3 Referencial eórico 3.1. Teoria das Opções Reais As opções reais propiciam uma análise das flexibilidades caracerísicas de deerminado projeo para que, conforme esa análise, um gerene enha um insrumeno de omada de decisões a respeio dos seus aivos reais. Assim, com o surgimeno de novas informações, as incerezas sobre os fluxos de caixa vão sendo reduzidas, pois poderão ser modeladas aravés de processos esocásicos 1 e, porano, os adminisradores poderão omar decisões que impacem posiivamene no valor final de um projeo. Há de se desacar que, cada vez mais, os negócios globais incorporam diversos faores de risco, sejam eles variáveis macroeconômicas, sejam ainda aqueles relaivos às incerezas do empreendimeno e/ou do seu seor, ais como as variações de demanda e as fluuações nos preços das commodiies. Neses ambienes de negócios, desenham-se, porano, uma gama de siuações relaivas a diversos cenários, os quais deverão ser modelados e raados. Nese senido, busca-se um criério de escolha para se omar a melhor decisão com base nas caracerísicas dos empreendimenos. Conforme Dias (014): Opção real é o direio, mas não a obrigação, que um agene possui quando oma decisões sobre um aivo real. Ou seja, opção é o oposo de obrigação, opção é liberdade de escolha, er opção é er flexibilidade de escolha na omada de decisão. A Teoria das Opções Reais (TOR) objeiva, aravés de meodologias que envolvem processos deerminísicos e/ou esocásicos, a mensuração do valor agregado proveniene das flexibilidades para exercício ou não, decorrenes dos movimenos e/ou oscilações que ocorrem em relação aos aivos reais das organizações. A avaliação pela TOR surge da necessidade de as empresas erem 1 Processo esocásico é o que, no decorrer do empo, segue um caminho aleaório, de acordo com as suas disribuições de probabilidades.
34 uma ferramena de avaliação mais robusa para modelagem das incerezas dos negócios (com a uilização de processos esocásicos e simulações), sendo esa uma alernaiva mais apropriada em relação aos modelos deerminísicos radicionais de descono de fluxos de caixa. A TOR é especialmene imporane para análise econômica de projeos e decisões de invesimeno sob incereza. Trigeorgis (1996) afirma que, geralmene, os modelos deerminísicos radicionais desconsideram as flexibilidades gerenciais, sendo, porano, modelos esáicos, pois as escolhas gerenciais associadas aos projeos avaliados por esas meodologias limiam-se às variáveis iniciais, ou seja, não há qualquer simulação de dados e análise das incerezas inrínsecas aos projeos. Os modelos esocásicos, presenes nas Opções Reais, inferem sobre os faores esruurais e/ou conjunurais de deerminados evenos do mercado, os quais podem, conforme uma disribuição de probabilidades, alerarem o valor de um projeo no decorrer do empo. Assim, a TOR oferece um raameno apropriado para flexibilidades de expansão, conração, abandono ou adiameno de um projeo de invesimeno. De acordo com a TOR, deve-se, primeiramene, verificar a quesão da reversibilidade dos invesimenos, ou seja, se ele é reversível em ouro ipo de invesimeno ou se é compleamene irreversível. Uma quesão que se faz sempre presene na TOR é a escolha do melhor momeno para realização de um invesimeno, cuja opção pode ser agora exercida ou ainda adiada por um cero período. No plano de negócios de uma empresa, a aplicação da TOR apresena um caráer esraégico, na medida em que as opções esraégicas e o conjuno de suas flexibilidades são avaliados com simulações a parir de diversos cenários. Desa forma, evidencia-se que a esraégia empresarial, por esar inserida em um ambiene de negócios dinâmico e não esáico, deve uilizar, o quano possível, das ferramenas da TOR para definição dos seus principais ponos (TRIGEORGIS, 1996). Conforme Neo e Bekman (009), esraégia, sob a óica quaniaiva, pode ser visa como um conjuno de regras de procedimeno a serem adoadas em cada uma das siuações possíveis de ocorrer durane um processo decisório qualquer. As esraégias podem considerar análises deerminísicas e/ou esocásicas.
35 Segundo Copeland & Anikarov (001), uma Opção Real em mais valor quano maior a incereza (probabilidade de receber nova informação relevane) e quano maior a flexibilidade (capacidade de reagir às mudanças de cenários). A Figura 3, baseada em Copeland & Anikarov (001), ilusra essa colocação. Figura 3 - Valor da Flexibilidade: Incereza e Capacidade de Reagir Fone: Copeland & Anikarov (001). 3.1.1. Tipos de opções As Opções subdividem-se em Reais ou Financeiras. O raameno das Opções Reais deriva-se dos raamenos desenvolvidos para avaliar as Opções Financeiras, pois o conceio de Opções desenvolveu-se primeiramene no mercado financeiro. Poseriormene, uilizou-se ese conceio para avaliação de aivos fixos e/ou projeos empresariais. Conforme Dias (014), levando-se em cona a vasa lieraura aual de Opções Reais, pode-se dizer que os seus ipos mais analisados são: Opção de espera: aguarda melhores condições de mercado ou novas informações e aprende para depois invesir; Opção de expansão ou de crescimeno: mensura os componenes esraégicos do projeo com uma abordagem quaniaiva; e Opções de parada emporária e de abandono: corresponde a não obrigaoriedade de se seguir um plano de negócios (no odo ou em pare), caso ele deixe de ser lucraivo.
36 Dias (014) propõe uma versão mais abrangene dos ipos de Opções Reais, expliciada na Figura 4. Figura 4 - Classificação dos Tipos de Opções Reais Fone: Dias (014). Embora conceiualmene parecidas, as principais diferenças enre as Opções Financeiras e Reais são: As Opções Financeiras são negociadas no mercado financeiro e são, geralmene, de curo prazo, nunca apresenando valores negaivos, enquano as Opções Reais podem aé serem perpéuas e apresenarem valores negaivos. As Opções Reais apresenam maior complexidade que as Opções Financeiras, pois apresenam uma maior quanidade de variáveis de incereza. Além disso, não são negociadas direamene no mercado financeiro, relacionando-se muias vezes à avaliação de projeos de invesimeno de capial.
