Matemática Financeira

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2 Uversdade do Sul de Sata Catara Matemátca Facera Dscpla a modaldade a dstâca Palhoça UsulVrtual 2010

3 Crédtos Uversdade do Sul de Sata Catara Campus UsulVrtual Educação Superor a Dstâca Aveda dos Lagos, 41 Cdade Uverstára Pedra Braca Palhoça SC Foe/fax: (48) e E-mal: [email protected] Ste: Retor Usul Alto Nazareo Soares Vce-Retor Sebastão Saléso Heerdt Chefe de Gabete da Retora Wlla Máxmo Pró-Retora Acadêmca Mram de Fátma Bora Rosa Pró-Retor de Admstração Faba Marts de Castro Pró-Retor de Eso Maur Luz Heerdt Campus Uverstáro de Tubarão Dretora Mlee Pacheco Kderma Campus Uverstáro da Grade Floraópols Dretor Hércules Nues de Araújo Campus Uverstáro UsulVrtual Dretora Jucmara Roesler Equpe UsulVrtual Dretora Adjuta Patríca Alberto Secretara Executva e Cermoal Jackso Schuelter Wggers (Coord.) Bruo Luco Roso Marcelo Fraberg Machado Telle Catara Assessora de Assutos Iteracoas Murlo Matos Medoça Assessora DAD - Dscplas a Dstâca Ezo de Olvera Morera (Coord.) Carlos Alberto Areas Fracele Arruda Rampelott Luz Ferado Meeghel Assessora de Iovação e Qualdade da EaD Dêa Falcão de Bttecourt (Coord.) Rafael Bavaresco Bogolo Assessora de Relação com Poder Públco e Forças Armadas Ader Squera Vaa Assessora de Tecologa Osmar de Olvera Braz Júor (Coord.) Felpe Jacso de Fretas Jefferso Amor Olvera José Olímpo Schmdt Marcelo Ner da Slva Phelpe Luz Wter da Slva Prscla da Slva Rodrgo Battstott Pmpão Coordeação dos Cursos Auxlares das coordeações Fabaa Lage Patrco Mara de Fátma Marts Tâa Rega Goularte Waltema Coordeadores Graduação Adraa Satos Rammê Adrao Sérgo da Cuha Aloíso José Rodrgues Aa Lusa Mülbert Aa Paula R. Pacheco Berardo José da Slva Carme Mara C. Pad Cata Melssa S. Rodrgues Charles Cescoetto Dva Maríla Flemmg Eduardo Aquo Hübler Elza B. D. Locks Fabao Ceretta Horáco Dutra Mello Itamar Pedro Bevlaqua Jaro Afoso Hekes Jaaía Baeta Neves Jardel Medes Vera Joel Ireu Loh Jorge Alexadre N. Cardoso José Carlos N. Olvera José Gabrel da Slva José Humberto D. Toledo Joseae Borges de Mrada Lucaa Mafro Marcel Evagelsta Catâeo Mara Crsta Vet Mara da Graça Poyer Mauro Facco Flho Moacr Fogaça Myram Rguetto Nélo Herzma Oe Tadeu Dutra Raulo Jacó Brüg Rogéro Satos da Costa Rosa Beatrz M. Phero Tataa Lee Marques Thago Coelho Soares Vale Campos Deard Roberto Iuskovsk Rose Clér Beche Rodrgo Nues Luardell Coordeadores Pós-Graduação Aloso Rodrgues Aelse Leal Vera Cubas Berardo José da Slva Carme Mara Cpra Pad Daela Era Motero Wll Gova de Paula Karla Leoora Nues Luz Otávo Botelho Leto Thago Coelho Soares Vera Rega N. Schuhmacher Gerêca Admstração Acadêmca Márca Luz de Olvera (Gerete) Ferada Faras Facero Acadêmco Marlee Schauffer Rafael Back Vlmar Isauro Vdal Gestão Documetal Lamuê Souza (Coord.) Clar Mara Cardoso Jaaa Stuart da Costa Josae Leal Maríla Locks Ferades Rcardo Mello Platt Secretara de Eso a Dstâca Kare Augusta Zao (Secretára de Eso) Gae dos Passos (Secretára Acadêmca) Alessadro Alves da Slva Adréa Luc Madra Crsta Mara Shauffert Djeme Sammer Bortolott Douglas Slvera Fabao Slva Mchels Felpe Wrosk Herque Jaaa Coceção Jea Marts Luaa Borges da Slva Luaa Tarsla Hellma Mara José Rossett Mguel Rodrgues da Slvera Juor Moque Tayse da Slva Patrca A. Perera de Carvalho Patrca Nues Marts Paulo Lsboa Cordero Rafaela Fuseger Rosâgela Mara Segel Slvaa Herque Slva Valda Lorda Heerdt Gerêca Admstratva e Facera Reato Adré Luz (Gerete) Naara Jeremas da Rocha Valmr Veíco Iáco Gerêca de Eso, Pesqusa e Extesão Moacr Heerdt (Gerete) Aracell Arald Hackbarth Elaboração de Projeto e Recohecmeto de Curso Dae Dal Mago Vaderle Brasl Extesão Mara Crsta Vet (Coord.) Pesqusa Daela Wll (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC) Mauro Facco (Coord. Nuvem) Pós-Graduação Clarssa Carero Muss (Coord.) Bbloteca Soraya Arruda (Coord.) Paula Sahudo da Slva Rea Felpe Cascaes Rodrgo Marts da Slva Capactação e Assessora ao Docete Agelta Marçal Flores (Coord.) Adraa Slvera Alexadre Wager da Rocha Cláuda Behr Valete Elae Crstae Sura Julaa Cardoso Esmeraldo Patríca da Slva Meeghel Smoe Perro da Slva Zguovas Motora e Suporte Rafael da Cuha Lara (Coord.) Aderso da Slvera Agélca Crsta Gollo Bruo Augusto Zuo Clauda Noem Nascmeto Débora Crsta Slvera Edéa Araujo Alberto Frace Cardoso da Slva Karla F. Wsewsk Desegr Mara Eugêa Ferrera Celegh Mara La Moratell Prado Mayara de Olvera Bastos Patríca de Souza Amorm Polaa Morgaa Smão Prscla Machado Gerêca de Deseho e Desevolvmeto de Materas Ddátcos Márca Loch (Gerete) Acessbldade Vaessa de Adrade Maoel (Coord.) Brua de Souza Rachadel Letíca Regae Da Slva Tobal Deseho Educacoal Carme Mara Cpra Pad (Coord. Pós) Carola Hoeller da S. Boeg (Coord. Ext/DAD) Slvaa Souza da Cruz (Coord. Grad.) Aa Cláuda Taú Crsta Klpp de Olvera Elosa Machado Seema Fláva Lum Matuzawa Gabrella Araújo Souza Esteves Govay Nocet Vaa Jaquele Cardozo Polla Ls Arê Fogolar Lyga Perera Luz Herque Mla Querquell Mara Cabeda Egger Moellwald Mara Melhado Gomes da Slva Mela de la Barrera Ayres Mchele Atues Correa Nágla Crsta Hckel Roberta de Fátma Marts Sabra Paula Soares Scarato Vvae Bastos Gerêca de Logístca Jeferso Cassao A. da Costa (Gerete) Adre Rodrgues Logístca de Ecotros Presecas Gracele Marês Ldemayr (Coord.) Aa Paula de Adrade Crstlae Sataa Mederos Daaa Crsta Bortolott Edeso Mederos Marts Flho Fabaa Perera Ferado Olvera Satos Ferado Stembach Marcelo Jar Ramos Logístca de Materas Carlos Eduardo D. da Slva (Coord.) Abraão do Nascmeto Germao Fylppy Margo dos Satos Gulherme Letz Pablo Farela da Slvera Rubes Amorm Gerêca de Marketg Fabao Ceretta (Gerete) Alex Fabao Wehrle Sheyla Fabaa Batsta Guerrer Vctor Herque M. Ferrera (Áfrca) Relacoameto com o Mercado Elza Bach Dallahol Locks Walter Félx Cardoso Júor Gerêca de Produção Arthur Emmauel F. Slvera (Gerete) Frac Ferrera Das Desg Vsual Pedro Paulo Alves Texera (Coord.) Adraa Ferrera dos Satos Alex Sadro Xaver Alce Demara Slva Ae Crstye Perera Dogo Rafael da Slva Edso Rodrgo Valm Frederco Trlha Hgor Ghs Lucao Jordaa Paula Schulka Nelso Rosa Patríca Fraga de Moras Multmída Sérgo Gro (Coord.) Crstao Ner Goçalves Rbero Dadara Lemos Reyaldo Ferado Gustav Soares Lma Sérgo Fretas Flores Portal Rafael Pess (Coord.) Luz Felpe Buchma Fgueredo Comucação Marcelo Barcelos Adrea Drewes Carla Fabaa Feltr Ramudo Produção Idustral Fracsco Asp (Coord.) Aa Paula Perera Marcelo Bttecourt Gerêca Servço de Ateção Itegral ao Acadêmco James Marcel Slva Rbero (Gerete) Atedmeto Mara Isabel Arago (Coord.) Adara Clara Ferrera Adré Luz Portes Bruo Atade Marts Holdr Mlet Bradao Jeffer Camargo Mauríco dos Satos Augusto Mayco de Sousa Caddo Sabra Mar Kawao Goçalves Vaessa Trdade Orvaldo Carl da Slva Juor Estágo Joatas Collaço de Souza (Coord.) Julaa Cardoso da Slva Mchel Mara Lo de Mederos Prsclla Geovaa Paga Prou Tatae Cresta Tret (Coord.) Gsele Terezha Cardoso Ferrera Schela Crsta Marts Taze Muller

4 Maurc José Dutra Matemátca Facera Lvro ddátco Desg Istrucoal Daela Era Motero Wll Revsão e atualzação de coteúdo Eduardo Alexadre Corrêa de Machado 8ª edção revsta e atualzada Palhoça UsulVrtual 2010

5 Copyrght UsulVrtual 2010 Nehuma parte desta publcação pode ser reproduzda por qualquer meo sem a préva autorzação desta sttução. Edção Lvro Ddátco Professor Coteudsta Maurc José Dutra Revsão e Atualzação de Coteúdo Eduardo Alexadre Corrêa de Machado (8ª edção revsta e atualzada) Desg Istrucoal Daela Era Motero Wll Assstete Acadêmco Sabra Paula Soares Scarato (8ª edção revsta e atualzada) ISBN Projeto Gráfco e Capa Equpe UsulVrtual Dagramação Adraa Ferrera dos Satos Delea Tecologa Educacoal (8ª edção revsta e atualzada) Revsão ortográfca e gramatcal B2B D97 Dutra, Maurc José Matemátca facera : lvro ddátco / Maurc José Dutra ; revsão e atualzação de coteúdo Eduardo Alexadre Corrêa de Machado ; desg strucoal Daela Era Motero Wll ; [assstete acadêmco Sabra Paula Soares Scarato]. 8. ed. rev. e atual. Palhoça : UsulVrtual, p. : l. ; 28 cm. Iclu bblografa. ISBN Matemátca facera. I. Machado, Eduardo Alexadre Corrêa de. II. Wll, Daela Era Motero. III. Scarato, Sabra Paula Soares. IV. Título. Fcha catalográfca elaborada pela Bbloteca Uverstára da Usul

6 Sumáro Apresetação Palavras do professor Plao de estudo UNIDADE 1 Operações prátcas com o uso da calculadora HP-12C UNIDADE 2 Fudametos de matemátca facera UNIDADE 3 Juros smples UNIDADE 4 Descotos smples UNIDADE 5 Juros compostos UNIDADE 6 Taxas de juros UNIDADE 7 Descotos compostos UNIDADE 8 Equvalêca de captas a juros compostos UNIDADE 9 Sequêca de captas UNIDADE 10 Deprecação UNIDADE 11 Amortzação de empréstmos UNIDADE 12 Iflação e correção moetára Para coclur o estudo Referêcas Sobre o professor coteudsta Respostas e cometáros das atvdades de autoavalação Bbloteca Vrtual

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8 Apresetação Este lvro ddátco correspode à dscpla Matemátca Facera. O materal fo elaborado vsado a uma apredzagem autôoma e aborda coteúdos especalmete selecoados e relacoados à sua área de formação. Ao adotar uma lguagem ddátca e dalógca, objetvamos facltar seu estudo a dstâca, proporcoado codções favoráves às múltplas terações e a um apredzado cotextualzado e efcaz. Lembre-se de que sua camhada, esta dscpla, será acompahada e motorada costatemete pelo Sstema Tutoral da UsulVrtual, por sso a dstâca fca caracterzada somete como a modaldade de eso porque você optou para sua formação, pos, a relação de apredzagem, professores e sttução estarão sempre coectados com você. Etão, sempre que setr ecessdade, etre em cotato. Você tem à sua dsposção dversas ferrametas e caas de acesso, tas como: telefoe, e-mal e o Espaço UsulVrtual de Apredzagem, que é o caal mas recomedado, pos tudo o que for evado e recebdo fca regstrado para seu maor cotrole e comoddade. Nossa equpe técca e pedagógca terá o maor prazer em lhe ateder, pos sua apredzagem é o osso prcpal objetvo. Bom estudo e sucesso! Equpe UsulVrtual.

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10 Palavras do professor Caro aluo (a), Gostara de parabezá-lo(a) pela sua escolha em fazer este curso. Certamete você terá codções de apreder tudo o que for ecessáro para o melhor aprmorameto em sua vda profssoal. A dscpla Matemátca Facera, a modaldade a dstâca, fo desevolvda especalmete para você, levado em cosderação os aspectos partculares da formação a dstâca. O materal ddátco apreseta aspectos teórcos e cálculos faceros detre os quas destacamos: regmes de captalzação, descotos, deprecação, flação e correção moetára e as dversas modaldades de empréstmos que são ferrametas fudametas a gestão facera de qualquer empresa ou pessoa. Quato ao seu redmeto e produtvdade, sugermos que ates de car seus estudos, elabore um croograma pessoal para que ão se perca o tempo que rá despeder com esta matéra. Lembramos que você ão está sozho esta camhada, pos estaremos sempre à dsposção para ajudá-lo. Desejamos êxto a dscpla. Bom estudo! Professor Maurc José Dutra

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12 Plao de estudo O plao de estudos vsa a oretá-lo (a) o desevolvmeto da dscpla. Possu elemetos que o (a) ajudarão a cohecer o cotexto da dscpla e a orgazar o seu tempo de estudos. O processo de eso e apredzagem a UsulVrtual leva em cota strumetos que se artculam e se complemetam, portato a costrução de competêcas se dá sobre a artculação de metodologas e por meo das dversas formas de ação/medação. São elemetos desse processo: Emeta o lvro ddátco. o Espaço UsulVrtual de Apredzagem (EVA). as atvdades de avalação (complemetares, a dstâcave presecas). o Sstema Tutoral. Juros smples e compostos. Descotos smples e compostos. Equvalêca de captas. Taxa: omal, efetva e equvalete. Empréstmos de curto e de logo prazos. Sstemas de dívdas. Correção moetára, amortzação e deprecação. Equvalêca de fluxo de caxa. Carga horára 4 crédtos 60 horas

13 Uversdade do Sul de Sata Catara Objetvos da dscpla Desevolver os cocetos fudametas e prátcos da Matemátca Facera, forecedo aos aluos um embasameto que servrá como pré-requsto para as futuras dscplas esta área. Coteúdo programátco/objetvos Veja, a segur, as udades que compõem o lvro ddátco desta dscpla e os seus respectvos objetvos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcaçar ao fal de uma etapa de estudo. Os objetvos de cada udade defem o cojuto de cohecmetos que você deverá possur para o desevolvmeto de habldades e competêcas ecessáras à sua formação. Udades de estudo: 12 Udade 1 - Operações prátcas com o uso da calculadora HP-12C O uso da calculadora HP-12 em operações de matemátca facera é o tema desta udade. Serão apresetadas operações báscas e a resolução de problemas faceros com o auxílo da calculadora HP-12. Udade 2 Fudametos de Matemátca Facera Nesta udade serão apresetados os cocetos e fudametos da matemátca facera, como porcetagem, regme de captalzação e fluxo de caxa. Udade 3 Juros Smples Na Udade 3 o tema será o regme de juro smples. Assm, serão apresetados a forma de calcular juros smples, comercas e exatos, motate e valor atual e omal. Udade 4 Descotos Smples Nesta udade serão estudados os tpos de descoto smples, a relação etre os descotos smples racoal e descoto smples bacáro ou comercal e as taxas de descoto smples e de juros smples. 12

14 Matemátca Facera Udade 5 Juros Compostos O tema a ser desevolvdo esta udade será o regme de juros compostos. Serão apresetados a forma de realzar o cálculo do motade, do valor omal e atual, dos juros, do captal, da taxa e do prazo e sua aplcabldade em operações comercas e faceras. Udade 6 - Taxas de Juros Exstem dferetes formas de calcular as taxas de juros, as taxas equvaletes, taxas omas e efetvas. Nesta udade, você va compreeder de que forma realzar este cálculo e sua aplcabldade. Udade 7 Descotos Compostos Os dos tpos de descotos compostos, o descoto racoal ou por detro além do descoto bacáro ou comercal ou por fora e as taxas de descotos serão os assutos abordados esta udade. Udade 8 Equvalêca de Captas a Juros Compostos O tema de estudo desta udade será as formas de equvalêca de pagametos, etre elas: equvalêca de captas a juros compostos, equvalêca de dos captas. A partr dsso, você va estudar também como calcular o valor atual de um cojuto de captas. Udade 9 Sequêca de Captas Nesta udade serão apresetadas as sequêcas uformes de captas. Com sso, você desevolverá habldade de cálculo, cosderado as sequêcas estudadas: sequêca uforme de captas, de termos postecpados, de termos atecpados, motate de uma sequêca uforme, dferda e sequêca com parcelas adcoas. Udade 10 Deprecação Na udade 10 você compreederá o que é deprecação e as formas e métodos de realzar o cálculo deste feômeo. Detre os métodos, serão estudados o método de deprecação lear, de deprecação da taxa costate e o método de Cole. 13

15 Uversdade do Sul de Sata Catara Udade 11 Amortzação de Empréstmos Serão apresetados, esta udade, os sstemas de amortzação de empréstmos, o sstema de amortzação costate, o sstema de amortzação fracês e o sstema de amortzação amercao e sua aplcabldade. Udade 12 Iflação e Correção Moetára Na udade 12 o tema de estudos é a flação e as varáves que a fluecam. Assm, você estudará, também, o ídce de preço e a varação percetual de preço, a taxa de desvalorzação da moeda, a taxa acumulada de flação, a taxa aparete e a taxa real de juros e, por fm, a correção moetára. Ageda de atvdades/ Croograma Verfque com ateção o EVA, orgaze-se para acessar perodcamete o espaço da dscpla. O sucesso os seus estudos depede da prorzação do tempo para a letura; da realzação de aálses e síteses do coteúdo e da teração com os seus colegas e professor. Não perca os prazos das atvdades. Regstre o espaço a segur as datas, com base o croograma da dscpla dspoblzado o EVA. Use o quadro para agedar e programar as atvdades relatvas ao desevolvmeto da dscpla. 14

16 Matemátca Facera Atvdades obrgatóras Demas atvdades (regstro pessoal) 15

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18 UNIDADE 1 Operações prátcas com o uso da calculadora HP-12C 1 Objetvos de apredzagem Utlzar corretamete as fuções da calculadora HP-12C. Operar as fuções báscas da calculadora HP-12C. Resolver os problemas faceros usado a calculadora HP-12C. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Estudo da utlzação da calculadora HP-12C Operações báscas utlzado a calculadora HP-12C Resolver problemas faceros utlzado a calculadora HP-12C

19 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Caro aluo, esta udade, você estudará algumas operações prátcas de matemátca facera utlzado a calculadora HP- 12C. Você aprederá o mauseo básco desta calculadora, as suas operações báscas assm como a resolução de problemas faceros mas complexos. SEÇÃO 1 - Estudo da utlzação da calculadora HP-12C Esta seção trata da utlzação da calculadora HP-12C. Realzar cálculos faceros sem uso de uma boa calculadora de qualdade é uma tarefa muto complcada. Uma calculadora muto utlzada por profssoas do mercado facero é a HP-12C, tedo em vsta a facldade de compreesão a realzação de cálculos. A segur, apresetaremos os procedmetos báscos ecessáros para o seu uso: 1. Para lgar a calculadora, pressoe a tecla (ON). 2. Para apagar o que aparece o vsor, pressoe a tecla (CLX). 3. Para apagar todos os regstros, pressoe as teclas ( f ) (REG). 4. Para apagar as memóras faceras, pressoe as teclas ( f ) (FIN). 5. Para troduzr um úmero o vsor da calculadora, basta teclar o úmero e pressoar a tecla (ENTER). 6. Para armazear um úmero a memóra, tecle o úmero desejado e pressoe as teclas (STO) e após qualquer dígto de 0 a 9 ou.0 a Para buscar um úmero a memóra, tecle (RCL) e o dígto que você usou para armazeá-lo. 8. Para fxar a quatdade de casas decmas, tecle ( f ) e o dígto que va represetar o úmero de casas decmas desejada. 18

