3. Análise estatística do sinal

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1 3. Análise estatística do sinal A análise da intensidade do sinal ecebido é u pocesso que abange dois estágios, sendo eles: i) a estiativa do sinal ediano ecebido e ua áea elativaente pequena, e ii) a vaiabilidade do sinal e tono deste nível ediano [49]. O estudo da vaiabilidade do sinal ao longo do tepo peite conhece o copotaento do sinal, deteina a taxa co que u sinal cuza u deteinado nível e o tepo e que o sinal peanece abaixo deste nível. Esses paâetos são usados paa deteina a taxa de bits do sinal a se tansitido, estia a pocentage de ua deteinada áea que te intensidade do sinal adequada, pocentage do tepo e que o sistea pode esta foa de opeação devido ao nível do sinal esta abaixo do nível de sensibilidade do equipaento, ente outos. A vaiabilidade do sinal é esultado de dois fatoes: desvaneciento e pequena escala e desvaneciento e laga escala, abos descitos no capítulo. Os canais de popagação e abientes de ádio óvel são aleatoiaente vaiáveis, tanto no tepo quanto no espaço. Po isto, deve se analisados e odelados coo pocessos aleatóios. Paa tal, considea-se o nível do sinal coo ua vaiável aleatóia. A estatística da flutuação do envelope do sinal ecebido pode se caacteizada de acodo co divesas distibuições de pobabilidade existentes na liteatua. A distibuição que elho caacteiza o sinal vaia de acodo co a seelhança ente o sinal ecebido e o sinal paa o qual a distibuição se popõe caacteiza. Este tabalho abange o estudo das distibuições de pobabilidade log- Noal, ayleigh, ice e -Nakagai. O desvaneciento e laga escala, ou seja, a vaiabilidade do sinal ao longo de dezenas de copientos de onda é caacteizada pela distibuição de pobabilidade log-noal. Po outo lado, as distibuições ayleigh, ice e -Nakagai são utilizadas paa desceve o copotaento estatístico do desvaneciento e pequena escala. Este copotaento estatístico deve se analisado e sinais ecebidos ao longo de

2 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 5 u seto. Segundo [3] o copiento deste seto deve se ente a 4 copientos de onda. Nos abientes de popagação e que existe ua coponente do sinal doinante sendo ecebida, o envelope do sinal é descito pela função densidade de pobabilidade de ice ou -Nakagai. Caso esta coponente doinante do sinal deixe de existi, havendo apenas as coponentes povenientes de últiplos pecusos, o sinal passa a segui as caacteísticas da distibuição ayleigh, e geal. A pieia seção deste capítulo consiste e apesenta a distibuição de pobabilidade log-noal. A seção seguinte aboda a distibuição ayleigh, juntaente co a taxa de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento que caacteiza essa distibuição. A seção 3.3 efee-se à distibuição ice e suas caacteísticas de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento. Po fi, é descita a distibuição -Nakagai e a escolha do taanho do seto e que a análise do desvaneciento e pequena escala é ealizada. 3.. Distibuição log-noal A aplitude do sinal que se popaga po eios não guiados sofe atenuação po contibuição de tês fatoes a see citados: i) atenuação do sinal co a distância, ii) desvaneciento e laga escala, tabé conhecido coo sobeaento, iii) e desvaneciento e pequena escala. A distibuição log- Noal desceve a vaiação do envelope (aplitude) do sinal ecebido que sofe o efeito de sobeaento devido a udanças na topogafia, tais quais oos, pédios, etc. A intensidade do capo ( ), e escala linea, é dada pela distibuição log- Noal, Equação.9 []. ( ln( )) p( ) exp ; + π σ σ Equação 3. O gáfico da função densidade de pobabilidade log-noal é ostado na Figua 3..

3 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 53 Figua 3.: Gáfico da função densidade de pobabilidade log-noal. O nível do sinal ecebido (), e decibéis, sob o efeito de sobeaento, pode se expesso pela função densidade de pobabilidade Noal (ou Gaussiana), dada pela Equação 3.. p( ) exp ; + π σ σ onde, é o nível do sinal ecebido e escala logaítica [db], sua édia e desvio padão e decibéis, espectivaente. Gaussiana. Equação 3. e σ são A Figua 3. caacteiza o gáfico da função densidade de pobabilidade Figua 3.: Gáfico da função densidade de pobabilidade Gaussiana.

