LOGARITMOS. L log 0,08 x. 15. ln e. b) log log 64 log log 81. Definição. Ex03: (UFJF) O logaritmo de um número na base 64 é 1. 3 O

Transcrição

1 Defiição ode, Sejam a e úmeros reais positivos e. Defiimos: a é o logaritmado; é a ase do logaritmo; é o logaritmo. log a a Os: ) log log0 ) l log, ode e, 78 E0: Calcule os logaritmos: e log7 9 ) log 8 c) log 6 d) log 9 E0: (UFJF) O logaritmo de um úmero a ase 6 é. O logaritmo desse úmero a ase é: ) c) d) - E0: (UFPR) Para se calcular a itesidade lumiosa L, medida em lumes, a uma profudidade de cetímetros um determiado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lamert, dada pela seguite fórmula: L log 0,08. Qual a itesidade lumiosa L a uma profudidade de,cm? 0 lumes ) lumes c) 0 lumes d), lúme lúme. log6 0, f) log, 0,6 g) log0 0 h) E0: Qual o valor das epressões: log8log 9 l e E0: (UFPE) Terremotos são evetos aturais que ão tem relação com evetos climáticos etremos, mas podem ter cosequêcias devastadoras, especialmete quado seu epicetro ocorre o mar provocado tsuamis. Uma das epressões para calcular a violêcia de um terremoto a escala Richter é E M log, ode M é a magitude do terremoto, E é a E0, eergia lierada (em jules) e E0 0 joules é a eergia lierada por um pequeo terremoto usado como referêcia. Qual foi a ordem de gradeza da eergia lierada pelo terremoto o Japão de de março de 0, que atigiu magitude 9 a escala Richter? 0 joules ) 0 6 joules c) 0 7 joules d) 0 8 joules 0 9 joules ) log log 6 log log 8 9 0,

2 E06: As dimesões de um retâgulo, em cm, são 0 e em que a *. log a, Determie a área desse retâgulo, saedo que seu perímetro cm. ( log)(log 7) E0: (FGV) O valor de é / ) c) 7 d) /7 / Propriedades operatórias ) Qual o valor de log? a. log ac log a log c a. log log a log c c. log a log a E07: (EsPCE) O logaritmo de um úmero atural, >, coicidirá com o próprio se a ase for: ) c) d). log 0. log a a. log. Cosequêcias da defiição a a log a a E0: Sejam e y positivos e 0. Saedo que log e log y, calcule o valor dos seguites logaritmos: log ( y ) ) log y c) log y y d) log y log f) log y E0: Calcule: log ) log c) log d) log log log7 log0 f) l e l e l E0: Cosiderado log 0, e log 0,8 calcule: log 7 ) log 8 c) log E0: Dê o valor de cada potêcia: c) log log ) 0 e l7 log 7 d) 8 log 8 f) log log g) log h) d) log f) log 8 log g) log 0,06

3 E0: Saedo que a, o valor de log 7. log 7 a, calcule, em fução de LOGARITMOS E06: O valor da soma é: 0 ) - c) - d) 99 S log log log... log 00 E0: O ph (potecial hidrogeiôico) é uma escala usada a Química para medir o grau de acidez ou asicidade de uma solução aquosa. Os valores do ph variam de 0 a, sedo que 0 ph 7 solução é ácida ph = 7 solução é eutra 7 < ph solução é ásica O valor do ph é otido pela fórmula: ph log H, em que H é a cocetração de íos hidrogêio, em mol/l. Cosidere três soluções A, B e C cujas cocetrações hidrogeiôicas H são, respectivamete, 0- mols/l, 0 9 mols/l e,6 0 6 mols/l. Para cada uma, determie o ph, classificado-a em ácida, ásica ou eutra. Use log 0,. Mudaça de ase Supoha a, e c úmeros reais positivos, com a e c diferetes de. Temos: logc a log a log E0: Sejam e y reais positivos e diferetes de. Se log, y calcule: log y ) log y c) log y c d) log y E0: Cosiderado log 0, e log7 0,8, calcule: log8 E0: (FGV) Os diretores de uma empresa de cosultoria estimam que, com fucioários o lucro mesal que pode ser otido é dado pela fórmula: L( ) 0 l 0, mil reais. Atualmete a empresa traalha com 0 fucioários. Use l 0,7 e l, para respoder às questões aaio: Qual é o valor do lucro mesal da empresa? ) log 9 c) log7 d) log E0: Cosiderado l, 6 e l0,, calcule: log ) log 0 ) Se a empresa tiver ecessidade de cotratar mais 0 fucioários, o lucro mesal vai aumetar ou dimiuir? Quato? E0: Qual o valor da soma P log7 log 7 log log

