AJUSTE PREVENTIVO VERSUS AJUSTE CORRETIVO NO CONTROLE ON-LINE DE PROCESSO DO NÚMERO DE NÃO CONFORMIDADES NUM ITEM INSPECIONADO

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1 AJUSTE PREVENTIVO VERSUS AJUSTE CORRETIVO NO CONTROLE ON-LINE DE PROCESSO DO NÚMERO DE NÃO CONFORMIDADES NUM ITEM INSPECIONADO Lenilson Pereira da Silva Prograa de Pós-Graduação e Mateática Alicada e Estatística (PPGMAE Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN lenilson.silva@cefetrn.br Pledson Guedes de Medeiros Prograa de Pós-Graduação e Mateática Alicada e Estatística (PPGMAE Deartaento de Estatística - UFRN ledson@ccet.ufrn.br Linda Lee Ho Deartaento de Engenharia Produção Universidade de São Paulo (USP lindalee@us.br RESUMO O rocediento ara o controle on-line de rocessos or atributos consiste e insecionar u ite a cada roduzidos. A aioria dos trabalhos sobre o controle on-line de rocessos indica a arada do rocesso de rodução ara o ajuste quando o ite insecionado é não confore. No entanto, ne sere existe interesse e classificar o ite coo defeituoso ou não defeituoso, as si onitorar o núero de não-conforidades no ite insecionado. A contribuição deste trabalho está e roor u sistea de controle on-line baseado no núero de não-conforidades do ite insecionado incluindo a ossibilidade de ajustes reventivos ou corretivos no rocesso a cada itens roduzidos. Se u ajuste reventivo é decidido, nenhu artigo é insecionado. Do contrário, o º ite é insecionado. Os arâetros do rocediento roosto são deterinados iniizando a função custo édio. PALAVRAS-CHAVE. Controle on-line de rocesso ara atributos. Núero de não conforidades do ite insecionado. Cadeia de Markov. AG - Alicações à Indústria. ABSTRACT The on-line rocesses control for attributes consists of insecting a single ite at ever roduced ones. Most aers about on-line rocess control have cited the stoage of the roduction rocess for an adjustent when the insected ite is non-conforing. If the exained ite is conforing, the roduction continues; otherwise, the rocess stos for adjustent. However, in an ractical situations, the interest consists of onitoring the nuber of non-conforities aong the exained ites. The contribution of this aer is to roose a control sste for the nuber of non-conforing of the insected ite including the ossibilit of reventive or corrective adjustent in the rocess at ever roduced ite. If a reventive adjustent is decided uon, then no ite is insected. On the contrar, the -th ite is insected. The araeters of the roosed rocedure are deterined iniizing an average cost function. KEYWORDS: On-line rocess control for attributes. Nuber of non-conforities of the insected ite. Markov chain. AG Alications to the industr. XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 68

2 . Introdução Taguchi et al. (989 aresenta o sistea de controle on-line de rocessos or atributo onde considera u rocesso que inicia sua oeração roduzindo itens co ua fração confore (estado I. Aós a ocorrência de ua causa esecial essa fração assa a u valor e o rocesso eranece roduzindo nesta condição (estado II até que esta udança seja detectada e a causa esecial reovida. O sistea de controle consiste na inseção eriódica de u ite a cada roduzidos e, ua vez que este ite seja julgado coo não confore, adite-se que ocorreu ua udança da fração de itens confores e o rocesso é arado ara ajuste. Aós o ajuste, a fração de itens confores retorna ao valor inicial. Exelos e que a utilização desta etodologia é be sucedida inclue rocesso autoático de solda, rodução