Num meio homogéneo e isotrópico o potencial vector satisfaz a equação de onda (com, sendo n o índice de refracção do meio e k0 = ω c= 2π λ )

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1 Prof. Carlos R. Paiva Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Instituto Superior Técnico Abril de 8

2 Feixes Ópticos 1 1. Feixes gaussianos Num meio homogéneo e isotrópico o potencial vector satisfaz a equação de onda (com k = nk, sendo n o índice de refracção do meio e k = ω c= π λ ) equação de Helmholtz + k = A A. (1) Em coordenadas cilíndricas ( r,, z) φ e considerando simetria azimutal, vem 1 = t + = + + z r r r z. () Consideremos, então, um pontencial vector da forma ( rz, ) = ˆ Ψ( rz, ) exp( ikz) A a (3) onde â é um vector unitário pertencente ao plano ( x, y ). Nestas circunstâncias, obtém-se A ik k A ( r z). (4) z z z =, + De (1)-(4) infere-se então que Ψ Ψ equação das ondas t Ψ+ + ik = z z. (5) Para uma variação espacial lenta, tal que Ψ Ψ para z = λ, deverá ter-se k Ψ Ψ z = Ψ λ Ψ Ψ Ψ = Ψ z z z λ π

3 Carlos R. Paiva Ψ z k Ψ. (6) Analogamente Ψ 1 Ψ k Ψ Ψ Ψ = k z z z z z. (7) λ π Podemos portanto inferir de (5) a chamada equação paraxial Ψ Ψ+ ik = z equação paraxial das ondas t. (8) Vamos, nesta secção, considerar a seguinte solução (ou «ansatz») de (8): k «ansatz» Ψ ( rz, ) = exp i Pz + r q( z). (9) Note-se que se considera, aqui, uma solução particular; outras soluções poderão existir. Tratase, para já, de saber quais as equações que caracterizam as funções P( z ) e q( z ) que são, por enquanto, desconhecidas. Notando que Ψ kr 1 = i P + Ψ z q 1 Ψ k = i Ψ r r q ( r, z) k r k r q q Ψ i, = + Ψ ( r, z) ( r z) resulta de (8)

4 Feixes Ópticos 3 k 1 k k r + i P =. q q q Ora, como esta equação deve ser válida qualquer que seja o valor da distância r, deverá impor-se 1 P = i q 1 1. (1) + = q q Façamos agora, por definição, 1 1 du du u = =. (11) q u dz dz q Logo, da segunda equação de (1), vem d u dz = u z = az+ b b 1 1 q = q = = q z = z+ q a q z z+ q. (1) Mas então, introduzindo este resultado na primeira equação de (1), tira-se que 1 P ( z) = i z + q z P( z) = iln 1+ q P =. (13) Agora, substituindo (1) e (13) em (9), obtém-se

5 4 Carlos R. Paiva rz, q exp i k r. (14) Ψ = q + z ( z+ q) Em particular virá k Ψ ( r,) = exp i r. (15) q Porém, deverá observar-se a seguinte restrição ( r ) lim Ψ, =. r Esta restrição só se verifica desde que tendo-se então q = iz, z > q( z) = z iz ( r ) k r r z w perfil gaussiano Ψ, = exp = exp (16) onde se introduziu, para o parâmetro dito confocal z, parâmetro confocal kw z =. (17) Infere-se, deste modo, que é possível reescrever (14) na forma alternativa kr i q( z) q feixe gaussiano Ψ ( xyz,, ) = exp q z. (18)

6 Feixes Ópticos 5 Notando que q 1 1 = = exp i tan z q z 1+ i z z 1+ z 1 z z e definindo w z = w 1+ z z R z = z 1 + z z (19) virá z 1+ i = = = z q( z) z i z z z z 1 i z 1+ z z 1 1 = + i. () q z R z kw z Podemos, portanto, escrever (18) na forma mais explícita w r rz i ( rz) w( z) w ( z ) feixe gaussiano Ψ, = exp exp Φ, (1) em que