37 Uma Opção Financeira define-se com um derivaivo, ou seja, é um aivo cujo valor depende de um ouro aivo, denominado aivo básico ou subjacene. Uma Opção Financeira é um conrao que dá ao seu iular o direio de exercer ou não o direio de comprar (vender) o aivo subjacene, podendo ser ela de compra (call opion) ou de venda (pu opion). Na opção de compra do ipo europeu é concedido o direio de comprar o aivo subjacene em uma cera daa, por deerminado preço. Na opção de venda do ipo europeu é dado o direio de vender o o aivo subjacene em uma cera daa, por um deerminado preço. O preço do conrao é chamado preço de exercício, que pode ser exercido de duas formas: a) somene na daa de expiração (opção europeia); e b) em qualquer daa aé a expiração (opção americana), ou seja, nesa modalidade exise a opção de exercício anecipado, que a opção europeia não apresena. As opções ambém se sudvidem em dois grandes grupos: a) opções em empo discreo para as variáveis discreas (conáveis); e b) opções em empo conínuo para as variáveis conínuas (inconáveis). Para deerminação do valor, ano de opções de compra como de venda, as seguines variáveis básicas devem ser esabelecidas: Preço do aivo básico ou subjacene (S): é o preço de mercado, em um dado momeno, em relação ao aivo da opção de compra ou venda; Preço de exercício (K): é o preço pelo qual em-se o direio de comprar (no caso de um opção de compra) ou de vender (no caso de uma opção de venda) o aivo objeo da opção. Assim, considerando C T o valor de compra de uma opção na daa de vencimeno T, e S T o preço do aivo objeo nessa daa, a opção de compra apresena a seguine função de remuneração: C MaxS K;0 em valor quando ST K. T. Esa opção só Analogamene, em-se que, para uma opção de venda, com P T como o valor de venda da opção na daa de vencimeno T, verifica-se a seguine função de remuneração: P MaxK S quando S T K.. Nese caso, a opção em valor apenas T T ;0 T
38 A opção de compra é muio usada na analogia de uma Opção Real de invesir em um aivo, ressalvado o fao de que os aivos subjacenes a esas opções seguem deerminados processos esocásicos. Segundo Trigeorgis (1996), a flexibilidade de produção de um insumo passa a er um valor agregado mais significaivo, conforme os inpus e/ou oupus sejam inceros, no âmbio de simulações esocásicas. Na análise pela TOR, desaca-se ainda que um aivo com volailidade muio baixa não deverá sofrer grandes alerações no seu preço fuuro, o que significa um pequeno risco na negociação dese aivo. Assim, um aivo com grande volailidade deverá sofrer significaivas mudanças no seu preço ao longo do empo. A volailidade é uma medida das oscilações pelas quais passa um aivo subjacene no decorrer do empo e pode ser definida como o desvio padrão dos reornos dos logarimos naurais deses aivos. Para melhor enendimeno das formas de precificação das opções e modelagem do comporameno esocásico das variáveis inceras, serão apresenados, no iem 3., os principais processos esocásicos uilizados em finanças. Conforme Dias (014), a Figura 5 a seguir resume os diversos Méodos de Solução de Opções Reais, denre os quais ese rabalho uilizará o da Simulação de Mone Carlo para Opções Reais (OR) Europeias e o Modelo Binomial. Figura 5 - Méodos de Resolução de OR Fone: Dias (014).
39 Ouro aspeco que merece desaque em Opções Reais é que há uma relação insrínseca enre o valor de uma opção e o gailho ou regra de decisão, que * explicia o valor críico da opção ( V ), ou seja, o valor a parir do qual se deve exercer uma opção. Graficamene, é um valor que se enconra acima do breakeven (VPL=0) e abaixo do pono máximo do VPL. Quando uma opção de valor V esá deep-in he money, enão seu valor é igual ao VPL decorrene do * exercício imediaov V. Caso conrário, deve-se esperar. Conforme Dias (014), a TOR considera as incerezas e as opções (flexibilidades gerenciais) relevanes, respondendo a duas quesões esraégicas para as empresas: a) o valor da oporunidade de invesimeno (valor da opção); e b) a regra de decisão óima (gailho). As Opções Reais ensejam escolhas ípicas de problemas de oimização, como, por exemplo, a maximização da função objeivo VPL, calculada aravés de escolhas aderenes a um gerenciameno óimo das flexibilidades gerenciais, sujeias a resrições gerenciais ou legais e a incerezas écnicas e de mercado. No escopo da análise radicional, recorre-se frequenemene à meodologia do FCD (Fluxo de Caixa Desconado), a qual esabelece procedimenos para o cálculo do VPL aravés do descono dos fluxos de caixa esperados a uma axa ajusada ao risco de mercado do projeo ( ). Em empo discreo, em-se a seguine relação, sob a óica da expecância: VPL N K 0 1 E FC sendo: N o número de períodos e EFCK o valor esperado do fluxo de caixa K K, líquido em cada período K. Em empo conínuo uiliza-se e k descono. como faor de 3.. Processos esocásicos Processo esocásico é o que, no decorrer do empo, segue um caminho aleaório, de acordo com as suas disribuições de probabilidades (leis com propriedades probabilísicas). Consise em uma sequência de evenos regidos por esas disribuições.
40 As variáveis esocásicas são, normalmene, denoadas com (~) para se desacar que não seguem processos deermísicos, al como denoado pela seguine variável:, definida por sua disribuição de probabilidades no decorrer de um empo (). Um processo esocásico Y, a parir de uma variável, pode ser assim denoado:, represenando, assim, um conjuno de variáveis aleaórias definidas para um mesmo espaço de probabilidade. As variáveis esocásicas possuem um ermo que represena uma média esperada (ermo drif) e um ermo aleaório ou variável (ermo de volailidade). Um processo esocásico pode ser em empo discreo ou em empo conínuo, conforme apresene variável discrea (T conjuno conável) ou conínua (T conjuno inconável), respecivamene. Em relação aos seus parâmeros, os processos esocásicos podem ser ainda classificados como: Esacionários quando as propriedades esaísicas (média e variância) das variáveis são consanes ao longo do empo; Não-esacionários quando o valor esperado pode crescer indefinidamene. A maioria dos problemas reais modelam-se aravés de processos esocásicos em empo conínuo. Conudo, os processos em empo conínuo, que demandam de écnicas de resolução mais avançadas, podem ser aproximados aravés de modelos discreos, ais como o modelo binomial. Como exemplos de variáveis esocásicas emos os preços e as quanidades demandadas de ceras commodiies, como o peróleo e a celulose. Considerando a avaliação por Opções Reais, objeiva-se a correa modelagem das variáveis esocásicas e faores de risco envolvidos na avaliação. Conforme Dias (014), os processos esocásicos mais relevanes para aplicações às finanças são: Movimeno Geomérico Browniano (MGB); o Movimeno de Reversão à Média (MRM); e o Movimeno de Salos ou Processo de Poisson. Segundo Basian-Pino (009), os processos de reversão à média são uilizados, geralmene, para modelagem do comporameno de commodiies, ais como a celulose, objeo dese rabalho.
