Aceleação ela NBR 613 Cálculo da aceleação máxima via meodologia do iem 9.3. da NBR 613:1988 Auo: Segio Ricado Pinheio Medeios 1. Fundamenos do ocesso aa deeminação da ação dinâmica do veno Na análise esuual de edificações, usualmene, admie-se que o fluxo do veno é unidiecional e que sua velocidade ode se dividida em duas acelas. A imeia é igual à velocidade média do veno e a segunda, de caáe aleaóio, em inensidade vaiável ao longo do emo. Consequenemene, a ação oal do veno na dieção da sua velocidade média ambém é comosa de duas acelas: uma ação média de inensidade consane e oua fluuane. A acela da ação do veno a se consideada na deeminação da esosa dinâmica é a fluuane.. Equação de equilíbio A equação de equilíbio dinâmico aa as esuuas consiuídas o maeial elásico linea, suondo-se o amoecimeno viscoso, e disceizadas via elemenos finios é: MU''() + CU'() = F() (1) N : númeo de gaus de libedade do modelo disceo M : maiz massa, de odem N x N C : maiz de amoecimeno, de odem N x N K : maiz de igidez, de odem N x N U''() : veo coluna aceleações, de odem N U'() : veo de velocidades, de odem N U() : veo coluna deslocamenos, de odem N F() : Veo coluna de cagas exenas, de odem N No caíulo 9 da NBR 613:1988, o cálculo da esosa esuual é ealizado aavés do méodo da sueosição modal. Nesse méodo, emega-se a seguine mudança de coodenadas: U() = Φη() () Na equação acima, Φ eesena a maiz modal, cujas colunas Φ são os modos de vibações lives não amoecidas da esuua, i.e., as soluções do oblema de auovaloes / auoveoes: KΦ = ω M Φ = 1,,..., N (3) E η() eesena o veo das esosas modais. A vaiável ω da equação (3) é denominada de fequência angula e ode se exessa como: ω = π f = 1,,..., N (4) onde f é a fequência naual coesondene ao -ésimo modo de vibação. TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: 1 of 6
Subsiuindo () em (1) e é-mulilicando (1) o Φ, obém-se: Φ M Φ η'' () + Φ C Φ η' () + Φ K Φ η () = Φ F () (5) De (3) decoe que as maizes Φ M Φ e Φ K Φ são diagonais. Assumindo-se que a maiz C ossa se calculada a ai de uma combinação linea de M e K (amoecimeno de Rayleigh), a maiz Φ C Φ ambém seá diagonal. Dese modo, a equação de equilíbio dinâmico (1) ode se eesenada na base fomada elos modos de vibação aavés de N equações escalaes desacoladas, uma aa cada modo, como descio a segui: m η '' () +c η ' () + η () = F * () = 1,,..., N (6) η (): -ésimo emo de η (); m c = = = Φ M Φ: massa modal; Φ C Φ: amoecimeno modal; Φ K Φ: igidez modal; F * = Φ F() : Foça modal genealizada; 3. Aceleação máxima devida á ação do veno Consideando-se que a ação fluuane do veno é um ocesso aleaóio egódigo de média zeo, em-se a seguine elação ene o eseco de oência da esosa modal η e o da foça modal genealizada F *: S (ƒ) = H (ƒ) S (ƒ) = 1,,..., N (7) Sendo H (ƒ) a admiância mecânica, definida como: H (ƒ) = { [ ( 1 - β ) + ( ζ β ) ] } (8) ƒ : vaiável fequência; ƒ : fequência naual associada ao modo de vibação de odem ; β = ƒ / ƒ η ζ = c / (4 π m ƒ ) : azão de amoecimeno cíico O desvio adão da esosa modal seá: σ = { H (ƒ) S (ƒ) dƒ } = 1,,..., N (9) E o valo máximo ovável de η (valo de ico) seá: (η ) = g σ = 1,,..., N (10) sendo g o fao de ico da esosa. Enão, aa o modo de vibação de odem, a esosa de ico ode se exessa o: Û = g σ Φ (11) F* 1/ -1 η 0 max η η F* 1/ No iem 9.5 Cálculo de aceleações máximas aa veificação de confoo da NBR 613/1988 esá escio TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: of 6
