UTILIZAÇÃO DE MODELOS RESILIENTES NA ANÁLISE DE PAVIMENTOS ASFÁLTICOS

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1 UTILIZAÇÃO DE ODELOS RESILIENTES NA ANÁLISE DE PAVIENTOS ASFÁLTICOS Áuea Silva de Holanda Depaameno de Engenhaia de Tanspoes Univesidade de Fedeal do Ceaá Evando Paene Junio Depaameno de Engenhaia Esuual e Consução Civil Univesidade de Fedeal do Ceaá Lucas Tadeu Baoso de elo Henique Nogueia Silva Ségio Cosa de Souza Depaameno de Engenhaia de Tanspoes Univesidade de Fedeal do Ceaá RESUO Ese aigo apesena alguns aspecos fenomenológicos dos modelos esilienes usados em pavimenação e sua implemenação compuacional. As eapas de implemenação, compeendendo a monagem do sisema de equações, a deeminação das ensões e da maiz consiuiva angene, são discuidas. Uma meodologia paa a análise não-linea de pavimenos asfálicos baseada no éodo de Newon-Raphson é apesenada e validada a pai de exemplos numéicos. Os esulados deses exemplos apesenaam boa concodância quando compaados com os calculados po pogama exisene já consolidado na lieaua. ABSTRACT This pape pesens some phenomenological aspecs egading he esilien models used in pavemen analysis, as well as is compuaional implemenaion. The implemenaion sages, including he assembly of he equaion sysem, definiion of sesses and he angen consiuive maix ae discussed. A mehodology fo a nonlinea analysis of asphalic pavemens based on he Newon-Raphson mehod is pesened and validaed fom numeical examples. The esuls fom he examples ae in good ageemen wih he ones obained by an exising compuaional pogam well efeenced in he lieaue. 1. INTRODUÇÃO O dimensionameno mecanísico de pavimenos asfálicos passa pela análise ensãodefomação dos mesmos, e conseqüenemene pela definição da cinemáica do poblema, de modelos consiuivos paa as divesas camadas, bem como de condições de caegameno mais póximas possíveis da ealidade. Na quase oalidade das análises ealizadas aualmene, as camadas do pavimeno são consideadas elásicas, homogêneas e isoópicas, e os caegamenos auanes, esáicos. Iso ocoe a despeio de avanços significaivos no desenvolvimeno de modelos consiuivos mais compaíveis com o compoameno dos maeiais de pavimenação, mas em pae jusificado pela dificuldade de implemenação compuacional deses modelos mais avançados (e.g., viscoelásicos, viscoplásicos, elasoplásicos, ec). A favo das análises elásicas, além da paicidade e apidez devidas à simplificação, esá o fao de esudos epoaem a consisência das esposas esuuais de pavimenos em simulações compuacionais elásicas com medidas globais deses pavimenos em campo. Especificamene epoa-se a deflexão elásica obida com equipamenos como viga Benkelman ou Falling Weigh Deflecome (FWD) (Soaes e al., 2; edina e oa, 25). A medição de deflexões, em paicula de bacias deflecoméicas, é de vial impoância na ecânica dos Pavimenos, onde a defomabilidade elásica é associada ao incameno dos evesimenos. Além disso, as bacias deflecoméicas medidas em campo

2 pemiem, aavés da eoanálise, que sejam esimados os módulos de esiliência dos maeiais das difeenes camadas do pavimeno e compaados com os valoes de pojeo. Váios sisemas compuacionais êm sido desenvolvidos paa a ealização de análise de pavimenos asfálicos (Raad e Figueoa, 198; Haichandan e al., 199, Aedo e al., 1996; Faias e oneio, 1996; Huang, 24). edina e oa (25) descevem ês méodos de análise com os seus especivos pogamas compuacionais: (i) méodo dos elemenos finios, ene os quais se desaca o pogama FEPAVE2 basane uilizado no Basil, e ambém os pogamas ILLIPAVE (Raad e Figueoa, 198) e ICHPAVE (Haichandan e al., 199). Eses ealizam análises bidimensionais de pavimenos (modelo axissiméico) consideando maeiais elásico lineaes e não-lineaes definidos aavés do ódulo de Resiliência ( ); (ii) méodo das difeenças finias, com desaque paa o pogama ELSY5 que esolve as equações de Bumise e possibilia a análise de odas múliplas; (iii) méodo das camadas finias (Booke e Small, 1982), desacando-se o pogama ECAF3D (Rodigues, 1991). O leio pode encona em edina e oa (25) um beve esumo de ouos pogamas