20 Matemátca Facera 9. Para trocar o vsor o poto pela vírgula, deve-se deslgar a calculadora e pressoar a tecla (.) jutamete com a tecla (ON) e soltar prmeramete a tecla (ON). 10. Para calcularmos o úmero de das etre duas datas, lmpe o vsor da calculadora e dgte a data cal da segute maera: da mês e ao ( g ) (DMY) (ENTER) e dgte a data fal: da mês e ao e use as teclas ( g ) ( DYS ). 1. Calcule o úmero de das etre as datas: 03/01/2004 e 23/08/2004. Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. 03, , , , das SEÇÃO 2 - Operações báscas utlzado a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará algumas fuções báscas da calculadora HP-12C, como operações artmétcas, o cálculo da potêca, o cálculo do verso de um úmero, o cálculo da raz quadrada, o cálculo do logartmo atural e o cálculo da porcetagem. Operações artmétcas Para efetuar as operações artmétcas smples, troduza o prmero úmero e pressoe a tecla (ENTER), troduza o segudo úmero e a operação a ser realzada. Os úmeros deverão ser troduzdos obedecedo às regras das operações artmétcas. Udade 1 19

21 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Calcule: a) 80 X 5 Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 80 (ENTER) 5 ( X ) 400 Produto b) Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 16 (ENTER) 18( CHS ) (ENTER) 6 ( + ) 13 Apreseta o Resultado Fal Cálculo da potêca Para elevarmos um úmero a um expoete qualquer, basta pressoar as teclas: ( f ) (REG) ( Y ) (ENTER) ( X ) e Y X. 1. Calcule: a) 3 6 Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 3 (ENTER) 6 (Y X ) 729 Potêca b) Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 1(ENTER) 3 (ENTER) 5 Y X 0, Potêca Cálculo do verso de um úmero Para calcular o verso de um úmero basta troduzr um úmero X e pressoar a tecla 1 X. 20

22 Matemátca Facera 1. Calcule o verso de 12: Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 12 [ 1 X ] 0, Iverso Cálculo da raz quadrada Para calcular a raz quadrada, utlzado a calculadora HP-12C, basta troduzr um úmero X > 0 e pressoar as teclas: ( g ) ( X ). 1. Calcule a raz quadrada de 16. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 16 ( g ) X 4 Raz quadrada Ateção! Quado queremos calcular raz cúbca, raz quarta, etc. de um úmero X, usamos o procedmeto da potecação. 1. Calcule a raz cúbca de 27. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 27 (ENTER) 3 ( 1 X ) (Y X ) 3 Raz cúbca Cálculo do logartmo atural Para calcularmos o logartmo atural de um úmero X > 0, basta troduzr a calculadora HP-12C um úmero e pressoar as teclas: ( g ) ( l ). Udade 1 21

23 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Calcule o logartmo atural do úmero 5. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 5 ( g ) ( l ) 1, Logartmo atural Cálculo de porcetagem Para calcularmos a porcetagem de um úmero, basta dgtar o úmero X e pressoar a tecla (ENTER) a calculadora, troduzr a porcetagem e pressoar ( % ). 1. Calcule 25% de 200. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 200 (ENTER) 25 ( % ) 50 Valor da Porcetagem 2. Se uma mercadora é vedda por R$1.800,00 para pagameto em 30 das. Qual o valor à vsta se a loja oferece um descoto de 12 %? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 1800 (ENTER) 12 ( % )( - ) SEÇÃO 3 - Resolver problemas faceros utlzado a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará como calcular, utlzado a calculadora HP-12C, o regme de captalzação smples, o regme de captalzação composta, assm como as sequêcas uformes de termos postecpados e atecpados. 22

24 Matemátca Facera Cosdere estas teclas da calculadora HP-12C como essecas para a resolução de problemas faceros = prazo = taxa de juros por período de captalzação PV = valor presete (captal cal) PMT = valor da prestação da sére uforme FV = valor futuro (motate) Regme de captalzação smples Para calcular os juros smples a HP-12C, execute procedmetos aálogos aos exemplos segutes. Lembre-se: a taxa deve ser aual e o prazo em das. 1. Calcule os juros smples e o motate de um captal de R$ 2.500,00 aplcado a uma taxa de 15% a.a. durate 210 das. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) Captal 210 ( ) 210 Prazo 15 ( ) 15 Taxa ( f ) ( INT ) 218,75 Juros ,75 Motate 2. Calcule os juros smples exatos e o motate de um captal de R$ 2.500,00 aplcado durate 210 das a uma taxa de 15% a.a. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) Captal 210 ( ) 210 Prazo 15 ( ) 15 Taxa > ( f ) ( INT ) ( R ) ( X < Y ) 215,75 Juros ,75 Motate Udade 1 23

25 Uversdade do Sul de Sata Catara Regme de captalzação composta No regme de captalzação composta, usamos as teclas bracas. Para calcular o regme de captalzação composta utlzado a calculadora HP-12C, execute procedmetos aálogos aos exemplos segutes. 1. Qual o motate obtdo pela aplcação de um captal de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m. durate 6 meses? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 5000 ( CHS ) ( PV ) Captal 6 ( ) 6 Prazo 2,5 ( ) 2,5 Taxa ( F V ) 5798,47 Motate 2. Calcule os juros de um empréstmo de R$ ,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 4,5% a.m. Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) ( CHS ) ( PV ) Captal 8 ( ) 8 Prazo 4,5 ( ) 4,5 Taxa ( F V ) ,06 Motate (RCL) (PV) ( + ) 42210,06 Juros 3. Se um captal de R$ ,00 fo aplcado a juros compostos em um fudo que rede 1,8% a.m. e sabedo-se que o valor de resgate fo de R$ ,17, qual o prazo da aplcação? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) ( CHS ) ( PV ) Captal 1,8 ( ) 1,8 Taxa ,17 (FV) ,17 Motate ( ) 6 Prazo 24

26 Matemátca Facera 4. Uma pessoa tem uma dívda de R$ ,00 para ser paga daqu a 2 aos. A taxa de juros do mercado é de 23% a.a. Quato esta pessoa deverá depostar hoje para fazer frete a este compromsso? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) ( CHS ) ( FV ) Motate 23 ( ) 23 Taxa 2 ( ) 2 Prazo ( PV ) ,66 Captal 5. Um captal de R$ ,00 é emprestado a uma taxa de juros compostos de 16% a.a. pelo prazo de 3 aos e 8 meses. Qual o motate pelas coveções lear e expoecal? Coveção Lear (sem a letra c o vsor) Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) ( CHS ) ( PV ) Captal 3, ( ) 3, Prazo 16 ( ) 16 Taxa ( FV ) ,91 Motate Coveção Expoecal (Com a letra c o vsor) Para cálculos pela coveção expoecal a HP-12C é ecessáro troduzr o vsor a letra c. Para sto, basta pressoar as teclas (STO) (EEX). Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) (STO)(EEX) 0, c Itrodução da letra c (CHS) (PV) c Captal 3, ( ) 3, c Prazo 16 ( ) 16 c Taxa ( FV ) ,21 c Motate Udade 1 25

27 Uversdade do Sul de Sata Catara Sequêcas uformes As sequêcas uformes de termos, postecpados e atecpados, também podem ser calculadas com a calculadora HP-12C. Sequêca uforme de termos postecpados Para calcular a sequêca uforme de termos postecpados utlzado a calculadora HP-12C, execute procedmetos aálogos aos exemplos segutes. 1. Uma loja vede uma mercadora em 8 prestações mesas e guas de R$ 300,00 sedo a prmera paga 30 das após a compra. A taxa de juros é de 4,5% a.m.. Qual o preço da mercadora à vsta? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 300(CHS) (PMT) -300 Prestação 8 ( ) 8 Prazo 4,5 ( ) 4,5 Taxa ( PV ) 1978,76 Preço à vsta 2. Um corretsta deposta ao fal de cada mês a quata de R$ 5.000,00. Durate 10 meses, o baco remuera com uma taxa de juros compostos de 2,8% a.m.. Qual o motate ao fal do últmo depósto? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) 5000 (CHS) (PMT) Prestação 10 ( ) 10 Prazo 2,8 ( ) 2,8 Taxa ( FV ) 56794,24 Motate 26

28 Matemátca Facera 3. Um corretsta deposta em um fudo durate 10 meses uma certa quata. O saldo fal é de R$ ,00. Sabedo que o baco remuera com uma taxa de juros compostos 1,8% a.m., perguta-se: qual o depósto mesal do corretsta? Tecla Vsor Resultado ( f ) (REG) (CHS) (FV) , Motate 10 ( ) 10 Prazo 1,8 ( ) 1,8 Taxa ( PMT ) 4608,24 Depósto Sequêca uforme de termos atecpados Nas sequêcas uformes de termos atecpados, use as teclas ( g ) (BEG), aparecedo o vsor a expressão (BEGIN). Para calcular a sequêca uforme de termos atecpados, utlzado a calculadora HP-12C, execute procedmeto aálogo ao exemplo segute. 1. Uma loja vede uma mercadora em 5 prestações mesas e guas de R$580,00 sedo a prmera dada como etrada. A loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 1,3% a.m.. Qual o preço da mercadora à vsta? Tecla Vsor Resultado ( g ) (BEG) 0, (BEGIN) Itrodução da palavra BEGIN ( f ) (REG) 580 (CHS) (PMT) -580 Prestação 5 ( ) 5 Prazo 1,3 ( ) 1,3 Taxa ( PV ) 2826,52 Preço à Vsta Udade 1 27

29 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Lea com ateção as questões propostas e resolva-as utlzado a calculadora HP-12C. 1) Resolva as expressões umércas: a) b) c) d) e) l 2 + l15 28

30 Matemátca Facera 2) Calcule 15% de R$ 1.060,00. 3) Uma mercadora é vedda por R$ ,00 para pagameto em 2 meses. À vsta, a loja oferece um descoto de 25%. Qual o preço da mercadora à vsta? 4) Qual o úmero de das etre as datas: 21/03/2004 e 25/09/2004? Udade 1 29

31 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) Uma pessoa asceu o da 22/03/1972 e faleceu em 25/06/2004, quatos das esta pessoa vveu? 6) Calcule os juros smples e o motate de um captal de R$ ,00 aplcado a uma taxa de 12% a.a. durate 3 meses. 7) Quas os juros smples exatos de uma aplcação de R$ 4.320,00 durate 830 das a uma taxa de 30% a.a.. 30

32 Matemátca Facera 8) Calcule o motate de uma aplcação de R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 3,2% a.m., durate 25 meses. 9) Calcule os juros compostos de uma aplcação de R$ ,00 durate 2 aos e 3 meses a uma taxa de 5% a.t.. 10) Mara aplcou R$ ,00 em um baco que paga uma taxa de juros compostos de 26% a.a. durate 20 meses. Determe o motate recebdo utlzado as coveções lear e expoecal. Udade 1 31

33 Uversdade do Sul de Sata Catara 11) Gustavo emprestou a quata de R$ 1.545,00 a seu amgo. A taxa cobrada pelo empréstmo fo de 25% a.a. e o prazo de 3 aos e 5 meses. Calcule o valor que Gustavo obteve pelas coveções lear e expoecal. 12) Qual o motate obtdo ao efetuarmos 20 depóstos de R$ 1.200,00 guas e mesas a uma taxa de 3,1% a.m.? 13) O preço à vsta de uma mercadora é de R$ ,00, mas a mesma pode ser facada em 6 prestações mesas e guas de R$ 2.400,00 cada, sedo a prmera dada como etrada. Qual a taxa mesal de juros do facameto? 32

34 Matemátca Facera Sítese Nesta udade, você apredeu a utlzar a calculadora HP-12C para resolver os problemas faceros, tas como operações artmétcas, o cálculo da potêca, o cálculo do verso de um úmero, o cálculo da raz quadrada, o cálculo do logartmo atural e o cálculo da porcetagem. Você também apredeu como calcular o regme de captalzação smples, o regme de captalzação composta, assm como as sequêcas uformes de termos postecpados e atecpados utlzado a calculadora HP-12C. Saba mas Se você quser estudar mas profudamete o uso da calculadora HP-12C, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, GUERRA, Ferado. Matemátca facera através da HP-12C. Floraópols: Edtora UFSC, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca facera, objetva e aplcada. 6ª ed. São Paulo: Sarava, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall, SHINODA, Carlos. Matemátca facera para usuáros do Excel. São Paulo: Atlas, ZENTGRAF, Walter. Calculadora facera HP-12c. São Paulo: Atlas Udade 1 33

35

36 UNIDADE 2 Fudametos de matemátca facera 2 Objetvos de apredzagem Compreeder os cocetos fudametas de matemátca facera. Classfcar e detfcar os regmes de captalzação. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 O que é porcetagem? Regmes de formação dos juros Fluxo de caxa

37 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Caro aluo, para você estudar a dscpla matemátca facera, é ecessáro que você fque famlarzado com o sgfcado de algus termos comumete usados o desevolvmeto da mesma. Nesta udade, você estudará cocetos dos coteúdos relatvos aos fudametos da matemátca facera, tas como porcetagem, regme de captalzação e fluxo de caxa, bem como realzará atvdades pertetes ao assuto. Bom estudo! SEÇÃO 1 - O que é porcetagem? Nesta seção, você estudará bascamete porcetagem e também cohecerá algus outros cocetos fudametas de matemátca facera, como captal, juros, prazo, motate e taxa de juros. Porcetagem (percetagem) A expressão por ceto é usada para dcar uma fração cujo deomador é 100 (razão cetesmal). Outra represetação das razões cetesmas, muto usada o meo ecoômco facero, é substtur o deomador 100 pelo símbolo % = 30 % (Trta por ceto) = 5 % (Cco por ceto) Trasformação da forma porcetual para a forma utára. Forma porcetual Trasformação Forma utára 30% 5% 12,2% ,30 0,05 0,122 36

38 Matemátca Facera Como se calcula a porcetagem de uma quata? Quado estamos resolvedo um problema que evolva porcetagem, estamos, a verdade, efetuado um cálculo de proporção. 1. Qual é o valor de 35 % de 70? Fórmula Teclas Vsor Observação 35 x = x = = 24, (Aqu usado a forma porcetual) 35 35, , ,50 ou Teclas Vsor Observação 70 70, ,50 2. Quatos por ceto de R$ 160,00 correspodem à quata de R$ 40,00? Fórmula Teclas Vsor Observação = x 40 x = = 0, 25 = 25% 160 (Agora usado a forma utára) 40 40, , % Udade 2 37

39 Uversdade do Sul de Sata Catara ou Teclas Vsor Observação , ,00 Igual a 25%. 3. Em um colégo da rede estadual 35% dos aluos são meas. O total de aluos é de Quatos são os meos? (Usado a forma utára e ão mas escrevedo a proporção) Fórmula Teclas Vsor Observação x = 0, x = 1040 meos 0,65 0, ,00 ou Teclas Vsor Observação , ,00 38

40 Matemátca Facera Termos mportates usados a matemátca facera Observe estes termos própros da matemátca facera, abaxo, e a utlzação destes, a sequêca. Captal (C) Juros (J) Prazo () Quata em dhero dspoível o mercado em uma determada data. Remueração obtda pelo uso de um captal por um tervalo de tempo. Número de períodos que compõem o tervalo de tempo utlzado. Motate (M) Soma do captal aplcado mas os juros. M = C + J Taxa de juros () É o coefcete resultate da razão etre o juro e o captal. A cada taxa, deverá vr aexado o período a que ela se refere. J = C Um aplcador obteve redmeto de R$ 4.500,00 em uma aplcação de R$ ,00 por 2 meses. Qual a taxa de juros do período? Fórmula Teclas Vsor Observação J = 4500 C = = 2 meses = = = 0, 075 = 7, 5% a. p. ou 7, 5% a. b , , ,50 7,5% a.b. Udade 2 39

41 Uversdade do Sul de Sata Catara Ateção! Comparações smples de operações artmétcas com quatas que estejam em datas dferetes fcam váves, quado estudamos matemátca facera. SEÇÃO 2 - Regmes de formação dos juros Nesta seção você estudará o regme de formação de juros. Se aplcarmos um captal durate város períodos a uma taxa preestabelecda por período, este captal se trasformará em um valor chamado motate de acordo com duas coveções: regme de juros smples; regme de juros compostos. Regme de juros smples No regme de juros smples, os juros são calculados por períodos levado sempre em cota somete o captal cal (prcpal). Regme de juros compostos Neste caso, os juros gerados em um período são corporados ao captal cal, formado um ovo captal que partcpará da geração de juros o próxmo período. Ateção! Os juros são captalzados a cada período. Assm, o regme de juros compostos passa a deomar-se regme de captalzação composta. Exemplo 40

42 Matemátca Facera Ao aplcarmos um captal de R$ 3.000,00 por 4 aos, a uma taxa de juros de 12% a.a. o regme de juros smples ou compostos, obtemos os segutes resultados: Período Juros Smples Juros Compostos Juros Motate Juros Motate , , , ,00 360, , , ,00 403, , , ,00 451, , , ,00 505, ,56 SEÇÃO 3 - Fluxo de caxa Você estudará agora o fluxo de caxa. O fluxo de caxa de uma operação facera é represetado por um exo horzotal o qual marcamos o tempo em ao, mês ou da a partr de um state cal (orgem). As etradas de dhero são represetadas por setas oretadas para cma, perpedculares ao exo horzotal. As saídas são represetadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baxo. Modelo Smplfcado (+) etrada (-) saída 0 tempo () Udade 2 41

43 Uversdade do Sul de Sata Catara Um vestdor aplcou R$ ,00 em uma etdade bacára e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. Apresete o fluxo de caxa a vsão do aplcador e do captador. Vsão do aplcador Vsão do captador Atvdades de autoavalação Agora que você já estudou toda a udade 2, realze as atvdades de autoavalação propostas. 1) Coverta para a forma porcetual: 0, , ) Coverta para a forma utára: 12% % ) Uma pessoa aplca R$ 2.500,00 em um baco e recebe R$ 430,00 de juros 6 meses depos. Qual a taxa semestral de juros da operação a forma porcetual? 42

44 Matemátca Facera 4) Preecha a plalha a segur calculado os juros e os seus respectvos motates gerados por um captal de R$ 2.000,00, durate 4 meses a uma taxa de 5% a.m., os regmes de captalzação smples e composta. Período Juros Smples Juros Compostos Juros Motate Juros Motate 5) Um clete aplca em uma sttução bacára R$ 5.000,00 a uma taxa de 8% a.a. durate 3 aos, recebedo de juros R$ 1.298,56. Apresete o fluxo de caxa a ótca do vestdor e do captador. Udade 2 43

45 Uversdade do Sul de Sata Catara Sítese Ao falzar esta udade, você deve ter compreeddo os cocetos e regras apresetados, pos serão muto útes a cotuação da dscpla. Você apredeu algus fudametos da matemátca facera, como a porcetagem e certos termos mportates como captal, juros, prazo, motate e taxa de juros; o regme de formação de juros (juros smples e juros compostos); e o fluxo de caxa e sua represetação gráfca. Na próxma udade você estudará mas profudamete cada regme de captalzação. Até lá! Saba mas Para você aprmorar ada mas seus cohecmetos acerca dos temas estudados esta udade, cosulte os segutes lvros: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco, GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas,

46 UNIDADE 3 Juros smples 3 Objetvos de apredzagem Resolver problemas evolvedo juros smples e motate. Dstgur e calcular os tpos de juros smples (juros exatos e comercas). Coverter taxas de juros. Eteder o coceto de valor atual e valor omal e calculá-los. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Seção 5 Seção 6 Juros smples Motate Taxas proporcoas Juros smples exatos e comercas ou bacáros Valor omal e valor atual Equvalêca de captas a juros smples

47 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Uma vez que você já se habtuou aos termos báscos desta dscpla, em fução do estudo da udade ateror, agora você está proto para aprofudá-los. Nesta udade, você desevolverá um estudo smplfcado do regme de juro smples, cosderado um formuláro para calcular juros smples, comercas e exatos, motate e valor atual e omal. SEÇÃO 1 - Juros smples Na udade ateror, quado você estudou o regme de juros smples, fcou estabelecdo que: O juro é produzdo ucamete pelo captal cal (prcpal). O juro é gual em todos os períodos (costates). Coheça, agora, como se calcula os juros smples. Esta é a fórmula para o cálculo dos juros smples J = C. J = C. + C. = C. 2 J = C. + C. + C. = C J = C.. Etão : J = C.. Ateção! Para calcular juros smples a captalzação smples da HP 12C deveremos adotar o segute padrão: Quado serr os dados as teclas faceras, o prazo () deverá ser sempre em das e a taxa () deverá estar sempre em ao. 46

