Matemática e suas Tecnologias Matemática Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico

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1 Uiversidade Aberta do Nordeste e Esio a Distâcia são marcas registradas da Fudação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução deste fascículo. Cópia ão autorizada é Crime. Matemática e suas Tecologias Matemática Alexmay Soares, Cleito Albuquerque, Fabrício Maia, João Medes e Thiago Pacífico

2 Caro Estudate Neste fascículo, trabalharemos com três assutos bem iteressates e sempre presetes o ENEM. Aálise Combiatória, Probabilidade e Estatística, buscado refletir sobgre o sigificado desses importates coceitos e cotextualizado-os em diversos ceários e situações práticas. O foco é mostrar como estudo dessas áreas pode ser muito útil e istigate para o uso cotidiao. Bos Estudos! Objeto do Cohecimeto Aálise combiatória Pricípio Fudametal da Cotagem (Pricípio Multiplicativo) Detre as técicas de cotagem, a fudametal e bastate ituitiva é o pricípio fudametal da cotagem (P.F.C.), que apresetaremos através de exemplos. Eis o que diz o pricípio fudametal da cotagem: Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sedo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a seguda pode ser feita de modos, etão o úmero de modos de realizar a ação é dado pelo produto m. Observação: No caso das ações com mais de duas etapas, o úmero de modos da ação ocorrer é o produto dos úmeros de possibilidades das respectivas etapas. Arrajos simples e combiações simples É importate, ates de iiciarmos os estudos relativos a arrajo e combiação, etedermos que dois cojutos são iguais quado todos os elemetos de um são também elemetos do outro cojuto e vice-versa, idepedetemete da ordem dos elemetos esses cojutos. Já duas sequêcias ordeadas, somete serão iguais se elas apresetarem, ordeadamete, os mesmos elemetos. Em outras palavras, duas sequêcias ordeadas iguais, além de apresetarem os mesmos elemetos, tais elemetos devem ocupar, respectivamete, ordes (posições) iguais. Por exemplo, os seis cojutos {,, 6}, {, 6, }, {,, 6}, {, 6, }, {6,, } e {6,, } são um mesmo cojuto. Assim, se vamos cotá-los, devemos cosiderálos apeas um cojuto (um grupo). Já as seis sequêcias ordeadas (,, 6), (, 6, ), (,, 6), (, 6, ), (6,, ) e (6,, ) são todas diferetes uma das outras. Se vamos cotá-las, devemos cosiderá-las 6 grupos ordeados distitos. Estado, por exemplo, iteressados em cotar as filas que podemos formar utilizado sempre as mesmas pessoas ou a quatidade de úmeros que podemos formar utilizado sempre os mesmos algarismos, a ordem com que as pessoas ou algarismos aparecem é relevate, isto é, muda a fila ou o úmero. O iteresse, esse caso, está em cotar sequêcias ordeadas, deve-se cotar os arrajos. Estado, por exemplo, iteressado em cotar comissões ou subcojutos, a ordem com que as pessoas ou elemetos aparecem ão é relevate, isto é, ão muda a comissão ou o subcojuto. O iteresse, esse caso, está em cotar subcojutos, deve-se cotar as combiações. Problema das filas de k pessoas escolhidas detre pessoas possíveis Cosidere 7 pessoas. Quatas são as filas distitas formadas com dessas pessoas? Para o primeiro lugar a fila, temos 7 possibilidades; para a seguda posição, 6; para a terceira, 5 e, para a quarta e última posição, possibilidades. Assim, pelo P.F.C., temos = 80 filas. Cada uma dessas filas é uma sequêcia ordeada (diferem pela ordem) e é chamada de arrajo de 7 elemetos, tomados a. Pelo exposto, o úmero de arrajos de 7 elemetos, tomados a, é igual a 80 e pode ser calculado em fução do úmero de pessoas dadas (7) e do úmero de pessoas em cada fila (). Esse úmero de arrajos é dado por: 7! A 7, = = 80 (7 )! 78

3 Resumido: De modo geral, dado um cojuto com elemetos distitos, qualquer sequêcia ordeada de k elemetos distitos, escolhidos detre os elemetos dados, é chamada de arrajo dos elemetos, tomados k a k, e o úmero desses arrajos é dado por: A, k Leia: arrajo de, k a k.! = ( k)! Problema das comissões de k pessoas, escolhidas detre pessoas possíveis Cosidere 7 estudates de uma mesma turma. Para represetar a turma perate a direção do colégio, quatas são as comissões possíveis, formadas com desses estudates? Iicialmete, perceba que as comissões {Maria, João, Pedro, Ivo} e {Pedro, Ivo, João, Maria} são uma mesma comissão, cota-se apeas uma. Logo, queremos cotar subcojutos. Se quiséssemos cotar sequêcias ordeadas (filas) de elemetos, escolhidos detre 7 possíveis, ecotraríamos A 7, = = 80 filas. Acotece, porém, 7! ( 7 )! que uma vez escolhidos quatro estudates detre os 7 possíveis, com esses mesmos quatro estudates pode-se formar P =! = filas distitas (sequêcias ordeadas). Isso os diz que para cada sequêcias ordeadas (as que têm os mesmos elemetos), cota-se apeas uma comissão (um subcojuto). Daí, o úmero correto de comissões com estudates, escolhidos detre 7 possíveis, que podem ser formadas é 80 = 5. Agora, observe que: 7! 80 A7, ( 7 )! 5 = = = P!, isto é, o úmero de comissões (subcojutos) formadas com pessoas, escolhidas detre 7 pessoas possíveis, é. 7!!(7 )! Resumido: De modo geral, dado um cojuto com elemetos distitos, qualquer subcojuto de k elemetos distitos, escolhidos detre os elemetos dados, é chamado de combiação dos elemetos, tomados k a k e o úmero dessas combiações é dado por:! C, k = k = k!( k)! Leia: combiação de, k a k. Exemplo : Fábio, Marcos, Cleito, Érick, Joas, Lucas, Ligeiriho e Vagaroso classificaram-se para a grade fial da prova dos 00 metros rasos que está sedo disputada etre os aluos das escolas públicas e privadas de certo bairro de Fortaleza. Segudo a impresa especializada o assuto, os oito classificados são igualmete favoritos, mas como ão pode haver empate, a ordem de classificação vai ser decidida os detalhes e isso só o tempo dirá. Sabedo que somete serão premiados os três primeiros colocados, recebedo R$ 000,00, R$ 600,00 e R$ 00,00, respectivamete, de quatas formas possíveis poderá ocorrer a classificação dos premiados? Dessas, em quatas Vagaroso será premiado? Em quatas Ligeiriho receberá R$ 000,00? Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas, mudado-se a ordem etre elas, muda-se a classificação, o úmero de classificações possíveis é um úmero de arrajos. I. O úmero de classificações para os três primeiros lugares é o úmero de arrajos de 8 atletas, tomados a, ou seja, A 8, = = = 6. ( 8 )! 8! Esquematizado: o o o 8! lugar, lugar, lugar A8, = = 6 ( 8 )! A8, II. Supodo Vagaroso premiado, temos que decidir a sua posição: possibilidades, para cada uma dessas possibilidades, podemos usar apeas o P.F.C. para resolver este item. Veja: Vagaroso, lugar, lugar fixo o o lugar, Vagaroso, lugar fixo o o 7 6 = ou 7 6 = ou o o lugar, lugar, Vagaroso fixo 7 6 = Total = + + = 6 classificações. III. Fixado Ligeiriho em primeiro lugar (recebedo R$.000,00), basta escolher os outros, detre os 7 7! outros atletas. Assim, temos A 7, = = 7 6 = ( 7 )! classificações para os três primeiros lugares, em que Ligeiriho aparece a primeira posição. Esquematizado: o o 7! Ligeiriho, lugar, lugar A7, = ( 7 )! = 7 6 = fixo A7, Uiversidade Aberta do Nordeste 79

