CONTROLE ON-LINE POR ATRIBUTOS COM ERROS DE CLASSIFICAÇÃO: UMA ABORDAGEM ECONÔMICA COM CLASSIFICAÇÕES REPETIDAS

versão ipressa ISSN 0101-7438 / versão online ISSN 1678-5142 CONTROLE ON-LINE OR ATRIBUTOS COM ERROS DE CLASSIFICAÇÃO: UMA ABORDAGEM ECONÔMICA COM CLASSIFICAÇÕES REETIDAS Anderson Laécio Galindo Trindade Linda Lee Ho * Departaento de Engenharia de rodução / E Universidade de São aulo (US) São aulo S lindalee@usp.br Roberto da Costa Quinino Departaento de Estatística / ICEX Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Belo Horizonte MG * Corresponding author / autor para que as correspondências deve ser encainhadas Recebido e 03/2006; aceito e 02/2007 Received March 2006; accepted February 2007 Resuo O procediento de controle on-line de processos por atributos, proposto por Taguchi et al. (1989), consiste e aostrar u ite a cada produzidos e decidir, a cada inspeção, se houve ou não a redução da fração de itens confores produzidos. Caso o ite inspecionado for não confore, pára-se o processo para ajuste. Coo o sistea de inspeção pode estar sujeito a erros de classificação, desenvolve-se u odelo probabilístico que considera classificações repetidas e independentes do ite aostrado e u sistea de controle co inspeção iperfeita. Utilizando-se as propriedades de ua cadeia de Markov ergódica, obté-se ua expressão do custo édio do sistea de controle, que pode ser iniizada por três parâetros: o intervalo entre inspeções; o núero de classificações repetidas; e o núero ínio de classificações confores (dentre as classificações repetidas), para julgar u ite coo confore. U exeplo nuérico ilustra o procediento proposto. alavras-chave: controle on-line de qualidade por atributos; erros de classificação; cadeias de Markov. Abstract The procedure to control on-line processes for attributes proposed by Taguchi et al. (1989) consists of sapling a single ite at very produced ones. If the exained ite is non-conforing, the process is said to be out of control (the fraction of conforing ite is reduced) and it is stopped for adjustent. However, the inspection procedure is subject to isclassification errors. So a probabilistic odel was developed considering results of the repetitive and independent classifications of the exained ite. Eploying properties of an ergodic Markov chain, an expression of the expected cost function for the control syste was obtained to be iniized by three paraeters: sapling interval; nuber of the repetitive classifications; inor nuber of conforing classifications (aong the repetitive classifications) to declare an ite as conforing. A nuerical exaple illustrates the proposed odel. Keywords: on-line process control for attributes; isclassification errors; Markov chain. esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 105

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas 1. Introdução O sistea de controle on-line de processos por atributo, apresentado por Taguchi et al. (1989), considera u processo que inicia sua operação produzindo itens co ua fração confore p 1 = 1 (estado I). Após a ocorrência de ua causa especial, a fração de itens confores passa a u valor p 2 (0 p 2 < p 1 ) e o processo peranece produzindo nesta condição (estado II) até que esta udança seja detectada e a causa especial reovida. O sistea de controle consiste na inspeção periódica de u ite a cada produzidos e, ua vez que este ite seja julgado coo não confore, adite-se que ocorreu ua udança da fração de itens confores e o processo é parado para ajuste. Após o ajuste, a fração de itens confores retorna ao valor inicial p 1 = 1. Exeplos e que a utilização desta etodologia é be sucedida inclue processo autoático de solda, produção de seicondutores, produção de diodos utilizados e placas de circuito ipressos e e processos quíicos. De aneira geral, sisteas de produção que utiliza controle autoático pode beneficiar-se da etodologia aqui discutida, coo apresentado por Taguchi