de seicondutores, rodução de diodos utilizados e lacas de circuito iressos e e rocessos quíicos. De aneira geral, sisteas de rodução que utiliza controle autoático ode beneficiar-se da etodologia aqui discutida. Ho & Quinino (2009 desenvolvera u odelo robabilístico que considera a ossibilidade de ajustes reventivos ou corretivos através da iniização do custo édio do sistea utilizando as roriedades de ua cadeia de Markov de estados discretos ara deterinar ua estratégia ótia de controle on-line or atributos e u rocesso cujo sistea de inseção está sujeito a erros de classificação que consiste na otiização do intervalo entre inseções e da robabilidade (arâetro da Bernoulli. E uitas situações ráticas não faz sentido classificar o ite coo confore ou não confore. Pode acontecer de o controle de qualidade deixar escaar u equeno defeito, ou nãoconforidade, coo or exelo, ua geladeira ebalada se a trave da gaveta de verduras ou co u arranhão. Neste caso, a geladeira aresenta ua não conforidade. Co isso, é ais interessante saber a quantidade de não conforidades na geladeira do que silesente classificá-la coo confore ou não confore. Este trabalho te or objetivo desenvolver u odelo robabilístico que considera o núero de não-conforidades do ite insecionado de fora que o núero édio de defeitos na aostra é o arâetro da distribuição de Poisson a ser eregada no cálculo dos riscos α e β do gráfico do núero de não-conforidades na aostra. O odelo consiste e decidir entre fazer u ajuste reventivo ou insecionar o -ésio ite utilizando cadeias de Markov de estados discretos ara deterinar ua estratégia ótia de controle e u rocesso cujo sistea de inseção não está sujeito a erros de classificação. A estratégia ótia consiste e iniizar o custo édio do sistea de controle (or ite a artir da deterinação do intervalo entre inseções (, da robabilidade ((arâetro da distribuição de Bernoulli e do liite suerior de controle (L do gráfico do núero de não conforidades, utilizado ara julgar se o rocesso está sob controle ou não. Este trabalho está estruturado do seguinte odo: a Seção 2 aresenta o odelo robabilístico roosto. O custo édio do sistea de controle é obtido na Seção 3. As conclusões e sugestões são aresentadas na Seção Modelo Probabilístico Considere a situação e que itens são roduzidos e u rocesso onde a quantidade base do roduto (unidade de inseção coincide co o taanho da aostra e que, no estado I, ossui ua freqüência édia de defeitos (não-conforidades λ e, no estado II, a freqüência édia auenta ara λ 2, co 0 λ λ 2. A robabilidade de udança do estado I ara o estado II, a cada ite roduzido, é dada or ua distribuição geoétrica co arâetro π, sendo 0 π. Considerando a variável C coo núero de não conforidades na aostra, XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 682

3 que no caso é o ite insecionado ( n, assue-se que C ossui distribuição de Poisson co arâetro λ. Entre todos os itens roduzidos (aqui denoinado coo ciclo de controle, u único exeriento de Bernoulli co robabilidade é realizado. Se o resultado for igual a, u ajuste reventivo é realizado e a rodução continua. Caso contrário, o -ésio ite é insecionado. Se o ite insecionado aresentar u núero de não conforidades c aior que u liite suerior de controle (L o rocesso é julgado fora de controle e é interroido ara ajuste. Caso o ite insecionado aresente u núero de não conforidades enor que L, o rocesso segue adiante. Assue-se que o liite inferior de controle seja zero. Coo o sistea de controle não é isento de erros, a