MATQUEST CÔNICAS PROF.: JOSÉ LUÍS I PARÁBOLA 1 Definição - Ddos um ret d e um ponto F, F d, de um plno, chmmos de práol o conjunto de pontos do plno eqüidistntes de F e d. A figur ssim otid é chmd de práol. - Elementos Em um práol, temos os seguintes elementos: F é o foco D é diretriz V é o vértice P é o prâmetro Os: A ret que pss pelo foco F e é perpendiculr à diretriz chm-se eixo ou eixo de simetri. O Ponto V é o ponto médio do segmento FD, isto é, VF = VD. 3- Equções 3.1- Eixo de simetri sore x: y = 4px d: x = p Se: p > 0 concvidde pr direit p < 0 concvidde pr esquerd
3.- Eixo de simetri sore y x = 4py d: y = p Se: p > 0 concvidde pr cim p < 0 concvidde pr ixo Oservções: 1ª) Práol de vértice V(h, k) e eixo de simetri horizontl: Equção: (y k) = 4p(x h) Diretriz: x = h p Foco: F(h + p, k) ª) Práol de vértice V(h, k) e eixo de simetri verticl Equção: (x h) = 4p(y k) Diretriz: y = k p Foco: F(h, k + p) II- ELIPSE 1- Definição - É o conjunto dos pontos de um plno cuj som ds distâncis dois pontos fixos do plno é constnte.
- Elementos Os pontos fixos F 1 e F são os focos d elipse; O ponto O, ponto médio do segmento F 1 F, é o centro d elipse; Os segmentos PF 1 = d e PF = d são chmdos rios vetores do ponto P e su som é igul, isto é, d + d = ; A distânci de F 1 F (F 1 F = c) chm-se distânci focl; Os pontos V 1 e V são chmdos vértices d elipse; O segmento V 1 V = é o eixo mior d elipse; O segmento M 1 M = é o eixo menor d elipse. Oservção: Se o ponto P coincidir com o ponto M 1, temos: = + c 3- Equções 3.1- Eixo mior sore x: x y 1 com > 3.- Eixo mior sore y: x y 1 com >
Oservções: 1ª) Eixo mior d elipse prlelo o eixo x: ( x h ) ( y k ) 1 com > ª) Eixo mior d elipse prlelo o eixo y: ( y k ) ( x h ) 1 com > 3.3- Excentricidde d elipse - Denomin-se excentricidde de um elipse o quociente entre su semidistânci focl e o semi-eixo mior. e = c II- HIPÉRBOLE 1- Definição - E o conjunto dos pontos P do plno tis que diferenç de sus distâncis dois pontos fixos F 1 e F do plno é um constnte positiv e menor que distânci entre esses dois pontos fixos. - Elementos Os pontos F 1 (c, 0) e F (c. 0) são os focos d hipérole. logo. F 1 F = c. A distânci F 1 F = c é chmd distânci focl. O ponto O, médio do segmento F 1 F. é o centro d hipérole. Os pontos V 1 (, 0) e V (-, 0) são os vértices d hipérole, logo. V 1 V =. O Segmento V 1 V é chmdo eixo rel ou eixo trnsverso d hipérole. As coordends de M 1 e M são M 1 (0, ) e M (0, ). logo. M 1 M =. O segmento M 1 M é denomindo eixo imginário ou eixo conjugdo d hipérole. Utilizndo o teorem de Pitágors no triângulo V 1 O M 1, temos: c = +
3- Equções 3.1- Focos sore o eixo x: x y 1 3.- Focos sore o eixo y: y x 1 Oservções: 1ª) Hipérole de centro O(h, k) e eixo rel prlelo o eixo x: (x h) (y k) 1 ª) Hipérole de centro (h, k) e eixo rel prlelo o eixo y: (y k) (x h) 1 3.3- Excentricidde d hipérole e = c
3.4- Assíntots d hipérole As rets r 1 e r que contêm s digonis do retângulo d figur são denominds ssíntots d hipérole. Equção de r 1 Equção de r x y 1 x y 1 1 0 1 0 1 1 y = x y = x Oservção: - Se tivermos =, hipérole é chmd eqüiláter. Nesse cso, s ssíntots são s issetrizes do primeiro e do segundo qudrntes. y = x y = x y = x y = x