UNIVERSIDADE METODISTA DE PIRACICABA

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1 UNIVERSIDADE METODISTA DE PIRACICABA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA E DE PRODUÇÃO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE KAPLAN-MEIER E BOOTSTRAP NA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE PRODUTOS BASEADA EM DADOS DE CAMPO ADÍLSON JOSÉ MARCORIN ORIENTADOR: PROF. DR. ALVARO JOSÉ ABACKERLI Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia de Produção, da Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, da Universidade Meodisa de Piracicaba UNIMEP, como requisio para obenção do Tíulo de Mesre em Engenharia de Produção. SANTA BÁRBARA D OESTE DEZEMBRO, 2002

2 UNIVERSIDADE METODISTA DE PIRACICABA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA E DE PRODUÇÃO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE KAPLAN-MEIER E BOOTSTRAP NA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE PRODUTOS BASEADA EM DADOS DE CAMPO ADÍLSON JOSÉ MARCORIN ORIENTADOR: PROF. DR. ALVARO JOSÉ ABACKERLI Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia de Produção, da Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, da Universidade Meodisa de Piracicaba UNIMEP, como requisio para obenção do Tíulo de Mesre em Engenharia de Produção. SANTA BÁRBARA D OESTE DEZEMBRO, 2002

3 3 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO CAMPUS DE SANTA BÁRBARA D OESTE UNIMEP M321a Marcorin, Adílson José. Aplicação dos Méodos de Kaplan-Meier e Boosrap na Análise de Confiabilidade de Produos Baseada em Dados de Campo./Adílson José Marcorin. Sana Bárbara d Oese, SP: [s.n.], Orienador: Alvaro José Abackerli Disseração (Mesrado) Universidade Meodisa de Piracicaba, Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção. 1. Confiabilidade. 2. Esimaivas de Confiabilidade. 3. Amosras Censuradas. 4. Dados de Campo. 5. Reamosragem Boosrap. I. Abackerli, Alvaro José. II. Universidade Meodisa de Piracicaba, Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, Programa de Mesrado em Engenharia de Produção. III. Tíulo.

4 i APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE KAPLAN-MEIER E BOOTSTRAP NA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE PRODUTOS BASEADA EM DADOS DE CAMPO ADÍLSON JOSÉ MARCORIN Disseração de Mesrado defendida e aprovada, em 27 de dezembro de 2002, pela Banca Examinadora consiuída pelos Professores: Prof. Dr. Alvaro José Abackerli, presidene UNIMEP Prof. Dr. Paulo Auguso Cauchick Miguel UNIMEP Prof. Dr. Carlos Amadeu Pallerosi UNICAMP Sana Bárbara d Oese, 27 de Dezembro de 2002

5 ii À Minha Família Especialmene à minha esposa, Jôsi, e meus filhos, Dênis e Denise

6 iii AGRADECIMENTOS A Deus, pelo dom da vida. Ao professor Alvaro José Abackerli pela orienação, paciência, dedicação, confiança e incenivo dispensados ao desenvolvimeno dese rabalho, e ambém pelo vínculo de amizade criado. À professora Liciana Vaz de Arruda Silveira, do Insiuo de Bioecnologia da UNESP, pela imporane colaboração dada na revisão dos conceios esaísicos uilizados nese rabalho durane a qualificação. Ao professor Sidney Ragazzi, do Insiuo de Maemáica, Esaísica e Compuação Cienífica da UNICAMP. Aos professores Nivaldo Lemos Coppini, Sílvio Pires, Neocles Alves Pereira, Nelson Maesreli, Paulo Auguso Cauchick Miguel, Felipe Calarge, Nádia K. Pizzinao e Maria Isabel Sanoro pelo incenivo à pesquisa. A Divanir L. Spagnol pela colaboração e confiança no uso dos erminais do Núcleo de Gesão da Qualidade e Merologia. À Secrearia da Pós-Praduação da FEMP, pelo apoio, e principalmene, pela amizade demonsrada pela secreária e pelos bolsisas. Às Indúsrias Romi S/A pela concessão parcial de bolsa para cuseio do mesrado.

7 iv A paciência é companheira da sabedoria. Sano Agosinho ( ) Teólogo e Filósofo.

8 v MARCORIN, Adílson José. Aplicação dos Méodos de Kaplan-Meier e Boosrap na Análise de Confiabilidade de Produos Baseada em Dados de Campo p. Disseração (Mesrado em Engenharia de Produção) Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, Universidade Meodisa de Piracicaba, Sana Bárbara d Oese. RESUMO Esimaivas de confiabilidade são em geral feias uilizando-se écnicas de inferência esaísica. As inferências são feias a parir de dados de falhas coleados em ensaios. A uilização de dados de campo para as inferências pode reduzir os cusos de colea de dados de falha. Nese rabalho propõe-se a aplicação do méodo de Kaplan-Meier para esimaiva não-paramérica de confiabilidade, bem como o méodo de reamosragem Boosrap para deerminação do inervalo de confiança da esimaiva feia usando-se dados de campo. Populações com disribuições conhecidas são geradas por simulação, visando esar a capacidade da proposa de esimar os valores de confiabilidade e seu inervalo de confiança. Os resulados das simulações mosram que a proposa é consisene para diversas populações com disribuição simérica ou assimérica, bem como para diversos níveis de censura à direia. Um esudo de caso de uilização do méodo é apresenado para uma amosra real de dados de falhas ocorridas em painéis de operação de máquinas. A proposa permie esimar a vida B10 do equipameno uilizando-se dados de uma amosra foremene censurada. O méodo se mosra adequado para esimaivas não-paraméricas de confiabilidade uilizando-se amosras que conenham censuras de múliplos ipos ou com empos de falha repeidos. PALAVRAS-CHAVE: Confiabilidade, Esimaivas de confiabilidade, Amosras censuradas, Dados de campo, Reamosragem Boosrap.