41 Ressala-se que, ao conrário do MGB, o MRM é um processo que não apresena uma axa de crescimeno consane, endo em visa o seu comporameno reversivo em direção à média. Nas seções a seguir serão apresenados os Processos de Markov, de Wiener e de Iô, pois eses conêm premissas necessárias ao enendimeno dos processos esocásicos mais relevanes em finanças, e o uilizado nesa disseração (MRM). 3..1. Processo de Markov Processo de Markov é um ipo de processo esocásico no qual apenas o valor correne de uma variável é relevane para prever seu valor fuuro ( processo sem memória ). Porano, a esimaiva para o insane seguine é feia unicamene com base na úlima informação disponível, e não no hisórico (Dixi&Pindyck, 1994). Assim, por exemplo, de acordo com ese processo, o preço aual de uma ação pode sineizar odo o seu hisórico de preços. Nese senido, o caminho seguido por uma variável esocásica não apresena nenhuma relevância, de maneira que ese conceio pode ser expresso, em ermos probabilísicos, aravés da seguine relação maemáica: 3... Processo de Wiener O processo de Wiener ou Movimeno Browniano, um dos processos esocásicos mais uilizados em Finanças, é um caso paricular do processo de Markov. É um processo em empo conínuo e possui rês propriedades básicas: Traando-se de um processo markoviano, necessia, para previsão do valor fuuro de uma dada variável, apenas da disribuição de probabilidades do valor aual desa variável; As variações dos inervalos de empo são independenes enre si, ou seja, ese processo possui incremenos independenes;
4 Esando em empo conínuo e em um inervalo de empo finio, segue uma Disribuição Normal com parâmeros dependenes apenas do inervalo de empo considerado. Considerando quez()segue um Processo de Wiener, enão qualquer variação de z ( z ) em um dadoinervalo,obedeceàsseguinescondições: E[, ] = 0, para odo s. s Porano, como z segue uma Disribuição Normal, emos: Média: E( z ) = E( ) =.E( ) = 0; e Variância: Var( z ) = Var( ) =. Var( ) =.1 =. Um Processo de Wiener Generalizado (Movimeno Browniano com drif) apresena a seguine equação esocásica em empo conínuo, conforme Dixi& Pindyck (1994): dx d dz (1), Porano, como e são consanes e dx segue uma disribuição normal, emos os seguines parâmeros: Média: E[ dx ] = E[ d dz ] = E[ d ] + E[ dz ] = =. E[ d ] +. E[ dz ] = d +.0 = d Variância: Var[ dx ] = E[( dx - E( dx )) ] = E[( dx - d ) ] = = E[( d dz - d ) ] = E[( dz ) ] = dz = d. Dias (014), denomina ainda ese processo como Movimeno Ariméico Browniano (MAB).
43 3..3. Processo de Iô Segundo Dixi& Pindyck (1994), o processo de Iô, conhecido como Movimeno Browniano Generalizado, possui a seguine equação esocásica em empo conínuo, análoga à Equação 1: dx a( x, ) d b( x, ) dz (), onde: x= valor da variável aleaória no insane ; d = variação insanânea do empo; a(x, ) = endência insanânea do Processo de Iô; b (x, ) = volailidade para dx no insane ; dz = incremeno de Wiener, com média zero e variância d. O processo de Iô possui as seguines propriedades esaísicas, com demonsrações análogas às da seção 3.., como segue: E[ dx ] = axd (, ) Var[ dx ] = b ( x, d ) 3..4. Movimeno Geomérico Browniano (MGB) OMovimenoGeoméricoBrowniano(MGB)é um caso paricular do processo de Iô.Normalmene,éuilizadoparamodelarpreçosdeações, e alguns preçosde produoseaivos financeiros em geral. No MGB, verifica-se uma endência de disanciameno do seu pono de parida original, não sendo esa uma caracerísica desejável para os preços de commodiies em geral. A sua equação esocásica para uma variável X em um dado inervalo de empo conínuo, d, é represenada por: dx Xd Xdz ou dx d dz (3), onde: X X = valor da variável aleaória no insane ; = drif; d = variação insanânea do empo; = volailidade; dz = incremeno de Wiener.
44 O MGB é um processo conveniene para variáveis com crescimeno exponencial, axa média e volailidade consane. Possui as seguines propriedades esaísicas: E[ X () ] = X 0 e Var[ X () ] = 0 ( e 1) X e A Figura 6 apresena uma visão inuiiva sobre o MGB: Figura 6 - Gráfico Inuiivo sobre o MGB Fone: Dias (014). No MGB pode-se verificar uma endência de crescimeno ou de queda exponencial. Conforme a Figura 6, os preços seguem, no decorrer do empo, uma Disribuição Lognormal. Segundo Basian-Pino (009), o MGB não é o méodo mais conveniene para projeos que dependamdepreços geralmene siuados em orno de uma média de longo prazo (para a maioria das commodiies não financeiras o MGB não é o méodo mais adequado), pois o MGB pode resular, neses casos, em valores demasiadamene elevados. O primeiro passo para se proceder à simulação de um processo esocásico consise em se ober uma equação discreizada, a qual é represenaiva do processo esocásico em quesão, escrevendo-se X em função de X -1, dado um (inervalo de empo enre as observações do processo esocásico).
45 No caso paricular do MGB, a equação discreizada é, conforme Dias (014): X X 1 exp. N(0,1) (4) Considerando um processo neuro ao risco 3, subsrai-se o valor do prêmio de risco ( ) do valor do drif (Dias, 014): X X 1 exp. N(0,1) (5) É imporane ressalar que, para simulação dos preços fuuros de X, deve-se buscar uma fórmula recursiva para o MGB. Dias (014), sugere a uilização de logarimos neperianos para melhor se analisar o comporameno de uma série de preços a serem simulados. Assim, considerando X ln( ) e ainda aplicando esa relação na Equação x (4) para fins de paramerização da equação esocásica discreizada, verifica-se a seguine igualdade: ln( x) ln( x 1). N(0,1) Nese processo esocásico, emos: A variância pode ser medida aravés da seguine relação maemáica: Var[ ln( x) ln( x 1) ] = Var[. N(0,1) ] = Com a relação anerior, em-se que e a volailidade obedece a seguine relação: ln Var ln x x 1 E[ ln( x) ln( x 1) ] = E = Eln x ln x 1 O drif é (6) 3 Um processo é neuralizado ao risco, alerando-se a sua endência aravés da uilização de um drif neuro ao risco.