que: Se uj denoa o deslocameno no nível z devido à esosa fluuane no modo j, a amliude máxima da aceleação nese nível ode se calculada ela exessão: a = 4 π ƒ u j Cabe saliena que exise um eo oogáfico na noma e o emo u j da exessão acima se encona elevado ao quadado. Escevendo essa exessão da noma na noação adoada nese exo, em-se: a = 4 π ƒ u (1) i : gau de libedade coesondene ao nível z : índice do modo de vibação consideado De (4) e (1), em-se: a = ω u (13) Consideando-se as exessões (11) e (13), a comonene da aceleação máxima, devida ao modo de vibação de odem, auane no o i-ésimo gau de libedade do modelo esuual seá: â = ( g σ ω ) Φ (14) No aêndice A dese exo, é aesenada a dedução do desvio adão da esosa modal σ η aa esuuas sujeias às ações fluuanes do veno definidas segundo a NBR 613:1988, chegando-se a seguine exessão: σ = ( γ / m ) Σ Φ ( z / z ) F (15) γ : aâmeo definido ela exessão (15 a) do aêndice A; i z : alua de efeência; ef z : alua do nó da esuua com -ésimo gau de libedade; : aâmeo meeoológico definido no aêndice A da NBR 613: 1988; A : áea de exosição associada ao - ésimo gau de libedade; F : foça que o veno médio exece na áea de exosição A, definida ela exessão (5a) do aêndice A. Subsiuindo (16) em (15), em-se: â = (g ω ) Φ ( γ / m ) Σ Φ (z / z ) F (16) â = { Σ Φ (z / z ) F } (g ω γ ) / m Φ (17) Fazendo-se: ξ = ( g ω γ ) (18) Tem-se: j j i i η i η ef V V i i ef V i ef V i V TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: 3 of 6
â = { Σ Φ (z / z ) F } ξ / m Φ (19) i ef V i E finalmene: â = F Φ (0) i H i F = { Σ Φ (z / z ) F } ξ / m (1) H ef V A vaiável ξ definida ela exessão (18) é adimensional e denominada de coeficiene de amlificação dinâmica. A NBR 613:1988, no seu caíulo 9, aesena ábacos aa o cálculo desse coeficiene aa as suas cinco caegoias de eeno. Tais ábacos foam geados o Galindez [1], suondo um fao de ico da esosa g igual a 4 e uma foma modal linea. Além desses dois aâmeos, a consução desses ábacos ambém deende []: do efil de velocidades médias do veno, da azão do amoecimeno cíico, das dimensões da suefície fonal da edificação, da fequência naual do modo de vibação e da velocidade de ojeo do veno. 4.Imlemenação comuacional No Sisema CAD/TQS, as comonenes máximas da aceleação nas dieções globais X e Y da esuua devida a ação do veno são calculadas aavés dos seguines assos: a) Cálculo dos modos de vibação e das fequências nauais do modelo esuual; b) Idenificação dos modos inciais de flexão da esuua (Φ ) nas dieções X e Y (=1,); c) Paa cada um dos dois modos de vibação de flexão da esuua, cálculo do veo aceleação: â = F Φ i = 1,,..., N aavés das exessões (0) e (1); i H i d) Combinação das conibuições dos dois modos de flexão aa a aceleação aavés do méodo SRSS (Squae Roo of Sum of Squaes). Nesse méodo, a sueosição das aceleações elaivas aos dois modos flexionais é calculada a ai da aiz quadada da soma dos quadados dos seus emos: â = { â + â } i = 1,,..., N i i1 i 1/ e) Deeminação do valo máximo das comonenes da aceleação nas dieções globais X e Y da esuua: â = máximo (â) x 1 < i <= N e i coesonde a um gau de libedade de anslação na dieção X; â = máximo (â) y 1 < j <= N e coesonde a um gau de libedade de anslação na dieção Y; Aêndice A - Dedução do desvio adão da esosa modal O ocedimeno adoado nese aêndice aa a dedução da exessão do desvio adão da esosa modal, σ = { H (ƒ) S (ƒ) dƒ } = 1,,..., N (1a) η 0 i j F* 1/ de esuuas sujeias às ações fluuanes do veno segue o exoso na disseação de mesado de Galindez [1], cujos esulados seviam de base aa elaboação da NBR 613:1988 [3]. Assume-se ambém que aa cada gau de libedade de anslação dos nós da esuua exisa uma zona de inegação de essões, com uma áea de exosição A i e um coeficiene de aaso C ai. De al modo que as foças aeodinâmicas sejam alicadas nos esecivos gaus de libedade do veo de foças exenas F(). Inexisem zonas de inegação de essões associadas aos gaus de libedade de oação. Vaiáveis que deendam de ais zonas de inegação de essões aa sua definição são assumidas como nulas nas TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: 4 of 6