et al. (2004). Taguchi et al. (1989) obté expressões analíticas para o intervalo entre inspeções () que iniiza o custo édio do sistea de controle, poré não assue u ecaniso explícito para a ocorrência da causa especial e tais expressões resulta de ua série de considerações e siplificações. Nayebpour & Woodall (1993) desenvolve u odelo de controle para atributos incluindo u ecaniso de falha para o processo (através de ua distribuição geoétrica), o que representa ua aneira foral do processo udar do estado I para o estado II. Co isso, afira que não pode ser obtida ua expressão analítica para intervalo ótio entre inspeções e a busca deste parâetro exige o uso de étodos coputacionais. No odelo de controle para atributos apresentado por Borges et al. (2001) adite-se que o sistea de inspeção está sujeito a erros de classificação. ode-se julgar u ite confore dado que ele não o é (erro tipo II) ou julgar u ite confore coo não confore (erro tipo I). Suas conclusões indica que o custo do sistea de controle é sensível à presença dos erros de classificação. oré, nos três artigos encionados não é considerada a hipótese de classificações repetidas do ite inspecionado, o que pode reduzir o ipacto dos erros de classificação e, conseqüenteente, o custo édio do sistea de controle por ite produzido. O uso de classificações repetidas e u sistea de inspeção co erros de classificação não é u procediento novo. Alguns autores já propusera o seu uso, epregando critérios diferenciados na classificação final do ite inspecionado (o ite exainado é classificado repetidaente e independenteente r vezes e e cada classificação, ele é avaliado e confore ou não confore). E Greenberg & Stokes (1995) este procediento é proposto, as adite-se apenas a existência do erro do tipo I na deterinação do núero ótio de classificações repetidas. E Quinino & Suyaa (2002), r classificações repetidas são realizadas no ite inspecionado, que é declarado confore se pelo enos fore observadas a classificações confores. Os parâetros a e r são deterinados segundo ua abordage econôica. E Quinino & Ho (2004), os itens são exainados repetidaente até observar a classificações confores ou b classificações não confores (no prieiro caso, o ite é declarado confore e no segundo critério, o ite é declarado não confore). ara outros resultados, o procediento de classificações repetidas continua. O objetivo foi deterinar os parâetros a e b ótios tabé segundo ua abordage econôica. oré, tais trabalhos não considera a udança da fração de itens confores durante a produção. 106 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas Este trabalho te por objetivo desenvolver u odelo probabilístico que considera as classificações repetidas e independentes do ite inspecionado através de cadeias de Markov de estados discretos para deterinar ua estratégia ótia de controle (on-line por atributos) e u processo cujo sistea de inspeção está sujeito a erros de classificação. A estratégia ótia consiste na deterinação do intervalo entre inspeções (), do núero de classificações repetidas do ite inspecionado (r) e do núero ínio de classificações confores (dentre as r) para julgar o ite confore (w) que iniiza o custo édio do sistea de controle. Este artigo está estruturado do seguinte odo: a Seção 2 apresenta o odelo probabilístico proposto. O custo édio do sistea de controle é obtido na Seção 3. Na Seção 4, u exeplo nuérico ilustra o efeito da presença dos erros de classificação e das classificações repetidas sobre o custo édio do sistea de controle. As conclusões e sugestões são apresentadas na Seção 5. 