Capítulo 3 Estática dos Fluidos

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1 Caítulo 3 Estática dos luidos Emuxo causado ela difeença de massa esecífica ente o a aquecido e o a atmosféico. Univesidade edeal luminense EEIMV - VEM Mecânica dos luidos I I. L. eeia,. J. Silva, J.. eiteia Intodução à Mecânica do luidos Coyight (c) 1 by John Wiley & Sons, Inc

2 .1 Intodução Tóicos Pinciais: Equações básicas da estática dos fluidos; Vaiação de essão na estática dos fluidos; oças hidostáticas em suefícies submesas; Emuxo. Chate 1 Mixtues and Psychometics

3 . Equações Básicas da Estática dos luidos oças de Camo: Paa um elemento de fluido difeencial, a foça de camo gavitacional ode se exessa da foma; d B g dm g ρ dv O elemento infinitesimal de volume dv ode se exesso em temos de coodenadas catesianas confome, então, d B d V g ρ dv dx dy dz g ρ dx dy dz Chate 1 Mixtues and Psychometics

4 . Equações Básicas da Estática dos luidos oças de Suefície: Paa um fluido, na ausência de qualque tensão de cisalhamento, a única foça de suefície atuante é a foça devido à essão, que, o sua vez, é um camo escala; ( x, y z), Chate 1 Mixtues and Psychometics

5 . Equações Básicas da Estática dos luidos oças de Suefície: essão no lado esquedo (E) seá; E y y ( ) y y Maniulando os sinais, tem-se E y E dy dy Semelhantemente, aa o lado dieito, obtém-se, D y dy P x x dx dx I S z z dz dz Chate 1 Mixtues and Psychometics

6 Chate 1 Mixtues and Psychometics. Equações Básicas da Estática dos luidos oças de Suefície: Escevendo as equações aa a foça nas suefícies, tem-se; ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) k dxdy dz z k dxdy dz z j dxdz dy y j dxdz dy y i dydz dx x i dydz dx x d S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

7 . Equações Básicas da Estática dos luidos oças de Suefície: guando e cancelando os temos, d S iˆ ˆj kˆ dx dy dz x y z Pode se eescita da foma, d S gad ( dx dy dz) ( dx dy dz) Chate 1 Mixtues and Psychometics

8 . Equações Básicas da Estática dos luidos oças Total: Combinando as fomulações desenvolvidas aa foças de camo e de suefície, obtém-se a foça total atuando sobe um volume de fluido; ou, d d d g ρ dxdydz B d S ( ρ g) dv dxdydz Chate 1 Mixtues and Psychometics

9 . Equações Básicas da Estática dos luidos Segunda Lei de Newton: licando a ª Lei do movimento de Newton; d dv Substituindo na equação anteio, ρ a ρ g Chate 1 Mixtues and Psychometics

10 . Equações Básicas da Estática dos luidos oça Total: Significado da equação; foça de essão esultante o unidade de volume em um onto ρ g foça de camo o unidade de volume em um onto Esta é uma equação vetoial que ode se decomosta em suas comonentes, x y z ρ g ρ g ρ g x y z,,, dieção dieção dieção x y z Chate 1 Mixtues and Psychometics

11 . Equações Básicas da Estática dos luidos oça Total: Se o sistema de efeência fo escolhido, como z vetical, g x g y e g z -g, então; z Limitações: i. luido estático; ρ g e, x y ii. gavidade é a única foça de camo; iii.o eixo z é vetical e aonta aa cima. Chate 1 Mixtues and Psychometics

12 Vaiação da Pessão em um luido Estático elação Pessão-ltua: Integando a equação anteio aa a dieção vetical, z, de a e de z a z, tem-se: d Então, admitindo a massa esecífica constante, z z ρ g dz [ z ] ρ g z e, fazendo-se h z z obtém-se, g ρ h Chate 1 Mixtues and Psychometics