4 Permutação simples e permutação com repetição Teoricamete, todo problema de aálise combiatória pode ser resolvido usado-se apeas o pricípio fudametal da cotagem. Etretato, o cohecimeto atecipado dos resultados de algus problemas que surgirão com relativa frequêcia será providecial, facilitado as resoluções de outros problemas mais sofisticados. Vejamos, agora, algus problemas que vale a pea você cohecer seus resultados: Problema das filas formadas por objetos distitos De quatos modos podemos colocar em fila pessoas? Para ocupar o primeiro lugar a fila, temos possibilidades; para o segudo lugar, possibilidades; para o terceiro, e, para o quarto e último lugar, possibilidade. Daí, usado o P.F.C., temos: =! filas ( filas) De modo aálogo, com objetos distitos, podemos formar ( ) ( )... =! filas diferetes. As filas formadas são agrupametos ordeados (diferem pela ordem) e são chamadas de permutações simples dos objetos. O úmero total de permutações (de filas) é idicado por: P =! (lê-se: permutação de ) Saiba: permutar objetos, a prática, sigifica colocálos em fila e fazer todas as trocas possíveis as posições, sigifica obter todas as filas possíveis. Com o cohecimeto do resultado do úmero de permutações simples, podemos resolver facilmete problemas tais como: Exemplo : Quatas filas diferetes podemos formar com 8 pessoas, se três delas, Raquel, Júlia e Tomás, ão podem ficar jutas (os três)? Temos um total de P 8 = 8! filas, os três ficado jutos ou ão. Agora, supodo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só pessoa, o úmero de maeiras delas ficarem jutas é P =! e o úmero de modos de acomodar os seis elemetos (o grupo RJT e as outras 5 pessoas) a fila é P 6 = 6!. Pelo P.F.C., temos! 6! filas, em que os três ficam jutos. Daí, temos 8!! 6! = 00 0 = 6000 filas, em que os três ão ficam jutos. Esquematizado: R, J, T, E, E, E, E, E5 P8 = 8! = 00 ( total de filas) P P8 RJT, E, E, E, E, E5 P P6 =! 6! = 0 (filas com P6 os três jutos) 00 0 = 6000 (filas em que os três ão ficam jutos) Problema das filas formadas por objetos, sedo algus repetidos De quatos modos podemos colocar 7 bolas de siuca em fila, sedo todas distitas, exceto três delas que são idêticas? Se as bolas fossem todas diferetes, teríamos 7! filas. Para qualquer uma dessas filas, se permutarmos apeas as bolas idêticas, temos! filas repetidas, ou seja, para cada! filas, devemos cotar apeas uma. Daí, o úmero correto de filas é 7! 80! =. A solução desse problema é uma permutação de 7 objetos, com repetição de, cuja represetação é 7 P 7 =!. Se fossem 0 bolas diferetes apeas as cores, sedo azuis, vermelhas, verdes e amarela, a! solução seria uma permutação de 0 objetos, com repetição de, e, cuja represetação é P,, 0 0 =!!! (ote que! = ão é ecessário usar). Em geral, o úmero de permutações de objetos, dos quais a são iguais a X, a são iguais a X, a são iguais a X,..., a K são iguais a X k, é dado por: P = α! α! α!... α! α, α, α,..., α k! Com o cohecimeto do resultado do úmero de permutações de objetos, com repetição, podemos resolver facilmete problemas tais como: Exemplo : Quatos são os aagramas da palavra Papagaio que apresetam as vogais em ordem alfabética? O úmero total de aagramas é P, 8 8 =!!! = 60. Para cada um desses aagramas, permutado só as vogais (A, A, A, I, O), temos P 5 5 =! = 0sequêcias diferetes de vogais, ou seja, para cada 0 aagramas da pa-! lavra Papagaio somete um tem as vogais em ordem alfabética. Daí, o úmero procurado de aagramas é:, P8 P 5 8!!! 60 = = = 68 5!. 0! Permutação circular e o uso da permutação com repetição a resolução de problemas diversos De quatos modos distitos podemos formar uma mesa de buraco com quatro pessoas? k 80

5 Se fossem filas, teríamos! = filas distitas. Na mesa de buraco, A o etato, o que importa é a posição relativa dos jogadores etre si. D B Na mesa formada ao lado, por exemplo, saido de qualquer jogador (letra) e escolhedo um setido C para girar (horário), temos filas: (ABCD), (BCDA), (CDAB) e (DABC). Note que, essas filas, existem possibilidades para começar, mas uma vez começada a fila, as outras letras já ficam determiadas. Portato, para cada filas diferetes, devemos cotar uma úica formação para se jogar buraco. Sedo assim, o úmero de mesas formadas é! =! = 6. Questão Cometada C-H A figura abaixo mostra um mapa de uma pequea parte da cidade de Fortaleza. Quado o professor Thiago Pacífico vai de casa até o shoppig Aldeota, ele percorre exatos 7 quarteirões. Na figura, está represetada apeas uma das várias possibilidades de camihos que ele pode escolher. Determie quatos camihos diferetes, com a mesma distâcia, ele pode escolher para ir de casa até o shoppig. Observação: Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de permutação circular de elemetos e o úmero de permutações circulares de elemetos, quado cotadas em um só setido, é dado por: ( )! PC = =! Resumido: De modo geral, o úmero de permutações circulares de objetos, se cosideradas equivaletes disposições que possam coicidir por rotação, é dado por:! ( PC) = = ( )! Exemplo : De quatos modos podemos formar uma roda de cirada com meios e meias, de modo que os meios e as meias se alterem? Colocado primeiramete as mulheres (M, M, M, M ) a roda, temos (PC) = ( )! = 6 modos de fazer isto. Etre cada duas mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar o primeiro homem (H ) a roda, existem possibilidades; para o segudo, ; para o terceiro, e, para o quarto,, ou seja, existem P =! = maeiras de dispor os homes etre as mulheres. Note que colocado-se os homes uma certa posição possível etre as mulheres já dispostas, qualquer permutação que se faça etre os homes muda-se a posição relativa etre os elemetos do grupo, muda-se a roda. Assim, pelo P.F.C., existem (PC) P =!! = 6 = rodas de cirada possíveis. a) 0 camihos b) 5 camihos c) 0 camihos d) 5 camihos e) 50 camihos Solução cometada: Observe que para Thiago Pacífico sair de casa, localizada o cruzameto das ruas Aa Bilhar e Joaquim Nabuco, ele percorre 7 quarteirões, a saber que ele ada vezes para Sul (S) e vezes para o Leste (L), veja a figura a sequêcia SSLLLSS. Portato, o úmero de camihos possíveis é igual ao úmero de aagramas dessa sequêcia, ou seja, P, 7! 7 = = 5 camihos. Resposta correta: b Para Fixar C-H, H 0. Leia a tiriha.!.! Meio Maluquiho Ziraldo 009 O Globo, 8/0/009 Cosidere como um úico cojuto as 8 criaças meios e meias persoages da tiriha. A partir desse cojuto, podem-se formar grupos, ão vazios, que apresetam um úmero igual de meios e de meias. O maior valor de é equivalete a: a) 5 b) 56 c) 69 d) 7 e) 8 Uiversidade Aberta do Nordeste 8

