Teoria Elementar da Fotodetecção 1

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1 Prof. Carlos R. Paiva Departaento de Engenharia Electrotécnica e de Coputadores Instituto Superior Técnico Março de 6

2 Teoria Eleentar da Fotodetecção. Introdução A fotodetecção é u dos processos fundaentais de u sistea de counicação óptica juntaente co a fotoeissão e a transissão (e controlo) tal coo se indica na Fig.. Fotoeissão Transissão & Controlo Fotodetecção Sistea de Counicação Óptica Figura Blocos fundaentais de u sistea de counicação óptica. Na fotoeissão u laser seicondutor converte ua corrente eléctrica odulada (portadora da inforação) nu sinal óptico (capo electroagnético radiado) que é captado por ua fibra óptica. Na transissão, o sinal óptico percorre a distância entre os pontos a ligar na counicação sendo aí aplificado (e.g., através de ua fibra aplificadora dopada co érbio), controlado (e.g., através da gestão da dispersão) e distribuído (e.g., através de ua rede óptica). Finalente, junto à recepção, o sinal óptico é convertido novaente nua corrente eléctrica através de u fotodetector. Neste capítulo analisa-se, de u ponto de vista eleentar e introdutório, a teoria da fotodetecção. Os fotões, cada u co ua energia E p = ω = hf, são aí convertidos e electrões designados, por isso, fotoelectrões que vão assi constituir ua corrente eléctrica. Nu laser a potência óptica eitida P( t ) relaciona-se co a intensidade óptica I ( t ) através da relação P( t) = I( t) σ ( ω) e que ( ) σ ω representa a secção eficaz de transição. Sendo φ () t a densidade do fluxo de fotões eitidos, te-se então I () t φ () t φ () t W () t σ ( ω) = i e onde i = E co W representa a taxa de transições induzidas (absorção e eissão p

3 Carlos R. Paiva estiulada). Note-se, co efeito, que [ P ] = W, [ I ] = W, [ ] [ φ] = s e [ ] s W i =. σ =, E p = J, () = I() t σ ( ω) () pφ() Wi () t () t = σ ( ω) P t () ( ω) () I t = E t P t = W t. () φ i Nu fotodetector é preferível falar no fluxo total de fotões ( t) Γ p = s, e vez da densidade do fluxo de fotões φ ( t) Γ que incide, e que p. Neste caso, te-se então p () t ( ) P t Γ =. () E p Note-se, poré, que u receptor óptico (digital) é ais do que u fotodetector: deve possuir, tabé, u aplificador, u filtro e u sistea de decisão. Este últio deve decidir se o sinal recebido corresponde a u bit ou a u bit e função de u liiar de decisão (threshold) previaente estabelecido. Nu fotodetector ordinário (fotodíodo PIN) o sinal óptico recebido ( t) convertido nu fluxo Γ () t de fotoelectrões, co e Γ é p () t () t ( ) P t Γ = η Γ + γ = η + γ. (3) e p d d E p Designou-se por η a eficiência quântica do fotodetector, i.e., o núero édio de fotoelectrões produzidos por cada fotão recebido. O tero γ d representa o fluxo (suposto constante) de electrões e corresponde à chaada corrente escura (dark current) i, i.e., à d corrente eléctrica devida à eissão espontânea de electrões quando não há sinal óptico recebido. O circuito equivalente de u fotodíodo ideal é pois o indicado na Fig.. Sendo q a carga do electrão, a corrente i() t gerada pelo sinal óptico será

4 Teoria Eleentar da Fotodetecção 3 η q i() t = qγ e() t = RP() t + id, R=, id = qγ d ω onde se designou por R a responsividade do fotodetector, co [ R] AW =. P( t ) i( t) Figura Circuito equivalente de u fotodíodo ideal.. Processo estocástico de Poisson e liite quântico da fotodetecção Ua variável aleatória x é ua regra que faz corresponder a cada resultado ζ de ua experiência S u núero x( ζ ): ζ x( ζ ). U processo estocástico x() t, por sua vez, é ua regra que faz corresponder a cada resultado ζ ua função x( t, ζ ) : ( t, ζ ) x( t, ζ ). Quer Γ () t quer Γ () t e (3) são processos estocásticos de Poisson. O núero p e édio de acontecientos (recepção de fotões ou produção de fotoelectrões) nu intervalo teporal t [ t, t T] + é dado por s s ts + T E{ ()} () N t = Γ t dt = (4) ts onde, Γ=Γ Γ. Co efeito, a probabilidade de se ter N( t) p e obedece à distribuição de Poisson (Apêndice A) = n nesse intervalo teporal Pr { N() t n} n e = =. (5) n!