9 vi MARCORIN, Adílson José. Aplicação dos Méodos de Kaplan-Meier e Boosrap na Análise de Confiabilidade de Produos Baseada em Dados Campo p. Disseração (Mesrado em Engenharia de Produção) Faculdade de Engenharia Mecânica e de Produção, Universidade Meodisa de Piracicaba, Sana Bárbara d Oese. KAPLAN-MEIER AND BOOTSTRAP APPLICATION ON PRODUCT RELIABILITY ANALYSIS BASED ON FIELD DATA ABSTRACT Reliabiliy esimaion is usualy done using saisical inference. The inferences are done using daa coleced by means of reliabiliy ess. However, field daa can be a valuable, low cos source of failure daa. A proposal is presened for reliabiliy esimaion using field daa. The proposal is based on Kaplan-Meier mehod o esimae reliabiliy measures and he Boosrap ressampling mehod o calculae confidence inervals. Daa wih known populaion disribuion has been generaed o es he mehod s abiliy o calculae consisen confidence inervals. Simulaion resuls show he consisency of he proposal o calculae confidence inerval for differen populaion, including cases of daa showing differen levels of righ censoring. A case sudy using failures occurred in machine operaing panels has been conduced o es he proposal using real daa sampled from field. The mehod has shown o be adequae o non-parameric esimaion of reliabiliy using samples wih muliple censoring daa, specially when i is no possible o fi he daa o a known disribuion funcion. Keywords: Reliabiliy, Reliabiliy esimaion, Censored sample, Field failure daa, Boosrap resampling.

10 vii SUMÁRIO Lisa de Abreviauras e Siglas... viii Lisa de Figuras... x Lisa de Tabelas... xi Capíulo 1. Inrodução...1 Capíulo 2. Fundamenos da Confiabilidade Conceiuação e definição da confiabilidade Esimaivas, parâmeros e funções para a confiabilidade A função de confiabilidade A axa de falhas ou axa de risco O empo médio enre falhas MTBF Vida Bx e garania Méodos de inferência para a confiabilidade Inferência paramérica Inferência não-paramérica Esimaiva de parâmeros Modelagem dos dados de falhas Modelagem não-paramérica de amosras censuradas Modelagem paramérica de amosras censuradas Esimaivas por inervalo Inervalos de confiança para MLE Inervalo de confiança para inferência não-paramérica Méodos de reamosragem...36 Capíulo 3. Uilização de Dados de Campo em Confiabilidade Caracerísicas dos dados de campo Esimadores para dados de campo Discussão da lieraura...52 Capíulo 4. A Proposa para Esimaiva de Confiabilidade...54 Capíulo 5. Validação e Tese da Proposa Aplicação da modelagem...63 Capíulo 6. Conclusão e proposas de rabalhos fuuros...69 Referências Bibliográficas...72 Bibliografia Consulada...78

11 viii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS nível de significância para uma esimaiva (ou risco) a,b consanes numéricas parâmero de forma da disribuição de Weibull B x empo de vida associada a uma probabilidade de falha de x% F() função de densidade cumulaiva S i C k D k E() E(G) F i h() H() k M MLE i-ésima censura de uma amosra k-ésimo percenil de uma amosra ordenada k-ésimo decil de uma amosra ordenada disribuição exponencial com parâmero esperança maemáica de uma função genérica G i-ésima falha de uma amosra parâmero de deslocameno (vida mínima) em disribuições de Weibull e exponencial parâmero de localização da disribuição de Weibull axa de risco ou axa de falhas axa de risco cumulaiva quanidade de falhas denro de uma amosra de dados de vida parâmero de localização em disribuição exponencial número de reamosras no méodo de Boosrap parâmero de média populacional para disribuições Normal e Lognormal Méodo de máxima verossimilhança MTBF, empo médio enre falhas (vida média) n,n amanho de amosra N() disribuição Normal com média e desvio padrão p probabilidade de sucesso em uma disribuição binomial P probabilidade associada a um empo f() função densidade de probabilidade conjuno de parâmeros de uma disribuição

12 ix Q() Q k R(),s T (i) a i U(a,b) Var(G) Z desconfiabilidade, igual à probabilidade de falha cumulaiva F() k-ésimo quaril função de confiabilidade de parâmero de desvio-padrão para disribuições Normal e Lognormal variável conínua relaiva ao empo de falha denro de uma amosra esaísica de ineresse no méodo de Boosrap i-ésimo elemeno de uma amosra ordenada elemeno da amosra imediaamene anerior ao elemeno aual i-ésimo elemeno de uma amosra disribuição uniforme com parâmeros a e b variância de uma função genérica G valor críico relaivo a um dado nível de confiança