2. Modelo robabilístico Considere que itens são produzidos e u processo que, no estado I, possui ua fração de itens confores p 1 e, no estado II, a fração de itens confores diinua para p 2, co 0 p 2 < p 1 1. A probabilidade de udança do estado I para o estado II, a cada ite produzido, é dada por ua distribuição geoétrica co parâetro π, sendo 0 < π < 1. O sistea de controle consiste e inspecionar o -ésio ite a cada ciclo de produzidos (aqui denoinado ciclo de inspeção). O ite inspecionado é subetido a r classificações (e cada classificação, o ite é avaliado e confore ou não confore) e caso apresente pelo enos w classificações confore, o ite é julgado confore. Coo o sistea de inspeção é considerado iperfeito, cada classificação a que o ite é subetido está sujeita a dois tipos de erro: classificar u ite confore coo não confore (α), e classificar u ite não confore coo confore (β). Caso o ite inspecionado seja julgado não confore, adite-se que ocorreu a udança de estado e o processo de produção é interropido, ajustado, e reiniciado sob o estado I. Entre o instante e que o ite é inspecionado e o instante e que o processo é parado pode ser produzidos L itens, aos quais se denoina atraso. O processo produzindo sob o estado II só pode retornar ao estado I após a ocorrência de u ajuste. Confore a descrição, o processo de inspeção pode ser odelado coo ua cadeia de Markov estacionária considerando o espaço de estados discretos E={s 0 k 1, s 0 k 0, s 1 k 1, s 1 k 0, s 2 k 1, s 2 k 0 }. A variável s indica o real estado do processo e que os itens que copõe o ciclo de inspeção fora produzidos. Quando s = 0 (s 0 ), todos os itens (inclusive o inspecionado) fora produzidos no estado I. Quando s = 2 (s 2 ) todos os itens do ciclo (inclusive o inspecionado) fora produzidos no estado II. Quando s = 1 (s 1 ) necessariaente ocorreu ua udança do estado I para o estado II no ciclo considerado e pelo enos o ite inspecionado foi produzido no estado II. A variável k, por sua vez, indica se o ite inspecionado foi declarado confore (k 1 ) ou não confore (k 0 ). A Figura 1 relaciona o processo de produção aos estados da cadeia. A atriz de transição e (1) apresenta as probabilidades de igração entre estes estados e ciclos subseqüentes de inspeção. esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 107

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas probabilidade de conforindade p 1 p 2 Estado II s0k1 s0k0 o ite inspecionado é declarado confore: a produção continua s0k0 s0k1 udança de estado e algu instante s1k0 s1k1 1 2 2 i (i+1) após (re)início da produção Legenda o ite inspecionado é declarado não-confore: o processo é parado, ajustado e reinicia no estado I s2k0 Estado I s2k1 s2k0 s2k1 ite inspecionado Figura 1 Fluxograa do processo e sistea de controle. s0k1 s0k0 = s1k1 s1k0 s2k1 s k 2 0 s0k1 s0k0 s1k1 s1k 0 s2k1 s2k0 (0,1),(0,1) (0,1),(0,0) (0,1),(1,1) (0,1),(1,0) (0,1),(2,1) (0,1),(2,0) (0,0),(0,1) (0,0),(0,0) (0,0),(1,1) (0,0),(1,0) (0,0),(2,1) (0,0),( 2,0) (1,1),(0,1) (1,1),(0,0) (1,1),(1,1) (1,1),(1,0) (1,1),(2,1) (1,1),(2,0) (1,0),(0,1) (1,0),(0,0) (1,0),(1,1) (1,0),(1,0) (1,0),(2,1) (1,0),(2,0) (2,1),(0,1) (2,1),(0,0) (2,1),(1,1) (2,1),(1,0) (2, 1),(2,1) (2,1),(2,0) (2,0),(0,1) (2,0),(0,0) (2,0),(1,1) (2,0),(1,0) (2,0),(2,1) (2,0),(2,0) Coo exeplo para ilustrar a notação utilizada, (2,1),(0,0) representa a probabilidade de que a inspeção i ocorra sob o estado da cadeia s 2 k 1 e que a inspeção (i+1) ocorra sob o estado s 0 k 0, ou siplesente r(e i+1 = s 0 k 0 E i = s 2 k 1 ). A seguir estão detalhadas as probabilidades de transição dadas e (1). A probabilidade (0,1),(0,1), r(e i+1 = s 0 k 1 E i = s 0 k 1 ), é o produto das probabilidades: a) de todos os itens do ciclo sere produzidos no estado I, e b) do ite inspecionado ser julgado confore. ara obter a) é necessário definir ua variável aleatória não observável, Θ i, co i 0, que representa a probabilidade de produção de u ite confore no instante e que é produzido o i-ésio ite. Co isso, a probabilidade de que o processo peraneça sob o estado I até o -ésio ite produzido é r{ Θ = p } = r{ Θ = p,, Θ = p } = (1 π ) (2) 1 1 1 1 Devido à existência de erros de classificação, a probabilidade de que a inspeção declare u ite confore é a soa de duas probabilidades: i) probabilidade