Conjuntos Numéricos e Operções I Ao estudr o livro, o luno está sendo conduzido pel mão do utor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo de cminhr mis solto e, ssim, ir gnhndo independênci. Pr quem está convencido d importânci de resolver os exercícios deste livro, um esclrecimento: eles vrim em seus grus de dificuldde. Não se desencorje se não conseguir resolver lguns deles. Volte eles qundo se sentir mis confinte. Mtemátic não se prende pssivmente; ler todos os exercícios e resolver quntos puder é um tref essencil do leitor. Vmos inicir pel teori dos conjuntos. Mtemátic Um conjunto (ou coleção) é formdo de objetos, chmdos os seus elementos. Qundo um objeto qulquer é um dos elementos do conjunto, dizemos que esse elemento pertence o conjunto. Simbolicmente, temos: X A (lê-se: X pertence o conjunto A) X A (lê-se: X não pertence do conjunto A) Obs.: Os símbolos e são utilizdos pr relcionr elemento com conjunto. Dois conjuntos são iguis qundo possuem os mesmos elementos. Indicmos por A = B (lê-se: o conjunto A é igul o conjunto B). Qundo um conjunto é desprovido de elementos recebe o nome de conjunto vzio e é representdo por { } ou. O conjunto o qul pertencem os elementos de todos os conjuntos que fzem prte de nosso estudo é chmdo de conjunto universo. Ddos dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cd elemento do conjunto A é, tmbém, um elemento do conjunto B. Indicmos por: A B (lê-se: A está contido em B) A B (lê-se: A não está contido em B) B A (lê-se: B contém A) B A (lê-se: B não contém A) Obs.: Os símbolos,,, são utilizdos pr relcionr conjunto e conjunto. NÚMEROS NATURAIS O surgimento dos números nturis se deu pel necessidde d contgem pr controle de bens dos seres humnos. A noção de quntidde é d nturez de qulquer ser rcionl. A quntidde é representd por símbolos tmbém chmdos de lgrismos. A cd um desss quntiddes é ssocido um símbolo que represent um número nturl. Dest form, o conjunto dos números nturis é ddo por: N = {,,,, 4,...} Obs.: O sistem de numerção deciml utiliz dez lgrismos pr representr qulquer número e cd lgrismo é ddo um peso que depende de su posição no respectivo número. Exemplo: 5 5.º=5. =. = ou centens, dezens e 5 uniddes. NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS É qulquer número nturl não nulo e diferente d unidde que só pode ser dividido por (unidde) e por si próprio. Qundo um número nturl não nulo e diferente d unidde não for primo é, então, denomindo composto. Exemplos de números primos: ; ; 5; 7; ; ; 7; 9; ; 9; ; 7; 4; 4; 47; 5; 59; 6; 67; 7; 7; 79; 8; 89; 97;... Obs.: É importnte lembrr que o número (unidde) não é primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Um número composto qulquer pode ser decomposto em ftores primos, utilizndo-se, pr tnto, s divisões sucessivs. Exemplo: 6 6 8 9 45 5 Então: 6=..5 5 5
Mtemátic DIVISORES DE UM NÚMERO Após o número decomposto em ftores primos temos que obter todos os produtos possíveis utilizndo, pr isso, o dispositivo prático bixo: Exemplo: 9=..5 º º 5º 5 º.º.5º= º..5º= º..5 =5 º.º.5 =5 º..5º=9 º..5 =45 Portnto, o conjunto dos divisores é: d (9) = {,,,5,6,9,,5,8,,45,9} Pr obtermos quntidde de divisores de um número bst tomrmos os expoentes dos ftores primos que compõem o número, dicionrmos um unidde cd expoente e multiplicr os resultdos. Exemplo: 9=..5 número de divisores= (+).(+).(+)=..= divisores NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois números são denomindos primos entre si, se o único divisor comum for unidde. Exemplo: Os números 5 e 6 são primos entre si: d(5)= {; ; 5; 5} d(6)= {; ; 4; 8; 6} d(5) d(6)= {} MÚLTIPL TIPLOS DE UM NÚMERO Múltiplo de um número nturl é o produto dele por um outro número nturl. Exemplo: 5.