4 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 54 A pobabilidade do nível do sinal se eno que u dado nível é dada pela função de distibuição cuulativa, de acodo co a Equação 3.3: P( ) pob( ) p( ) d Equação 3.3 A distibuição cuulativa log-noal e Gaussiana, são dadas pelas Equação 3.4 e Equação 3.5 [34, 37, 46]. ln P( ) ef Equação 3.4 σ P ( ) + ef σ Equação 3.5 Os gáficos da função de distibuição cuulativa log-noal e Gaussiana são visualizados na Figua 3.3: (a) (b) Figua 3.3: Gáfico da função de distibuição cuulativa: (a) log-noal; (b) noal.

5 Capítulo 3 Análise estatística do sinal Distibuição ayleigh A distibuição ayleigh desceve a estatística local da vaiação no tepo do envelope do sinal ecebido, co caacteística de desvaneciento plano. Esta distibuição estatística é aplicável apenas e distâncias suficienteente pequenas paa que o pocesso seja consideado estacionáio no sentido aplo. Estas distâncias são denoinadas setoes. A função densidade de pobabilidade (fpd) ayleigh, do envelope do sinal é dada pela Equação 3.6: onde p σ exp σ ( ) ; Equação 3.6 σ é a édia tepoal da potência do sinal antes da detecção do envelope e 5]. é a potência do sinal e desvaneciento de pequena escala [5, A Figua 3.4 osta o gáfico de ua função densidade de pobabilidaayleigh. Figua 3.4: Função densidade de pobabilida ayleigh. 3.7: O valo édio (E[] édio ) da distibuição ayleigh é dado pela Equação

6 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 56 [ ] π édio Ε p( ) d σ, 533σ Equação 3.7 A vaiância ( σ ) da distibuição ayleigh epesenta a potência AC do envelope do sinal e é dada po Equação 3.8: π π [ ] Ε [ ] p ( ) σ σ,49σ σ Ε d Equação 3.8 O valo ediano de é igual a,77σ. Sendo σ o valo s da tensão do sinal ecebido, antes da detecção do envelope, dado pela aiz quadada da édia quadática. A função densidade de pobabilidade e função da sua édia é dada pela Equação 3.9. ( ) exp p Equação 3.9 Ε [ ] Ε[ ] A pobabilidade do envelope do sinal ecebido não excede u deteinado valo é dada pela função distibutiva cuulativa (CDF) na Equação 3.. A Equação 3. é a distibuição CDF ayleigh e função da sua édia. P ayleigh. ( ) ( ) ( ) pob pd exp σ [ ] Equação 3. ( ) P exp Equação 3. Ε A Figua 3.5 osta o gáfico de ua função distibutiva cuulativa

7 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 57 Figua 3.5: Função distibuição cuulativa ayleigh Taxa de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento A distibuição ayleigh caacteiza a estatística de pieia ode do envelope do sinal. Logo, não considea o fato tepo ou distância. Ua infoação ipotante é a descição quantitativa e que os desvanecientos cuza deteinado liia e o tepo pelo qual peanece abaixo deste liia. Estas infoações são povenientes dos paâetos taxa de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento. A taxa de cuzaento de nível ( N ) deteina a fequência espeada e que o sinal cuza u deteinado nível. Paa sinais que são caacteizados pela distibuição ayleigh, a taxa de cuzaento édia, po segundo, a u nível, é dada pela Equação 3. [49]. Esta equação é função da velocidade do óvel, ua vez que u dos seus teos é o desvio Dopple: ( ) N π f ρ exp ρ Equação 3. onde: f desvio Dopple áxio; ρ σ MS ; MS valo MS do envelope do sinal.