de julgar u ite confore coo confore e ii) probabilidade de julgar u ite não confore coo confore. Julgar u ite confore, classificando-o repetidaente e independenteente é u processo binoial e que a probabilidade de sucesso é dada por (1-α) caso, o ite seja de fato confore ou β caso o ite seja, de fato, não confore. Sendo Y ua variável aleatória que representa o (1) 108 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas núero de vezes que o ite inspecionado é classificado coo confore e θ ua variável aleatória que define o estado real do ite (θ = 1, ite confore; θ = 0, ite não confore) te-se: r{ Y w θ = 1} = 1 B ( r,1 α ) (3) w 1 r{ Y w θ = 0} = 1 B ( r, β ) (4) e que B x (n,p) denota a probabilidade binoial acuulada até x sucessos e n tentativas, sendo p a probabilidade de sucesso. Note que (3) representa a probabilidade de ua decisão correta, que pode ser denotada coo a probabilidade copleentar de u erro α *, enquanto (4) corresponde à probabilidade de ua decisão errada sobre o julgaento do ite inspecionado que será denotado coo u erro β *. Assi Cobinando (2), (3) e (4), te-se: w 1 w 1 w 1 1 α = 1 B ( r,1 α) α = B ( r,1 α) * β = 1 B ( r, β ) w 1 = r{ Θ = p }{ p r{ Y w θ = 1} + (1 p )r{ Y w θ = 0}} (0,1),(0,1) 1 1 1 1 p1 = (1 π ) { p (1 α ) + (1 ) β }. A probabilidade (0,1),(0,0), por sua vez, iplica e julgar o ite inspecionado coo não confore, eso co todos os itens produzidos no ciclo sob o estado I. ortanto, = r{ Θ = p }{ p r{ Y < w θ = 1} + (1 p )r{ Y < w θ = 0}} (0,1),(0,0) 1 1 1 1 p1 = (1 π ) { p α + (1 )(1 β )}. A probabilidade (0,1),(1,1), r(e i+1 = s 1 k 1 E i = s 0 k 1 ), consiste na udança do estado I para o estado II desde a últia inspeção, be coo no julgaento do ite inspecionado coo confore. Note que agora a probabilidade do ite inspecionado ser confore é dada por p 2. Co isso, te-se: = (1 r{ Θ = p }){ p r{ Y w θ = 1} + (1 p )r{ Y w θ = 0}} (0,1),(1,1) 1 2 2 2 p2 = [1 (1 π ) ]{ p (1 α ) + (1 ) β }. A probabilidade (0,1),(1,0), r(e i+1 = s 1 k 0 E i = s 0 k 1 ), indica que há udança do estado do processo (I II), sendo o ite inspecionado declarado não confore. = (1 r{ Θ = p }){ p r{ Y < w θ = 1} + (1 p )r{ Y < w θ = 0}} (0,1),(1,0) 1 2 2 2 p2 = [1 (1 π ) ]{ p α + (1 )(1 β )}. As probabilidades restantes, (1,1),(2,1), (1,1),(2,0), (2,1),(2,1) e (2,1),(2,0), deve considerar apenas a probabilidade de julgar o ite inspecionado confore ou não confore, pois o ciclo já se inicia no estado de produção II. = = { p r{ Y w θ = 1} + (1 p )r{ Y w θ = 0}} (1,1),(2,1) (2,1)(2,1) 2 2 2 α p2 β = { p (1 ) + (1 ) } = = { p r{ Y < w θ = 1} + (1 p )r{ Y < w θ = 0}} (1,1),(2,0) (2,1)(2,0) 2 2 2α p2 β = { p + (1 )(1 )}. esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 109

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas As probabilidades (0,1),(2,1) = (0,1),(2,0) = 0. E todos os estados nos quais há ajuste do processo, u novo ciclo de inspeções é iniciado necessariaente sob o estado I. ortanto, todas as linhas pares da atriz são iguais à prieira linha da atriz. Coo o processo só retorna ao estado de produção I após u ajuste, as probabilidades (1,1),(0,1) = (1,1),(0,0) = (2,1),(0,1) = (2,1),(0,0) = 0. or fi, (1,1),(1,1) = (1,1),(1,0) = (2,1),(1,1) = (2,1),(1,0) = 0. A atriz pode então ser reescrita coo s k s k = s k s k s k s k 0 1 0 0 1 1 1 0 (0,1),(0,1) 2 1 2 0 s0k1 s0k0 s1k1 s1k 0 s2k1 s2k0 (0,1),(0,1) (0,1),(0,0) (0,1),(1,1) (0,1),(1,0) 0 0 (0,1),(0,1) (0,1),(0,0) (0,1),(1,1) (0,1),(1,0) 0 0 0 0 0 0 (0,1),(0,0) (0,1),(1,1) (0,1),(1,0) 0 0 0 0 0 0 (0,1),(0,1) (0,1),(0,0) (0,1),(1,1) (0,1),(1,0) 0 0 (1,1),(2,1) (1,1),(2,0) (2,1),(2,1) (2,1),(2,0) Coo a atriz é ua atriz de ua cadeia regular (detalhes e Ross, 2003), então existe o li j (j) = Y, e que todas as linhas da atriz Y são iguais ao vetor linha y = [ y(0,1) y(0,0) y(2,0) ]. O vetor y é u vetor de probabilidade (Σ i y i = 1) no estado estacionário, co todos os valores y i estritaente positivos. Cada