Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética e álgebra é essecial. Soma de fração, poteciação e até mesmo produtos otáveis podem passar despercebidos pelos aluos que estudaram o esio fudametal há algum tempo e ão lembram. Este capítulo aborda tais assutos de forma sitética e com exemplos detalhados para melhor etedimeto do leitor. Ao fim do capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e algébricas, tais como poteciação e radiciação, resolver problemas de logaritmo utilizado suas propriedades, aalisar problemas com módulo e recohecer poliômios... Ordem e Precedêcia dos Cálculos Sempre que você se deparar com uma expressão umérica para resolver, é ecessário respeitar a seguite ordem de prioridade: a) Agrupametos prévios pelo uso de traço de frações, radical, parêteses, chaves e colchetes. No caso de agrupametos com múltiplos por parêteses resolver do itero ao extero; b) Poteciação e radiciação; c) Multiplicação e divisão; d) Adição e subtração. ) 2 + 2 6 2 5 + 2 + 2 5 + 2 + 2 5 + 8
Note que este exemplo ão existem parêteses, chaves ou colchetes, portato a ordem de resolução deve ser primeiramete multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e, com a preseça de parêteses, as operações detro dos parêteses têm prioridade. De forma semelhate, o exemplo, com a preseça do radical, este deve ser resolvido primeiro. 2) ( 2 + ). 2 6. (5 + ) 2. 2 6. 8 2 6. 8 6 2 8 ) (( 2 + ). 2 6 ). (5 + ) 2 (. 2 6 2 ). 8 ( 6 ). 8. 8 2 ) 2 + 2. 7 + 2 2 6. 9 2. 6.2.Operações com Números Fracioários.2. Soma e Subtração Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os deomiadores são iguais ou diferetes. Os procedimetos de cálculo variam de acordo com os deomiadores apresetados..2... Deomiadores iguais
Neste caso, os umeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os siais operatórios, e o valor do deomiador matido. ) 2 5 + 5 6 5 2) 2 + 5 2 + 5 ) 28 0 0 + 5 0 28 + 5 0 0 0 ) 9 8 + 2 8 8 9 + 2 8 0 8.2..2. Deomiadores diferetes Neste caso, deve-se determiar com atecedêcia o míimo múltiplo comum (m.m.c.) etre todos os deomiadores das frações evolvidas, de modo a igualar os deomiadores e aplicar a regra acima. Exemplo: ) 2 + 9? Solução: O MMC é obtido a partir da fatoração simultâea dos deomiadores, como segue abaixo:, 2 2, 2,, 2.2. 2
O MMC etão é igual a 2. Prossegue-se adotado o MMC como deomiador comum para as duas frações. Novos umeradores são obtidos para ambas as frações dividido-se o MMC pelo atigo deomiador e multiplicado este resultado pelo atigo umerador, como exemplificado a seguir: 2 9 (2 ) 2 (2 ) 9 8 27 5 2 2 2 2 2) 2 5 + 8 9 7 2? Solução: 5,9,2 2 5,9,6 2 5,9, 5,, 5,, 5,, 2 2 5 80 2 8 7 (80 5) 2 (80 9) 8 (80 2) 7 72 60 05 5 9 2 80 80 80 80 80 80 (80 9) 8 (80 2) 7 72 60 05 27 80 80 80 80 80 80 OBS: Para efetuar a soma de frações com deomiadores diferetes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de ecotrar um múltiplo comum é multiplicar todos os deomiadores. ) 2 5 + 8 9 7 2 (9. 2). 2 + (5. 2). 8 (5. 9). 7 5. 9. 2