7 6 Carlos R. Paiva kr Φ = δ ( rz, ) ( z) R z z 1 = tan z δ ( z). () A fase de Ψ ( x, yz, ) é Φ ( rz, ); a fase de ( rz, ) dada por A, por seu turno, é de acordo com (3) kr ϕ( rz, ) = kz+φ ( rz, ) = kz+ δ ( z). (3) R z No eixo do feixe, tem-se δ r = ϕ, z = kz z (4) que corresponde a duas contribuições distintas: (i) o termo kz é a fase de uma onda plana; (ii) o termo δ ( z), dado pela segunda equação de (), corresponde a um desvio de fase em relação quer a uma onda plana quer a uma onda cujo raio variável é R ( z ) dado pela segunda equação de (19). A constante efectiva de propagação longitudinal k eff é tal que 1 ( ς) ς ϕ(, ) δ tan z z k eff d = z = kz z = kz z. (5) Como d 1 x a tan dx = a x + a

8 Feixes Ópticos 7 infere-se que constante efectiva de propagação longitudinal dδ ω z ω k ( z) = k = n < n dz c z z c eff + (6) tendo-se w k keff z = w. (7) ( z) Em particular, para z =, obtém-se z = k = k. (8) eff kw Interpretação física: O resultado expresso em (8) tem uma explicação física interessante. Admitindo, com efeito, que os valores típicos de k x e k y são dados por k x = k y w infere-se que k x + ky kx + ky + kz = k kz = k = k. k kw de acordo com o valor efectivo dado por (8). Isto significa que é possível definir uma velocidade de fase (efectiva) tal que

9 8 Carlos R. Paiva v p ( z) 1 1 ω ω c = = 1 1 = keff ( z) k w ( z) k k w ( z) n c = n 1 vp z k w z. (9) A intensidade óptica I ( rz, ) é proporcional a Ψ ( rz, ), i.e., tem-se w r intensidade óptica do I( r, z) = I exp feixe gaussiano w( z) w ( z). (3) Na Fig. 1 representa-se graficamente a intensidade óptica normalizada I I em função de rw para diferentes valores de zz. Na Fig., por outro lado, representa-se graficamente I I em função de zz ao longo do eixo óptico do feixe (i.e., para r = ). Note-se que a potência óptica total do feixe gaussiano é finita (ao contrário de uma onda plana) e dada por (como não há perdas, esta potência é independente do plano transversal z onde é calculada e, portanto, pode ser calculada no plano z = para facilitar os cálculos) π (, ) φ π (, ) P = I r z rdr d = I r z rdr r 1 r π w w P = π I exp r dr = I w exp potência óptica do I P feixe gaussiano ( π w ) =. (31) Esta última expressão mostra que a potência total do feixe é igual ao produto de metade da intensidade óptica máxima pela área (efectiva) do feixe entendida esta última como A w = π.

10 Feixes Ópticos 9 Figura 1 Intensidade óptica normalizada I I em função da distância radial (também normalizada) r w para três valores diferentes da distância axial: (i) z = ; (ii) z = z ; (iii) z = z. Figura Intensidade óptica normalizada I I em função da distância axial (também normalizada) z z ao longo do eixo óptico do feixe, i.e., para r =.

11 1 Carlos R. Paiva A largura do feixe é caracterizada pela função w( z ), tal como se ilustra na Fig. 3. Para z = esta largura assume o seu valor mínimo w que se designa por cintura do feixe e que caracteriza, como se viu, a sua área efectiva. O efeito da difracção (ou dispersão) espacial é, assim, caracterizado pelo alargamento de w( z) w tal como se indica na Fig. 3. Note-se que, de acordo com a primeira equação de (19), um feixe gaussiano de cintura w apresenta uma divergência espacial que está assimptoticamente contida num cone cujo ângulo θ é tal que w w z z w z z tanθ = = z z kw cone w λ = + = z nπ w r z x y z λ λ 1 θ = tan nπ w nπ w. (3) Na Fig. 4 representa-se a desfasagem δ ( z) introduzida na segunda equação de (). A função R( z ), que se representa graficamente na Fig. 5, caracteriza o raio de curvatura da frente de onda do feixe gaussiano. Com efeito, as superfícies de fase constante satisfazem a equação (com q inteiro) ϕ ( rz), = π q, ou seja, r superfícies de fase constante k z+ δ ( z) = π q. R( z) Como as funções R( z ) e ( z) δ variam lentamente com z, podemos considerar que elas são aproximadamente constantes nas superfícies de fase constante. Assim, como k = nk e k = π λ, as superfícies de fase constante são superfícies de um parabolóide

