LINHAS DE TRANSMISSÃO

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1 INHAS DE TRANSMISSÃO Propagação e Antenas IST - 15 PROF CAROS R PAIVA DEEC Área Científica de Telecomunicações

2 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 INHAS DE TRANSMISSÃO NOTA PRÉVIA Este é o único capítulo desta UC em que se usa a convenção temporal exp j t exp i t Do em ve da que é utiliada em todos os restantes capítulos a saber: ponto de vista prático existe uma correspondência muito simples: j i complexo é representado aqui por a jb e corresponde a Assim um número a a j b exp j cos j sin b cos sin tendo-se exp exp a jb a jb a b j j e ainda a j b j Note-se que uma onda progressiva da forma exp j k exp j jk exp j t exp exp j j j exp j que se propaga no sentido positivo do eixo corresponde na outra notação a exp i k exp i ik expi t exp exp i i i exp i Uma linha de transmissão é um exemplo de um circuito de parâmetros distribuídos o contrário portanto de um circuito de parâmetros concentrados A principal diferença é a seguinte: num circuito de parâmetros distribuídos cada elemento é muito pequeno em comparação com o comprimento de onda de trabalho Assim uma primeira consequência fundamental é que os parâmetros PROF CAROS R PAIVA 1

3 INHAS DE TRANSMISSÃO IST R resistência por unidade de comprimento m 1 coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento H m 1 G condutância por unidade de comprimento S m C capacidade por unidade de comprimento F m 1 são definidos por unidade de comprimento O modelo básico deste quadripolo de parâmetros distribuídos a nossa linha de transmissão é o que se representa na figura seguinte Podemos todavia definir tensão (transversal) e corrente (longitudinal) Para regime forçado alternado sinusoidal em que exp exp V t V j t I t I j t as leis das malhas e dos nós permitem escrever I t V t R I t V t t V t I t G V t C I t t No domínio da frequência a linha de transmissão pode ser representada pela figura da página seguinte Tem-se V R j I V I G j C V I PROF CAROS R PAIVA

4 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 Introduindo a impedância longitudinal e a admitância transversal Y tais que t t R j Y G j C vem então V I V I Yt V I Quando de fa tem-se V t V t V t I t I t I t lim lim pelo que V t I t R I t t I t V t G V t C t No domínio da frequência vem dv d d I d Y I V PROF CAROS R PAIVA 3

5 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 em que R j Y G jc Note-se que Y lim Y lim t Daqui resulta que Y V d d d Y Y I d d d d V d I d V d I dv d I ou seja d V d d I d V I onde se introduiu Y R j G j C Estas equações admitem as seguintes soluções: V Ae Be I Ce De Em geral e escreve-se j onde é a constante de atenuação e constante de propagação é dada por k j j a constante de fase A No caso geral existem perdas longitudinais nos condutores (traduidas pelo coeficiente R ) e perdas transversais nos dieléctricos (traduidas pelo coeficiente G ) Tem-se a b a b 4 4 cos 1 atan ba sin PROF CAROS R PAIVA 4

6 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 onde se introduiram R G a C 1 C R G b C C A função atan ba é tal que 1 b tan a a 1 b tan a & b a b a a & b a & b atan ba 1 tan a & b não sendo definida para a e b Nesta definição 1 b tan a A função atan ba encontra-se definida em MATAB tendo-se atan Em linhas sem perdas ou em hiperfrequências em que R considerar e ainda e G C é possível j j C As soluções V Ae Be I Ce De têm um significado preciso quando a linha de transmissão se encontra terminada em por uma impedância de carga R j tal como se indica na figura anexa da página seguinte Neste caso tem-se V Vi e Vr e I Ii e Ir e PROF CAROS R PAIVA 5

7 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 uma ve que (o índice i significa incidente e o índice r significa reflectida ) Vi Vi e Vi V Vr Vr e Vr V Ii Ii e Ii I Ir Ir e Ir Ir i r i Assim infere-se que dv d d I d Vi e Vr e I Ii e Ir e Ii e Ir e Y V Y Vi e Vr e Y Vi Ii Y Vr I Y Y r i Y I Y Y Y Vi Ir Y Y Y Vr Y PROF CAROS R PAIVA 6