46 3..5. Movimeno de Reversão à Média (MRM) O Movimeno de Reversão à Média (MRM), em linhas gerais, é um processo markoviano no qual a direção, a inensidade e a volailidade de uma variável esocásica dependem, basicamene, do seu pono aual em uma série de dados. No caso das commodiies aderenes ao modelo MRM, observa-se, no longo prazo, que o seu preço aual deve reverer a uma média de equilíbrio de mercado (preço médio de longo prazo). Conforme o MRM, se o preço da celulose, por exemplo, esiver em um pono superior ou inferior ao pono de equilíbrio (preço médio de longo prazo), as forças de mercado agirão para que os preços reornem ao seu nível de equilíbrio. Ese raciocínio apresena basane similaridade ao da lógica microeconômica, presene no balanço da lei de ofera e demanda. Dias (014), ressala, ainda, que os mecanismos de mercado possuem uma força de reversão análoga à verificada em uma mola: a força de reversão é mais fore quano mais longe esiver um deerminado preço do seu nível de equilíbrio." O MRM é um caso paricular do Processo de Iô. Conforme desenvolvido por Dixi&Pindyck (1994), em-se a seguine equação do MRM (Equação 7) para o processo de faor único de Ornsein-Uhlenbeck 4 (MRM de O-U): dx X X d dz (7), onde: X = logarimo neperiano (ln) da variável esocásica x (X = ln(x)) = velocidade de reversão à média de longo prazo da variável esocásica x X = ln da média de longo prazo da variável esocáica x X ln x = volailidade da variável esocásica x; dz = incremeno de Wiener(possui média zero e variância d). 4 Ese modelo é o mais simples denre os modelos de MRM, pois facilia o enendimeno do comporameno da variável esocásica ao se analisar, como uma nova variável esocásica, o seu logarimo neperiano. Também é conhecido como Movimeno Ariméico de Reversão à Média.
47 A maior pare dos especialisas argumena que, para a grande maioria das commodiies, é melhor uilizar modelos de MRM do que MGB para simular os seus preços. Conudo, muias vezes a velocidade de reversão é baixa e a idenificação de modelos aderenes ao MRM em séries emporais apresena algumas dificuldades. Porano, conforme os eses esaísicos que serão visos poseriormene, não é rivial a rejeição da hipóese de que os preços seguem um MGB. A Figura 7 apresena uma visualização da ideia geral do MRM, aneriormene discuida, mosrando as propriedades dese processo esocásico, considerando que, para uma série de preços, cuja variável esocásica é P (x = Ln[P]), verifica-se um modelo de MRM de O-U com as seguines disribuições de probabilidade: Figura 7 - Gráfico Inuiivo sobre o MRM. Fone: Dias (014). Como verificado na Figura 7, para se aingir o nível de equilíbrio P, as curvas de preços podem ser crescenes ou decrescenes, dependendo apenas do fao de o preço correne P0 esar abaixo ou acima de P. Verifica-se ambém que os preços seguem uma Disribuição Lognormal e possuem comporameno assinóico. Porano, x x ln[p] P e, o que garane preços sempre com valores posiivos. No MRM, quano maior a disância da variável esocásica X do seu valor esperado X, mais provável é que ela reorne a ese nível X.
48 Segundo Dixi & Pindyck (1994), para o MRM, no insane T verificam-se as seguines relações para os parâmeros: [ ] 0 T [ ] 1 EX X X X e T Var X e Com base nesas propriedades e para valores muio elevados de TT, observa-se que o valor esperado converge para a média de longo prazo X, e a variância para. Ressala-se que a variância do MRM difere daquela do MGB, pelo fao desa úlima ser ilimiada. Merece desaque ainda o conceio de half-life (meia vida da reversão), uilizado para mensuração da lenidão de um processo esocásico em um modelo de MRM. Sejam H a meia vida, objeo da avaliação gerencial, e a velocidade de reversão, emos a seguine relação (DIAS, 014): H ln Para simulação do MRM, considerando um esipulado, deve-se ober a equação discreizada, a qual sempre apresena, no modelo esocásico, uma relação recursiva, ou seja, é uma relação que raduz X em função de X -1. Considerando a seguine relação enre as Disribuições de Probabilidade das variáveis esocásicas xx 0e X:,em-se a Equação (8), que segue o MRM para X em empo discreo (Dias, 014): 1 e X X 1e X 1 e N(0,1) (8) Para simulação de uma variável esocásica x ~ Lognormal, considerando E x expe X e ambém a combinação da Equação 8 com a relação x exp X 0,5.Var X discreizada: x, obém-se, porano, a seguine equação ln x e ln x(1 e ) 1 exp 1 e (9) (1 e ) N(0,1) 4
49 As discreizações, presenes nas Equações (8 e 9), são independenes do inervalo de empo considerado. Na equação (9), o primeiro e o segundo ermos demonsram a endência, por exemplo, de uma série de preços x, sendo eses ermos, respecivamene, o valor inicial x 1 e a média de longo prazo x. O erceiro ermo represena o ajuse do nível de convexidade (ou de não linearidade) de uma série hisórica de preços, para capurar os efeios não lineares desa série na variável esocásica x. Esas rês primeiras parcelas são deerminísicas, conudo, a quara é esocásica, caracerizada pela Disribuição Normal Padrão, aravés da qual podem ser realizadas as simulações esocásicas, como a de Mone Carlo. Esa inerpreação dos ermos da Equação (9) é análoga à inerpreação dos ermos da Equação (8), ressalvado o fao de que esa úlima não apresena a parcela relaiva ao ajuse de convexidade. Ambas as Equações (8 e 9) podem ser reescrias, considerando-se um ambiene neuro ao risco. Levando-se em cona ese ambiene e, conforme Dias (014), das médias de longo prazo ( X eln x, respecivamene), subrae-se um prêmio normalizado r, sendo a axa ajusada ao risco e r a axa livre de risco. Assim, em uma abordagem neura ao risco 5, emos as equações (10 e 11) a seguir, obidas aravés do ajuse já descrio, realizado, respecivamene, nas Equações aneriores (8 e 9): r 1 e X X 1e X 1 e N(0,1) r lnx1e ln x (1 e ) x exp (11) 1e (1 e ) N(0,1) 4 (10) 5 Neuralidade ao risco não pode ser enendida como risco ignorado. Conrariamene ao conceio de aversão ao risco, segue um modelo que em como premissa básica a ausência de arbiragem. Traa-se de um arifício maemáico que permie usar a axa livre de risco como axa de descono.
