UM ESTUDO SOBRE A TAXA DE MORTALIDADE INFANTIL NO ESTADO DE SÃO PAULO POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA EM SALA DE AULA Rudolph dos Satos Gomes Perera Uversdade Estadual do Norte do Paraá UENP Campus Corélo Procópo Elae Crsta Ferruzz Uversdade Tecológca Federal do Paraá UTFPR Campus Lodra Resumo No presete trabalho apresetamos uma atvdade de Modelagem Matemátca desevolvda a dscpla de Modelagem Matemátca, do Curso de Especalzação em Istrumetalzação para o Eso de Matemátca, da Uversdade Tecológca Federal do Paraá - Campus Corélo Procópo UTFPR. Os coteúdos matemátcos utlzados esta atvdade podem ser aplcados em dversas stuações reas cotrbudo para a assmlação e resolução de algumas questões. Para a obteção do modelo matemátco utlzou-se as propredades dos logartmos, o método dos mímos quadrados, o ajuste lear e o ajuste epoecal. Este problema surge como uma possbldade de apresetar uma aplcação da matemátca em outras áreas do cohecmeto bem como mas uma alteratva pedagógca para os professores em sua prátca dára. Palavras-Chaves: Modelagem Matemátca, Alteratva pedagógca e Ajuste epoecal. INTRODUÇÃO Pesqusas em Educação Matemátca têm mostrado a ecessdade de aplcação de dversfcadas alteratvas pedagógcas o eso, com o tuto de cotrbur com o eso e a apredzagem da Matemátca. De acordo com estas pesqusas, as tedêcas educacoas vsam um eso que valorze o desevolvmeto do racocío, a capacdade de trabalhar em equpe e de solucoar problemas. (...)a satsfação de aluos e professores sobre os resultados escolares essa cêca, dca que estem problemas sobre sua prátca de eso e apredzagem que precsam ser ecarados. A Matemátca tem sdo trabalhada as escolas como um amotoado de regras e procedmetos mecâcos a serem decorados e, oportuamete, utlzados. Trabalhados dessa forma seus coteúdos decorados ão tem qualquer sgfcado prátco ou teórco para a vda dos aluos. (BATHELT & CEOLIN, 200).
A busca por uma alteratva pedagógca que proporcoasse o desevolvmeto das habldades ctadas aterormete os coduzram à Modelagem Matemátca o eso. Segudo Gustel (990), a Modelagem Matemátca tem como essêca em seu processo a tegração da matemátca com outras cêcas, com o objetvo de solucoar um problema real com o aulo da matemátca ou de outro cohecmeto. Desta maera, a apredzagem por meo da Modelagem Matemátca, com base a dagação e vestgação, busca estabelecer relações com outras áreas e o da-da, dferecado-se do eso tradcoal. Sobre os cocetos matemátcos a serem utlzados a solução do problema, os mesmos poderão ser defdos ou relembrados à medda que os aluos desevolvem a atvdade e stam esta ecessdade. De acordo com Ferruzz & Almeda (2008), a solução de problemas do cotdao dos aluos desperta o teresse, pos trata de solucoar o seu problema. Este teresse pode coduzr o aluo a compreeder e perceber a relevâca dos cocetos matemátcos estudados. Sobre algus aspectos da Modelagem Matemátca o eso, Almeda (2006, p.22), afrma que A stabldade, o problema como poto de partda; a tecoaldade a busca; a problematzação; as hpóteses que se colocam o camho para dcar dreções; a possbldade de acetar e/ou compartlhar sugestões; a perpledade desttuída; a verdade estabelecda mesmo que provsóra; a ecessdade de valdar, costtuem aspectos que se colocam (...) o "camho" do desevolvmeto