12 Feixes Ópticos 11 superfície de um parabolóide r λ δ z+ = c c= q+ de raio de curvatura R R n π (33) tal como se indica na Fig. 6 para diferentes valores de R e admitindo que δ não varia. Figura 3 Largura normalizada w( z) w do feixe gaussiano em função da distância axial normalizada zz. Para z =± z a largura reduz-se ao seu valor mínimo a cintura w= w. Note-se que, para uma onda esférica, se tem x + y r r z z z r z R= x + y + z = z 1+ = z 1+ z+ 1 1 k onda esférica exp exp exp R R R ( ikr) i r ( ikz). (34) Ao comparar a fase da onda esférica em (34) com (3) entende-se melhor o significado de R ( z ) num feixe gaussiano.

13 1 Carlos R. Paiva Figura 4 Desfasagem δ ( z) em função da distância axial normalizada zz. Figura 5 Raio de curvatura normalizado R ( z) z das frentes de onda de um feixe gaussiano em função da distância axial normalizada zz.

14 Feixes Ópticos 13 Figura 6 Superfície de um parabolóide caracterizado por (33) para diferentes valores da curvatura R e considerando fixo o valor de c. Exemplo numérico: A saída de uma cavidade laser é um feixe gaussiano. Considerando um feixe gaussiano com uma cintura w = 1mm, para um comprimento de onda λ = 1.6 µ m, infere-se que o parâmetro confocal é z = 3m. Para uma distância z = 1 m, tem-se w( z ) = 3.5 mm, 1.9 m R z = e um ângulo de divergência espacial θ =..

15 14 Carlos R. Paiva. Difracção de Fresnel Em (1) a constante de propagação longitudinal k é tal que π n kx + ky + kz = k = n k = λ. (35) A solução geral da equação de onda (1), fazendo ( x, yz, ) = ˆ u( xyz,, ) A a (36) em vez de (3), é dada pelo feixe óptico feixe óptico (,, ) ( x, y) exp ( k r ) x y (37) u x y z = U k k i dk dk em que k r = kx+ ky+ kz. (38) x y z Como sempre omite-se, estando contudo subentendida, a variação temporal com exp( iω t). Nota: Não é por acaso que, em (36), u( x, y, z ) se refere ao potencial vector A e não, por exemplo, ao campo eléctrico. Podemos, portanto, colocar a seguinte questão: seria possível escrever, em vez de (36), ( x, yz, ) = ˆ u( xyz,, ) E a? A resposta é: em geral, não. Porque, num meio homogéneo e isotrópico, se tem E = e daí que, no caso geral, deveria ser ( u) aˆ = a ˆ u = o que não é verdade. No caso do potencial vector é possível considerar, por outro lado, que A. É essa a razão para a escolha do potencial vector em (36). Assim, de acordo com (35), podemos ainda escrever (37) na forma alternativa