compuacionais exisenes. Huang (24) apesena uma descição mais dealhada do pogama KENLAYER que possibilia a consideação da viscoelasicidade. No Basil, a análise de ensões e defomações em pavimenos mais avançada vem sendo feia com a consideação da elasicidade não-linea das subcamadas, pincipalmene po meio do pogama FEPAVE2. Ese foi desenvolvido oiginalmene na Univesidade da Califónia Bekeley (Duncan e al., 1968), e poseiomene adapado e melhoado po oa (1991) e Silva (1995) na Univesidade Fedeal do Rio de Janeio (UFRJ). O FEPAVE2, assim como boa pae dos pogamas exisenes, faz uso de modelos consiuivos esilienes paa consideação da não-lineaidade. Devido à impoância deses modelos, nese aigo são apesenadas as suas pincipais caaceísicas e discuidas algumas de suas deficiências, seja de capacidade de pevisão de esados de ensão mais complexos, seja de dificuldades de implemenação numéica. Uma meodologia paa a análise não-linea de pavimenos asfálicos baseada no éodo de Newon-Raphson é apesenada e validada a pai de exemplos numéicos. 2. ODELOS CONSTITUTIVOS 2.1. Inodução Os modelos consiuivos, gealmene efeenciados como modelos esilienes, são na vedade modelos de Hooke, onde o módulo de elasicidade é subsiuído po um módulo de esiliência ( ) dependene do esado de ensão. No caso do modelo elásico linea (lei de Hooke genealizada), as ensões coenes podem se calculadas a pai das defomações oais dadas: σ = σ + Cε (1) onde σ epesena as ensões iniciais (e.g. ensões geosáicas em um pavimeno). A foma da maiz C depende do modelo de análise escolhido e das popiedades do maeial, como o ódulo de Elasicidade (E) e o coeficiene de Poisson (v). Como um exemplo, a maiz consiuiva paa o modelo axissiméico e um maeial isoópico é dada po: 1 v v v E v 1 v v C = (2) (1 + v)(1 2v) v v 1 v (1 2v) / 2

3 Uma expessão análoga pode se escia paa poblemas idimensionais (Bahe, 1996). Assim, os modelos consiuivos baseados na uilização do módulo de esiliência nomalmene assumem uma elação não-linea elásica na foma da Equação 1 com uma maiz consiuiva simila à Equação 2, poém com o subsiuindo o módulo de elasicidade convencional (E). Nomalmene considea-se consane o valo do coeficiene de Poisson (Hjelmsad e Tacioglu, 2; Huang, 24; NCHRP/TRB, 24). Apesa de exisiem muios modelos elásicos não-lineaes, os modelos esilienes êm se mosado uma escolha comum na análise do compoameno ensão-defomação de pavimenos asfálicos (Haichandan e al., 199). O uso deses modelos foi foalecido pela Ameican Associaion of Sae Highway and Tanspoaion Officials (AASHTO), que inoduziu em 1986 um méodo de pojeo de pavimeno baseado nese ipo de modelo (evisado em 1993). O do subleio subsiuiu o Índice de Supoe Califónia na expessão do dimensionameno. A idéia cenal ea se uiliza um módulo elásico capaz de simula as cagas epeidas devido à ação do áfego, apoximando os ensaios de laboaóio do caegameno exisene no campo. Paa deeminação do em-se usado equipamenos de caga epeida em laboaóio, especificamene o chamado ensaio iaxial dinâmico (edina e oa, 25). Os modelos esilienes são baseados na consideação de que as camadas ganulaes do pavimeno aingem o shakedown e, conseqüenemene, um esado esiliene ou elásico com a aplicação de cagas epeidas pesenes nese ipo de esuua. O ódulo de Resiliência é definido como o módulo de descaegameno obido após váios ciclos de caga. Como pode se veificado na Figua 1, há um decéscimo de defomações plásicas à medida que se aumena o númeo de ciclos. Figua 1: Esquema do ensaio iaxial dinâmico paa deemina o módulo de esiliência (Tacioglu, 1998). O ódulo de Resiliência não coesponde às adicionais definições de módulos angenes nem de módulos secanes. Na vedade, ele epesena o que foi denominado em NCHRP/TRB (24) de módulo de coda. Desa maneia, o ódulo de Resiliência é definido como: = σ/ ε (3) Exisem na lieaua divesas fomas de se ealiza o ajuse de cuvas no pocesso de obenção do. Um dos modelos mais anigos é o modelo conhecido como modelo K-θ (Hicks e onismih, 1971) no qual paa o caso de solos aenosos, o é dado po: K2 = K1θ (4) onde θ = σ 1 + σ 2 + σ 3 /3. Esa equação pode se adapada paa solos coesivos subsiuindo-se a pessão hidosáica (θ) pela ensão desviadoa (σ d = σ 1 - σ 2 ). Assim, pode-se esceve: K4 = K 3 σ d (5) Oua alenaiva, uilizada em pogamas como o ICHPAVE e o ILLIPAVE, consise em adoa uma vaiação bilinea paa o ódulo de Resiliência de solos coesivos:

4 ( K 2 d ) quando d 2 ( d K 2 ) quando d 2 = K1 + K3 σ < K = K1 K 4 σ > K σ (6) σ (7) As consanes K i que apaecem nas equações acima são deeminadas a pai do ajuse das cuvas de esulados obidas nos ensaios iaxiais dinâmicos. Uma fomulação geal foi apesenada po Andei (1999) e adoada pelo NHCRP (24), com a inenção de unifica em uma única equação divesas fomas de epesena o ódulo de Resiliência: k2 k3 θ 3k6 τ oc = k1 pa k7 p + a p (8) a Onde k 1 a k 7 são paâmeos do modelo, p a é a pessão amosféica, e nese caso θ = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) e τ oc é a ensão ocaédica. Nesa equação, a pessão amosféica epesena apenas um fao de adimensionalização. Os valoes dos paâmeos devem obedece a algumas esições (k 1 > ; k 2 ; k 3 ; k 6 e k 7 1), mas mesmo assim alguns esados de ensões podem acaea módulos negaivos. Ignoando a pessão amosféica e fazendo k 6 = k 7 = a equação acima se eduz ao conhecido modelo de Uzan-Wiczak, ambém conhecido como modelo univesal (Uzan, 1985; Wiczak e Uzan, 1988): K K 2 3 = K1 θ τ oc (9) Veifica-se que os ensaios de obenção do fonecem uma ajeóia de ensão única paa aingi cada valo de pico (θ, τ oc ), o que, na vedade, coesponde a esados de ensão bem mais simples do que os pesenes em pavimenos eais. Em paicula, eses modelos pevêem módulos nulos paa poblemas sem ensões iniciais e não podem se uilizados paa esados de ensão de ação que ocoem nos pavimenos devido às defomações de flexão. Váios pocedimenos ad-doc êm sido poposos e uilizados paa esolve ese poblema nos pogamas de análise, mas nenhum deles pode se consideado saisfaóio. É impoane essala que as Equações 4 a 9 epesenam fomas convenienes de oganiza os esulados obidos a pai de ensaios iaxiais dinâmicos, mas não se consiuem em um modelo consiuivo passível de se uilizado em análises de ensão-defomação, pois não indicam como as ensões se elacionam com as defomações. Como o ódulo de Resiliência ( ) depende do esado de ensões final, os modelos consiuivos esilienes assumem uma elação secane ene ensões e defomações (Tacioglu, 1998). Assim, as ensões são efeivamene calculadas como: σ = σ + Cs ( ) ε, onde Cs = C (1) Nesa equação C é uma maiz, definida a pai da Equação 2, que depende apenas do coeficiene de Poisson (v) e do poblema (axissiméico ou idimensional) consideado. 3. IPLEENTAÇÃO E ELEENTOS FINITOS O éodo dos Elemenos Finios (EF) consise em dividi um domínio complexo em subdomínios (elemenos) de geomeia simples, como iângulos e quadiláeos (Bahe, 1996; Cook, 22). Eses elemenos são conecados uns aos ouos aavés de ponos (nós) compailhados fomando a malha de elemenos finios. No ineio de cada elemeno os deslocamenos são enão inepolados a pai dos deslocamenos nodais (u), gaanindo a coninuidade do campo de deslocamenos. As defomações (ε) no ineio dos elemenos são calculadas a pai dos deslocamenos uilizando elações cinemáicas apopiadas a cada

5 poblema (e.g. esado plano de ensões, axissimeia, sólido). Esas elações podem se escias na foma maicial como: ε = B u (11) onde B é a maiz defomação-deslocameno que é independene dos deslocamenos nodais paa poblemas geomeicamene lineaes (pequenas defomações e deslocamenos). Conhecidas as defomações, as ensões (σ) podem se calculadas uilizando a elação consiuiva do maeial: σ = σ( ε, ) (12) Esa elação pode se linea ou não-linea, como no caso dos modelos esilienes. A dependência do empo ocoe no caso de viscoelasicidade ene ouos (Evangelisa J. e al., 26). Uilizando o Pincípio dos Tabalhos Viuais e consideando pequenas defomações, como é usual em poblemas de pavimenos, o veo de foças inenas de um elemeno finio (g) pode se calculado a pai de: δ Win = δ u vg = δ ε vσ dv g = B σ dv (13) V onde δu v é o campo de deslocamenos viuais e δε v as defomações viuais