V SEMINÁRIO E WORKSHOP EM ENGENHARIA OCEÂNICA Ro Grade, 07 a 09 de Novembro de 01 ANÁLISE NUMÉRICA DA INTERAÇÃO ENTRE ESCOAMENTOS A BAIXOS NÚMEROS DE REYNOLDS E CILINDROS APOIADOS EM BASE ELÁSTICA R.A.Goçalves 1, P.R.F.Texera, E. Dder 3, 4 1 Uversdade Federal do Ro Grade 1, Programa de Pós-Graduação em Egehara Oceâca Aveda Itála, Km 8, Campus Carreros, 9601-900, Ro Grade, RS, Brasl 1 e-mal: rafa.a.g@best.com.br e-mal: paulotexera@furg.br 3 Laboratóro Nacoal de Egehara Cvl, Departameto de Hdráulca e Ambete, Aveda do Brasl, 101,1700-066, Lsboa, Portugal 4 MARETEC, Isttuto Superor Técco, Av. Rovsco Pas, 1049-001, Lsboa, Portugal 3, 4 e-mal: edder@lec.pt RESUMO Neste artgo são apresetadas aálses umércas de feômeos que ocorrem a teração etre escoametos com baxos úmeros de Reyolds e cldros apoados em base elástca. As smulações são realzadas através de um modelo umérco que usa o método sem-mplícto de Taylor-Galerk de dos passos para dscretzar as equações de Naver-Stokes e a formulação Lagrageaa-Euleraa Arbtrára (ALE) para segur o movmeto do cldro. A descrção de movmeto do corpo rígdo é determada através do método de Newmark. Prmeramete, são aalsadas as característcas do processo de geração de vórtce para o cldro fxo. Neste caso, são obtdos os resultados do úmero de Strouhal e dos coefcetes de arrasto e de sustetação para úmeros de Reyolds varado de 90 a 140. Posterormete é realzada a aálse do cldro com suporte flexível (com uma mola e um amortecedor) a dreção trasversal ao escoameto. São estudados o deslocameto do cldro e as frequêcas de vbração, assm como o feômeo de scrozação (lock-) etre o despredmeto de vórtces e a frequêca de vbração. Os resultados umércos são comparados com os obtdos expermetalmete por outros autores. Palavras-chave: Método dos elemetos ftos, cldro osclate, teração fludo-estrutura. 1. INTRODUÇÃO A vbração duzda por vórtces (VIV) é um feômeo ecotrado em város campos da egehara. Destacamse os segutes exemplos: vetos causadores de osclações em potes, edfícos esbeltos, chamés e cabos de trasmssão de eerga; escoametos à altas velocdades que podem duzr movmeto orbtal em tubos teros de um trocador de calor; e as corretes e odas que podem causar vbrações em tubulações. A estera a usate de um cldro crcular causada por um escoameto uforme coduz à uma varedade de feômeos complexos, causado stabldades que aumetam perto da estera. Este caso fo estudado por váras décadas e, hoe em da, o comportameto do escoameto é cohecdo (FredsØe e Sumer, 1997). Para úmero de
Reyolds (Re) até 49, são observadas duas zoas de recrculação estacoáras lgadas à parede do cldro. De 49 a 190, a estera ada é lamar e é composta por duas lhas peródcas escaloadas de vórtces alterados (despredmeto de vórtces de vo Kármá). Para úmeros de Reyolds mas altos (de 190 a 60), a estera tora-se trdmesoal e progressvamete turbuleta. Este regme é segudo pela trasção da camada de csalhameto (até 100), ode essas camadas separam-se e toram-se stáves e, por últmo, a trasção da camada lmte (Re de ordem 10 5 ), que está assocada a uma grade dmução do coefcete de arrasto (drag crss) (Zdravkovch, 1997). Quado os despredmetos de vórtces de vo Kármá ão são claramete vsíves, a freqüêca relacoada a perocdade do escoameto pode ser defda, por exemplo, como uma das flutuações da compoete de velocdade cohecda (Placzek et al., 009). Em mutas aplcações, o cldro oscla e terage com o despredmeto de vórtces. Para osclações forçadas em uma faxa de freqüêca e ampltude, o movmeto do cldro é capaz de cotrolar o mecasmo de stabldade gerado pelo despredmeto de vórtces. Uma das característcas mas teressates desta teração fludo-estrutura é a scrozação (lock-) etre o despredmeto de vórtces e a frequêca de vbração. Feômeos semelhates são observados para VIV (vbração duzda por vórtces), ode o escoameto faz com que a osclação do cldro estea próxmo a sua freqüêca atural, a qual depede da massa, da rgdez e do amortecmeto do cldro. Neste feômeo, que ocorre em uma faxa de velocdade de escoameto, a ampltude de vbração atge um valor máxmo. Este tpo de problema ada é obeto de mutos estudos, prcpalmete para a valdação de modelos umércos de teração fludo-estrutura. Váras aálses umércas podem ser ecotradas a lteratura para uma ampla faxa de úmeros de Reyolds, cludo aquelas baseadas as Equações de Naver-Stokes pela méda de Reyolds (Reyolds Averaged Naver-Stokes - RANS) (Saghafa et al, 003;. Gulmeau e Queutey, 004), que usam a metodologa da smulação de grades escalas (Large Eddy Smulatos - LES) (Breuer, 000; Pasquett, 005; Al-Jamal e Dalto, 004), que apresetam a smulação umérca dreta (Drect Numercal Smulatos - DNS) e os métodos que usam volumes ftos ou aproxmações de elemetos ftos para resolver as equações de Naver-Stokes (Aagostopoulos e Bearma, 199; Nobar e Nareda, 006; Mttal e Kumar, 001). Este trabalho apreseta a smulação umérca de um cldro rígdo, apoado em uma mola e um amortecedor a dreção trasversal ao escoameto, sueto a escoametos com úmeros de Reyolds varado etre 90 e 140. A smulação é realzada utlzado o modelo umérco que usa um método sem-mplícto de dos passos de Taylor- Galerk para dscretzar as equações de Naver-Stokes e a formulação Lagrageaa-Euleraa Arbtrára (ALE) para segur o movmeto do cldro. A descrção de movmeto do corpo rígdo é defda usado o método de Newmark. Nesta aálse é estudado o processo de geração de vórtces, além das forças de sustetação e de arrasto. Os deslocametos do cldro e as freqüêcas de vbração também são aalsados, destacado-se a scrozação (lock-) etre o despredmeto de vórtces e a vbração do cldro.. MODELO NUMÉRICO O modelo umérco é baseado em um esquema partcoado, o qual o escoameto do fludo e a estrutura são solucoados de forma acoplada. Bascamete, a teração fludo-estrutura adotada o códgo cosste os segutes passos: (a) atualzar as varáves do escoameto do state t para t + t, (b) aplcar pressão e tesão vscosa como carga a estrutura; (c) atualzar as varáves da estrutura do state t para t + t; (d) mpor o movmeto do corpo para o escoameto em termos de atualzação do vetor de velocdade e da posção de cotoro. A atualzação das varáves do escoameto cosste das segutes etapas (Texera, 001; Texera e Awruch, 005): a) Calcular a velocdade ão corrgda em t + t/, ode o termo de pressão está o state t, de acordo com a Eq. (1). ~ 1/ U U t f x x p x g w U x (1) ode é a massa específca, p é a pressão, g são as compoetes da aceleração da gravdade, v são as compoetes de velocdade do fludo, w são as compoetes de velocdade de referêca do sstema e é o tesor de tesões vscosas, U, f v v v U (, = 1,). v b) Atualzar a pressão p em t+t, dada pela equação de Posso: ~ 1/ 1 U t p p t () c x 4 x x
ode p p 1 p e = 1,. c) Corrgr a velocdade em t+t/, adcoado o termo da varação de pressão de t para t+t/, de acordo com a equação: U 1 / t p ~ 1/ U (3) 4 x d) Calcular a velocdade em t+t usado as varáves atualzadas as etapas aterores, como segue: U 1/ f 1/ 1/ 1/ 1 p 1/ U t g U w (4) x x x x O método clássco dos resíduos poderados de Galerk é aplcado para a dscretzação espacal das Eq. (1), (), (3) e (4), utlzado um elemeto tragular. Para as varáves os states t + t/ é usada uma fução de forma costate, equato que para as varáves em t e t + t é usada uma fução de forma lear (Texera e Awruch, 001). As compoetes de velocdade vertcas da malha (w ) são calculadas para cada