13 .3 Vaiação da Pessão em luido Estático tmosfea Padão inda é busca de consenso, uma adonização do comotamento da atmosfea, incialmente da temeatua em função da altitude. O modelo EU aesenta a seguinte caacteística ao nível do ma: Poiedade Símbolo SI Temeatua T 15 o C Pessão P 11,35 kpa Massa Esecífica ρ 1,5 kg/m 3 Peso Esecífico γ Viscosidade µ 1, (Pa.s) Chate 1 Mixtues and Psychometics

14 .3 Vaiação da Pessão em luido Estático tmosfea Padão Chate 1 Mixtues and Psychometics

15 .3 Vaiação da Pessão em luido Estático luido Comessível: Gás ideal Consideando gases ideais, a massa esecífica vaia consideavelmente com a altitude. Paa que a integação seja ealizada, a massa esecífica deve se exessa em temos de outas vaiáveis da equação. Desta foma, 1 m V n T e, T então, ρ V M Utilizando a equação da essão hidostática, T d d g ρ g dz T dz Chate 1 Mixtues and Psychometics

16 .3 Vaiação da Pessão em luido Estático luido Comessível: Gás ideal Integando de z onde até z z onde : d z z té ceca de 11. km de altitude, a temeatua vaia lineamente com a altitude, segundo o gáfico temeatua x altitude da atmosfea adão no slide anteio, assim, g T dz T ( z) T mz logo, d z g z ( T mz) dz fonecendo, g m mz 1 T ou, T T g m Chate 1 Mixtues and Psychometics

17 .4 oças hidostáticas em Su. submesas goa seá iniciada a análise de foças sobe uma suefície submesa a fim de esecifica: magnitude ou módulo da foça, o sentido da foça e a linha de ação da foça. Isto se alica à: i. oças Hidostáticas sobe uma Suefície Plana Submesa; ii. oça esultante sobe uma Suefície Plana Inclinada; iii. oça sobe uma Suefície Cuva Submesa. Chate 1 Mixtues and Psychometics

18 .4 oças hidostáticas em Su. submesas oça Hidostática sobe uma Suefície Plana Inclinada: Objetivo: Detemina e (x, y ) onde a foça é alicada.

19 .4 oças hidostáticas em Su. submesas oça Hidostática sobe uma Suefície Plana Inclinada: foça de essão que atua sobe um elemento de áea d dx dy da face sueio é dada o: logo, d d esultante é o somatóio de todas as contibuições infinitesimais sobe a suefície inteia, logo d essão numa altua h ode se exessa como, ρ g h d g y d ρ sinθ ρ g sinθ y d Chate 1 Mixtues and Psychometics

20 .4 oças hidostáticas em Su. submesas oça Hidostática sobe uma Suefície Plana: integal do imeio momento de áea da suefície em tono de x, ode se escita como, onde, y C é o centóide da áea. Então, Chate 1 Mixtues and Psychometics Em outas alavas, y d ρ g sinθ yc ρ y C ( g h ) Onde C é a essão absoluta no líquido na osição do centóide de áea. foça esultante somente é calculada atavés de C. Este onto não é o onto de alicação da foça esultante. C C

21 .4 oças hidostáticas em Su. submesas taefa agoa é detemina as coodenadas do onto de alicação da foça esultante, x e y. Paa tanto, y ode se obtido, econhecendo-se que o momento da foça esultante em tono de eixo x deve se igual ao momento devido à foça de essão distibuída, ou seja, y Da mesma foma, Chate 1 Mixtues and Psychometics ( ) ρ g h d y ( ρ g y sinθ ) y d y y y d ρ g sinθ y d imeia integal e a segunda Integal são, d y d yc e, ρ g sinθ y d ρ g sinθ I xx

22 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Utilizando o teoema dos eixos aalelos aa substitui I xx, elo segundo momento de áea adão, Então, y ou, logo, substituindo, Chate 1 Mixtues and Psychometics I I xx xx ˆˆ y ( I ) xx ˆˆ yc yc ( ρ g yc sinθ ) ρ g θ I xˆ xˆ ρ θ yc g sin sin y y C y C ( ρ g hc ) ρ g sinθ I xˆ xˆ y y y C C ρ g sinθ I ρ g sinθ I xx ˆˆ xx ˆˆ