= 5.=5 5.= 5.=5 Portnto, o conjunto dos múltiplos é: m(s)= {; 5; ; 5; ; 5;...} MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) O máximo divisor comum entre dois números nturis é obtido prtir d intersecção entre os conjuntos dos divisores dos dois números tomndo o mior elemento do conjunto intersecção. Exemplos: 6 e 4 Conjuntos Numéricos e Operções I É possível determinção do máximo divisor comum de dois números nturis prtir d decomposição em ftores primos. O mdc é obtido multiplicndo-se os ftores primos comuns com os menores expoentes. Exemplo: 6 e 4 6=. 4=. mdc {6;4}=.= MÍNIMO MÚLTIPL TIPLO O COMUM (M.M.C.) Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mis números nturis consiste em determinr, prtir d intersecção entre os conjuntos dos múltiplos, o menor elemento, desconsiderndo o zero. Exemplo: e 8 m()= {; 4; 6; 48; 6...} m(8)= {8; 6; 54; 7; 9...} m() m(8)= {6; 7;...} mmc {; 8}= 6 É possível obter o mmc entre números nturis prtir de decomposição simultâne em ftores primos. Exemplo: e 8,8 6,9,9,, Portnto, o mmc é ddo pelo produto mmc {; 8}=. =6 O mmc pode ind ser obtido prtir d decomposição em ftores primos seprdmente dos números. O mmc será o produto de todos os ftores primos, considerdos um únic vez e de mior expoente. Exemplo: e 8 =. 8=. mmc {; 8}=. =6 Obs.: O mínimo múltiplo comum entre dois números nturis é igul o quociente entre seu produto e o máximo divisor comum. mmc {; b}=.b mdc {; b} d(6)= {; ; ; 4; 6; 9; ; 8; 6} d(4)= {; ; ; 4; 6; 8; ; 4} d(6) d(4)= {; ; ; 4; 6; } mdc {6; 4}=
Conjuntos Numéricos e Operções I ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS: A dição de dois números nturis sempre result num número nturl. O símbolo + é utilizdo pr representr operção dição de números. Exemplo: + = 5 som prcels Obs.: A ordem ds prcels não lter som; +=+ (propriedde comuttiv). A som n dição de váris prcels pode ser obtid reunindo-se dus dus em qulquer ordem: ++5=+(+5)= (+)+5 (propriedde ssocitiv). O número zero é considerdo elemento neutro d dição, pois qulquer número diciondo com zero result pr som o próprio número: 7+= +7=7 (elemento neutro d dição) SUBTRAÇÃO DE NATURAIS É operção invers d dição. É importnte slientr que subtrção entre dois números nturis nem sempre result num número nturl. O símbolo - é utilizdo pr representr subtrção de números. Exemplo: 7 - = 4 diferenç subtrendo minuendo Obs.: A subtrção de dois números nturis não é comuttiv. 7-=4 ms -7=-4 logo 7- -7 Do fto de não ocorrer comuttividde em relção à subtrção foi necessário crição do conjunto dos números inteiros. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS A multiplicção de nturis é operção ssocid dição de prcels iguis. A multiplicção de números nturis sempre result num número nturl. O símbolo. é utilizdo pr representr multiplicção de números. Exemplo:. 5 = 5 produto ftores Obs.: A ordem dos ftores não lter o produto;.5=5+5+5=5 ou 5.=++++=5.5= 5.=5 (Propriedde Comuttiv) Distributividde em relção à operção de dição (ou subtrção):. (4+7) =.4+.7 Num expressão envolvendo multiplicção e dição (ou subtrção) deve-se primeiro multiplicr: +.4 = +8 = Csos prticulres sej N.=.= (elemento neutro d multiplicção).=.= (nulmento do produto) DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS É operção invers d multiplicção. É importnte slientr que nem sempre divisão de dois números nturis result um número nturl. O símbolo : é utilizdo pr representr divisão de números. Exemplo: 8 : 6 = quociente divisor dividendo Obs.: A divisão de dois números nturis não é comuttiv. 8 : 6 6 : 8 Csos Prticulres: Sej e N := pois.= := pois.= ( ) := pois.= ( ) : não existe Mtemátic : é indetermindo, pois qulquer número nturl K verific iguldde :=K, pois K.=.