ó a cada state de tempo para dmur as dstorções dos elemetos, matedo as velocdades prescrtas as superfíces de cotoro móves e estacoáras. O algortmo de movmeto da malha adotado este trabalho utlza um procedmeto de suavzação para as velocdades com base estas lhas de frotera. A atualzação da velocdade da malha em um ó do domío é baseada a velocdade da malha dos ós que pertecem às lhas de cotoro. A modelagem dos movmetos de um corpo rígdo mplca o cálculo dos deslocametos e rotações de uma massa hpotétca cocetrada em seu cetro de gravdade. Neste estudo de caso, o movmeto ocorre só a dreção trasversal (um grau de lberdade - GDL) e, cosequetemete, as varáves a serem determadas em cada passo de tempo são o deslocameto, a velocdade e aceleração esta dreção. Portato, para atualzar as varáves da estrutura, o movmeto rígdo do cldro é calculado a cada state, após as varáves do escoameto (pressão e tesão vscosa) ser cohecdas. Para este estudo de caso, é cosderada a equação dâmca de um GDL para a dreção trasversal, como se segue: m y cy ky F (5) ode, y, y e y são a velocdade, a aceleração e o deslocameto trasversas, respectvamete; m é a massa; c é o coefcete de amortecmeto; k é a rgdez e F é a força dâmca. Neste códgo, a Eq. (5) é dscretzada o tempo, usado o método mplícto de Newmark (Bathe, 1996). 3. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS O estudo de caso cosste de um cldro (D = 1.6 x 10-3 m e m = 0.979 kg) sueto a um escoameto uforme da água (massa específca, ρ, e vscosdade, μ, guas a 1000.0kg/m 3 e 1 x 10-3 kg/(ms), respectvamete). O cldro é motado sobre uma mola e um amortecedor a dreção trasversal e fxado a dreção do escoameto. A rgdez da mola, k, é gual a 579N/m, e o coefcete de amortecmeto, c, é gual a 3.5 x 10 - kg/s, resultado em uma frequêca atural do sstema gual à f = 7.016Hz. Prmeramete, fo aalsada a fluêca do tamaho do domío computacoal para um úmero de Reyolds gual a 135, uma vez que os resultados tem forte depedêca com a dstâca do cldro em relação aos cotoros do domío, como á fo costatado por outros autores (Dder, 008; Baray e Lews, 006). Após essa aálse de covergêca, adotou-se um domío retagular com 0.30m de largura e 0.384m de comprmeto, como mostrado a Fg. 1. O cetro do cldro está localzado o cetro do domío a dreção trasversal em relação ao escoameto e a 0.160m a partr do seu lado esquerdo a dreção logtudal. Após, fo realzada uma aálse de depedêca de malha, chegado-se a coclusão de que o úmero de dvsões do cotoro do cldro que proporcoa a melhor relação etre o tempo computacoal e a precsão é de 00. Os tamahos dos elemetos aumetam gradualmete para os lmtes do domío. A malha ão estruturada tem 98143 ós e 59556 elemetos tragulares. Como codções de cotoro, é mposta velocdade costate o lado esquerdo; as paredes superor e feror, é mposta uma codção de ão deslzameto; o cotoro do lado dreto é mposta a pressão ula. O passo de tempo usado para as smulações é de 5.0 x 10-5 s.
Fgura 1. Domío umérco. Prmeramete, é aalsado o comportameto do escoameto cosderado o cldro fxo. Especfcamete, são apresetadas este trabalho as característcas de escoameto em Re.=.105 (velocdade do escoameto U.=.6.565 x 10 - m/s). A Fgura 4 mostra os vetores de velocdade em ove states, ao logo um período de formação de vórtce. A formação dos vórtces é claramete observada, mostrado duas regões dferetes à usate do cldro, ode ocorre a separação do escoameto. Nota-se que, equato que o vórtce superor gra um setdo, o vórtce oposto gra em setdo oposto. t=.9858s t=3.003s t=3.006s t=3.0380s t=3.0554s t=3.078s t=3.090s t=3.1076s t=3.150s Fgura. Vetores de velocdade em ove states ao logo de um período de formação de vórtces.