23 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Se esta mesma essão atua sobe o outo lado da suefície, cancelando-se o efeito de no cálculo da foça líquida, obtém-se, ou, manomética C y ρ g y sinθ y C I y Paa qualque situação de laca submesa, y > y C, o que imlica que o onto de alicação está seme abaixo do centóide. xx ˆˆ C C Chate 1 Mixtues and Psychometics

24 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Uma análise simila ode se feita aa x, que é a coodenada x do onto de alicação da foça esultante sobe a suefície. ssim, tomando-se a soma dos momentos das foças infinitesimais d em tono de y, obtémse x x d Pode-se então exessa como função de y, ( ρ g h) d ( x ρ g x y sin )d x x d x θ inalmente, x x d ρ g sinθ x y d Chate 1 Mixtues and Psychometics

25 .4 oças hidostáticas em Su. submesas imeia integal e a segunda Integal são, x d xc e, ρ g sin θ x yd ρ g sinθ I xy Utilizando o teoema dos eixos aalelos aa substitui I xy, elo segundo momento de áea adão, Substituindo os valoes da imeia e segunda integais, Chate 1 Mixtues and Psychometics I xy I xy ˆˆ x xc ρ g sinθ I xy xc ρ g sinθ xy ˆˆ x Simlificando, logo, x x x C x C C y ( ρ g sinθ yc ) ρ g sinθ I xˆ yˆ C ( I x y ) ( ρ g hc ) ρ g sinθ I xy ˆˆ xc ρ g θ I xˆ yˆ sin C C

26 .4 oças hidostáticas em Su. submesas inalmente, obtém-se x como, x x C ρ g sinθ I Novamente se a essão ambiente atua também sobe o outo lado da suefície, cancelando-se o efeito de no cálculo da foça líquida, obtém-se, x x C I xy ˆˆ y C xy ˆˆ Chate 1 Mixtues and Psychometics

27 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Ex.: suefície inclinada abaixo, aticulada ao longo de ossui 5 m de lagua. Detemine a foça esultante, da água e do a sobe a suefície inclinada. Chate 1 Mixtues and Psychometics

28 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Solução: foça esultante é, da água e do a sobe a comota. fim de se detemina a esultante, deve-se enconta: i. magnitude de ; ii. linha de ação de ; iii.solução o integação dieta; Método da Integação Dieta: s equações básicas utilizadas nesta solução são: Mudança de vaiável: h D η sin 3 e, d wdη ρ g h, d, η η d e x x d Chate 1 Mixtues and Psychometics

29 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Como a essão atmosféica age em ambos os lados, utilizase somente a essão manomética, Integando-se, h D η sin 3 Chate 1 Mixtues and Psychometics ρ g h Paa facilita a integação, integaemos em elação a η ao invés de y, desta foma, usando-se η aa obte exessões aa h e d, obtém-se então, e, d wdη d g h d g L ρ L ρ ( D η sinθ ) wdη L ( D η sinθ ) wdη ρ g w D L sin ρ g θ

30 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Substituindo-se os valoes numéicos na equação integada, L 4 ρ g w D L sinθ 999.x9.86x5.x.x4. sin 3 Obtem-se, 588 kn Paa fins de localização da foça, calcula-se η, logo Desta foma, η η d η 1 1 η d η wdη η ρ g L 1 L ( D η sinθ ) wdη Chate 1 Mixtues and Psychometics

31 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Integando-se, L 3 ρ g w DL L ( D η sinθ ) dη sin ρ g w η η θ 3 Substituindo-se os valoes, η x9.86x5..x4 4 sin Consideando-se a convesão de vaiável.... m D y ζ η η. sin 3 sin 3 6. m Chate 1 Mixtues and Psychometics

32 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Paa enconta x consideandase o momento sobe o eixo dos y, em tono da aticulação, Então, x x d 1 w w x d d w.5 m Chate 1 Mixtues and Psychometics

33 .4 oças hidostáticas em Su. submesas oça Hidostática sobe uma Suefície Plana, Submesa, com Pessão Manomética difeente de zeo na Suefície Live: Chate 1 Mixtues and Psychometics