Mtemátic Qundo divisão não é ext. 5: 5 5 =. + resto quociente divisor dividendo Qundo o resto d divisão for nulo (igul zero) dizemos que o número é divisível. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS É o produto de ftores iguis. Sej o produto:..... =64 6 ftores podemos representr por: expoente 6 = 64 potênci bse A potencição de um número nturl sempre result num número nturl. Obs.: A potencição não é comuttiv: 5 5 Csos Prticulres: Sej N = = =( ) Distributividde em relção à multiplicção e à divisão: Sej N, b N e n N. (.b) n = n.b n (:b) n = n :b n RADICIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Conjuntos Numéricos e Operções I Distributividde em relção à multiplicção e à divisão: Sej N, b N e n N*. n n n.b =. b n n n :b = : b Num expressão númeric envolvendo potencição ou rdicição, multiplicção ou divisão e som ou subtrção, deve-se resolver nest ordem. Exemplo: ) 4 : +.+5= =:+.+5= =+6+5= b) :4+.6:-= =8:4+.6:-= =+8:-= =+9-= =-= NÚMEROS INTEIROS Fundmentd idéi reltiv os números nturis, surgirm lgums questões. Como representr um defsgem ou perd num quntidde? Como representr um diferenç ou subtrção? O conjunto dos números inteiros foi crido pr responder ests pergunts. Pr representr o oposto de possuir um cert quntidde vmos usr o símbolo - ntes do número nturl. ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS A dição de dois números inteiros result sempre um número inteiro. 4 É operção invers d potencição. É importnte lembrr que rdicição de um número nturl nem sempre result num número nturl. O símbolo é utilizdo pr representr operção de rdicição. 5 Exemplo: 4 =, pois 5 = 4 riz rdicndo rdicl índice Obs.: Qundo trblhmos com riz qudrd (riz de índice igul ) podemos omitir o índice. 6 = 6 =4 º cso: A som de dois números inteiros positivos é um número inteiro positivo. 5+7= º cso: A som de dois números inteiros negtivos é um número inteiro negtivo. -5+(-7)=- º cso: A som de um número inteiro positivo com um número inteiro negtivo pode resultr num inteiro positivo ou num inteiro negtivo ou ind no zero. -5+7= 5+(-7)=- 5+(-5)=
Conjuntos Numéricos e Operções I Portnto, n dição de números inteiros de sinis contrários, som terá o sinl correspondente o sinl d prcel de mior vlor bsoluto (número sem o sinl). SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS A subtrção é operção invers d dição. A subtrção de dois números inteiros sempre result num número inteiro. Vmos estbelecer o seguinte: O sinl positivo, qundo ntecede os prênteses, não lter o sinl do número dentro do mesmo. O sinl negtivo, qundo ntecede os prênteses, mud o sinl do número dentro do mesmo. Exemplo: +7 = 7 +(-7) = -7 +(+) = -(-7) = 7 -(+7) = -7 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Deve-se estr tento sempre o sinl do produto. º Cso: Se os dois ftores são positivos, então o produto é positivo. (+).(+5)=.5= º Cso: Se os dois ftores são de sinis contrários, então o produto é negtivo. (+).(-5)=.(-5)=(-5)+(-5)=-5-5=- (-).(+5)=-(+).(+5)=-(.5)=- º Cso: Se os dois ftores de um multiplicção são negtivos, então o produto será positivo. (-).(-5)=[-(+)].(-5)=-[.(-5)]=-[-]= C ONCLUSÃO DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Como divisão é operção invers d multiplicção, nálise de sinis feitos pr o produto é mesm pr o quociente. A divisão de dois números inteiros nem sempre dmite um quociente inteiro. Por este motivo, foi crido o conjunto dos números rcionis. Exemplo: (-4):(-)= (-4):()=- (4):()= (4):(-)=- POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS É um operção definid de mneir nálog dos números nturis, ou sej, com multiplicção sucessiv de um mesmo número. º Cso: N potencição de números inteiros, se bse é positiv, potênci é positiv. =..