de uma atvdade de MM. Neste setdo, etedemos que a Modelagem Matemátca como alteratva pedagógca para o eso da Matemátca pode cotrbur para um erquecmeto do processo de eso e apredzagem. Neste artgo temos como objetvo sugerr uma atvdade de Modelagem Matemátca que possa aular o docete em sua prátca dára, vsado a apredzagem dos cocetos matemátcos, além de propcar aos aluos oportudades de efetuar correlações com cohecmetos já adqurdos e utlzá-los a solução de problemas dáros. A atvdade que relatamos a segur fo desevolvda o âmbto da dscpla Modelagem Matemátca do Curso de Especalzação em Istrumetalzação para o eso de Matemátca, da Uversdade Tecológca Federal do Paraá - Campus Corélo Procópo. Apesar de ter sdo desevolvda por aluos de um curso de especalzação, 559
efatzamos que a mesma pode ser utlzada em sala de aula de um curso regular, ode o objetvo da atvdade este caso sera troduzr/relembrar algus cocetos e vsualzar a aplcação do ajuste epoecal. O tema em questão é um estudo sobre a taa de mortaldade fatl o estado de São Paulo. Para relacoar as gradezas, costrur o gráfco e realzar a valdação do modelo fo utlzada a plalha de cálculo Ecel. DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA Itrodução (breve hstórco sobre o assuto abordado) Segudo a Secretara Estadual de Saúde de São Paulo (etre 2003 a 2006), a mortaldade fatl o Brasl possu taas elevadas prcpalmete as regões com meos recursos. Na regão Nordeste em 2000 fo regstrada a taa de 44,73 por cada ml ascdos vvos, uma taa 60% maor que a regão Sul. No estado de São Paulo a década de 90 a taa de mortaldade fatl (craças com meos de um ao) chegou a regstrar 3,43 para cada ml ascdos a quas as prcpas causas das mortes eram doeças feccosas e parastáras regstradas etre 28 das até ao de vda, que estavam dretamete lgados a fatores ambetas e socas, como saeameto básco e almetação adequada. De acordo com a Secretara Estadual de Saúde de São Paulo (etre 2003 a 2006), os estados brasleros vêem tetado reduzr essas taas por meo de vestmetos em atedmeto especalzado e equpametos. Em São Paulo, desde 988 cou-se uma ação cojuta para eteder o motvo da morte matera e mortaldade fatl. A taa de craças mortas fo dmudo drastcamete por meo de um programa cado em 2002 pela Secretara Mucpal de Saúde, vestdo em Assstêca Obstétrca e Neoatal, Melhora de Ifra-estrutura, Humazação, Orgazação e Itegração da rede de ateção e Educação Permaete. Em 2005 a taa regstrada em São Paulo fo de 3,5 (3,5 óbtos para cada ml craças ascdas vvas) cujo resultado também é apresetado o estado do Ro Grade do Sul. 560
Defção do Problema A mortaldade fatl tem sdo um dos problemas cosderado de grade mportâca pelas secretaras de saúde em âmbto acoal. Este fato despertou osso teresse o tema e decdmos vestgar qual o modelo matemátco que descreve o comportameto dos ídces da mortaldade fatl o estado de São Paulo. Formulação do problema matemátco Determar um modelo matemátco que descreva o comportameto da taa de mortaldade fatl o estado de São Paulo o decorrer do tempo. Defção das Varáves C: taa de mortaldade fatl para ml ascdos vvos : tempo em aos Apresetação dos dados coletados A Tabela apreseta a taa de mortaldade fatl o estado de São Paulo para cada ml ascdos vvos. Tabela Relação do ao com a taa de Mortaldade Ifatl. Ao Taa Mortaldade 994 25,25 995 24,58 996 22,74 997 2,60 998 8,67 999 7,49 2000 6,97 200 6,07 2002 5,04 2003 4,85 2004 4,25 2005 3,50 Fote Secretara Estadual de Saúde do Estado de São Paulo (etre 2003 a 2006). 56