50 Para discreização no MRM, primeiramene devem ser calculados os parâmeros da Equação 7: volailidade ( ), velocidade de reversão à média ( ) e média de longo prazo X ln x, valores eses que deverão ser aplicados nas Equações (8, 9, 10 e 11), de modo que as equações esocásicas esejam pronas para serem objeos de simulações esocásicas. Quando, por exemplo, considera-se uma série hisórica de preços e deseja-se esimar os parâmeros:, e X, geralmene, uiliza-se a regressão linear sobre esa série, pois, com ese ferramenal esaísico, reduz-se o erro quadráico médio. Conforme Basian-Pino (009) e Dias (014), e considerando que, no insane T, [ ] 0 E X X X X e T, e que deerminada rajeória segue um MRM em empo discreo, verifica-se, porano, a seguine relação: 1 X X X X e X e X e 1 1 Para realização da regressão linear, considera-se o erro da série e subrai-se de X 1 os dois membros da relação anerior. Assim, esa relação fica reescria aravés da seguine da Equação (1) a seguir: 1 1 X X X e X e (1) 1 1 Ressala-se que a Equação (8) nos fornece uma medida para empo discreo de um processo auo-regressivo de ordem 1 (AR(1) 6 ) da equação (1). Subsiuindo X ln( x ) e X ln x na equação (1), em-se: x ln( x) ln x1 ln ln x1 e ln x1e 1 x 1 (13) 6 Se X, Z, é um processo auo-regressivo de ordem p, enão X 0 1X 1... pxp, onde X é o valor a ser previso; 0, 1,..., p são os coeficienes; e E( ) = 0 e Var( ) =. Um caso paricular de grande relevância é o do processo auo-regressivo de ordem 1: X 1X 1.
51 Considerando a Equação 13, e que a e b são consanes que saisfazem a x seguine igualdade: ln a b 1.ln x1, enão a velocidade de x 1 reversão à média é dada por ln b e a média de longo prazo por a x exp. b 1 A volailidade, obém-se, considerando a variância dos erros da regressão T e [ ] 1 Var X e, no insane T. Porano, 1 e b ln b. 1 A Figura 8 apresena um resumo das equações para esimar os parâmeros: Figura 8 - Quadro resumo para esimação de parâmeros do MRM. Fone: Nascimeno (01). 3..6. Validação dos Processos Esocásicos A aplicação da Teoria das Opções Reais depende foremene do processo esocásico que seguem as séries de preços esudadas. Em linhas gerais, pode-se dizer que o MGB difere do MRM quano à dependência dos valores observados em relação a períodos aneriores ao aual, no qual o MGB apresena-se como um modelo com pouca dependência dos valores passados. Já o MRM depende, para deerminação de valores auais,daqueles observados em períodos aneriores. Para se avaliar qual dos dois processos enconra maior aderência em relação a um deerminado conjuno de dados, devem ser uilizados eses de análise de esacionariedade.
5 Um processo é dio esacionário (com covariância esacionária) se as suas média e variância forem consanes ao longo do empo, e o valor da covariância enre dois momenos no empo depender unicamene da disância enre eses dois períodos. Assim, em uma série esacionária, observa-se que enderá sempre à sua média de reversão, bem como a sua variância apresenará a mesma ampliude. As suposições de esacionariedade são as seguines: E(Y ) é independene do empo. Var(Y ) é finia, posiiva e consane independenemene do momeno do empo. Cov (Y, Y s ) é infinia e depende apenas de -s. Nesa disseração, dois eses poderão ser uilizados no Capíulo 4 para a avaliação da esacionariedade da série ln de preços da celulose de fibra cura: o Tese de Raiz Uniária de Dickey-Fuller (pode ser o aumenado) e o Tese da Razão de Variâncias. 3..6.1. Tese de Raiz Uniária (Dickey-Fuller) Para enender melhor o uso do ese de raiz uniária para verificação da esacionariedade de um processo esocásicos, serão uilizados dois exemplos clássicos de processos auo-regressivos de ordem 1(AR(1)), ou seja, processos em que o valor em depende do valor em -1. Os exemplos serão do modelo sem e com deslocameno, definido como uma consane adicionada a cada momeno do processo. Exemplo 1: Seja o processo esocásico sem deslocameno é o valor da série no momeno e u é ruído branco 7. Caso ρ = 1, enão, em que Y e. Caso ρ <1 enão pode-se provar que a série é esacionária. 7 Normalmene independene, com média 0 e variância.
53 Exemplo : Seja o processo esocásico com deslocameno, em que é o deslocameno do processo. Caso ρ = 1, enão e Caso ρ <1 enão pode-se provar que a série é esacionária. Porano, aravés deses exemplos, verifica-se que a esacionariedade pode ser esada quando obém-se valores para ρ, como o realizado no ese de raiz uniária. O ese de raiz uniária é um dos eses de esacionariedade mais conhecidos e aplicados aualmene. Nese caso, as hipóeses a serem esadas são: H 0 : ρ =1, a série em raiz uniária e, porano, é não esacionária. H 1 : ρ <1, a série não em raiz uniária e, porano, é esacionária. A esaísica é dada pelo Tese de Dickey-Fuller (DF): No Tese de DF, realiza-se uma regressão aravés do Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ), modelo em que subraímos Y -1 dos dois lados da equação. Nese caso, o parâmero para Y seria dado por (ρ-1) ao invés de ρ. Segue a demonsração no caso do modelo sem AR(1) sem deslocameno: Apesar de a esaísica do ese poder ser obida aravés do méodo de mínimos quadrados, o p-valor que avalia o ese de que β = 0 (o mesmo que esar se ρ = 1) não pode ser uilizado. No enano, sob a hipóese nula, o esimador não segue a esaísica, mesmo em grandes amosras, ou seja, pode-se uilizar o valor da esaísica, conudo, o valor da disribuição de comparação para o cálculo do p- valor é ouro. Dickey e Fuller geraram abelas para a comparação da esaísica do ese para os diferenes processos a serem considerados: processo auo-regressivo sem deslocameno e sem endência, processo auo-regressivo com deslocameno e sem endência e processo auo-regressivo com deslocameno e com endência.