6 C-H, H5 0. Muitos cosideram a Iteret como um ovo cotiete que traspassa froteiras geográficas e coecta computadores dos diversos países do globo. Atualmete, para que as iformações migrem de um computador para outro, um sistema de edereçameto deomiado IPv (Iteret Protocol Versio ) é usado. Nesse sistema, cada edereço é costituído por quatro campos, separados por potos. Cada campo, por sua vez, é um úmero iteiro o itervalo [0, 8 ]. Por exemplo, o edereço IPv do servidor web da UFF é Um ovo sistema está sedo proposto: o IPv6. Nessa ova versão, cada edereço é costituído por oito campos e cada campo é um úmero iteiro o itervalo [0, 6 ]. Com base essas iformações, é correto afirmar que: a) o úmero de edereços diferetes o sistema IPv6 é o quádruplo do úmero de edereços diferetes do sistema IPv. b) existem exatamete ( 8 ) edereços diferetes o sistema IPv. c) existem exatamete edereços diferetes o sistema IPv. d) o úmero de edereços diferetes o sistema IPv6 é o dobro do úmero de edereços diferetes do sistema IPv. e) existem exatamete ( 8 ) edereços diferetes o sistema IPv. Fique de Olho a mídia e a mega-sena acumulada Etre todas as loterias existetes o Brasil, a Mega-Sea é, ao meos em determiadas ocasiões, a que desperta o maior iteresse a população. Isso se deve ao fato de as regras do jogo possibilitarem, de vez em quado, que as quatias oferecidas como prêmio sejam bastate respeitáveis. Quado isso ocorre, formam-se filas gigatescas as casas lotéricas e os jorais, o rádio e a televisão fazem matérias sobre o assuto, que tratam desde as chaces de que alguém gahe o prêmio máximo até o que o felizardo poderá fazer com todo aquele diheiro. Os professores que dão aulas de Probabilidade e de Aálise Combiatória são cosultados sobre o fucioameto do jogo e especialmete sobre a evetual existêcia de alguma estratégia que melhore as chaces de vitória do apostador. Este artigo é um relato sobre as pergutas que me fizeram e sobre as respostas que eu fui capaz de dar. Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim como eu, já teha tetado a sorte a Mega-Sea, vamos dar uma breve descrição do jogo para ateder aos leitores que, ou por pricípio, ou por serem mais iteligetes do que ós jogadores, uca arriscaram. Para apostar, você escolhe um míimo de seis e um máximo de quize dezeas o cojuto { 0, 0,..., 60}. Cada aposta simples de seis dezeas custa dois reais e, portato, se você marca oito dezeas, estará cocorredo com 8 6 = 8 jogos simples e essa aposta custará ciqueta seis reais. A Caixa Ecoômica Federal, que admiistra o jogo, sorteia seis dezeas distitas e são premiadas as apostas que cotêm (quadra), 5 (quia) ou todas as 6 (sea) dezeas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as seis dezeas sorteadas, o prêmio é geralmete dividido etre poucos acertadores. Se um dado cocurso iguém acerta as seis dezeas, o prêmio fica acumulado para o cocurso seguite. Existem 60 resultados possíveis para 6 um sorteio da Mega-Sea. Esse úmero é maior que 50 milhões (mais precisamete, ele é igual a ) e creio que o leitor cocordará comigo que só mesmo um grade otimista pode acreditar que vai gahar com uma úica aposta. As probabilidades de sucesso a Mega-Sea A perguta mais frequete:. Ituitivamete, o que sigifica ter uma chace em ciqueta milhões? Com o objetivo de fazer com que seus leitores etedam o que sigifica essa probabilidade tão pequea, os joralistas pedem que façamos comparações com a possibilidade da ocorrêcia de outros evetos. É curioso que as comparações solicitadas quase sempre evolvem um eveto auspicioso (gahar o prêmio máximo da Mega-Sea) com tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atigido por um raio ou morrer de câcer. A maior dificuldade em fazer essas comparações está o fato de que em todos os idivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, equato todos os que apostam 6 dezeas têm a mesma chace de acertar a Mega-Sea. Eu acredito que a maeira mais fácil de fazer as pessoas etederem é usado um outro exemplo puramete aleatório. O úmero de habitates do Brasil é quase igual a três vezes o úmero de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios etre toda a população brasileira, a sua chace de gahar um deles seria igual à de gahar o prêmio máximo da Mega- Sea com um jogo de seis dezeas. Flávio Wager Rodrigues. IME-USP. 8

7 Objeto do Cohecimeto Probabilidade Probabilidade I Ao fazer o seguro de um automóvel, o corretor de seguros traça o perfil do cliete. Automóveis cujo codutor pricipal é homem, tem etre 8 e 5 aos e deixa o carro fora de estacioameto fechado têm seguro bem mais caro, embora ão seja certo, mas com esse perfil a chace de ocorrer siistro ou furto do veículo é cosiderável. Um dado hoesto foi laçado ove vezes e em todas elas ocorreu o úmero 5. João apostou que, o décimo laçameto, também daria o úmero cico. Embora laçado as mesmas codições, ada garate que João gahará a aposta. A ecessidade de se quatificar os riscos de um seguro e de avaliar as chaces de gahar em jogos de azar deram origem ao ramo da Matemática que cria, desevolve e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimetos (ou feômeos) aleatórios. Tal ramo da Matemática recebe o ome de teoria das probabilidades. Experimetos aleatórios são experimetos que repetidos sob as mesmas codições podem produzir, por força do acaso, resultados diferetes. Espaço amostral e eveto Espaço amostral é o cojuto de todos os resultados possíveis de um experimeto aleatório e é idicado pela letra grega Ω (lê-se ômega ). Já eveto é qualquer subcojuto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretede ter três filhos, sedo dois homes e uma mulher. Cosiderado H para filho e M para filha, temos: I. cojuto de todos os resultados possíveis para os três ascimetos (espaço amostral): Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)}, cujo úmero de elemetos é (Ω) = 8; II. subcojuto de Ω desejado (eveto): E = {(H,H,M); (H,M,H); (M,H,H)}, cujo úmero de elemetos é (E) =. Se o exemplo aterior o espaço amostral é equiprovável, a chace de cada eveto elemetar ocorrer é de uma em oito, isto é,. Já a chace do eveto (E) ocorrer é + + = (três 8 possibilidades em oito possíveis). Ituitivamete, quado o espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de um eveto E ocorrer, P(E), é dada pela razão etre o úmero de casos favoráveis e o úmero de casos possíveis: ( E) úmero de casos favoráveis P( E) = ( Ω ) = úmero de casos possíves No exemplo citado, P E ( E) ( ) = = ( Ω) 8. Probabilidade Probabilidade é um úmero que mede a chace de um eveto acotecer, é um úmero associado a um eveto. Para a defiição da probabilidade de um eveto (E) qualquer do espaço amostral Ω = {a, a,..., a ), associaremos a cada eveto elemetar {a}, um úmero real, idicado por P(a i ), chamado de probabilidade do eveto elemetar {a i }, tal que: 0 P{a i }, para todo i {,,..., }; Exemplo : Um dado, cujas faces estão umeradas de a 6, respectivamete, foi cofeccioado de maeira que a probabilidade de uma face de úmero par ocorrer é duas vezes mais provável que uma face de úmero ímpar. Determie a probabilidade de ocorrer: a) cada face. b) um úmero primo. O espaço amostral desse experimeto aleatório é Ω = {,,,, 5, 6}, ão sedo equiprovável. Chamado a probabilidade de cada face de úmero ímpar de k, a probabilidade de cada face de úmero par será k. Daí: I. P({}) = P({}) = P({5}) = k e P({}) = P({}) = P({6}) = k; II. P({}) + P({}) P({6}) = k + (k) = k = 9. a) Portato, P({}) = P ({}) = P({5}) = e P({}) = P({}) = P({6})=. 9 b) Ocorrer 9úmero primo é o eveto E = {,, 5}. Daí: P(E) = P({}) + P({}) + P({5}) = k + k + k = k = 9 Eveto certo, eveto impossível e evetos complemetares I. O eveto C, que coicide com o espaço amostral, é dito eveto certo e a sua probabilidade é igual a. Veja: ( C) P( C) = = =, ou seja, a probabilidade do eveto ( Ω) certo ocorrer é 00%. II. O eveto D = { } = (cojuto vazio) é dito impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja: ( D) 0 P( D) = = = ( Ω) 0, ou seja, a probabilidade do eveto impossível ocorrer é 0%. III. Os evetos A e B, tais que A B = (a iterseção é o cojuto vazio) e A B = Ω (a uião é o espaço amostral), são ditos evetos complemetares e suas probabilidades são tais que P(A) + P(B) =. Uiversidade Aberta do Nordeste 8