34 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Enunciado: ota mostada na lateal do tanque é aticulada ao longo da boda infeio. Um essão de 1 sfg é alicada na suefície live do líquido. Detemine a foça, t, equeida aa mante a ota fechada. Solução: Um diagama do coo-live é mostado abaixo, Chate 1 Mixtues and Psychometics

35 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Solução: s distibuições de essões sobe os lados inteno e exteno levaão à foça líquida e otanto à sua localização. Pecauções no método de solução: i. Cuidado na escolha do conjunto de equações aa a esultante e sua localização; ii. Pode-se usa tanto essões absolutas (diagama da esqueda) e calcula duas foças, quanto iii. Pessões manométicas e calcula aenas uma foça (diagama da dieita); Chate 1 Mixtues and Psychometics

36 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Paa oblemas com essões manométicas difeentes de zeo na suefície live. s comonentes da foça devido à aticulação são y e z. foça t ode se deteminada, tomando-se os momentos em tono da aticulação, logo C y y ρ g sinθ I xx ˆˆ, C e M foça esultante e sua localização são, e, C L ( ρ g h ) b L C γ y y C ρ g sin 9 I xx ˆˆ L 1 1 ( γ L ) b L ( γ L ) γ bl 3 L γ L Chate 1 Mixtues and Psychometics

37 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Tomando-se os momentos em tono da aticulação, tem-se M t L ( L y ) então, y t 1 L licando ambas as equações desenvolvidas, t y 1 L Desta foma, L L γ L 1 b L γ b L γ b L 1 L ( γ L ) 6 b L γ b L 1xx lbf 6 6 t O onto de alicação da foça esultante seá, L y γ L 1 3 1x3 1 ( γ L ) ( 1 1x3 ) 1.8 ft Chate 1 Mixtues and Psychometics

38 .4 oças hidostáticas em Su. submesas oça Hidostática sobe uma Suefície Cuva Submesa: Paa suefícies cuvas, as foças esultantes seão deduzidas o integação da distibuição de essão sobe a suefície. foça de essão, agoa, é nomal a suefície em cada onto dos elementos infinitesimais de áea, d, devido a cuvatua da suefície, segundo esquema abaixo: Chate 1 Mixtues and Psychometics

39 .4 oças hidostáticas em Su. submesas foça de essão agindo sobe um elemento de áea d, é dada o, d d agindo no sentido oosto à nomal da áea. esultante ode se exessa como, d a foça ode se eesentada da seguinte foma, iˆ ˆj kˆ x Tomando-se o oduto escala em cada lado da equação, x y iˆ d iˆ d iˆ x z x d x Chate 1 Mixtues and Psychometics

40 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Quando a essão atmosféica atua sobe a suefície live e sobe o outo lado da suefície cuva, a foça líquida vetical é igual ao eso do fluido dietamente acima da suefície. Neste caso aa se detemina a magnitude da comonente vetical, emega-se z z kˆ z d z O temo abaixo eesenta o eso de um cilindo difeencial de líquido acima do elemento de áea, d z, estendendo a distância h da suefície cuva até a suefície live, z ρ g h d ρ g h dz ρ g dv z V ρ g dv Chate 1 Mixtues and Psychometics

41 .4 oças hidostáticas em Su. submesas comonente vetical da foça esultante é obtida o integação sobe a suefície inteia submesa. z ρ g h d ρ g dv ρ gv z V z foça hidostática atuante sobe uma suefície cuva submesa e deteminada em temos de suas comonentes; esultante ode se deteminada o uma foça ua com uma única linha de ação, ou decomosta em suas comonentes e suas esectivas linhas de ação. Chate 1 Mixtues and Psychometics

42 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Ex: comota mostada abaixo é aticulada no onto O e aesenta lagua constante w 5 m. equação da suefície é x y /a, com a 4 m. ofundidade da água à dieita da comota é D 4 m. Detemine a magnitude da foça a alicada, necessáia aa mante a comota em equilíbio se o eso da comota fo desezado. Chate 1 Mixtues and Psychometics