Vsualzação dos dados A Fgura represeta grafcamete os dados apresetados a Tabela. Mortaldade Ifatl Taa para cada ml ascdos vvos 30 25 20 5 0 5 0 992 994 996 998 2000 2002 2004 2006 Aos Fgura Relação aual da Taa de Mortaldade Ifatl em São Paulo. A vsualzação dos dados sugere que podemos apromar o modelo a um modelo epoecal. Esta aálse deve ser feta pelo modelador e caberá a ele detfcar e relacoar o coteúdo e a estratéga a ser utlzada a terpretação dos dados. Hpóteses: ª) Tedo em vsta que, com a teção de reduzr ada mas a taa, as ações de combate à mortaldade fatl cotuarão, e que, dfclmete esta taa será ula, cosdera-se o fução como um modelo epoecal; 2ª) O modelo epoecal será do tpo C=α e β. Desevolvmeto do Modelo epoecal Nosso problema cosste em determar os valores das costates α e β do osso modelo. Para o tratameto da fução utlzamos o ajuste epoecal. Deste modo, a fução epoecal pode ser ajustada por meo da segute trasformação: 562
C = αe β l( C) = lα + l e β l( C) = lα + β Fazedo: y = l( C), a= l α e b= β temos : y = a+ b Com este ajuste reduzmos osso problema de ajustar os potos referetes à fução epoecal ao problema de ajustar os potos à fução lear do tpo y = a + b. Para tato, utlzamos o Método dos Mímos Quadrados. Este é o método mas utlzado para ajustar uma lha reta a um cojuto de potos. A reta resultate tem uma característca partcular: a soma dos quadrados das dfereças etre as ordeadas (do poto epermetal e do poto sobre a reta) é míma, sto é: ( y ) S = y = calculado de y c 2 ode: y = valor observado de y e y c = o valor Os valores de a e b para a reta y c = a + b que mmza a soma dos quadrados dos desvos são as soluções das chamadas equações ormas que podem ser assm ecotradas: S = ( y a b ) = 2 Mmzado S em relação a a e b", temos: ds = db ds = da = = 2 2 ( y a b ) = 0 ( y a b ) = 0 assm, y a b = = y a b = 0 = = = O que os forece o sstema de equações abao deomado de equações ormas. 2 = 0 563
y = a + b = = y = a + b = = = 2 Assm, para determar os valores de a e b devemos resolver este sstema. Utlzamos para sso, a plalha de cálculo Ecel coforme apresetado a Tabela 2, lembrado que, y = l( C ). Tabela 2 Ajuste Lear. Ao Taa (Ao) 2 Y = L (taa) (Ao).L (taa) C ( ) 2 y = L C.y 994 25,25 3976036 3,228826557237 6438,279355 2 995 24,58 3980025 3,20933043789 6387,856543 3 996 22,74 398406 3,242548832239 6235,754475 4 997 2,60 3988009 3,072693346902 636,68549 5 998 8,67 3992004 2,9269795755363 5847,982079 6 999 7,49 399600 2,866292890305 5720,396949 7 2000 6,97 4000000 2,834470792463 5662,89458 8 200 6,07 400400 2,7769547974942 5556,68534 9 2002 5,04 4008004 2,7073385269 5426,848064 0 2003 4,85 402009 2,6979998652487 5404,09373 2004 4,25 40606 2,6567569067466 5324,4084 2 2005 3,50 4020025 2,60268968544438 528,39289 Total 23994 22,0 4797646 34,69268634438 69359,49288 Assm substtudo os valores da tabela temos, 564
