1 ist de Eercícios de Eletricidde Básic 1 Três crgs puntiformes estão fis sore o eio dos, conforme figur io A crg positiv Q encontr-se n origem e s dus crgs negtivs Q estão situds em = e em = - Um outr crg q 0, positiv, é colocd sore o eio dos um distânci h d origem (h > 0) Em função dos ddos do prolem: + q 0 h -Q - Q + Q ) Clcule forç resultnte sore crg q 0 ) Determine epressão pr forç resultnte sore crg q 0 qundo est crg se encontr muito distnte ds outrs três (h >>) 2 Um stão de comprimento 2 tem crgs Q e Q (Q > 0) uniformemente distriuíds em cd metde do seu comprimento, conforme mostr figur P 3 Q - Q P 2 2 P 3 3 ) Indique, justificndo, direção e o sentido do cmpo elétrico nos pontos P 1, for do stão e sore o eio positivo, e P 2, sore o eio ) Otenh epressão pr o cmpo elétrico num ponto P 1 sore o eio, distânci > do centro do stão c) Qul diferenç de potencil entre os pontos P 2 e P 3 sore o eio Justifique 3 Considere três plcs prlels infinits, uniformemente crregds, com distriuição superficil de crg σ, 3σ e σ conforme mostrdo n figur (σ > 0) Sendo que o módulo do cmpo elétrico pr um plno infinito com densidde σ é igul σ / 2ε 0 determine: ) A direção e o sentido do cmpo, no ponto P indicdo n figur, de cd um ds plcs seprdmente Justifique ) O módulo, direção e o sentido do cmpo elétrico totl ns regiões 1 e2 mostrds n figur Justifique 1
σ 3σ -σ d 2d região 1 4 Um nel de plástico, circulr, de rio R, tem um crg negtiv Q uniformemente distriuíd o longo de um qurto d su circunferênci e um crg positiv de 4Q uniformemente distriuíd o longo do restnte d circunferênci Adotndo o potencil no infinito igul zero: ) Clcule o potencil elétrico no centro C do nel ) Clcule o potencil elétrico no ponto P, que está sore o eio do nel um distânci z do seu centro c) Considere, gor, que um prtícul de crg positiv Q e mss M estej loclizd no centro do nel Qundo est prtícul é ligeirmente deslocd do centro do nel, el é celerd té o infinito Clcule velocidde finl dest prtícul (sugestão: utilize o princípio de conservção d energi) P v z Q + 4Q R C -Q 5 Dois stões delgdos, idênticos, de comprimento 2, têm crg +q uniformemente distriuíd o longo dos respectivos comprimentos Os stões estão sore o eio dos, seprdos por um distânci > 2 Mostrr que forç eercid sore o stão d direit é dd por - - + 2
6 Um distriuição de crgs positivs tem form do rco semicirculr de rio R que prece n figur A densidde liner de crg, sore o rco, é dd por λ A crg totl sore o semicírculo é igul Q Clculr: ) O vetor cmpo elétrico no centro de curvtur C do nel (lemre-se que dl = r dθ) ) A crg totl Q em função de λ c) A forç totl sore um crg de vlor Q 0 = 3Q colocd no centro de curvtur C R C θ 7 Um esfer, feit de um mteril isolnte, tem densidde volumétric de crg positiv ρ e rio A esfer está cercd por um csc esféric concêntric, tmém isolnte, com densidde volumétric de crg ρ, rio interno e rio eterno ) Clcule o cmpo elétrico pr r < ) Clcule o cmpo elétrico pr < r < c) Clcule o cmpo elétrico pr r > d) Qul condição pr que o cmpo elétrico n região r > ponte pr o centro d esfer -ρ ρ 8 - Um crg puntiforme positiv q é posiciond no centro de um csc esféric condutor não crregd com rio interno = 1 cm e rio eterno c = 2 cm Como resultdo, superfície etern d csc esféric dquire um densidde de crg superficil σ = (10/π) nc/cm 2 Clculr: c q 3
