Cocetos Báscos de Matemátca Facera Uversdade do Porto Faculdade de Egehara Mestrado Itegrado em Egehara Electrotécca e de Computadores Ecooma e Gestão Na prátca As decsões faceras evolvem frequetemete stuações em que um agete efectua um pagameto uma determada d altura e recebe uma altura posteror. Euros pagos ou recebdos em alturas dferetes são dferetes, e essa dfereça é recohecda e quatfcada pela aálse de cash-flow actualzado. Este tpo de aálse é utlzado as mas varadas stuações: avalação de ovos projectos; decsão de compra ou leasg de um determado actvo; decsão de refacar uma emssão de obrgações; avalação de acções e obrgações. Frequetemete chamada pedra agular das faças João Claro, Novembro de 2006
Exo temporal Dagrama utlzado para vsualzar problemas partculares 0 2 3 4 5 Istates 0: hoje : um período após hoje, ou o fm do período 2: dos períodos após hoje, ou o fm do período 2... As marcações o exo represetam fs de período João Claro, Novembro de 2006 2 Exo temporal 0 5% 2 0% 3 4 5-00? Fluxos faceros (cash flows) represetados sob as marcações Taxas de juro represetadas sobre o exo temporal João Claro, Novembro de 2006 3 2
Valor futuro Um euro em cartera hoje vale mas do que um euro a receber o futuro. Tedo hoje essa quata, poderíamos vest-la, receber juros e obter assm o futuro uma quata superor a um euro. Valor futuro de um cash flow ou uma sére de cash flows quata cal acrescetada dos juros obtdos João Claro, Novembro de 2006 4 Valor futuro Notação VA = Valor actual (cal) do cash-flow VF t = Valor futuro do cash-flow ao fm do tervalo de tempo em aálse (t períodos) = taxa de juro um período I = valor dos juros obtdos o prmero período = úmero de períodos João Claro, Novembro de 2006 5 3
Valor futuro 0 =5% 2 3 4 5 Depósto cal Juros obtdos Motates o fm dos períodos -00 VF =? VF 2 =? VF 3 =? VF 4 =? VF 5 =? 5 5.25 5.5 5.79 6.08 05 0.25 5.76 2.55 27.63 VF = VA + I = VA + VA. = VA ( + ) VF 2 = VF ( + ) = VA ( + ) 2... VF = VA ( + ) João Claro, Novembro de 2006 6 Valor futuro Regmes de captalzação dos juros composto: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal e os juros acumulados dto smples: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal, sem etrega peródca de juros smples: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal, com etrega peródca de juros João Claro, Novembro de 2006 7 4
Valor actual Supohamos duas opções de vestmeto: título de baxo rsco remuerado a 27.63 ao fm de 5 aos certfcados de aforro a 5 aos com 5% de taxa de juro ível de rsco dêtco Custo de oportudade taxa que se podera obter em vestmetos alteratvos de dêtco ível de rsco 5% Quato estaríamos dspostos a pagar pelo título? João Claro, Novembro de 2006 8 Valor actual Do exemplo ateror 00 vestdos a 5 aos com 5% de taxa de juro aual valeram 27.63 ao fm de 5 aos O motate que torara dferetes as duas opções sera 00 Se o motate fosse feror a 00 preferêca pelo título Se o motate fosse superor a 00 preferêca pelos certfcados 00 é o valor actual dos 27.63 João Claro, Novembro de 2006 9 5
Valor actual Em geral o valor actual de um cash flow devdo de hoje a períodos é o motate que, se fosse detdo hoje, crescera durate os períodos, gualado o motate futuro Actualzação ou descoto processo de determar valores actuas verso do processo de determação do valor futuro VA = VF + João Claro, Novembro de 2006 0 Valor actual Determar taxa de juro ou úmero de períodos VF ( + ) mesma equação, sob duas formas = VA VA = VF + quatro varáves: VA, VF,, cohecedo quasquer três, é possível determar o valor da quarta João Claro, Novembro de 2006 6
Valor futuro de redas peródcas Reda sére de pagametos dêtcos ocorrdos um determado úmero de períodos de tervalos fxos exemplos: 00 o fal de cada um dos próxmos três aos; 50 o íco de cada um dos próxmos ses meses Ocorrêca dos pagametos o fal de cada período redas postcpadas o íco de cada período redas atecpadas Notação VFR = valor futuro das redas a receber em períodos R = reda peródca costate João Claro, Novembro de 2006 2 Valor futuro de redas peródcas Redas postcpadas p Se depostarmos 00 o fal de cada ao, durate 3 aos, uma cota a prazo com uma taxa de juro de 5% ao ao, qual será o motate ao fm de 3 aos? 0 =5% 2 3 00 00 00 05 0.25 VF 3 = 35.25 João Claro, Novembro de 2006 3 7