4 E0: (Cefet-MG) Se log a, etão ) c) d) log9 a vale: LOGARITMOS c) f( ) log (0, ) Os: log a e log a log a log a E06: Cosidere um triâgulo retâgulo de hipoteusa a e catetos e c, com a e a. Mostre que. log c log c a a Gráfico Cosidere a fução f ( ) log. º Caso: º Caso: 0 E0: O gráfico aaio represeta a fução f ( ) log. Fução logarítmica É toda fução 0. E: f ( ) log * f : do tipo f ( ) log, com g( ) log ) 0, c) h( ) log d) t( ) l E0: Determie o domíio das fuções: f ( ) log ( ) Qual é o valor da área hachurada? Cosidere log 0, e log 0,8 ) f ( ) log ( )

5 E0: O gráfico seguite represeta a fução f, defiida por f ( ) log ( k) sedo k uma costate real. 0, Equações logarítmicas E0: Resolva, em, as equações: log ( ) log ( 7) ) log ( ) log ( ) Oteha o valor de k e o domíio de f, saedo que a ascissa de U é. ) Determie a ascissa do poto P. c) log ( ) log ( 8) c) Determie a área do trapézio RSTU. d) log ( ) log d) Oteha o valor de f (00), admitido que log 0,. E0: Resolva, em, as equações: log ( ) Propriedades Seja f ( ) log uma fução logarítmica. P. f () 0 f ( ) f ( ), ou seja, P. log log P. Se etão f ( ) f ( ), ou seja, log log ) log ( ) 0 P. Se 0 etão f ( ) f ( ), ou seja, log log

6 log log c) c) log ( ) log ( ) d) log [ log ( )] d) log log (log ) (log ) 8 log 0 0, 0, 0, log ( ) log ( ) log ( ) E0: Resolva, em, as equações: log ( ) log ( ) 6 6 f) log 8 log 8 log 8 ) log log( ) log( )

7 E0: Resolva, em, os sistemas de equações: LOGARITMOS log log ( ) c) 0, 0, y 0 log log y d) log log 0 ) y 8 log log y Equações epoeciais Iequações logarítmicas E0: Cosiderado log 0, e log 0,8, resolva as seguites equações epoeciais: 0 E0: Resolva, em, as iequações: log ( ) log ) c) ) log log ( ) d)

8 E0: Ecoomistas afirmam que a dívida etera de um determiado país crescerá segudo a lei: y 0, Sedo y o valor da dívida (em ilhões de dólares) e o úmero de aos trascorrido após a divulgação dessa previsão. Em quato tempo a dívida estará estimada em 90 ilhões de dólares? (use os valores: log 0, e log 0,8 ) E0: (Uicamp) O sistema de ar-codicioado de um ôius querou durate uma viagem. A fução que descreve a temperatura (em graus Celsius) o iterior do ôius em fução de t, o tempo trascorrido em horas, desde a quera do arcodicioado, é t ( ) ( 0 et ) 0 et, T t T T T Ode T 0 é a temperatura itera do ôius equato a refrigeração fucioava e T et é a temperatura etera (que supomos costate durate toda a viagem). Saedo que T 0 = ºC e T et = 0ºC, respoda às questões aaio. Calcule a temperatura o iterior do ôius trascorrido horas desde a quera do sistema de ar-codicioado. ) Calcule o tempo gasto, a partir do mometo da quera do arcodicioado, para que a temperatura suisse ºC. Se ecessário, use log 0,, log 0,8 e log 0,7. E0: (FGV) Para receer um motate de M reais daqui a aos, o capital iicial C reais que a pessoa deve aplicar hoje e dado pela equação: C M e 0, 0, (se ecessário use: e, e l 0,7 ) Se ela aplicar hoje R$.600,00, quato receerá de juro o período de ao? ) Se ela aplicar hoje R$.600,00, daqui a quato tempo, aproimadamete, oterá um motate que será o doro desse valor? E0: (Eem) Em setemro de 987, Goiâia foi palco do maior acidete radioativo ocorrido o Brasil, quado uma amostra de césio-7, removida de um aparelho de radioterapia aadoado, foi maipulada iadivertidamete por parte da população. A meivida de um material radioativo é o tempo ecessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césia- 7 é de 0 aos e a quatidade restate de massa de um material radioativo, após t aos, é calculado pela epressão kt M ( t) A (,7), ode A é a massa iicial e k é uma costate egativa. Cosidere 0, como aproimação para log0. Qual o tempo ecessário, em aos, para que uma quatidade de massa de césio-7 se reduza a 0% da quatidade iicial? 7 ) 6 c) 0 d) 00