associadas. Em uma implemenação eal a inegação indicada acima é ealizada numeicamene aavés da Quadaua de Gauss (Bahe, 1996; Cook, 22). Assim, o veo das foças inenas de um elemeno é calculado aavés da expessão: V n T ( B σc J ) W i i T g = B σ c J dω = (14) Ω onde J é o deeminane da maiz Jacobiana, c é um coeficiene elacionado com o volume difeencial do elemeno ( dv = c J dω ), n é o númeo de ponos de inegação e W é o peso do pono de inegação. É impoane noa que esa expessão é válida ano paa maeiais lineaes quano não-lineaes, uma vez que ela não depende da lei consiuiva adoada, mas apenas das ensões auanes. Deve-se ainda obseva que o veo global das foças inenas é calculado aavés da soma das conibuições dos elemenos aavés de pocedimeno padão do EF (Bahe, 1996). As equações de equilíbio do modelo de elemenos finios podem se escias como: = g( u, ) f ( ) = (15) onde f é o veo da foças exenas, é o esíduo das equações de equilíbio e epesena o empo decoido desde o início do caegameno. No caso de poblemas onde o compoameno dos maeiais não depende do empo e os efeios das foças de inécia podem se despezados, a vaiável funciona apenas como um paâmeo de conole do caegameno (fao de caga). Em poblemas foemene não-lineaes pode se necessáio dividi a aplicação do caegameno em váios incemenos de caga (passos) paa evia poblemas de convegência Solução do sisema de equações No caso de maeiais elásicos lineaes, as foças inenas dependem lineamene dos deslocamenos e odo o caegameno pode se aplicado de uma única vez. Assim, os deslocamenos nodais podem se calculados a pai da expessão: K u = f (16) i = 1

6 onde K é a maiz de igidez global do modelo que é deeminada a pai da soma das conibuições dos elemenos (Bahe, 1996). Uilizando a Quadaua de Gauss, a maiz de cada elemeno é calculada a pai da expessão: B CB c J dω = Ω i = 1 n ( B CBc J ) W i i K = (17) O efeio das ensões iniciais é incluído no veo f aavés das foças equivalenes nodais (Bahe, 1996). No caso dos modelos esilienes, as ensões podem se calculadas a pai dos deslocamenos oais uilizando as Equações 1 e 11. Poano, as equações de equilíbio podem se escias como: K s ( u) u = f (18) onde K s epesena a maiz de igidez secane que é função dos deslocamenos nodais (u). A foma mais uilizada paa esolve ese poblema é aavés de pocedimenos ieaivos de pono fixo (fixed poin mehods), cuja foma mais simples é dada pela equação: 1 u i + 1 = K s ( ui ) f (19) onde o subscio i indica o númeo da ieação. Ese pocedimeno, conhecido como éodo Secane, eque um veo inicial de deslocamenos e uma disibuição inicial de. À medida que novos deslocamenos são calculados, deeminam-se novas defomações, ensões e ódulos de Resiliência. O pocesso coninua aé que não haja vaiação significaiva do ene duas ieações subseqüenes. Ese pocedimeno de análise é uilizado pelos pogamas ILLIPAVE e ICHPAVE baseados no EF e ambém pelos pogamas EVERSTRESS e KENLAYER baseados na Teoia das Camadas Elásicas. Conudo, uma séie de poblemas de convegência e pocedimenos de esabilização em sido epoada na lieaua (Tacioglu, 1998). Além disso, eses méodos não pemiem a uilização simulânea de ouos modelos consiuivos como o elasoplásico, viscoelásico e viscoplásico. Assim, nese abalho popõe-se a uilização do éodo de Newon-Raphson paa esolução das equações de equilíbio. Ese méodo é obido aavés da lineaização da Equação 15 em um insane fixo, levando ao sisema linea: K δu = (2) onde K é a maiz de igidez angene e δu é o incemeno de deslocamenos uilizados paa aualiza os deslocamenos oais u n = u + δu (21) onde o subscio n indica o novo veo dos deslocameno nodais. Ese pocesso ieaivo deve coninua aé que o módulo do esíduo () seja meno que uma dada oleância. Uma caaceísica impoane do éodo de Newon-Raphson é que o mesmo apesena convegência quadáica na vizinhança da solução. Esa ala axa de convegência o onou o méodo mais popula paa análise não-linea de sólidos e esuuas. É impoane noa que a maiz de igidez angene, obida a pai da lineaização do esíduo, leva a uma foma análoga a Equação 17 subsiuindo-se a maiz (C) pela maiz consiuiva angene (C ) definida como a maiz que elaciona os incemenos de defomação com os incemenos de defomação, ou seja:

7 dσ = C dε (21) A pai das Equações 14 e 17 veifica-se que a implemenação de um modelo consiuivo em um pogama de elemenos finios paa análise aavés do éodo de Newon-Raphson eque basicamene dois pocedimenos: o cálculo das ensões a pai das defomações e o cálculo da maiz consiuiva angene. Devido à uilização da inegação numéica, esas duas aefas devem se ealizadas paa odos os ponos de Gauss da malha de elemenos finios Deeminação das ensões Como o é função das ensões, a Equação 1 epesena na vedade um sisema de equações não-lineaes, uma vez que o veo das ensões (σ) apaece dos dois lados da igualdade. Assim, paa um modelo esiliene genéico, o cálculo das ensões em cada pono de inegação eque a solução do sisema de equações não-lineaes: h ( σ) = σ σ Cs ε = (22) no qual ε coesponde ao veo das defomações coenes e h epesena o esíduo das ensões. Ese sisema de equações não-lineaes ambém pode se esolvido aavés do éodo de Newon-Raphson. Nese pocedimeno pae-se de uma esimaiva inicial das ensões que vai sendo ieaivamene coigida aavés da expessão: σ n = σ + δσ (23) onde o subscio n indica o novo veo das ensões e δσ é a coeção ieaiva. Expandindo o esíduo h em séie de Taylo chega-se a 2 h h( σ + δσ) = h + J δσ + O ( δσ ), onde J = (24) σ A coeção das ensões (δσ) é obida despezando os emos de odem δσ 2 ou supeio e fazendo h(σ + δσ) =, o que leva ao sisema de equações lineaes: Jδ σ = h (25) Como os emos despezados da séie de Taylo são O(δσ 2 ), enão o méodo apesena convegência quadáica. Conudo, a fim de obe esa axa de convegência é necessáio que a maiz Jacobiana (J) seja calculada de maneia exaa e aualizada a cada ieação. Deivando-se a Equação 22 e uilizando a noação indicial (alven, 1969) chega-se a expessão genéica da maiz Jacobiana: hi J ij = = δ ij n jcikεk J = I (Cε)n, onde n= (26) σ j σ Nesa equação o veo n epesena o gadiene do ódulo de Resiliência em elação às ensões coenes. A Equação acima epesena a maiz Jacobiana paa qualque modelo esiliene dependene unicamene das ensões. Conudo, a expessão final uilizada paa implemenação compuacional depende do gadiene do ódulo de Resiliência e deve se deeminada paa cada modelo consideado. No caso do odelo de Uzan-Wiczak (Equação 9), em-se que I1 J 2 K 2 K3 n = + n = n1 + n 2 2 (27) I1 σ J 2 σ I1 3τ oc onde n 1 e n 2 epesenam os gadienes dos invaianes I 1 e J 2, especivamene. De acodo com as Equações 26 e 27, o gadiene do ódulo de Resiliência e a maiz Jacobiana são indefinidos apenas quando I 1 ou τ oc foem nulos, ou seja, quando se anula. Obseva-se que a expessão do veo n paa o modelo Kθ pode se obida apenas despezando-se o emo

8 que muliplica K 3 na Equação 27. As Equações 26 e 27 são muio convenienes paa implemenação compuacional, pois elas podem se uilizadas ano paa poblemas idimensionais quano axissiméicos, desde que se uilizem as expessões apopiadas dos gadienes dos invaianes (n 1 e n 2 ). Esa foma de aa o poblema é inspiada pelo pocedimeno clássico uilizado na definição das funções de escoameno em plasicidade (Zienkiewicz e Taylo, 25). Apesa da sua ala axa de convegência, o éodo de Newon-Rapshon não em gaania de convegência global. Poano, é muio impoane defini uma solução inicial (σ) póxima da solução exaa. Uma maneia simples de obe esa esimaiva inicial da solução é uiliza a maiz consiuiva angene, definida pela Equação 21, paa esima o incemeno inicial de ensões: δσ = C δε (28) onde δε é o incemeno das defomações devido ao incemeno de deslocamenos (δu) aiz consiuiva angene Como discuido aneiomene, a uilização do éodo de Newon-Raphson paa solução das equações de equilíbio global eque a deeminação da maiz de igidez angene (K), que po sua vez eque a deeminação da maiz consiuiva angene (C ) em cada pono de inegação. De acodo com a Equação 21, esa maiz é definida como a deivada das ensões em elação às defomações. Conudo, esa deivação não pode se efeuada dieamene, uma vez que o é função das ensões e não das defomações. Assim, é mais simples deemina a maiz