CIRCUITOS DE DUAS PORTAS QUADRIPOLOS

Transcrição

1 CRCUTOS DE DUAS PORTAS QUADRPOOS NOTAS DE AUA (CAP. 9 RO DO NSON) 0. CONSDERAÇÕES NCAS HPÓTESES BÁSCAS Porta de Entrada () i a c v Quadripolo v i b d Fiura i i Porta de Saída () ) Não pode haver nenhuma eneria armaenada no circuito. ) Não pode haver fontes independentes no circuito, embora fontes dependentes sejam permitidas. 3) A corrente que entra em um dos terminais de uma porta tem que ser iual à corrente que deixa o outro terminal da mesma porta. 4) Todas as liações externas devem ser feitas à porta de entrada ou à porta de saída; não é permitido faer nenhuma liação entre as portas, ou seja, entre os terminais a e c, a e d, b e c ou b e d. de 9

2 . MODEOS Porta de Entrada () a Quadripolo Dom. Freq. b d Fiura c Porta de Saída () Parâmetros de Quadripolos.. Parâmetros MTÂNCA (a) Parâmetros mpedância Z () (b) Parâmetros Admitância y y Y y y ().. Parâmetros de TRANSMSSÃO (a) Parâmetros A a a A a a (3) (b) Parâmetros B b b B b b (4) de 9

3 .3. Parâmetros HÍBRDOS (a) Parâmetros H h h H h h (5) (b) Parâmetros G G (6). DETERMNAÇÃO DOS PARÂMETROS MPEDÂNCA Expandindo as equações () vem que + + (7) Desta forma, pode-se definir os parâmetros impedância da seuinte forma: Z 0 mpedância do ponto de vista da porta com a porta aberta 0 mpedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na porta e a corrente na porta com a porta aberta. 0 mpedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na porta e a corrente na porta com a porta aberta. 0 mpedância do ponto de vista da porta com a porta aberta. 3 de 9

4 Exemplo: Determinar os parâmetros do circuito ao lado. Sabe-se que 5 Ω 0 Ω 5 Ω Então (8) Fiura Ω (9) 0 5 7,5 Ω (0) 0 9, ,5 Ω () ,375 Ω () 3. REAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE UM QUADRPOO 3.. Relação entre os parâmetros e os parâmetros y São válidas as seuintes equações para quadripolos em termos dos parâmetros e y: y y y y (3) 4 de 9

5 Pode-se notar pelas equações (3) que y y y y (4) Resolvendo (4) vem que y y y y (5) Exemplo: Determinar os parâmetros y do circuito do exemplo anterior No exemplo anterior foram determinados os parâmetros do quadripolo definido pelo circuito elétrico da fiura, dados por Z 0 7,5 Ω 7,5 9,375 (6) Desta forma Y 9,375 7,5 0 7,5 7,5 0 7,5 9, ,5 7,5 9,375 9,375 7,5 7,5 0 0, 5 0, 0 37,5 0, 0 0, 667 S (7) 5 de 9

6 4. ANÁSE DE CRCUTOS DE DUAS PORTAS COM TERMNAÇÕES A fiura 4 abaixo mostra um quadripolo com terminações, Z e Z. + Z a b Quadripolo Domínio da Freqüência Fiura 4 c d Z Tal tipo de quadripolo pode ser analisado através do cálculo de seis características principais:. mpedância de entrada Z ou admitância de entrada Y ;. Corrente de saída ; 3. Tensão e impedância de Thévenin ( Th e Z Th ) do ponto de vista da porta ; 4. Ganho de corrente ; 5. Ganho de tensão ; 6. Ganho de tensão. in in 5. DETERMNAÇÃO DAS CARACTERÍSTCAS DE CRCUTOS DE DUAS PORTAS EM FUNÇÃO DOS PARÂMETROS As equações (8) estabelecem as relações entre as randeas terminais de um quadripolo, descrito pelos seus parâmetros e pelos parâmetros da fonte, Z e da cara Z. + + Z Z (8) 6 de 9