As forças de arrasto e de sustetação, obtdas pela smulação umérca, sobre o cldro para Re = 105 são mostradas a Fg. 3. Observa-se que, após varações cas de grade magtude, a força de arrasto (F D ) apreseta uma pequea varação em toro do valor médo de 4.5 x 10-3 N. A força de sustetação (F L ) mostra um comportameto peródco que establza com ampltude gual a 1. x 10-3 N e frequêca gual a f = 6.88Hz, devdo ao despredmeto de vórtces. (a) (b) Fgura 3. Forças de arrasto (a) e sustetação (b) para cldro fxo com Re = 105. A Fgura 4 mostra uma comparação etre os úmeros de Strouhal (St = f D/U) obtdos por resultados umércos (ode f é gual à frequêca de despredmeto de vórtces) e pelos resultados de Wllaso (Wllaso, 1989), baseados em dados expermetas para Re de 90 a 140. Os úmeros de Strouhal obtdos umercamete tem boa cocordâca com os expermetas, pos a dfereça méda é de apeas 0.03%. A méda do coefcete de arrasto (C D ) e a méda quadrátca (Root Mea Square - RMS) do coefcete de sustetação (C L ) para a mesma faxa de Re são mostrados as Fg. 5 e 6, respectvamete. Estes valores são comparados com aqueles obtdos por Poldzech e Grudma (007) e Baray e Lews (006), respectvamete. Os prmeros autores usam um método de elemeto espectral equato que os outros usam o método deomado de Grd based. A méda das dfereças etre os resultados obtdos por este estudo e por esses autores são de 0.8% e 0.% em relação ao C D e C L, respectvamete. É mportate mecoar que a boa precsão dos valores obtdos para St e C L mostra a capacdade do modelo em reproduzr adequadamete as forças mpostas sobre a estrutura o processo de teração fludo-estrutura.
Fgura 4. Relação etre o úmero de Strouhal e úmero de Reyolds. Fgura 5. Relação etre o coefcete de arrasto médo (C D ) e úmero de Reyolds. Fgura 6. Relação etre coefcete de sustetação RMS (C L ) e úmero de Reyolds. Após a aálse cosderado o cldro fxo, é estudada a teração etre o cldro apoado sobre uma fxação elástca a dreção trasversal e os escoametos a város úmeros de Reyolds (de 90 a 140). A Fgura 7 mostra a relação etre a ampltude (Y) da osclação do cldro e o seu dâmetro (D) em fução do úmero de Reyolds (90 a 140). A Fgura 8 mostra a relação etre a frequêca de vbração e a frequêca atural (f/f ) em fução do úmero de Reyolds. Os resultados umércos mostram que o feômeo de scrozação (lock-) fo captado para úmeros de Reyolds etre 10 e 113. Isto é observado devdo ao aumeto da ampltude e a gualdade etre as frequêcas de vbração e a frequêca atural do sstema. Fora da regão de scrozação, as ampltudes são muto pequeas e as frequêcas de vbração se afastam mas da freqüêca atural. As dfereças ecotradas etre as ampltudes expermetas (Aagostopoulos e Bearma, 199) e as umércas o tervalo de úmero de Reyolds da regão de
scrozação, também foram observados por Dettmer e Perc (006). Estes autores usaram um modelo que emprega a técca dos elemetos ftos com acoplameto pressão-velocdade establzado e de baxa ordem, uma formulação lagrageaa-euleraa e o método de dscretzação mplícto geeralzado para o movmeto de corpo rígdo. De acordo com os autores, essas dfereças podem ser explcadas comparado o domío e as codções de cotoro cosderados a smulação umérca, com a stuação real da experêca, desevolvda por Aagostopoulos e Berma (199). Equato a modelagem computacoal cosdera-se um domío bdmesoal, o expermeto é realzado em um caal de 0.70m de profuddade e o cldro crcular é composto de uma barra submersa até 0.1m de profuddade. A falta de uma placa horzotal a extremdade do cldro submerso e a fluêca da superfíce lvre cotrbu para o desevolvmeto de um escoameto trdmesoal, ao cotráro do que é suposto umercamete. Fgura 7. Relação etre ampltude (Y/D) e úmero de Reyolds. 4. CONCLUSÕES Fgura 8. Relação etre frequêca de vbração (f/f ) o úmero de Reyolds. Neste trabalho, foram apresetadas aálses umércas de feômeos que ocorrem a teração etre escoametos a baxos úmeros de Reyolds e cldros apoados sob base elástca. O modelo umérco usa o método mplícto de Taylor-Galerk de dos passos adotado um elemeto tragular e uma formulação ALE. Após aálses da fluêca do tamaho do domío e do elemeto, fo defda a malha de elemetos ftos. Para o cldro fxo, fo aalsado o comportameto de formação de vórtce, observado-se que, equato um vórtce gra um setdo, o outro vórtce gra setdo oposto. Os úmeros de Strouhal, os coefcetes de arrasto médo e de sustetação RMS para úmeros de Reyolds varado de 90 a 140 foram comparados com os obtdos por outros autores, ecotradose valores muto semelhates. O feômeo de scrozação fo observado para Reyolds de 10 a 113, caracterzado pelo aumeto sgfcatvo da ampltude de vbração, ustfcado pela aproxmação da frequêca de vbração com a frequêca atural do sstema. As ampltudes e as freqüêcas de vbração foram comparadas com os resultados expermetas e algumas dfereças podem ser ustfcadas pela preseça de efetos trdmesoas exstetes os expermetos e que ão são cosderados a smulação umérca.