consiuiva angene a pai de: 1 ε C = D, onde D = (29) σ Assim, a maiz de flexibilidade angene D, ambém conhecida na lieaua como compliance maix, elaciona incemenos de defomação com os incemenos de ensão. A fim de obe esa maiz invee-se a Equação 1, o que leva à maiz de flexibilidade secane (D s ) do maeial: ε = Ds ( σ σ ) Ds = Cs = C = D (3) É impoane noa que a maiz D s é siméica e em uma foma analíica conhecida paa cada modelo de análise (axissimeia, sólido idimensional, ec.), podendo se compuada sem necessidade de invesão da maiz consiuiva. Obseva-se ainda que D depende apenas do coeficiene de Poisson e pemanece consane duane o pocesso de análise. Uilizando a noação indicial, a deivada do veo das defomações em elação às ensões pode se escia como: ε i 1 ε in j D = = D ij s D ij ik ( σ k σ ) = D k s (31) 2 ij σ j σ j Esa expessão acima pode se escia na foma maicial como εn D = Ds (32) Esa expessão é válida paa qualque modelo esiliene desde que o dependa apenas do

9 esado de ensões. A paiculaização paa cada modelo específico é feia uilizando o veo n (gadiene do ódulo de Resiliência) coespondene. Ouo aspeco impoane é que esa equação pode se uilizada ano paa modelos axissiméicos como idimensionais, o que a ona muio conveniene paa implemenação compuacional. A Equação 32 mosa claamene que a maiz de flexibilidade angene é não-siméica. Como a maiz consiuiva angene (C ) é obida aavés da invesão de D, veifica-se que a maiz consiuiva angene é não-siméica. Em conseqüência, a maiz de igidez angene (K) ambém é não-siméica. Ese aspeco é muio impoane paa a uilização páica dos modelos de esiliência uma vez que acaea ano um aumeno da quanidade de memóia uilizada (paicamene o dobo) paa amazena a maiz de igidez global quano um aumeno do esfoço compuacional paa esolução do sisema de equações a cada ieação Implemenação compuacional O Laboaóio de ecânica dos Pavimenos (LP) da Univesidade Fedeal do Ceaá (UFC) vem desenvolvendo, desde 25, o pogama CAP3D paa ealização de análises de pavimenos (Holanda e al., 26a, 26b). O pogama uiliza a filosofia de Pogamação Oienada a Objeos (POO) de maneia a cia um sisema facilmene exensível, aumenando o euso de código e pemiindo o desenvolvimeno incemenal, ípico de gandes sisemas compuacionais paa análise po elemenos finios. O sisema CAP3D considea divesos ipos de caga (concenada nos nós, disibuídas nas aesas e foças de copo) que podem se consanes ou dependenes do empo. Possui ainda elemenos lineaes (T3, Q4 e Bick8) e quadáicos (T6, Q8, Q9 e Bick2) e apesena os modelos de análise 2D (esado plano de ensões, esado plano de defomações, axissiméico) e 3D. O pogama apesena ês ipos de modelos consiuivos: linea elásico, viscoelásico paa modela a camada de evesimeno e o modelo esiliene apesenado aneiomene paa epesena as camadas de maeial ganula. 4. EXEPLOS NUÉRICOS 4.1. Exemplo 1 Ese exemplo considea um único elemeno axissiméico ipo Q4 (quao ponos de inegação) de dimensões uniáias de maneia a simula um ensaio iaxial. Os paâmeos empegados foam: k 1 = 2, k 2 =,5, k 3 =,, ν =, e pessão amosféica P a = 1 kpa. Foam consideados dois casos: caso 1 - sem consideação de ensão inicial (p = ); e caso 2 - com consideação de ensão inicial (p = 1 kpa). A descição do caegameno e condições de conono esá indicada na Figua 2(a), enquano a Figua 2(b) mosa a cuva pessão (p) x defomação veical paa o caso com ensões iniciais. Veifica-se que paa ese exemplo simples, a meodologia poposa epoduz exaamene a esposa analíica espeada. Na Figua 3, segue a avaliação do númeo de ieações em função (i) do númeo de incemenos (passo) da caga (11, 5 e 2 passos) e (ii) da consideação da ensão inicial. Em ambos os casos o fao de caga (λ) vaia de a 1. Como pode-se veifica, a consideação de um esado de ensão inicial implicou em uma edução consideável na quanidade de ieações, ano globais (equilíbio) como locais (cálculo das ensões em cada pono de Gauss). Veificou-se ainda que à medida que o númeo de incemenos na caga decesce, a quanidade de ieações aumena, mosando que não é necessáio dividi o caegameno em muios incemenos.