13 x LISTA DE FIGURAS Figura 1 Relação empírica enre o empo de funcionameno e a probabilidade de funcionameno P...9 Figura 2 Curva da banheira...13 Figura 3 Noação para idenificação dos elemenos da amosra ordenada...19 Figura 4 Comparação da F() de uma amosra Normal N(99,8;10,3) com a F() empírica calculada por meio de esimaiva não-paramérica...22 Figura 5 QQ-Plo das amosras da abela 2 para diversas disribuições, feias pelo sofware Miniab...24 Figura 6 - Classificação das observações no empo de observação o...27 Figura 7 Gráfico ípico do esimador de Kaplan-Meier...31 Figura 8 Gráfico do esimador de Kaplan-Meier com os inervalos de confiança calculados para cada esimador...36 Figura 9 Represenação gráfica da proposa...56 Figura 10 represenação gráfica do processo de validação...57 Figura 11 Disribuições dos valores de B10 calculados pela proposa Figura 12 Disribuição dos 200 valores de B

14 xi LISTA DE TABELAS Tabela 2 Exemplo de amosra ordenada de n=100 iens de uma população Normal N(99,8;10,3)...21 Tabela 3 Exemplo de amosra censurada. (Reliasof Corporaion, 2001)...28 Tabelas 4a e 4b Combinações possíveis do componene C na posição 2 e na posição 3. Fone: Reliasof Corporaion (2001)...29 Tabela 5a, 5b e 5c Combinações possíveis do componene E, quando nas posições 3, 4 ou 5. Fone: Reliasof Corporaion (2001)...30 Tabela 6 Resulado de ensaios de cálculo de nível de confiança uilizando o méodo...60 Tabela 7 Amosra censurada conendo empos de falhas e de censuras para 187 unidades do painel de operação em esudo...64 Tabela 8 disribuição da idade das máquinas e da quanidade de reornos de painel de operação....67

15 1 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Ao longo das décadas mais recenes a humanidade vem assisindo à consolidação do sisema capialisa. Uma das caracerísicas dese sisema é uma fore ênfase na compeição pela sobrevivência. Esa compeição se manifesa nas mais diversas aividades, inclusive na condução dos negócios e da economia. Empresas compeem enre si pela sua sobrevivência no mercado, endo como principais faores para esa sobrevivência a conquisa e a manuenção de clienes que garanam o consumo de produos e de serviços oferados pelas empresas. Com isso, as empresas se volam para a busca da saisfação do cliene como esraégia de compeição. Nese conexo, a qualidade é cada vez mais definida em ermos da capacidade de um dado produo ou serviço de aender as necessidades e expecaivas dos clienes. A qualidade, porano, passa a ser uma das armas principais desa compeição pelo mercado consumidor. Em conseqüência, grandes esforços são feios denro das empresas visando gerenciar da melhor maneira possível a qualidade de seus produos e serviços. Os conceios de gerenciameno da qualidade êm ambém evoluído ao longo do empo, passando de uma menalidade reaiva para uma menalidade proaiva, conforme observado por Kene & Zacks (1998). Esa evolução da menalidade de gerenciameno da qualidade é represenada em seu rabalho como uma escada, chamada de escada da qualidade (The Qualiy Ladder). Ese modelo classifica a evolução da culura da qualidade denro de uma organização em quaro degraus. Os degraus mais baixos represenariam culuras de gerência de qualidade mais reaivas, enquano os degraus mais alos represenariam culuras de gerência mais proaivas. No degrau mais alo e mais proaivo, esá represenada a culura do planejameno da qualidade do produo já durane seu desenvolvimeno, num conceio chamado de qualidade por meio do projeo (Qualiy by Design). Segundo ese conceio, a qualidade de um produo deve ser planejada no seu desenvolvimeno.

16 2 Theije e al. (1998) argumenam ambém em favor da proaividade do planejameno da qualidade no desenvolvimeno de um produo, e esimam que 70% a 80% dos cusos fuuros relacionados a um produo dependem de decisões omadas durane o seu desenvolvimeno. Jayaram & Ibrahim (1999) discuem que as decisões de projeo devem ser omadas visando orná-lo robuso. Segundo os auores, um projeo é dio robuso se as caracerísicas de desempenho não se aleram em função das variações que ese possa sofrer durane seu uso. Donovan & Sephenson (1997) desacam a imporância da redução do empo de desenvolvimeno de um produo como esraégia de compeição, ciando um esudo segundo o qual as companhias perdem em média 33% de seu lucro quando o lançameno de um novo produo é arasado em seis meses. No enano, alera que a qualidade não pode ser compromeida na busca pela redução do empo de projeo. Por ouro lado, a qualidade pode ser caracerizada por oio dimensões, conforme proposo por Garvin (1987), sendo uma delas a confiabilidade. Segundo Garvin, a confiabilidade reflee a probabilidade de um produo falhar denro de um período de empo, e se orna especialmene relevane para os consumidores quando a manuenção do produo é mais dispendiosa. Segundo Garvin (1987), a durabilidade é ambém uma das oio dimensões da qualidade. A durabilidade pode ser definida como a quanidade de uso que se consegue do equipameno aé que seja mais econômico descará-lo do que repará-lo. Denro dese enfoque, a durabilidade em ambém uma relação esreia com a confiabilidade e, para produos reparáveis, eses conceios são equivalenes. Apesar das diversas visões e abrangências possíveis para a qualidade, radicionalmene um produo que se diga de boa qualidade é associado à idéia de um produo que não quebra, ou seja, um produo que funciona coninuamene sem apresenar falhas. Assim, pode-se dizer que, independenemene do enfoque em discussão, o conceio de qualidade esá