i) o vlor d crg puntiforme q; ii) densidde de crg superficil d prede intern d csc esféric σ i (deie o resultdo em função de π); iii) A superfície etern é gor conectd à Terr com um fio condutor As densiddes de crg superficiis σ 1 e σ 2 d csc esféric se modificm? Em cso firmtivo, como? c q 9 N configurção que prece n figur, suponh que = 5 cm, = 20 cm e c = 25 cm Além disso, suponh que o cmpo elétrico, num ponto 10 cm do centro, sej igul 3,6 10 3 N/C, e tenh direção rdil pr dentro, enqunto o cmpo elétrico, num ponto 50 cm do centro, sej 2,0 10 2 N/C, dirigido rdilmente pr for Com esss informções chr ) A crg sore esfer isolnte ) A crg líquid n esfer oc condutor c) A crg totl sore fce intern e sore fce etern d esfer condutor oc Isolnte c Condutor 10 Um cilindro isolnte, infinitmente comprido, de rio R, tem um densidde volumétric de crg que vri com o rio conforme r ρ = ρ 0 Onde ρ 0, e são constntes positivs, e r é distânci o eio do cilindro Usr lei de Guss pr determinr o módulo do cmpo elétrico ns distâncis rdis () r < R e () r > R 11 Um crg puntiforme Q está loclizd sore o eio de um disco de rio R à distânci do plno do disco Mostrr que um qurto do fluo elétrico d crg trvess o disco qundo R= 3 R Q 4
12 Um contdor Geiger Muller é um tipo de detector de rdição constituído, essencilmente, de um cilindro oco (o ctodo) de rio interno r e um fio cilíndrico, coil (o nodo), de rio r A crg por unidde de comprimento do nodo é λ, enqunto crg por unidde de comprimento do ctodo é λ λ r -λ r ) Mostrr que diferenç de potencil entre o fio e o cilindro, n região sensível do detector, é r V = 2kλ ln r ) Mostre que o módulo do cmpo elétrico ness região é ddo por V E = r ln r 1 r 13 A figur mostr o esquem d seção ret de um co coil muito longo de comprimento Imgine que o cilindro interno d figur sej não condutor (isolnte) e tenh um densidde volumétric de crg não uniforme dd por ρ(r) = B/r onde B é um constnte positiv O cilindro eterno é metálico (condutor) ) Clcule crg totl no cilindro interno ) Quis são s uniddes de medid de B? Se o cilindro eterno possui um crg líquid q = -πb, clcule: c) A crg n superfície etern do cilindro metálico (eterno) Justifique os seus cálculos d) Clcule o cmpo elétrico (módulo, direção e sentido) ns seguintes regiões: i) < r <c; ii) r > c isolnte 2 2 2c 14 Um esfer sólid isolnte de rio R tem um densidde de crg positiv uniforme com crg totl Q ) Encontre o potencil elétrico em um ponto A for d esfer, isto é, pr r >R Adote o potencil zero no infinito ) Encontre o potencil em um ponto B interior esfer crregd, isto é, pr r < R B A 5
15 Em cert região do espço, o potencil elétrico é ddo por V = (5 3 2 + 2z 2 ) V ) Achr s epressões ds componentes, e z do cmpo elétrico ness região ) Qul é o módulo do vetor cmpo elétrico no ponto P cujs coordends, em metros, são (1, 0, -2)? 16 Um modelo primitivo (incorreto) do átomo de hidrogênio, sugerido por J J Thomson, dmiti que um nuvem positiv, com crg + e, estv uniformemente distriuíd pelo volume de um esfer de rio R, com um elétron, com um crg puntiforme negtiv de mesmo módulo, -e, loclizd no centro d nuvem ) Com lei de Guss, mostrr que o elétron estri em equilírio no centro e que, se fosse deslocdo do centro de um distânci r < R, sofreri um forç resturdor d form F = -βr, onde β é um constnte ) Mostrr que constnte de forç é β = e 2 /(4πε 0 R 3 ) c) Achr um epressão pr freqüênci f ds oscilções