=8 º Cso: Se bse é negtiv, potênci é positiv se o expoente é pr, e negtiv, se o expoente é ímpr. (-) =(-).(-)=4 (-) =(-).(-).(-)=-8 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS É operção invers d potencição de números inteiros. A rdicição de números inteiros nem sempre result num número inteiro. EXPRESSÕES NUMÉRICAS Um expressão numéric envolvendo números inteiros e s operções definids pr os mesmos devem ser efetuds (resolvids) respeitndo-se um ordem ns operções e nos sinis gráficos (prênteses, colchetes e chves) utilizdos pr ordenr s operções. Qunto os sinis gráficos, eliminm-se n seguinte ordem: Mtemátic Teremos um produto positivo, cso os ftores sejm de mesmo sinl e um produto negtivo, cso os ftores sejm de sinis diferentes. +. + = + +. - = - -. + = - -. - = + º) prênteses; º) colchetes; º) chves. E qunto às operções, resolvem-se n seguinte ordem: º) Potencição ou Rdicição; º) Multiplicção ou Divisão; º) Adição ou Subtrção. Exemplos: ) 8+{-[6-(4+)+]-}= =8+{-[6-5+]-}= =8+{--}= =8+9=7 5
Mtemátic ) {- :4+[(-+5) :]}= ={-4:4+[(+) :]}= ={-+[9:]}= ={-+}= ) -(-:6) :(8-.)-(-):( 6 ) = =-(-) :(8-6)-(-):6= =-(+4):-(-)= =-+= Conjuntos Numéricos e Operções I NÚMEROS IRRACIONAIS São todos os números que não possuem rzão. Números que não podem ser representdos n form de um frção. Exemplos: π=,4596... =,445... =,758... e=,7888... 4) -.{-+[-+(-) :]-}= =-.{-+[-+9:]-}= =-.{-+[-+]-}= =-.{-+-}= =-.{-}= = Observe construção: NÚMEROS RACIONAIS Nem sempre divisão entre dois números inteiros result em um número inteiro. Surgiu, então, o conjunto dos números rcionis, números que podem ser representdos por um rzão entre dois inteiros. Intuitivmente explicmos origem dos números rcionis prtir d divisão de um todo em váris prtes. prtes 5 prtes numerdor 5 denomindor - - -,758...,445... Todo número irrcionl não pode ser representdo por um quociente entre dois inteiros. I={x p q p Z, q Z, q } Observe, gor, o digrm seguir: N Z Q I Todo número rcionl é representdo pelo quociente (rzão ou divisão) entre dois números inteiros. Obs.: Importnte lembrr que não existe divisão por zero (denomindor sempre diferente de zero) e que todo número rcionl n form deciml é sempre representdo por um dízim periódic ou por um divisão ext. Exemplo: Q={ p q p Z, q Z, q } =,5 (divisão ext) =,... (dízim periódic) NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reis é definido como união entre os conjuntos dos números rcionis e irrcionis, ou sej: R = Q É importnte lembrr que ssocimos cd número rel um ponto de um ret....- - - - -p - -e- - - - I...... e p N Z Q I 6 N Z Q R e I R R
Conjuntos Numéricos e Operções I INTERVAL ALOS OS Intervlo berto é um subconjunto do conjunto dos números reis x, tis que: <x<b ou sej, números que estão entre e b. b ou sej, números de té b. Intervlos infinitos são subconjuntos do conjunto dos números reis x, tis que: b [;b]={x R x b} x ou x Mtemátic (;b)=];b[={x R <x<b} [; ) (- ; ] Intervlo Fechdo é o subconjunto do conjunto dos números reis x, tis que: x > ou x < x b (; ) Obs.: no infinito o intervlo sempre é berto. (- ; ) Qundo pensmos em números quisquer e sus utilizções estmos flndo sobre diversos momentos do cotidino de qulquer pesso. Qundo vmos um feir temos os preços, os pesos, quntidde de produtos ou qundo comprmos um imóvel, o vlor, metrgem, quntidde de cômodos, entre outrs utilizções. Sendo A={x N x <} e B= {x Z -4 x 5} obtenh s operções: ) A B Operção de união entre A e B. Devemos colocr todos os elementos que pertencem A ou B. d) B-A Idem o nterior B-A={-4,-,-,-,,,} Considere os conjuntos A={x R x <} e B={x R -4 x 5} oper.: A={,4,5,6,7,8,9} B={-4,-,-,-,,,,,4,5} A B={-4,-,-,-,,,,,4,5,6,7,8,9} A B={x Z -4 x <} b) A B Operção de intersecção entre A e B. Devemos tomr todos os elementos que pertencem simultnemente A e B. A B={,4,5} c) A-B Operção de diferenç entre A e B. Devemos tomr todos os elementos que pertencem A, ms não pertencem B. ) A B A=[;) -4 5-4 A B=[-4;) B=[-4;5] A B A B A-B={6,7,8,9} 7