17 3 foremene associado à confiabilidade do produo, quase independenemene da conceiuação adoada para sua definição. A confiabilidade, por sua vez, é definida como a probabilidade de um produo funcionar coninuamene, sem falhas por um deerminado período de empo, e em condições de funcionameno deerminadas (O Connor,1988). A análise de confiabilidade se baseia em modelos esaísicos de probabilidade, aplicados a dados de empo decorrido aé a falha. Os dados de empo aé a falha podem ser coleados por meio de ensaios ou por meio de regisro de ocorrências de falhas em produo funcionando em clienes, que são chamados nese rabalho de dados de campo. A realização de ensaios gera informações mais compleas sobre o comporameno das falhas do produo, já que odas as condições de ensaio esão sob conrole. Por ouro lado, nos ensaios exise a necessidade de alocação ala de recursos, conforme diado por Genadis (1996), que descreve os principais cusos envolvidos em ensaios de confiabilidade. Basicamene, devem ser compuados cusos de equipamenos de ensaio que simulem as condições de funcionameno desejadas, energia elérica para alimenação deses equipamenos, mão-de-obra qualificada para acompanhameno dos ensaios, além da aquisição de amosras que são submeidas aos eses. Como o objeivo do ensaio é que ocorram falhas, as amosras a ele submeidas serão faalmene inuilizadas. Além disso, para que se possa er o resulado dos ensaios em empo hábil para a omada de decisão durane o desenvolvimeno do produo, o empo de ensaio não pode ser longo a pono de arasar o projeo. Para redução da sua duração é comum a realização de ensaios nos quais as amosras são submeidas a condições mais severas do que as normais de uilização. Isso visa acelerar a ocorrência de falhas para reduzir o empo de falhas, sendo por isso chamados de ensaios acelerados. A análise de dados de falhas geradas nesas condições demanda a uilização de écnicas específicas que permiam exrapolar os resulados dos ensaios para as condições normais de uso. O domínio de ais écnicas demanda ambém a disponibilidade de mãode-obra especializada para análise dos resulados.

18 4 Por ouro lado, a uilização de dados de campo esá sujeia a algumas limiações relaivas à qualidade das informações de falhas regisradas. Apesar de normalmene exisirem bancos de dados de ocorrências de reparos em campo, suas informações êm em geral finalidades fiscais para a cobrança do serviço de manuenção, razendo pouca informação sobre a falha observada e o seu diagnósico. Isso dificula o seu uso para o cálculo de confiabilidade num grande número de casos. Oura dificuldade comum é que nem odas as falhas ocorridas em campo são regisradas, já que alguns clienes êm equipe própria de manuenção. Isso faz com que muias informações de falhas não cheguem ao fabricane do equipameno. Porano, em geral, as informações disponíveis são aquelas relaivas a equipamenos ainda denro do período de garania. Com isso, normalmene somene as falhas ocorridas denro do período de garania são consideradas para análise da confiabilidade. Some-se a isso o fao de que equipamenos de ala confiabilidade não falham com freqüência, em-se que a quanidade de falhas para análise de confiabilidade é basane reduzida quando se uilizam dados de campo. Apesar disso, a uilização de dados de campo se consiui em uma alernaiva basane araiva para esimaiva de confiabilidade pelo seu baixo cuso e pela sua disponibilidade imediaa, impacando posiivamene o empo e o cuso de desenvolvimeno e endo a grande vanagem das informações erem sido coleadas com os equipamenos em condições reais de uilização. Na lieraura inernacional exisem diversos rabalhos com esudos de confiabilidade baseados em dados de campo, uilizando méodos esaísicos clássicos para esimaiva de confiabilidade. Wang e al. (1999) se preocupam especificamene com a esruuração da base de dados para o regisro de ocorrências de falhas em campo. Jauw & Vassiliou (2000) propõem um sisema auomaizado de aquisição e análise de dados de falhas de campo. A despeio de suas virudes, em alguns casos, os méodos uilizados com os dados de campo endem a apresenar inervalos de confiança de al ordem que não permiem avaliação conclusiva sobre a confiabilidade do produo.

19 5 O que se noa é que, apesar das vanagens apresenadas pelo uso de dados de campo, as análises feias aravés de méodos clássicos demonsram a imporância de se aprimorar o cálculo dos inervalos de confiança das esimaivas de confiabilidade. Nese senido, ese rabalho objeiva apresenar a aplicação dos méodos de Kaplan-Meier e Boosrap para o cálculo do inervalo de confiança nas esimaivas de confiabilidade usando dados de campo, de al modo a agregar os seus benefícios no desenvolvimeno de produos. Para isso, o presene rabalho esá dividido nos 6 capíulos descrios a seguir. No presene capíulo apresenam-se a jusificaiva e a conexualização do ema, declarando-se a moivação para a realização dese esudo, além de seu objeivo. No Capíulo 2 apresenam-se os conceios sobre a eoria esaísica aplicada a esudos de confiabilidade, com a definição de vários elemenos imporanes como os esimadores, os modelos e os méodos de análise de caracerísicas dos dados de falha. O capíulo serve, porano, como uma referência eórica para dealhameno do ema e da proposa apresenadas nos capíulos subseqüenes. No Capíulo 3 apresena-se a revisão bibliográfica relaiva à uilização das écnicas esaísicas aplicadas a esudos de confiabilidade, noadamene visando desacar os casos de uilização de dados de campo reporados. As caracerísicas principais dos dados de campo são ambém desacadas nese capíulo. No Capíulo 4 descreve-se a meodologia proposa para cálculo do inervalo de confiança de esimaivas de confiabilidade uilizando-se dados de campo, bem como uma forma de se validar a proposa quano à sua capacidade de aendimeno das caracerísicas específicas de ais dados, desacadas no Capíulo 3.