7 A impedância de entrada vista da porta Z in() é dada pela relação Z in() (9) Da equação (8.b) vem que (0) Substituindo (8.d) em (0) resulta em Z () Ou seja + Z Substituindo () em (8.a) vem que + + Z () (3) Ou Z Z in() + (4) Ou também que Z in() + Z + Z (5) A corrente pode ser obtida substituindo (8.c) e (8.d) nas equações (8.a) e (8.b), ou seja Z + Z + (6) 7 de 9

8 Rearranjando os termos em (6) resulta que ( ) + Z + + ( + Z ) 0 (7) Resolvendo (7) para resulta que + Z ( )( ) 0 + Z + Z + Z + Z (8) A tensão de Thevenin Th vista da porta é iual a quando é nula, ou seja Th ( ) + (9) 0 Utiliando as expressões (8.a) e (8.c) com nula vem que Z (30) Rearranjando os termos vem que 0 + Z (3) Resolvendo para vem que 0 Z + (3) Z 8 de 9

9 Substituindo (3) em (9) vem que Th Z + (33) A impedância de Thevenin Z Th vista da porta é iual à relação / quando é nula. Para 0, a equação (8.c) fica na forma Z Substituindo (34) em (8.a) vem que (34) Z + (35) Rearranjando os termos vem que Z + (36) Substituindo (36) na equação (8.b) resulta que + Z + Z + Ou finalmente que (37) ZTh (38) Z + 0 O anho de corrente / pode ser obtido diretamente a partir da equação (), ou seja + Z + Z (39) Para se calcular o anho de tensão / é necessário substituir o valor de da equação (8.d) na equação (8.b), ou seja + Z Z (40) 9 de 9

10 Em seuida determinar o valor de na equação (8.a), também utiliando (8.d), ou seja Z Rearranjando os termos em (4) e resolvendo para vem que + Z Substituindo (4) em (40) vem que + Z Z (4) (4) (43) A expressão (43) é função apenas de e. Desta forma, rearranjando os termos vem que + (44) Z Z Ou ainda que Ou + Z Z Z + + Z Z Z Ou finalmente Z Z + Z Z + ( ) Fica a caro do leitor provar que Z + Z + Z ( )( ) (45) (46) (47) (48) 0 de 9

11 Exemplo: Determinar as seis características básicas do circuito ao lado considerando que este quadripolo está sendo alimentado por uma fonte de tensão de 0 com resistência interna de Ω e está alimentando uma cara de 3 Ω. Ω Ω 8 Ω 9 Ω 3 Ω 3 Ω Fiura 5 nicialmente é necessário o cálculo dos parâmetros do quadripolo em questão. Assim procedendo vem que: 3// //8 4,840 Ω (49) 0 (( ) ) ( 3//9) ( 3//9) + 0 ( 3//9) ( ) + 0,84 4,84 0,889 Ω 0 3//9 0 (50) 3//9// 0+ 8,0 Ω (5) 0 ( ( )) , 444, 0 0,889 Ω (5) Os valores das seis características são então obtidos utiliando-se as expressões determinadas anteriormente, ou seja: Z 0,889 in() 4,84 4, 68 + Z,0 + 3,0 Ω (53) 0, ,66 4, ,889 0,889 ( )( ) A (54) de 9

12 0,889 0,30 Th Z + + 4,84 (55) 0,889 Th,884 Z + + 4,84 Ω Z (56) 0,889 0,78 Ω + Z + 3 (57) Z 0, ,4 Z + 4, ,89 (58) Z 0, ,080 Z Z 4, ,889 ( + )( + ) ( )( ) (59) 6. CRCUTOS DE DUAS PORTAS RECÍPROCOS Um quadripolo é dito recíproco quando seus parâmetros satisfaem as seuintes equações: y y a aa aa b bb b b h h (60) Nos quadripolos recíprocos, a troca de uma fonte ideal de tensão em uma das portas por um amperímetro na outra porta resulta na mesma leitura do amperímetro. Nestes circuitos são necessários apenas três cálculos ou medidas para determinar um conjunto de parâmetros. de 9