8 Iterseção de evetos idepedetes Dois evetos A e B são ditos idepedetes quado o fato de ter ocorrido um deles ão alterar a probabilidade do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do eveto B (ou A) ocorrer é a mesma, idepedetemete de B (ou A) ser tomado como subcojuto do uiverso Ω ou como subcojuto do uiverso B. Por exemplo, se um casal plaeja ter três filhos, o eveto A: o primeiro filho é homem e o eveto B: o terceiro filho é mulher são evetos idepedetes. A B é o eveto que ocorre se, e somete se, os evetos A e B ocorrerem simultaeamete. No exemplo aterior, A B é o eveto o primeiro filho é homem e o terceiro filho é mulher, isto é, para ocorrer o eveto A B, o primeiro filho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher. Etão, podemos calcular a probabilidade de ocorrer A B. Veja: Note: Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)} A = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M)} P A ( A) ( ) = = = ( Ω) 8 B = {(H,H,M);(H,M,M);(M,H,M);(M,M,M)} P B ( B) ( ) = = = ( Ω) 8 A B = {(H,H,M); (H,M,M)} P A B ( A B) ( ) = = = ( Ω) 8 Uião de evetos Sedo A e B dois evetos de um mesmo espaço amostral Ω ão vazio, A B (A uião B) é o eveto que ocorre quado há ocorrêcia de A ou de B, isto é, quado ocorre apeas A ou ocorre apeas B ou, aida, ocorrem A e B ao mesmo tempo. Temos dois casos a cosiderar para o cálculo da probabilidade de ocorrer A B: ) A B =. Nesse caso, P(A B) = P(A) + P(B) e os evetos A e B são ditos mutuamete exclusivos. Veja: Uma vez que A e B são cojutos disjutos (A B = ), temos: (A B) = (A) + (B) ) A B. Nesse caso, há ocorrêcia simultâea dos e v e t o s A e B e a probabilidade de ocorrer (A B) é dada por P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).Veja: Da teoria dos cojutos, temos que: (A B) = (A) + (B) (A B) Como (Ω) 0, podemos escrever: ( A B) ( A) ( B) ( A B) = + ( Ω) ( Ω) ( Ω) ( Ω) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) A B Ω Observação: Quado dois evetos A e B são idepedetes, uma outra maeira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem simultaeamete (ou sucessivamete) é P(A B) = P(A) P(B). No exemplo aterior, P( A) =, P( B) = e A e B são idepedetes. Etão: P( A B) P( A). P ( B = ) =. =. Exemplo : (Cesgrario-Adap.) Um juiz de futebol possui três cartões o bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determiado lace, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela? Para o eveto VA escolha do cartão vermelho e amarelo, a probabilidade ép( VA) =. Uma vez escolhido o cartão VA, o eveto B juiz ver a face V e o jogador, a face A tem probabilidadep( B) =. Daí, P( VA B) =. = é a probabilidade procurada. 6 A Exemplo : Realizada uma pesquisa sobre o cosumo dos refrigerates A e B, em certo bairro de Fortaleza, costatou-se que detre as 0 pessoas etrevistadas, 50 cosomem o refrigerate A; 80, o refrigerate B e 0 cosomem os dois refrigerates. Com o objetivo de checar a veracidade das iformações apresetadas, quem ecomedou a pesquisa escolheu, aleatoriamete, um dos etrevistados. Qual a probabilidade da pessoa escolhida cosumir a marca A ou a marca B, segudo a pesquisa apresetada? Como os 0 etrevistados ((Ω)= 0) são igualmete prováveis, temos: ( A) 50 5 I. P( A) = P( A) = = ( Ω) 0 8 II. P B ( B) 80 ( ) = P( A) = = ( Ω) 0 III. P A B ( A B) 0 ( ) = P( A B) = = ( Ω) 0 8 Logo, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P( A B) = 5 6. B 8

