> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 1 Oimização da Curva de Gailho de uma Opção Americana de Compra aravés de Algorimos Genéicos Rafael de Sequeira Bapisa Ferraz Juan Guillermo Lazo Lazo ICA: Laboraório de Ineligência Compuacional Aplicada Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro R. Marques S. Vicene 225 Gávea, Prédio Cardeal Leme, 6o. andar, Sala 612 (Coberura) CEP 22451-041 - Rio de Janeiro - RJ Brasil Tel: 3527-1207, 3527-1221, 3527-1634 FAX: 3527-1232 Resumo Ese Arigo em como objeivo deerminar a curva de gailho de opções americanas aravés de um méodo numérico conhecido como Algoríimo Genéico (). A comparação com ouros méodos de oimização é feia ao longo do rabalho, mais especificamene com o algoríimo conhecido como Algoríimo de Gran, Vora e Weeks. Primeiramene foram desenvolvidas as represenações para que se pudesse usar o cromossoma como curva de gailho de opções americanas. Poseriormene monou-se a função de avaliação que foi consiuída pelo valor da opção. O problema foi enão de maximizar o valor da opção. Houve uma eapa de eses na qual se comparou os resulados obidos com o e aqueles obidos por ouros méodos de oimização. A fase seguine foi aumenar o número de genes do cromossoma de forma que fossem aumenadas, porano, o número de oporunidades de exercício anecipado da opção. Todos os eses comprovaram que o é capaz de oimizar a curva de gailho ano da opção americana de compra quano da de venda. A uilização de é uma solução práica para ser adoada, principalmene quando o empo não é escasso. Palavras Chaves Curva de Gailho, Algorimo Genéico, Oimização. I. INTRODUÇÃO A oimização de curvas de gailhos para opções americanas é realizada aualmene de diversas maneiras. O méodo mais difundido no meio acadêmico aualmene é o chamado Algorimo de Gran, Vora e Weeks, por ouro lado ambém há o modelo binomial que apesar de exigir grande esforço compuacional apresena bons resulados. Esse rabalho em como inuio a melhoria do méodo de oimização de curvas de gailho. Os Algorimos Genéicos são ferramenas de oimização numérica de fácil implemenação e que normalmene produzem bons resulados. Desa forma o foi uilizado em busca de méodos mais fáceis, que produzissem melhores resulados e de preferência mais ágeis. A opção americana é definida como aquela que pode ser exercida em qualquer daa enre a aquisição da opção e o prazo final para exercício. No caso da opção de compra seu valor quando exercida é definido pela seguine função: max( S X,0) Onde S é o valor do aivo base e X o preço de exercício. Para resolver esse problema em empo conínuo uiliza-se uma aproximação na qual o empo para o exercício é discreizado em quanos períodos desejar-se e a opção passa a poder ser exercida apenas em um número finio de empos. O foi enão esruurado de maneira a solucionar esse problema de maximização do valor da opção e as seções a seguir indicam a forma com que o problema foi abordado e os resulados alcançados. II. ESTRUTURA DO PROBLEMA O problema de deerminação da curva de gailho de uma opção americana é a resolução de um problema de maximização do valor da opção. Para deerminarmos a parir de quais preços, dependendo da daa, passa a ser vanajoso exercer a opção anes do prazo é preciso que se descubra qual é o pono (preço) do aivo base em que a opção exercida vale ano quano o valor esperado de mane-la viva. Para uma opção americana de venda esse pono é definido como: Em que S * T- é exaamene o pono óimo que o valor do aivo base em que assumir para ornar a relação verdadeira, X é o preço de exercício e E[P T ] é o valor esperado do valor da opção. Esse valor é enão razido a daa em que se deseja deerminar o pono de indiferença pela axa livre de risco.
> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 2 A realização de uma simulação para o preço do aivo base é execuada de maneira que se deerminam possíveis caminhos para o preço do aivo ao longo do, a simulação realizada é a Simulação de Mone Carlo (SMC). Nese arigo o processo de difusão uilizado para o aivo básico foi o Movimeno Geomérico Browniano (MGB). Após a discreização do empo o valor do aivo básico em cada período de cada ieração foi deerminado aravés da seguine relação: Dada a complexidade do algorimo de GVW e a necessidade de esá-lo esse arigo visa à implemenação de uma oimização de curva de gailho aravés de. III. DESENVOLVIMENTO DO ALGORITMO GENÉTICO O foi desenvolvido de maneira que se pudesse deerminar qual é a combinação de ponos ao longo do empo que maximiza o valor da opção. Onde sigma represenou a volailidade do aivo e z foi um ruído aleaório com uma disribuição normal de média zero e desvio padrão 1. O Algorimo de Gran, Vora e Weeks (GVW) realiza uma oimização de rás para frene, na qual os ponos de indiferença são descoberos a parir do pono que já é conhecido, ou seja, o prazo de expiração da opção. Na expiração a curva de gailho equivale ao preço de exercício, pois para preços mais baixos que X a opção de venda passa a ser exercida. O Algorimo de GVW pode ser resumido da seguine forma: 1) Discreizar o empo em N = T/ 2) Adoar condição erminal S T * = X 3) Para T adoar inicialmene S T- = S T * 4) Realizar a SMC a parir de S T- para ober S T e conseqüenemene ober os valores de p T, que será a média dos valores de p T 5) Verificar se a condição de oimalidade foi saisfeia 6) Repeir os passos 3 a 5 para os insanes aneriores aé chegar ao insane inicial 7) Após obermos a Curva de Gailho calcula-se o valor da opção aravés de uma SMC, pare-se de S0 para calcular os valores da opção para cada ieração. O valor final será a media A figura a seguir ilusra o procedimeno do algorimo de Gran, Vora e Week de maneira a faciliar o enendimeno do mesmo: A. Represenação A represenação uilizada foi a de números reais. O cromossomo possui um amanho deferene para cada número de possibilidades de exercício anecipado permiido deferene. Nese senido os genes represenaram os ponos que se fica indiferene enre exercer ou não a opção, ou seja, o pono da curva de gailho. Desa forma o número de genes de cada cromossomo foi deerminado de acordo com o número de daas em que se permiiu o exercício anecipado. B. Função de Avaliação A função de avaliação deermina a qualidade de cada individuo dando maior ou menor chance dele se reproduzir na população seguine. Nese a função de avaliação é represenada pelo valor presene da opção, a qual se deseja maximizar. Maximizar Valor da Opção = T = = T P ou C = O sofware uilizado para realizar as simulações foi o RiskOpimizer que possui o Evolver acoplado que foi responsável pela oimização do. C. Seleção de Genior O operador de seleção seleciona os indivíduos aleaoriamene, proporcionando maiores chances de reprodução aos mais apos. Para eviar super-seleção (indivíduo com avaliação muio maior que os demais) e compeição próxima (indivíduos com apidões próximas mas não idênicas). Nese problema foram uilizados os méodos disponíveis no Evolver para seleção. D. Operador de Crossover O operador de crossover permie que pares de geniores escolhidos aleaoriamene da população gerem novos
> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 3 individuas a parir da roca de maerial genéico. A axa inicial de crossover uilizada foi de 50%. Os operadores de crossover disponíveis no Evolver são: 1. Crossover ariméico 2. Crossover heurísico 3. Crossover padrão E. Operador de Muação A muação é um processo que alera a esruura do cromossomo criando indivíduos com propriedades diferenes daquelas enconradas na maior pare da população. A muação evia que o modelo fique preso a um óimo local. A axa de muação inicial foi de 10% a qual foi aumenada quando o pareceu convergir para algum óimo. No Evolver os ipos de muação disponíveis são: 1. Muação cauchy 2. Muação boundary 3. Muação não uniforme 4. Muação padrão F. Técnica de Reprodução Essa écnica define o criério de subsiuição dos indivíduos de uma população para a próxima geração. A écnica uilizada foi a de Seady Sae que realiza a roca parcial da população, iso é, subsiui os piores individuas da população correne. G. Tamanho da População O amanho da população define qual vai ser a variabilidade genéica que a população vai dispor. Quano maior a população maior é a variabilidade. Nese rabalho o amanho da população foi de 50 indivíduos, mas o número de gerações não foi previamene definido. O criério de parada foi porano a convergência