20 6 No Capíulo 5 é apresenada a aplicação do processo de validação descrio no Capíulo 4 e seus resulados são comenados. Um esudo de caso uilizando a meodologia proposa com dados reais de falhas de um equipameno é ambém apresenado, visando esar a proposa com dados reais de campo. No Capíulo 6 conclui-se o rabalho, avaliando-se os resulados, as vanagens e as limiações da proposa, apresenando ainda sugesões para pesquisas fuuras que conribuam para o aproveiameno de dados de campo como fone de informação para esudos de confiabilidade.

21 7 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DA CONFIABILIDADE Um esudo de confiabilidade esá relacionado ao esudo das falhas ocorridas em um dado equipameno. O domínio dos conceios envolvidos na definição de confiabilidade permie que ela possa ser quanificada. Por seu lado, a quanificação de confiabilidade de um dado equipameno envolve a uilização de écnicas esaísicas de cálculo de probabilidade. Esudos de confiabilidade são uma forma de esaísica aplicada ao esudo de falhas de equipamenos. Para efeio dese rabalho, a conceiuação geral aqui uilizada, aplicada à aividade indusrial, foi grandemene baseada nos rabalhos de Kene & Zacks (1998) e Levine e al. (1998). A eoria esaísica aplicada à confiabilidade foi principalmene baseada nos rabalhos de Smih (1986), Müller & Schwarz (1986) e O Connor (1988). Nese capíulo é apresenada a definição formal de confiabilidade, a parir da qual se discuem os conceios nela envolvidos, visando esabelecer o pono de parida para a sua quanificação. A seguir, as esimaivas comumene uilizadas como medidas de confiabilidade de um produo são descrias, as quais serão referenciadas ao longo do exo. Na seqüência, são apresenados os modelos e méodos esaísicos de inferência uilizados para as esimaivas de vida, de forma a caracerizar cada um deles em função dos diversos ipos de dados uilizados. A discussão das caracerísicas das amosras de dados uilizadas para esudo de confiabilidade desaca as suas peculiaridades em relação às amosras usadas em esudos esaísicos mais genéricos. Finalmene, são apresenados os méodos de deerminação de inervalos de confiança para os valores de confiabilidade esimados, de forma a ressalar sua imporância na esimaiva de uma dada medida de confiabilidade.

22 8 2.1 CONCEITUAÇÃO E DEFINIÇÃO DA CONFIABILIDADE As normas miliares americanas, elaboradas pelo Deparameno de Defesa dos Esados Unidos da América, definem confiabilidade como a probabilidade de um íem execuar a função para o qual foi projeado, por um período de empo específico e sob condições deerminadas (U.S. Deparmen of Defense, 1998). O ermo iem na definição acima é uma generalização para arigos manufaurados, produos, equipamenos, componenes e conjunos de componenes. Tais iens são concebidos para o aendimeno de uma função específica, desde que rabalhando sob as condições de uso para as quais enham sido projeados. Ao apresenarem incapacidade de aendimeno desa função, nas condições de rabalho especificadas, diz-se que o equipameno apresena uma falha. Esa definição caraceriza a confiabilidade como uma probabilidade de funcionameno num período de empo. Porano, a quanificação da confiabilidade sempre associa uma probabilidade P a um empo de funcionameno do iem, sem falhas. A ese empo é comumene dado o nome de missão. Empiricamene, em-se facilmene a noção de que esa probabilidade P de funcionameno é ano menor quano mais aumena o empo de uso. De fao, espera-se que iens com maior empo de uso enham menor chance de funcionar do que iens relaivamene mais novos. A confiabilidade, porano, é uma função que decresce com o empo de uso. A figura 1 ilusra esa relação empírica.

23 9 P Figura 1 Relação empírica enre o empo de funcionameno e a probabilidade de funcionameno P Nos esudos de confiabilidade, o que se chama de empo não é necessariamene expresso aravés de unidades de empo (horas, dias, semanas, meses, anos, ec.). Pode ambém ser expresso por quanidades que, indireamene, indiquem empo de uso, como kilomeragem de auomóveis, número de ciclos de um cilindro hidráulico, número de manobras em um boão, ec. Smih (1986) faz ainda algumas considerações de ordem práica basane relevanes em relação aos conceios de confiabilidade. Primeiramene, alera que, por ser uma probabilidade, a quanificação da confiabilidade envolve écnicas esaísicas, sendo, porano, uma forma de maemáica aplicada. Como al, ela deve servir como auxílio e não como subsiua da razão lógica, já que seu uso cego, sem considerações de ordem práica, vai faalmene levar a conclusões errôneas na inerpreação dos resulados. Assim, os valores devem sempre ser inerpreados à luz da razão e do conhecimeno écnico sobre o iem em análise. Oura observação feia por Smih (1986) é de que a confiabilidade é um esado do conhecimeno, e não um esado das coisas. Para ilusrar esa idéia, uma siuação hipoéica é considerada, em que um asronaua esá em um foguee preses a ser lançado. O asronaua quesiona o engenheiro na base sobre como é que ele pode saber se o foguee é confiável. O engenheiro responde que disparou dezesseis foguees idênicos ao aual, e os úlimos

