L R, dizemos que integrl imprópri + f()d é convergente e é igul L, i.e. + f()d = L. Anlogmente, dd f : (,] R integrável em [b,] pr todo b <, definimos integrl imprópri: f()d = lim b b f()d, cso o limite eist (e neste cso diz-se que integrl imprópri é convergente). 5
Finlmente, dd f : R R integrável em todo intervlo fechdo e limitdo de R, definimos integrl imprópri: + f()d = f()d+ + f()d, cso mbs s integris imprópris do segundo membro sejm convergentes.. Clcule s seguintes integris imprópris (cso sejm convergentes): () + e d (b) + e k d, ddo k >. (c) + e k d, ddo k >. (d) + e (e +) d. O custo cpitlizdo de um bem é o totl do seu custo originl e do vlor presente de tods s renovções ou substituições futurs. Suponh que um determind firm clcule o vlor presente de despess futurs utilizndo um t de juros nul r, compostos continumente. Assum que o custo originl do bem sej R$ 5.,, e que s despess nuis de renovções serão de R$.,, distribuíds uniformemente no trnscorrer de cd no. (i) Encontre um fórmul, envolvendo um integrl imprópri, que forneç o custo cpitlizdo do bem. (ii) Assumr igul%ono. Usefórmuldoitemnteriorprclculr ocustocpitlizdo do bem.. Sej f() = dt, IR. +t () Mostre que f é crescente e ímpr. (b) Mostre que f() f()+,. Sugestão: Integre de. +t t (c) Mostre que lim f() eiste e é um rel positivo. (d) Esboce o gráfico de f(), loclizndo seu ponto de infleão. IV - Miscelâne. Problem de Buffon. Num plno são trçds linhs prlels equidistntes. Jog-se neste plno um gulh cujo comprimento é igul à distânci entre s linhs. Clcule probbilidde de que gulh intercepte um ds linhs. (Resp. π ). Sej f : IR IR um função contínu e periódic de período L (L > ) (isto é, f( + L) = f(), IR). Sej n Z. Prove que: L L L f()cos( nπ L )d = L +L f()cos( nπ L )d. 6
. Sej f um função contínu em um intervlo [,b] e sejm u() e v() funções diferenciáveis, cujos vlores estão em [,b]. Então d d v() u() f(t)dt = f(v()) dv d f(u())du d. A fórmul cim é conhecid como Regr de Leibniz.. Clcule g () onde () g() = (b) g() = sen cos e t dt sen(t )dt 5. Considere função: F() = Prove que pr todo > e > vle: dt pr todo >. t () F () = (b) F() = F()+F() (Observe que poderímos ter definido função logritmo nturl como sendo ess função F). 6. Sej f um função contínu em um intervlo I contendo origem e sej y = y() = Prove que y +y = f(),y() = y () =. 7. Clcule o seguinte limite, cso eist: sen( t)f(t)dt (Resp.: ) lim cos(t )dt. e t dt RESPOSTAS DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS ) 6 6 + e ) ) sen7 7 ) tg 7
5) 7ln 6) tg 7) cos( cos 5 9) tg ) +ln cos 8) ln cos ) ln(+ ) ) rctg ) rctg ) ( ) ) ln sec+tg 5) +ln 6) 5 5 ( 8 +) 6 7) ln( +8+) 8) (ln) 9) ln rcsen ) ln(+e ) ) ln(+cos ) ) e ) (+e ) ) cos 5) e rctg 6) (+) 5 ( + 6 5 ) 7) cos+sen 8) e (sen+cos) 9) r+ r+ ln r + (r +) se r, (ln) se r = ) (ln) (ln ) ) ( )e ) rctg + rctg ) rcsen + ) sec tg+ ln sec +tg 5) (+sen cos ) 6) sen sen5 5 7) 8 sen ( ) 8) ln +sen 8
9) 6ln 5ln +ln ) ) ln + +5ln 6 rctg(+ ) 6 ) + 5 [ 6 ln + ln +( + ) ]+ rctg(+ ) ) rcsen ) 8 ( ) + 8 rcsen 5) ( )e 6) ln(+ + ) + 7) ln 5 + + 8) (ln ) 9) [sen(ln) cos(ln)] 5) ln 5) ln + ln( ++)+ rctg + 5) [ +b + b ln b + 5) b ln [ b + ] +b ] +b 5) ++ ln( + +) 55) ( + ) +rcsen( + ) 56) rctg( ) 57) sen sen 58) cos + cos 5 cos5 59) sen 6) cos8 ( ) cos6 ( ) 6) tg 6) 8 sen() 6) sen sen5 5 + sen() + sen7 7 6) 6 sen() 6 65) 5 6 + sen(6)+ 6 sen() sen (6) sen ln sen +ln tg tg tg + sen () 8 9
66) cotg cotg5 67) tg+ tg cotg() 5 68) rcsen+ 69) + +6 6 +6ln 6 7) ( 6 + 8 ) + rctg( )+ln ln(+ ) 7) rctg +ln ln + 7) ( ) + rcsen( ) 7) ln + +ln( +)+rctg( ).