48 Matemátca Facera 1. Uma pessoa aplca R$ ,00 em uma sttução bacára por 10 meses a uma taxa de juros smples de 2,4% a.m. Qual o juro auferdo? Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 2, 4% = 0, 024 a. m. = 10 meses ,00 J = C.. J = , J = R$ 3600, 00 0,024 0, ,00 ou Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 2,4 2,40 Taxa juros mesal 12 28,80 Taxa juros aual 10 10,00 Período em meses ,00 Período em das 3.600,00 Juros auferdos Udade 3 47

49 Uversdade do Sul de Sata Catara 2. Qual é o redmeto de uma aplcação de R$ ,00 durate 3 aos à taxa de 6% a.t.? Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 6% = 0, 06 a. t. = 3 aos = = 12 trmestres J = C.. J = , J = R$ , ,00 0,06 0, ,00 ou Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 6 6,00 Taxa juros trmestral 4 24,00 Taxa juros aual 3 3,00 Período em aos ,00 Período em das ,00 Juros auferdos 48

50 Matemátca Facera 3. Calcular o captal cal aplcado a juros smples, sabedo-se que o redmeto obtdo a operação será de R$ 2.400,00 e que a taxa utlzada o cotrato é de 2% a.m. durate 2 aos. Fórmula Teclas Vsor Observação C =? J = 2400 = 2% = 0, 02 a. m. = 2 aos = = 24 meses ,00 J = C.. J C = C = 0, C = R$ 5000, 00 0,02 0, ,00 Ateção! Nos cálculos de juros é ecessáro que a taxa seja colocada a forma utára. A taxa de juros e o úmero de períodos () devem estar sempre a mesma udade de tempo. Quado a taxa e o prazo estão em udades de tempo dferetes, sugermos que se altere sempre o prazo. Nada muda a forma de calcular os juros smples quado o período for fracoáro. Udade 3 49

51 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 2 - Motate Nesta seção, você estudará o que é motate. Você sabe o que é motate? Motate é uma quata gerada pela aplcação de um captal cal por determado tempo, acrescdo dos respectvos juros. Esta é a fórmula para o cálculo do motate o regme de juros smples M = C + J etão : como : M = C + C.. J = C.. M = C Um captal de R$ ,00 fo aplcado a juros smples durate 3 aos a taxa de 6% a.a. Qual é o motate adqurdo? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 C = = 6% = 0, 06 a. a. = 3 aos M =? M = C 1+. M = , M = , 18 M = , 18 M = R$ 21240, ,00 0,06 0, ,00 ou 50

52 Matemátca Facera Teclas Vsor Observação 0, ,00 Lmpa regstradores faceros 6 6,00 Taxa juros aual 3 3,00 Período em aos ,00 Período em das 3.240,00 Juros auferdos ,00 Motate (captal + juros) 2. Se aplcarmos R$ 4.000,00 a juros smples, à taxa de 5% a.m. o motate a receber será de R$ 7.000,00. Determe o prazo da aplcação. Fórmula Teclas Vsor Observação M = 7000 C = 4000 = 5% = 0, 05 a. m ,00 =? M = C ( 1+. ) M 1+. = C M. = 1 C ,75 M 1 = C 1 0, = , 05 1, 75 1 = 0, 05 0, 75 = = meses, 0,05 15,00 15 meses Udade 3 51

53 Uversdade do Sul de Sata Catara Observe como podemos resolver este problema por outra forma: Fórmula Teclas Vsor Observação M = C + J J = M C J = J = 3000 J = C.. J = C = , = 200 = 15 meses , ,00 0,05 15,00 15 meses SEÇÃO 3 - Taxas proporcoas Em certas lteraturas especalzadas utlza-se a omeclatura taxas proporcoas ou equvaletes a juros smples. Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcoas. Você sabe quado duas taxas são proporcoas? Ateção! Duas taxas são dtas proporcoas a juros smples quado 52

54 Matemátca Facera 1. Em juros smples, qual a taxa mesal proporcoal a 24% a.a.? Fórmula Teclas Vsor Observação m 1 = 24% 12 24% m = 12 = 2% a. m m 24 24, % 2. Em juros smples qual a taxa aual proporcoal a 2% a.m.? a 12 = 2% 1 = 2%. 12 = 24% a. a. a SEÇÃO 4 - Juros smples exatos e comercas ou bacáros Nesta seção, ós apresetamos os juros smples exatos e os juros smples comercas ou bacáros. Juros smples exatos Os juros smples exatos (Je) apóam-se as segutes característcas: o prazo é cotado em das; mês = úmero real de das coforme caledáro; ao cvl = 365 das ou 366 (ao bssexto). Udade 3 53

55 Uversdade do Sul de Sata Catara Você sabe como se deve cotar os das etre duas datas? Para determarmos o úmero de das etre duas datas, devemos subtrar o úmero de das correspodete à data posteror do úmero de das da data ateror. No caso dos aos bssextos, devemos acrescetar 1 (um) ao resultado ecotrado, quado o fal do mês de feverero estver evolvdo o prazo da aplcação. Sempre que o exercíco exgr, cometaremos se o ao for bssexto. Tabela 1 - Cotagem de das etre duas datas JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

56 Matemátca Facera 1. Ache os juros smples auferdos em uma aplcação de R$ ,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abrl de 2003 à 1ª de julho de Usado a tabela temos: JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Udade 3 55

57 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 = = 72 J = C.. J J e e = , = R$ 473, 42 0,16 0, , ,42 ou Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros , ,00 Taxa juros aual 72 72,00 Período em das 480,00 Juros auferdos 473,42 Juros exatos acumulados 56

58 Matemátca Facera 2. Determe o juro smples exato obtdo em uma aplcação R$13.300,00 durate 146 das a uma taxa de 9% a.a. Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 J = C.. J J e e = , = R$ 478, 80 0,09 0, , ,80 ou Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 9 9,00 Taxa juros aual ,00 Período em das 485,45 Juros auferdos 478,80 Juros exatos acumulados Udade 3 57

59 Uversdade do Sul de Sata Catara Juros smples comercal Os juros smples comercal apóam-se as segutes característcas: mês = 30 das. ao cvl = 360 das. Daqu para frete, com exceção dos casos dcados, usaremos os juros comercas. 1. Qual o juro smples comercal de uma aplcação de R$ ,00 durate 1 ao e 2 meses à taxa de 2,2% a.m.? Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 2, 2% a. m. = 0, 022 a. m. = 1 ao e 2 meses = 14 meses J = C.. J = , J = R$ , ,00 0,022 0, ou 58

60 Matemátca Facera Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 2,2 2,20 Taxa juros mesal 12 26,40 Taxa juros aual 14 14,00 Período em meses ,00 Período em das ,00 Juros auferdos 2. Qual o valor do captal que aplcado durate 1 ao e 3 meses à taxa de 3% a.m., redeu R$ 900,00? Fórmula Teclas Vsor Observação J = 900 = 3% a. m. = 0, 03 a. m. = 1 ao e 3 meses = 15meses ,00 J = C.. J C =. 900 C = 0, C = R$ 2000, 00 0,03 0, Udade 3 59

61 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 5 - Valor omal e valor atual Esta seção aborda o valor omal e valor atual de um compromsso facero. Valor omal O valor omal (N) (ou de face) é defdo como o valor do compromsso facero a data de seu vecmeto. Valor atual O valor atual (V) é defdo como o valor do compromsso facero em uma data ateror a de seu vecmeto. Fluxo de caxa O segute gráfco se refere ao fluxo de caxa, cosderado o valor omal e o valor atual. V 0 N Esta é a fórmula para o cálculo do valor omal e do atual o regme de juros smples N = V + J N = V + V.. N = V 1+. V N =

62 Matemátca Facera 1. Uma dívda de R$ ,00 vece daqu a 10 meses. Cosderado uma taxa de juros smples de 2% a.m., calcule o seu valor atual as segutes datas: a) hoje; b) 2 meses ates do vecmeto; c) daqu a 3 meses. V=? 0 a) Hoje Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 V V V V N = = 1 + 0, = = 1, 2 = R$ , ,00 0,02 0, ,00 Udade 3 61

63 Uversdade do Sul de Sata Catara V=? 8 b) Dos meses ates do vecmeto Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 V V V N = = 1 + 0, = R$ , ,00 0,02 0, ,85 62

64 Matemátca Facera c) Daqu a 3 meses. V=? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 V V V N = = 1 + 0, = R$ , ,00 0,02 0, ,26 2. Um aplcador comprou uma duplcata o valor omal de R$ ,00 com vecmeto para daqu a 6 meses por R$ ,00. Qual a taxa mesal de retabldade do aplcador? Udade 3 63

65 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação N = V = = 6 meses ,00 N = V = = = 1, = 1, = 0, 125 0, 125 = = 0, = 2, 08% a. m , , , ,08 2,08% a.m. SEÇÃO 6 - Equvalêca de captas a juros smples Sejam os segutes cojutos de captas e. Dzemos que dos cojutos de captas são equvaletes a juros smples uma mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, quado apresetam valores atuas guas. Fluxo de caxa 64

66 Matemátca Facera Ateção! Se mudarmos a data focal, a equvalêca dos cojutos de captas ão será matda. 1) Um empresáro tem os segutes compromssos a pagar: R$ 3.000,00 daqu a 4 meses R$ 5.000,00 daqu a 8 meses R$ ,00 daqu a 12 meses O empresáro propõe trocar esses débtos por dos pagametos guas, um para daqu a 6 meses e outro para daqu a 9 meses. Cosderado a taxa de juros smples de 5% a.m. e a data focal o 270 da, calcular o valor de cada pagameto. Fluxo de caxa 65

67 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,05 0,05 3 1,15 Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,05 0, ,00 66

68 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0, ,00 Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,05 0, ,78 Fórmula Teclas Vsor Observação , , , ,78 Udade 3 67

69 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação 19434, ,78 2, ,43 Atvdades de autoavalação A partr de seus estudos, lea com ateção e resolva as atvdades programadas para a sua autoavalação. 1) Qual o redmeto que obtemos ao aplcarmos um captal de R$ ,00 a uma taxa de juros smples de 5% a.a., durate 3 aos? 2) Qual o tempo ecessáro para que um captal de R$ 5.800,00 aplcado a uma taxa de juros smples de 2% a.m. gere um motate de R$ 6.728,00? 68

70 Matemátca Facera 3) Em um regme de captalzação smples, qual é o motate que se obtém quado aplcamos um captal de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. durate 24 meses? 4) Ao aplcarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em regme de juros smples um motate de R$ 5.200,00. Qual é a taxa mesal obtda a aplcação? 5) Uma quata de R$ ,00 fo aplcada em uma operação facera o da 20 de Setembro de 2003 e resgatada o da 21 de Dezembro de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quas os juros smples exatos e comercas da operação? 69

71 Uversdade do Sul de Sata Catara 6) Calcule os juros smples exatos e comercas as segutes codções: R$ 6.000,00 aplcados por 180 das a 12% a.a. R$ 5.200,00 aplcados por 230 das a 15% a.a. 7) Uma duplcata fo resgatada por R$ 4.500,00 em uma sttução bacára, 4 meses ates de seu vecmeto, a uma taxa de juros smples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplcata? 8) Quato recebere ao aplcar o Baco A a quata de R$ 3.520,00, do da 05 de jaero de 2006 até o da 22 de março de 2006, o regme de juros smples exatos e comercas, sabedo que o baco opera com uma taxa de 16% a.a.? 70

72 Matemátca Facera 9) Hoje um comercate tem duas dívdas: uma de R$ 6.000,00 com vecmeto para daqu a 35 das e outra de R$ ,00 que vece em 48 das. Propõe-se a pagá-las por meo de dos pagametos guas com prazo de 60 e 120 das, respectvamete. Cosderado juros smples de 12% a.a. e a data focal de (120 da), calcule o valor de cada pagameto. 10) Uma empresa deve a uma sttução facera as segutes quatas: R$ 6.500,00 daqu a 3 meses. R$ 8.000,00 daqu a 8 meses. Calcule o valor dessas dívdas cosderado a taxa de juros smples de 18% a.a. e a data focal (180 da). 71

73 Uversdade do Sul de Sata Catara Sítese Nesta udade, você estudou com profuddade os dversos tpos de juros smples, os juros smples exatos e comercas, bem como motate, equvalêca de taxas além de valor atual e valor omal. Você também apredeu a calcular juros smples, exatos e comercas, e a coverter taxas de juros. Você ada estudou a dstção etre valor atual e valor omal e como calculá-los. Na udade segute, você estudará os dversos tpos de descotos smples. Bom estudo! Saba mas Para você aprofudar-se ada mas os temas estudados a udade, cosulte as bblografas: ASSAF NETO, Alexadre. Matemátca facera e suas aplcações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas,

74 UNIDADE 4 Descotos smples 4 Objetvos de apredzagem Compreeder o coceto de descoto smples. Dferecar e calcular os tpos de descotos smples (comercal e racoal). Relacoar os tpos de descotos smples. Dferecar taxas de descoto comercal e de juros smples. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Descotos Relação etre descoto smples racoal e descoto smples bacáro (comercal)

75 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Prezado aluo, esta udade você estudará os dversos tpos de descoto smples, a relação etre os descotos smples racoal e descoto smples bacáro ou comercal, além das taxas de descoto smples e de juros smples. SEÇÃO 1 - Descotos Nesta seção, você estudará os descotos smples, tato o descoto smples racoal (por detro) quato o descoto smples bacáro ou comercal (por fora). Descotos Smples Descoto é o abatmeto obtdo o pagameto de uma dívda quado ela é efetvada de forma atecpada (ates do vecmeto). Nas operações faceras serão utlzados títulos de crédtos tas como: Nota promssóra Duplcata Letra de câmbo d = N V ode: d = Descoto N = Valor omal (o vecmeto) V = Valor atual (ates do vecmeto) 74

76 Matemátca Facera Descoto smples racoal (por detro) O descoto smples racoal (dr) é o valor equvalete ao juro smples gerado pelo valor atual. O cálculo para o descoto racoal apreseta a segute fórmula: d = V.. como : N = V 1+. V d = N V d d d r r r r r N = N = N N.. = 1+. = 1 + N. 1. Qual o valor do descoto racoal smples de uma duplcata com valor omal de R$ ,00 descotada 120 das ates do vecmeto, à taxa de 30% a.a.? Udade 4 75

77 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação N = = 30% a. a. = 0, 3a. a. = 120 das = = do ao ,00 0,3 0,30 d d d r r r N.. = , 3. 1 = , = R$ 2181, , ,00 Valor armazeado a memóra º 1. Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,3 0,30 1 1,00 3 1,10 Valor armazeado a memóra º 2. 76

78 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação 2,400,00 Recupera memóra º ,82 1,10 Recupera memóra º Um título de R$ ,00 fo descotado em um baco 2 meses ates do vecmeto. Sabedo-se que o valor líqudo recebdo fo de R$ ,95, qual é a taxa mesal de descoto racoal smples utlzada pelo baco? Fórmula Teclas Vsor Observação N = V = 11214, 95 = 2 meses N = V 1+. N 1+. = V N. = 1 V N 1 = V , 95 1 = 2 = 0, 035 = 3, 5% a. m , ,95 1,07 1 0,07 2 0, ,50 3,5% a.m. Udade 4 77

79 Uversdade do Sul de Sata Catara Descoto smples bacáro ou comercal (por fora) O descoto smples bacáro ou comercal (d b ) é o descoto mas utlzado pelos bacos a remueração do captal. Ateção! O descoto bacáro ou comercal (por fora) é o juro smples calculado sobre o valor omal. Esta é a regra para o cálculo do descoto smples bacáro ou comercal: d = N.. b Ode: b N = valor omal b = taxa de descoto smples bacáro = prazo 1. Uma duplcata de R$ ,00, com vecmeto o da 03/04/2005, fo descotada em um baco em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o descoto smples bacáro da operação? Fórmula Teclas Vsor Observação N = c = 2, 5% a. m. c = 0, 025 a. m. 85 = 85 das = meses 30 d = N.. d b b db b = , = R$ 1062, ,00 0,025 0, , ,50 78

80 Matemátca Facera E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate: d = N V b V = N d = N N.. V = N 1. b b b 1. Uma empresa descotou um título com valor de face de R$ ,00, 3 meses e 15 das ates do vecmeto com uma taxa de descoto bacáro smples de 2,4% a.m.. Quato a empresa recebeu líqudo a operação? Fórmula Teclas Vsor Observação V =? N = b b = 2, 4% a. m = 0, 024 a. m. = 3 meses e15 das = 3, 5 meses ( b ) (,., ) V = N. 1. V = V = R$ 13282, ,00 1 1,00 0,024 0,024 3, ,00 A relação etre descoto smples racoal e descoto smples bacáro (comercal) é assm represetada: dr = V.. N.. dr = 1 +. db = N.. N.. dr 1 = +. db N.. dr 1 = db 1 +. d = d 1+. b r Udade 4 79

81 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Uma duplcata de R$ ,00 fo descotada 6 meses ates de seu vecmeto em uma sttução facera que trabalha com uma taxa de descoto smples de 3,2% a.m.. Determe: a) O valor do descoto smples bacáro b) O valor do descoto smples racoal a) Fórmula Teclas Vsor Observação N = = 3, 2% a. m. = 0, 032 a. m. = 6 d d b b = , = R$ 9216, ,00 0,032 0, ,00 b) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 d d d r r r db = = 1 + 0, = R$ 7731, ,00 0,032 0, ,54 80

82 Matemátca Facera SEÇÃO 2 - Relação etre descoto smples racoal e descoto smples bacáro (comercal) Nesta seção, você estudará a relação etre a taxa de descoto smples e a taxa de juros smples. A relação etre a taxa de descoto smples e a taxa de juros smples é formulada do segute modo: B = taxa de descoto smples = taxa de Juros Smples J = N V V.. = N V N V. = V N. = 1 V N. = 1 N db N N d. = N d como : d = N.. N. b. etão :. = N N.. = 1 b b b. b b b b Udade 4 81

83 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Uma ota promssóra de R$ ,00 com prazo de vecmeto em 3 meses fo descotada em um baco que trabalha com uma taxa de descoto smples bacáro de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate e qual a taxa de juros smples cobrada pelo baco? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = b b = 3, 2% a. m. = 0, 032 a. m. = 3 meses ( b ) V = N 1. V = , V = 23052, ,00 0,032 0, ,00 Fórmula Teclas Vsor Observação 0,032 0,032 b = 1 b. 0, 032 = 1 0, = 0, 0354 = 3, 54% a. m. 1 1,00 0,032 0, , ,54 3,54% a.m. 82

84 Matemátca Facera 2. Se uma empresa descota uma duplcata com vecmeto em 3 meses, proporcoado-lhe uma taxa de juros smples de 3,4% a.m., qual a taxa de descoto smples bacáro utlzada? Fórmula Teclas Vsor Observação 3,4% a.m. = 0,034 a.m. 3 meses = 1 b b. b 0, 034 = 1 b. 3 0, 034( 1 b. 3) = b 0, 034 0, 102. b = b + 0, 102 b = 0, 034 1, 102. b = 0, 034 0, 034 b = 1, 102 b = 0, a. m. = 3, 085% a. m. b b 0,034 0,034 1,102 0, ,085 3,085% a.m. Udade 4 83

85 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Lea com ateção o eucado e resolva as segutes atvdades, cosderado as defções e as fórmulas apresetadas até esta udade. 1) Uma empresa descota uma duplcata o valor omal de R$ ,00 o Baco X 4 meses ates do seu vecmeto. Sabedo que o baco X trabalha com uma taxa de descoto smples bacáro de 4,5% a.m., qual é o valor do descoto e o valor líqudo recebdo? 2) Para pagar uma dívda hoje, uma empresa descotou em uma cartera de crédto uma duplcata o valor de R$ ,00 com vecmeto daqu a 2 meses, recebedo um valor omal líqudo de R$ ,00. Determe a taxa mesal de descoto smples bacáro utlzada? 84

86 Matemátca Facera 3) Uma letra de câmbo o valor omal de R$ 5.000,00 fo comercalzada 4 meses ates do vecmeto a uma taxa de descoto smples de 2,2% a.m. Se o descoto smples fosse o racoal, qual sera o valor deste descoto? 4) Uma loja descota uma duplcata o valor omal de R$ 1.500,00 vecível em 6 meses a uma taxa de descoto smples de 6% a.m. Qual é o valor do descoto smples racoal e comercal da operação? 5) Um baco cobra uma taxa de juros smples de 4% a.m. Se uma duplcata com vecmeto em 3 meses é egocada, qual a taxa de descoto smples bacáro equvalete utlzada? Udade 4 85

87 Uversdade do Sul de Sata Catara Sítese Nesta udade, você apredeu o coceto de descoto smples, seus dversos tpos e comparações. Relacoou as taxas de juros smples e de descotos smples bacáro ou comercal. Na próxma udade, você começará a estudar o regme de juros compostos. Cotue em frete! Saba mas Se você quser estudar mas profudamete o assuto descoto smples, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, MERCHEDE, Alberto. Matemátca facera para cocursos. São Paulo: Atlas,