do. H. Resumo da Meodologia Aplicada A planilha em Excel na qual o foi rodado, assim como as SMC seguiu os seguines procedimenos: 1. Realização de uma ieração da SMC para o aivo base 2. Avalia se o preço do aivo para a daa mais próxima a zero é maior ou menor do que o gene que represena aquela daa 3. Se S < Gene e não iver sido menor para as daas aneriores,calcula o valor da opção exercida (pu=x-s) 4. Se não, faz a mesma avaliação para as daa subsequenes 5. O valor da opção será o valor presene da soma dos valores das opções ao longo do empo 6. Esse procedimeno é repeido para as n ierações de uma simulação 7. O objeivo é maximizar o valor da opção que será dado quando a curva de gailho for óima 8. A Curva de Gailho é enão evoluída aravés do a fim de oimizar o gailho I. Fórmula de Black & Scholes O cálculo do valor da opção do ipo europeu é feio aravés da fórmula de Black & Scholes. O conhecimeno do valor da opção européia é essencial para que se possa avaliar se o resulado enconrado para a opção bermuda (aquela que permie o exercício anecipado em apenas algumas daas, é na verdade uma discreização da opção americana, quano maior o número de daas em que se é permiido o exercício anecipado, mais próximo se orna o valor da opção bermuda do valor da opção americana) esá coerene. Como a opção do ipo bermuda possui odos os direios de uma opção do ipo europeu e ainda mais algumas vanagens, ela deve valer mais. Porano, o cálculo do valor da opção européia serve de referencia. Onde: d d A fórmula de Black e Scholes é dada por: 1 2 c = e p = r Xe ln = [ ] ( T ) r( T ) SN( d ) e XN( ) r S X = d σ 1 1 d 2 ( T ) N( d ) SN( ) 2 σ + r + 2 σ T T 2 d 1 ( T ) Nese mesmo raciocínio ambém é imporane conhecer o verdadeiro valor da opção americana. A solução normalmene proposa para esse obsáculo é de aproximar o valor verdadeiro da opção americana por uma árvore binomial na qual o número de discreizações no empo seja muio grade. No paper de Gran, Vora e Weeks [2] eles propõem uma arvore binomial de 500 passos para o período de meio ano.
> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 4 Em uma árvore binomial, o preço do aivo em cada inervalo de empo só pode subir ou cair. É possível imaginar que o esforço compuacional se orna imenso quando se em o período grande enre a aquisição da opção e a expiração da mesma. Desa forma, esse méodo se orna inviável quando se deseja aliar um grande período de empo a um período de discreização razoavelmene pequeno. IV. TESTES Foram realizados primeiramene eses para a verificação do funcionameno do. Para ano, o foi aplicado a problemas já solucionados por ouros méodos, no caso o algorimo de GVW. Desa forma os resulados obidos foram comparados e poseriormene aplicou-se o a ouros problemas. A. Tese 1 Para esar o algorimo genéico criado foi calculado o valor de uma pu com apenas uma daa para exercício anecipado. O eve porano cromossomos com apenas um gene. Esse exemplo é exaamene igual a um exemplo do paper do Gran, Vora e Weeks. As variáveis inpuadas foram: T 0.5 r 0,1 sigma 0,4 dela 0,25 X 100 S0 100 Os valores de sigma, T, r e dela são em relação ao ano. O preço de exercício X e o valor inicial do aivo base S0 podem ser em qualquer unidade moneária. No paper os valores enconrados pelo algorimo de Gran, Vora e Weeks foram: Gran, Vora e Weeks Gailho em = 0,25 84.24 Valor da Opção em = 0 8.95 Esses valores são coerenes com os valores das pus européia e americana para os mesmos parâmeros, 8.70 e 9.22. O nos forneceu: Gailho em = 0,25 84.73 Valor da Opção em = 0 8.96 Os valores fornecidos pelo foram bem próximos aos do algorimo de Gran, Vora e Weeks O empo para a oimização foi de 11 min. B. Tese 2 Se admiirmos o exercício anecipado em duas daas = 0.1667 e = 0.3333 os valores óimos obidos pelo são: Gailho em = 0,1667 79.53 Gailho em = 0,3333 82.90 Valor da Opção em = 0 9.05 Os valores enconrados pelo algorimo de Gran, Vora e Weeks foram: Gran, Vora e Weeks Gailho em = 0,1667 81.08 Gailho em = 0,3333 85.65 Valor da Opção em = 0 9.05 Observa-se que o valor da opção cresce quando se aumena o número de oporunidades de exercício anecipado. O valor da opção de venda enconrado pelo ficou enre os valores da opção de venda européia e o valor da opção de venda americana. C. Tese 3 Desa vez foram permiidas quaro daas para o exercício anecipado da pu, = 0.1, = 0.2, = 0.3 e = 0.4 Os ponos da curva de gailho e o valor da pu enconrados pelo foram: Gailho em = 0,1 54,46 Gailho em = 0,2 74,31 Gailho em = 0,3 84,95 Gailho em = 0,4 86,54 Valor da Opção em = 0 9,07 Os resulados obidos são coerenes pois a pu ficou mais valiosa quando aumenamos as oporunidades de Exercício anecipado.
> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 5 O valor enconrado de 9.07 esá enre o valor da pu européia com mesmos parâmeros e da pu americana. O gráfico abaixo represena a curva de gailho para a opção de venda do ese 3. Podemos observar que a curva se assemelha basane a aquela esperada pela eoria. Cabe ressalar que no início a curva de gailho é mais esável, ficando mais inclinada pero da expiração (conforme eoria). Podemos verificar que o gailho no empo = 0.2 foi um pouco menor do que em = 3, o que provavelmene foi ocasionado por cona do processo de simulação. 100 80 Curva de Gailho O gráfico a seguir represena os ponos da curva de gailho enconrados. Gailho Call Gailho 60 40 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Tempo D. Tese 4 Preço de Exercício 250 200 150 100 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tempo O ese 4 foi realizado para uma call americana. Desa forma, foi necessário que alerássemos a função de avaliação dos indivíduos. A função de avaliação foi enão alerada para: A relação acima represena o valor da call, sabemos que a curva de gailho é exaamene o pono de indiferença enre exercer ou esperar. O primeiro ermo da função de máximo represena o valor da opção exercida e o segundo o valor dela viva. Nese exemplo foram permiidas quaro daas para exercício anecipado, sendo os parâmeros exaamene os mesmos do ese 3. Os ponos do gailho e o valor da call enconrados pelo foram enão: Gailho em = 0,1 193.157177 Gailho em = 0,2 181.941915 Gailho em = 0,3 187.418405 Gailho em = 0,4 157.152124 Valor da Opção em = 0 13.57 A forma da curva de gailho da call ficou como esperada: no início o gailho é mais alo, pois há maior valor na espera, conforme nos aproximamos da expiração esse valor cai e conseqüenemene o valor da call ambém cai. CONCLUSÃO O empo compuacional exigido para a oimização foi relaivamene alo. O processo levou 11 minuos para achar um pono, cerca de uma hora para achar dois ponos e duas horas para convergir para 4 ponos. A represenação parece ser a grande dificuldade para oimização. Como o número de casas decimais admiido pelo RiskOpimizer é grande, a evolução dos indivíduos é lena. Como a forma da curva de gailho já é conhecida O enconrou valores bem próximos aos enconrados pelo Algorimo de Gran, Vora e Weeks. Para avaliar curvas de gailho para opções reais e financeiras, o empo não é imporane por isso o pode ser indicado. O méodo de oimização aravés do é muio mais simples do que o Algorimo de Gran, Vora e Weeks. REFERÊNCIAS [1] Mone Carlo Valuaion of American Opions hrough Compuaion of he Opimal Exercise Fronier, Alfredo Ibáñez e Fernando Zapaero, 6 Novembro 2001 [2] Simulaion and he Early-Exercise Opion Problem, Dwigh Gran, Gauam Vora e David Weeks, The Journal of Financial Engineering - Volume 5 - Number 3 [3] Teaching Opion Valuaion: From Simple Discree Disribuions o Black/Scholes Via Mone Carlo Simulaion, Dwigh Gran, Gauam Vora e David Weeks, Financial Pracice and Educaion, 5 (Fall/Winer 1995)
> REVISTA DE INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp. 1-10 6 [4] Pah-Dependen Opions: Exending he Mone Carlo Simulaion Approach, Dwigh Gran, Gauam Vora e David Weeks, Published in Managemen Science, Vol. 43, No. 11, November 1997 [5] Deerminação do Valor de Opções Reais por Simulação Mone Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algorimos Genéicos, Juan Guillermo Lazo Lazo, Tese de Douorado [6] Avaliação de Invesimenos em Tecnologia da Informação: uma Perspeciva de Opções Reais, André Fichel Nascimeno, Disseração de Mesrado