43 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Solução: O esquema de solução baseia-se na deteminação do momento em elação ao onto O aós enconta as foças vetical e hoizontal devido à ação da água. foça vetical é igual ao eso do fluido sobe a suefície, oém, não há fluido sobe a suefície. Chate 1 Mixtues and Psychometics

44 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Solução: Paa tanto, ode-se imagina um sistema de foças equivalentes mostada na figua anteio, atavés de um diagama do coo-live, e assim detemina as foças vetical e hoizontal, sendo estas foças nomais e oostas àquelas de inteesse. Em esumo, a magnitude e a localização da fluida vetical, são dadas elo eso e osição do centóide do fluido acima da comota. magnitude e osição da foça hoizontal são dadas ela magnitude e localização da foça sobe a suefície lana vetical equivalente a ojeção da comosta. Chate 1 Mixtues and Psychometics

45 .4 oças hidostáticas em Su. submesas Solução: s equações básicas são: C I xx ˆˆ, y yc e V ρ gv yc Paa o cálculo de H, a coodenada y do centóide, a áea e o º momento da suefície (laca fina) vetical ojetada são, Logo, aa, y H y 3 h D, D w e I xx w D 1 C C 4 C ρ g hc 999.x9.86x x4x5 y C I y xx ˆˆ C D 3 wd 1 D w D D D ,848kN 4 6,67 m Chate 1 Mixtues and Psychometics

46 Chate 1 Mixtues and Psychometics.4 oças hidostáticas em Su. submesas Paa calcula a foça vetical, é necessáio calcula o eso da água sobe a comota elo sistema equivalente aesentado. Paa um elemento infinitesimal de volume, ( ) dx w y D V d Logo, então, ( ) a D a D V dx x a D g w dx y D g w gv 1 ρ ρ ρ logo, a D a D V x a D x g w dx x a D g w gv ρ ρ ρ ( ) kn 61, a g wd a D a a D g w a D V ρ ρ

47 .4 oças hidostáticas em Su. submesas localização de x desta foça é dada ela osição do cento de gavidade da água acima da comota, ois o momento de V deve se igual ao momento da soma dos esos difeenciais em y, logo então, D a 3 x V ρ g w Dx a x dx ρ g w x ρ g w D V a 5 5 D a 5 ρ g w D 1a V 5 Dx 5 a x 5 999x9.86x5x4 1x4 x313 5 D a 1, m Chate 1 Mixtues and Psychometics

48 .4 oças hidostáticas em Su. submesas licando o momento sobe o onto O, tendo o cuidado de alica os sinais adequados, ois o oblema foi esolvido no sistema de efeência com fluido acima da comota, logo M O l a x V ( D y ) H então, a x V ( D y ) 1, x61,3 ( 4,67) l H 5 391, ,97 kn Chate 1 Mixtues and Psychometics

49 .5 Emuxo e Estabilidade Emuxo: Se um objeto estive imeso em um líquido ou flutuando em sua suefície, a foça líquida vetical agindo sobe ele devido à essão do líquido é denominada emuxo. Chate 1 Mixtues and Psychometics

50 .5 Emuxo e Estabilidade foça vetical que age sobe um coo totalmente imeso devido à essão hidostática é deteminada consideando elementos de volume cilíndicos, mostados abaixo, Logo, a essão num líquido a uma ofundidade h, seá ρ g h foça líquida vetical sobe o elemento é, ( ρ g h ) d ( ρ g h ) d g ( h h )d d z 1 ρ 1 Chate 1 Mixtues and Psychometics

51 .5 Emuxo e Estabilidade Poém, o volume do elemento é dado o, dv ( h h1 )d Po conseguinte, z d z Onde V é o volume do objeto. ssim, a foça de emuxo aa um coo submeso, é igual ao eso do fluido deslocado. V ρ gv ρ g dv elação utilizada em a.c o quimedes aa detemina o teo de ouo da cooa do ei Hieo II. Exlica o incíio de funcionamento de embacações, balões meteeológicos, submainos, etc. Chate 1 Mixtues and Psychometics