54 O ese de raiz uniária uilizado nesa disseração foi o ese de Dickey- Fuller aumenado, pois ese modelo, ao ser esado, assume maior flexibilidade por permiir que os erros da série sejam correlacionados, adicionando ermos de lags (defasagens) à variável resposa (ΔY ). Gujarai (004) define, por exemplo, uma série de preços como esacionária, se a variância e a auo-covariância (em vários lags) são invarianes com o empo. Esse ipo de série enderá a reornar para a sua média (reversão à média) e erá uma ampliude praicamene consane. A principal vanagem do ese de Dikey-Fuller aumenado em relação ao ese original é que, ao inroduzir um número suficiene de defasagens, garane-se que os resíduos não apresenem auo-correlação podendo, assim, acomodar um maior número de processos esocásicos além do AR(1). Assim, o processo esocásico considerado em a sua forma geral dada por:, sendo o empo, u o ruído branco, ΔY -1 = (Y -1 Y - ), ΔY - = (Y - Y -3 ) e, assim, por diane. A esaísica do ese aumenado é a mesma do ese da regressão e a disribuição é a mesma abelada para os valores críicos definidos por Dickey e Fuller e que podem ser enconrados em Gujarai (004). A definição do lag (m) é, geralmene, realizada pelos sofwares esaísicos, que, a parir de um criério de lag, normalmene buscam a seguine minimização: k RSS ln, onde RSS é a soma de quadrados dos resíduos e k é o número de n n regressores, incluindo o inercepo. Como mencionado, nesa disseração, será uilizado o Tese de Dickey- Fuller aumenado. Para ano, considera-se a seguine série, modelo AR(1): x x a( b1) x, sendo um ruído branco. 1 1 A parir desa série, são levanadas as seguines hipóeses (nula e alernaiva) para aplicação de um ese de hipóeses, uilizado no Tese de Dickey-Fuller aumenado: H : b1 0 0 H : b 1 1
55 O Tese da Raiz Uniária de Dickey-Fuller é uilizado para verificação da rejeição da hipóese de um modelo de MGB. A hipóese nula verifica a presença de alguma raiz uniária em uma série, de forma a não ser esacionária. Já a hipóese alernaiva verifica se esa série é esacionária. Para aplicação dese ese e ambém do Tese da Raiz Uniária, considera-se uma regressão linear por mínimos quadrados para a série que deu origem ao ese de hipóeses, buscando-se a obenção de uma esaísica. A parir do valor desa esaísica, deve-se observar a seguine relação: Se valor críico, enão H 0 é rejeiada. Os valores críicos assinóicos do ese da Raiz Uniária de Dickey-Fuller com uma consane e ano os sem como os com endência emporal podem ser consulados em Gujarai (004) em abelas que relacionam os amanhos da amosra com os níveis de confiança. Eses valores críicos ambém podem ser obidos quando os dados são rabalhados por sofwares esaísicos. 3..6.. Tese da Razão de Variância Segundo Pindyck (1999), o Tese de Razão de Variância é uma meodologia alernaiva na invesigação de uma série de dados, avaliando-se se ela é aderene ao MGB ou ao MRM. Confome viso no Tese da Raiz Uniária de Dickey-Fuller, se uma série é não esacionária, enão a variância aumena com o passar do empo. Uilizando ese argumeno como indicador do nível de esacionariedade de um processo esocásico, aplica-se uma meodologia que considera como parâmero a ser avaliado a esaísica ( ) da razão de variâncias, dada por: Sendo k o lag avaliado. Se um processo esocásico Y for não esacionário, enão aumenará linearmene, de acordo com o aumeno de k, chegando próximo ao valor de 1; caso conrário, se o processo for esacionário, ou seja, se os valores reverem-se
56 para o equilíbrio de longo prazo, enão esa razão enderá a cair chegando a valores próximos de zero. A aplicação dese ese pode ser dispensada, caso confirme-se, pelo Tese da Raiz Uniária de Dickey-Fuller, que um modelo é aderene ao MRM. 3..7. Modelos de Precificação das Opções A valoração das Opções Financeiras em se mosrado como um desafio basane complexo no que ange à aplicação das meodologias mais adequadas, considerando as inúmeras variáveis de incereza que, aualmene, abrangem a avaliação por Opções. Objeivando uma abordagem mais conceiual, alguns modelos serão apresenados, de forma simplificada, sem grandes formalismos do pono de visa maemáico. A seguir, será apresenado o Modelo Analíico de Black e Scholes, bem como serão ainda apresenados os Modelos Numéricos 8 Binomial e de Mone Carlo. 3..7.1. Modelo de Black e Scholes Nos anos 70, Fischer Black e Myron Scholes desenvolveram uma fórmula analíica para precificação de Opções Financeiras do ipo europeu. Esa fórmula foi fundamenal no campo das finanças, no que se refere às eorias relacionadas à precificação de aivos. No modelo de Black & Scholes, consideram-se as seguines premissas: Os preços dos aivos envolvidos seguem uma disribuição lognormal; A negociação dos íulos pode ser realizada de forma conínua, podendo eses ainda serem subdivididos; Nese modelo não há oporunidade de arbiragem 9 ; A volailidade do aivo em quesão é consane; 8 São modelos dinâmicos, que não podem ser represenados por fórmulas maemáicas e, porano, não possuem soluções analíicas. São modelos que apresenam soluções numéricas, ou seja, soluções obidas por aproximações. Exemplos: resoluções de equações diferenciais ordinárias e parciais para descrição do comporameno dinâmico de sisemas físicos aravés de famílias de curvas obidas aravés desas equações. 9 Arbiragem consise na possibilidade de se ober lucro no mercado sem risco e sem invesimeno líquido (sem er dinheiro), conforme Dias (014).
57 Os invesidores podem realizar capação à axa de juros livre de risco; A axa de juros de curo prazo é a axa livre de risco. A fórmula de Black & Scholes depende das seguines variáveis básicas: Preço do aivo básico ou subjacene (S); Preço de exercício da opção (X); Volailidade do aivo básico ou subjacene (desvio padrão da axa de reorno ( )); Prazo ao vencimeno da opção (T-); Taxa de juros livre de risco (r); As Equações de Black & Scholes sem considerar o pagameno de dividendos ( 0), são: C SN( d ) Xe N( d ) r(t) 1 Sendo: r(t) PXe N( d ) SN(d 1) d 1 S X T ( T) ln( / ) (r )( ) ln( S/ X) (r )( T) 1 d d ( T) ( T ) N( x) represena a função de probabilidade acumulada para uma variável normal padronizada. Uilizando um modelo que inclui o pagameno de dividendos ( 0), emse a seguine fórmula para uma opção de compra (C) europeia: (T) r(t) C Se N N T (h) Xe h,onde : ln S X r T h T
58 A deerminação da volailidade não é um procedimeno rivial, pois é difícil se chegar a um valor exao dese parâmero, que deve ser esimado enre a daa de negociação de uma opção e a do seu vencimeno. De acordo com Hull (00), exisem, basicamene, dois méodos para esimação da volailidade: Volailidade Hisórica são analisadas amosras de dados do passado (séries hisóricas) e supõe-se que o comporameno dos dados no fuuro seguirão esas endências hisóricas; e Volaidade Implícia das opções do mercado considera-se a axa de variação verificada no mercado em relação ao aivo básico (S). As críicas mais comuns ao Modelo de Black &Scholes são: a sua não adequação à realidade em alguns casos, pois as premissas dese modelo analíico devem ser simplificadas para a sua aplicação; foi desenvolvido apenas para uilização em opções europeias. Apesar das simplificações exisenes no modelo de Black & Scholes, em pare significaiva dos casos, obém-se um valor próximo ao valor real da opção. Opções ambém podem ser resolvidas por Méodos Numéricos, como a Simulação de Mone Carlo (SMC), o Modelo Binomial e por Diferenças Finias implícias e explícias. Já as as opções americanas devem ser calculadas aravés de resoluções numéricas, seja aravés de equações diferenciais parciais (EDP s) ou por aproximações analíicas que, por exemplo, considerem uma relação al como: Opção Americana = Opção Europeia + Prêmio pelo Exercício Anecipado, relação esa que corrobora o fao de que uma opção americana apresena mais valor do que uma europeia. Como mencionado, desaca-se que as opções americanas necessiam de insrumenos maemáicos mais sofisicados. 3..7.. Modelo Binomial Conforme Copeland e Anikarov (00), o Modelo Binomial recorre à Teoria das Probabilidades para desenvolvimeno de uma abordagem com árvores binomiais que objeivam expliciar o apreçameno das opções, empregando écnicas maemáicas mais simples do que as uilizadas na fórmula de Black & Scholes, ou em resoluções numéricas aravés da discreização das equações diferenciais parciais (EDP s).
