Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa Apotametos Cálculo II Lista 2.1 Breves Revisões de Lógica; Noção de Norma e Distâcia; Breves Noções Topológicas em R 1. Símbolos e operadores lógicos: : Cojuto (Cojuto de faces de uma moeda Cara, Coroa ) : Itervalo (Itervalo de úmeros reais compreedidos etre 0 e 1 0, 1 ) : É igual a (1 1) : Cotém ( ) : Cotém ou iguala ( ) : É cotido por ( ) : É cotido por ou iguala ( ) : Itersectado com ( 0, 1 1, 2 1 ) : Reuido c om ( 0, 1 1, 2 0, 2 ) \: Excepto ( 0, 1 \ 1 0, 1 ) : Pertece a (1 ) : Iclui ( 1, 1 0) : É meor que (1 2) : É meor que ou igual a (1 2) : É maior que (3 2) : É maior que ou igu al a (2 2) : E (cojução) (se x 1, 2, x 1 x 2) : Ou (disjução) (se x, 1 1,, x 1 x 1) :: Tal que ( x 0, 1 : x 0 ) : Qualquer que seja ( x, x 0) : Existe pelo meos um ( x 0, 2 : x 1)! : Existe exacta mete um (! x 1, 2, π : x ) : Implica que ( x x ) : É implicado por (x 0, 2 x 0, 1 ) : É equivalete a (x 0, 1 \ 1 x 0, 1 ) ~ ates de qualquer proposição: Negação da proposição / sobre qualquer operador: Negação do operador 1
2. Codição suficiete para um acotecimeto: Codição que, a verificar se, garate a ocorrêcia de um acotecimeto. (A B) A ocorrêcia de A é codição suficiete para a ocorrêcia de B. Ex.: Ser se aluo da Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa é uma codição suficiete para se ser aluo da Uiversidade Nova de Lisboa. 3. Codição ecessária para um acotecimeto: Codição que tem que se verificar para que um acotecimeto teha lugar. (A B) A ocorrêcia de B é codição ecessária para a ocorrêcia de A. Ex.: Ser se aluo da Uiversidade Nova de Lisboa é uma codição ecessária para se ser aluo da Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa. 4. Relação etre codição suficiete e egação de proposições: Se a ocorrêcia de A é suficiete para a ocorrêcia de B, a ão ocorrêcia de B é suficiete para a ão ocorrêcia d e A (o iverso também é verdadeiro): (A B) B A Ex.: Se ser se aluo da Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa é uma codição suficiete para se ser aluo da Uiversidade Nova de Lisboa, ão se ser aluo da Uiversidade Nova de Lisboa é uma codição suficiete para ão se ser aluo da Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa. 5. Norma de um vector x de (p x ): Medid a do comprimeto de um vector x de. p: 6. Propriedades da orma de um vector x de : Não egatividade: x : p x 0 Nulidade exclusiva do vector ulo: p x 0 x 0 Liearidade a multiplicação po r escalares: x, p λ. x λ.p x Desigualdade triagular: x, y, p x y p x p y 7. Norma Euclideaa de um vector x de ( x ): : x = i=1 x i2 2
8. Distâcia etre dois vectores x e y de (s x,y ): Medi da do comprimeto do vector que ue dois vectores x e y de. s: 9. Propriedade s d a distâcia etre dois vectores x e y de : Não egatividade: x, y, s x,y 0 Nulidade exclusiva da auto distâci a: s x,y 0 x y Reflexividade: x, y, s x,y s y,x Desigualdade triagular: x, y, z, s x,z s x,y s y,z 10. Distâcia Euclideaa etre dois vectores x e y de (d x,y ): d: d x,y i=1 x i y i 2 11. Itersecção de dois cojutos A e B (A B): Cojuto d e elem etos que pertecem simultaeamete a A e a B. A B x: x A x B 12. Reuião de dois cojutos A e B (A B): Cojuto d e elem etos que pertecem a A, a B ou a ambos. A B x: x A x B 13. Complemetar de um cojuto A relativamete a um cojuto B (B \ A): Cojuto de elemet os que ão pertecem a A, mas pertecem a B. B \ A x: x A x B 14. Complemetar de um cojuto A (C A ): Co juto de elemetos que ão pertecem a A. C A x: x A 15. Produto Cartesiao de dois cojutos A e B (A B): Cojuto de todas as combiações possíveis de elemetos de A com elemetos de B. A B x,y : x A y B 3