08. 2 + 60. 8 5. 7 50 26 + 80 5 50 8 50. 27. 80. 27 80. 27 80 27 80.2.2 Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus umeradores dividido pelo produto dos seus deomiadores. Observe que, os exemplos abaixo, ós simplesmete multiplicamos umerador por umerador e deomiador por deomiador. Em certos casos, é possível simplificar. ) 0. 5. 0. 5 50 2). 2 5. 2. 5 6 20. 2 0. 2 0. 2 2 0. 0 ) 0. 5 + 2 5 50 + 2 5 (5. ). 50 + (. ). 2 (. 5 ).. 5. 000 + 2 5 60 009 60 ) 0. ( 5 + 2 5 ) 0. 5 0 5. 0 5. 5. 25 2. 5 +. 2 0 (5 ) + 6 0. (25. 5 20 5 60 5 ) 225 60
.2.. Divisão de Frações No caso de divisão etre frações procede-se multiplicado a primeira fração pelo iverso da seguda: a b c a b c d a b d a d c b c d ) 7 2 7 2 5 7 5 2 5 5 2) 7 2 7 2 7 2 ) 2 2 2 2 2 6 ) 2 2 2 2 6 6 6 6 5 6 Nos casos acima a primeira fração deve ser matida e é multiplicada pela iversa da seguda fração... Expressões Algébricas Recebe o ome de expressão algébrica a expressão matemática a qual se faz uso de letras, úmeros e operações aritméticas. As letras costituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor umérico. Cotiuam válidas todas as regras da aritmética. ) 2 x 7 x x. (2 x). 7. x 2 x2 2 x
2) 2 x + y x x y y. (2 x + y) x. ( x) 2 x y + y2 x 2 x. y x y Observe os exemplos que os deomiadores são diferetes, portato fazemos o MMC etre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmete, a multiplicação etre eles. É comum ecessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técicas como agrupameto, evidêcia do fator comum, etc., são ormalmete adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Utilize as técicas de agrupameto e evidêcia dos fatores comus para simplificar as expressões algébricas abaixo: ) x + 2 y x + y (x. x) + (2. y + y) x( ) + y (2 + ) 2 x + y Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com x em um parêteses e todos os termos com y em outro. Quado as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhates, esse caso x e x são semelhates, logo podemos subtraí-los. 2) x + 2 y (x + y) x + 2y + ( ). (x + y) x + 2 y + ( x y) (x x) + (2 y y) x( ) + y(2 ) 2 x y ) x (2 y x + y ) x (2 y + y x) x ( y x) x + x y x y
) x + 2 (y ( x + y)) x + 2 ( y + ( ) (x + y)) x + 2 ( y + ( x y)) x + 2 ( y y x) x + 2( x) x 6x 5x A fatoração cosiste em represetar um úmero ou uma expressão algébrica como produto, respetivamete, de outros úmeros ou de outras expressões algébricas. ) 6 a b 2 b 6 b (a 2) 2) 9 x x y x ( y) ) a x + b x + a y + b y x(a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y).. Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguite regra: fatorar o umerador e o deomiador e assim, dividir o umerador e deomiador em seus fatores comus. Fique ateto: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicado tato o umerador quato o deomiador. 2x y 2 (x 2y) ) 2 2x 2 x 2 x 2y x 2y x x a x + b x x (a + b) 2) a + b a + b x 2y x a + b x x x a + b