hrmônics simples que o elétron efeturi se fosse deslocdo de um pequen distânci (< R) do centro e depois fosse solto d) Clculr o vlor numérico de R que levri à freqüênci de 2,47 10 15 Hz, que é d ri mis intens do espectro do hidrogênio 17 Sej um configurção de crgs puntiformes distriuíd sore os oitos vértices de um cuo de ldo com cd crg tendo vlor q Suponh gor um superfície gussin cúic de ldo ( = 2) centrd no cuo de crgs, como ilustr figur io Respond s seguintes pergunts: ) Podemos usr lei de Guss pr clculr o fluo trvés de tod superfície gussin? Se possível, qul o vlor do fluo? ) Podemos usr lei de Guss pr clculr o fluo trvés de um ds fces do cuo? Se possível, qul o vlor do fluo? c) Podemos usr lei de Guss pr clculr o cmpo elétrico em lgum ponto em um ds fces do cuo? Se possível, qul o vlor do cmpo? d) Suponh gor que superfície gussin ssum um form esféric com rio R (R >>) Podemos usr lei de Guss pr clculr de mneir proimd o vlor do cmpo elétrico em um ponto d superfície esféric? Se possível, qul o vlor deste cmpo? Justifique tods s sus resposts 18 Sej λ (λ > 0) crg por unidde de comprimento distriuíd uniformemente o longo de um segmento de ret de comprimento conforme mostrdo n figur io 0-0 2 3 ) Clcule o potencil (escolhendo como origem o infinito) num ponto 0, loclizdo sore o eio, conforme mostrdo n figur ) Eplique porque é possível definir origem do potencil no infinito c) Determine, prtir do potencil, o vetor cmpo elétrico em um ponto qulquer do eio Justifique (sugestão: use rgumentos de simetri pr simplificr seus cálculos) d) Clcule vrição d energi potencil eletrostátic ( U) qundo um crg Q 0, positiv, se move de um posição 0 = 2 pr um posição 3 6
19 - Um cilindro sólido e isolnte, muito longo e de rio R, possui um densidde volumr de crg positiv e uniforme ρ Usndo lei de Guss ) Ache intensidde do cmpo elétrico no interior do cilindro um distânci r (r < R) do seu eio em termos d densidde de crg ρ ) Encontre intensidde do cmpo elétrico em um ponto for do cilindro (r > R) em função d crg por unidde de comprimento λ c) Compre os resultdos otidos nos itens () e () pr r = R d) Fç um gráfico d intensidde do cmpo elétrico em função d distânci r de r = 0 té r = 3R 20 - Um região do espço contém um crg positiv Q que está distriuíd o longo de um esfer de rio R de tl modo que densidde volumétric de crg ρ(r) é dd por: Nesss relções, α é um constnte positiv com uniddes C/m 3 ) Determine α em função de Q e de R ) Aplicndo lei de Guss, deduz um epressão pr o módulo do cmpo elétrico em função d distânci r Fç esse clculo seprdmente pr cd um ds três regiões Epresse sus resposts em termos d crg totl Q Verifique cuiddosmente se seus resultdos coincidem qunto às fronteirs entre s três regiões 21 Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com crg q = +1,60 10-19 C e um elétron com crg q = -1,60 10-19 C Podemos considerr o próton um crg puntiforme situd em r = 0, o centro do átomo O movimento do elétron fz com que su crg sej esplhd o longo de um distriuição esféric em torno do próton, de modo que o elétron sej equivlente um crg por unidde de volume dd por q 2r / 0 ρ ( r) = e π 3 onde 0 = 5,29 10-11 m é o chmdo rio de Bohr ) Clcule crg totl do átomo de hidrogênio contid em um esfer de rio r centrlizd sore o próton Mostre que, qundo r, crg contid nesse volume tende zero Eplique esse resultdo ) Encontre o