24 10 quaorze funcionaram. O Asronaua novamene perguna se eles dispararam ese em que ele esá. Obviamene que não, responde o engenheiro, pois do conrário o asronaua não esaria nele. Enão o asronaua vola a quesionar como ele pode esar seguro de que o foguee vai funcionar. O engenheiro enão pede que ele olhe ao redor, para fora do foguee, e observe que eles vão disparar diversos foguees idênicos para ele. O primeiro foguee a ser disparado falha. Cinco foguees são enão disparados em seguida, e odos funcionam adequadamene. Após o primeiro disparo falhar, o engenheiro e o asronaua ceramene ficaram em dúvida quano à confiabilidade do foguee. Após os cinco disparos com sucesso, porém, com cereza a confiança de ambos ficou maior. O que mudou foi o esado do conhecimeno sobre o desempenho do sisema, pois o foguee em que esá o asronaua coninua o mesmo desde sua colocação na base de lançameno. Com ese exemplo, Smih (1986) mosra que a confiabilidade não é uma caracerísica do produo, mas sim do conhecimeno que se em dele, sendo, porano, um conceio subjeivo por naureza. Apesar desa subjeividade, porém, defende-se a imporância do conhecimeno de probabilidade na vida práica, seja nas áreas de engenharia, ciências biomédicas, negócios e na vida diária dos indivíduos, onde exise um grau considerável de incereza. Sob ese enfoque, a probabilidade serve como uma subsiua da cereza. O fao de uma afirmação de probabilidade se revelar verdadeira, ou não, quando da ocorrência dos evenos discreos, não implica que a afirmaiva seja cera ou errada. A probabilidade é apenas e ão somene uma medida do que se espera que aconeça, na média, se um dado eveno é repeido por um grande número de vezes em condições idênicas. 2.2 ESTIMATIVAS, PARÂMETROS E FUNÇÕES PARA A CONFIABILIDADE Pelas discussões precedenes, é naural que a formulação de problemas de confiabilidade envolvam a caracerização objeiva de elemenos que

25 11 permiam o cálculo de parâmeros para aplicação direa na quanificação da melhoria da qualidade. A despeio das inúmeras nuâncias das diversas definições que envolvem a quesão, alguns conceios básicos e fundamenais podem ser expressos por variáveis, funções e modelos que os raduzam em resulados para os objeivos preendidos nos esudos de confiabilidade. Denre eles podem ser ciados a função de confiabilidade R( 0 ), a axa de falhas h( 0 ), o empo médio enre falhas MTBF, a missão B x e a garania, ou empo associado a uma dada confiabilidade. Os méodos de esimaiva deses elemenos são descrios nas seções a seguir. Nas descrições serão uilizadas a função densidade de probabilidade, denoada por f(), e a função de probabilidade cumulaiva, denoada por F(). Para conceiuação sobre esas funções recomenda-se a leiura de Kene & Zacks (1998) A FUNÇÃO DE CONFIABILIDADE De acordo com a definição dada, a função de confiabilidade R() define a probabilidade de não ocorrer uma falha aé o empo. Tomando-se como uma variável aleaória conínua, a função de confiabilidade R() (equação 4) pode ser obida a parir de uma ransformação simples da F() dada por (1): 0 F ) P( ) f ( s) ds (1) ( 0 0 Esa é a função que define a probabilidade de ocorrência da falha aé o empo 0. Como a confiabilidade é a probabilidade de não-ocorrência da falha aé o empo 0, ou a probabilidade de não-falha, orna-se um eveno muuamene excludene em relação à probabilidade dada em (1). Desse fao conclui-se que a probabilidade de falha somada à probabilidade de não-falha (confiabilidade) deve resular o valor 1. À função mosrada em (1) é ambém dado o nome de função desconfiabilidade, Q(), já que ela represena a probabilidade de falha.

26 12 Porano, Q ( ) R( ) 1 (2) 0 R ( ) 1 Q( ) 1 f ( s) ds (3) ou seja, R ) P( ) f ( s) ds (4) ( A TAXA DE FALHAS OU TAXA DE RISCO A axa de risco ou axa de falhas de um produo define a sua probabilidade insanânea de falha, que é a probabilidade do produo sobreviver ao inervalo de a +d, dado que ele enha sobrevivido aé o empo. A função axa de falhas ou axa de risco é dada por: f ( ) h( ) (5) R( ) Pode-se ambém definir a axa de falhas cumulaiva como sendo: f ( s) H ( ) ds (6) R( s) A axa de falhas não é necessariamene consane ao longo da vida de um produo. A represenação gráfica da variação da axa de falhas ao longo do empo é comumene conhecida como curva da banheira (O Connor, 1988; Müller & Schwarz, 1986) ou curva de moralidade (Smih, 1986). Sua forma clássica esá represenada na figura 2. Na fase chamada de infância, problemas associados em geral ao processo de fabricação causam axa de falhas ala em um produo novo. À medida que os problemas são sanados esa axa vai decrescendo