eleento de y é interpretado coo sendo a fração do núero de inspeções que são realizadas e cada u dos estados da cadeia após u núero suficienteente grande de inspeções. Coo (j+1) = (j) e li j (j+1) = li j (j) = Y, então no liite a equação Y = Y é verdadeira. Coo todas as linhas de Y são iguais à y, a equação y = y tabé é válida no liite, e pode ser escrita coo (4) y = y y( - I) = 0 (5) e que I é a atriz identidade. ortanto, o vetor y pode ser obtido a partir da resolução do sistea linear (5) co a restrição de que Σ i y i = 1. Resolvendo (5), os eleentos de y são dados por y y y (0,1) (0,0) = = = y = (1,1) (2,0) y y (2,1) (1,0) = = (0,1),(0,0) (1,1),(2,0) + (0,1),(0,1) (1,1),(2,0) + + (0,1),(1,0) (1,1),(2,0) + (1 ). + 110 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas 3. Custo Médio do Sistea de Controle ara obter a função custo, são necessárias alguas considerações adicionais. Tão logo o ite inspecionado é declarado não confore, o processo é parado para ajuste. Os itens produzidos, entre o instante e que o ite inspecionado é aostrado (e declarado não confore) e a copleta parada do processo, são denoinados atraso (L) e são descartados. O ite inspecionado é classificado r vezes e inutilizado após a inspeção (por exeplo, pequenas partes do ite inspecionado pode ser retiradas). Considere os custos: c 0 custo de ua classificação do ite inspecionado; c 1 custo de enviar u ite não confore para o ercado ou próxias etapas do processo; c 2 custo de ajuste do processo; c 3 custo de eliinar u ite não confore; c 4 custo de eliinar u ite confore. Os coponentes c 3 e c 4 são utilizados para a eventualidade dos itens descartados sere subetidos a algu processo de reaproveitaento, no qual o custo de reaproveitaento de u ite confore pode diferir daquele não confore. Caso isso não seja possível, basta estabelecer c 3 =c 4, custo este que deve ser o custo unitário de produção (desconsiderado o sistea de controle). O custo de cada estado (s,k) pode ser escrito coo V (s,k) = rc 0 + ξ (s,k) + η (s,k) + ϕ (s,k), e que rc 0 é o custo de realizar r classificações do ite inspecionado (presente e todos os estados da cadeia); ξ (s,k), custo de enviar itens defeituosos para o consuidor ou estágios posteriores do processo; η (s,k), custo relacionado ao descarte do ite inspecionado; ϕ (s,k), custo de ajuste e de descartar os itens que copõe o atraso. A seguir estão detalhados os custos para os estados da cadeia de Markov. ara o estado (s 0 k 1 ), sabe-se que todos os itens do ciclo fora produzidos no estado I. Dos ( 1) itens que são enviados para o ercado, ( 1)(1 p 1 ) é o núero esperado de itens não-confores. ortanto ξ (0,1) = c ( 1)(1 p ). 1 1 O ite inspecionado foi declarado confore, as, devido à existência de erros de classificação, há ua probabilidade de que ele seja não confore. Assi (1 p1 ) β p1 (1 α ) 3 c 4 p1 (1 α ) + (1 p1 ) β p1 (1 α ) + (1 p1 ) β η(0,1) = c +. Coo não há ajuste do processo então ϕ (0,1) = 0. ara o estado (s 0 k 0 ), todos os itens do ciclo tabé são produzidos no estado I, logo ξ (0,0) = ξ (0,1). Já o ite inspecionado foi declarado não confore, e o custo de seu descarte é (1 p1 )(1 β ) p1α 3 c 4 p1α + p1 β p1α + p1 β η(0,0) = c +. (1 )(1 ) (1 )(1 ) esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 111

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas Neste estado há ajuste do processo e L itens que copõe o atraso são descartados. Apesar do ite inspecionado ter sido produzido no estado I, há ua probabilidade não nula de ocorrer a udança de estado e algu dos itens que copõe o atraso, o que é considerado e L 2 π 1 3 1 4 ϕ(0,0) = c + L(1 ) [(1 p ) c + p c L i 1 3 π π 1 2 i= 1 + c (1 ) [( i 1)(1 p ) + ( L i + 1)(1 p )] L i 1 4 π π 1 2 i= 1 + c (1 ) [( i 1) p + ( L i + 1)(1 p )] L 2 (1 π ) [(1 1) 3 1 4 = c + L p c + p c (1 π )(1 (1 π ) ) (1 π ) π L + [(1 p1 ) c3 + p1c4 ] π L+ 1 L (1 π ) + π ( L + 1) 1 + [(1 p2) c3 + p1c4 ] π onde i é o instante e que o prieiro