88 UNIDADE 5 Juros compostos 5 Objetvos de apredzagem Cohecer os cocetos sobre juros compostos. Calcular motate, juro, captal, taxa e prazo. Usar corretamete as coveções expoecal e lear. Calcular valor omal e valor atual. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Juros compostos Coveção expoecal e lear Valor omal e valor atual

89 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Aterormete você estudou os cocetos e aplcações relatvos ao regme de juros smples. Nesta udade você estudará o regme de juros compostos, cuja aplcabldade é usual em operações comercas e faceras. SEÇÃO 1 - Juros compostos Os juros compostos são os juros corporados ao captal cal ao fal de cada período (ao, mês, da), formado, assm, um ovo captal para o período segute. A segur, serão apresetadas as fórmulas para o cálculo do motate, juros, captal, taxa e prazo: Fórmula para o cálculo do motate, o caso dos juros compostos: M = Motate C = Captal = Taxa = Prazo M = C + J M = C + C. M = C 1+ M = C ( 1+ ) + ( 1+ ) M = C C 1 2 M = C 1+ C 1. 3 C. ( + ) = ( + ) + ( + ) 2 2 M = C 1+ 1 C M = C 1+ ( + ) = ( + )

90 Matemátca Facera Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C + J J = M C J = C 1+ C J = C 1+ 1 Fórmula para o cálculo do captal, cosderado os juros compostos: M = C 1+ C = M ( 1+ ) Fórmula para o cálculo da taxa, cosderado os juros compostos: M = C 1+ ( 1+ ) = M C M + = 1 C M = C Fórmula para o cálculo do prazo, cosderado os juros compostos: M = C 1+ ( 1+ ) = M C N l ( 1+ ) = l C M. l ( 1+ ) = l C M l = C l 1+ Udade 5 89

91 Uversdade do Sul de Sata Catara Ateção! 1. O fator 1+ é chamado fator de acumulação de captal. 2. As taxas de juros e os prazos devem estar a mesma udade de tempo. 1. Qual o motate gerado por um captal de R$ 4.500,00 aplcado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m.? Fórmula Teclas Vsor Observação C = 4500 = 3, 5% a. m. = 0, 035a. m. = 9 meses M = C 1+ M = 4500( 1+ 0, 035) M = 4500( 1, 035) M = , M = R$ 6133, ,00 3,5 3,50 9 9, ,04 Para lmpar os regstros. 2. Um captal de R$ ,00 fo aplcado a juros compostos durate 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule os juros auferdos a aplcação. Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 2% a. m. = 0, 02 a. m. = 6 meses ,00 Para lmpar os regstros. J = C J = , J = ( 1, 02) 1 J = , J = , J = R$ 1513, ,00 6 6, , ,95 Os juros (J) são a dfereça etre o valor futuro (FV) e o valor presete (PV). 90

92 Matemátca Facera 3. Um captal X é aplcado a juros compostos à taxa de 3,5% a.m., gerado um motate de R$ ,00 após 1 ao e 3 meses. Determe o captal X. Fórmula Teclas Vsor Observação M = = 3, 5% a. m. = 0, 035a. m. = 1 ao e 3 meses = 15 meses C = M ( 1+ ) C = 15 ( 1+ 0, 035) C = 15 ( 1, 035 ) C = 1, C = R$ 11639, ,00 3,5 3, , ,37 Para lmpar os regstros. Descosdere o sal egatvo que aparece a tela, ele é fruto da versão dos fluxos faceros etre PV e FV. Ou seja, sempre que cosderar PV egatvo, o FV será postvo, e vce versa. 4. A que taxa mesal de juros compostos, um captal de R$ ,00 pode trasformar-se em R$ ,42, o período de 7 meses? Fórmula Teclas Vsor Observação C = M = 15373, 42 = 7 meses Para lmpar os regstros ,00 M = C 1 1 = 15373, = (, ) = 1, 03 1 = 0, 03 = 3% a. m , , ,42 3,00 3% a.m. Udade 5 91

93 Uversdade do Sul de Sata Catara 5. Em que prazo um empréstmo de R$ ,00 pode ser pago pela quata de R$ ,00, se a taxa de juros compostos cobrada for de 4% a.m.? Fórmula Teclas Vsor Observação M = C = Para lmpar os regstros. = 4% a. m. = 0, 04a. m ,00 M l C = l ( 1+ ) 4 4, l , = l ( 1+ 0, 04) l ( 1, ) 8,00 8 meses. = l ( 1, 04) Muto cudado ao calcular o úmero de período (prazo) através 0, = das teclas da calculadora HP 12C, pos ela demostra somete 0, úmeros teros, arredodado para o próxmo úmero tero. Desta forma, uma resposta gual a 3,5 meses (3 meses = 8 meses e 15 das) sera demostrada pela calculadora como 4 meses. SEÇÃO 2 - Coveção expoecal e lear Nesta seção, você estudará a coveção expoecal e lear. Tas coveções são usadas quado os períodos ão são teros. Coveção expoecal No caso da coveção expoecal, o motate é calculado a juros compostos durate todo o período (parte tera + fracoára). A fórmula para o cálculo do motate utlzado a coveção expoecal é a segute: 92

94 Matemátca Facera M = C 1+ + p q = período tero p q = período fracoáro Coveção lear No caso da coveção lear, o motate é calculado a juros compostos durate a parte tera do período e a juros smples durate o período fracoáro. A fórmula para o cálculo do motate utlzado a coveção lear é a segute: p M = C ( + ) + q Um captal de R$ 2.000,00 fo aplcado a juros compostos durate 4 meses e 15 das a uma taxa de 6% a.m. Qual o motate pelas coveções expoecal e lear? Pela coveção expoecal: C = 2000 = 6% a. m. = 0, 06 a. m. = 4 meses e15 das = 4 + meses = 4 + meses = 4, 5 meses C = = 6% a. m. = 0, 06a. m. q meses = 4 + M C ( 1+ ) 4, Para lmpar os Fórmula = 4 meses e15 + p das = Teclas 4 + Vsor meses = Observação meses 4, 5 M = 2000( 1+ 0, 06) regstros. + p q 4, 5 M = 2000 C ( 1+ ( 1 ), 06) ,00 4, 5 M = R2000 $ 2000 ( , ) 4, 5 M = , ( 60 1, 06) 6 6,00 M = R$ , 2998 M = 2599, 60 4,5 4, ,60 Udade 5 93

95 Uversdade do Sul de Sata Catara Pela coveção lear: Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 p M = C ( + ) + q ( + ) ( + ) M = , , 5. 0, 06 4 M = , , 03 M = , , 03 M = R$ 2600, 70 0,06 1, ,95 1 1,00 0,5 0,50 0, ,70 94

96 Matemátca Facera 2. Calcule o motate pelas coveções expoecal e lear do captal de R$ ,00 aplcado à taxa de juros compostos de 10% a.a. durate 5 aos e 3 meses. Pela coveção expoecal: C = = 10% a. a. = 0, 1a. a. C = aos e 3 meses = 5 + meses = meses = = 10% a. a. = 0, 1a. a = 5 aos e 3 meses = 5 + meses = meses = meses M = C 1+ + p q 21 M = C ( 1+ ) ( 1+ 0, 1) ,00 21 M = ( 1+ 0, 121 ) ( 1, 1) 4 21 M = ( 1 1) ,00, 4700., M = , ,25 5,25 M = R$ R$ , 37, , meses Fórmula Teclas Vsor Observação + p q Para lmpar os regstros. Pela coveção lear: Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 p M = C ( + ) + q M = ( 1+ 0, 1) , 1 M = , , 025 M = R$ 24266, 36 0,1 1, ,50 1 1,00 1 1,00 4 0,25 0, ,36 Udade 5 95

97 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 3 - Valor omal e valor atual Nesta seção, você estudará ovamete o valor atual e o valor omal, só que agora a perspectva de juros compostos. Observe que os cocetos dados em juros smples para valor atual e valor omal são aálogos para juros compostos. Veja: Fluxo de caxa Este gráfco se refere ao fluxo de caxa, cosderado o valor atual e o valor omal. Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor omal o regme de juros compostos: N = Valor Nomal V = Valor Atual N = V 1+ V = N ( 1+ ) 1. Uma empresa descota uma promssóra de R$ ,00 em um baco com vecmeto para daqu a 6 meses, sedo que o baco cobra uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da promssóra as segutes datas: a) hoje; b) 3 meses ates do vecmeto; c) daqu a 4 meses. 96

98 Matemátca Facera a) Hoje. Fórmula Teclas Vsor Observação N = = 1, 5% a. m. = 0, 015a. m. = 6 V = V = N ( 1+ ) V = 1, V = R$ 45727, ( 1+ 0, 015) ,00 1,5 1,50 6 6, ,11 Para lmpar os regstros. b) 3 meses ates do vecmeto. Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros V = 3 ( 1+ 0, 015) , ,5 1,50 V = 1, ,00 V = R$ 47815, 85 ou apeas ,85 3 3, ,85 Explcação: Se você ão zerar os regstradores faceros e de regstro, basta você serr o ovo valor do Período e solctar o recalculo do Valor Presete, uma vez que os dados do Valor Futuro e da Taxa de Juros matveram-se guas. c) Daqu a 4 meses. Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros V = 2 ( 1+ 0, 015) , ,5 1,50 V = 1, ,00 V = R$ 48533, ,09 Udade 5 97

99 Uversdade do Sul de Sata Catara ou apeas Teclas Vsor Observação 2 2, ,09 Explcação: Se você ão zerar os regstradores faceros e de regstro, basta você serr o ovo valor do Período e solctar o recalculo do Valor Presete, uma vez que os dados do Valor Futuro e da Taxa de Juros matveram-se guas. 2. Um certo captal é aplcado a 12% a.a. a juros compostos, produzdo um motate de R$ 1.320,00 após 3 aos. Qual o valor atual deste captal? Fórmula Teclas Vsor Observação N = 1320 = 12% a. a. = 0, 12a. a. = 3 aos N V = ( 1+ ) 1320 V = ( 1+ 0, 12) V = 3 1, V = 1, V = R$ 939, , ,00 3 3,00 939,55 Para lmpar os regstros. 98

100 Matemátca Facera Atvdades de autoavalação Caro aluo, cosdere as defções e as fórmulas apresetadas até esta udade e respoda as questões a segur. 1) Calcule o motate produzdo por um captal de R$ ,00 aplcado a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses. 2) Calcule os juros compostos auferdos por um captal de R$ 4.200,00 aplcado a uma taxa de 3% a.m. durate 10 meses. 3) Um empréstmo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 das a juros compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mesal da operação? Udade 5 99

101 Uversdade do Sul de Sata Catara 4) Em que prazo uma aplcação a juros compostos de R$ ,00 produzrá um motate de R$ ,30 à taxa de 4% a.m.? 5) Uma pessoa fez uma aplcação de R$ ,00 por 15 meses à taxa de 15% a.a. Perguta-se: a) Qual o motate pela coveção expoecal? b) Qual o motate pela coveção lear? 6) Quato Paulo deve aplcar hoje, a juros compostos, em uma sttução facera que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um compromsso de valor omal gual a R$ ,00 que vece daqu a 3 meses? 100

102 Matemátca Facera 7) Determe os juros de uma aplcação de R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. durate 10 meses. Sítese Nesta udade, você apredeu o regme de captalzação composto, sto é, determou motate, captal, juros e taxas a perspectva dos juros compostos. Nesta mesma perspectva, você também apredeu as coveções expoecal e lear assm como calculou o valor atual e o valor omal. Na próxma udade, você estudará os dversos tpos de taxas de juros. Udade 5 101

103 Uversdade do Sul de Sata Catara Saba mas Se você quser estudar mas profudamete a captalzação composta, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CESAR, Bejam. Matemátca facera. 5ª ed. Ro de Jaero: Impetus, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall,

104 UNIDADE 6 Taxas de juros 6 Objetvos de apredzagem Compreeder e calcular taxas equvaletes. Dferecar e calcular as taxas omas e efetvas. Aplcar as taxas em problemas faceros. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Taxas equvaletes Taxa omal ou aparete e taxa efetva

105 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Na udade ateror, você apredeu, a perspectva dos juros compostos, a calcular motate, juros, captal, valor atual e omal, a coveção expoecal e a lear observado que as taxas e os prazos dados sempre estavam a mesma udade de tempo. Nesta udade, você estudará os dversos tpos de taxas de juros, taxas equvaletes, taxa omal ou aparete e taxa efetva. SEÇÃO 1 - Taxas equvaletes Nesta seção, você estudará as taxas equvaletes. Por defção, duas taxas são dtas equvaletes a juros compostos quado aplcadas sobre um captal, durate o mesmo período, e produzem o mesmo motate. Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equvaletes: M = C M = C 1+ Como : M = M Temos : ( 1) = ( + 2 ) 1 C 1+ C ( 2 ) 1+ = = ( + 2 ) ou = ( + 1 )

106 Matemátca Facera 1. No regme de juros compostos, qual a taxa aual equvalete a 4% a.m.? Fórmula Teclas Vsor Observação 1 = Taxa aual = 1 ao = 4% a. m. = 0, 04 a. m = 12 meses 1 1,00 0,04 1, = ( ) = 1+ 0, , 04 1 = = 0, 6010 a. a. = 60, 10% a.a ,00 1 1, , ,10 60,10% a.a. 2. Calcule a taxa quadrmestral equvalete à taxa de juros compostos de 8% a.a. Fórmula Teclas Vsor Observação = 8% a. a = 0, 08 a. a = 1 ao = taxa quadrmestral = 3 quadrmestres 1 = (, ) 3 = = 0, 0259 = 2, 60% a. q. 1 1,00 0,08 1,08 1 1,00 3 1, , ,60 2,60% a.q. Udade 6 105

107 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 2 - Taxa omal ou aparete e taxa efetva Nesta seção, você estudará a taxa omal ou aparete e a taxa efetva. Taxa omal ou aparete Por defção, a taxa é omal ou aparete quado o período de captalzação ão cocde com o período da taxa. Ateção! Geralmete a taxa omal é aual. Taxa efetva A taxa efetva é a taxa que é verdaderamete cobrada as trasações faceras. Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetva: = Taxa Nomal f = Taxa Efetva K = úmero de captalzações para um período da taxa omal K = Taxa por período de captalzação K = K 1+ = = 1+ f f f f K K K K K ( K ) = 1+ 1 K = 1+ K 1 106

108 Matemátca Facera 1. Uma taxa omal de 24% a.a. é captalzada trmestralmete. Calcule a taxa efetva aual. Fórmula Teclas Vsor Observação = 24% a. a = 0, 24 a. a. K = 4 trmestres 0, 24 K = 4 = 0, 06 = Taxa efetva K trmestral 1 1,00 0,06 1,06 f f f f f K ( K ) = = 1+ 0, 06 1 = (, ) = 0, a. a. = 26, 25% a. a , , ,25 26,25% a.a. 2. Qual é o motate de uma aplcação de R$ ,00 durate 2 aos a uma taxa omal de 48% a.a. com captalzação mesal de juros? Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 48% a. a. = 0, 48 a. a. = 2 aos K = 12 meses 1 1,00 0, 48 0,04 1,04 K = 12 = 0, 040 = Taxa efetva 12 1, K f f mesal 12 = 1+ 0, = 0, a. a. 1 0, , Valor armazeado a memóra º 1. M = C 1+ M = , M = 12500( 1, ) M = , M = R$ 32041, ,00 1 1, ,29 1, Recupera memóra º 1. Udade 6 107

109 Uversdade do Sul de Sata Catara 3. Uma pessoa aplcou uma mportâca de R$ ,00 por 3 aos a uma taxa de 24% a.a. com captalzação semestral. Qual a taxa efetva aual e qual o motate recebdo? Fórmula Teclas Vsor Observação C = = 24% a. a. = 0, 24 a. a. 1 1,00 = 3 aos K = 2 semestres 0,12 1,12 0, 24 K = = 2 2 1,2544 C K = ,12 K= = 24Taxa % a. efetva a. = 0, 24 semestral a. a. 1 0, = f 3( 1aos + 0, 12) 1 K = 2 semestres 2 f = ( 1, 12) 1 0, 24 K f = 0, 544 = 2 = 25, 44% a. a ,44 25,44% a.a. 3 M K = ,12 ( 1+ 0, 2544) MK = Taxa 4200 efetva. 1, semestral Fórmula 2 M f = ( 1R + $ , 12), 57 1 Teclas Vsor Observação 2 f = ( 1, 12) ,00 f = 0, 2544 = 25, 44% a. a. 3 M = 42000( 1+ 0, 2544) M = , M = R$ 82900, ,00 0,2544 1, ,55 ou Para lmpar os regstros. 25,44 25,44 25,44% a.a ,00 3 3, ,55 108

110 Matemátca Facera 4. Qual das taxas abaxo será a melhor para um vestmeto? a) a) 20% a.a. captalzados ao da; b) 20,5% a.a. captalzados quadrmestralmete; c) 22% a.a. captalzados aualmete. Fórmula Teclas Vsor Observação K f f f 0, 2 = = 0, = 1+ 0, = 1, = 0, f = 22, 15% a. a. 1 1,00 0, , , , ,15 22,15% a.a. b) Fórmula Teclas Vsor Observação K f f f 0, 205 = = 0, = 1+ 0, = 1, = 0, f = 21, 93% a. a. 1 1,00 0, , , , ,93 21,93% a.a. c) f = 22% a. a. Resposta: a melhor alteratva é a taxa de 22,15% a.a. (tem a). Udade 6 109

111 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Caro aluo, lea com ateção o eucado e resolva as segutes atvdades, cosderado as defções e as fórmulas já apresetadas. 1) Qual a taxa aual de juros compostos equvaletes as segutes taxas: a) 2,6% a.m. b) 4,2% a.b. c) 4,8% a.t. d) 12% a.s. 2) Um baco paga juros compostos a uma taxa de 24% a.a. captalzados bmestralmete. Qual a sua taxa efetva aual? 110

112 Matemátca Facera 3) Calcule o motate de uma aplcação de R$ ,00 à taxa de juros compostos de 24% a.a., captalzados trmestralmete durate 24 meses. 4) Um captal de R$ 2.500,00 fo aplcado em uma sttução facera a uma taxa omal de 108% a.a., captalzados mesalmete, durate 8 meses. Qual é o motate? 5) Calcule o motate de uma aplcação de R$ ,00 por 1 ao à taxa de 45% a.a. com captalzação: a) mesal; b) dára (cosdere o ao com 360 das). Udade 6 111

113 Uversdade do Sul de Sata Catara Sítese Nesta udade, você apredeu os dversos tpos de taxas, as equvaletes, a omal ou aparete e a efetva. Você também apredeu a aplcar estas taxas a problemas faceros. Na próxma udade, você estudará os dversos tpos de descotos compostos. Saba mas Se você deseja estudar mas profudamete os dversos tpos de taxas, utlze as segutes bblografas: ASSAF NETO, Alexadre. Matemátca facera e suas aplcações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. 1ª ed. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall,

114 UNIDADE 7 Descotos compostos 7 Objetvos de apredzagem Eteder e calcular descoto composto. Dferecar e calcular os descotos compostos, o racoal e o comercal ou bacáro. Classfcar e calcular os tpos de taxas de descotos. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Descotos compostos e suas classfcações Taxas de descotos

115 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Caro aluo, esta udade, você estudará dos tpos de descotos compostos, o descoto racoal ou por detro além do descoto bacáro ou comercal ou por fora. Você também estudará as taxas de descoto. Bom estudo! SEÇÃO 1 - Descotos compostos e suas classfcações Nesta seção, você estudará os descotos compostos, especfcamete o descoto composto racoal ou por detro e o descoto comercal ou bacáro ou por fora. Descoto composto O descoto composto é o abatmeto obtdo a qutação ou a veda de um título em data ateror ao seu vecmeto observado os crtéros de captalzação composta. Os tpos de descotos compostos são: descoto composto racoal ou por detro; descoto composto comercal (bacáro) ou por fora. Descoto composto racoal ou por detro O descoto composto racoal ou por detro é a dfereça etre o valor omal e o valor atual de um título, qutado ates do vecmeto. 114

116 Matemátca Facera Esta é a fórmula para o cálculo do descoto composto racoal ou por detro: D = N V V = D r r N ( 1+ ) = N N ( 1+ ) Dr = N 1 ( 1 + ) 1 Dr = N 1 ( 1+ ) 1. Determe o valor do descoto composto racoal e o valor do resgate de um título de R$ ,00, descotado 5 meses ates do seu vecmeto, sabedo-se que a taxa de descoto composto racoal é de 4% a.m. Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = = 4% a. m. = 0, 04 a. m. = 5 meses Dr = N 1 1+ D r = , 04 = ( 1, 04) 5 5 D r D = , D D r r r = , = 2777, ,00 1 1,00 0,04 1, ,94 V = N D r V = , 94 V = R$ 12822, 06 Udade 7 115