10 p = 4λ, λ = p Analíico EF p Pessão (kpa) (a) geomeia e caegameno Figua 2: Exemplo 1.,E+ 2,E-4 4,E-4 6,E-4 8,E-4 Defomação (b) esulados Númeo de Ieações passos 5 passos 2 passos Sem ensão inicial Com ensão inicial Consideação (a) ieações globais (b) ieações locais Figua 3: Númeo de ieação globais e locais. Númeo de Ieações passos 5 passos 2 passos Sem ensão inicial Com ensão inicial Consideação 4.2. Exemplo 2 Nese exemplo, considea-se um pavimeno composo po uma camada de 1 cm de evesimeno asfálico que esá sobe uma camada de 2 cm de base que, po sua vez, esá apoiada no subleio. Os maeiais do evesimeno e do subleio são consideados elásico lineaes, enquano o maeial da base é elásico não-linea, sendo epesenado pelo modelo esiliene descio pela Equação (3). A caga de uma oda foi modelada como uma pessão unifome de 55 kpa sobe uma áea cicula de 15 cm de aio (Figua 4). Deve-se essala que a pessão amosféica é dada po P a = 11,325 kpa, o paâmeo γ mosado na figua a segui epesena o peso específico do maeial e k é o coeficiene de empuxo no epouso. 3 cm 55 kpa 1 cm Camada 1 Revesimeno E 1 = kpa; ν 1 =,4; γ 1 = 22,8 kn/m³ 2 cm Camada 2 Base Ganula R = k 1. θ k2 [kpa]; θ = I 1 = σ 1 +σ 2 +σ 3 ν 2 =,38; γ 2 = 21,2 kn/m³; k =,8 Camada 3 Subleio E 3 = kpa; ν 3 =,45; γ 3 = 18,9 kn/m³; k =,6 Pa Figua 4: Seção-ipo, caegameno e elações consiuivas dos maeiais.

11 Na ealidade, ês análises difeenes foam execuadas, consideando em cada uma delas valoes disinos dos paâmeos k 1 e k 2 (Tabela 1). Em cada caso, os deslocamenos veicais no opo (gealmene d ou δ), as ensões de compessão no opo do subleio (σ yy ) e as ensões de ação no fundo do evesimeno (σ xx ) são obidas e os esulados compaados com os calculados pelo pogama ICHPAVE (Haichandan e al., 199). Tabela 1:Valoes de k 1 e k 2 paa as ês análises (Fone: Huang, 24). Base (kpa) 1-k2 Adimensional Aeia Silosa ,62 Pedegulho aenoso ,53 Agegado aenoso ,59 k 1 k 2 O modelo axissiméico e elemenos quadáicos de 8 nós (Q8) foam adoados nas análises pelo EF. Deve-se essala que a mesma malha de elemenos finios foi uilizada em odos os casos, esando os esulados obidos mosados na Tabela 2. Noa-se a boa concodância ene os dois pogamas, pincipalmene no que diz espeio aos deslocamenos veicais e às ensões de compessão no subleio. Tabela 2: Compaação de esulados deslocamenos e ensões. Paâmeo Base σ yy (kpa) σ xx (kpa) d ou δ v (mm) CAP3D ICHPAVE CAP3D ICHPAVE CAP3D ICHPAVE Aeia Silosa -59,3-6,9 2,267 2,71-1,134-1,124 Pedegulho aenoso -5,47-55,29 1,582 2,349 -,9921-1,6 Agegado aenoso -5,75-54,84 1,539 2,358 -,9936-1,15 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ese aigo discuiu aspecos elacionados à aplicação de modelos esilienes paa epesena o compoameno mecânico das camadas ganulaes e sua uilização junamene com o éodo dos Elemenos Finios. Enquano é comum a uilização de méodos secanes na análise de pavimenos asfálicos, o sisema CAP3D uiliza um méodo incemenal-ieaivo baseado em uma fomulação angene (éodo de Newon-Raphson). Além de apesena convegência quadáica, esa esaégia, ao conáio dos méodos secanes, pemie a uilização simulânea de ouos modelos consiuivos como o elasoplásico, viscoelásico, viscoplásico. Os esulados obidos nos exemplos numéicos foam encoajadoes. Deve-se essala que o pogama CAP3D é um sisema em desenvolvimeno e, assim, ouos aspecos impoanes elacionados à consideação de modelos esilienes ainda seão incopoados, como, po exemplo, o aameno de esados de ensão de ação que ocoem na análise de pavimenos asfálicos e a uilização de maizes angenes apoximadas (siméicas). Ouos modelos alenaivos ambém seão esudados e implemenados no efeido sisema. Agadecimenos Os auoes agadecem à FINEP/CTPETRO e à Peobas pelo apoio financeio apoado na REDE ASFALTO N/NE, Pojeo Coopeaivo 3 Análise de Pavimenos Asfálicos paa desenvolvimeno do CAP3D.