módulo, direção e o sentido do cmpo elétrico produzido pelo átomo de hidrogênio em função d distânci r c) Fç um gráfico do módulo do cmpo elétrico em função de r 22 - A figur io mostr oito crgs puntiformes distriuíds nos vértices de um cuo cuj rest é igul d Os vlores ds crgs são + q e q como indicdo Trt-se do modelo d célul unitári de um cristl iônico cúico Por eemplo, no cloreto de sódio (NCl) s crgs positivs são os íons N + e s negtivs são os íons Cl - ) Clcule energi potencil U desse rrnjo (Considere zero o potencil qundo distânci mútu entre s oito crgs for infinit) ) No resultdo do item nterior, provvelmente você encontrou U < 0 Eplique relção entre esse resultdo e oservção d eistênci desses cristis n nturez 0 - q + q + q - q d + q - q - q + q 7
23 Ernest Rutherford, que orientou os eperimentos que firmrm visão modern dos átomos, utilizou um modelo simples do átomo pr eplicr os resultdos eperimentis Rutherford introduziu o conceito de núcleo medinte representção de um átomo com número tômico Z como um prtícul com crg + Ze (o núcleo) no centro de um distriuição de crg esféric uniforme com crg Ze e rio r (os elétrons) ) Com o uílio d lei de Guss, mostre que o cmpo elétrico um distânci r do centro dess distriuição de crg é E = 0 r > r Ze = 1 r E r< r 4πε 2 3 0 r r ) Mostre que o potencil produzido por ess distriuição de crg é V = V = 0 Ze 1 3 r 2r r + 2r 4πε 3 0 2 r< r r > r 24 Um superfície cúic fechd de rest é colocd em um região onde eiste um cmpo elétrico prlelo o eio dos ) Determine o fluo do cmpo elétrico trvés d superfície, considerndo que o cmpo elétrico vri de cordo com E() = C, onde C é um constnte positiv ) Determine crg totl no interior d superfície 25 Um microfone pode ser construído, de form simples, prtir de um cpcitor de plcs prlels cuj seprção entre s plcs vri com pressão d ond sonor que incide sore um ds plcs Pr entendermos o seu princípio de funcionmento vmos clculr crg no cpcitor em função d distânci entre sus plcs Considere um cpcitor de plcs prlels, qudrdo de ldo e distânci d, ligdo permnentemente um fonte de tensão que fornece um ddp de vlor V ) Sendo que o cmpo elétrico entre s plcs é ddo por Q / (ε 0 2 ), clcule cpcitânci C, em função d su geometri ) Clcule crg no cpcitor em função de C c) Clcule o novo vlor d cpcitânci C e o novo vlor d crg Q pr situção em que distânci entre s plcs foi reduzid pel metde Est vrição de crg produz um corrente no circuito que se conectd num mplificdor e lto-flnte irá produzir onds de pressão (ond sonor) d) Clcule energi inicil e finl rmzend no cpcitor, isto é, pr s distâncis d e d/2 É est vrição de energi o longo do tempo ( U/ t) que irá produzir ond sonor 26 Considere dois fios compridos, prlelos, com crgs oposts, de rio d, com os centros seprdos pel distânci D Admitindo-se que crg estej uniformemente distriuíd n superfície de cd fio, mostrr que cpcitânci por unidde de comprimento, desse pr de fios, é dd pel seguinte epressão: 27 Um cpcitor é constituído por dus plcs qudrds de ldos e seprção d Um mteril de constnte dielétric κ é inserido entre s plcs do cpcitor como mostrdo n figur io ) Clcule cpcitânci equivlente dess montgem ) Clcule energi no cpcitor se ddp for V c) determine direção e o módulo d forç eercid sore o dielétrico, dmitindo-se um ddp constnte V Despreze o trito e os efeitos de ord d) Clculr o vlor numérico d forç, pressupondo = 5 cm, V = 2000 V, d = 2 mm e que o dielétrico sej o vidro (κ = 4,5) d 8