9 Questão Cometada C7-H8 Baralho lusófoo O baralho mais usado os países lusófoos (de lígua portuguesa) possui 5 cartas, distribuídas em grupos (também chamados de aipes), os quais possuem cartas de valores diferetes. Os omes dos aipes em português (mas ão os símbolos) são similares aos usados o baralho espahol de quareta cartas. São eles espadas ( ), paus ( ), copas ( ) e ouros ( ), embora sejam usados os símbolos fraceses. Cada aipe possui cartas, sedo elas um ás (represetado pela letra A), todos os úmeros de a 0 e três figuras: o valete (também chamado de Jorge), represetado pela letra J (do iglês jack), a dama (também chamada de raiha) represetada pela letra Q (do iglês quee) e o rei, com a letra K (do iglês kig). Ao ás, geralmete, é dado o valor e às figuras são dados, respectivamete, os valores de, e. Os omes dos aipes em espahol, correspodetes ao baralho de 5 cartas, ão têm as mesmas deomiações do baralho espahol de 0 cartas, que são oros, copas, espadas e bastos, mas seus correspodetes, diamates, corazoes, pique e treboles. Algus jogos também icorporam um par de cartas com valor especial e que uca aparecem com aipe: os curigas (Brasil) ou jokers (Portugal). De um baralho de 5 cartas ( de cada aipe:,, ou ), determie a probabilidade de ser retirada: a) um ás (A). b uma carta de ouro. c) um ás (A) de ouro. d) um ás (A) ou uma carta de ouro. e) uma carta com figura (J, Q ou K). f) três reis em seguida, sem reposição. g) uma carta que ão seja de ouro. h) três cartas em seguida, com reposição, e todas ão serem de ouro. i) três cartas em seguida, com reposição, e pelo meos uma delas ser de ouro. j) um rei (K), dado que a carta é de ouro. k) uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K). Solução cometada: a) Um ás (A). P(A) = /5 = / b) Uma carta de ouro. P( ) = /5 = / = 5% c) Um ás (A) de ouro. Como a distribuição das cartas é uiforme, temos: P(A ) = P(A) P( ) = / / = /5 De outra forma, podemos simplesmete ver que só existe um (A)s de ouro detre as 5 cartas, logo: P(A ) = /5 d) Um ás (A) ou uma carta de ouro. P(A ) = P(A) + P( ) P(A ) P(A ) = /5 + /5 /5 = 6/5 P(A ) = / e) Uma carta com figura (J, Q ou K). Existem valetes (J), damas (Q) e reis (K), logo: P(J Q K) = /5 = / f) Três reis em seguida, sem reposição. Como as cartas retiradas ão vão sedo devolvidas, a probabilidade de retirar o próximo rei vai dimiuido, ou seja: P(K K K) = (/5) (/5) (/50) = /555 g) Uma carta que ão seja de ouro. A chace de tirar uma carta de ouro é P( ) = / e de ão tirar é P( ) = P( ), ou seja: P( ) = / h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas ão serem de ouro. Como há reposição, a probabilidade de retirar uma carta que ão seja de ouro é sempre a mesma, logo: P( ) = (/) (/) (/) = 7/6 i) Três cartas em seguida, com reposição, e pelo meos uma delas ser de ouro. Como devemos tirar três cartas e pelo meos uma tem que ser ouro, cocluímos que a úica coisa que ão pode ocorrer é tirar três cartas seguidas que ão sejam de ouro, etão a probabilidade procurada é: P = (/) (/) (/) = 7/6 = 7/6 j) Um rei (K), dado que a carta é de ouro. Etre as cartas de ouro, existe apeas um rei (K), logo: P(K/ ) = P(K )/P( ) = / k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K). Etre os reis do baralho, apeas uma carta é de ouro, logo: P( /K) = P( K)/P(K) = / Para Fixar C-H; C7-H8 0. Um juiz deve aalisar processos de reclamações trabalhistas, sedo de médicos, 5 de professores e de bacários. Cosidere que, iicialmete, o juiz selecioe aleatoriamete um grupo de processos para serem aalisados. Com base essas iformações, as chaces de que, esse grupo, pelo meos um dos processos seja de professor é: a) 7/ b) 7/0 c) 85/00 d) 85/0 e) 7/88 C7-H9 0. Carlos sabe que Aa e Beatriz estão viajado pela Europa. Com as iformações que dispõe, ele estima corretamete que a probabilidade de Aa estar hoje em Paris é /7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é /7 e que a probabilidade de ambas, Aa e Beatriz, estarem hoje em Paris é /7. Carlos, etão, recebe um telefoema de Aa iformado que ela está hoje em Paris. Com a iformação recebida pelo telefoema de Aa, Carlos agora estima corretamete que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) /7 b) / c) / d) 5/7 e) /7 Uiversidade Aberta do Nordeste 85

10 Fique de Olho Os DoIs bodes Em um programa de televisão, o cadidato é solicitado a escolher uma etre três portas fechadas. Atrás de uma delas, há um prêmio, mais precisamete um carro, e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pesado que esse é um programa domiical de alguma estação de televisão brasileira, vamos logo avisado que está egaado, trata-se de um programa de televisão italiaa. Depois de o cadidato ter escolhido a porta que deseja, mas ates de abrí-la, o aimador do programa, que sabe ode estão os bodes, abre uma das portas que ão foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela. É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o cadidato escolheu há um bode, aida há outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo cadidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e, esse caso, o aimador escolhe ao acaso uma dessas portas para abrir. Etão, esse mometo, o cadidato está com a mão a maçaeta de uma porta fechada, rezado para que ali esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta aberta que mostra um bode. Aí etão se faz uma crueldade com o cadidato. O aimador perguta ao cadidato se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela outra porta que aida permaece fechada. O que você acha que o cadidato deve fazer visado maximizar a probabilidade de gahar o carro? Você acha que ele deve permaecer com a porta que escolhera iicialmete, deve trocar de porta, ou tato faz? Covidamos você a pesar um pouco mais. Fizemos etão uma simulação. No computador, realizamos uma série de 000 experiêcias, arrumado os bodes ao acaso e fazedo com que o aimador, o caso de haver dois bodes as portas ão escolhidas pelo cadidato, selecioasse ao acaso a porta para abrir. Determiamos etão Objeto do Cohecimeto Estatística A Estatística é uma área do cohecimeto que utiliza teorias probabilísticas para explicação de evetos, estudos e experimetos. Tem por objetivo obter, orgaizar e aalisar dados, determiar as correlações que apresetem, tirado delas suas cosequêcias para descrição e explicação do que passou e previsão e orgaização do futuro. A Estatística é também uma ciêcia e prática de desevolvimeto de cohecimeto humao através do uso de dados empíricos. Baseia-se a teoria estatística, um ramo da Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e icerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas práticas estatísticas icluem, por exemplo, o plaejameto, a sumarização e a iterpretação de observações, porque o objetivo da Estatística é a produção da melhor iformação possível a partir dos dados dispoíveis. Algus autores sugerem que a Estatística é um ramo da teoria da decisão. quatas vezes o cadidato gaharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do deve trocar exclamasse ão disse? Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de C. A árvore de probabilidades a seguir mostra, o primeiro estágio, a escolha iicial do cadidato e, o segudo, o bode exibido pelo aimador. O terceiro estágio mostra a seguda escolha do cadidato. / / / A B C / B / / A / / / A / / / B / A C B C B C A C /6 /6 /6 /6 / / / / Observe que o cadidato gaha trocado de porta os casos () e (), portato, com probabilidade igual a. O cadidato gaha sem trocar de porta os casos (6) e (8), 6 com probabilidade igual a. Logo, a probabilidade de gahar trocado de porta é 6 o dobro da probabilidade de gahar sem trocar. Etão, a melhor estratégia é sempre trocar de porta! A árvore mostra também que, depois de exibido o bode, a probabilidade de gahar o o carro é igual a, soma das probabilidades dos casos (), (), (6) e (8). A probabilidade de gahar o carro ates de ser exibido o bode é igual a. Estuda-se Estatística para aplicar seus coceitos como auxílio as tomadas de decisão diate de icertezas, justificado cietificamete as decisões. Os pricípios estatísticos são utilizados em uma grade variedade de situações o govero, os egócios e a idústria, bem como o âmbito da ciêcias sociais, biológicas e físicas. A Estatística presta-se a aplicações operacioais e de pesquisas, sedo efetiva ão só em experimetos de laboratório, mas também em estudos fora dele. A Estatística compreede o plaejameto e a execução de pesquisas, a descrição e a aálise dos resultados e a formulação de predições com base esses resultados. Estatística é o campo do cohecimeto cietífico que trata da coleta e aálise de dados com o fim de se obter coclusões para tomada de decisões. () () () () (5) (6) (7) (8) 86