ite é produzido no estado II. ara o estado (s 1 k 1 ), ua parte dos itens é produzida no estado I. Assi i 1 π (1 π ) ε (1,1) = c [( i 1)(1 p ) + ( i)(1 p )] 1 1 2 i= 1 1 (1 π ) (1 π )(1 (1 π ) ) π (1 π ) = c1 (1 p1 ) π (1 (1 π ) ) π + (1 π ) 1 + c1 (1 p2). π (1 (1 π ) ) (1 p2 ) β p2 (1 α ) 3 c 4 p2 (1 α ) + (1 p2) β p2 (1 α ) + (1 p2) β η(1,1) = c +. Coo não há ajuste do processo segue que ϕ (1,1) = 0. ara o estado (s 1 k 0 ), ξ (1,0) = ξ (1,1). O custo associado a descartar o ite inspecionado é (1 p2 )(1 β ) p2α 3 c 4 p2α + p2 β p2α + p2 β η(1,0) = c +. (1 )(1 ) (1 )(1 ) Coo a udança para o estado II já ocorreu e algu ponto do ciclo e questão, todos os itens que copõe o atraso são produzidos no estado II. Assi ϕ (1,0) = c + L[ c (1 p ) + c p ]. 2 3 2 4 2 ara o estado (s 2 k 1 ), todos os itens do ciclo são produzidos no estado II. Assi ξ (2,1) = c ( 1)(1 p ). L 1 2 Já o custo de descartar o ite inspecionado η (2,1) = η (1,1) e coo não há ajuste, ϕ (2,1) = 0. 112 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas ara o estado (s 2 k 0 ), são válidas as igualdades de custo: ξ (2,0) = ξ (2,1), η (2,0) = η (1,0) e ϕ (2,0) = ϕ (1,0). E cada ciclo de inspeção, ( 1) itens são enviados para o ercado ou para os próxios estágios de produção. ara u núero suficienteente grande de inspeções realizadas, y corresponde ao vetor de probabilidade de ocorrência de cada estado da cadeia. ortanto, o custo édio por ite produzido e não descartado (e cada ciclo de inspeção) é: 2 1 1 C(, r, w) = rc0 y( si, k j )[ ξ ( si, k j ) η( si, k j ) ϕ( si, k j ). 1 + + + (6) i= 0 j= 0 O problea consiste e deterinar, r e w que iniiza (6), ou seja 0 0 0 (, r, w ) = arg in C (7) (, r, w) Coo não é possível obter ua expressão analítica para (7), utiliza-se ua busca coputacional exaustiva para deterinação dos parâetros ótios. As versões do prograa e Microsoft Excel e Matlab pode ser obtidas no endereço www.est.ufg.br/~roberto. A seguir está u exeplo nuérico para ilustrar o procediento proposto. 4. Exeplos Nuéricos ara ilustrar o odelo proposto co u exeplo nuérico, considere u processo de anufatura co os seguintes custos: Custo de inspeção c 0 =$0,25; Custo de envio de u ite não confore c 1 =$20; Custo de ajuste c 2 =$100; Custo de eliinar u ite confore ou não confore iguais, c 3 =c 4 =$2,0. E os seguintes parâetros de processo: Fração confore no estado I: p 1 =0,99; Fração confore no estado II: p 2 =0,80; robabilidade de udança do estado I para estado II: π=0,0001; Erros de classificação: α=β=0,01 e O núero de itens produzidos entre a sinalização (ite não confore) e a copleta parada do processo (atraso) L=10. sendo que os custos estão expressos e unidades onetárias. ara siplificar a execução do odelo, considere que o ite será julgado confore caso ais da etade das r classificações seja confores, ou seja, w = 0,5r. A Figura 2 ostra o custo édio do sistea de controle por ite produzido (e não descartado) e função do intervalo entre inspeções () e do núero de classificações repetidas que o ite inspecionado é subetido (r). Os valores ótios obtidos são o =51 e r o =3, que resulta e u custo édio de $0,3762. Caso ua única classificação do ite inspecionado seja realizada (r =1), o intervalo ótio é o =55 e o custo édio $ 0,3853, (2,42% aior que aquele co últiplas classificações). esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 113