y = a+ b = = 2 y = a + b = = = 2a+ 23994b= 34, 69268634438 23994a+ 4797646b= 69359, 49287567900 b = 0, 0596465 a = 22, 203923 Como a = lα e b = β, etão, 53 α =,893207.0 e β = 0,05967465.Substtudo em C C β = αe, temos: 0,05967465,893207.0 53 =. e que represeta osso modelo procurado. Abao apresetamos os ajustes ecotrados de acordo com o modelo epoecal e outro com aulo da plalha de cálculo Ecel: Modelo do ajuste epoecal: C =,893207.0 53. e 0,05967465 Modelo da plalha de cálculo Ecel: C =,893888.0 53. e 0,0597 Observamos que os modelos ecotrados são pratcamete guas. A Fgura 2 apreseta o gráfco do modelo ecotrado. Mortaldade Ifatl 25 Taa para cada ml ascdos vvos 20 5 0 5 0 990 995 2000 2005 200 205 2020 2025 2030 Ao Fgura 2 Lha de tedêca epoecal. 565
Valdação do modelo A valdação de um modelo cosste em comparar os dados observados, este caso os dados obtdos juto à Estadual de Saúde do Estado de São Paulo, com os dados estmados pelo modelo. Apresetamos a valdação a Tabela 3. Tabela 3 Valdação do modelo. Ao Taa Modelo Erro (%) 994 25,25 25,00 995 24,58 23,55 4,37 996 22,74 22,9 2,48 997 2,60 20,9 3,30 998 8,67 9,69-5,8 999 7,49 8,55-5,7 2000 6,97 7,48-2,92 200 6,07 6,46-2,37 2002 5,04 5,5-3,03 2003 4,85 4,6,64 2004 4,25 3,77 3,49 2005 3,50 2,97 4,09 Como se pode observar a Tabela 3, o percetual de erro vara de -5,7% e 4,37%, cosderado que se trata de um modelo educacoal o erro pode ser cosderado pequeo uma vez que o objetvo da atvdade é mostrar a utlzação de cocetos matemátcos a solução de stuações-problemas cotdaas, como este caso, a determação do modelo matemátco para prevsão da taa de mortaldade o estado de São Paulo em determado ao. Observamos que, com a determação deste modelo matemátco poderíamos sugerr aos aluos que ecotrassem a taa de mortaldade fatl em qualquer ao futuro bem como determar em que ao determada taa sera alcaçada. 566
Cosderações fas O objetvo deste artgo fo apresetar mas uma atvdade que pode ser utlzada em sala de aula vsado o apredzado de algus cocetos matemátcos, etre eles o método dos mímos quadrados. Observamos que o decorrer das atvdades os aluos evolveram-se com o processo, dscutdo alteratvas de solução, pesqusado cocetos ada ão apreddos e revsado cocetos já vstos. Tudo sso com o tuto de solucoar o problema em questão. Quato aos cocetos matemátcos evolvdos a solução do problema podemos ctar: o ajuste epoecal, o ajuste lear, as propredades dos logartmos e o método dos mímos quadrados. Esperamos que esta atvdade de Modelagem Matemátca proporcoe aos professores mas uma alteratva pedagógca para sua prátca dára. REFERÊNCIAS ALMEIDA, L.M.W. Modelagem Matemátca: um camho para o pesameto reflevo dos futuros professores de Matemátca. Coteto & Educação, Revsta do Programa de Pós-graduação em educação as cêcas. Uversdade de Ijuí. 76, p. 5-26, julho/dezembro 2006. BATHELT, R. E; CEOLIN, G. M. (200).Trasformações Educacoas a Vrada do século XXI: Implcações para o eso da Matemátca. Dspoível a pága da web: http://www.ufsm.br/adeole/rega.html. acessada em 23-0-200. FERRUZZI, E.C. & ALMEIDA, L. M. W. Socoepstemologa: Uma apromação teórca para a Modelagem Matemátca. I Smpóso Iteracoal de Pesqusa em Educação Matemátca. Aas...Recfe, 2008.CD. GUSTINELI, O. A. P. Modelagem matemátca e resolução de problemas: uma vsão global da educação matemátca, Ro Claro, 990. 26 f. Dssertação (Mestrado em Educação) Isttuto de Geocêcas e Cêcas Eatas (IGCE), Uversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho. 567