27 13 acenuadamene aé se esabilizar em um valor de axa de falhas aproximadamene consane. Aí se inicia a chamada vida úil do produo. Figura 2 Curva da banheira Uma preocupação comum aos fabricanes de produos é reduzir ao máximo o empo de infância aravés de eses anes de envia-lo para o cliene. Aos eses realizados com ese fim dá-se o nome de burn-in. Uma quesão imporane é a deerminação do empo de burn-in, empo 1 na figura 2, onde se inicia a vida úil do produo. Esa quesão é discuida por diversos auores, como Genadis (1996), Hiu & Lu (1996) e Su & Wu (1999). Durane a vida úil a axa de falhas do produo é praicamene consane, onde as falhas ocorrem meramene ao acaso. Com o uso do equipameno, suas peças vão se desgasando, e o produo enra em uma fase de axas de falhas crescenes, conhecida como velhice ou desgase. A caracerização desas fases é muio imporane para a deerminação de políicas de manuenção. Para maner a disponibilidade dos equipamenos, o empo de vida úil deve ser manido o mais longo possível. As pares do produo que esejam próximos de sua fase de desgase devem ser rocadas, de forma a eviar paradas não programadas de máquinas por desgase. Técnicas de confiabilidade podem ser uilizadas para o gerenciameno da manuenção nese caso. A manuenção feia com base em dados de confiabilidade é conhecida como RCM Reliabiliy Cenered Mainenance. Diversos rabalhos

28 14 discuem a uilização de écnicas de confiabilidade em manuenção, como em Pinelon e al. (1999) e Bem-Daya (2000) O TEMPO MÉDIO ENTRE FALHAS MTBF O empo médio fornece a expecaiva média de vida dos iens, e pode ser empiricamene definida como a média dos valores de omados enre n elemenos. Dados n valores de vida, a vida média é dada por: _ n i1 ( i) n (7) VIDA B X E GARANTIA A vida B x é o empo onde se espera que a probabilidade de falha de um iem seja de x%. A vida B x pode ser definida por: B x, al que 100 f ( s) ds x% (8) Analogamene, a garania é expressa como o empo onde se espera um dado valor de confiabilidade R(). Por exemplo, o empo de garania que uma empresa pode dar ao cliene, se ela esá disposa a cusear 5% dos reornos de campo, é o empo equivalene a uma confiabilidade R() igual a 95%. 2.3 MÉTODOS DE INFERÊNCIA PARA A CONFIABILIDADE Os elemenos descrios na seção anerior represenam diversas formas de se quanificar os parâmeros relacionados à confiabilidade de um dado produo. Em esudos de confiabilidade, écnicas esaísicas são uilizadas para o cálculo deses parâmeros, uilizando-se dados de falhas das amosras. Ao conjuno dessas écnicas dá-se o nome de inferência esaísica.

29 15 Segundo Levine e al. (2000), inferência esaísica pode ser definida como os méodos que ornam possível a esimaiva de uma caracerísica de uma população com base somene em resulados de amosras. Tais inferências podem ser feias de forma paramérica, aravés das funções f(), ou de forma não-paramérica. As funções densidade de probabilidade, f(), são formas de caracerizar a disribuição de probabilidade de uma variável aleaória conínua. Em esudos de confiabilidade, considerando o empo de falha como uma variável aleaória conínua, aravés da caracerização de sua f() podem-se derivar os principais esimadores de confiabilidade discuidos na seção 2.2. A inferência uilizando disribuição de freqüência para esimaiva da confiabilidade consise em enconrar primeiramene o modelo de disribuição que melhor se adequa aos dados da amosra. Enconrado o modelo adequado, os parâmeros do modelo de disribuição devem ser esimados, e somene enão a f() associada ao modelo pode ser uilizada para quanificação da confiabilidade do produo. Por depender da adequação dos dados ao modelo, com a esimaiva dos seus parâmeros, a inferência feia desa forma é conhecida como modelagem paramérica. Em conraparida, O Connor (1988) define como méodos inferenciais não-paraméricos aqueles desenvolvidos para medir e comparar variáveis esaísicas quando não se uiliza na análise a f() para caracerização da disribuição de freqüência. Podem ambém ser chamados de méodos independenes de disribuição (disribuion-free mehods). Os méodos nãoparaméricos são um pouco menos poderosos que os méodos paraméricos em ermos de precisão quando a disribuição da população é conhecida. No enano, eles são mais simples de usar e basane adequados quando não se conhece a disribuição da população. Na seção são apresenados os principais esimadores para os valores de confiabilidade descrios na seção 2.2, para as funções de disribuição de probabilidade f() mais conhecidas uilizadas em modelagem de

30 16 dados de falha. Na seção são apresenados alguns méodos nãoparaméricos clássicos em esudo de confiabilidade INFERÊNCIA PARAMÉTRICA Os méodos de inferência paramérica consisem em se adequar uma função de disribuição de freqüência aos dados da amosra, esimar os parâmeros da função de disribuição, aravés dos elemenos definidos em 2.2, quanificando-se a parir deles as medidas de confiabilidade de ineresse. Diversas são as disribuições de probabilidade uilizadas em esudos de confiabilidade. A abela 1 ilusra as expressões da função f(), da confiabilidade R(), do parâmero MTBF, e da axa de falhas h(), razendo a expressão equivalene para as disribuições Normal, Weibull, Exponencial e Lognormal. A disribuição Normal em ampla uilização em confiabilidade, e modela adequadamene iens que sofrem desgase ao longo de sua uilização. No enano, a disribuição Normal permie rabalhar com valores negaivos da variável aleaória, enquano o empo de falha em geral assume valores posiivos. Neses casos, empos negaivos podem indicar defeios de fabricação ou problemas de ranspore, armazenagem ou manipulação, de forma que o iem já apresena defeio no início de sua uilização. Na abela noa-se ambém a definição das expressões aravés de seu parâmero de localização, a média, e do parâmero de dispersão, o desvio-padrão. A disribuição Lognormal em grande uilização em esudos de confiabilidade, noadamene por modelar adequadamene variáveis que, apesar de erem disribuição aproximadamene Normal, não podem assumir valores negaivos. A disribuição Lognormal ambém em um parâmero de localização, a média, e um parâmero de dispersão, o desvio-padrão.