8 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 58 A taxa de cuzaento de nível noalizada pode se expessa pela Equação 3.3: N f [ ] πρexp ρ Equação 3.3 A duação édia de desvaneciento ( T ) deteina o tepo édio que cada desvaneciento peanece abaixo de u dado nível. Consideando a pocentage total do tepo e que o sinal peanece abaixo do nível e dividindo pelo núeo de desvanecientos abaixo deste nível, te-se a duação édia de cada desvaneciento, coo osta a Equação 3.4: T P < ) N ( ) σ exp σ π f ( Equação 3.4 A duação édia do desvaneciento noalizada pode se expessa de acodo co a Equação 3.5. ( ρ ) exp T f Equação 3.5 ρ π 3.3. Distibuição ice A estatística da vaiação tepoal do envelope do sinal ecebido é descita pela distibuição ice e cenáios e que existe ua coponente do sinal doinante, tanto e abientes LOS quanto NLOS. O envelope do sinal ( ), e escala linea, de acodo co densidade de pobabilidade da distibuição ice é dado pela Equação 3.6 [5]. onde: p σ exp + A A σ σ ( ) ( ) I, A, Equação 3.6 I é a função de Bessel odificada de ode zeo e pieio tipo; A é a aplitude elativa da coponente doinante do sinal; A é popocional à potência do aio doinante do sinal; σ é popocional à potência dos aios povenientes de ultipecuso.

9 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 59 Usualente, a distibuição ice é expessa e função do fato de ice (K), que consiste da azão ente a potência do sinal doinante e das coponentes de ultipecuso. O fato de ice é dado pela Equação 3.7 [5]. A K Equação 3.7 σ À edida que o fato de ice tende a zeo, e escala linea, a distibuição ice tende a ua distibuição ayleigh. Alé disso, caso o fato K tenda a u valo uito aio que ( k >>), a distibuição ice tende a ua Gaussiana. A Figua 3.6 [49] osta a função densidade de pobabilidade de ice paa os valoes de K, k, k >>. Figua 3.6: Gáfico da função densidade de pobabilidade de ice: (a) K ; (b) k ; (c) k >>. A função densidade de pobabilidade do envelope do sinal ( ), egida pala distibuição ice, pode se escita e função do fato de ice ( K ), Equação 3.8. onde: + Kσ K p( ) exp, I σ σ σ Ε[ ] σ é a vaiância dada po: σ ; ( + K) σ. σ é p desvio padão dado po: ( ) σ Equação 3.8 O valo édio, e escala linea, da distibuição de ice é dado po Equação 3.9: Ε [ ] exp K π K K σ ( + K) I + KI Equação 3.9

10 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 6 onde I () é a função de Bessel odificada de pieia espécie e pieia ode. A CDF ice é dada pela Equação 3. [9, ]. A + x ( ) exp ; A Ax pob x x I x σ x σx Equação Taxa de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento Segundo a distibuição de ice, a taxa édia e que o nível do sinal cuza (e u único sentido) u nível é dada pela Equação 3.: L onde: ( K+ ) f ρ exp K ( K+ ) ( ) ( ρ ) I ρ K( + ) π K Equação 3. ρ Ω p s s Ω p O tepo édio e que o nível do sinal peanece abaixo de u dado nível é dado pelo paâeto tepo édio de desvaneciento (AFD Aveage Fade Duation), Equação 3.. T T P( < ) N π Q( K, ( K + ) ρ ) ( K + ) f ρ exp K ( K + ) ρ I ( ) ( ) ρ K ( K + ) Equação Distibuição -Nakagai Na seção anteio, foi descita a distibuição de ice, que caacteiza a vaiabilidade do sinal e egiões suficienteente pequenas, co édia e desvio padão constantes. Paa este eso abiente pode se utilizada a distibuição -Nakagai. A distibuição -Nakagai foi deteinada co base e dados edidos na faixa de fequência HF e expeientos de laga escala. Esta distibuição inclui, e casos paticulaes, as distibuições n-nakagai e q-nakagai, ciadas anteioente pelo eso auto.