11 A Estatística pode ser dividida em: Estatística Descritiva ou Dedutiva; Iferêcia Estatística ou Idutiva. Tipos de Variáveis Algumas variáveis como sexo, grau de istrução e estado civil apresetam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do idivíduo pesquisado. São deomiadas de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo a empresa, idade e salário apresetam como possíveis valores, úmeros resultates de uma cotagem ou mesuração. Estas são chamadas Variáveis Quatitativas. Classificação das variáveis em Estatística Qualitativas (atributos) Variáveis Quatitativas (uméricas) Nomiais Ordiais Discretas Cotíuas Exemplos: sexo; cor; religião. Exemplos: grau de istrução; status social. Exemplos: º de fucioários; quatidade de aluos. Exemplos: peso; altura; salário. Distribuição de frequêcias com dados agrupados Um radar, istalado um trecho de uma rodovia, registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em quilômetros por hora, estão idicadas este quadro: Se tetássemos elaborar o quadro de distribuição de frequêcias utilizado esses dados, pouco ou ada poderíamos cocluir, pois eles são muito diferetes. Nesses casos, é iteressate agrupá-ios em classes ou itervalos, escolhedo-se coveietemete a amplitude dos itervalos. No exemplo, podemos agrupar as velocidades em itervalos de amplitude 0. Como o meor valor é 5 km/h, a primeira classe será [50, 60[. Obtemos, assim, o seguite quadro de frequêcias: Classe Velocidade(km/h) f i f r (%) [50, 60[ 6 [60, 70[ 6 [70, 80[ 8 6 [80, 90[ 7 5 [90, 00[ [00, 0[ 7 7 [0, 0[ 8 8 [0, 0[ 7 Total 50 00% A velocidade máxima permitida o referido trecho da estrada é 90 km/h. Como há uma tolerâcia de 0 km/h, os veículos só serão multados a partir de 00 km/h. Quatos por ceto desses veículos foram multados? Observado o quadro, temos: 7 veículos com velocidade o itervalo [00, 0[ veículos com velocidade o itervalo [0, 0[ 7 veículos com velocidade o itervalo [0, 0[ 8 veículos foram multados Observação: O poto que divide o itervalo de classe em duas partes iguais é deomiado poto médio do itervalo. Por exemplo, a velocidade dos veículos a classe 5 [90, 00[ pode ser represetada por: x5 = = 95 km / h O itervalo real [a, b[ também é represetado, em Estatística, pela otação a b. Histograma de frequêcias Quado se trata da represetação gráfica de distribuição de frequêcias com dados agrupados, vamos utilizar um ovo tipo de gráfico, deomiado histograma de frequêcias absolutas. Histograma é um gráfico formado por um cojuto de coluas retagulares. No eixo das abscissas, marcamos as classes, cujas amplitudes correspodem às bases dos retâgulos. No eixo das ordeadas, marcamos as frequêcias abso lutas, que correspodem às alturas dos retâgulos. Os potos médios das bases dos retâgulos coicidem com os potos médios dos itervalos das classes. Cosiderado a distribuição de frequêcias das velocidades do exemplo aterior, dos 50 veículos examiados a rodovia, temos: Uiversidade Aberta do Nordeste 87

12 Observe que sobre cada um dos itervalos foi costruído um retâgulo de área proporcioal à frequêcia absoluta respectiva. Medidas de tedêcia cetral Média aritmética Acompahe a situação a seguir. Uma livraria vede a seguite quatidade de livros de literatura durate uma certa semaa: Seguda Terça Quarta Quita Sexta Sábado Qual foi a média diária de livros vedidos durate essa semaa? Para resolver esse problema, devemos fazer: = =. 6 6 f i Velocidade (km/h) O úmero é chamado média aritmética dos úmeros 8,,, 7, 5 e. Isso sigifica que, se a veda diária dessa semaa fosse sempre a mesma, ou seja, livros por dia, obteríamos o mesmo total de livros vedidos: 8. Assim, a quarta e o sábado, a veda da livraria foi abaixo da média, equato a seguda, quita e sexta foi acima da média. Média aritmética (x) dos valores x, x, x,..., x é o quociete etre a soma desses valores e o seu úmero total : x + x + x x x = Média aritmética poderada A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa. Salário (em R$) Número de fucioários Total 8 Qual a média salarial dos fucioários dessa empresa? Observado a tabela, a média salarial desses fucioários pode ser calculada da seguite forma: x = = , 00 7, 7 8 Portato, a média salarial dos fucioários dessa empresa é R$.7,7. Essa média é cohecida como média aritmética poderada e o úmero de vezes que o salário se repete é deomi ado peso. A média aritmética poderada facilita o cálculo de médias quado há valores que se repetem várias vezes. Nesse caso, multiplicamos os valores pelo úmero de vezes (peso) que eles ocorrem. xf + xf xf x = f + f f ou x i = = x f f i i i i= Mediaa (Md) As ove classes de ª série do esio médio de uma escola têm, respectivamete: 7, 8, 0,, 5, 7, 7, e aluos. Colocado esses dados em ordem crescete: 8, 7, 7, 7, 0,,,, 5, valores mediaa valores A distribuição tem um úmero ímpar (9) de dados. Há quatro valores à esquerda de 0 e quatro valores à direita de 0. Dizemos que o valor cetral dessa distribuição, 0, é a mediaa. Idicamos: Md = 0 O valor que ocupa a posição cetral de um cojuto de valores, colocados em ordem crescete ou decrescete de gradeza, é chamado mediaa. E se o cojuto tiver um úmero par de elemetos? Aí a história é outra. Vejamos. Se osso cojuto for o seguite: {0, 0, 0, 0, 50, 60} Quatos elemetos há? Seis elemetos. Temos, pois: = 6. Um úmero par de elemetos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um úmero par de elemetos o cojuto, sigifica que haverá duas posições cetrais! Estas posições cetrais poderão ser ecotradas da seguite forma: ª Posição Cetral: (/) ª Posição Cetral: a viziha posterior. Nesse caso, em que = 6, teremos: ª Posição Cetral: (/) = 6/ = ª Posição! ª Posição Cetral: a viziha posterior = ª Posição! As duas posições cetrais estão, portato, idetificadas. Resta descobrir quais são os dois elemetos que as ocupam e vejam o que será feito para calcularmos a mediaa. Teremos: {0, 0, 0, 0, 50, 60} ª Posição 0 ª Posição 0 Md = (0 + 0) / Md = 5 88