5 4 Carlos R. Paiva Na Fig. 3 representa-se esta probabilidade, que se designa por P n, no caso concreto de se ter =. Vaos, agora, deterinar o chaado liite quântico da fotodetecção, i.e., o núero édio de fotões que u fotodetector deve receber para detectar u bit de inforação. Aditios que os bits e são equiprováveis e que não são transitidos quaisquer fotões para u bit. Assi, u erro na detecção corresponde a não sere recebidos quaisquer fotões quando u bit foi transitido. De acordo co (5), ve então Pe Pr{ () } = N t = = e. (6) Figura 3 Probabilidade Pn vs n de ua distribuição de Poisson, co =, dada por (5). Note-se que e (6) se considerou por se tratar da recepção do bit. Para ua probabilidade de erro P e 9 = (BER=bit-error rate), que corresponde a u erro coetido e 9 bits recebidos, resulta de (6) que ( ) = ln P e =.3. (7)

6 Teoria Eleentar da Fotodetecção 5 O liite quântico da fotodetecção corresponde, portanto, a u núero édio de χ = = fotões/bit (8) ua vez que χ = = ( ) (9) dado que = (não são recebidos quaisquer fotões para u bit ) e que os dois síbolos são equiprováveis. No caso de se considerar que >, é necessário estabelecer u liiar α de detecção: quando N Consequenteente, virá > α foi recebido u bit e quando N α foi rcebido u bit. Pe N N ( α) = Pr { > α } + Pr { α } n α n Pe ( α ) = e + e n! n!. () n= α + n= Poré, notando que n n α n = e = e n! n! n! n= n= α + n= é possível reduzir () a α ( ) ( e n e n Pe α = + ). () n! n= O valor de α deve ser tal que iniize a probabilidade de erro. Considerando a diferença

7 6 Carlos R. Paiva ( α) ( α ) P = P P e e e virá α α α! α! Pe = e e. () Então, ipondo P e =, obté-se de () α χ ln ln ln ln = = ( ) ( ) ( ) ( ) (3) e onde o liite quântico da fotodetecção χ é dado por (9). O liiar da detecção α deverá, deste odo, ser a parte inteira do núero real α obtido através de (3), ou seja α [ α ] =. (4) Assi, quando >, o liite quântico da fotodetecção deixa de ser dado por (8) e vai depender do valor considerado. Para cada valor de infere-se u novo valor de α obedecendo a (3) e (4) e, recorrendo a (), é então possível deterinar a nova probabilidade de erro. Na Fig. 4 representa-se o valor noralizado ( ) caso e que se considera = e para P BER e função de para o e BER = 9. O liite quântico é, nestas condições, consideravelente diferente de (8) onde se considerou =. Verifica-se, por exeplo, que se te de ter = 8.3 no gráfico da Fig. 4 por fora a garantir ua probabilidade de erro P e 9 =. O liite quântico da fotodetecção é, deste odo, χ = = ( ) = 36. fotões/bit (5)

8 Teoria Eleentar da Fotodetecção 7 o que representa u valor superior a três vezes o obtido e (8). Poré, é difícil a deterinação de α para u dado valor da probabilidade de erro P e, i.e., inverter a expressão (). Por essa razão é útil encontrar ua expressão aproxiada para Pe ( α ) que seja analiticaente ais fácil de usar do que (). Essa expressão aproxiada pode ser encontrada através dos liites de Chernoff ou, elhor ainda, dos liites de Chernoff corrigidos. Figura 4 Probabilidade de erro (noralizada a BER = 9 ) e função de e para =. 3. Liites de Chernoff corrigidos Usando os chaados liites de Chernoff corrigidos, ve α n Pr{ N α } = e < exp Θ (, α ), > α (6) n= n! πα α n α + Pr{ N α } = e < exp Θ (, α ), < α (7) n= α n! πα α + onde