59 Esa abordagem binomial das Opções, uilizando écnicas de maemáica discrea, orna mais fáceis e práicas as soluções de problemas de Opções Reais. Ese modelo é o mais inuiivo denre os méodos numéricos de valoração de aivos. A Árvore Binomial é, basicamene, uma árvore de decisão que explicia diferenes rajeórias que poderão ser seguidas, como, por exemplo, pelo preço de um aivo ao longo do empo, buscando, assim, capurar o valor desconhecido das flexibilidades inrínsecas ao processo de escolha. Conforme Dias (014), com a publicação do arigo de Cox & Ross & Rubinsein (1979), o Méodo Binomial ornou-se mais uilizado como ferramena para o cálculo das Opções Reais do ipo americanas. Ese méodo é o que melhor se aplica às opções americanas, sendo mais simples e inuiivo que o méodo das equações diferenciais, isso porque avalia odas as alerações possíveis aravés de análises por árvores e capa, de forma mais eficiene, as possibilidades de exercício anecipado. O Modelo Binomial requer inicialmene a escolha de deerminados criérios, denominados faores de subida e de descida (u e d, respecivamene), para que a Árvore Binomial seja uma aproximação discrea de um processo esocásico em empo conínuo MGB ou MRM. Considerando r uma axa de descono livre de risco, deve-se observar a seguine relação: d1r u para a não ocorrência de arbiragem. Desaca-se que uma maneira práica é que u e d sejam escolhidos, de forma que suas árvores binomiais recombinem, ou seja, com que os valores de um cenário após uma subida seguida de uma descida sejam iguais aos valores do cenário de uma descida seguida de uma subida (Dias, 014). A recombinação mosra-se eficaz a fim de se eviarem empos compuacionais demasiadamene elevados, os quais são observados nas árvores não-recombinanes. A Figura 9, para o aivo V, mosra uma árvore recombinane de rês períodos (n=3), de maneira que os faores muliplicaivos apresenem a relação d = 1/u:
60 Figura 9 - Árvore Binomial Recombinane (n=3) Fone: Dias (014). Na Figura 9, em-se: Vu V em movimeno de subida e Vd V em movimeno de descida, sendo u e v os faores muliplicaivos que inroduzem as suas respecivas endências. Após n períodos, uma árvore recombinane apresenará n + 1 cenários; conudo, não sendo recombinane, o número de cenários de uma árvore será igual a n.essa redução de cenários dasárvores recombinanes implica na redução dos seus respecivos empos compuacionais. Para fins de cálculo dos valores aravés de planilhas, as árvores podem ainda ser apresenadas no formao de abelas, organizadas de forma decrescene, endo nas suas primeiras linhas os cenários exremos superiores, como ilusra a Tabela, consruída a parir da Árvore Binomial anerior (Figura 9): 0 1 3 3 V uv uv uv dv udv u dv dv ud V 3 dv Tabela - Tabela para Árvore Binomial Recombinane (n=3) Fone: Elaboração própria.
61 Garanida a condição de não arbiragem ( d 1r u), as probabilidades neuras ao risco 10 de subida e de descida do valor do aivo básico (V) são, respecivamene, p e (1-p), probabilidades esas que obedecem à seguine relação: pu (1 p). d 1 r. Assim, deduz-se que: V pvu 1 p Vd 1 r, sendo 1 r d p u d Verificam-se ainda as seguines relações para os valores da opção de compra nos dois cenários, de subida e de descida: pc Cu Cu uu (1 p) C 1 r ud pc Cd (1 p) C 1 r Max 0,VuK Cd Max 0, VdK Em que K é o preço de exercício da opção, e Vu e de Vd são os valores do aivo subjacene nos cenários de subida e descida, respecivamene. Os parâmeros u e d podem ser calculados aravés das seguines relações: ue de 1 u, com T n, sendo T a vida úil da opção e n o número de períodos em que se deseja esudar os possíveis movimenos do aivo básico. Nelson e Ramaswany (1990) apresenaram um procedimeno meodológico para aproximação do modelo Ornsein-Uhlenbeck para Árvore Binomial recombinane. O modelo proposo por esses auores uiliza uma sequência binomial simples de duração com n períodos e um horizone de empo T, sendo T n.. Para modelagem binomial, segundo o MRM, devem ser esimados os seguines parâmeros: u, d, p e 1-p, que são, respecivamene, movimeno de subida, movimeno de descida, e probabilidades de subida e de descida em um período : ux x ; d x x 1 1 1 1 x x p.. ; 1 p du dd 10 No Modelo Binomial, geralmene adoa-se uma abordagem neura ao risco para não haver necessidade de ajuse na axa de descono, pois o ajuse é feio nas probabilidades de acréscimo (u) e de descréscimo (d) aravés da aplicação da axa livre de risco r.
6 As probabilidades de subida e de descida nas ramificações são obidas igualando-se a média e a variância do nó binomial com aqueles parâmeros do processo esocásico conínuo, garanindo, assim, a convergência quando 0. Conforme Basian Pino (009), no MRM, pode-se uilizar a seguine equação para deerminação das resrições nos nós binomiais, a fim de se consruir árvores neuras ao risco: 1 1 xx x px Max 0, Min1, (14), onde: p x : conjuno de probabilidades que compõem uma Árvore Binomial e esão associadas a uma série preços x. x : série de preços aderene ao MRM. x e x : respecivamene. movimenos de subida e de descida da série de preços x, p e 1 : probabilidades de subida e de descida da série de preços x, p respecivamene. : velocidade de reversão à média de x. x : média de reversão de longo prazo de x. : volailidade de x. x : prêmio de risco de x. 3..7.3. Simulação de Mone Carlo (SMC) A Simulação de Mone Carlo (SMC), criada durane a Segunda Guerra Mundial, consise, basicamene, em um processo aravés do qual desenham-se os possíveis caminhos aleaórios percorridos por uma deerminada amosra para modelagem das incerezas. As simulações, no âmbio da SMC para as opções europeias, consideram apenas as daas de expiração, enquano, nas americanas, simula-se odo o caminho.