8 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 ogo definindo a impedância característica da linha como sendo tal que V V R j I I Y G jc i i i i tira-se que V Vi e Vr e 1 I V e V e i r Note-se que no caso geral se tem R j A figura seguinte porém mostra que tem de ser sempre R Define-se ainda o coeficiente de reflexão na carga tal que i i V V e e V e 1 e Vr Vi V i V i I e e e 1 e Notando que V I V V 1 1 i i vem ainda 1 1 PROF CAROS R PAIVA 7

9 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 j e arg No caso geral com perdas é possível obter 1 Considere-se o seguinte exemplo: j 1 j 1 1 R j R R Note-se que o factor de reflexão característica R j pode ser considerado uma ve fixada a impedância R j : da linha como uma função de : : Nestas condições a função tem uma singularidade em ie R R Porém do ponto de vista físico é sempre R ogo o máximo valor de ocorre para o valor mínimo de R ou seja: R max Ora no caso geral tem-se R j R j R R j R j R j R R j R R R R Assim atendendo a que R obtém-se R max max R Coloca-se agora uma nova questão: qual é o valor da reactância expressão? Vejamos que maximia a anterior PROF CAROS R PAIVA 8

10 INHAS DE TRANSMISSÃO IST max Daí que a maximiação de max corresponda à solução sgn sgn max Donde max 1 R 1 R Finalmente dado que é sempre R infere-se que deverá ter-se max R 1 R R 1 1 max 1 R 1 1 R R A figura anexa ilustra a variação de max max para R 5 no intervalo R Para (linha sem perdas) vem max 1 PROF CAROS R PAIVA 9

11 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 Na ausência de perdas (ou aproximadamente em hiperfrequências) tem-se j R C R R e neste caso é sempre 1 No caso geral define-se o coeficiente de reflexão a carga como V r e Vr num ponto no sentido do gerador para Numa linha sem perdas pois j j e e Obviamente que para a carga é dada por Analogamente a impedância num ponto no sentido do gerador V I 1 1 Portanto PROF CAROS R PAIVA 1

12 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 e e e e e e e e e atendendo a que sinh e e sinh tanh cosh e e cosh vem sinh sinh e e cosh e e cosh tanh tanh A impedância de entrada da linha é dada por tanh in tanh No caso sem perdas obtém-se j j tanh tanh tan j tan in j tan Numa linha de quarto-de-onda em que se tem indeterminação obtém-se g in 4 é tan e após levantar a Assim numa linha (ou transformador) de quarto-de-onda se se pretender in A deverá ter-se A ie a impedância característica do transformador terá de ser a média geométrica das impedância e Por exemplo: para 115 e 5 obtém-se 75 A Numa linha com perdas terminada por uma carga adaptada é: in ; um curto-circuito é: 1 in tanh ; um circuito aberto é: 1 coth Numa linha sem perdas terminada por A in PROF CAROS R PAIVA 11

13 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 um curto-circuito é j tan in ; um circuito aberto é j Numa linha sem perdas vem in cot j j j V V 1 1 i e e V Vi e V i j j Vi j I e 1 e I 1 e O diagrama seguinte (conhecido na literatura em inglês como the crank diagram e que em português se pode traduir por diagrama da manivela) permite dar uma visão intuitiva do andamento da tensão e da corrente ao longo de uma linha de transmissão sem perdas Facilmente se conclui que a tensão (ou melhor o seu módulo) tem um valor máximo exactamente quando a corrente (ou melhor o seu módulo) tem um valor mínimo E reciprocamente a tensão (ou melhor o seu módulo) tem um valor mínimo exactamente quando a corrente (ou melhor o seu módulo) tem um valor máximo Mais precisamente: PROF CAROS R PAIVA 1

14 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 n n g n n g g n 1 n 4 n max 1 1 min 1 1 n 1 min 1 1 max 1 1 V V V 1 V V 1 p max max max i min i I min V V I i i 1 I 1 max min min min I max V p max min onde se introduiu a chamada relação de onda estacionária (ROE) ou VSWR (voltage standing wave ratio) tal que p V max ROE VSWR V min 1 p 1 1 p1 Na figura seguinte ilustra-se um caso particular PROF CAROS R PAIVA 13