.. Poteciação A poteciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais. Podemos dizer também que é a quatidade de vezes que o úmero será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sedo a um úmero real e um úmero atural 2 defiimos: a a a a p ( vezes o fator a) a p Ode: a base; expoete; p potêcia ) 2 2 2 2 2 6 2) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ) 27 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 27 Um erro muito comum ocorre quado o aluo cofude e ao ivés de multiplicar o um úmero vezes por ele mesmo acaba multiplicado a base pelo expoete. Não esqueça também de fazer o jogo de siais.... Propriedades Cosidere a e b úmeros reais ão ulos, e m iteiros: ) Potêcia de expoete ulo e igual a : 2) Potêcia de base igual a : a 0 e a a ) Potecia de expoete egativo: a a ) Multiplicação de potêcias de mesma base: a. a m a +m 5) Divisão de potêcias de mesma base:
a a m am 6) Multiplicação de potêcias de expoetes iguais: a. b (a. b) 7) Divisão de potêcias de expoetes iguais: a b (a b ) 8) Potêcia de uma potêcia: (a ) m (a).m Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potêcia as expressões. ) 2) 2 2 + 2 2 2 + ( ) 2 + ( 2 ) 2 2 + 2 2 + 27 8 + 27 + ( ) 8.27 +.27 27 26 + 08 2 27 27 ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 7 ( ) 9 ( 27 ) 6 27
) x y ( x y) 2 x y (x y) 2 x y x 2 y 2 x 2 y 2 x y x y ) (x + x2 x ). x x. x + x2. x x x + x 2 ( ) x 0 + x 2 x 2 + 5) 2 x x. 6x ( 2. 6) x ( 2 ) x x (2 2 ) x 2 2x 7) ( a2 b ). a + b a.2. a + b b. a 6. a b 9 + b a 5 + b b 9 b 9 a 5 + b b9 + a 5. b a 5 6) 2 x 2x 2 x. 2x 2 x. ( 2 ) x 2 x. 9 x (2. 9) x 8 x 8) a 2. ( a b ). a b 2 a 2. a b. a b 2 a 2. a. a b. b 2 a2 + b +2 a 0 b b b b
Nos exemplos abaixo, determie o valor de x: 9) x 9 x 2 x 2 0) ) 2 x + 2 x+ 2 2 x + 2 x 2 2 2 x ( + 2 ) 2 2 x 2 2 x 2 2x 8 2 x 2 x 6 x 2 + 5 6 x 6 x 5 6 x 6 2 + 5 6x 6 6x 5 6 x + 5. 6 2 6x 6 62. 6 x 6 2 5 6 x ( + 0 6) 6 5 6 x ( 5) 6 5 6 x 6 6 x 6 2 x 2.5. Radiciação A radiciação é uma operação matemática iversa da poteciação, ou seja, se a b etão b a Ode o símbolo é o radical; 0; a radicado; braiz; ídice. ) 2) 6 b b 6 b (2) b 2 Logo 6 2
27 b b 27 b ( ) b logo 27 ) 6 b b 2 6 Como ão existe um úmero que elevado a um expoete par seja um úmero egativo etão 6 ão existe o cojuto dos úmeros reias Obs: Não existe raiz de um radicado egativo se o ídice for par..5.. Propriedades Sejam 0 e m 0 ) Raiz de radicado ulo: 0 0 2) Raiz de ídice uitário ulo: a a ) Produto de radicais de mesmo ídice: a. b. c a. b. c ) Divisão de radicais com mesmo ídice: 5) Potêcia de uma raiz: a b a b ( a) m a m 6) Raiz elevada a expoete igual ao seu ídice: ( a) a
7) Raiz de uma raiz: m a.m a 8) Multiplicação de raiz por uma costate a b a b A raiz é apeas uma forma de represetar a poteciação com expoete fracioário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potêcia como: a m a m ) Utilizado as regras da poteciação, demostre as seguites regras da radiciação: a) 0 0 0 0 0 b) a a a a a a c) a d). b. c a. b. c a. b. c (a. b. c) a. b. c ( a) m a m ( a) m (a ) m a.m a m a m e) m a.m a