52 .5 Emuxo e Estabilidade O uso de lasto em embacações ode se necessáio aa se obte estabilidade. Navios de guea feitos de madeia tansotavam lasto de edas nos oões aa comensa o eso dos canhões no convés de amas. elação ente o emuxo e a cento de gavidade é mostada a segui, Chate 1 Mixtues and Psychometics

53 .5 Emuxo e Estabilidade Ex: Um balão de a quente de 5 ft de diâmeto deve levanta um cesto de 6 lbf. Qual a temeatua que o balão deve se aquecido de modo a ossibilita a decolagem? Chate 1 Mixtues and Psychometics

54 .5 Emuxo e Estabilidade Solução: equação do emuxo deve se emegada aa detemina a sustentação geada ela atmosfea. equação de equilíbio de foças deve contemla a vaiação de massa esecífica em função da temeatua. ssim, emuxo ρ gv y s hióteses são: O a se comota como gás ideal e a essão atmosfea enconta-se o todos os lados. Somando as foças veticais, y emuxo Então, tem-se, W, e ρ T a quente Wcaga ρatmgv ρa quentegv Wcaga ρ a quente ρ atm W gv caga 6, ,π 5 6,93slug ft 3 Chate 1 Mixtues and Psychometics

55 .5 Emuxo e Estabilidade temeatua em ankine seá, logo, T ρ T ρ T aquente a quente atm,377x(59 46),93 T ρatm atm a quente 59,19 13,18 ρ a quente atm Chate 1 Mixtues and Psychometics

56 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido luido como Coo ígido: Existe uma categoia de movimento de fluidos que ode se estudada emegando os conceitos de estática dos fluidos, ois neste caso, este se movimenta como um coo ígido, na ausência de qualque tensão de cisalhamento. O movimento de um coo ígido ode se dividido em dois movimentos: de otação e de tanslação ua. s foças de essão e gavidade agindo sobe uma atícula fluida, são da foma d ρ g d logo, d dv ( ) V ρ g Chate 1 Mixtues and Psychometics

57 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido esultante das foças que atuam sobe um coo ígido, na ausência de eda de massa, seá, d ρ g ρ a dv conclui-se que, foça de essão esultante o unidade de volume em um onto ρ g foça de camo o unidade de volume em um onto ρ a massa o unidade de volume em x um onto aceleação da atícula de fluido Chate 1 Mixtues and Psychometics

58 Chate 1 Mixtues and Psychometics.6 luidos em Movimentos de Coo ígido Sendo a equação anteio uma equação vetoial, as comonentes desta equação em coodenadas etangulaes odem se exessas do seguinte modo, z a g z y a g y x a g x z z y y x x dieção, dieção, dieção, ρ ρ ρ ρ ρ ρ Paa outos sistemas de coodenadas, o exemlo, o cilíndico, o gadiente de essão deve se exesso de foma aoiada, z e e e z ˆ ˆ ˆ θ θ

59 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Ex1: Deve-se tansota na taseia de uma van um tanque de eixes. Este tanque aesenta dimensões de 1 x 4 x 1 in. Quanto de água se ode deixa no tanque e ainda gaanti que ela não deamaá duante a viagem? Chate 1 Mixtues and Psychometics

60 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Solução: Haveá movimentos na suefície da água, além de sacudidas. Todavia, admite-se que o incial efeito sobe a suefície da água é aquele devido às aceleações e desaceleações lineaes do automóvel. O sistema de coodenada escolhido, x seá na dieção do movimento e y na vetical. Também não haveá movimentos elativos da água, ois as aceleações são constantes. Dados do oblema: Tanque acialmente cheio até a ofundidade d, aceleação constante a x, altua do tanque 1 in, comimento na dieção do movimento é b e a lagua do tanque na dieção eendicula é c. Chate 1 Mixtues and Psychometics

61 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Deve-se detemina: i. foma da suefície sob aceleação constante; ii. ofundidade d, aa evita deamamento; iii. oientação ótima do tanque e a ofundidade da água. Equações básicas: ρ g ρ a Chate 1 Mixtues and Psychometics