63 Traa-se de um méodo numérico compuacional que uiliza écnicas de amosragem probabilísica 11 das disribuições de probabilidade das variáveis de enrada (inpus) aravés de processos de simulação esocásica, gerando, assim, as variáveis de saída (oupus), sendo esas represenadas por disribuições de probabilidades, como ilusra a Figura 10. Porano, a SMC, enquano meodologia esocásica, é basane eficaz na valoração das incerezas inrínsecas aos processos esocásicos. Figura 10 - Inpus, Oupus e Disribuições Probabilísicas. Fone: Kodukula e Papudesu (006), Adapado. Exisem dois ipos de simulação: a real e a neura ao risco. Na real, considera-se o processo para, por exemplo, realizar-se esimaivas reais de probabilidade para planejameno, enquano que, para valoração de opções e derivaivos, uiliza-se a simulação neura ao risco (drif neuro ao risco = drif real prêmio de risco). Méodos neuros ao risco, geralmene, combinam ano incerezas écnicas como de mercado em modelos de Opções Reais e apresenam probabilidades eóricas ou arificiais (probabilidades neuras ao risco, que não são as reais, sendo uilizadas para poder se aplicar a axa livre de risco como axa de descono). Nese rabalho, serão aplicadas ano as simulações reais como as neuras ao risco. 11 Procedimeno em que odos os elemenos da População êm uma probabilidade conhecida e superior a zero de inegrar a Amosra.
64 Nesa disseração e no conexo do MRM, será analisada uma sequência de Opções Reais européias para avaliação dos melhores caminhos a fim de valorar as flexibilidades em cada daa de decisão (odos os meses ao longo de 1 meses). Para SMC podem ser uilizados sofwares comerciais. Nesa disseração, o sofware uilizado para a simulação do esudo de caso é o @Risk 1. O @Risk realiza simulações de forma inegrada ao Excel, e possui funcionalidades para geração de números aleaórios, conforme as disribuições de probabilidades específicas a serem esabelecidas para os inpus, como mosra a Figura 11. Figura 11 - Inpus e Disribuições Probabilísicas no @Risk Fone: Simulador @Risk e Excel. No @Risk, a parir da modelagem dos inpus, definem-se as fórmulas e as células para os oupus (Figura 1): Figura 1 - Células para os Oupus no @Risk Fone: Simulador @Risk e Excel. 1 O @Risk, sofware produzido pela Palisade, é o add-in ou complemeno para execução da Simulação de Mone Carlo com o Microsof Excel.
65 Após as ierações soliciadas ao @Risk, obém-se, realizada a simulação, uma disribuição de probabilidades para os oupus, como mosra a Figura 13: Figura 13 - Oupus e Disribuições Probabilísicas no @Risk Fone: hp://www.palisade.com/risk/defaul.asp As disribuições conínuas de probabilidade mais comuns na simulação com @Risk são: Disribuição Normal conhecida ambém como curva do sino. O usuário simplesmene define a média (valor esperado) e um desvio padrão para descrever as variações em relação à média. Os valores no meio, pero da média, são os que apresenam maior probabilidade de ocorrência. A sua variabilidade é conrolada pelo desvio padrão. Esa disribuição é simérica e represena muios fenômenos naurais. As axas de inflação podem serambém represenadas por ese modelo de disribuição. Lognormal nesa disribuição os valores são posiivamene assiméricos ou disorcidos; não são siméricos como na disribuição normal. Ela é usada para represenar valores que não passam abaixo de zero e que apresenam um poencial posiivo ilimiado. É, na verdade, uma exponencial da Normal. Exemplos de variáveis represenadas por Disribuições Lognormal: valores de imóveis, preços de ações e reservas perolíferas.
66 Uniforme nesa disribuição odos os valores êm probabilidade igual de ocorrência; o usuário simplesmene define o mínimo e o máximo. Exemplos de variáveis que poderiam apresenam uma disribuição uniforme: cusos de fabricação e receias de vendas fuuras de um novo produo. Triangular o usuário define os valores mínino, mais provável (moda) e máximo. Os valores ao redor do valor mais provável êm maior probabilidade de ocorrer. Variáveis que poderiam ser represenadas por uma disribuição riangular: hisórico de vendas passadas, por unidade de empo, e níveis de esoque. No @Risk, ambém podem ser uilizadas disribuições discreas de probabilidade. É imporane desacar que, aravés do @Risk, é possível criar gráficos de diferenes resulados e suas respecivas probabilidades de ocorrência, comunicando, assim,mais facilmene às pares ineressadas por meio de uma inerface mais amigável. Pode-se fazer ainda uma correlação enre inpus, pois, na SMC com @Risk, as relações inerdependenes enre as variáveis de inpu podem ser analisadas graficamene. Iso é imporane para verificar que, quando deerminados faores sobem, ouros ambém sobem ou caem, de acordo com cada caso. Conforme Dias (014), a SMC, aplicada às Opções Reais, apresena as seguines eapas: Especificação das disribuições de probabilidade dos inpus, bem como os seus próprios processos esocásicos; Geração de uma amosra aleaória com os inpus; Realização de operações maemáicas com as amosras dos inpus para o cálculo esocásico que irá gerar os oupus; Repeição dos passos aneriores n vezes (n ierações ou recálculos), gerando, assim, n oupus; Deerminação de propriedades gerais, como a média ou ouros parâmeros esocásicos, represenaivos da disribuição dos oupus gerados ao fim do processo de simulação.
67 Em sínese, as eapas da SMC podem ser esquemaizadas na Figura 14, a seguir: Figura 14 - Esquemaização das eapas da SMC. Fone: Dias (014). Desaca-se que para valorar as opções por meio da simulação, deve-se ober a equação discreizada do processo esocásico, haja visa que esa equação é represenaiva do processo e descreve a sua rajeória. Nesa disseração será aplicada a SMC para modelagem dos preços da celulose de fibra cura (shor-fiber) BHKP. Ressala-se que as Equações (9 e 11), equações discreas do processo esocásico MRM, serão uilizadas para as simulações dese rabalho.