16 Feixes Ópticos 15 ζ = ˆ (,, ) = (, ) exp( ζ ) k r u x y z U k k ink dk dk. (39) x y x y Nota importante: De acordo com (35) não é necessária a integração em k z na equação (37). Com efeito, tem-se k x + ky kz = k ( kx + ky) = k 1. (4) k Isto significa que, com base em (35), k z fica determinado desde que se conheçam k x, k y e k. O caso em que se quer, apenas, conhecer o perfil do feixe óptico no plano z = resulta então imediatamente de (37): fazendo u ( x y) u( x y ), =,,, vem ( x y) ( x y ) x y. (41) z = u x, y = U k, k exp i k x+ k y dk dk Note-se que esta última equação tem a forma de um integral bi-dimensional de Fourier. A sua transformada inversa será dada por amplitude 1 U( kx, ky) = u x, y exp i kxx+ kyy dxdy espectral Só no caso particular em que ( x, y) ( π ).(4) U k k = U é que resulta de (39) a solução especial onda plana e monocromática (,, ) exp exp u x y z = U ik r = U ink ζ (43) que tem associada uma energia infinita daí que a sua existência física individual não seja possível; um feixe óptico, por outro lado, é fisicamente realizável de acordo com (31). Consideremos, agora, o caso em que

17 16 Carlos R. Paiva u ( x, y) 1, x a e y b =. (44), x > a ou y > b De acordo com (4) vem, para este caso, ( ka) a sin x Ua( kx) = π ka x U ( kx, ky) = Ua( kx) Ub( ky) b sin Ub( ky) = π kb y ( kb y ). (45) Na Fig. 7 representa-se graficamente / π Ub( ky)/ b tem um andamento semelhante. π Ua kx a em função de x kaπ ; a função Figura 7 Transformada de Fourier (normalizada) / π Ua kx a em função de x kaπ. A envolvente assinalada corresponde à função 1 ka. x Notemos que: (i) para k x > π a a amplitude espectral U ( k ) pode ser considerada a x desprezável; (ii) a constante de propagação é kz k para k k + k. Então, de acordo com x y

18 Feixes Ópticos 17 a Fig. 8, uma estimativa razoável para o ângulo de divergência espacial deste feixe óptico será dada por kx π λ tanθx = θx (46) k ka nπ a z tendo-se, analogamente, λ θ y. (47) nπ b θ x k x π a k k = nk z Figura 8 Estimativa da divergência espacial de um feixe óptico segundo o eixo transversal x. Considera-se a situação descrita em (44)-(47). Considerações análogas poderiam ser feitas para a divergência espacial segundo o outro eixo transversal, i.e., o eixo y. A solução apresentada na equação (37) pode ser reescrita na forma (,, ) = ( x, y) exp ( x + y ) exp( z ) x y. (48) u x y z U k k i k x k y ik z dk dk

19 18 Carlos R. Paiva Comentário: Note-se, assim, que é possível determinar u( x, y, z ) para z > a partir de u ( x, y ). Basta começar por calcular a amplitude espectral ( x, y) U k k a partir de (4) e, de seguida, calcular o integral em (48) tendo (4) em consideração. Este cálculo, porém, é pelo menos do ponto de vista analítico em geral complicado. Para um feixe óptico paraxial, em que se pode considerar que ( x, y) significativos para k, k k, podemos aproximar a expressão (4) por x y U k k só assume valores aproximação k + k k + k k + k kz = k 1 k 1 = k paraxial k k k x y x y x y. (49) No âmbito desta aproximação é possível reformular (48) como segue u( x, y, z) =Ψ( x, y, z) exp( ikz) kx + k y Ψ ( x, y, z) = U ( k, k ) exp i z exp i( k x k y) dk dk + k x y x y x y (5) de modo que, se se introduzir a função de transferência ( kx, ky; z) [ tal que U k k z k k z U k k kx + k y [ ( kx, ky; z) = exp i z k ( x, y; ) = [ ( x, y; ) ( x, y) (51) vem ainda ( x, yz, ) U( kx, ky; z) exp ikx ( x ky y) dkdk x y. (5) Ψ = +