9 0. Se log 9 a, etão ) c) - d) log6 a é: LOGARITMOS 06. (ITA) Cosidere l, l e u v u v e e 6. Nestas codições: = - ) = c) = - d) = -9 = 0. O valor de em log é igual a: / ) / c) d) 0. (FGV) O valor de log0, log 7 log 8 ) 89 c) 9 d) 69 N.d.a 0. (MACK) O valor de log, saedo que a e são raízes a da equação 7 0 0, é: ) - c) -/ d) / 0. (ITA) Acrescetado 6 uidades a um úmero, seu logaritmo a ase aumeta uidades. Esse úmero é: ) 8 c) d) é 07. (EsPCE) O logaritmo de um úmero atural, >, coicidirá com o próprio se a ase for: ) c) d) 08. (ENEM) A escala de Magitude de Mometo (areviada como MMS e deotada como M w ), itroduzida em 979 por Thomas Haks e Hiroo Kaamori, sustituiu a escala Richter para medir a magitude dos terremotos em termos de eergia lierada. Meos cohecida pelo púlico, a MMS é, o etato, a escala usada para estimar as magitudes de todos os grades terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M 0, se relacioam pela fórmula: Mw 0,7 log M 0 0 Ode M 0 é o mometo sísmico (usualmete estimado a partir dos registros de movimeto da superfície através de sismógrafos), cuja uidade é o dia. cm. O terremoto de Koe, acotecido o dia 7 de jaeiro de 99, foi um dos terremotos que causaram maior impacto o Japão e a comuidade cietífica iteracioal. Teve magitude Mw 7,. Mostrado que é possível determiar a medida por meio de cohecimetos matemáticos, qual foi o mometo sísmico M 0 do terremoto de Koe (em dia. cm)? 0 -,0 ) 0-0,7 c) 0,00 d) 0,6 0 7,00 log 09. Qual o valor de ) 0 c) 60 d) 90 00

10 0. Sedo 0 m, o valor de log m log ( ) ) c) m d) m m m m m m é:. (FUVEST) Sedo log log a, o quociete a vale: 0 ) c) d) 6 8. (MACK) Se log 0,, log y 0, e log z 0,, o valor de log 0, ) -0, c) 0, d) -0, 0,60 y z é:. Se log ( a ) m e a 7, etão o valor de log ( a ) é: + m ) m c) 7m d) m/ (m + )/. (ITA) Se e y são úmeros reais tais que l ( y ) e l( y ), etão: y e ) y 0 e c) y e d) y e y e. (UFMG) A itesidade de um terremoto a escala Richter é E defiida por I log 0, em que E é a eergia lierada E0 pelo terremoto, em quilowatt-hora (kwh) e E 0 0 kwh. A cada aumeto de uma uidade o valor de I, o valor de E fica multiplicado por 0 ) 0 c) 0 d) 0 6. Para todo iteiro maior que, defiimos log 00. Seja a a a a e a c a a a a a Qual o valor de c? - ) - c) /00 d) /00 / (ITA) Sejam, y e z úmeros reais positivos tais que seus logaritmos uma dada ase k são primos satisfazedo log ( y) 9 e log Etão, log k( yz) é igual a ) 6 c) 67 d) (ITA) Dada a fução que k k z a equação f( ) 0 ão possui raízes reais f ( ) l l 6 l temos ) a equação f( ) 0 possui duas raízes reais distitas e o gráfico de f possui cocavidade para cima c) a equação f( ) 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui cocavidade para aio d) o valor máimo de f é o valor máimo de f é l.l l l l.l l l

11 9. Para todo iteiro positivo, seja f ( ) log 00. Seja N f () f () f (). Qual das seguites relações é verdadeira? N < ) N = c) < N < d) N = N > 0. (ITA) Seja a com. de a a a a Se log a, etão o valor a a log log log log log é: a ) a c) 6 6 d) (UFRS) Dez actérias são cultivadas para uma eperiêcia e o úmero de actérias dora a cada horas. Tomado como aproimação para log o valor 0,, decorrida eatamete uma semaa, o úmero de actérias está etre: 0, e 0 ) 0 e 0, c) 0, e 0 6 d) 0 6 e 0 6, 0 6, e 0 7. Dado um atural, defiimos! como o produto dos úmeros cosecutivos de até. Por eemplo,! =... = 0. Com ase essa defiição qual o valor da soma 00 ) c) 00! d) 00 S...? log 00! log 00! log 00! log 00! Supoha que, 6, 6 7,...,7 8. Qual o valor de...? ) / c) d) 7/. (FUVEST) Saedo-se que, podemos cocluir que log 00 é igual a: ) c) d) 6. (IME) Cosiderado log a e log, ecotre em fução de a e, o logaritmo do úmero, o sistema de ase (FUVEST) Seja. Saedo que log é aproimadamete igual a 0,00 pode-se afirmar que o úmero de algarismos de é: 00 ) 0 c) 0 d) (ITA) Seja um úmero real, tal que ( ) m, p ode m é um iteiro positivo maior que e p m log m log m( ). O valor de é: ) c) 7 d) ão eiste apeas um essas codições