9 8 Carlos R. Paiva (, α) α ln Θ = +. (8) α Nestas circunstâncias, a probabilidade de erro é P e ( α ) < exp Θ(, α ) πα α α + ( α ) + Θ + πα ( ) α + + exp, (9) de acordo co (). Exeplo Considereos ua fibra óptica operada co u débito binário (bit rate) B = Mb/s na portadora λ =.8µ. No fotodetector a potência óptica correspondente ao bit é = enquanto que, para o bit, se te 9 P 5 W =. Para ua 9 P W eficiência quântica η =.9 e ua corrente escura i d 9 =.5 A, calcular a probabilidade de erro P e usando os liites de Chernoff corrigidos. Solução Coeceos por calcular e. Te-se = b + d e = 5 b + d ua vez que P = 5P. O núero de fotoelectrões correspondentes a P para o período TB = B= ns será b PT B λpt B = η = η = 36.5 ω hc enquanto que o núero de electrões correspondentes à corrente escura é it d B d = = q

10 Teoria Eleentar da Fotodetecção 9 Infere-se, assi, que = 9.9 e = O liiar da fotodetecção é, neste caso, α = 93 de acordo co (3) e (4), ua vez que α = Usando a expressão () exacta obté-se o valor P e 7 =.3. Usando a expressão (9) correspondente aos liites de Chernoff corrigidos, ve P e 7 = Aproxiação gaussiana Para u detector co u liiar de decisão α e síbolos binários equiprováveis, a distribuição gaussiana corresponde a ua probabilidade de erro α Pe ( α ) = f( x) dx+ f( x) dx α () e que f ( x) x = exp π () x E x E f( x) = f, f( x) = f. () σ σ σ σ e onde E e E são os valores édios e σ e σ os desvios padrão da variável de decisão quando os síbolos e são transitidos, respectivaente. Notando que f ( x) = f ( x), te-se α ( ) = ( ) f x dx f x dx (3) α pelo que Pe ( α ) = f( x) dx+ f( x) dx α α. (4) Fazendo a undança de variável

11 Carlos R. Paiva x E s =, ds = dx (5) σ obté-se a b s a f ( x) dx= exp ds, b= π σ E. (6) Assi, definindo as funções Φ ( x) = x s exp π ds s Q( x) = Φ ( x) =Φ( x) = exp ds x π (7) é possível reescrever (4) na fora α E E α Pe ( α ) = Q + Q. (8) σ σ Atendendo a que π exp ( ax ) dx =, R ( a) > (9) a ve ainda Q ( ) =.5 e Q ( ) =. Logo ( ) Q x x = erf. (3)

12 Teoria Eleentar da Fotodetecção e que a função de erro erf ( x ) é dada por erf x t dt π. (3) ( ) = x exp( ) Na Fig. 5 apresenta-se os gráficos de Q( x ) e de erf ( x ) no intervalo [,3] x. Figura 5 Funções erf ( x ) e Q( x ). Para facilidade de cálculo é usual escolher u liiar de decisão α g que não é o valor óptio, dado por (3) e (4), as que perite igualar os dois arguentos e (8). Assi α g E E α σ E + σ E = α = σ σ σ σ g g +. (3) Então, definindo a relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio) E E ρ = σ σ (33)

13 Carlos R. Paiva resulta de (8) que Pe ( ) = Q ρ. (34) A aproxiação gaussiana consiste e utilizar coo razoável a distribuição gaussiana para reproduzir a distribuição de Poisson, de fora que ρ = = + (35) ua vez que, na distribuição de Poisson, σ = e σ = resulta de (3) que. Nestas circunstâncias, α g = = + +. (36) Finalente, ao substitui (36) e (34), obté-se a aproxiação gaussiana e ( ) P Q. (37) A função Q( x ) pode ser calculada por integração nuérica através de (3). No entanto, ao integrar por partes, te-se s x s π Q( x) = sexp ds= exp exp ds x s x x s. (38) Para x > 3 é razoável utilizar a seguinte aproxiação x Q( x) Q ( x) = exp x π (39)