5. AGRADECIMENTOS O prmero autor agradece a bolsa de pós-graduação da CAPES. O segudo autor agradece o suporte do Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco - CNPq através do proeto 303308/009-5. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Al-Jamal, H., ad Dalto, C. Vortex duced vbratos usg large eddy smulato at a moderate Reyolds umber. Joural of Fluds ad Structures, 19(1): 73-9, 004. Aagostopoulos, P., ad Bearma P.W. Respose characterstcs of a vortex-excted cylder at low Reyolds umbers. Joural of Fluds ad Structures, 14(6): 39-50, 199. Baray, L., Lews R.I., Comparso of grd-based ad vortex dyamcs predctos of low Reyolds umber cylder flows, Aeroaut. J., 110, 63-71, 006. Bathe, K.J. Fte elemet procedures. Pretce-Hall, 1996. Breuer M.. A challegg test case for large eddy smulato: hgh Reyolds umber crcular cylder flow. Iteratoal Joural of Heat Flud Flow, 1(5): 648-654, 000. Dettmer, W., ad Perc, D. A computatoal framework for flud-rgd body teracto: Fte elemet formulato ad applcatos. Computer Methods Appled Mechacs ad Egeerg, 195: 1633-1666, 006. Dder, E. Covergêca assmptótca das quatdades fudametas a modelação umérca do escoameto em toro de um cldro crcular, II Coferêca Nacoal de Métodos Numércos em Mecâca de Fludos e Termodâmca. Lsboa (008), Uversdade de Avero. FredsØe, Jorge; Sumer, B. Mutlu. Hydrodyamcs Aroud Cyldrcal Structures. Volume 1. Sgapore: World Scetfc Publshg Co. Pte. Ltd. 1997. 530 p. ISBN 981-0-898-8. Gulmeau, E., ad Queutey, P. Numercal smulato of vortex-duced vbrato of a crcular cylder wth low mass dampg a turbulet flow. Joural of Fluds ad Structures, 19: 449 466, 004. Mttal, S., ad Kumar, V. Flow-duced vbratos of a lght crcular cylder at Reyolds umbers, J Soud Vbr., 5(45): 93 46, 001. Nobar, M.R.H., ad Nareda H. A umercal study of flow past a cylder wth cross flow ad le oscllato. Computers of Fluds, 35(4):393 415, 006. Pasquett R. Hgh-order methods for the umercal smulato of vertcal ad turbulet flows hgh-order LES modelg of turbulet compressble flow. Comptes Redus Mécaque, 333(1): 39-49, 005. Placzek, A., Sgrst J-F., ad Hamdou, A. Numercal smulato of a oscllatg cylder a cross-flow at low Reyolds umber: Forced ad free oscllatos. Computer & Fluds, 38:80-100, 008. Poldszech, O., Grudma, R., A systematc approach to the umercal calculato of fudametal quattes of the two-dmesoal flow over crcular cylder, Joural of Fluds ad Structures 3 (007) 479 499. Saghafa M., Stasby, P.K., Sad, M.S., ad Apsley, D.D. Smulato of turbulet flows aroud a crcular cylder usg olear eddy-vscosty modelg: steady ad oscllatory ambet flows. Joural of Fluds ad Structures, 15(1): 113-136, 003. Texera, P.R.F. Smulação umérca da teração de escoametos trdmesoas de fludos compressíves e compressíves e estruturas deformáves usado o método de elemetos ftos, Porto Alegre, Doctoral Thess, PPGEC-UFRGS, 001. Texera, P.R.F., ad Awruch, A.M. Numercal smulato of flud-structure teracto usg the fte elemet method. Computers & Fluds, 34: 49-73, 005. Texera, P.R.F., ad Awruch, A.M. Three dmesoal smulato of hgh compressble flows usg a mult-tmestep tegrato techque wth subcycles. Appled Mathematcal Modellg, 5: 613-67, 001. Wllaso, C. H. K., Oblque ad parallel models of vortex sheddg the wake of a crcular clyder at low Reyolds umbers, Joural of Flud Mechacs, 06, 579-67, 1989. Zdravkovch, M. M. Flow aroud crcular cylders. Volume 1. New York: Oxford uversty press. 1997. 67 p. ISBN 978-0-19-856396-9. 7. AVISO DE RESPONSABILIDADE Os autores são os úcos resposáves pelo materal mpresso cluídos este artgo.