classificação do ite insecionado ode aresentar dois tios de erros: u do tio β, u ite não confore é declarado confore e o outro do tioα, u ite confore é classificado coo não confore. Caso o rocesso seja julgado fora de controle, adite-se que ocorreu udança de estado e a rodução é interroida, o rocesso é ajustado e reiniciado sob o estado I. Não será considerado aqui o atraso (itens roduzidos entre o instante e que o ite é insecionado e o instante e que o rocesso é arado. O rocesso estando roduzindo sob o estado II só ode retornar ao estado I aós a ocorrência de u ajuste. Confore a descrição, o rocesso de inseção ode ser odelado coo ua cadeia de Markov estacionária considerando u conjunto de nove estados discretos E {0, 02,03,, 2,3, 2, 22,23}. A variável S, rieiro índice, indica o real estado do rocesso e que os itens que coõe o ciclo de inseção fora roduzidos. Quando S0, todos os itens (inclusive o insecionado fora roduzidos no estado I. Quando S 2, todos os itens (inclusive o insecionado fora roduzidos no estado II. Quando S, necessariaente ocorreu ua udança do estado I ara o estado II no ciclo considerado e elo enos o ite insecionado foi roduzido no estado II. A variável K, segundo índice, assue os valores, 2 ou 3: Se K decide-se or u ajuste reventivo e nenhu ite é insecionado; Se K2 decide-se or fazer u ajuste aós insecionar o -ésio ite e se K3 nenhu ajuste é realizado aós a inseção do ite. A atriz de transição P e ( aresenta as robabilidades de igração entre estes estados e ciclos subseqüentes de inseção. 0,; 0, 0,; 0,2 0,; 0,3 0,;, 0,;,2 0,;,3 0,; 2, 0,; 2,2 0,; 2,3 ( 0,2 ;( 0, ( 0,2; ( 0,2 ( 0,2 ;( 0,3 ( 0,2 ;, ( 0,2 ;,2 ( 0,2;,3 ( 0,2 ;( 2, ( 0,2; ( 2,2 ( 0,2 ;( 2,3 ( 0,3; ( 0, ( 0,3; ( 0,2 ( 0,3; ( 0,3 ( 0,3;, ( 0,3;,2 ( 0,3;,3 ( 0,3; ( 2, ( 0,3; ( 2,2 ( 0,3; ( 2,3 (,; ( 0, (,; ( 0,2 (,; ( 0,3 (,;, (,;,2 (,;,3 (,; ( 2, (,; ( 2,2 (,; ( 2,3 (,2; ( 0, (,2 ;( 0,2 (,2 ;( 0,3 (,2 ;, (,2 ;,2 (,2;,3 (,2 ;( 2, (,2; ( 2,2 ( P (,2 ;( 2,3 (,3; ( 0, (,3; ( 0,2 (,3; ( 0,3 (,3;, (,3;,2 (,3;,3 (,3; ( 2, (,3; ( 2,2 (,3; ( 2,3 ( 2,; ( 0, ( 2,; ( 0,2 ( 2,; ( 0,3 ( 2,;, ( 2,;,2 ( 2,;,3 ( 2,; ( 2, ( 2,; ( 2,2 ( 2,; ( 2,3 ( 2,2 ;( 0, ( 2,2 ;( 0,2 ( 2,2 ;( 0,3 ( 2,2 ;, ( 2,2;,2 ( 2,2 ;,3 ( 2,2; ( 2, ( 2,2 ;( 2,2 ( 2,2 ;( 2,3 ( 2,3; ( 0, ( 2,3; ( 0,2 ( 2,3; ( 0,3 ( 2,3;, ( 2,3;,2 ( 2,3;,3 ( 2,3; ( 2, ( 2,3; ( 2,2 ( 2,3; ( 2,3 ( s, k ;( s*, k* é u eleento da atriz de transição P que denota a robabilidade de transição do estado (s,k no teo i, ara o estado (s*,k* no teo ( i + ( itens são roduzidos nesse instante. Por exelo ( 0, ;( 0,3 é a robabilidade de que o rocesso esteja sob controle (S0 e nenhu ajuste seja realizado aós a inseção, no ciclo atual (K3; dado que o rocesso estava sob controle (S0 e u ajuste reventivo foi realizado se a inseção (K, no ciclo anterior. Considerando L coo o liite suerior de controle ara a variável C, e usando α coo a robabilidade de julgar o rocesso fora de controle quando ele está sob controle e β coo a robabilidade de julgar o rocesso sob controle quando ele não está, te-se: α P ( C L λ λ α P ( C > L λ λ (2 XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 683