Valor futuro de redas peródcas Redas postcpadas p VFR VFR = R = R 0 2 ( + ) + R( + ) + R( + ) +... + R( + ) t= ( + ) -t ( + ) VFR = R determação do valor futuro de cada reda somatóro dos valores futuros - João Claro, Novembro de 2006 4 Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p Supohamos duas opções: uma reda a 3 aos com pagametos auas de 00 um motate dspoblzado à ordem hoje Não exste ecessdade de utlzação dos motates, pelo que as redas seram smplesmete depostadas uma cota a prazo com taxa a de juro aual de 5% O motate dspoblzado à ordem sera depostado uma cota semelhate Qual sera o motate equvalete à reda peródca? João Claro, Novembro de 2006 5 8
Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p Notação VAR = valor actual das redas a receber em períodos 0 =5% 2 3 95.24 90.70 86.38 VAR 3 = 272.32 00 00 00 João Claro, Novembro de 2006 6 Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p VAR VAR = R = R - - ( ) ( ) ( - ) - ( ) ( -2 + + R + + R + ) +... + R( + ) t= t ( + ) ( + ) - VAR = R determação do valor actual de cada reda somatóro dos valores actuas - João Claro, Novembro de 2006 7 9
Valor actual de redas peródcas Perpetudades úmero de redas é fto R VAR = redas crescetes a uma taxa costate g R VAR = g João Claro, Novembro de 2006 8 Séres de cash-flows dferetes Valor actual Valor futuro VA = t= CFt + t VF = t= CF t ( + ) -t CF t = cash-flow o período t João Claro, Novembro de 2006 9 0
Séres de cash-flows dferetes Taxa Itera de Retabldade (TIR) É a taxa de juro r que tora ulo o valor actual de uma sére de cashflows, cludo o custo dessa sére de cash-flows (CF 0 ) t CF0 + CFt = 0 t= + r É a taxa de actualzação que guala o valor actual dos cash-flows de um projecto ao valor actual dos custos esperados do projecto Se a TIR exceder o custo de captal, o projecto é lucratvo para os vestdores Caso cotráro, assumr o projecto mporá um custo aos vestdores É esta característca de breakeve que resde a utldade da TIR a avalação de projectos de vestmeto João Claro, Novembro de 2006 20 Taxas omas e taxas efectvas Publcdade de produtos bacáros Cartão de crédto Taxa de.5% por mês Taxa aual omal de 8% =.5% 2 meses (prátca facera correte) Taxa aual efectva é.05 2 = 9.6% Produto de poupaça Utlzar a taxa aual efectva de modo a apresetar valores mas elevados João Claro, Novembro de 2006 2
Taxas omas e taxas efectvas Relação etre taxa omal e taxa efectva AN = taxa aual omal AE = taxa aual efectva = úmero de períodos em que o ao é decomposto AE = + AN João Claro, Novembro de 2006 22 Amortzação de empréstmos Empréstmo amortzado Pagametos em motates peródcos fxos Uma empresa obtém um empréstmo bacáro de 000, que deverá pagar em 3 prestações o fal de cada um dos próxmos 3 aos. O baco rá receber 6% de juros sobre o saldo em dívda o íco de cada ao. Qual o valor de cada prestação? João Claro, Novembro de 2006 23 2
Amortzação de empréstmos 000 valor actual de uma sére de redas peródcas auas a 3 aos, de valor R, actualzada a 6% VAR = R 3 VAR = R 3 VAR = R 3 0 6% 2 3-000 R R R -3-2 ( + ) + R ( + ) + R ( + ) 3 t t= ( + ) ( + ) -3 João Claro, Novembro de 2006 24 - R = VAR3 ( + ) -3 = 374. Amortzação de empréstmos Compoetes da reda compoete-juro: cde sobre o saldo em dívda compoete-reembolso: dfereça em relação à reda Comportameto das compoetes compoete-juro redução ao logo do tempo motate em dívda va sedo reduzdo, com a acumulação dos reembolsos compoete-reembolso aumeto ao logo do tempo, uma vez que as redas são costates João Claro, Novembro de 2006 25 3
Amortzação de empréstmos Quadro de amortzação 6% Ao Motate cal Reda Compoetejuro Compoetereembolso Valor em dívda 000,00 374, 60,00 34, 685,89 2 685,89 374, 4,5 332,96 352,93 3 352,93 374, 2,8 352,93 0,00 22,33 22,33 000,00 João Claro, Novembro de 2006 26 Bblografa Sousa, Atóo Itrodução à Gestão, uma Abordagem Sstémca, ª edção Edtoral Verbo, 990 (pp. 75-87) Brgham, E. F. e Capesk, L. C. Facal Maagemet, Theory ad Practce, 8th Edto The Dryde Press, 997 (pp. 233-282) Cadlhe, Mguel Matemátca Facera Aplcada, 3ª edção Edções Asa, 994 João Claro, Novembro de 2006 27 4