13 Um quadripolo recíproco é simétrico (ou bilateral) se seus parâmetros satisfaem as seuintes equações adicionais: y y a a b b h hh h h (6) Neste tipo de circuito, a troca de uma porta pela outra não tem nenhum efeito sobre as tensões e correntes e são necessários apenas dois cálculos ou medidas para se determinar seus parâmetros. NOTA: inhas de transmissão de eneria elétrica são exemplos de circuitos recíprocos e simétricos, também chamados de bilaterais. 7. CRCUTOS DE DUAS PORTAS NTERGADOS - FORMAS BÁSCAS A fiura 6 abaixo mostra as formas de se interliar quadripolos. Cascata Série Paralela Série-Paralela Paralela-Série Fiura 6 3 de 9

14 6.. Análise da liação em cascata de dois quadripolos Considere a liação de dois quadripolos Q A e Q B em série, como mostra a fiura 7 abaixo A A A Q A A A A Q B B Fiura 7 Utiliando os parâmetros de impedância Z, pode-se escrever para os dois quadripolos que A A A A A Z A A A A A B B B B B Z B B B B B A B (6) (63) Pela fiura 7 o leitor pode verificar que + + A B A B A B A B + A B A B (64) (65) 4 de 9

15 Assim, substituindo (6) e (63) em (64) vem que Z + Z A A B B (66) Substituindo (65) em (66) vem que ( ) Z A + Z B Z A + Z B Z (67) A equação (67) mostra que a matri Z do quadripolo equivalente é a soma das matries Z dos quadripolos individuais liados em série. 6.. Análise da liação em cascata de dois quadripolos Considere a liação de dois quadripolos Q A e Q B em cascata, como mostra a fiura 8 abaixo A A B B A Q A A B Q B B Fiura 8 Utiliando os parâmetros de transmissão, pode-se escrever para os dois quadripolos que A aa aa A a a A A A A B ab ab B a a B B B B (68) (69) onde a a aa a A A A A A (70) 5 de 9

16 e a a ab a B B B B A Substituindo (70) e (7) em (68) e (69) vem que A A AA A A B B AB B B Pela fiura 8 o leitor pode verificar que B A B A Substituindo (74) em (7) vem que A B AA A B Substituindo (73) em (75) vem que A B B AA AA AB A B B Pela fiura 8 o leitor pode verificar que A A B B Substituindo (77) em (76) resulta que AA AB A (7) (7) (73) (74) (75) (76) (77) (78) 6 de 9

17 A equação (78) mostra que a matri de transmissão A do quadripolo resultante da associação em cascata dos quadripolos Q A e Q B é dada pela multiplicação das matries A A e A B dos quadripolos oriinais. Exemplo: Projetar um circuito C terminado com um resistor de Ω que possua a função de transferência de um filtro passa-baixa de Butherworth dada por H() s s s s (79) De início é adequado arupar o denominador em partes pares e ímpares, ou seja H() s 3 3 s + s + s+ s + s + s + ( ) ( ) 3 3 s + s s + s 3 ( s + s) + ( s + ) s s + s s + s (80) Utiliando os parâmetros y de um quadripolo pode-se escrever que y + y y + y (8) Com o quadripolo terminado por uma resistência Y tem-se também que Y (8) Substituindo (8) em (8.b) vem que Y y + y (83) 7 de 9

18 Ou seja, a função de transferência do filtro vai ser dada por H() s y y () s y Y Y () s Y Y + y + y y Y + Y (84) Desta forma y + y 3 Y s s s + 3 Y s + s (85) Como Y S, então y 3 s + s s + y 3 s + s (86) Como o filtro é de terceira ordem, será utiliado o circuito mostrado na fiura 9 abaixo (s) C (s) Fi. 9 Filtro de Butherworth de 3ª ordem Para este filtro o valor de y é da forma y sc + sc + s s s s 0 sc + sc s s s s (87) 8 de 9

19 Desenvolvendo um pouco mais resulta em sc + s s ( ) 0 s C + + s s y sc + sc + s s C s 3 ( + ) + s C + s( + ) (88) Comparando as equações (88) e (80) vem que C C + (89) Resolvendo a equação (89) resulta finalmente que 0,5 H, 5 H C F, 33 F.5 (90) Fica a caro do leitor provar que a implementação de y irá implementar y automaticamente, visto que, como y é a admitância de curto-circuito vista da porta, ela já fornece uma informação interal de todo circuito. 9 de 9