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas 10-0,3 Custo ($) 10-0,4 r = 1, o = 55 o r = 2, = 65 o r = 3, = 51 o r = 4, = 52 o r = 5, = 53 o r = 6, = 55 ótios locais ótio global 10-0,5 30 40 50 60 70 80 90 100 Figura 2 Gráfico de custo édio (C) e função de e r. Considere agora que os erros Tipo I e II são desprezados durante a deterinação da estratégia ótia de controle. ara esta situação, te-se o =47 e r o =1. oré, adotar esta estratégia e u sistea de inspeção que possui tais erros, sendo α = β = 1%, gera u custo édio real C=$0,3876. Este custo é 0,60% aior que o custo da estratégia co r = 1 (e 3,03% aior que aquela obtida considerando classificações repetidas). O critério w = 0,5r é ua restrição a u parâetro que tabé pode ser utilizado para iniizar o custo édio. Se esta iposição, a estratégia ótia torna-se o =48, r o =2 e w o =1, e o custo édio C = $0,3719, (1,14% enor que elhor estratégia obtida até então). A Tabela 1 ostra os valores ótios para, r e w variando-se apenas u parâetro por vez, co os deais antidos constantes nos valores utilizados no exeplo nuérico do início desta seção. Apesar da faixa de variação escolhida ser arbitrária, respeita-se as seguintes condições que torna as cobinações utilizadas razoáveis: a fração de itens confores no estado II é inferior à do estado I (p 2 < p 1 ); o custo de descartar u ite confore é o eso de u ite não confore (c 3 = c 4 ); o custo de ajuste é uito aior que o custo de inspeção (c 2 >> c 0 ) e o custo de enviar u ite não confore para o ercado é aior que o custo de descartá-lo (c 1 > c 3 ). Os parâetros r o e w o ostra-se insensíveis aos custos c 1, c 2 e c 3 nas faixas utilizadas, enquanto o auento do custo de cada classificação (c 0 ) leva a ua redução do núero de classificações a que o ite inspecionado é subetido, coo esperado. Já o parâetro o apresenta u coportaento distinto para cada u dos custos avaliados. U auento no custo de inspeção (c 0 ) ou no custo de ajuste (c 2 ) leva ao auento de o, reduzindo a freqüência das inspeções e a ocorrência de ajustes desnecessários (ajustar o processo que opera no estado I). U auento no custo de envio de itens defeituosos para o ercado (c 1 ) leva à redução do intervalo entre inspeções, ou seja, ao auento na freqüência das inspeções, co o objetivo de detectar ais prontaente a ocorrência da udança de estado do processo. ara a faixa pesquisada, c 3 não altera a estratégia ótia de inspeção. 114 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas Ua redução na fração de itens confores produzidos no estado I (p 1 ) leva a u auento no intervalo entre inspeções. Isso ocorre porque, co ais itens não-confores sendo produzidos no estado I, auenta a ocorrência de ajustes desnecessários, pois ais itens não-confores são aostrados. Já o auento na fração de itens confores produzidos no estado II (p 2 ) reduz a probabilidade de detectar a ocorrência da udança, pois ais itens confores são aostrados. Coo resposta a isso, as inspeções torna-se ais freqüentes, ou seja, há ua redução no valor de o. Estes coportaentos fica claros quando o objetivo do sistea de controle é revisto: detectar a udança de estado do processo tão logo ela ocorra, sendo π o parâetro que controla a udança do processo. Coo ostra a Tabela 1, o auento deste parâetro (π) leva à redução no intervalo entre inspeções, pois e édia a udança de estado (I II) passa a ocorrer após u enor núero de itens produzidos pelo processo. O uso de classificações repetidas (r) e de u critério para declarar u ite confore (w) atua e resposta à existência dos erros Tipo I (α) e Tipo II (β) no sistea de inspeção. U auento de α eleva a probabilidade de declarar u ite confore coo não confore. A estratégia ótia contrapõe este auento exigindo, proporcionalente, que u núero enor de classificações resulte e conforidade para julgar o ite confore. ara α = 1%, pelo enos w o /r o = 50% das classificações deve ser confores para julgar o ite confore. Quando α = 10%, a razão diinui para w o /r o = 33,3%. Coportaento oposto é observado co o auento de β, classificar u ite defeituoso coo confore. Quando β = 1%, no ínio w o /r o = 50% das classificações deve ser confores para julgar o ite confore. Quando β = 10% este valor passa a w o /r o = 66,6% devido ao aior núero de falsas conforidades. Tabela 1 Deterinação de o, r o, w o e C para ua variação individual dos parâetros do odelo, os deais constantes antidos nos valores utilizados no exeplo nuérico. π 10 3 C o r o w o p 1 C o r o w o p 2 C o r o w o 0,100 0,3719 48 