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AASHTO Guide fo Design of Pavemen (1986) Ameican Associaion of Sae Highway and Tanspoaion Officials. Washingon DC, Esados Unidos. Aedo, J. L. C., Romanel, C., oa, L. G. (1996) Um Pogama de Compuado paa Análise Tidimensional Não-Linea de Pavimenos Flexíveis pelo éodo dos Elemenos Finios. 3ª. Reunião Anual de Pavimenação, Bahia, p Andei, D. (1999) Developmen of a Hamonized Tes Poocol fo he Resilien odulus of Unbound aeials used in Pavemen Design. Tese de esado, Univesiy of ayland, apud NCHRP/TRB (24). Bahe, K. J. (1996) Finie Elemen Pocedues. Penice Hall. Booke, J.R. e Small, J.C. (1982) Finie elemen analysis of consolidaion. Inenaional Jounal of Numeical and Analyical ehods in Geomechanics, John Wiley & Sons, Vol. 6, pp Cook, R., alkus, D., Plesha,. (22) Conceps and Applicaions of Finie Elemen Analysis. (2nd Ediion). John Wiley & Sons. Cisfield,. A. (1991) Non-linea Finie Elemen Analysis of Solids and Sucues, vol. 1, John Wiley & Sons. Duncan, J.., onismih, C.L. e Wilson, E.L. (1968) Finie Elemen Analysis of Pavemens. Highway Reseach Recod, n. 228, p Evangelisa JR, F., Paene JR, E., Holanda, A.S., Aaujo, T.D.P. e Soaes, J.B. (26) Análise quase-esáica e dinâmica de pavimenos asfálicos. ANPET, Basília-DF. Faias,.. e oneio, S.A. (1996) Compaação ene Analises Bidimensionais Axissiméicas com Supeposição de Efeios e Análise Tidimensionais Aplicadas ao Cálculo de Tensões em Pavimenos. 3ª. Reunião Anual de Pavimenação, Bahia, p Haichandan, R. S., Yeh,. S. and Baladi, G. Y. (199) ICH-PAVE: A nonlinea finie elemen pogam fo he analysis of flexible pavemens. Tanspoaion Reseach Recod, 1286, p Hicks, R.G. e onismih, C.L. (1971). Facos influencing he esilien popeies of ganula maeials. Tanspoaion Reseach Recod, 345, pp Hjelmsad, K. D. e Tacioglu, E. (2) Analysis and Implemenaion of Resilien odulus odels fo Ganula, Jounal of Engineeing echanics - ASCE, v.126 n.8, p Holanda, A. S., Paene J., E., Aaújo, T. D. P., elo, L. T. B., Evangelisa J., F., Soaes, J. B. (26a) An Objec-Oiened Sysem fo Finie Elemen Analysis of Pavemens, Euopean Confeence on Compuaional echanics (ECC), p. 1-17, Lisboa. Holanda, A. S., Paene J., E., Aaújo, T. D. P., elo, L. T. B., Evangelisa J., F., Soaes, J. B. (26b) Finie Elemen odeling of Flexible Pavemens, XXVII Ibeian Lain Ameican Congess on Compuaional ehods in Engineeing (CILACE), p. 1-14, Belém-PA, Basil. Huang, Y. H. (24) Pavemen Analysis and Design (2nd Ediion). Peason Penice Hall, Inc., Englewood Cliffs, USA. alven, L. E. (1969) Inoducion o he echanics of a Coninuous edium. Penice Hall. edina, J. e oa, L..G. (25) ecânica dos Pavimenos. 2ª Edição, Rio de Janeio. oa, L..G. (1991) éodo de Dimensionameno de Pavimenos Flexíveis; Ciéio de Confiabilidade e Ensaios de Cagas Repeidas. Tese de Douoado. COPPE/UFRJ, Rio de Janeio, Basil. NCHRP/TRB (24) Guide fo echanisic-empiical Design of New and Rehabiliaed Pavemen Sucues, Appendix RR: Finie Elemen Pocedues fo Flexible Pavemen Analysis. Raad, L., and Figueoa, J. L. (198) Load esponse of anspoaion suppo sysem, Jounal of Tanspoaion Engineeing, ASCE, v. 16, pp Rodigues, R.. (1991) Esudo do incameno dos pavimenos. Tese de Douoado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeio. Silva, P.D.E.A (1995) Conibuição paa o Apefeiçoameno do Empego do Pogama FEPAVE2 em Esudos e Pojeos de Pavimenos Flexíveis. Disseação de esado. COPPE / UFRJ, Rio de Janeio, Basil. Soaes, J.B.; oa, L..G.; e Soaes, R.F. (2) Análise de bacias deflecoméicas paa o conole de consução de pavimenos asfálicos. ANPET, Gamado-RS. Tacioglu, E., (1998) Consiuive odeling of he Resilien Response of Ganula Solids. Tese de Douoado. Univesiy of Illinois, Ubana-Champaign, Esados Unidos. Uzan, J. (1985) Chaaceizaion of Ganula aeial. Tanspoaion Reseach Recod 122, pp Wiczak,. W., and Uzan, J. (1988) The univesal aipo pavemen design sysem. Repo I of V: Ganula aeial Chaaceizaion, Dep.of Civ. Engg., Univesiy of ayland, College Pak, d. Zaman,., Chen, D. e Laguos, J. (1994) Resiliene oduli of Ganula aeials. Jounal of Tanspoaion Engineeing, ASCE, v. 12, pp Zienkiewicz, O. C, Taylo, R. L. (25) The Finie Elemen ehod fo Solid and Sucual echanics (6h. Ediion). Elsevie.