a.m m a.m a m a (a m ) a. m Nos exemplos abaixo calcule as raízes idicadas: 2) 27. 08 ( ). 2 2. ( ). 2 2. 2. ) 6 5 ( ). 2.. 8. 5 6 2 5 6 + 2 8 6 8 6 6 6 Simplifique as expressões abaixo, cosiderado a > 0 ) a. a a 2. a 2 a 2 + 2 a a 5) a. a a. a a + a 2 a 2 6) a. a 2 a. a 2 a +2 a a 7) ( a ) (a 2) a. 2 a 9 2 a 9 a 8. a a a.6.racioalização de deomiadores Racioalização de deomiadores é o processo para a obteção de uma fração com deomiador racioal equivalete a
uma aterior que possuía um ou mais radicais o deomiador. Ou seja, é elimiação do radical do deomiador. A técica cosiste em multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, deomiada fator racioalizate. Caso: O deomiador é um radical de icide 2 (raiz quadrada) Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a pois: a a a 2 a 2 a 2 + 2 a a ) 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 5 2 2) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 2 6 6 6 8 ) a a a a a a a a 2 a 2 a 2 a5 6 6 a a5 a 2 Caso: Quado o deomiador há um úmero somado ou dimiuído à uma raiz quadrada
Neste caso o deomiador tem as formas: a + b ou a b O fator itegrate de (a + b) é (a b) e o fator itegrate de (a b) é (a + b) pois: (a + b) (a b) a a a b + a b b b a 2 b ) 2) ) + 5 + 5 5 ( 5) 5 2 ( 5 5) 2 5 6 5 2 5 5 2 5 2 2 + 5 (2 + ) 2 + 2 2 0 + 5 a b a + b 0 + 5 a b a + b ( a b) ( a b) ( a + b) ( a b) 0 + 5 a b a b a a b a b a + b2 a 2 b a + b2 ( a) 2 b 2 a b 2 Caso: O deomiador é um radical de ídice geérico
Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a a pois: a a a a a ( + ) a + a a a ) 5 5 5 5 2) 5 6 6 6 52 6 5 2 2 5+ 6 5 5 5 +2 6 ) 2 + 2 2 + 2 2 27 (+2 5 5 5 5 5 6 6 ) + 2 27 2 27 (2 + 2) (+ ) + 5 Caso: O deomiador é um radical de icide geérico e radicado elevado a uma potêcia geérica m Neste caso o deomiador tem a forma a m com m < O fator racioalizate de a m é a m a m pois:
a m a m ) 2 5 2 7 2 7 2 5 2) 7 a m a m a (m + m ) a m+ m a a 7 5 7 5 5 2 7 7 (2 5 + 5 ) 5 2 7 7 2 2 2 2 2 2 ( +2 ) 2 2 9 27.7. Logaritmo 5 7 2 2 O logaritmo de um úmero positivo a a base b, positiva e diferete de, é o expoete c que se deve elevar b para obter a. ode a > 0, b > 0 e b. se log b a c etão c logaritmo; b base; a logaritmado. b c a A otação do logaritmo decimal, de base igual a 0, é: log a log 0 a A otação do logaritmo atural, de base igual ao úmero de Euler e 2.7828, é: l a log e a
Nota: Não devemos cofudir logaritmo atural e logaritmo eperiao. Algumas vezes ambos são tratados como siôimos, mas a verdade o logaritmo eperiao refere-se a um logaritmo a base e. ) log 00 x 0 x 00 0 x 0 2 x 2 2) log 0, x 0 x 0, 0 x 0 x ) log 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 ) log 2 ( 2 ) c 2c 2 2c 2 5 2c 2 5 c 5 5) log x x x 0 c 0 6) log (2 2) x ( ) x 2 2 ( 2 2) x 2 2 2 (2 2 ) x 2 (+ 2 ) 2 2x 2 2 2x 2 x 2 7) l e c ec e ec e c 8) l e c e c e e c e c 9) Calcule o valor de log, usado a defiição de logaritmo e as aproximações: 2 0 0,0 e 7 0 0,85. Solução:
log, x 0 x, 0 x 0 0 x 2 7 0 x 2 7 0 0 0 x 0 0,0 0 0,85 0 0 x 0 0,0+0,85 0 x 0 0,6 x 0,6 log, 0,6.7.. Propriedades ) Logaritmo de em qualquer base b é 0. 2) Logaritmo da base é. ) Logaritmo de um produto ) Logaritmo de um quociete 5) Logaritmo de uma potêcia log b log b b 0 0 log b b log b b log b (a. c) log b a + log b c log b ( a c ) log b a log b c log b a log b a 6) Mudaça da base b para a base c log b a log c a log c b 7) Igualdade de logaritmos de mesma base se log b x log b y etão x y 8) Relações etre potêcias e logaritmos de mesma base. log b b a a e b log b a a
) log(0, 0) log 0, + log 0 log0 + log0 2 + 2 2 2) log 2 ( 6 ) log 2 log 2 6 log 2 2 0 log 2 2 0 ) 2 log 2 ) log 2 (2 2 ) log 2 2 2.log 2 2 log 2 2 2 log 2 6 6 5) e l x e l x x 6) l(a) + l(b) l (e) l ( a b e ) Resolva as equações abaixo: 7) log 2 x Solução: ( 2) x x ( 2) x 2 x 2 2 x 2 2 2 2 8) l x 2 Solução: x 2 l x 2 e2 x x e 2 9) 2 log 2 x log 2 Solução: log 2 x 2 log 2 2 2 x 2 x 2 ou x 2, pois ( 2) 2 (2) 2
Como o logaritmado x ão pode ser egativo, só x 2 é solução da equação. 0) e x+8 Solução: e x+8 Para isolar a variável x a equação é ecessário aplicar o logaritmo l os dois lados da equação, etão: l(e x+8 ) l ( ) x + 8 l l x + 8 0 l x 8 l 8 l x x 2 l.7.2. Equação Logarítmica A equação do tipo log a f(x) α é uma igualdade etre um logaritmo e um úmero real. E para resolvê-la, basta aplicar a defiição do logaritmo. Exemplo: Se 0 < a e α R, etão log a f(x) α f(x) a α ) Resolver a equação log 2 (x + ) Solução: log 2 (x + ) x + 2 x 6 x 5 x 5 5, S {5}
.8. Módulo A todo úmero real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, represetado por x defiido por: x, se x 0 x { x, se x < 0 O módulo de um úmero positivo ou ulo é o próprio úmero ; 0 0 O módulo de um úmero egativo é o oposto dele mesmo ( ) ; 5 ( 5 ) 5 De acordo com a defiição acima, para todo x R tem-se x 0, ou seja, o módulo de um úmero real é sempre positivo ou ulo. Geometricamete, o módulo um úmero real é, a reta umérica, a distâcia etre este úmero e a origem. -2 0 2 O úmero -2 está a 2 uidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distâcia à origem é 2. Dizemos, etão, que o módulo ou valor absoluto de -2 é 2, idicado por 2 2. O úmero está a uidades de medida à direita da origem. Assim, sua distâcia à origem é. Dizemos, etão, que o módulo ou valor absoluto de é, idicado por. R
Se cosiderarmos dois úmeros reais x e y associados aos potos X e Y a reta real, etão x y correspode a distâcia etre os dois potos..8.. Propriedades ) x 0 2) x x ) x. y x. y ) x/y x / y com y 0 5) x y se e somete se x ± y 6) x { x se for par x se for impar ; x R Observação: x ± y x ± y ) De acordo com a defiição e as propriedades do módulo, calcule: a) + 5 2 2 b) ( ) 2 c) ( )
d) 2 x + quado x x 2 ( ) + 5 5 5 Lista de Exercícios Aqui estão questões relacioadas ao capítulo estudado. É importate o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas, os moitores do programa estarão protos para lhe ajudar. Bos estudos! ) Determie 2 + ( 5 ) ( )