62 Chate 1 Mixtues and Psychometics.6 luidos em Movimentos de Coo ígido Exandindo a equação vetoial nas comonentes escalaes, ( ) ( ) z y x z y x a k a j a i kg jg ig z k y j x i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ essão não é função de z, também, g x g z, g y -g e a y a z. Po conseguinte, a x i g j y j x i ρ ρ ˆ ˆ ˆ ˆ s comonente da foça são são: g y a x x ρ ρ

63 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido O oblema agoa é tenta detemina a foma que a essão vaia em temos de x e y, ou seja, ( x y), Desta foma, é ossível exessa a função em função de suas deivadas aciais de x e y, logo d ( x, y) ( x, y) dx dy x Como a suefície live é uma linha de essão constante, cte, logo, d, obtendo-se ( x, y) ( x, y) x dx y y dy ρ a x dx ρ g dy Chate 1 Mixtues and Psychometics

64 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Logo, a foma da suefície live ode se exessa como, dy dx a x g Conseqüentemente, a suefície live aesenta a foma lana. No diagama aesentado, a altua acima da ofundidade oiginal ode se exesso como, tanθ e b, então tem-se, e b b dy b a tan θ x Válida somente quando a suefície live inteceta a aede fontal no iso ou acima dele! dx g Chate 1 Mixtues and Psychometics

65 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Como deseja-se sabe a esessua e, aa uma dada a x, o tanque deve se alinhado de foma que b seja tão equeno quanto ossível. Logo, b 1 in, então e b a x a 6 g g O valo máximo aa a esessua, e, é da foma, ssim, 1 d e 1 d 6 a g x e in d x max 1 6 a g x Chate 1 Mixtues and Psychometics

66 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Ex: Um eciiente cilíndico, acialmente cheio de líquido, é giado com uma velocidade angula constante, ω, em tono do seu eixo. ós um cuto intevalo de temo, não existiá qualque movimento elativo, o líquido então gia com o cilindo como se o sistema fosse um coo ígido. Detemine a foma da suefície live. Chate 1 Mixtues and Psychometics

67 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Solução: Pede-se a foma da suefície live de um líquido em otação. ssim, um diagama do oblema oosta aesenta a seguinte foma, Chate 1 Mixtues and Psychometics

68 Chate 1 Mixtues and Psychometics.6 luidos em Movimentos de Coo ígido Equações básicas: a g ρ ρ Exandindo a equação vetoial nas comonentes escalaes, ( ) z y z a k a e a e g k z k e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ θ θ ρ ρ θ Também, a θ a z, a -ω. Po conseguinte, e g k z k e e ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ω ρ ρ θ θ s comonentes são, ρ ω, θ e g z ρ

69 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Obseva-se que a essão não é função de θ e sim de e z, logo, Potanto, d (, z) (, z) d dz (, z) (, z) d d dz ρ w d ρ g dz z Integando em elação a um onto de efeência 1 e outo qualque, 1 d 1 ρ w d z z z 1 ρ g dz Chate 1 Mixtues and Psychometics

70 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Substituindo os limites, ρ w ( ) 1 1 ρ g( z z1 ) Tomando o onto de efeência sobe o eixo do cilindo na suefície live, tem-se, ρ w atm ρ g( z h1 ) Como a suefície live ossui essão constante, z h 1 ( w) g suefície é um aabolóide de evolução, com vétice em z h 1. Chate 1 Mixtues and Psychometics

71 .6 luidos em Movimentos de Coo ígido Paa evolvemos h 1, sob otação em temos de h, na ausência de otação, sabe-se que o volume do líquido emanece constante, Como otação, V z Simlificando, V π h π dz d π z d π h1 w g 3 d V 3 4 w w π h1 d h1 g π π 4g h Chate 1 Mixtues and Psychometics

72 Chate 1 Mixtues and Psychometics.6 luidos em Movimentos de Coo ígido inalmente, ós a maniulação algébica, 1 4g w h h ( ) g w h g w g w h g w h z ou, 1 g w h z