117 Uversdade do Sul de Sata Catara 2. Um título de valor omal gual a R$ ,00 fo pago 4 meses ates do vecmeto. Se a taxa de descoto composto racoal era de 8% a.m., qual o valor líqudo deste título? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = = 8% a. m. = 0, 08 a. m. = 4 meses Dr = N 1 1+ D r = , 08 = ( 1, 08) 4 4 D r D = , D D r r r = , = 15951, ,00 1 1,00 0,08 1, ,20 V = N Dr V = , 20 V = R$ 44248, 80 Observe outra maera de resolver o mesmo problema: Fórmula Teclas Vsor Observação N = V 1+ N V = 1+ V = V V = 1, V = R$ 44248, ( 1+ 0, 08) = ( 1, 08 ) ,00 8 8,00 4 4, ,80 Para lmpar os regstros. 116

118 Matemátca Facera Descoto composto comercal (bacáro) ou por fora O descoto composto comercal (bacáro) ou por fora é a soma dos descotos comercas smples, calculados soladamete em cada um dos períodos que faltam para o vecmeto do título. Esta é a fórmula para o cálculo do descoto composto comercal (bacáro) ou por fora: D = N V c D = N N 1 c Dc = N 1 1 Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: V = N d d = N. etão : V = N N. 1 V = N 1 1 etão : V = N 1 V = V d d = V. 2 1 etão : V = V V = N V = N 1 2 ( ) 2 Cálculo da taxa de descoto comercal composto: Cálculo do prazo: Udade 7 117

119 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Um título de valor omal de R$ ,00 é descotado em um baco 3 meses ates de seu vecmeto. Se a taxa de descoto comercal usada pelo baco é de 8% a.m., qual é o valor do descoto? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = = 8% a. m. = 0, 08 a. m. = 3 meses Dc = N Dc = , 08 3 D = ( 0 92) c, D = , c Dc = , D R$ 3319, 68 c = 1 1,00 1 1,00 0,08 0, ,68 Observe outra maera de resolver este mesmo problema: Fórmula Teclas Vsor Observação V = N 1 V = , 08 3 V = 15000( 0, 92) V = , V = 11680, ,00 1 1,00 0,08 0, ,32 D = N V D D c c c = , 32 = R$ 3319,

120 Matemátca Facera 2. Um clete va a um baco descotar uma duplcata que vece daqu a 6 meses com valor de face de R$ 7.500,00. Cosderado que o baco trabalha com uma taxa de descoto composto comercal de 3,5% a.m., qual o valor do descoto? Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = 7500 = 3, 5% a. m. = 0, 035 a. m. = 6 meses Dc = N 1 1 D c = , D c D = , D c = ( 0, 965) c = D = R$ 1443, 45 c , ,00 1 1,00 0,035 0, ,45 SEÇÃO 2 - Taxas de descotos Nesta seção, você estudará taxas de descotos. Bascamete, há a taxa de descoto composto comercal ou por fora e a taxa efetva de descoto. Taxa de descoto composto comercal ou por fora A taxa de descoto composto comercal ou por fora ( c ) é a taxa que é utlzada para calcular este descoto. Udade 7 119

121 Uversdade do Sul de Sata Catara Taxa efetva de descoto A taxa efetva de descoto ( f ) é a taxa de descoto composto racoal que é aplcada sobre o valor atual o período, gerado um motate gual ao valor omal. Ateção! No descoto composto racoal = Cosderado que r f = Taxa de descoto composto racoal = taxa efetva r f Esta é fórmula para o cálculo da relação etre a taxa efetva de descoto e a taxa de descoto composto comercal: V = N 1 V = N 1+ ( 1+ f ) = 1 1 ( 1+ f ) ( = 1 1 ) c c ( f ) c c ( f ) = etão : ( 1 ) c 1 + f = 1 f f f f ( f ) = c 1 = 1 1 c 1 1 = 1 1 = c = 1 c c c c c 120

122 Matemátca Facera 1. Qual a taxa de descoto composto comercal equvalete a 5% a.a. do descoto composto racoal? Fórmula Teclas Vsor Observação = 5% a. a. = 0, 05 a. a. f f c = 1 c c 0, 05 = 1 c c = 0, 05 0, 05. c c + 0,05c = 0, 05 1, 05. c = 0, 05 0, 05 c = 1, 05 = 0, 0476 = 4, 76% a. a. c 0,05 0,05 1,05 0, ,76 4,76% a.a. 2. Qual a taxa efetva de descoto composto racoal equvalete a 18% a.a. do descoto composto comercal? Fórmula Teclas Vsor Observação f f f f f c = 1 c 0, 18 = 1 0, 18 0, 18 = 0, 82 = 0, 2195 = 21, 95% a. a. 0,18 0,18 1 1,00 0,18 0, ,95 21,95% a.a. Udade 7 121

123 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Caro aluo, é hora de você colocar em prátca a teora estudada. Cosdere as defções e as fórmulas apresetadas esta udade e respoda as questões a segur. 1) Determe o valor do descoto composto racoal de um título de valor omal de R$ 8.300,00 descotado 6 meses ates de seu vecmeto, sabedo-se que a taxa de descoto é de 4,2% a.m. 2) O valor de face de uma promssóra de um clete é de R$ ,00. Ele deseja trocá-la em um baco que trabalha com uma taxa de descoto composto racoal de 20% a.a. O vecmeto da duplcata é para daqu a 162 das. Qual o valor de descoto? 3) Determe a taxa mesal de descoto composto racoal de um título com valor de face de R$ 6.200,00, descotado 5 meses ates do vecmeto, gerado um valor líqudo de R$ 5.348,

124 Matemátca Facera 4) Qual o descoto composto comercal de um título de valor omal gual a R$ ,00 com vecmeto para daqu a 3 aos a uma taxa de descoto de 20% a.a.? 5) Qual a taxa de descoto comercal equvalete a 3,5% a.a. do descoto racoal? 6) Qual a taxa de descoto composto racoal equvalete a 15,3% a.a. do descoto composto comercal? Udade 7 123

125 Uversdade do Sul de Sata Catara 7) Calcule a taxa mesal de descoto composto comercal de um título de valor omal gual a R$ ,00, descotado 5 meses ates do vecmeto e resgatado por R$ ,72. 8) Um título de R$ ,00 fo descotado em uma sttução facera a uma taxa de descoto composto comercal de 6,4% a.m. e o valor líqudo recebdo era de R$ ,27. Quatos meses ates do vecmeto fo descotado este título? Sítese Caro aluo, esta udade você apredeu o descoto composto e como calculá-lo em seus dos tpos: o descoto composto racoal ou por detro e o descoto composto comercal ou bacáro ou por fora. Você também apredeu a taxa de descoto composto comercal ou por fora e a taxa efetva de descoto, além do relacoameto etre as taxas de descoto. Parabés por sua camhada até aqu. Na próxma udade, você estudará equvalêca de captas. 124

126 Matemátca Facera Saba mas Se você quser estudar mas profudamete os dversos tpos de descotos compostos e de suas taxas, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. 1ª ed. São Paulo: Poera Thompso, BRUNI, Adrao Leal; FAMÁ, Rubes. Matemátca facera: com HP12C e Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall, Udade 7 125

127

128 UNIDADE 8 Equvalêca de captas a juros compostos 8 Objetvos de apredzagem Idetfcar o coceto de equvalêca de captas a juros compostos. Trasformar o valor de um captal em uma data determada em outro valor equvalete em uma data dferete. Determar o valor atual e aalsar alteratvas de um cojuto de captas. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Equvalêca de captas a juros compostos Valor atual de um cojuto de captas Equvalêca de dos cojutos de captas a juros compostos

129 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Nesta udade, você estudará como efetuar pagametos ou recebmetos que se ecotram em datas de vecmetos dsttas em pagametos ou recebmetos equvaletes, porém, uma mesma data. SEÇÃO 1 - Equvalêca de captas a juros compostos Nesta seção você estudará a equvalêca de captas a juros compostos. A equvalêca de captas a juros compostos é a maera de trasformar pagametos (recebmetos), que apresetam datas de vecmetos dsttas, em pagametos (recebmetos) equvaletes, todos avalados uma data comum. Esta é a fórmula para o cálculo de equvalêca de dos captas a juros compostos Sejam dos captas separados por períodos de tempo. y = y. 1+ y y y y2 = ( 1+ ) = Valor Atual ( data desejada) = Valor Nomal (data ) 1. Um corretsta deve a um baco um título de valor omal de R$ ,00, com vecmeto para daqu a 6 meses e deseja pagar esta dívda daqu a 2 meses. Sabedo-se que o baco trabalha com uma taxa de 4,5% a.m., calcule o valor deste pagameto. Fluxo de Caxa y2 = y1 =? = 4, 5% a. m. = 0, 045 a. m. = 4 meses 128

130 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação y y y y 1 y2 = ( 1+ ) y = ( 1+ 0, 045) = ( 1, 045 ) = 1, = R$ 12578, ,00 1 1,00 0,045 1, ,42 SEÇÃO 2 - Valor atual de um cojuto de captas Nesta seção, você estudará o valor atual de um cojuto de captas. Sejam os captas: y 0, y 1,..., y, as datas respectvamete 0, 1, 2,...,. Dada esta respectva represetação do fluxo de caxa: Fluxo de caxa Udade 8 129

131 Uversdade do Sul de Sata Catara Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de um cojuto de captas: V = y + 0 y1 y2 y ( + ) + + ( + ) 1. Uma empresa tem que efetuar os segutes pagametos: a) R$ ,00 daqu a 3 meses; b) R$ ,00 daqu a 1 ao e 2 meses; c) R$ ,00 daqu a 2 aos. Quato deverá aplcar, hoje, a juros compostos a uma taxa de 2,4% a.m. para fazer frete a estes compromssos? V = ( + ) , 024 ( 1+ 0, 024) 1+ 0, V = , 024 1, 024 1, V = + + 1, , , V = , , , 19 V = R$ ,

132 Matemátca Facera Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,024 1, , ,96 Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 0,024 1, , ,77 Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 0,024 1, , ,15 Recupera memóra º ,94 Recupera memóra º 2. Udade 8 131

133 Uversdade do Sul de Sata Catara y 0 = 5000 y = y = y = y = R = 2, 5% a. m. = 0, 025 a. m. 1 V = y0 + R Uma pessoa quer comprar um terreo que tem o segute plao de pagameto a prazo: etrada de R$ 5.000,00; mas 4 pagametos mesas de R$ 2.500,00. Se a pessoa pode aplcar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vsta equvalete ao plao de pagameto a prazo? + ( ) ( 1+ ) = ( + ) + 1 V 1 0, 025 ( 1+ 0, 025) + 1 ( + ) , , = ( 0, ) + (, ) + (, ) + (, ) V V = , V = , 94 V = R$ 14404, 94 1 Teclas Vsor Observação 1 1,00 1 1,00 0,025 0, , Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 132

134 Matemátca Facera 0,025 1, , , Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 0,025 1, , , Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 0,025 1, , , ,94 1, Recupera memóra 1. 2, Recupera memóra 2. 3, Recupera memóra 3. Udade 8 133

135 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 3 - Equvalêca de dos cojutos de captas a juros compostos Sejam os cojutos de captas e. Dzemos que os dos cojutos de captas são equvaletes a juros compostos, quado avalados uma mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, apresetam valores atuas guas. Fluxo de caxa 1. Pedro deve pagar R$ 3.500,00 daqu a 2 meses e R$ 5.300,00 daqu a 12 meses. Deseja substtur esses pagametos por outros dstrbuídos da segute forma: R$ 2.500,00 daqu a 4 meses e; O restate daqu a 8 meses. Determar o valor desse pagameto, cosderado a data focal daqu a 5 meses e a taxa de juros compostos de 3% a.m. 134

136 Matemátca Facera Fluxo de caxa Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0, , ,00 Valor armazeado a memóra º 1. Udade 8 135

137 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,03 1,03 3 1, , Valor armazeado a memóra º 2. Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,03 1, , ,00 1 1,00 0,03 1, , ,93 Recupera memóra ,39 Recupera memóra

138 Matemátca Facera 2. Um terreo é veddo pelos segutes plaos: Plao A: um úco pagameto de R$ ,00 daqu a 2 aos Plao B: uma etrada de R$ , parcela para daqu a 15 meses Se a taxa de juros compostos de mercado é de 1,5% a.m., qual o valor da parcela do Plao B para que os mesmos sejam equvaletes? Plao A: Fórmula Teclas Vsor Observação V V V V A A A A = ( 1+ 0, 015) = ( 1, 015 ) = 1, = R$ 41972, ,00 1 1,00 0,015 1, , ,63 Valor armazeado a memóra º 1. Plao B: Fórmula Teclas Vsor Observação x VB = ,63 Recupera 15 ( 1+ 0, 015) memóra º1. x VB = ( 1, 015 ) ,63 omo V A = V temos: B 1,015 1,015 x 41972, 63 = ( 1, 015 ) x = 41972, , x = 26972, 63. 1, x = R$ 33722, ,05 Udade 8 137

139 Uversdade do Sul de Sata Catara Ateção! A melhor alteratva de pagameto é a que oferece o meor valor atual. A melhor alteratva de vestmeto é aquela que oferece valor atual maor do que o valor vestdo. 3. Um propretáro recebeu as segutes propostas para a veda de uma casa: Proposta A) Etrada de R$ ,00 + R$ ,00 em 6 meses + R$ ,00 em 1 ao. Proposta B) Etrada de R$ ,00 + R$ ,00 em 5 meses + R$ ,00 em 10 meses. Sabedo-se que a taxa de juros de mercado é de 3% a.m., qual a melhor proposta para o vededor? Proposta A) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 Valor armazeado a memóra ,00 V V A A = ( + ) , , = ( 1, 03) + ( 1, 03) VA = , , V = + + A , , 79 V = R$ , 01 A 1 1,00 0,03 1, , ,00 1 1,00 0,03 1, , ,01 Recupera memóra

140 Matemátca Facera Proposta B) Fórmula Teclas Vsor Observação Valor ,00 armazeado a memóra ,00 V V B b = = ( ( + ) , , 03, ) + ( 1, 03) VB = , , VB = , , 59 V = R$ , 12 B 1 1,00 0,03 1, , ,00 1 1,00 0,03 1, ,12 Resposta: a melhor proposta é a A ,12 Recupera memóra 1. Udade 8 139

141 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Chegou a hora de mas algumas atvdades de autoavalação. Mateha-se ateto aos eucados e reporte-se às defções e às fórmulas abordadas esta udade para resolver os segutes problemas: 1) Uma empresa tem as segutes duplcatas para pagar: Duplcata A: Valor de R$ ,00. Vecmeto 4 meses. Duplcata B: Valor de R$ ,00. Vecmeto 10 meses. Duplcata C: Valor de R$ ,00. Vecmeto 15 meses. Se a taxa de juros compostos é de 2,3% a.m., quato a empresa deve aplcar hoje para fazer frete a estes compromssos? 2) Uma televsão de 29 polegadas é vedda por R$ 1.660,00 à vsta ou a prazo com o segute plao de pagameto: 20% de etrada. Mas duas parcelas mesas e cosecutvas, vecedo a prmera 3 meses após a compra e sedo o valor da seguda a metade da prmera. 140

142 Matemátca Facera Qual o valor de cada prestação, sabedo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.? 3) Uma pessoa deve R$ ,00 com vecmeto em 1 ao e R$ com vecmeto em 3 aos. A mesma faz um acordo para pagar R$ ,00 hoje e o restate daqu a 2 aos. Quato esta pessoa deve pagar daqu a 2 aos, se a taxa de juros compostos é de 5% a.s.? Udade 8 141

143 Uversdade do Sul de Sata Catara 4) Qual das alteratvas de pagameto é a melhor para uma taxa de juros compostos de 7,5% a.m.? Alteratva A: Pagameto de R$ ,00 à vsta. Alteratva B: Etrada de R$ ,00 + R$ ,00 em 90 das + R$ ,00 em 140 das. 5) Uma pessoa deve a um baco dos títulos com valores de R$ 3.000,00 e R$ 6.000,00 vecíves, respectvamete, em 4 meses e 8 meses. Se a pessoa deseja atecpar para hoje a lqudação dos títulos, qual o valor a pagar, cosderado que o baco opera com uma taxa de juros compostos de 2,3% a.m.? 142

144 Matemátca Facera Sítese Caro aluo, esta udade, você apredeu a equvalêca de captas a juros compostos, determou o valor atual de um cojuto de captas e fez um estudo das alteratvas pelo valor atual. Na próxma udade, você estudará sequêca de captas. Saba mas Caro aluo, se você quser estudar mas profudamete a equvalêca de captas, utlze as segutes bblografas: HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MERCHEDE, Alberto. Matemátca facera para cocursos: mas de aplcações. São Paulo: Atlas, PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca facera objetva e aplcada. 6ª ed. São Paulo: Sarava SHINODA, Carlos. Matemátca facera para usuáro do Excel. São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemátca facera. 3ª ed. São Paulo: Atlas, Udade 8 143

145

146 UNIDADE 9 Sequêca de captas 9 Objetvos de apredzagem Idetfcar o coceto de sequêca uforme de captas. Dstgur e trabalhar sequêcas uformes de termos postecpados e atecpados e sequêcas dferdas. Calcular o valor atual, o motate e a prestação de sequêcas uformes postecpadas, atecpadas, dferdas e com parcelas adcoas. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Seção 5 Seção 6 Sequêca uforme de captas Sequêca uforme de termos postecpados Sequêca uforme de termos atecpados Motate de uma sequêca uforme Sequêca uforme dferda Sequêca uforme com parcelas adcoas

147 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Nesta udade, você estudará as sequêcas uformes de captas que apresetam uma gama de aplcações que fazem parte do da-a-da das pessoas. Você estudará a sequêca uforme de captas, de termos postecpados, de termos atecpados, dferda, com parcelas adcoas além do motate de uma sequêca uforme. Bom estudo! SEÇÃO 1 - Sequêca uforme de captas Nesta seção, será apresetado para você o coceto de sequêca uforme de captas. A sequêca uforme de captas é uma sequêca de captas y 1, y 2,..., y respectvamete as datas ( 1, 2,..., )( mês, trmestre, semestre, ao, etc. ), ode: : y1 = y2 =... = y = R estre, semestre, ao, etc. ) ode : y1 = y2 =... = y = R. Ateção! O regme de captalzação que usaremos para trabalhar com a sequêca uforme de captas é o composto. SEÇÃO 2 - Sequêca uforme de termos postecpados Nesta seção você estudará a sequêca uforme de termos postecpados. A sequêca uforme de termos postecpados é uma sequêca uforme ode y = ( sem etrada). 0 0 Podemos represetar grafcamete o fluxo de caxa da sequêca uforme de termos postecpados do segute modo: 146

148 Matemátca Facera Fluxo de caxa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequêca uforme de termos postecpados: R R R V = ( + ) V 1 = R ( + ) ( 1+ ) Ode a soma etre colchetes represeta a soma de uma P.G. tal que o prmero termo: a = 1 e a razão: 1 q 1 =. Sabemos que: s a q 1 = 1 q s = ( + ) = 1 s 1 = 1 s s = ( 1+ ) ( 1+ ) 1 V = R. ( 1+ ). Udade 9 147

149 Uversdade do Sul de Sata Catara O fator V = R. a é chamado de a ( a, catoera ) etão: 1. Uma televsão de 29 polegadas é vedda em 5 prestações mesas de R$ 350,00 cada uma. Sedo a 1ª prestação paga 1 mês após a compra, a taxa de juros cobrada pela loja é de 2,5% a.m., qual é o preço à vsta da televsão? Fórmula Teclas Vsor Observação R = 350 = 5 = 2, 5% a. m. = 0, 025 a. m. a 5 ( 1+ 0, 025) 1, = 5 ( 1+ 0, 025). 0, a = 4, , 5 V = R a V = , V = R$ 1626, ,00 2,5 2,50 5 5, ,04 Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. 2. Um automóvel é veddo em uma loja por R$ ,00. A loja propõe as segutes codções para facameto: Proposta A: 12 prestações mesas guas postecpados. Proposta B: 24 prestações mesas guas postecpados. Proposta C: 36 prestações mesas guas postecpados. A taxa de juros usada é de 3,2% a.m. Qual o valor de cada prestação as 3 modaldades de facameto? V = = 12 = 3, 2% a. m. = 0, 032 a. m. 148

150 Matemátca Facera Proposta A: Fórmula Teclas Vsor Observação a 12 3, 2 a 12 3, 2 12 ( +, ) = , , 032 = 9, V = R a = R. 9, R = 9, R = R$ 3253, ,00 3,2 3, , ,29 Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. Proposta B: Fórmula Teclas Vsor Observação 24 ( 1+ 0, 032) 1 a = Como os demas dados, 24 ( 1+ 0, 032). 0, 032 da questão permaecem a12 3, 2 = 16, ,00 alterados, basta alterar o de períodos e apertar a tecla PMT. V = R. a = R. 16, R = 1.930,46 16, R = R$ 1930, 46 Proposta C: Fórmula Teclas Vsor Observação 36 ( 1+ 0, 032) 1 a = Como os demas dados, 36 ( 1+ 0, 032). 0, 032 da questão permaecem a36 3, 2 = 21, ,00 alterados, basta alterar o de períodos e apertar a tecla PMT. V = R. a = R. 21, R = 1.509,79 21, R = R$ 1509, 79 Udade 9 149