12 8. Se 7 8 e 9 y 7, etão o valor de log 8( y) é:. (UFMG) Oserve a figura. ) c) d) 9. (UNITAU) O domíio da fução y log ( ) é: ) 0 c) e d) e Nessa figura, está represetado o gráfico da fução f( ) log. Etão, () a f é igual - ) - c) - d) -/ -/. Na figura a seguir, está represetado o gráfico da fução f ( ) log. 0. (UNESP) Cosidere a fução f, defiida por f ( ) log. Se f ( ) m e f ( ) m, os valores respectivos de e m são: e ) e c) e d) e e. (FGV) Quatos úmeros ieiros pertecem ao domíio da fução f ( ) log (9 ) log ( )? ) c) 6 d) ifiitos A área da região somreada é: ), c), d),8. A curva aaio represeta uma parte do gráfico da fução f ( ) log ( k ), com k 0. A área da região somreada vale:. (FGV) Cosidere o gráfico das fuções reais f ( ) log e g( ) log, os seus respectivos domíios de validade. A respeito dos gráficos de f e g, é CORRETO afirmar que ão se iterceptam ) se iterceptam em apeas um poto c) se iterceptam em apeas dois potos d) se iterceptam em apeas três potos se iterceptam em ifiitos potos 6, ) 8, c) 0, d) 9

13 6. (FUVEST) Os potos D e E pertecem ao gráfico da fução f ( ) log, com a (figura a seguir). Supoha que a B (,0), C (, 0) e A (,0). Etão, o valor de para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triâgulo ABE é: 0. (ITA) Se é um úmero real positivo, com e satisfazedo: log log ( ) log ( ) log log etão pertece ao itervalo I, ode: I = (0, /9) ) I = (0, /) c) I = (/, ) d) I = (, /) I = (/, ), ) c) d). (EN) Seja a meor das ascissas dos potos de iterseção das curvas defiidas pelas fuções reais de variável real f ( ) l e g( ) l. O produto das raízes da equação - ) -/ c) / d) / log log é: 7. (FUVEST) O valor de que satisfaz a equação log ( ) log ) log c) d) log log. (IME) Cosidere o sistema de equações dado por: log log log log 0 ode α e β são úmeros reais positivos. Determie o valor de P. 8. (FUVEST) O cojuto das raízes da equação log( ) (log ) é: {} ) {, 00} c) {0, 00} d) {, 0} { 0} 9. (FUVEST) O úmero tal que log log é: ) c) d). (MACK) cosiderado a solução ( y, ) do sistema log log y, log log y 0 ) c) - d) / / com, o valor de log y é:

14 . Na solução do sistema a seguir, o valor de é: ) c) 8 d) log( ) log y log y 7 LOGARITMOS 9. (UFLA) As soluções da equação ou log 8 ) ou log c) ou log 8 d) ou log 8 0 são;. (FGV) A equação log ( ) apreseta o seguite cojuto solução: {-, } ) {-} c) {} d) {, } da 6. (ITA) Cosidere a equação em : a, ode a e são úmeros reais positivos, tais que l l a 0. A soma das soluções da equação é; 0 ) - c) d) l 7. (UFES) O valor real de m para o qual as raízes da equação (log ) m log 0 apresetam produto igual a 9 é: 0. (ITA) Cosidere a equação a a 6 0, com a. Uma das alterativas aaio, relativamete à equação proposta, está correta. Assiale-a. a e a ) log a c) log a e d) e loga da. (ITA) Dada a equação que 0 Não eiste real que a satisfaça. ) log é solução desta equação. c) log é solução desta equação. d) log é solução desta equação. log é solução desta equação. podemos afirmar 9 ) c) d) /9 / 8. (FUVEST) O úmero real a é o meor etre os valores de que satisfazem a equação log ( ) log ( ). a Etão, log é igual a;. (FGV) Cosidere a fução dada por f (0) f () f (), etão: ) c) d) f ( ) log 9. Se ) c) d). Sore a equação correto afirmar que: ela ão possui raízes reais ) sua úica raiz real é - c) duas de suas raízes reais são e - d) suas úicas raízes reais são -, 0 e ela possui cico reaízes reais distitas 9 ( ) log 0, é

