Z 1 Z x 2 dydx + Z 2 Z 2. p y x 2 y: 0 y 1 e Z 1 Z 2. y dxdy: A (D) = p y

Transcrição

1 Gabaito A - manhã Áea o Integal Dula A áea de uma egião D do lano x é dada o:. Esboce o gá co da egião D. Z Z x ddx + Z Z x ddx: D é a egião do imeio quadante, delimitada elo eixo x, ela aábola = x (ou x = ) e ela eta = x (ou x = ).. Exesse a áea A(D) o uma integal iteada na odem dxd. Paa invete a odem de integação, obsevamos a egião D = D [ D descita o: e x : Assim, 3. Calcule o valo da áea A(D). Temos: Z Z dxd: A áea A (D) ode se calculada o integação dula em qualque das odens dxd ou ddx: Z Z dxd = Z ( ) d = h 3 3=i = 3 = 5=6: Volume o Integal Dula O volume de um sólido acima de uma egião D do lano x é dado o:. Esboce a egião D. Z Z x x x + ddx + Z Z x x + ddx: D é a egião do imeio quadante, ente as cicunfeências x + = e x + =.

2 5. Exesse vol() o uma integal dula emcoodenadas olaes. 6. Calcule vol(). Em coodenadas olaes, temos x + = e o Jacobiano é J =. Assim, Z = Z dd = Z = Z 3 dd: O cálculo do volume ode se feito usando a intgal dula em coodenadas catesianas ou em coodenadas olaes. O cálculo em coodenadas olaes tona-se mais simles. Temos: Z = Z 3 dd = = 5 8 : A Massa de um Coo Um coo de massa M e densidade = x + + z tem o fomato da egião do imeio octante, intena às suefícies x + = z e x + + z = z: Comentáio Em imeio luga, obsevamos que as suefícies que deteminam o coo são: o cone x + = z e a esfea x + + z = z, como ilustado na gua abaixo.

3 No imeio octante, temos: x + = z ) z = x + x + + z = z ) x + + (z ) = ) z = + x e a ojeção no lano x é a oção do disco x + do o quadante. 7. Exesse M o uma integal tila em coodenadas catesianas. Em coodenadas catesianas a massa M se exessa sob a foma: ZZZ (x; ; z) dv = Z Z x Z + x x + 8. Exesse M o uma integal tila em coodenadas cilíndicas. z = e z = + dzddx x + + z : Em coodenadas cilíndicas, o cone z = x + e a esfea se exessam, esectivamente, o. A densidade é (; ; z) = + z e, sendo assim, Z = Z Z dzdd z + 9. Exesse M o uma integal tila em coodenadas esféicas. Em coodenadas esféicas, temos: e a massa se exessa sob a foma:. Calcule o valo de M. Z = Z = Z cos cone: = = esfea: = cos densidade: = = sen ddd = Z = Z = Z cos sen ddd: O cálculo da massa tona-se mais simles em coodenadas esféicas. Temos: = Z = Z = Z cos Z = sen ddd = cos sen d = Z = Z = sen d = [ [] cos sen d cos ]= = =: 3

4 Gabaito A - tade Áea o Integal Dula A áea de uma egião D do lano x é dada o:. Esboce o gá co da egião D. Z Z x x ddx + Z Z x ddx: D é a egião do imeio quadante, ente as cicunfeências x + = e x + =.. Exesse a áea A(D) o uma integal dula em coodenadas olaes. Em coodenadas olaes, a egião D é descita o: = e e, otanto, 3. Calcule o valo da áea A(D). Z = Z dd: A áea A (D) ode se calculada o integação dula em coodenadas catesianas ou olaes. O cálculo em coodenadas olaes é mais simles. Temos Z = Z dd = = 3=: Volume o Integal Dula O volume do sólido acima da egião D do lano x e abaixo da suefície z = x é dado o:. Esboce a egião D. Z Z +x x ddx + Z Z x x ddx: A egião D e sua imagem R ela tansfomação T estão exostas nas guas B e C, esectivamente.

5 5. Exesse vol() o uma integal dula na odem dxd. Paa invete a odem de integação, obsevamos a Fig B, onde vemos que e x : Assim, Z Z x dxd: 6. Identi que e esboce o gá co da egião R do lano uv, imagem de D, ela tansfomação T : u = x + e v = x. A Fig. C mosta o gá co da egião R, imagem de D, e vemos que ela ode se descita o: R : u e v u: 7. Exesse vol() o uma integal dula sobe a egião R. Um cálculo dieto nos dá: u x u v x v = = e, sendo assim, obtemos da Fómula de Mudança de Vaiável: 8. Calcule vol(). Z Z x dxd = Z Z u juvj dudv: O cálculo do volume deve feito o etaas, obsevando o sinal do oduto uv. Na oção do o quadante, em que o oduto uv é negativo, a integal que eesenta o volume coesondente deve se ecedida do sinal ( = Z Z u ). Logo, Z Z Z u juvj dudv = uvdudv {z } u 3 du + Z o quadante Z u 3 u du 5 + Z Z u uvdudv {z } ( u) du 3 o quadante = Z Z uvdudv {z } o quadante + + = =: =

6 A Massa de um Coo ela seguinte integal tila: Em coodenadas cilíndicas ; e z, a massa M de um coo é dada Z Z Z 3dzdd: 9. Exesse M o uma integal tila: (a) em coodenadas catesianas; (b) em coodenadas esféicas. da massa: Em imeio luga, obsevamos que a densidade do coo aaece natualmente na exessão Z Z Z 3 dzdd onde vemos que a densidade é = = ou, em coodenadas catesianas, (x; ; z) = = x + : O coo é a oção da esfea sólida x + + z cotada elo cone z = x +, como ilusta a gua D abaixo. A ojeção no lano x é o disco x + ; de cento na oigem e aio. Assim, em coodenadas catesianas: Z Z Z x 3dzdxd x + x + em coodenadas esféicas: Z Z = Z 3 sen ddd sen = Z Z = Z 3ddd:. Calcule o valo de M. O cálculo da massa tona-se mais simles em coodenadas esféicas. Temos: Z Z = Z 3ddd = 3 () (=) = 3 6