20 Feixes Ópticos 19 Em síntese: Para calcular, na aproximação paraxial, ( x, yz, ) Ψ ( x, y) = u( x, y) basta começar por calcular ( x, y) seguidamente, ( x, y; ) consideração a equação (5). Ψ a partir de U k k usando (4); calcular, U k k z de acordo com (51); aplicar, finalmente, (5) tendo em (, ) =Ψ (, ) (, ) (, ; ) Ψ(,, ) (,, ) u xy xy U k k U k k z xyz uxyz x y x y Substituindo (4) em (5), tendo ainda em consideração as equações (51), obtém-se então Ψ 1 x, yz, = Ψ x, y J xx,, z J yy,, z dxdy ( π ) 1 (53) onde se introduziram as funções kx J1( x, x, z) = exp i z exp ikx( x x) dk x k k y J( y, y, z) = exp i z exp iky( y y) dk k y. Estas funções podem ser calculadas com base no integral π b exp ( ax bx) dx exp + = a 4 a. (54) Vem então ( x ) k π k x J1( x, x, z) = exp i iz z. (55) k π k( y y ) J( y, y, z) = exp i iz z

21 Carlos R. Paiva Logo, substituindo estas expressões em (53), obtém-se o integral de Fresnel Integral de difracção de Fresnel: i k Ψ ( x, yz, ) = ( x, y) exp i ( x x) ( y y) dxdy λ z Ψ + z. (56) Este integral de difracção permite calcular ( x, yz, ) distribuição ( x y) Ψ sobre o plano, Ψ a partir do conhecimento da z =. O feixe óptico total (,, ) u x y z pode então ser calculado usando a primeira equação de (5). A resposta impulsiva h( x, y, z ) (ou o kernel de Fresnel) para ( x y) δ ( x) δ ( y) Ψ = (57), é dada por i k kernel de Fresnel h x, y, z = exp i x y λ z + z. (58) Note-se que, deste modo, o integral de difracção de Fresnel pode ser escrito como a convolução de h( x, y, z ) com ( x y) Ψ :, ( x yz) hxyz ( xy) convolução Ψ,, =,, Ψ,. (59) Consideremos agora, como exemplo de aplicação, a distribuição x perfil gaussiano Ψ ( xy, ) = exp + y w. (6)

22 Feixes Ópticos 1 Note-se que, neste caso, resulta de (4) que kw x Ua( kx) = π w exp U ( kx, ky) = Ua( kx) Ub( ky) ky w Ub( ky) = π w exp (61) onde se recorreu, mais uma vez, a (54). Considerando que, para k, k > w, a amplitude U k k é desprezável, infere-se que uma estimativa razoável do ângulo θ de espectral ( x, y) divergência espacial é dada por x y k k λ tanθ = = θ (6) x y kz kz kw nπ w o que está de acordo com o resultado (3) obtido anteriormente através de um método diferente. Após substituir o perfil (6) em (56), obtém-se i Ψ ( x, yz, ) = Ja( xz, ) Jb( yz, ) (63) λ z em que x k Ja ( x, z) = exp exp i ( x x) dx w z. y k Jb ( x, z) = exp exp i ( y y) dy w z Notando que x x = x + x xx y y = y + y y y

23 Carlos R. Paiva infere-se kx 1 k kxx Ja ( x, z) = exp i exp i x exp i dx z + w z z ky 1 k kyy Jb ( y, z) = exp i exp i y exp i dy z + w z z. (64) Este integrais podem, novamente, ser calculados através de (54). Atendendo a que π z kx z kx Ja ( x, z) = w exp exp i q( z) z q( z) z π z ky z ky Jb ( y, z) = w exp exp i q( z) z q( z) z resulta então de (63) que kr i q( z) q feixe gaussiano Ψ ( xyz,, ) = exp q z. (65) Esta equação coincide com o resultado obtido previamente a equação (18) usando um método completamente diferente. Conclusão: O integral da difracção de Fresnel permite determinar a evolução espacial de um feixe óptico paraxial como o feixe gaussiano. A evolução espacial de um feixe gaussiano tinha sido obtida anteriormente por um método alternativo baseado na resolução da equação paraxial de onda supondo, como solução particular, o «ansatz» (9).

24 Feixes Ópticos 3 Bibliografia Básica Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ: Wiley, nd ed., 7 (Chapter 3: pp ). Bibliografia Complementar Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 7 (Chapter : pp ). Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice- Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp ). Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986 (Chapters 14-3: pp ). Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988 (Chapter 14: pp ).