151 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 3 - Sequêca uforme de termos atecpados Nesta seção, você estudará a sequêca uforme de termos atecpados. Uma sequêca uforme de termos atecpados é uma sequêca uforme ode = (com etrada). O fluxo de caxa de uma sequêca uforme de termos atecpados pode ser represetado grafcamete do segute modo: Fluxo de caxa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequêca uforme de termos atecpados: V = R + R a Um aparelho eletrôco é veddo em 5 pagametos guas de R$ 200,00. Sabedo-se que a taxa de facameto é de 3% a.m. e que o 1º pagameto é dado como etrada, qual o preço à vsta do eletrodoméstco? R = 200 = 3% a. m. = 0, 03a. m. = 5 1 = 4 4 ( 1+ 0, 03) 1 a4 3 = , 03. 0,03 a 4 3 1, , 03. 0, 03 a4 3 = 3, V = R + R. a 1 V = , V = , 42 4 = 4

152 R = 200 = 3% a. m. = 0, 03a. m. = 5 1 = 4 4 Udade 9 Matemátca Facera 1+ 0, 03 1 a4 3 = 4 ( 1+ 0, 03). 0,03 Fórmula Teclas Vsor Observação a4 3 = (, ) 4 Para lmpar os regstros. ( 1, 03). 0, 03 a4 3 = 3, Operação Atecdada. Padrão BEGIN a calculadora. V = R + R. a 1 V = , ,00 V = , ,00 V = R$ 943, ,00 943,42 2. Uma casa, cujo valor à vsta é R$ ,56, é vedda em prestações mesas e guas de R$ 2.500,00, sedo a prmera dada como etrada. Se a taxa de facameto é de 1,8% a.m., determe o úmero de prestações pagas o facameto. Fórmula Teclas Vsor Observação R = 2500 = 1, 8% a. m. = 0, 018a. m. V = 49244, 56 a 1 a 1 = 1 ( +, ) , , 018 = 1 (, )., V = R + R. 1 1, a 1 1 1, , 56 = ( 1, 018). 0, , 56 = , ,56 1,8 1, ,00 1 1, , , , , = ( 1, 018). 0, , , 56 = ( 1, 018). 0, , 56 = , = 1 = 1 (, ) 1 (, )., ( 1, 018) , , 018 1, , , , 018 ( 1, 018) 1 = 0, ( 1, 018) Para lmpar os regstros. Operação Atecpada. Padrão BEGIN a calculadora. 24,00 24 meses 151

153 Uversdade do Sul de Sata Catara , 56 1, = ( 1, 018 ). 0, , , = 1 ( 1, 018 ). 0, ( 1, 018 ) 1 = 18, , 018. ( 1, 018 ) 1 1 ( 1, 018 ) 1 = 0, ( 1, 018 ) 1 1 ( 1, 018 ) 0, ( 1, 018 ) = 1 1 = 0, , ( 1, 018 ) = 0, = 1 = 1, 018 1, =. l, = l ( 1, ) 1 l ( 1, 018 ) 1 l ( 1, 018 ) = l ( 1, ) ( 1 ) ( ) l 1, = =, 1 = , = 23 = = 24 1 SEÇÃO 4 - Motate de uma sequêca uforme Nesta seção, você estudará como calcular o motate de uma sequêca uforme, seja de termos postecpados, seja de termos atecpados. Motate de uma sequêca uforme de termos postecpados Podemos represetar grafcamete o fluxo de caxa do motate de uma sequêca uforme de termos postecpados do segute modo: Fluxo de caxa 152

154 Matemátca Facera Esta é a fórmula para o cálculo do motate de uma sequêca uforme: M = C 1+ C = R a [ ] [ ]( + ) M = R a 1 ( 1+ ) 1 M = R ( 1+ ) ( 1 + ). M = R O fator é chamado de fator de acumulação de captas e represetado por S ( S,, catoera ). 1. Gustavo deposta durate 8 meses em um fudo de vestmeto a quata de R$ 1.350,00 por mês. Sabedo que este fudo remuera seus depóstos a uma taxa de 1,5% a.m., quato Gustavo terá o state do últmo depósto? R = 1350 = 8 = 1, 5% a. m. = 0, 015 a. m. Fórmula Teclas Vsor Observação 1+ 1 M = R 8 ( 1+ 0, 015) 1 M = , ( 1, 015) 1 M = , 015 M = , M = 11384, ,00 1,5 1,50 8 8, ,33 Para lmpar os regstros. Operação Postecpada. Padrão END a calculadora. Udade 9 153

155 Uversdade do Sul de Sata Catara M = Quato João deve depostar ao fal de cada mês durate 1 ao em um baco que paga 2,4% a.m. de juros, para que, o state do últmo depósto, teha um motate de R$ ,00? M = = 12 meses = 2, 4% a. m. = 0, 024a. m. = 12 meses 1+ 1 Fórmula M = R = 2, 4% a. m. = 0, 024a. m. Teclas Vsor Observação ( 1+ ) 1 Para lmpar os regstros. M = R 12 ( 1+ 0, 024) = R Operação Postecdada. 12 0, 024 ( 1+ 0, 024) 1 Padrão END a calculadora = R 0, , = R 0, = R. 13, R = 13, R = 2186, , , = R 0, 024 2,4 2, = R. 13, ,00 R = 13, ,93 R = 2186, 93 Motate de uma sequêca uforme de termos atecpados Podemos represetar grafcamete o fluxo de caxa do motate de uma sequêca uforme de termos atecpados do segute modo: Fluxo de caxa 154

156 155 Matemátca Facera Udade 9 Esta é a fórmula para o cálculo do motate de uma sequêca uforme de termos atecpados: V R R a V R R V R = + = = = V R.. = = ( V R V R ) + + = V R = V R M V M R M R = + = =

157 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Uma pessoa aplca o íco de cada mês a quata de R$ 1.200,00 durate 6 meses em um fudo que paga 1,8% a.m. de juros. Qual a quata acumulada? R = 1200 = 6 meses = 1, 8% a. m. = 0, 018 a. m. Fórmula Teclas Vsor Observação 1+ 1 M = R. ( 1+ ) 6 ( 1+ 0, 018) 1 M = , 018 0, , M = , 018 0, 018 M = , , 018 M = R$ 7667, ,00 1,8 1,80 6 6, ,46 Para lmpar os regstros. Operação Atecpada. Padrão BEGIN a calculadora. 2. Um aplcador ecessta acumular a quata de R$ ,00 os próxmos 6 aos. Se depostar o íco de todos os meses, a partr de hoje, a quata de R$ 600,00, em um fudo que paga uma taxa de 1,2% a.m., será que o aplcador acumulará tal valor? R = 600 = 6 aos = 72 meses = 1, 2% a. m. = 0, 012 a. m. R = Fórmula = 6 aos = 72 meses M = RTeclas. ( 1Vsor + ) Observação = 1, 2% a. m. = 0, 012 a. m. Para lmpar os regstros. 72 ( 1+ ) 1 ( 1+ 0, 012) 1 M = R. ( 1+ ) M = 600. ( 1Operação + 0, 012Atecpada. ) 0, 012 Padrão BEGIN a 72 calculadora. ( 1+ 0, 012) 1 72 M = 600. ( 1+ 0, 012) ( 1, 012) 1 0, 012 M = ,00. ( 1, 012 ) 0, ( 1, 012) 1 M = 600. ( 1, 012 ) 1,2 1, M = , , 012, M = , , 012 M = R$ , 35 72,00 M = R$ 68839, ,35 156

158 Matemátca Facera SEÇÃO 5 - Sequêca uforme dferda Nesta seção, você estudará a sequêca uforme dferda. A sequêca uforme dferda é uma sequêca uforme que apreseta períodos de carêca (m). No período após a carêca serão efetuados os pagametos ou recebmetos. Podemos represetar grafcamete o fluxo de caxa de uma sequêca uforme dferda do segute modo: Fluxo de caxa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequêca uforme dferda: V = R. a m V = V 1+ V 1+ R. a R. a V = 1+ m m m = m 1. Alfredo adqure um carro para ser pago em 10 prestações mesas e guas de R$ 6.002,16, com 2 meses de carêca. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., qual o valor do carro adqurdo por Alfredo? R = 6002, 15 = 10 m = 2 = 2, 5% a. m. = 0, 025a. m. R a V = m ( 1+ ) 10 ( 1+ 0, 025) 1 a10 2, 5 = , , 025 a =, 10 ( 1, 025)., , Udade 9 = 8,

159 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. R = 6002, 15 = 10 m = 2 = 2, 5% a. m. = 0, 025a. m. R a V = m ( 1+ ) 10 ( 1+ 0, 025) 1 a10 2, 5 = , , 025 a =, 10 ( 1, 025)., , = 8, , 16. 8, V = 2 1, , 29 V = 1, V = R$ 50000, , ,16 2,5 2, , , ,29 Calculamos o Valor Presete da operação ao fal do período de carêca. Este valor correspoderá ao Valor Futuro do período de 2 meses de carêca. Com este procedmeto, lmpamos apeas a memóra facera da calculadora ,29 2 2,00 2,5 2, ,04 158

160 Matemátca Facera 2. Um empréstmo de R$ ,00 será pago em 10 prestações trmestras com 2 aos de carêca. Calcule o valor das prestações sabedo-se que o agete facero cobra uma taxa de 6,5% a.t. Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. V = = 10 trmestres m = 8 trmestres = 6, 5% a. t = 0, 065 a. t. R a V = m 1+ a a. 10 ( 1+ 0, 065) 1, = 10 ( 1+ 0, 065). 0, = 10 6, , , , 065 1, a10 6, 5= 1, , 065 a 10 6, 5 = 7, R. 7, = , 065 R. 7, = 8 1, 065 R. 7, = 1, , R = 7, R = R$ 10359, ,00 6,5 6,50 8 8, , , , ,00 6,5 6,50 Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. Calculamos o Valor Futuro do período de 8 trmestres de carêca. Este valor correspoderá ao Valor Presete da operação com o pagameto de 10 prestações trmestras. Com este procedmeto, lmpamos apeas a memóra facera da calculadora ,79 Udade 9 159

161 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 6 - Sequêca uforme com parcelas adcoas Nesta seção, você estudará a sequêca uforme com parcelas adcoas. Esta sequêca uforme, como o própro ome dz, caracterza-se por apresetar parcelas adcoas. Podemos represetar grafcamete o fluxo de caxa de uma sequêca uforme com parcelas adcoas do segute modo: Fluxo de caxa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequêca uforme com parcelas adcoas: V = R. a + VX ode V X é o valor atual de cada parcela adcoal. 160

162 Matemátca Facera 1. Uma casa é vedda em 24 prestações mesas de R$ 3.500,00 cada, postecpadas, mas 3 prestações semestras de R$ 7.000,00 cada, também postecpadas. Se a taxa de juros do facameto é de 1,5% a.m., qual o preço da casa? Fórmula Teclas Vsor Observação R = 3500 = 24 meses = 1, 5% a. m. = 0, 015 a. m. V = R. a + V a = X ( 24 ) 1+ 0, , , = (, a ) 24 ( 1, 015). 0, 015 a = 20, ,00 0,015 1, , , ,00 0,015 1, , ,015 20, , Valor armazeado a memóra 1. VX. = V X = 7000 ( + ) , 015 ( 1+ 0, 015) 1+ 0, , 015 1, 015 1, V X = + + 1, , , V X = 6401, , , 38 = 17610, 89 Udade 9 161

163 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,015 1, , ,80 Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 V = , , 89 V = R$ 87717, 31 0,015 1, , ,71 Valor armazeado a memóra º ,00 1 1,00 0,015 1, , ,38 Valor armazeado a memóra º ,80 Recupera memóra ,51 Recupera memóra ,89 Recupera memóra ,89 Valor armazeado a memóra º

164 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação , ,4175 Recupera memóra ,31 Recupera memóra Uma máqua é vedda em 10 prestações mesas, sedo 5 prestações cas de R$ 5.000,00 postecpadas e 5 prestações fas de R$ 8.000,00. Cosderado uma taxa de juros de 5% a.m., qual é o preço da máqua? Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1, a V = a , 05 a = a ( 1+ 0, 05) 1 5 ( 1+ 0, 05). 0,05 1, 05 1 = 5 1, 05. 0, 05 a = 4, ,05 1,05 5 1, , ,00 0,05 1,05 5 1, ,05 4, , Valor armazeado a memóra º 1. Udade 9 163

165 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação , ,38 Recupera memóra , V = , , V = R$ 48785, , ,81331 Recupera memóra ,00 0,05 1, ,44 164

166 Matemátca Facera Atvdades de autoavalação Lea com ateção o eucado e resolva as segutes atvdades, cosderado as defções e as fórmulas apresetadas até esta udade: 1) Calcule o valor da prestação mesal de um empréstmo de R$ 6.000,00 que será amortzado em 12 prestações mesas postecpadas, sabedo que o baco cobra uma taxa de juros de 2% a.m. 2) Uma loja vede um automóvel à vsta por R$ ,00. Se o comprador quser fazer um facameto em 36 parcelas mesas e guas ode o 1º pagameto será efetuado o 1º mês após a compra a uma taxa de juros de 2,1% a.m., qual o valor da prestação? Udade 9 165

167 Uversdade do Sul de Sata Catara 3) Uma mercadora custa R$ ,71 à vsta, podedo ser vedda em prestações mesas de R$ ,00 sedo a prmera prestação dada como etrada. Sabedo-se que a loja aplca uma taxa de 3,5% a.m., qual o úmero de prestações pagas? 4) Carlos depostou uma certa quata durate 10 meses de forma atecpada a uma taxa de 2,5% a.m., obtedo um motate de R$ ,00. Quato depostou mesalmete Carlos? 166

168 Matemátca Facera 5) Um produto é veddo à vsta por R$ 2.000,00 ou em 10 prestações mesas guas sem etrada, com uma carêca de 90 das após a compra. Qual o valor de cada prestação, sabedo que a taxa de juros é de 6% a.m.? 6) Uma casa é colocada à veda por R$ ,00 ou em 36 prestações mesas de R$ 1.600,00 cada uma postecpada mas 3 auas guas postecpadas de reforço. Sabedo-se que a taxa de juros do facameto é de 2% a.m., qual o valor das prestações auas? Udade 9 167

169 Uversdade do Sul de Sata Catara 7) Pedro deposta o fal de cada mês durate 7 meses a quata de R$ 4.500,00 em um fudo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o motate o state do últmo depósto? Sítese Nesta udade, você apredeu sequêcas uformes, postecpadas, atecpadas, dferdas e com parcelas adcoas. Você também desevolveu a habldade de cálculo, cosderado cada uma destas sequêcas. Na próxma udade você estudará deprecação. 168

170 Matemátca Facera Saba mas Se você quser estudar mas profudamete as sequêcas de captas, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, GUERRA, Ferado. Matemátca facera através da HP-12C. Floraópols: UFSC, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall, Udade 9 169

171

172 UNIDADE 10 Deprecação 10 Objetvos de apredzagem Idetfcar o coceto de deprecação. Dstgur, aalsar e calcular os dversos tpos de deprecação. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Deprecação Método de deprecação lear Método de deprecação da taxa costate Método de deprecação de Cole

173 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Você sabe que algus objetos por dversas razões sofrem desgaste ao logo do tempo. Nesta udade, você estudará este feômeo e como calculá-lo através de dversos métodos, bascamete o de deprecação lear, a taxa costate e o de Cole. SEÇÃO 1 - Deprecação O objetvo desta seção é apresetar o coceto de deprecação. A deprecação de um bem é a perda de valor motvada pelo desgaste, evelhecmeto e ovações tecológcas. A deprecação pode ser etedda como a dfereça etre o preço de compra de um bem e o seu valor resdual depos de um tempo de uso. Trataremos, esta udade, exclusvamete da deprecação teórca, tedo em vsta que a deprecação real é muto complexa e atecoômca. A deprecação teórca é uma estmatva da real. SEÇÃO 2 - Método de deprecação lear Você estudará, esta seção, o método de deprecação lear. O método de deprecação lear de um bem é muto smples, pos basta dvdr a dfereça etre o valor de compra e o valor resdual pela quatdade de aos de sua vda útl. Esta é a fórmula para o cálculo da deprecação lear: D = V R L Ode D L = Valor da deprecação Lear V = Valor de compra R = Valor resdual = Vda útl 172

174 Matemátca Facera 1. Calcule o valor da deprecação de um automóvel, cujo valor de compra é de R$ ,00, sabedo-se que sua vda útl é de 12 aos e valor resdual é de R$ 8.000,00. Faça o plao de deprecação lear. V = R = 8000 = 12 aos D V R L = DL = DL = 12 D = 2000 L Plao de deprecação Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Udade

175 Uversdade do Sul de Sata Catara 2. Uma máqua comprada por R$ ,00 após 10 aos de uso terá um valor resdual de R$ ,00. Faça o plao de deprecação lear da máqua. V = R = = 10 aos D V R L = DL = DL = 10 D L =12000 Plao de deprecação Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 174

176 Matemátca Facera SEÇÃO 3 - Método de deprecação da taxa costate Nesta seção, você estudará o método de taxa costate. O método de taxa costate é o método que estabelece uma taxa de descoto composto comercal costate para deprecar o valor de um bem ao fal de cada período (mês, ao, etc.). Esta é a fórmula para o cálculo da deprecação pelo método da taxa costate: R = V 1 Ode V = Valor de Compra R = Valor Resdual = Vda útl = Taxa Costate 1. Elabore um plao de deprecação de um bem pelo método da taxa costate, sabedo que o mesmo fo adqurdo por R$ ,00 com vda útl de 6 aos e valor resdual de R$ 5.000,00. Fórmula Teclas Vsor Observação R = 5000 V = = 6 aos R = V = = ( 1 ) , = = (, ) 1 = 0, = 1 0, = 0, = 27, % a. a , , , , ,69 27,69% a.a. Udade

177 Uversdade do Sul de Sata Catara Taxa Costate Plao de deprecação Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , ,697997% 9.694, , , ,697997% 7.009, , , ,697997% 5.067, , , ,697997% 3.664, , , ,697997% 2.649, , , ,697997% 1.915, , ,00 2. Um equpameto adqurdo por R$ ,00 terá um valor resdual de R$ ,00 após 5 aos de uso. Faça o plao de deprecação deste equpameto pelo Método da Taxa Costate. Fórmula Teclas Vsor Observação R = V = = 5 aos R = V = ( 1 ) = = = 0, = 0, = 27, % a. a ,00 5 0,20 5 0, , ,52 27,52% a.a. 176

178 Matemátca Facera Plao de deprecação Taxa Costate Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , ,522034% , , , ,522034% 9.973, , , ,522034% 7.228, , , ,522034% 5.239, , , ,522034% 3.797, , ,00 SEÇÃO 4 - Método de deprecação de Cole Nesta seção, você estudará o método de deprecação de Cole. Este método é elaborado da segute maera: Dvde-se o total da deprecação de um bem em frações, ode o umerador deve expressar os períodos que faltam para o fal de sua vda útl e o deomador é a soma dos dígtos que represetam cada um desses períodos. Esta é a fórmula para o cálculo de deprecação pelo método de Cole: V = D V R Ode V D = Valor da Deprecação Total V = Valor de Compra R = Valor Resdual, ,..., Udade

179 Uversdade do Sul de Sata Catara Cosderado que estas frações deverão ser multplcadas pelo valor da deprecação total. 1. Elabore o plao de deprecação pelo Método de Cole de uma máqua adqurda por R$ ,00 com um valor resdual de R$ ,00 após 5 aos de vda útl. V = R = = 5 aos VD = V R VD = V = D Fração Plao de deprecação Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , ,00 178

180 Matemátca Facera 2. Um agrcultor compra um equpameto de uso rural por R$ ,00 e após 6 aos de uso, o preço de reveda é estmado em R$ ,00. Elabore o plao de deprecação pelo Método de Cole. V = R = = 6 aos VD = V R VD = V = D Fração Plao de deprecação Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Udade

181 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Lea com ateção o eucado e resolva as segutes atvdades, cosderado as defções e as fórmulas apresetadas até esta udade. 1) Um automóvel que custa R$ ,00 será deprecado em 4 aos pelo método de deprecação lear. O valor resdual após este período é de R$ ,00. Elaborar o plao de deprecação. 2) Uma máqua o valor de R$ ,00 será deprecada totalmete (sem valor resdual), em 10 aos, pelo método de deprecação lear. Elabore o plao de deprecação. 180