Mtemátic b) A B -4 5 A B Conjuntos Numéricos e Operções I d) B-A -4 5 B A 5 A B -4 B-A A B=[;5] B-A=[-4;) c) A-B A Determime o vlor d expressão: + 5 + : 5-5 = -4 5 B + +5 9- = : = 5 5 = + 8 5 : 8 = 5 5 A-B = + 8 5. 5 = 8 A-B=(5;) = += Sendo A={x N x 9} e B={x Z - x<7} obtenh: ) A B b) A B c) A-B d) B-A Ddos os intervlos reis A=(-4;5) e B=[-6;) obtenh: ) A B b) A B c) A-B d) B-A Complete com V pr verddeiro ou F pr flso: e) ( ) N Z = N f) ( ) N Z = Z g) ( ) Z Q = N h) ( ) Z Q = Z i) ( ) Z Q = Q 4 Associe os conjuntos ddos n primeir colun seus respectivos nomes d segund colun. () R=(- ; ) ( ) Reis não negtivos (b) R + =[; ) ( ) Reis (c) R + *=(; ) ( ) Reis negtivos (d) R - =(- ;] ( ) Reis não positivos (e) R *=(- ;) ( ) Reis positivos - 5 Some os itens corretos: 8 ) ( ) Z N b) ( ) N Q c) ( ) Q I = R d) ( ) N Z = Q () - N (8) () (6) = (4) I () (64) - R R 4 Q -8 R
Conjuntos Numéricos e Operções I 6 Um pesquis foi relizd junto 9 pessos respeito d prátic dos esportes futebol e vôlei. Foi consttdo que o volei er prticdo por 4 pessos e que 65 prticvm mbos os esportes. Foi consttdo ind que 5 pessos não prticvm nenhum desses esportes. O número de pessos que prticvm pens futebol é: ) 565 b) 55 c) 55 d) 5 e) 575 7 Num escol há n lunos. Sbe-se que 56 deles lêem o jornl A, lêem os jornis A e B, 6 lêem pens um dos dois jornis e 66 não lêem o jornl B. O vlor de n é: ) 45 b) 7 c) 58 d) 7 e) 8 Mtemátic (OSEC-SP) Sejm A e B os seguintes subconjuntos de R: A={x R x 5} B={x R x>4} Então podemos firmr que: ) A - B B b) A - B A c) B - A A d) A - B = {x R < x <4} e) B -A = {x R x 5} (FGV-SP) Sejm os intervlos A=(- ; ], B=(;] e C=[-; ]. O intervlo C (A B) é: ) (-; ] b) [-; ] c) [;] d) (;] e) (- ; -] (CEFET-PR) Se P={x R - x<-} Q=]-;-] e S={x R x -} (P Q) - (Q S) é igul : ) {x R - x - e x } b) {x R - x -} c) {x R - x -} d) {x R - x<-} e) {x R -<x -} 4 (ACAFE-SC) Ddos os conjuntos: A={x N x 5} B={x R x é ímpr e x<7} C={x R <x } O conjunto-solução de (A-B) (B-C) é: ) {; } b) {; 4; 5} c) {; ; ; 5; 7} d) {; ; ; 4; 5} e) {; 4; 5} 5 (UF-VIÇOSA-MG) Assinle lterntiv incorret. Ddos os conjuntos: A={x x é um número rel} B={x x é um número rcionl} C={x x é um número primo} Então: ) C B b) S (B C) c) B A d) 6 (A B C) e) 7 (A C) 6 (PUC-RS) Se M=(- ;), N=[-, ) e P=[-; ), então P-(M N) é o intervlo: ) [-;) b) [-;) c) [-; ) d) (- ;-] (; ) e) [-;) [; ) 7 (FATEC-SP) Sejm e b números irrcionis: I).b é um número irrcionl II) +b é um número irrcionl III) -b pode ser um número rcionl, pode-se concluir que: ) s três são flss; b) s três são verddeirs; c) somente I e III são verddeirs; d) somente I é verddeir; e) somente I e II são flss. 8 (PUC-SP) Um número rcionl qulquer: ) tem sempre um número finito de ordens (css) decimis; b) tem sempre um número infinito de ordens (css) decimis; c) não pode expressr-se em form deciml ext; d) nunc se express em form de um deciml inext; e) nenhum ds nteriores. 9
Mtemátic 9 (EFOA-MG) Sej R o conjunto dos números reis, N o conjunto dos números nturis e Q o conjunto dos números rcionis. Qul firmtiv fls? ) Q N R b) Q N R c) Q N = R d) Q R =Q e) Q R Conjuntos Numéricos e Operções I (FCC-BA) Consultds 5 pessos sobre s emissors de TV que hbitulmente ssistem, obteve-se o resultdo seguinte: 8 pessos ssistem o cnl A, 5 ssistem o cnl B e 7 ssistem outros cnis distintos de A e B. O número de pessos que ssistem A e não ssistem B é: ) b) 5 c) 8 d) e) (VUNESP) Num clsse de lunos, 6 gostm de mtemátic e, de históri. O número de lunos dest clsse que gostm de mtemátic e de históri é: ) extmente 6; b) extmente ; c) no máximo 6; d) no mínimo 6; e) extmente 8.