16. Miorates de um cojuto A de (se existirem): Elemetos de me ores ou iguais a todos os elemetos de A. x é miorate de A y A, x y 17. Majorates de um cojuto A de (se existirem): Elemetos de maiores ou iguai s a todos os elemetos de A. x é majorate de A y A, x y 18. Ífimo de um cojuto A de (if A ) (se existirem miorates de A): Maior miorate de A. x if A x é miorate de A y miorates A, x y 19. Supremo de um cojuto A de (sup A ) (se existirem majorates de A): Meor majorate de A. x sup A x é majorate de A y majorates A, x y 20. Míimo de um cojuto A de (mi A ) (se existir): Elemeto de A que é meo r ou igu al a todos os elemetos de A. x mi A x A y A, x y 21. Máximo de um cojuto A de (max A ) (se existir): Elemeto d e A que é m aior ou igua l a todos os elemetos de A. x max A x A y A, x y 22. Bola aberta, de cetro c e raio r, de (B r c ): Cojuto de potos de que se ecotram a uma distâcia meor do que r do poto c. B r c x : d x,c r 23. Vizihaça, de x, de : Cojuto de potos de que cotém p elo meos uma bola aberta de cetro x. A é uma vizihaça de x r 0: B r x A 24. Poto iterior de um cojuto A de : Poto de A que se ecotra juto apeas a potos de A. 4
Noções Topológicas em R x é um poto iterior de A r 0: B r x A 25. Poto froteira de um cojuto A de : Poto de que se ecotra juto quer a potos de A, quer a potos que ão pertecem a A, ou poto de A que ão se ecotr a juto a ehum out ro poto de A. x é um poto froteira de A r 0, B r x A B r x C A 26. Poto exterior de um cojuto A de : Poto de que ão pertece a A e se ecotra juto apeas a potos que ão pertecem a A. x é um poto exterior de A r 0: B r x C A 27. Poto aderete de um cojuto A de : Poto de que ão se ecotra apeas juto a potos que ão pertecem a A, ou poto de A que ão se ecotra juto a e hum outro poto de A. x é um poto aderete de A r 0: B r x C A 28. Poto de acumulação de um cojuto A de : Poto de que se ecotra juto a potos de A. x é um poto de acumulação de A r 0, Br x A \ x 29. Poto isolado de um cojuto A de : Poto de A que se ão se ecotra juto a ehum out ro poto de A. x é um poto isolado de A x A r 0: B r x A \ x 30. Iterior de um cojuto A de (it A ): Cojuto de potos iteriores de A. 31. Froteira de um cojuto A de (fr A ): Cojuto de potos froteira de A. 32. Exterior de um cojuto A de (ext A ): Cojuto de potos exteriores de A. 33. Fecho ou aderêcia de um cojuto A de (A ): Cojuto de potos iteriores ou froteira de A. 5
A it A fr A 34. Derivado de um cojuto A de (A ): Cojuto de potos de acumulação de A. 35. Relação etre o fecho e o derivado de um cojuto A de : Se A ão tiver potos isolados, o seu fecho e derivado são iguais. 36. Cojuto aberto de : Cojuto costituído apeas por potos iteriores. A é aberto A it A 37. Cojuto fechado de : Cojuto cuj os potos froteira lhe pertecem. A é fechado A A 38. Cojuto limitado de : Cojuto que tem pelo meos um poto com uma orma superior ou igual à de todos os outros seus potos. A é limitado r 0, c : B r c A 39. Cojuto compacto de : Cojuto que é fechado e limitado. 40. Cojuto covexo de : Cojuto que, se cotém dois potos, cotém também todos os potos pertecetes ao segmeto de rect a qu e os ue. A é covexo x, y A, λ 0,1, λ.x 1 λ.y A 41. Cojuto côcavo de : Cojuto que cotém pelo meos dois potos uidos por um segmeto de recta ão totalmete cotido em si. A é côcavo x, y A: λ 0,1 : λ.x 1 λ.y A 6
42. Cojuto coexo de : Cojuto que, se cotém dois potos, cotém também todos os potos de pelo meos uma das lihas que os uem, ou cojuto que ão pode ser represetado pela uião de dois cojutos separado s. A é coexo x, y A, liha A: liha ue x e y A é coexo A 1, A 2 : A 1 A 2 A A 1 A 2 A 1 A 2 43. Cojuto descoexo de : Cojuto que cotém pelo meos dois potos que ão podem ser uidos por ehuma liha totalmete cotida em si, ou cojuto que pode ser represetado pela uião de dois cojutos separados. A é descoexo x, y A : liha A: liha ue x e y A é descoexo A 1, A 2 : A 1 A 2 A A 1 A 2 A 1 A 2 7