2 1 0,850 3,1855 245 1 1 0,200 0,3474 56 2 1 0,325 0,5262 28 2 1 0,885 2,5221 155 2 1 0,350 0,3551 53 2 1 0,550 0,6383 22 2 1 0,920 1,8319 110 2 1 0,500 0,3621 51 2 1 0,775 0,7334 19 2 1 0,955 1,1178 78 2 1 0,650 0,3681 49 2 1 1,000 0,8186 17 2 1 0,990 0,3719 48 2 1 0,800 0,3719 48 2 1 α C o r o w o β C o r o w o c 0 C o r o w o 0,010 0,3719 48 2 1 0,010 0,3719 48 2 1 0,250 0,3719 48 2 1 0,033 0,3739 49 2 1 0,033 0,3749 47 2 1 0,563 0,3847 52 2 1 0,055 0,3779 51 2 1 0,055 0,3768 50 3 2 0,875 0,3965 59 1 1 0,078 0,3786 50 3 1 0,078 0,3774 50 3 2 1,188 0,4018 61 1 1 0,100 0,3796 50 3 1 0,100 0,3781 50 3 2 1,500 0,4070 62 1 1 c 1 C o r o w o c 2 C o r o w o c 3 =c 4 C o r o w o 5 0,1400 98 2 1 100 0,3719 48 2 1 1 0,3456 40 2 1 10 0,2239 68 2 1 575 0,4954 73 2 1 2 0,3719 48 2 1 15 0,2999 56 2 1 1050 0,5967 93 2 1 3 0,3947 55 2 1 20 0,3719 48 2 1 1525 0,6872 110 2 1 4 0,4150 61 2 1 25 0,4414 43 2 1 2000 0,7709 125 2 1 5 0,4335 66 2 1 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007 115

Trindade, Ho & Quinino Controle on-line por atributos co erros de classificação: ua abordage econôica co classificações repetidas 5. Conclusões e Sugestões Nos casos e que existe erros de classificação no sistea de inspeção por atributos, o odelo desenvolvido considerando o uso de classificações repetidas e u critério para o julgaento do ite confore proporciona ua estratégia de controle tão ou ais eficiente que os odelos de inspeção siples. O que deterina o quão ais eficiente será o odelo desenvolvido é a cobinação específica dos fatores de custo, das probabilidades de produção nos estados I e II, da probabilidade de udança de estado e dos erros de inspeção do sistea de controle e questão. E linhas gerais, quanto enor for o custo de ua inspeção (c 0 ) e quanto aior a incidência dos erros Tipo I e II, aior será a diferença observada entre a estratégia obtida co o odelo deste trabalho e aqueles de inspeção siples. ara o exeplo nuérico adotado, e que há erros de classificação da orde de 1%, a estratégia de classificações repetidas gera ua redução de 3,48% no custo édio do sistea de controle por ite produzido e não descartado, quando coparado ao sistea de inspeção siples. ara trabalhos futuros sugere-se a inclusão no odelo da decisão de descartar ou enviar para o ercado os itens que copõe o atraso e o ite inspecionado. ropõe-se tabé o uso de ua aostra co dois ou ais itens. Esta odificação deve auentar significativaente a coplexidade do odelo, pois passa a existir a probabilidade de ocorrência da udança de estado entre os itens que copõe a aostra. Agradecientos Os autores agradece a Fapesp, CNq e Capes pelo apoio financeiro. Referências Bibliográficas (1) Borges, W; Ho, L.L. & Turnes, O. (2001). An analysis of Taguchi s on-line quality onitoring procedure for attributes with diagnosis errors. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 17, 261-276. (2) Greenberg, B.S. & Stokes, S.L. (1995). Repetitive testing in the presence of inspection errors. Technoetrics, 37, 102-111. (3) Nayebpour, M.R. & Woodall, W.H. (1993). An analysis of Taguchi s on-line quality onitoring procedure for attributes. Technoetrics, 35, 53-60. (4) Quinino, R. & Suyaa, E. (2002). Núero ótio de classificações independentes co erro na avaliação da conforidade de produtos. esquisa Operacional, 22, 1-8. (5) Quinino, R. & Ho, L.L. (2004). Repetitive tests as an econoic alternative procedure to control attributes with diagnosis errors. European Journal of Operation Research, 155, 209-225. (6) Ross, S.M. (2003). Introduction to probability odels. 8th edn. Acadeic ress, San Diego. (7) Taguchi, G.; Elsayed, E.A. & Hsiang, T. (1989). Quality Engineering in roduction in Systes. McGraw-Hill, New York. (8) Taguchi, G.; Chowdhury, S. & Wu, Y. (2004). Taguchi s Quality Engineering Handbook. John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. 116 esquisa Operacional, v.27, n.1, p.105-116, Janeiro a Abril de 2007