14 Teoria Eleentar da Fotodetecção 3 de odo que, de acordo co (37), ve e ( ) P Q. (4) Na Fig. 6 representa-se graficaente o erro relativo coetido ao aproxiar Q( x ) através de Q ( x ): ε ( x) ( ) ( ) Q( x) Q x Q x =. (4) Figura 6 Cálculo do erro relativo ( x) Q ( x) Q( x) ε =. Exeplo Voltando ao exeplo nuérico tratado no Exeplo, tereos então = 9.9 e = Assi virá ρ = = 5.8 a que corresponde, utilizando (4), ua probabilidade de erro de P e 7.3. Se se utilizar (37), virá P e Recorde-se que o valor calculado através da distribuição de Poisson no Exeplo foi de P e 7 =.3 ; utilizando os liites de Chernoff corrigidos obteve-se 7 P e =.54.

15 4 Carlos R. Paiva O liite quântico da fotodetecção, correspondente a ua probabilidade de erro P e 9 =, pode agora ser facilente calculado através da aproxiação gaussiana, i.e., utilizando (37). Co efeito, para essa probabilidade de erro, infere-se de (37) que deve ser ρ = Mas então, de χ = ( ) resulta finalente ( ρ ) ρ χ = + (4) de acordo co (35). Na Fig. 7 representa-se χ, o núero de fotões por cada bit, e função do ruído de fundo para u BER = 9. Figura 7 Liite quântico da fotodetecção χ na aproxiação gaussiana, dado por (4), e função do ruído de fundo. O valor obtido para = está nitidaente acia do valor exacto dado por (8), i.e., de fotões/bit.

16 Teoria Eleentar da Fotodetecção 5 Apêndice A Distribuição de Poisson Considereos o caso da detecção de fotões no intervalo t [ t, t T] +. Aditireos que se trata de u processo estocástico estacionário: o núero de fotões detectado não depende da escolha do instante inicial t s. Sendo o valor édio de fotões, dado pela Eq. (4), deverá terse s s = pt (A) onde p é a taxa édia de detecção de fotões. { } Para coodidade de notação designareos doravante a probabilidade Pr N() t = n de detecção de n fotões no intervalo [ tt, + T] por (, ) é estacionário, não existe a necessidade de escrever P( n,, t t T) P n T. Co efeito, dado que o processo +. Quando n = não são, portanto, detectados quaisquer fotões no intervalo considerado. Qual será então a probabilidade de ter n = no intervalo de duração T + δt? Será, de acordo co a notação adoptada, P(, T δt) +. Mas esta probabilidade é a probabilidade conjunta de não detectar fotões no intervalo de duração T be coo no pequeno intervalo subsequente de duração δ T. Ter-se-à, consequenteente, (, δ ) (, ) (, δ ) P T + T = P T P T. (A) Acontece, poré, que a probabilidade de detectar u fotão no intervalo δ T é pδ T. Podeos, eso, considerar desprezável a probabilidade de detectar ais do que u fotão nesse pequeno intervalo. Mas então, ( δ ) P, T = pδt. (A3) Logo, das Eqs. (A) e (A3), obté-se (, + δ ) (, ) P T T P T δt (, T) = p P. (A4)

17 6 Carlos R. Paiva No liite δt, ve dp (, T) dt (, ) (, ) exp( ) = pp T P T = pt (A5) ua vez que deverá ser, coo é óbvio, P (,) =. Considereos, agora, o caso n. Neste caso, coo ou não são detectados fotões no intervalo δ T ou apenas u fotão é detectado (ua vez que se despreza a possibilidade de detectar ais do que apenas u fotão nesse intervalo eleentar), é possível escrever (, + δ ) = (, ) (, δ ) + (, ) (, δ ) P n T T P n T P T P n T P T (, ) (, )( ) (, ) P n T + δt = P n T pδt + P n T pδt donde se infere que, no liite δt e para n, (, ) dp n T dt (, ) (, ) = p P n T + pp n T. (A6) Para resolver a Eq. (A6) vai-se aditir tal coo esta esa equação sugere que se te P( n, T) u( T) v( T) =. Pelo que (, ) dp n T dv du = ut ( ) + vt ( ). (A7) dt dt dt Logo, atendendo às Eqs. (A6) e (A7), ve dv du ut vt put vt ppn T dt dt ( ) + ( ) = ( ) ( ) + (, ) dv = pvt ( ) vt ( ) = v exp ( pt). (A8) dt