15 . (INSPER) Aalisado o comportameto das vedas de determiado produto em diferetes cidades, durate um ao, um ecoomista estimou que a quatidade vedida desse produto em um mês (Q), em milhares de uidades, depede do seu preço (P) em reais, de acordo com a relação Q P (0,8). No etato, em ecoomia, é mais usual, esse tipo de relação, escrever o preço P em fução da quatidade Q. Dessa forma, isolado a variável P a relação forecida, o ecoomista oteve: P log 0,8 ) P log0,8 Q Q 8 Q c) P 0, 0,8 8 Q d) P 0,8 8 Q P 0, log0,8. (FUVEST) Determie o cojuto de todos os úmeros reais para os quais vale a desigualdade log 6 ( ) log ( ) 8. (AFA) No cojuto dos úmeros reais, a desigualdade log (log ( )) 0 é verdadeira para: / ) 6 c) 6 d) da 9. (MACK) O MENOR valor atural de para o qual se tem log0 é... ) c) d) Segudo uma pesquisa, após meses de costatação de uma epidemia, o úmero de pessoas por ela atigida é dada pela epressão f( ). Supodo log 0, 0 e log 0,8, daqui a quato tempo, aproimadamete, o úmero de pessoas atigidas por essa epidemia será de.000? 7 dias ) 8 dias c) 9 dias d) 0 dias dias 6. Um empresário comprou um apartameto com iteção de ivestir seu diheiro. Saedo-se que esse imóvel valorizou % ao ao, é correto afirmar que seu valor duplicou em, aproimadamete: (Dados: log 0,0 e log 7 0,8 ) 6. (ITA) Seja S o cojuto de todas as soluções reais da equação log ( ) log ( ). Etão: S é um cojuto uitário e S ], [ ) S é um cojuto uitário e S ], [ c) S possui dois elemetos distitos e S ], [ d) S possui dois elemetos distitos e S ], [ S é um cojuto vazio. / 7. Resolva a equação log log (6 ) 7. 6 ) 7 c) 6 d) 8 aos ) aos e meses c) aos d) 6 aos e 7 meses 7 aos e 6 meses 6. O valume de um líquido dimiui 0% por hora. Após um tempo t, seu volume se reduziu à metade. O valor que mais se aproima de t é: (Dado: log 0,0 ) h0 ) h6 c) h d) h0 h06

16 6. (UFU) Eistem algus esportes em que a sesção de lierdade e perigo covivem lado a lado. Este é o caso do esqui a eve. Supoha que um esquiador, ao descer uma motaha, seja surpreedido por uma avalache que o soterra totalmete. A partir do istate em que ocorreu o soterrameto, a temperatura de seu corpo decresce ao logo do tempo t (em horas), segudo a fução Tt () dada por t 6 Tt ( ) (T em graus Celsius), com t 0. t Quado a equipe de salvameto o ecotra, já sem vida, a temperatura de seu corpo é de graus Celsius. De acordo com as codições dadas, pode-se afirmar que ele ficou soterrado por, aproimadamete, Utilize a aproimação: log 0, 6 * 66. (UFU) Se e S é o cojuto solução da iequação (log ) (log ) 0, etão é CORRETO afirmar que S cotém múltiplos de 0 ) S cotém 90 elemetos c) S cotém 6 úmeros primos d) S cotém 6 úmeros pares h e 6 miutos ) 6 miutos c) h e 6 miutos d) h e 6 miutos 6. Em, o cojuto solução da iequação log/ log/ é: 0, 6 ), 6 6 c), d) 0, 6, 6. (FUVEST) O cojuto dos úmeros reais que satisfazem a iequação log ( ) log ( ) é o itervalo, 7 ), c),0 7 d), 0, GABARITO 0. A 09. A 7. A. E. A. 0. B 9. C 0. B 0. B 8. D 7. A. B. C. A 60. A 0. A. C 9. D 8. B 6. A. A. E 6. E 0. B. B 0. D 9. D 7. E. C. E 6. E 0. C. A. B 0. A 8. B 6. B. A 6. C 06. E. C. C. A 9. B 7. C 6. B 6. B 07. E. C. B. B 0. B 8. B 7. C 6. D 08. E 6. B. D. B. E 9. A 8. C 66. D 6. a a.,