4 P ( C λ λ β ( C > L λ λ β L 2 P (3 Vaos obter os eleentos da atriz P. A robabilidade (0,(0 denota que u ajuste reventivo foi decidido e todos os itens fora roduzidos no estado I dado que foi feito u ajuste reventivo e todos os itens roduzidos no estado I, no ciclo anterior. Assi π (0,(0 Para as robabilidades (0,(02 e (0,(03 e abos os casos todos os itens fora roduzidos no estado I e ua inseção foi realizada, sendo o rocesso declarado, fora de controle (u ajuste será efetuado e sob controle (a rodução continua, resectivaente; dado que u ajuste reventivo foi realizado e todos os itens roduzidos no estado I, no ciclo anterior. Dessa fora, π ( π α ( 0,(02 α e 0,(03 Do exosto acia, segue-se então as robabilidades abaixo que coleta a atriz de transição P e (4: (0,0 (02,0 (03,0 (,0 (2,0 (2,0 (22,0 ( π (0,02 (02,02 (03,02 (,02 (2,02 (2,02 (22,02 ( ( π α (0,03 (02,03 (03,03 (,03 (2,03 (2,03 (22,03 ( ( π ( α (0, (02, (03, (, (2, (2, (22, ( ( π (0,2 (02,2 (03,2 (,2 (2,2 (2,2 (22,2 ( ( π ( ( β (0,3 (02,3 (03,3 (,3 (2,3 (2,3 (22,3 ( π ( β (0,2 (0,22 (0,23 (02,2 (02,22 (02,23 (03,2 (03,22 (03,23 (,23 (2,2 (2,22 (2,23 (2,2 (2,22 (2,23 (22,2 (22,22 (22,23 0 (3,0 (3,02 (3,03 (3, (3,2 (3,3 0 (23,0 (23,02 (23,03 (23, (23,2 (23,3 0 (3,2 (23,2 (3,22 (23,22 ( ( β (3,23 (23,23 ( β 2 A atriz de transição P ode então ser escrita coo ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(,3 ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, 02 ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(,3 ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, 03 ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(,3 ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 2, ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(, P 2 ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(, ,3 ; 2,,3 ; 2,2,3 ; 2,3 2 ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(, ( 0, ;( 0, ( 0, ;( 0,2 ( 0, ;( 0,3 ( 0, ;(, ( 0, ;(,2 ( 0, ;(, (,3 ;( 2, (,3 ;( 2,2 (,3 ;( 2, (4 Coo a atriz P é ua atriz de ua cadeia regular (detalhes e Ross, 2003, então ( j existe o li P Y, e que todas as linhas da atriz Y são igual ao vetor linha j XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 684

5 . O vetor é u vetor de robabilidades ( i [ 20,,, ] 0 00 i no estado estacionário, co todos os valores i estritaente ositivos. Cada eleento de é interretado coo sendo a fração do núero de inseções que são realizadas e cada u dos estados da cadeia aós u núero suficienteente grande de inseções. Coo ( j+ j P P P e ( j+ j li j P li j P Y, então no liite a equação Y YP é verdadeira. Coo todas as linhas de Y são iguais à, a equação tabé é válida no liite, e ode ser escrita coo: P P I (5 0 e que I é a atriz identidade. Portanto, o vetor ode ser obtido a artir da resolução do sistea linear (5 co a restrição de que i. Resolvendo (5, os eleentos de são dados or: ( 0 (02 (03 ( (3(23 (0(0 ( (3(23 (0(0 ( (3(23 (0(02 ( (3(23 (0(0 ( (3(23 (0(03 ( (3(23 (0(0 ( (2 (3 i ( (3(23 (0( ( (3(23 (0(0 ( (3(23 (0(2 ( (3(23 (0(0 ( (3(23 (0(3 ( (3(23 (0(0 (2 (22 (23 (0(3 ( (3(23 (3(2 (0(3 (0(0 ( (3(23 (3(22 (0(3 (0(0 ( (3(23 (3(23 (0(0 3. Custo Médio do Sistea de Controle Considere os custos: i custo ara insecionar u ite roduzido; nc custo de enviar u ite não confore ara o ercado ou róxias etaas do rocesso; c custo de ajuste do rocesso; a s _ nc s _ c custo de eliinar u ite não confore; custo de eliinar u ite confore. Os coonentes c s _ nc e c s _ c são utilizados ara a eventualidade dos itens descartados sere subetidos a algu rocesso de rearoveitaento, no qual o custo de rearoveitaento de u ite confore ode diferir daquele não confore. Caso isso não seja ossível, basta estabelecer c s _ nc c s _ c, custo este que deve ser o custo unitário de rodução (desconsiderado o sistea de controle. O custo de cada estado (sk ode ser escrito coo V(sk δ (sk + γ (sk + η (sk + ω (sk e que: δ (sk, custo ara inseção; γ (sk, custo de enviar itens defeituosos ara o consuidor ou estágios osteriores do rocesso; η (sk, custo ara desfazer-se do ite insecionado e os ite roduzidos durante a aralisação do rocesso; XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 685