exessões maemáicas dese aêndice. 1. Relação ene a densidade esecal de oência da foça modal genealizada S F* (f)e o eseco cuzado das foças exenas S (f) nas zonas de inegação i e j S (ƒ) = ΣΣ Φ Φ S (ƒ) / m (a). Relação ene os esecos cuzados das foças exenas S Fij(f) e os da velocidade fluuane do veno S (f) nas zonas de inegação i e j S (ƒ) = (ρ A A C C V V Χ Χ ) S (ƒ) (3a) S (ƒ) = ( 4/ V V ) ( 1/ ρ A C V ) ( 1/ A C V ) Χ Χ S (ƒ) (4a) ρ: massa esecífica do a; A : áea de exosição associada ao -ésimo gau de libedade; C : coeficiene de aaso na áea A a V : velocidade média do veno no nó com gau de libedade ; Χ : admiância aeodinâmica na áea de exosição A ; F* i j Fij Fij Vij A foça que o veno médio exece na áea de exosição é dada o: F = 1/ (ρ A C V ) (5a) Subsiuindo (5a) em (4a), chega-se a: S (ƒ) = ( 4/ V V ) F F Χ Χ S (ƒ) (6a) Fij i j ai aj i j i j vij Fij i j i ai i j aj j i j vij V a Fij i j i V j V i j vij 3. Eseco cuzado da velocidade fluuane do veno da NBR 613:1988 S (ƒ) = S (ƒ) R (f, Δy, Δz ) Vij 1 ij (7a) S (ƒ) : eseco de ubulência de Hais; 1 Δy: difeença ene as coodenas hoizonais y dos nós com gaus de libedades i e j; Δz: difeença ene as coodenas veicais y dos nós com gaus de libedades i e j; R (f, Δy, Δz ) : coeficiene de coelação; ij 4. Eseco cuzado das foças exenas nas zonas de inegação i e j Subsiuindo (7a) na equação (6a), em-se: S (ƒ) = ( 4/ V V ) F F Χ Χ S (ƒ) R (f, Δy, Δz ) (8a) Adoando-se a lei oencial aa a descição do efil veical da velocidade média: V = V (z / z ) (9a) Fij i j i V j V i j 1 ij i ef i ef z : coodenada veical z do nó com i-ésimo gau de libedade; i TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: 5 of 6
z : coodenada veical z de efeência, em geal igual a 10 m; : aâmeo função da ugosidade do eeno e do inevalo de emo, definido no aêndice A da NBR 613:1988 V : velocidade média da coodenada veical igual a zi; V ef i ef : velocidade média na coodenada veical igual a z ef; Resula que: (1/V V ) = ( 1/V ) [ z / (z z ) ] (10a) Subsiuindo (10a) em (8a), obém-se: S (ƒ) = ( 4/ V ) [ z / (z z ) ] F F Χ Χ S (ƒ) R (f, Δy, Δz ) (11a) 5. Desvio adão da esosa modal Subsiuindo (11a) em (a): S (ƒ) = (ΣΣΦ Φ 4 (1/V ) [ z /(z z) ] F F Χ Χ S (ƒ) R (f, Δy, Δz ))/ m (1a) E, em seguida, subsiuindo (1a) em (1a): σ = ΣΣ Φ Φ / m [ z / (z z)] F F γ (13a) γ = 4 H (ƒ) (S (ƒ) / V ) R (ƒ, Δy, Δz) Χ Χ dƒ (14a) Admiindo-se que os emos γ ossam se subsiuídos o um valo médio: γ = 4 H (ƒ) (S (ƒ) / V ) R (ƒ, Δy, Δz)Χ Χ dƒ (15a) Tem-se: i j ef ef i j Fij ef ef i j F* i j ef ef i j η i j ef i j ij 0 0 σ ={(γ / m )( ΣΣ Φ Φ [ z /(z z) ] F F ) } (16a) Reaanjando-se seus emos, a exessão (16a) ode se eescia como: σ ={(γ / m )( ΣΣ((Φ [ z / z ] F ) (Φ [ z / z ] F ))} (17a) Finalmene, lembando que ΣΣ x x = (Σ x ), conclui-se que: σ =(γ / m ) Σ Φ (z / z ) F (18a) Refeências i V j V i j 1 ij i V j V ij 1 ef ij i j ij η i j ef i j 1 ef ij i j medio i V j V 1/ η i ef i i V j ef j j V 1/ η j ef V i j i V j V i j 1 ij [1] Galindez, E. E.: Resosa Dinâmica de Esuuas na Dieção da Velocidade Média do Veno. Disseação de Mesado Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul. Poo Alege, 1979. [] Blessmann, J.: Inodução ao Esudo das Ações Dinâmicas do Veno, ed, Edioa da UFRGS. Poo Alege, 005. [3] ABNT Associação Basileia de Nomas Técnicas, 1988. NBR-613: Foças Devidas ao Veno em Edificações. TQS Infomá ca - Rua dos Pinheios 706 / casa - 054-001 - São Paulo/SP - Tel.:(011) 3883-7 - Fax.:(011) 3883-798 Page: 6 of 6