28 Um qudrupolo elétrico está loclizdo no eio dos, como mostr figur io Ele é composto de um crg puntiforme + q, situd n posição = +, de um crg puntiforme 2q situd em = 0 e de um crg puntiforme + q situd em = Considere um ponto P do plno, que está longe do dipolo, um distânci r d crg 2q ( chmd zon de rdição, pr qul r>>) + q r P θ + q ) Mostre que o potencil elétrico no ponto P é ddo por ) Clcule componente rdil do cmpo elétrico, E r, e componente norml, E θ c) Os resultdos otidos no item () precem rzoáveis pr θ = 0, 90 e r = 0? Justifique s sus resposts 29 Um distriuição de crg retilíne, long, em form de fit, present um densidde de crg superficil σ uniforme O plno z contém o plno d fit com o eio o longo do seu comprimento, o eio z segundo su lrgur e origem no centro, de modo que o eio sej perpendiculr o plno d fit A fit se estende de z= z = +, de modo que su lrgur é 2 Admit que o comprimento d fit é muito mior do que e muito mior do que distânci d fit o ponto onde o cmpo elétrico é clculdo o O P z ) Clcule o vetor cmpo elétrico no ponto P d figur cim, situdo o longo do eio, distndo d origem ) Clcule, prtir do resultdo do item nterior, o vetor cmpo elétrico no ponto P qundo >> 30 Um rr fin, não condutor, de comprimento, está orientd sore o eio dos, conforme figurio A rr tem um crg positiv quniformemente distriuíd o longo do seu comprimento 9
Tods s resposts dos itens io devem ser em função somente de q,, θ 0, e d permissividde do meio ε 0 θ 0 P ) Clcule o vetor cmpo elétrico no ponto P situdo um distânci d rr, sore meditriz d mesm ) Admit gor que rr dquir crg à medid que o seu comprimento ument, de form que su densidde liner de crg permneç constnte Com o resultdo otido no item nterior, clcule o vetor cmpo elétrico no ponto P crido por um rr infinit c) Clcule o potencil eletrostático (escolhendo como origem o infinito) crido pel rr no ponto P, n condição descrit no item () d) Clcule vrição d energi potencil eletrostátic ( U) qundo um crg de prov Q, positiv, se move de um posição = pr um posição = 2 31 Um csc esféric não condutor, com rio interno e rio eterno, tem um densidde A volumétric de crg vriável, que depende de r, conforme epressão ρ ( r ) =, onde Aé um r constnte positiv e r se mede prtir do centro d csc No centro d csc esféric está loclizd um crg puntiforme positiv q q + ) Qul unidde SI d constnte A? ) Use lei de Guss pr determinr o módulo do cmpo elétrico no interior d csc esféric (região r ) Justifique detlhdmente tods s etps dos seus cálculos c) Determine o vlor d constnte A pr que o cmpo elétrico no interior d csc tenh módulo constnte d) Clcule crg totl contid n csc esféric n condição descrit no item (c) 32 Um cpcitor de plcs plns e prlels, n usênci de um dielétrico, tem áre ds plcsae distânci entre els O cpcitor é crregdo por um teri té possuir crgs + qe q em sus plcs O cpcitor é desconectdo d fonte de crg, de modo que crg de cd plc permnece fi Em função de q, A, e ε 0 (permissividde elétric do vácuo), respond os itens io ) Escrev um epressão pr energi eletrostátic totl rmzend no cpcitor As plcs são fstds té tingirem um distânci dicionl d ) Nest nov situção, determine vrição d energi cumuld no cpcitor c) A prtir do resultdo otido no item nterior, clcule o módulo d forç de trçãof entre s plcs do cpcitor 10