SÍNTESE DE CONTEÚDO MATEMÁTICA SEGUNDA SÉRIE - ENSINO MÉDIO ASSUNTO : OS PRISMAS (PARTE ) 1 NOME :...NÚMERO :... TURMA :... 6) Áres relcionds os prisms : ) Áre d bse : É áre do polígono que represent bse. Exemplos : 1) Se um prism tem bse tringulr com s rests d bse medindo cm, 5 cm e 6 cm, clcule áre d bse do prism. 5 6 A bse é irregulr, ms como s rests são conhecids, podemos usr fórmul de Heron, vist no último trblho : Sej A b áre d bse. Como o semi- 5 6 13 perímetro d bse é p = cm, Temos : ( A b ) 13 13 13 13 = ( )( 5)( 6) e A b = 3 39 4 cm ) Se um prism regulr tem bse hexgonl com rests d bse medindo cm, então clcule áre d bse desse prism. cm Como áre do hexgono regulr é dd em função do ldo pel fórmul já conhecid 3 3 A hex =, temos no cso do prism : 3() 3 A b = 6 3 cm
b) Áre Lterl : Você já deve ter percebido que : As fces lteris de um prism oblíquo são prlelogrmos, e As fces lteris de um prism reto são retângulos. retângulo prlelogrmo Então : - No prism reto : Áre de um fce = Áre de retângulo. - No prism oblíquo : Áre de um fce = Áre de prlelogrmo Áre lterl de um prism é som ds áres de tods s fces lteris do prism. Exemplos : 1) A figur bixo mostr um prism hexgonl regulr com rest com rest d bse medindo = 8 cm e ltur h = 10 cm. Clcule áre d bse e áre lterl do prism. A bse é mostrd n figur d direit. Su áre é 3(8) 3 A b = 96 3 cm Como o prism é regu lr, cd um de sus fces lteris é um retângulo xh e tem áre = 8.10 = 80 cm. Logo, como são 6 fces lteris, A L = 6. 80 =480cm..
3 ) Clcule áre lterl do prlelepípedo mostrdo n figur seguir, sbendo que o comprimento é o quíntuplo d ltur, lrgur é o dobro d ltur e digonl mede 30 cm. )Cálculo ds dimensões do prlelogrmo :Como digonl foi dd, te - P x mos: 30 (5x) (x) ( x) Elevndo mbos os ldos o qudrdo, temos 10 = 30x de onde x = cm.as dimensões do prlelogrmo são 10 cm, 4cm e cm. 5x Q x b) Cálculo d áre lterl do prlelepípedo : A áre lterl compreende : retângulos 10x e retângulos 4x. Então : A L =.10. +.4. = 40 + 16 = = 56 cm. c) Áre totl do prism : É som ds áres ds bses com áre lterl. Então, temos : A T = A L +. A b Exemplo : Clcule áre totl do prism reto bixo. 1) Como bse é um triângulo retângulo isósceles, temos : ( 3 ) = + = 9 e = 3 cm. 3.3 9 ) A b = cm. 3) A L =. ( 3. 6) + ( 3. 6) = 36 + 18 cm. 4) A T = A L +. A b = (36 + 18 9 ) +. = = 45 + 18 = 9( 5 + ) cm.
4 EM ALGUNS CASOS ESPECIAIS É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS GERAIS! VEJA! 1) Se o prism é regulr com rest d bse e ltur h, podemos ter : A L = n. h e A T = n.h +. A b, onde n é o número de rests d bse. ) Num prlelepípedo retângulo, em gerl, temos s dimensões in- dicds n figur bixo. Então vle fórmul : c A T =.(b + c + bc) b 3) No cubo, temos 6 fces qudrds e congruentes com rests de medid. Vle então fórmul : A T = 6
7) VOLUME DOS PRISMAS : 5 A secção trnsversl de um prism é intersecção não vzi, desse prism com qulquer plno, prlelo às sus bses. Vej figur : Num prism, tods s secções trnsversis têm mesm áre já que tods s secções trnsversis são prlels às bses e s rests lteris são prlels entre sí. Isso signific que, se você empilhr váris porções congruentes do plno, terá um sólido de volume equivlente às áres de tods s porções junts, no cso do prism, áre de um polígono váris vezes. Em outrs plvrs, podemos ftir um prism em prisms congruentes de ltur unitári : Como tods s ftis têm ltur unitári, e tods els têm mesm áre que é A b, podemos enuncir o seguinte :
O VOLUME DE UM PRISMA É O PRODUTO DA ÁREA DE SUA BASE POR SUA ALTURA* 6 * A ltur do prism é som ds lturs unitáris dos prisms menores (ftis). Em lingugem mtemátic teremos : Exemplos : V PRISMA = A b. h 1) Clcule áre totl e o volume do prlelepípedo retângulo d figur seguir : ( medids dds em cm ) A B D E 5 13 C H 3 G F Resolução : ) O triângulo EGH é retângulo em H. Então : (5) = (3) + (EH), de onde si que EH = 4 cm b) O triângulo AEG é retângulo em E. Então : (13) = (5) + (AE), de onde si que AE = 1 cm c) A T =.( 3.4 + 3.1 + 4.1) = 19 cm d) V = A b. h = 3.4.1 = 144 cm 3 ) N figur seguinte, bse do prism regulr está inscrito n circunferênci de perímetro igul 6 cm. Se ltur do prism é igul 8 cm, clcule seu volume. Resolução : Sbemos que o perímetro de um circunferênci de rio r é igul r que, neste cso, é igul 6. Então : = 6, de onde = 3 cm Como bse é um hexágono regulr, temos : A b = Logo V = A b. h = 7 3.8 108 3 3 cm 3(3) 3 7 3 cm
7 3) Se digonl de um cubo mede 6 dm, clcule su áre totl e seu volume. Resolução : 6 dm Sbemos que digonl de um cubo com rest é 3. Então temos 3 6 = 3 dm e teremos ind : ) A T = 6. ( 3) 7 dm b) V = A b. h =.. = 3 = ( 3) 3 4 3 dm 3 AQUI TAMBÉM É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS PARA OS PARALELEPÍPEDOS Como, nos prlelepípedos de dimensões, b e c, bse pode ter áre b, bc ou c com lturs c, ou b, respectiv mente, podemos registrr : V prl = bc Então, pr os cubos de rest, teremos V cubo = 3