11 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 6 A função densidade de pobabilidade do nível do sinal (), e escala linea, de acodo co a distibuição -Nakagai é dada pela Equação 3.3 [7, 46]. onde: p ( ) exp Γ ( ) Ω Ω Função Gaa: Γ( ) ( Ε[ ]) ( Ε[ ]) ( [ ]) Ε va ( ), Equação 3.3 x e x dx, conhecido coo paâeto da distibuição -Nakagai. va ( ) Ω Ε [ ] Ε ν [ ] Ω ν Γ + Ω Γ( ) ν A édia do envelope do sinal ecebido, e escala linea, de acodo co a distibuição -Nakagai, é dada pela Equação 3.4: Ε [ ] Γ + Ω Γ( ) Equação 3.4 A vaiância da intensidade do sinal detectado na unidade óvel é caacteizada pela Equação 3.5: va ( ) (,5) Γ + Ω Ω Equação 3.5 ( ) 5 Γ A Equação 3.6 deteina a pobabilidade da aplitude do sinal se infeio a deteinado nível [56]. P ( ) pob( ) Γ, x Equação 3.6 Ω onde, Γ ( x) é a função Gaa incopleta, dada pela Equação 3.7. Γ b a ( ab) x exp( x), dx Equação 3.7

12 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 6 A Figua 3.7 abange a epesentação gáfica da distibuição -Nakagai, paa divesos valoes da vaiável. Figua 3.7: Função densidade de pobabilidade da distibuição -Nakagai. A distibuição -Nakagai convege paa distibuição ayleigh quando. Po outo lado, caso, 5 -Nakagai convege paa distibuição Gaussiana unilateal. O valo do paâeto deve sepe assui valoes aioes ou iguais a, Taxa de cuzaento de nível e duação édia do desvaneciento A taxa de cuzaento de nível ( N ) deteinada pela distibuição - Nakagai, ou seja, a taxa espeada, po segundo, e que u sinal cuza u deteinado nível, e ua única dieção, é dada pela Equação 3.8 [5, 7]. N Γ( ) ( ),5 πf ρ exp ρ Equação 3.8 O tepo édio ( T ) e que cada desvaneciento peanece abaixo de deteinado nível é caacteizado pela Equação 3.9:

13 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 63 T T pob( ) N N π f,5 Γ(, ρ ) ρ p( ) d exp ( ρ ) Equação 3.9 onde: f é o desvio Dopple áxio ρ s N é a taxa de cuzaento de nível : paâeto da distibuição -Nakagai. Função Gaa incopleta: 3.5. Diensão de u seto Γ( a, b) b x e a x dx No capítulo, foi definido que paa deteina as coponentes do desvaneciento ápido do sinal deve se feita a subtação do sinal ecebido pela estiativa da édia local, confoe Equação.. A estiativa da édia do sinal é ealizada dento de u intevalo espacial L. Esta distância é denoinada seto, ao longo do qual se te apenas a contibuição do efeito do desvaneciento e pequena escala. A escolha do copiento ideal L faz co que a estiativa da édia local se apoxie ao valo eal da esa. Ao escolhe u seto pequeno tê-se contibuições do desvaneciento ápido na édia ou, caso o seto seja uito gande, as infoações do desvaneciento lento seão pedidas. E abas as situações, o valo estiado se distancia do valo eal da édia local O valo estiado da édia local ( ( x) ) x L ˆ no ponto x é dado pela Equação ˆ ( x ) ( x)dx L Equação 3.3 x+ L onde ( x) é o envelope do sinal ecebido, o ponto x pode se visto na Figua.4. Consideando que ( x ) é a édia local eal no ponto x e que o copiento de L foi escolhido adequadaente, te-se a Equação 3.3.

14 Capítulo 3 Análise estatística do sinal 64 x L ˆ ( x) ( x) ( x)dx L Equação 3.3 x+ L Assuindo que o copotaento da aplitude de ( x) segue a distibuição ayleigh, te-se que a vaiância da estiativa da édia local, noalizada e elação a sua édia, é dada pela Equação 3.3 L x σ ˆ J ( βx)dx 4L L Equação 3.3 π onde J é a função de Bessel de ode zeo, β e λ é o copiento de λ onda [3]. O espalhaento e elação à σ ˆ, e db, é calculado pela Equação + σ ˆ σ ˆ spead log Equação 3.33 σˆ Atavés da solução das equações Equação 3.3 e Equação 3.33 paa divesos copientos L, conclui-se que o taanho ideal paa o seto é 4 λ, pois paa este valo o espalhaento se apoxia a db. Entetanto, segundo [9] u copiento de λ a 4 λ é aceitável paa u seto.