182 Matemátca Facera 3) Um equpameto com tecologa avaçada fo adqurdo por R$ ,00 e terá um valor resdual após 5 aos de uso de R$ ,00. Elabore o plao de deprecação pelo método da taxa costate. 4) Uma máqua adqurda por R$ ,00 terá um valor resdual de 30% do valor de compra. Sabedo que sua vda útl é de 6 aos, elabore o plao de deprecação pelo método da taxa costate. Udade

183 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) Uma empresa adquru uma máqua para aumetar sua produção por R$ ,00, com vda útl de 5 aos e valor resdual de 40% do valor de compra. Elabore o plao de deprecação pelo método de Cole. Sítese Nesta udade, você apredeu a deprecação de um bem e a calcular a deprecação utlzado o método de deprecação lear, o método de deprecação à taxa costate e o método de deprecação de Cole. Na próxma udade, você estudará as amortzações de empréstmos. 182

184 Matemátca Facera Saba mas Se você quser estudar mas profudamete deprecação, utlze as segutes bblografas: FRANCISCO, Walter de. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Atlas, KHUNEN, Osmar Leoardo; BAUER, Udbert Reoldo. Matemátca facera aplcada e aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, MOTTA, Regs da Rocha. Aálse de vestmetos: tomada de decsão em projetos dustras. São Paulo: Atlas, SHINODA, Carlos. Matemátca facera para usuáros do Excel. São Paulo: Atlas, ZEBTGRAF, Walter. Calculadora facera HP-12C. São Paulo: Atlas, Udade

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186 UNIDADE 11 Amortzação de empréstmos 11 Objetvos de apredzagem Idetfcar o coceto de sstemas de amortzação de empréstmos. Cohecer as dversas otações, fórmulas e plalhas os estudos dos sstemas de amortzação de empréstmos. Trabalhar com os dversos tpos de amortzação de empréstmos. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Coceto de sstema de amortzação de empréstmo, otações, fórmulas e plalhas utlzadas os sstemas de amortzação de empréstmos Sstema de amortzação costate (SAC) Sstema de amortzação fracês (prce ou SAF) Sstema de amortzação amercao (SAA)

187 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Caro aluo, o cotdao é fácl observar stuações que são comus a um certo úmero de pessoas, como, por exemplo, cotrar empréstmo para aqusção da casa própra. Nesta udade, você estudará os dversos sstemas de amortzação de empréstmos, o sstema de amortzação costate, o sstema de amortzação fracês e o sstema de amortzação amercao. SEÇÃO 1 - Coceto de sstemas de amortzação de empréstmo, otações, fórmulas e plalhas utlzadas os sstemas de amortzação de empréstmos Nesta seção, você estudará o coceto de sstemas de amortzação de empréstmo, assm como as otações, fórmulas e plalhas utlzadas este sstema. Sstemas de amortzação de empréstmo Por defção, os sstemas de amortzação de empréstmos são as varadas formas aplcadas pelos credores para receberem o prcpal e os juros do devedor. Cosdere as segutes otações o estudo dos sstemas de amortzação de empréstmo: S t = Saldo devedor o state t S t = 1 Saldo devedor o state ateror a t = Taxa de juros R t = Prestação efetvada o state t A t = Amortzação o state t J t = Juros o período que va de t-1 a t 186

188 Matemátca Facera P = Prcpal (valor do empréstmo) = úmero de períodos Estas são as fórmulas báscas para o estudo de sstemas de amortzação de empréstmo: P = A1 + A A St = St 1 + Jt Rt At = Rt Jt Jt = St 1. Jt = Rt At S = S A t t 1 t Este modelo de plalha dspõe os elemetos fudametas do sstema de amortzação de empréstmo: Período Amortzação A t Juros J t Prestações R t Saldo Devedor S t Total Udade

189 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Um empréstmo de R$ ,00 será amortzado trmestralmete da segute maera: A = 5000, A = 7000, A = 8000, A = Os juros serão também pagos trmestralmete a uma taxa de 8,3%a.t. Costrua a plalha do empréstmo. Período Amortzação ( A t ) Juros ( J t ) Prestações ( R t ) Saldo Devedor ( S t ) , , , , , , , , , ,00 830, ,00 - Total 30000, , ,00 - SEÇÃO 2 - Sstema de amortzação costate (SAC) Nesta seção, você estudará o sstema de amortzação costate (SAC). O sstema de amortzação costate apreseta as segutes característcas: é o empréstmo em que o prcpal é amortzado com parcelas costates (guas) que se obtém dvddo-se o valor do prcpal pelo úmero de prestações; as prestações e os juros são decrescetes. 188

190 Matemátca Facera Estas são as fórmulas utlzadas o sstema de amortzação costate (SAC): A = A = A = A =... = A = R = A + J = A + P R = A + J = A + P A. = A + P. A.... R = A + P 1. A. = A + P. 1 A. P 1. Um baco empresta R$ ,00 a um clete que deverá ser pago em 10 parcelas mesas pelo sstema de amortzação costate (SAC) a uma taxa de 3,5% a.m., Faça a plalha de empréstmo. P = = 10 A = P A = = Período Amortzação A t Juros J t Prestações R t Saldo Devedor S t , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 875, , , ,00 700, , , ,00 525, , , ,00 350, , , ,00 175, ,00 - Total , , ,00 - Udade

191 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação P = = 10 A = P , A = = , ,00 Teclas Vsor Observação , ,00 Teclas Vsor Observação , ,00 2. Um baco empresta para uma empresa R$ ,00 para ser devolvdo pelo SAC em 6 parcelas auas, com uma carêca de 2 aos (a 1ª prestação será paga o íco do 3ª ao) a uma taxa de 15% a.a. Os juros serão captalzados durate a carêca. Faça a plalha do empréstmo. C = = 15% a. a. = 0, 15a. a. = 6 m = 2 P = C 1+ m , , 00 = ( + ) = A = P = = 33062,

192 Matemátca Facera Período ( ) Amortzação A t Juros t ( J t ) Prestações R t Saldo Devedor S t , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,87 - Total , , ,86 - Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,15 1, , , , , ,00 Udade

193 Uversdade do Sul de Sata Catara , , , , , , , , ,50 SEÇÃO 3 - Sstema de amortzação fracês (prce ou SAF) Nesta seção, você estudará o sstema de amortzação de empréstmo fracês ou tabela prce. O sstema de amortzação fracês (SAF) apreseta as segutes característcas: o prcpal mas os juros são devolvdos em prestações costates e cosecutvas ao fal de cada período; as amortzações costtuem uma sequêca crescete e os juros uma sequêca decrescete. Ateção! A taxa de juros deve estar a mesma udade do período de captalzação. Quado o período da taxa ão cocde com o período de captalzação, usamos a Taxa por período de captalzação (Taxa efetva). O saldo devedor em um determado state é gual ao valor atual das prestações a vecer. 192

194 Matemátca Facera Esta é a fórmula utlzada o sstema de amortzação fracês ou tabela prce P = Prcpal R = Prestação P = R. a ( 1+ ) 1 ode: a = ( 1 + ). 1. Uma sttução facera lbera um empréstmo para uma dústra o valor de R$ ,00 para ser pago pelo sstema de amortzação fracês em 120 meses a uma taxa de 1,5% a.m. Faça a plalha até o 4º mês e calcule o saldo devedor o 100º mês. P = = 120 = 1, 5% a. m. = 0, 015 a. m. P = R. a a a a = 120 1, 5 ( ( + ) , 015) =, 120 ( 1, 015). 0, = 20 1, 5 a 20 1, 5 V = R. a 1 0, , , = 55, , , , , = 17, , , 015 = = R. 55, R = = 10811, 11 55, S S = 10811, , = R$ , 04 Udade

195 Uversdade do Sul de Sata Catara Período ( ) Amortzação A t Juros J t Prestações R t Saldo Devedor S t , , , , , , , , , , , , , , , , ,92 Teclas Vsor Observação ,00 1,5 1, , ,11 Para lmpar os regstros. Operação Postecpada. Padrão END a calculadora. Teclas Vsor Observação ,00 1, ,00 Teclas Vsor Observação 10811, , ,11 194

196 Matemátca Facera 2. Um baco empresta R$ ,00 para uma empresa, cuja devolução deverá ser feta em 12 prestações trmestras pela tabela prce. A taxa de juros cobrada é de 16% a.a. Ache o saldo devedor após pagar a 5ª prestação. Fórmula Teclas Vsor Observação P = = 12 16% = = 4% a. t. = 0, 04 a. t ( 1+ 0, 04) 1 a12 4= , 04. 0, 04 a = 12 (, )., R = 9, R = 21310, , a = 9, ,00 4 4, , ,43 Para lmpar os regstros. Operação Postecpada. Padrão END a calculadora. Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 S a = R. a ( 7 +, ) a = 1+ 0, 04. 0, , , 04). 0, 04 = ( a = 6, S = 21310, 43. 6, S = R$ , ,04 1,04 7 1, , ,00 0,04 1,04 7 1, ,04 6, Udade

197 Uversdade do Sul de Sata Catara SEÇÃO 4 - Sstema de amortzação amercao (SAA) Nesta seção, você estudará o sstema de amortzação amercao (SAA). O sstema de amortzação amercao apreseta as segutes característcas: o prcpal do empréstmo é pago de uma só vez; os juros podem ser pagos perodcamete ou serem captalzados e pagos o fal do vecmeto do empréstmo. 1. Um empréstmo de R$ ,00 deve ser pago após 4 aos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sstema de amortzação amercao. Os juros serão captalzados. Observe a plalha. Período ( ) Amortzação A t Juros J t Prestações R t Saldo Devedor S t , , , , , ,19 - Total , ,19 - Teclas Vsor Observação , , , , ,19 196

198 Matemátca Facera 2. Um empréstmo de R$ ,00 deve ser pago após 4 aos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sstema de amortzação amercao. Os juros serão pagos o fal de cada ao. Observe a plalha. Período ( ) Amortzação A t Juros J t Prestações R t Saldo Devedor S t , , , , , , , , , , , , ,00 - Total , , ,00 - Atvdades de autoavalação A partr de seus estudos, lea com ateção e resolva as atvdades programadas para a sua autoavalação. 1) Um clete solcta a um baco um empréstmo de R$ ,00 pelo sstema de amortzação fracês em 60 prestações mesas. Sabedo-se que o baco cobra uma taxa de juros de 2,8% a.m., obteha o valor da prestação e o saldo devedor depos de pagar a 20ª prestação. Udade

199 Uversdade do Sul de Sata Catara 2) Um empréstmo de R$ ,00 deverá ser pago em 5 prestações bmestras pelo sstema de amortzação costate com juros de 8% a.b. Elaborar o plao de amortzação do empréstmo (plalha). 3) Um empréstmo de R$ ,00 va ser amortzado em 5 prestações auas pelo SAC com uma taxa de juros de 8,5% a.a. com carêca de 2 aos. Os juros serão pagos durate a carêca. Faça a plalha. 198

200 Matemátca Facera 4) Um empréstmo de R$ ,00 será saldado em 50 prestações mesas a uma taxa de 1,5% a.m. Determe a parcela de juros relatva a 15ª prestação pelo sstema de amortzação fracês (prce). 5) Um valor de R$ ,00 é facado a um clete de um baco que cobra uma taxa de 7,5% a.a. para ser amortzado pelo sstema amercao com 4 aos de carêca. Sabedo-se que os juros são pagos aualmete, costrua a plalha de compra. Udade

201 Uversdade do Sul de Sata Catara Sítese Nesta udade, você apredeu o coceto de sstema de amortzação de empréstmos. Especfcamete, você apredeu o sstema de amortzação costate, o sstema de amortzação fracês e o sstema de amortzação amercao. Na próxma udade, você estudará flação e correção moetára. Saba mas Se você quser estudar mas profudamete os sstemas de amortzação de empréstmos, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, GUERRA, Ferado. Matemátca facera através da HP-12C. Floraópols: Edtora UFSC, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall,

202 UNIDADE 12 Iflação e correção moetára 12 Objetvos de apredzagem Dstgur os cocetos de flação e correção moetára. Determar ídce de preços, varação percetual de preços (taxa de flação) e taxa de desvalorzação da moeda. Determar a taxa de flação acumulada, aparete e real. Corrgr valores moetáros. Seções de estudo Seção 1 Seção 2 Seção 3 Seção 4 Seção 5 Coceto de flação, ídce de preços e varação percetual de preços (taxa de flação) Taxa de desvalorzação moetára Taxa acumulada de flação Taxa aparete e taxa real Correção moetára

203 Uversdade do Sul de Sata Catara Para íco de estudo Você sabe que quado o preço das mercadoras sobe um curto período de tempo, ocorre uma perda de poder aqustvo do seu dhero. Nesta udade, estudaremos esta relação em fução da perspectva da flação. Você estudará o coceto de flação, os ídces de preços e de varação percetual de preços, a taxa de desvalorzação da moeda, a taxa acumulada de flação, as taxas aparete e real de juros além de correção moetára. SEÇÃO 1 - Coceto de flação, ídce de preços e varação percetual de preços (taxa de flação) Nesta seção, você estudará o coceto de flação, o ídce de preços e varação percetual de preços (taxa de flação). Iflação A flação é um feômeo que atge a maora das ecoomas mudas. Ela é caracterzada por alta persstete e geeralzada dos preços de bes de cosumo, captas, produção, sumos e mão-de-obra. A flação é calculada em dversos ídces de preços em um período. Esta é a fórmula para o cálculo do ídce de preços em um período Pt P(0,t) = = P t p p 0 0 Os ídces de preços mas cohecdos o Brasl são o IPA, o IPCA, o INPC e o IGPM. 202

204 Matemátca Facera Esta é a fórmula para o cálculo da varação percetual de preços (taxa de flação): J Pt = 1 P 0 1. Em 01/06/2004, o preço de um produto era de R$ 5,50. Em 10/07/2004, o preço do mesmo era de R$ 6,20. Qual a taxa de flação do período? Pt = 6, 20 P = 5, 50 0 Pt J = 1 P0 6, 20 J = 5, 50 1 J = 1, J = 0, = 12, 73% a. p. SEÇÃO 2 - Taxa de desvalorzação moetára Nesta seção, você estudará a taxa de desvalorzação moetára. A taxa de desvalorzação da moeda mede a perda do poder de compra da moeda causada pela flação. Dado que : TDM = Taxa de desvalorzação da Moeda J = Taxa de flação do período Esta é a fórmula para o cálculo da taxa de desvalorzação moetára: TDM J = + J 1 Udade

205 Uversdade do Sul de Sata Catara 1. Se a taxa de flação for de 6,5% um período. Qual a taxa de desvalorzação moetára correspodete? Fórmula Teclas Vsor Observação J = 6, 5% a. p. J = 0, 065a. p. TDM TDM TDM TDM TDM J = 1 + J 0, 065 = 1 + 0, 065 0, 065 = 1, 065 = 0, 061 = 6, 1% a. p. 0,065 0, ,00 0,065 0, ,10 6,1% a.p. 2. Se a taxa de flação um dado período for de 30%. Qual a queda do poder de compra ao fal do período? Fórmula Teclas Vsor Observação J = 30% a. p. = 0, 30 TDM TDM TDM TDM TDM J = 1 + J 0, 30 = 1 + 0, 30 0, 30 = = 1, 30 = 0, = 23, 08% a. p. 0,30 0,30 1 1,00 0,30 0, ,08 23,08% a.p. SEÇÃO 3 - Taxa acumulada de flação Nesta seção, você estudará a taxa acumulada de flação. Esta é a fórmula para o cálculo da taxa acumulada de flação: ( + ) ( + ) J AC = 1+ J1 1 J J 1 204

206 Matemátca Facera Ode, J 1, J 2...J são as taxas de flação por períodos, e, J AC = Taxa acumulada de flação. 1. Em 5 meses cosecutvos, o preço de uma mercadora aumetou 1,5%, 1,6%, 2%, 2,1% e 2,2%. Qual a taxa acumulada de flação do período? J J AC AC ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = 1+ 0, , , , , = 1, = 0, = 9, 76% a. p. Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,015 1, ,00 0,016 1, ,00 0,02 1, ,00 0,021 1,074 Udade

207 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,022 1, , ,758 9,76% a.p. 2. Se em 2 meses cosecutvos as taxas de flação foram respectvamete 2,2% e 2,5%. Qual a taxa de flação acumulada o bmestre? J J AC AC ( + ) = 1+ 0, , = 1, = 0, = 4, 75% a. b. 3. Se a taxa de flação acumulada o bmestre é de 3,5%, e o 1º mês a taxa de flação fo de 2,1%, qual a taxa de flação do 2º mês? ( + ) J = AC 1 + J1 1 J2 1 0, 035 = ( 1+ 0, 021) ( 1+ J2 ) 1 0, = 1, 021( 1+ J2 ) 1, 035 = 1, 021( 1+ J2 ) 1, J2 = 1, J2 = 1, J = 1, = 0, = 1, 37% 2 SEÇÃO 4 - Taxa aparete e taxa real Nesta seção, você estudará a taxa aparete e a taxa real. A taxa aparete é a taxa que cde sobre uma operação facera em termos omas, cludo-se assm os efetos flacoáros. A taxa real se refere ao gaho obtdo após haver descotado da remueração a flação. Vamos cosderar que: 206

208 Matemátca Facera r = Taxa real de juros do período = Taxa aparete do período J = Taxa de flação do período Sabemos que: M = C M = C ( 2 + J ) Assm, esta é a fórmula para o cálculo da taxa aparete e da taxa real: M1 r = 1 M 2 C ( 1+ ) r + 1 = C 1+ J 1 r + 1 = + 1+ J 1 r = + 1+ J 1 1. Um baco em suas aplcações faceras usa uma taxa aparete de 35% a.a.. Se a taxa de flação for de 25% a.a., qual o gaho real auferdo pelo baco? Fórmula Teclas Vsor Observação = 35% a. a. = 0, 35 a. a. J = 25% a. a. = 0, 25 a. a. 1 r = + 1+ J 1 1 r = + 0, , , 35 r = 1, 25 1 r = 1, 08 1 r = 0, 08 = 8% a. a. 1 1,00 0,35 1,35 1 1,00 0,25 1,08 1 0, ,00 8% a.a. Udade

209 Uversdade do Sul de Sata Catara 2. Durate dos semestres cosecutvos, as taxas de flação foram de 8% e 10%. Se um vestdor aplcou seu dhero o mesmo período a uma taxa de juros de 18%a.a., qual a sua taxa real de perda? Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 J = 8% a. s = 0, 08 a. s 1 J = 10 % a. s = 0, 10 a. s 2 = 18% a. a J AC J J AC AC ( + ) = 1+ 0, , 10 1 = 1, 08. 1, 10 1 = 1, = 0, ,08 1,08 1 1,00 0,1 1, ,1880 Fórmula Teclas Vsor Observação r = 1+ J AC 1+ 0, r = 1+ 0, , r = 1, 1880 r = 0, r = 0, r = 0, 6734% de perda o período 1 1,00 0,18 1,18 1 1,00 0,1880 0, , ,6734 0,6734% de perda o período. 208

210 Matemátca Facera SEÇÃO 5 - Correção moetára Nesta seção, você estudará a correção moetára. A correção moetára é o mecasmo utlzado para corrgr o valor da moeda corroda pela flação. Dado que P = Prcpal J AC = Taxa de correção acumulada V c = Valor corrgdo Decorre que o valor do prcpal ( P) corrgdo moetaramete da data zero até a data é calculado pela segute fórmula: ( + ) ( + ) V = P + P. J = P 1+ J. 1 J J c AC Uma dívda de R$ ,00 deve ser atualzada moetaramete por 3 meses com as segutes taxas de correção: 1,8%, 2% e 2,2%. Qual o valor da dívda corrgda? Fórmula Teclas Vsor ,00 1 1,00 P = J J J V C V C = 1, 8% = 0, 018 = 2% = 0, 02 = 2, 2% = 0, 022. ( 1+ 0, 02). ( 1+ 0, 022) = , 018 = 53060, 20 0, ,00 1 1,00 0, ,00 1 1,00 0, ,20 Udade

211 Uversdade do Sul de Sata Catara Atvdades de autoavalação Caro aluo, cosdere as defções e as fórmulas apresetadas até esta udade e respoda as questões a segur: 1) O preço de uma mercadora o íco do mês de abrl de um determado ao era de R$ 620,00; a mesma mercadora o íco de mao do mesmo ao custava R$ 655,00. Qual a taxa de flação do mês? 2) Por três meses cosecutvos as taxas de flação foram: 0,96%, 1,2% e 1,4% respectvamete. Qual a taxa de flação acumulada o trmestre? 3) Se a taxa de flação de um dado período é de 22,3%, qual a queda do poder aqustvo ao fal do período? 210

212 Matemátca Facera 4) Uma sttução facera deseja ter um gaho real de 8% a.a. as suas operações de empréstmos. Se a taxa de flação prevsta para o ao é de 25%, qual a taxa aparete usada pela sttução? 5) Paulo comprou em uma loja mercadoras o valor total de R$ ,00, que devera ser pago um mês após a compra. Por motvos faceros Paulo só efetuou o pagameto três meses depos do vecmeto. As taxas de correção os meses de atraso foram respectvamete 0,8%, 0,9% e 1,2%. Quato Paulo pagou pela dívda, sem juros? Sítese Nesta udade, você apredeu o coceto de flação, os ídces de preços e de varação percetual de preços, a taxa de desvalorzação da moeda, a taxa acumulada de flação, as taxas aparete e real de juros além de correção moetára. Udade

213 Uversdade do Sul de Sata Catara Saba mas Se você quser estudar mas profudamete flação e correção moetára, utlze as segutes bblografas: BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, GUERRA, Ferado. Matemátca facera através da HP-12C. Floraópols: Edtora UFSC, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de Ivestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemátca facera. 3ª ed. São Paulo: Atlas,

214 Para coclur o estudo Na dscpla Matemátca Facera, você apredeu cocetos mportates, efetuou cálculos faceros para determar: juros, captas, motates, taxas, prazos e descotos os regmes juros smples e compostos. Apredeu a utlzar a calculadora HP-12C como strumeto facltador a resolução dos problemas; trabalhou com sequêcas uformes e aalsou as dversas modaldades de empréstmos; usou os dversos métodos para deprecar um bem. Ada, etedeu a dfereça etre Iflação e Correção Moetára. Teho certeza que você usará os cohecmetos adqurdos o seu da-a-da e em futuras dscplas da área. Professor Maurc José Dutra

215

216 Referêcas BRANCO, Aíso Costa Castelo. Matemátca facera aplcada. São Paulo: Poera Thompso, CRESPO, Atôo Arot. Matemátca comercal e facera. 11ª ed. São Paulo: Sarava, FRANCISCO, Walter De. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Atlas, GUERRA, Ferado. Matemátca facera através da HP-12C. Floraópols: Edtora UFSC, HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Ncolau. Matemátca facera. 5ª ed. São Paulo: Sarava, KUHNEN, Osmar Leoardo; BAUER, Udbert Reoldo. Matemátca facera: aplcada e aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, MATHIAS, Washgto Fraco; GOMES, José Mara. Matemátca facera. 2ª ed. São Paulo: Atlas, MERCHEDE, Alberto. Matemátca facera para cocursos. São Paulo: Atlas, PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca Facera, objetva e aplcada. 6ª ed. São Paulo: Sarava, SAMANEZ, Carlos Patríco. Matemátca facera: aplcações à aálse de vestmetos. 3ª ed. São Paulo: Pretce Hall, SCHINODA, Carlos. Matemátca facera para usuáros do Excel. São Paulo: Atlas, ZENTGRAF, Walter. Calculadora facera HP-12C. São Paulo: Atlas, 1994.