6 ω (sk, custo de ajuste do rocesso. A seguir estão detalhados todos estes custos. Para os estados (0, (02 e (03 sabe-se que todos os itens do ciclo fora roduzidos no estado I. Te-se que o núero eserado de itens não confores é ( [ P( C LE λ λ ], dos ( itens que são enviados ara o ercado. Na odelage abordada aqui, entende-se LE coo sendo u liite suerior de esecificação. Assi, γ γ P C LE λ λ [ ] ( 02 ( 03 0 γ c nc Para os estados (,(2 e (3 ua arte dos itens são roduzidos no estado I. Assi: i π π γ ( γ ( 2 γ ( 3 cnc ( i [ P( C LE λ λ ] + ( i [ P( C LE λ λ 2 ] i ( π Para os estados (2, (22 e (23, todos os itens do ciclo são roduzidos no estado II. Assi: γ ( 2 γ (22 γ (23 c nc ( [ P( C LE λ λ 2 ] { } Para os estados (0, ( e (2 nenhu ite será insecionado. Desse odo, η (0 ( η η (2 0 No estado (02, todos os itens do ciclo tabé são roduzidos no estado I e, o rocesso foi declarado fora de controle. Co isso, o custo de seu descarte é o reresentado or: η ( 02 c s _ c P ( L < C < LE P( C > ax( L, LE α + c s _ nc α E (03, o rocesso foi julgado sob controle, as existe a robabilidade de que esteja fora de controle. Portanto, P( C < in( L, LE P( LE < C < L η ( 03 cs _ c + cs _ nc α α Nos estados (2 e (22 todos os itens fora roduzidos no estado II e o rocesso foi considerado fora de controle, assi: η ( 2 η ( 22 c s _ c P ( L < C < LE P( C > ax( L, LE β + c s _ nc β Já ara os estados (3 e (23 o rocesso foi considerado sob controle. Assi: ( C < in( L, LE P( LE < C < L P η ( 3 η ( 23 cs _ c + cs _ β Co relação aos custos relacionados ao ajuste: nc β ω (0 ω ( ω (2 ω (02 ω (2 ω (22 c a ω (03 ω (3 ω (23 0 (não há ajuste do rocesso Quanto ao custo relacionado a inseção do rocesso, teos XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 686

7 δ (0 δ ( δ (2 0 δ (02 δ (03 δ (2 δ (3 δ (22 δ (23 ci Logo, o custo édio or ite roduzido e não descartado (e cada ciclo de inseção onde - itens são enviados ara o ercado ou ara os róxios estágios de rodução é dado or: 2 3 E( C [ ]. δ γ η ω (6 i 0 j Os valores ótios ara, e L serão obtidos or étodos nuéricos através da iniização de (6, ou seja, (,, L arg in [ E( C ] (7 4. Conclusões e Sugestões (,, L A artir da odelage baseada e ua cadeia de Markov ergótica a contribuição deste trabalho foi a de deterinar as exressões analíticas do rocediento de controle on-line ara o núero de não conforidades no ite insecionado incororando a ossibilidade de ajustes reventivos e corretivos, obtendo tabé a exressão do custo édio do rocediento de controle. Coo continuidade deste trabalho sugere-se ua análise de sensibilidade da função custo obtida e relação aos diversos arâetros envolvidos através da ileentação coutacional de u rograa no software R que erita a obtenção dos valores ótios ara, e L através da iniização de E(C. Agradecientos Os autores agradece ao CNPq elo aoio financeiro ao PPGMAE através do rojeto Casadinho. Referências Bibliográficas. Ho, L. L., & Quirino, R (2009. Effects of the reventive and corretive adjustents in econoical designs for on-line rocess control for attributes with isclassification. Engineering Otiization (to aear. Taguchi, G., Elsaed, E. A. & Hsiang, T. (989. Qualit Engineering in Production in Sstes. McGraw-Hill, New York. XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conheciento Pág. 687