18 Teoria Eleentar da Fotodetecção 7 Mas então, tira-se que du du p P n T v T v pt dt dt (, ) = ( ) = exp ( ) T du p p = exp( pt) P( n, T) u( T) = P( n, s) exp( ps) ds dt v v. (A9) Portanto, das Eqs. (A8) e (A9), resulta finalente que (para n ) T P n, T pexp pt P n, s exp ps ds ( ) = ( ) ( ) ( ). (A) Esta equação perite deterinar P( n, T ) a partir de P( n, T) para n. O caso n = foi estabelecido anteriorente através da Eq. (A5). Assi, obté-se sucessivaente (, ) = exp ( ) P T pt (, ) = ( ) exp ( ) P T pt pt ( ) ( pt ) ( ) P, T = exp pt! ( ) ( pt ) 3 ( ) P 3, T = exp pt 3! ou, no caso geral, ( pt ) n P( n, T) = exp( pt). (A) n! O valor áxio de P( n, T ) ocorre para pt = n. Co efeito, fazendo x = pt, ve ( ) x dp n, T e n = x ( x n) = x= n. dx n!

19 8 Carlos R. Paiva Na Fig. A representa-se a probabilidade P( n, T ) e função da variável x = pt para vários valores de n. Para valores elevados de n a distribuição de Poisson aproxia-se de ua distribuição gaussiana centrada e pt = n co u desvio padrão de n. Figura A Distribuição de Poisson: probabilidade de detectar n fotões no intervalo de tepo T para ua taxa édia de p fotões por segundo de acordo co (A), i.e., supondo que u fotão é detectado no intervalo (e segundos) p. por fi que Recordando a Eq. (A) be coo o significado de P( n, T ) neste apêndice, infere-se Pr { N() t n} n e = = (A) n! que é precisaente a Eq. (5). por definição, A Eq. (A6) pode ainda ser utilizada na deterinação do valor édio n. Co efeito,

20 Teoria Eleentar da Fotodetecção 9 n n= (, ) = np n T. (A3) Logo, de acordo co a Eq. (A6), ve por derivação d n dt (, ) dp n T = n = n pp nt + pp n T dt n= n= (, ) (, ) d n dt (, ) ( ) (, ) = p np n T + p n+ P n T n= n= d n = p n + p n+ = p n + p( n + ) = p. dt Assi, integrando este resultado, infere-se que n = pt. (A4) Esta últia equação está de acordo co o nosso ponto de partida, i.e., co a Eq. (A). Este eso resultado tabé se poderia obter substituindo a Eq. (A) na Eq. (A3) e derivando a conhecida relação n= x n = e x co x resultado = pt. Usando u raciocínio seelhante, viria tabé através da Eq. (A6) o seguinte d dt ( ) n n = p n = p T. (A5) Novaente, integrando esta equação, obté-se

21 Carlos R. Paiva ( ) ( ) n n = pt n = pt + pt n n pt n = =. (A6) Note-se, para terinar, que ( n n ) = n n n + n = n n ( n n ) = pt. (A7)

22 Teoria Eleentar da Fotodetecção c = s k B 8 =.38658() JK = (63) Js q = (49) C John Edward Carroll, Rate Equations in Seiconductor Electronics, Cabridge University Press, Cabridge, 985 Göran Einarsson, Principles of Lightwave Technology, Wiley, Chichester, UK, 996 Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices, Wiley, New York, 995 Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Counication Systes, Wiley, New York, 3rd ed., Athanasios Papoulis, Probability, Rando Variables, and Stochastic Processes, McGraw- Hill, New York, 3rd ed., 99 Sheldon Ross, A First Course in Probability, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 5th ed., 998 Alan Jeffrey, Handbook of Matheatical Forulas and Integrals, Acadeic Press, San Diego, California, 995