217

218 Sobre o professor coteudsta Maurc José Dutra é mestre em Matemátca pela Uversdade Federal de Sata Catara (UFSC). É graduado em Matemátca pela Uversdade Federal de Sata Catara (UFSC). É professor aposetado da Uversdade Federal de Sata Catara (UFSC). Fo membro do coselho departametal da Uversdade Federal de Sata Catara (UFSC). Fo coordeador de eso do Departameto de Matemátca da Uversdade Federal de Sata Catara (UFSC). Fo professor e chefe do Departameto de Matemátca da Fudação Uverstára de Crcúma (FUCRI) de 1973 a Fo professor da Fudação e Sstema Barddal de Eso de 2000 a Atualmete, é professor da Uversdade do Sul de Sata Catara (UNISUL). É membro do úcleo de estudo em educação Matemátca (NEEM). Professor-tutor a modaldade de eso a dstâca da Uversdade do Sul de Sata Catara (UNISUL).

219

220 Respostas e cometáros das atvdades de autoavalação Após resolver as atvdades de autoavalação, cofra as respostas, desprezado as possíves e mímas dfereças causadas pelos arredodametos das calculadoras. Udade 1 1) a) 21 = f REG 5 ENTER 2 x b) 32 = f REG 729 g X 5 + c) 6 = f REG 27 ENTER 3 1 X Y X 2 ENTER 3 x 2 + d) 9, = f REG 3 ENTER 2 Y X 9 1 X + e) 3, = f REG 2 g 15 g + 2) R$ 159,00 = f REG 1060 ENTER 15 % 3) R$ ,00 = f REG ENTER 25 % 4) 188 das = f REG g DMY g ENTER 5) das = f REG g DMY ENTER g

221 Uversdade do Sul de Sata Catara 6) R$ 750,00 e R$ ,00 = f REG ENTER CHS PV f INT 7) J = e R $ 2947, 07 = f REG 4320 CHS PV f INT R x > < y 8)R$ ,99 = f REG CHS PV 3,2 25 FV 9) R$ 5.513,28 = f REG CHS PV 9 5 FV RCL PV + 10) Coveção Lear (Sem a letra c o vsor) M = R$ 52483, 20 = f REG CHS PV ENTER 12 FV Coveção Expoecal (Com a letra c o vsor) M = R$ 52181, 02 = f REG CHS PV ENTER 12 FV 11) Coveção Lear (Sem a letra c o vsor) M = R$ 3331, 91= f REG 1545 CHS PV ENTER 12 FV Coveção Expoecal (Com a letra c o vsor) M = R$ 3311, 60 = = f REG 1545 CHS PV ENTER 12 FV 12) M = R$ 32574, 45 = f REG 1200 CHS PMT 3,1 20 FV 13) = 7, 93% a. m. = f REG g BEG CHS PV 2400 PMT 6 Udade 2 1) Coverta para a forma percetual 0,36=36% 1,25=125% 220

222 Matemátca Facera 2) Coverta para a forma utára 12%=0,12 212%=2,12 3) 4) Período () Juros Smples Juros Compostos Juros Motate Juros Motate 1 100, ,00 100, , , ,00 105, , , ,00 110, , , ,00 115, ,01 5) Ótca do captador Ótca do captador 221

223 Uversdade do Sul de Sata Catara Udade 3 1) Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 J J J = C.. = , = 1500, ,00 Taxa juros aual 3 3,00 Período em aos ,00 Período em das 1.500,00 Juros auferdos ou Teclas Vsor Observação ,00 0,05 0, ,00 222

224 Matemátca Facera 2) Fórmula Teclas Vsor Observação , ,16 Teclas Vsor Observação 0,16 0,16 0,02 8,00 8 meses 3) Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros ,00 6 6,00 Taxa juros aual 24 24,00 Período em meses obs.: 24 meses = 2 aos ,00 Período em das 240,00 Juros auferdos 2.240,00 ou 223

225 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação ,00 1 1,00 0,06 1, ,00 4) Fórmula Teclas Vsor Observação M = C = , , = = 1, = 1, , = 0, , = 8 = 0, ,6053 4,61% a.m. = 4, 6053% a. m. 224

226 Matemátca Facera 5) Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros =92 das J=C.. J e = ,125. J e = 1953, ,00 12,50 12,50 Taxa juros aual 92 92,00 Período em das 1.980,56 Juros auferdos 1.953,42 Juros exatos acumulados ou Teclas Vsor Observação ,00 0, , , ,42 Fórmula Teclas Vsor Observação =92 das J=C.. J c = ,125. J c = 1959, , ,00 Lmpa regstradores faceros 12,50 12,50 Taxa juros aual 91 91,00 Período em das 1.959,03 Juros auferdos ou 225

227 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação ,00 0, , , ,03 6) Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros J = C.. J J e e = , = 355, , ,00 Taxa juros aual ,00 Período em das 360,00 Juros auferdos 355,07 Juros exatos acumulados 226

228 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros J = C.. J J c c = , = 360, , ,00 Taxa juros aual ,00 Período em das 360,00 Juros auferdos 7) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 N = V 1+. N = , N = 4500 ( 1+ 0, 08) N = , 08 N = 4860,00 1 1,00 0,02 0, , ,00 227

229 Uversdade do Sul de Sata Catara 8) Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros = 76 das J J e e = , = 117, , ,00 Taxa juros aual 76 76,00 Período em das 118,90 Juros auferdos 117,27 Juros exatos acumulados Fórmula Teclas Vsor Observação 0,00 Lmpa regstradores faceros = 77 das J J C C = , = 120, , ,00 Taxa juros aual 77 77,00 Período em das 120,46 Juros auferdos 9) 228

230 Matemátca Facera x x ,., , = + 1, 02x + x = , 02x = x = = 8123, 76 2, 02 Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,01 0, , , , ,00 Valor armazeado a memóra º ,00 0,01 0, , , ,00 2, , ,00 Recupera memóra

231 Uversdade do Sul de Sata Catara 10) x = , , x = , 00 = 14559,50 Udade 4 1) Fórmula Teclas Vsor Observação d d d b b b = N.. d = , = 9000, ,00 V = N db V = V = 41000, 00 0,045 0, ,00 2) 230

232 Matemátca Facera 3) Fórmula Teclas Vsor Observação N = V ( 1+. ) 5000 = V ( 1+ 0, ) 5000 V = 1 + 0, V = 1 + 0, V = 1, 088 V = 4595, ,00 1 1,00 0,022 0, ,59 4) Fórmula Teclas Vsor Observação d d d d d c c R R R d R = , = 540 N = , = 1+ 0, = 1+ 0, 36 = 397, ,00 0,06 90, ,00 1 1,00 0,06 0, ,06 231

233 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) Udade 5 1) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros 6 = = M = , 052 M , 052 M , M = 35242, ,00 5,2 5,20 6 6, ,59 2) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros J = C J = , 03 1 J = 4200 ( 1, ) J = , J = 1444, ,00 3 3, , , ,45 232

234 Matemátca Facera 3) Fórmula Teclas Vsor Observação 9000 = ( 1+ ) = , 5 = = , = 1, = 1, = 0, = 10, 6682% a. m , ,00 4 4,00 Para lmpar os regstros 10,67 10,67% a.m. 4) Fórmula Teclas Vsor Observação 4 M = C ( 1+ ) Para lmpar os regstros 61519, 30 = ( 1+ 0, 04) 61519, , , 30 ( 1, 04) = ,00 ( 1, 04) = 2, l ( 2, ) = l ( 1, 04) ,00 = 24 meses 24,00 24 meses 5) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros Coversão Expoecal M = C 1+ a) M = , 15 M = , 15 M = 17863, , , , , ,38 233

235 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor ,00 1, ,00 1 1,00 3 3, ,25 0, ,88 6) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros N V = ( 1+ ) , ,2 1,20 V = 3 ( 1+ 0, 012) 3 3,00 V = 36664, ,19 234

236 Matemátca Facera 7) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros J = C ( 1+ ) ,00 10 J = , J = ( 1, 01) 1 J = , J = 2615, , , , ,55 Udade 6 1) Fórmula Teclas Vsor Observação = 1 a) ç = 1+ 0, q 1, 026 q = 1, q = 0, q = 36, 0719% a. a. 1 1,00 0,026 1, , , ,07 36,07% a.a. 235

237 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1, b) q = 1+ 0, q 1, q = 1, q = 0, q = 27, 9989% a. a. 6 = 0,042 1, ,00 2 1, , ,99 27,99% a.a. Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 c) q = 1+ 0, q = ( 1, 048) 1 q = 1, q = 0, q = 20, 6272% a. a. 4 0,048 1, ,00 3 1, , ,62 20,62% a.a. 236

238 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1, d) q = 1+ 0, 12 1 q 1, 12 1 q = 1, q = 0, 2544 q = 25, 44% a. a. 2 = 0,12 1, ,00 6 1, , ,44 25,44% a.a. 2) Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 f f f f f = 1+ 0, = ( 1, 04) 1 = 1, = 0, = 26, 5319% a. a. 6 0,24 0,24 6 1,04 6 1, , ,53 26,53% a.a. 237

239 Uversdade do Sul de Sata Catara 3) Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 f = 1+ 0, f = ( 1, 06) 1 f = 1, f = 0, M = , M = 25501, ,24 0,24 4 1,06 4 1, , ,57 4) Fórmula Teclas Vsor Observação 1 1,00 12 f = 1+ 1, f = ( 1, 08) 1 f = 2, f = 1, M = , M = 2500 ( 2, ) 12 M = 4981, ,08 1, , , , , ,41 238

240 Matemátca Facera 5) Fórmula Teclas Vsor Observação 12, a) f = f = ( 1+ 0, 0375) 1 12 f = ( 1, 0375) 1 f = 0, ,00 0,45 0,45 M M M = , = ( 1, ) = , , , ,35 Fórmula Teclas Vsor Observação 360, b) f = f = ( 1+ 0, ) f = ( 1, ) 1 f = 1, f = 0, M = , M = , M = , ,00 0,45 0, , , ,72 239

241 Uversdade do Sul de Sata Catara Udade 7 1) Fórmula Teclas Vsor Observação dr = N 1 1+ d d d d d R R R R R = , 042 = ( 1, 042) 6 = , = , = 1815, ,00 0,042 1, , , ,57 2) Fórmula Teclas Vsor 1 1,00 dr = N 1 1+ dr = ( 1+ 0, 2) 162 dr = ( 1, 2) 360 dr = ( 1 0, ) dr = , dr = 23630, ,2 1, , , , ,77 240

242 Matemátca Facera 3) Fórmula Teclas Vsor Observação N = V ( 1+ ) = 5348 ( 1+ ) Para lmpar os regstros ( 1+ ) = ,00 5 ( 1+ ) = 1, , = ( 1, ) 5 1+ = 1, ,00 = 1, = 0, = 3% a. m 3,0007 3,00% a.m. 4) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 dc = N 1 1 d d d d d C C C C C = , 2 = ( 0, 8) 3 = , 512 = , 488 = 24400, ,00 1 1,00 0,2 0, ,00 241

243 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) 6) Fórmula Teclas Vsor Observação c = f = 1 c 0, 035 = 1 c 0, 035 ( 1 ) = 0, 035 0, 035 = r c + 0, 035 = 0, 035 1, 035 = 0, 035 c c c c c c 0, 035 c = 1, 035 = 0, ,38 3,38% a.a. c = 3, 3816% a. a. c c 0,035 1,00 1,035 0,33816 Fórmula Teclas Vsor Observação 0,153 1,00 r r r 0, 153 = 1 0, 153 = 0, = 18, 0638% a. a. 1 1,00 1,035 0, ,06 18,06% a.a. 7) Fórmula Teclas Vsor Observação V = N , 72 = , 72 ( 1 ) = , = 1 = ( 0, ) = 0, 958 = 1 0, 958 = 0, 042 = 4, 2% a. m , , , , , ,20 4,20% a.m. 242

244 Matemátca Facera 8) Fórmula Teclas Vsor Observação V = N , 27 = , 064 ( 1 0, 064) = 20173, ( 1 0, 064) = 0, (, ) =, l ( 0, ) = l ( 0, 936) = 0, , = 5, meses 0, , ,9036 5, Aprox. 6 meses Udade 8 1) Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros ,00 2,3 2,30 4 4, ,48 1,00 Somatóro º ,00 243

245 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação 10 10, ,92 2,00 Somatóro º , , ,66 3,00 Somatóro º ,07 Totalzado o somatóro realzado através das teclas RCL 2. 2) 244

246 Matemátca Facera Teclas Vsor Observação 1 1,00 1,02 1,02 3 0, , Valor armazeado a memóra º ,00 2 2,00 1,02 1,02 4 0, , Recupera memóra º ,70 1ª Prestação ,85 2ª Prestação. 3) 245

247 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação ,00 1,05 1, ,29 1,00 Somatóro º ,00 1,05 1, ,46 2,00 Somatóro º , ,75 Somatóro (egatvo) º 1. Totalzado o somatóro realzado através das teclas RCL 2. 1,05 1, ,75 4) Alteratva A R$ Alteratva B 246

248 Matemátca Facera V V = = , ( + ) , , Teclas Vsor Observação ,00 1,075 1, , ,27 1,00 Somatóro º ,00 1,075 1,075 Teclas Vsor Observação ,85 2,00 Somatóro º ,00 Somatóro º 3. A melhor alteratva é a A ,12 Totalzado o somatóro realzado através das teclas RCL

249 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) Teclas Vsor Observação ,00 1,023 1, ,17 1,00 Somatóro º ,00 1,023 1, ,03 2,00 Somatóro º ,20 Totalzado o somatóro realzado através das teclas RCL

250 Matemátca Facera Udade 9 1) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora ,00 2 2, ,00 567,36 2) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora ,00 2,1 2, ,00 657,78 249

251 Uversdade do Sul de Sata Catara 3) Teclas Vsor Observação 90380, ,71 3,5 3, ,00 Para lmpar os regstros. Operação Atecpada. Padrão BEGIN a calculadora. 10,00 10 meses. 250

252 Matemátca Facera 4) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Atecpada. Padrão BEGIN a calculadora ,00 2,5 2, , ,43 5) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora ,00 6 6,00 3 3,00 90 das de carêca = 3 meses , ,03 Calculamos o Valor Futuro do período de 8 trmestres de carêca. Este valor correspoderá ao Valor Presete da operação com o pagameto de 10 prestações trmestras. Com este procedmeto, lmpamos apeas a memóra facera da calculadora , ,00 6 6,00 323,64 251

253 Uversdade do Sul de Sata Catara 6) 7) Fórmula Teclas Vsor Observação M M 1+ 1 = R 7 + = , , ,00 Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. M M M 7 1, = , 025 = , = 33963, 44 2,5 2,5 7 7, ,44 Udade 10 1) Fórmula Teclas Vsor Observação , , ,00 252

254 Matemátca Facera D L = 5000 Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , ,00 2) Fórmula Teclas Vsor Observação , ,00 D L = Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00-253

255 Uversdade do Sul de Sata Catara 3) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 R = V = = 0, = 12, % a. a ,00 5 0, , , ,259386% a.a. Taxa Costate Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Teclas Vsor Observação ,00 12, , ,68 Valor resdual em

256 Matemátca Facera 4) Fórmula Teclas Vsor Observação ,00 R = V = = 0, = 18, % a. a ,00 6 0, , , ,181118% a.a. Teclas Vsor Observação ,00 18, , ,40 Valor resdual em 1. Taxa Costate Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , ,181118% 9.090, , , ,181118% 7.437, , , ,181118% 6.085, , , ,181118% 4.970, , , ,181118% 4.073, , , ,181118% 3.333, , ,00 255

257 Uversdade do Sul de Sata Catara 5) V D = = Fração Valor da Deprecação Deprecação Acumulada Resdual , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Udade 11 1) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. Operação Postecdada. Padrão END a calculadora ,00 2,8 2, , ,96 256

258 Matemátca Facera Fórmula Teclas Vsor 1 1,00 0,028 1, , , ,00 0,028 1, ,0180 0,028 23, , ,90 2) A = = Amortzação Juros Prestação Saldo Devedor , , , , , , , , , ,00 960, , , ,00 640, , , ,00 320, ,00 - Total , , ,00-257

259 Uversdade do Sul de Sata Catara 3) Amortzação Juros Prestação Saldo Devedor , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 - Total , , ,00 - Teclas Vsor Observação ,00 8, ,00 258

260 Matemátca Facera 4) Fórmula Teclas Vsor Observação Para lmpar os regstros. V = R. a , = R 50 ( 1+ 0, 015). 0, , = R 50 ( 1, 015). 0, = R 34, R = = 8571, 50 34, ,00 1,5 1, , ,50 Operação Postecdada. Padrão END a calculadora. Fórmula Teclas Vsor 1 1,00 0,015 1, ,68388 S S (, ) = 8571, ( 1, 015). 0, 015 = 8571, , S = , , ,00 0,015 1, , ,015 27, , ,46 259

261 Uversdade do Sul de Sata Catara Fórmula Teclas Vsor 1 1,00 0,015 1, , S S (, ) = 8571, ( 1, 015). 0, 015 = 8571, , S = , , ,00 0,015 1, , ,015 27, , ,56 Fórmula Teclas Vsor A = S S A A = , , 46 = 5015, , , , ,10 J 15 = 8571, , 10 J = 3556, , , , ,40 260

262 Matemátca Facera 5) Amortzação Juros Prestação Saldo Devedor , , , , , , , , , , , , ,00 - Total , , ,00 - Udade 12 1) Fórmula Teclas Vsor Obrservação J J J J Pt = 1 P O 655 = = 0, = 5, 6452% a. m , , , ,6452 5,6452% a.m. 2) 261

263 Uversdade do Sul de Sata Catara Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,0096 1, ,00 0,012 1, ,00 0,014 1, , ,6019 3,6019% a.t. 3) Fórmula Teclas Vsor Obrservação 0,223 0,223 TDM TDM TDM 0, 223 = 1 + 0, 223 = 0, = 18, 2339% 1 1,00 0,223 0, , ,2339% 262

264 Matemátca Facera 4) 5) Teclas Vsor Observação 1 1,00 0,012 1, ,00 0,009 1, ,00 0,008 1, ,73 263

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