13 Ou seja, se é um úmero par, descobriremos quais são os dois elemetos que ocupam as duas posições cetrais, somaremos esses elemetos e dividiremos o resultado desta soma por dois. Assim, chegaremos à mediaa do cojuto! Esse valor 5 ão é um dos elemetos! E, o etato, é a mediaa! Moda (Mo) Feita uma pesquisa para saber o úmero de irmãos que cada um dos 0 aluos de uma classe possui, obteve-se o seguite quadro: 0,,,,,,,,,,,, 0,,, 0,,,,,,,,,,, 5,,, Fazedo a cotagem, obtemos a tabela: Número de irmãos Frequêcia absoluta Observe que o úmero de irmãos varia etre 0 e 5 e o úmero que aparece mais vezes é o, isto é, aluos têm irmãos. Dizemos que é a moda desse cojuto de valores e idicamos: Mo = Moda de um cojuto de valores é o valor que aparece um maior úmero de vezes, ou seja, é o valor de maior frequêcia absoluta. Um cojuto de valores pode ter uma só moda, duas modas, três modas etc., ou ehuma moda. Para ilustrar, observe as otas de recuperação em Português obtidas por três classes de uma escola e suas respectivas modas: Classe Notas Moda º A, 5, 6, 7, 8, 8, 9 8 º B, 5, 6, 6, 7, 7, 9 6 e 7 º C,, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ão tem Medidas de dispersão Para caracterizar um cojuto de dados em Estatística, em sempre são suficietes a média, a moda e a mediaa. Em algus casos, temos de recorrer a outros parâmetros, que são chamados medidas de dispersão. Vamos estudar três dessas medidas: desvio médio, variâcia e desvio padrão. Desvio médio (dm) Vamos cosiderar o quadro seguite, que os mostra as otas de Matemática de um aluo durate um ao letivo: Bimestre º º º º Notas Vamos calcular a média aritmética desse aluo: 5 x = = = 7 Calculemos, agora, as difereças etre cada uma das otas e a média. Essas difereças são chamadas desvios para a média ( x x) i : x x = 5 7 = x x = 6 7 = x x = 8 7 = x x = 9 7 = A média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a média é uma medida de dispersão chamada desvio médio, que se idica por dm. dm = i= x x dm x x + x x + = x x + x x = = =, 5 i Variâcia (Va) O valor que correspode à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o ome de variâcia, valor esse que se idica por Va. Va = No mesmo exemplo: f ( x x) i i i= f i i= ( x x) = ( ) = x x ( x x) = ( ) = x x Va = = = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =, 5 Desvio padrão (s) A raiz quadrada da variâcia chama-se desvio padrão do cojuto de dados, valor que represetamos por s. No mesmo exemplo: s =, 5 =, 58 s = Etão, para as otas do aluo cosiderado, temos: média aritmética: x = 7 variâcia: Va =,5 desvio médio: dm =,5 desvio padrão: s =,58 Va Uiversidade Aberta do Nordeste 89

14 Questão Cometada C7-H7 Numa aveida de trâsito rápido, a velocidade dos veículos, em certo trecho e em dado horário, foi observada e está apresetada o quadro abaixo. Velocidade (km/h) Frequêcia (úmero de carros) Total 0 Para dimiuir o úmero de acidetes esse local, a Compahia de Egeharia de Tráfego (CET) estabeleceu um limite de velocidade a essa aveida igual à média da velocidade dos carros observada. Para cotrole, irá istalar um radar que é acioado quado a velocidade do veículo chega a 0% acima da velocidade-limite. A velocidade de acioameto do radar será de: a) 60,5 km/h b) 65 km/h c) 75 km/h d) 8,5 km/h e) 85 km/h Solução cometada: Costruido a tabela temos: Velocidade (km/h) Frequêcia (fi) úmero de carros PM (Poto Médio ) PM fi Total Logo: Σ fi( PM) x = x = x = 75 km/h 0 Logo, a velocidade de acioameto do radar será de (00% + 0%) de 75 km/h, isto é 8,5 km/h. Resposta correta: d mudaça desde 98 (%) produtividade total da agricultura dos EUA custos de material 50 despesas 5 de capital 0 uso da terra -5 custos de mão de obra ao Scietific America Brasil, ju/007, p. 9 (com adaptações). Com base as iformações ateriores, pode-se cosiderar fator relevate para o aumeto da produtividade a agricultura estaduidese, o período de 98 a 00: a) o aumeto do uso da terra. b) a redução dos custos de material. c) a redução do uso de agrotóxicos. d) o aumeto da oferta de empregos. e) o aumeto do uso de tecologias. C7-H8 06. O gráfico ao lado apreseta os valores de 50 aluguéis em uma região praiaa, o verão de 008, utilizado frequêcias absolutas acumuladas crescetes. Valor do aluguel em reais Fazedo a leitura do gráfico, é correto afirmar que: a) 9 dos valores dos aluguéis coletados é de R$ 5,00. b) dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 5,00 e meores que R$ 569,00. c) 9 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 57,00 e meores que R$ 569,00. d) 6 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 58,00 e meores que R$ 595,00. e) dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 57,00 e meores que R$ 5,00. Exercitado para o Eem C-H 0. Observe a tiriha de quadrihos a seguir. CEBOLINHA! QUER PARAR DE TORCER PRA MÔNICA? Freq. abs.acum. CTE Valores dos aluguéis verão/ Para Fixar C7-H9, H0 05. Leia o texto. AUmeNto De produtividade Nos últimos 60 aos, verificou-se grade aumeto da produtividade agrícola os Estados Uidos da América (EUA). Isso se deveu a diversos fatores, tais como expasão do uso de fertilizates e pesticidas, biotecologia e maquiário especializado. O gráfico abaixo apreseta dados referetes à agricultura desse país, o período compreedido etre 98 e 00. Copyriht ã999 Mauricio de Sousa Produções Ltda. Todos os direitos reservados 55 A Môica desafia seus amigos, uma bricadeira de cabo de guerra. Supodo que a posição da Môica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos e que ela pode ocupar o outro lado, juto com os demais, matedo-se em qualquer posição, o úmero de maeiras distitas que podem ocorrer, essa bricadeira, será igual a: a) 60 b) 50 c) 600 d) 0 e) 00 90