15 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 CARTA DE SMITH A carta de Smith foi inventada por P H Smith dos Bell Telephone aboratories em 1939: P H Smith Transmission ine Calculator Electronics Vol 1 No 1 pp 9 31 January 1939 P H Smith An Improved Transmission ine Calculator Electronics Vol 17 No 1 p 13 January 1944 Actualmente esta carta já não é utiliada com a mesma finalidade para a qual foi desenvolvida: a de permitir faer cálculos em linhas de transmissão Hoje as capacidades de cálculo são muito superiores e não é necessária a utiliação da carta de Smith que de resto nunca daria o mesmo rigor que um simples programa de computador (ou até de uma máquina de calcular) Para que serve então esta carta? Serve fundamentalmente para criar uma maior intuição nos processos de cálculo numa linha de transmissão E além disso a própria carta de Smith pode ser facilmente desenhada em programas de computação Em MATAB basta introduir uma simples instrução para se obter uma carta de Smith vaia (ie sem valores concretos): hsm = smithchart Na Wikipédia também é possível encontrar um bom exemplo (ver figura da página seguinte): PROF CAROS R PAIVA 14

16 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 Carta de Smith PROF CAROS R PAIVA 15

17 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 A carta de Smith é uma representação gráfica do plano 1 j 1 e u j v onde se introduiu a impedância normaliada 1 r j x 1 Assim vem sucessivamente 1 u j v 1 u j v 1 u j v 1u v v r j x j 1 u j v 1 u j v 1 u j v 1 u v 1 u v r x 1u 1u 1u v v v v Simples manipulações algébricas permitem então concluir que r r v u 1r 1r 1 1 u1 v x x A primeira equação representa uma família de circunferências no plano uv paramétricas na resistência normaliada r Por sua ve a segunda equação representa uma família de circunferências no plano uv paramétricas na reactância normaliada x As três figuras seguintes ilustram a construção da carta de Smith Em cada figura são assinalados cinco pontos notáveis: (i) 1 (circuito aberto); (ii) 1 (cuto-circuito); (iii) (carga adaptada); (iv) j ; (iv) j Esta é uma carta de impedâncias: a cada ponto correspondem dois números complexos a saber: u j v e r j x Tem-se u v cos sin e ainda PROF CAROS R PAIVA 16

18 INHAS DE TRANSMISSÃO IST r 1 cos f 1 sin f sin cos sin x 1 cos f 1 sin onde se introduiram r 1 r 1 f 1 p Portanto f 4 f 1 1 p 1 1 Note-se que r é para um certo valor de o valor mínimo de r quando E mais: tem-se r p onde p representa tal como se viu anteriormente a relação de onda estacionária Tem-se com m m sin r r 1 p 1 1 cos 1 x e analogamente r sin 1 r f m 1 1 cos x p Além disso 1 1 sin 1 r 1 4m cos x 1 1 PROF CAROS R PAIVA 17

19 INHAS DE TRANSMISSÃO IST sin r 1 4m cos x 1 PROF CAROS R PAIVA 18

20 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 A representação paramétrica das duas famílias de circunferências é imediata: r constante x constante r 1 u cos 1r 1r 1 v sin 1 r 1 u 1 cos x 1 1 v sin x x Porém no primeiro caso (com r ) todas as circunferências se encontram no interior do círculo limitado pela circunferência r e deste modo podemos faer Já no segundo caso as circunferências de interesse para a carta de Smith não correspondem à variação Para determinar os pontos de intersecção destas circunferêncicas com a circunferência r ou u v 1 há que determinar as soluções de cos sin 1 sin x cos 1 x x x Vejamos o exemplo correspondente à circunferência x 1 Neste caso há que determinar as soluções x 1 sin cos 1 3 PROF CAROS R PAIVA 19

21 INHAS DE TRANSMISSÃO IST - 15 pelo que a gama de variação do parâmetro dentro da carta de Smith será 3 Porém já no caso em que x 5 uma das soluções não é trivial: x sin cos Agora tendo em consideração as fórmulas 1 r 1 cos sin x 1 cos é possível representar graficamente os parâmetros r x em função do ângulo para um certo valor de Na carta de Smith isso corresponde ao andamento de r x ao longo de uma circunferência centrada na origem com raio 1 ie apenas fixado o valor de p ROE VSWR As figuras seguintes representam o andamento de r e x em função de para um dado valor de p 1 p 1 Considera-se o intervalo 4 Note-se que x nos pontos onde r é máximo r p ou mínimo r 1 p é máximo ou mínimo quando x 1 cos cos 1 cos 1 1 sin 1 Donde Por sua ve x PROF CAROS R PAIVA

22 INHAS DE TRANSMISSÃO IST sin m x max sin m x min Por exemplo (caso das duas figuras seguintes): p p 1 1 sin rad p rad 715 rad xmax rad rad xmin 4 PROF CAROS R PAIVA 1