2) Qual valor da expressão E(x) +, para x +? + 2 +x ) Ecotre o valor de A x y ) Se A A. xy, + + A + + 2 x e y, etão determie o valor de 5 2 5) Determie o valor umérico da expressão para a 5 e x 5. ax x a x a 6) Qual o valor de m (2 8 + 5 7 2)( 72 + 20 2)? 7) Aplicado as propriedades das potêcias, simplifique as expressões: 2 a) 256. 8 7 9 b) 9. 27.. 2 2 7 c) 25 6. 25 d) 2. 0. 0 2 7. 5. 25 0. 0. 0 9 8) Calcule o valor das expressões: a) 8 6 ( 2) 27 b) 8 6 2 2 8 c). (0,5) 0,25 8 9) Simplifique os radicais 2
a) 6 b) 576 c) 2 d) 2 7 e) 2 0) Simplifique as expressões: a) 8 + 2 + 72 50 b) 5 08 + 2 2 27 + 2 2 c) a ab + b a b + a b ab ab ) Efetue as operações: a). 2 b) 2. c) 2 2 d) 2 e) ( 2 2 27 + 75). f) ( + 2). (5 2) g) (5 2 ) 2 h) 20 5+ 25 2 5 i) 2. 2 + 2) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5 de 2? 8 7 7+ ) Calcule o valor da expressão:
2(x 2 y). (x 2 y ) x²y² ) Simplifique, sedo a. b 0 (a..b 2 )³ a) (a.b 2 )² b) (a.. b ). (a 2. b)² 5) Calcule o valor das expressões: a) 2 ( 2) 2 +( 2) 2 2 +2 2 b) 2 2 2 + 2 c) ( 2 )2.( 2 ) [( 2 )2 ] 6) Cosiderado de x e y são respectivamete: a) 2 7 e /9 b) 2/5 e /25 c) 2/5 e 8/ d) 5/8 e /6 e) 8/5 e 6/ 6 x e 9. 6 y 2 2 7. 2, os valores 7) Seja a) 2/5 b) /5 c) 5/9 m 2 5..O valor de m é igual a
d) 0/9 8) Racioalize o deomiador de cada expressão abaixo: a) b) 2 c) 2 xy d) 5 x 2 y e) f) + 2 2 5 g) 2 2 h) 2 i) + 2 2+ j) 22 2 22 2 22 2 9) As idicações R e R2, a escala Richter, de dois terremotos estão relacioadas pela fórmula R R2 log 0 M M2 Em que M e M2 medem a eergia liberada pelos terremotos sob a forma de odas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspodete a R8 e outro correspodete a R26. Calcule a razão M M2
20) Calcule o valor de S: S log (log 9) + log 2 ( log 8 ) + log 0,8 ( log 6 2) 2) Determie o valor de x a equação y 2 log (x+) para que y seja igual a 8. 22) Calcule o valor de a) log 2 b) +log c) 9 2 log 2 2) Desevolva aplicado as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos) a) log 2 2ab c b) log a³b² c 2) Se log2 a e log b, coloque em fução de a e b os seguites logaritmos decimais: a) log 6 b) log c) log 0,5 d) log 5 e) 25) Calcule o log 2 6 em fução de x e y, sabedo que o log 27 6 x que o log 27 y.
26) Resolva as equações: a) log (x + 2) log (2x + 5) b) log 5 (x ) 27) Sejam a 0, b 2 e c 5, calcule as expressões: a) a 2. b b) a c 2 c) c 2 d) c
) 2) ) 5 5 8 9 GABARITO ) 2 9 5) 5 6) 8 7) a) 2, b) 287, c) 625, d) 8) a) 5, b) 2 6 9) a), b) 2, c) 2, d) 8 2, e) 8 0) a) 7 2, b) 9, c) 0 ) a) 6, b) 2 9, c) 22, 5 d), e), f) 9 2, g) 7 0, h) 7, i) 2) 22 2 7 ) 6x 2 y 2 ) a) a 0 b 2, b) a 6 b 5) a) 6 0, b) 7 6) a) 7) 5 9 8) a) 2 6, b), c), d) 5 9 x y 2, e) + 2, f) + 5 2+ 2, g), 2 7 h) 2, i) 2 2, j) M 9) 00 M 2 20) 5 2 2) X 5 22) a) 2, b) 2, c) 8 2
2) a) + log 2 a + log 2 b log 2 c, b) log a + 2 log b log c 2) a) a + b, b) 2a, c) a, d) -a 25) log 2 6 y 26) b) x b) x2 27) a) 200, b) 2, c) 5, d) 5