15 C-H 0. Uma rede é formada de triâgulos equiláteros cogruetes, coforme a represetação ao lado. Uma formiga se desloca do poto A para o poto B sobre os lados dos triâgulos, percorredo X camihos distitos, cujos comprimetos totais são todos iguais a d. Sabedo que d correspode ao meor valor possível para os comprimetos desses camihos, X equivale a: a) 0 b) 5 c) d) 0 e) IESDE Brasil S.A. IESDE Brasil S.A. Etre 969 e 990, dois desses algarismos foram trocados por letras quaisquer. Nesse período, o emplaca- AM-MANAUS meto era de resposabilidade estadual e, ZD-98 portato, a mesma placa mostrada a seguir podia existir em vários estados. IESDE Brasil S.A. A partir de 990, foram matidos os quatro algarismos e foi acrescetada uma letra. A partir de etão, RS-PORTO ALEGRE o sistema de emplacameto passou a ser acioal, de forma que, atualmete, ão IIY-008 existem duas placas iguais em todo o país. C7-H9 06. A roleta, cosiderada um jogo de azar, é proibida o Brasil. Nesse jogo, a probabilidade de se gahar é sempre meor que a probabilidade de perder. Assim, o jogador terá uma tedêcia atural de cotiuar jogado para tetar recuperar as perdas, podedo desevolver um vício. Nesse jogo, os úmeros que podem ser sorteados vão de 0 a 6, como é possível verificar a figura a seguir st LONDRINA PR 6 7 e) to 8 9 to 6 Etre 9 e 969, elas possuíam 6 algarismos quaisquer, mas ehuma letra. d) d C7-H0 05. As placas que são utilizadas os carros registrados o Brasil sofreram algumas alterações o século passado: Etre 90 e 9, cada muicípio era resposável por expedir as placas de seus automóveis, havedo, portato, muitas placas idêticas ao logo de todo território acioal. c) rd C7-H8 0. Marco estuda em uma uiversidade a qual, etre as moças de cabelos loiros, 8 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castahos; etre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castahos; etre as moças de cabelos ruivos, possuem olhos azuis e possuem olhos castahos. Marisa selecioa aleatoriamete uma dessas moças para apresetar para seu amigo Marco. Ao ecotrar com Marco, Marisa iforma que a moça selecioada possui olhos castahos. Com essa iformação, Marco coclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: a) 0 b) 0/9 c) 9/50 d) 0/50 e) 9/ b) PAR ÍMPAR C-H 0. Um cofre eletrôico possui um paiel com dez teclas uméricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distitas detre seis habilitadas previamete pelo fabricate. Cosidere o úmero máximo de cojutos distitos de três teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis represetam as habilitadas previamete. Se o fabricate reduzisse para cico o úmero de teclas habilitadas, haveria etre elas um total de m cojutos distitos de três teclas distitas para abrir o cofre. Calcule o valor de m. a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 0 a) Sabedo-se que a frota atual de carros o Brasil é de aproximadamete 50 milhões de veículos, a respeito dos diversos sistemas de placas que já foram adotados o país, é correto afirmar que: o sistema adotado etre 9 e 969 poderia ser usado atualmete para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa diferete. o sistema atual jamais terá que ser trocado, mesmo que placas usadas para carros que ão estão mais em circulação pudessem ser reutilizadas, em carros ovos. o sistema adotado etre 969 e 990 ão poderia ser usado atualmete para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa diferete. o sistema atual permite que sejam geradas pouco meos de 00 milhões de placas distitas, sedo mais do que suficiete para a frota brasileira. o sistema adotado etre 969 e 990 permitia que fossem geradas mais de 0 milhões de placas distitas Existem vários tipos de apostas que os jogadores podem fazer esse tipo de jogo, mas a preferida ormalmete é aquela em que se aposta em determiado úmero, cocetradose fichas a escolha feita. Depois que a roleta é posta a girar, após algus segudos, uma boliha cai e para o espaço relativo a um determiado úmero. Esse é o úmero sorteado aquela rodada. O resposável por comadar o jogo observa o tabuleiro e vê se alguém colocou fichas aquele úmero. Em caso afirmativo, paga para esse apostador 6 vezes o valor de sua aposta (a própria aposta e mais 5 vezes o valor dela). Com base essas iformações, assiale a alterativa correta. a) Quato maior o valor apostado por um jogador, maior a chace que ele tem de perder a rodada. b) Quato maior o valor apostado por um jogador, maior a chace que ele tem de gahar a rodada. c) Aalisado exclusivamete pelo poto de vista das probabilidades, a proibição da roleta é uma decisão acertada, pois a. 7for colocada exatamete Se em todos os úmeros do tabuleiro chace de o jogador gahar é de d) uma ficha, esse caso, o cassio ão gaha em perde. e) Se um jogador aposta sempre em um mesmo úmero, aumetam suas chaces de obter lucro após várias rodadas. Uiversidade Aberta do Nordeste 9

16 C7-H8 07. Um agricultor deseja fazer a colheita de sua produção. Para tal, ele realiza uma cosulta sobre a previsão do tempo os próximos dias, pois ele sabe que a colheita demora um prazo de dias para ser completamete realizada e tem que ser feita sem iterrupção e sem chuva a maior parte do tempo. Segudo estudos agroômicos, se a probabilidade de ão chover ao logo dos dias for maior que 0%, vale a pea iiciar a colheita. Se for meor que 0%, ão vale a pea iiciar a colheita. Se estiver etre esses dois valores, pode-se realizar a colheita, mas acoselha-se que ela seja agilizada e termie em apeas dias cosecutivos. A tabela a seguir mostra a probabilidade de chuva o período cosultado. Dia Probabilidade de chover 0% 50% 0% 60% Cosidere os evetos citados como idepedetes. Para tetar maximizar sua chace de sucesso a colheita, esse agricultor deve: a) realizar a colheita os primeiros dias do período cosultado. b) realizar a colheita os últimos dias do período cosultado ou esperar outra ocasião melhor. c) realizar a colheita os primeiros dias do período cosultado ou esperar outra ocasião melhor. d) realizar a colheita os últimos dias do período cosultado. e) deixar para realizar a colheita em outra ocasião. C7-H7 08. A tabela a seguir apreseta as idades dos aluos de Estatística I de certa faculdade. Valores f F c f r % 8 0, 0 8, A 6 8,6 6 5 B 7, C Cosidere: f a frequêcia simples absoluta; F c a frequêcia acumulada crescete; f r % a frequêcia simples relativa. Fazedo a leitura da tabela, é icorreto afirmar que: a) o valor de A é 8. b) o valor de B é. c) o valor de C é 5. d) 75% dos aluos têm meos de 6 aos. e) 6 aluos têm meos que aos. C7-H7 09. Observe o gráfico. Taxa Média de Desocupação (%) 9,9 0, 0,0, 9,8 9,7 9,5 9, 9,5 9,5 9,0 8, 8,7 8, 0/06 0/ /07 IbGe, Diretoria de Pesquisas, Coordeação de Trabalho e Redimeto. Pesquisa Mesal de Emprego. Com base o gráfico apresetado, pode-se afirmar que: a) a média arirmética é igual a 9, e a moda é igual a 9,. b) a média aritmética é igual a 9, e a moda é igual a 8,. c) a média aritmética é igual a 9, e a moda é igual a 9,. d) a média aritmética é igual a 9, e a moda é igual a 0,. e) a média aritmética é igual a 9,0 e a moda é igual a 9,5. C7-H7, H0 0. Veja abaixo uma amostra de 5 tempos (em miutos) de fabricação de certa peça por três equipametos diferetes: Equipameto A: 0,, 9, 0, 0 Equipameto B:,, 0, 0, 8 Equipameto C: 7, 8, 8, 8, 9 Utilizado a pricipal medida de variação, verifique qual o equipameto mais irregular. a) Equipameto A. b) Equipameto B. c) Equipameto C. d) Os equipametos A e B têm a mesma regularidade. e) Todos têm a mesma regularidade. Para Fixar c c a b e c Exercitado para o Eem d b a b c c c b d b Ateção!! Iscreva-se já e teha acesso a outros materiais sobre o Eem o Expediete Presidete: Luciaa Dummar Coordeação da Uiversidade Aberta do Nordeste: Sérgio Falcão Coordeação do Curso: Ferada Deardi e Marcelo Pea Coordeação Editorial: Sara Rebeca Aguiar Coordeação Acadêmico-Admiistrativa: Aa Paula Costa Salmi Coordeação de Desig Gráfico: Deglaucy Jorge Teixeira ISBN Projeto Gráfico: Dhara Sea e Suzaa Paz Capa: Suzaa Paz Editoração Eletrôica: Atôio Nailto Ilustrações: Aldeir Barbosa, Caio Meescal e João Lima Revisão: Maria Sárvia, Rosaa Nues e Sara Rebeca Aguiar Apoio Parceria Realização Promoção