31 17 Tabela 1 Expressões dos esimadores de confiabilidade para disribuições Normal, Weibull, Exponencial e Lognormal Normal Weibull Exponencial Lognormal f() 2 ) ( ) ( e f e f 1 ) ( e f ) ( 2 ) ' ' ' ( ' 1 ) ' ( e f R() d e R 2 ) ( ) ( e R ) ( e R ) ( d e R 2 ) ' ' ' ( 2 1 ' 2 ' 1 ) ' ( MTBF ' 2 1 ' 2 e h() d e e h 2 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( h () h ' ) ' ' ' ( 2 1 ) ' ' ' ( ' 1 2 ' 1 ) ( d e e h

32 18 Também amplamene uilizada em esudos de confiabilidade, a disribuição exponencial modela adequadamene circuios elerônicos e demais componenes que enham como caracerísica não apresenarem falhas por desgase. Tais componenes êm maior chance de falhar logo no início de sua vida, devido a problemas em seu processo de fabricação, ou por problemas de manipulação. A disribuição exponencial em geralmene apenas um parâmero de localização,, mas pode ambém er um parâmero de deslocameno,. Em esudos de confiabilidade é conhecido como vida mínima, sendo na grande maioria dos esudos considerado nulo. Esa disribuição em grande uilização devido à simplicidade do cálculo de seu parâmero. Para populações sabidamene exponenciais, o seu parâmero é o inverso da vida média MTBF. Assim, calculando-se a média ariméica dos valores da amosra (MTBF), o parâmero pode ser calculado como mosrado na expressão 9. 1 (9) MTBF A disribuição de Weibull é basane uilizada em esudos de confiabilidade pela sua flexibilidade no ajusameno. Alerando-se um de seus parâmeros, a disribuição de Weibull pode modelar as mais diversas formas de disribuição, desde formas exremamene assiméricas à esquerda, como a Exponencial, aé disribuições siméricas como a Normal. A disribuição de Weibull em um parâmero de forma, um parâmero de localização e um parâmero de deslocameno. Em esudo de confiabilidade é conhecido como vida mínima, e é normalmene zero. Quano menor o valor de, mais assimérica à esquerda é a forma da disribuição de probabilidade. Valores de = 1 indicam uma disribuição perfeiamene exponencial. Valores de aproximadamene 3,5 indicam uma disribuição aproximadamene Normal INFERÊNCIA NÃO-PARAMÉTRICA Inferência não-paramérica é uma ferramena úil para esimaivas de confiabilidade quando não se dispõe de informações sobre a forma da

33 19 disribuição de freqüência da variável aleaória. Aravés da inferência nãoparamérica as esimaivas podem ser obidas sem que se uilizem funções de disribuição. Os esimadores não-paraméricos se baseiam no que se conhece por esaísicas da amosra ordenada. Tais esaísicas são definidas por Kene & Zacks (1998) como os valores caracerísicos de uma amosra cujos elemenos foram ordenados de forma crescene. Sejam 1, 2,..., n os n valores de empo observados em uma amosra. A amosra ordenada é denoada por (1), (2),... (n), onde (1) é menor valor observado na amosra, (2) é o segundo menor valor, e assim por diane. De forma geral, denoa-se por (i) o i-ésimo valor da amosra assim ordenada. A figura 3 ilusra esa noação. (1) (2) (3) (4) (n) i = n Figura 3 Noação para idenificação dos elemenos da amosra ordenada Apesar de i represenar a ordem do valor discreo (i) denro da amosra ordenada, sendo, porano, um valor ineiro, podem ocorrer ocasiões onde se orna necessário deerminar valores inermediários enre dois valores discreos (i) e (i+1). Neses casos, ao valor de (i) adiciona-se uma proporção k da diferença enre (i) e (i+1), al que 0 < k < 1. A ese valor inermediário denoa-se por (i.k), conforme exemplificado na expressão (10) a seguir. ( i.5),5( ) (10) ( i) 0 ( i 1) ( i) Diversas esaísicas amosrais podem ser calculadas uilizando-se esa noação. Como exemplo, o mínimo amosral é o (1), o máximo é (n), a ampliude amosral é dada por ( (n) (1) ). As esaísicas mais conhecidas, calculadas por meio de inferência nãoparamérica, são a mediana e os quaris, dadas genericamene por Q j = ( qj ),

34 20 onde q j = j(n+1)/4, caracerizando-se o primeiro quaril quando j=1, a mediana ou segundo quaril quando j=2, e o erceiro quaril quando j=3. As expressões abaixo ilusram o conceio: 1 o quaril: Q1 ( q1), sendo q ( 1) 1 n (11) 4 2 o quaril: mediana = Q2 ( q2), sendo q 2( 1) 2 n (12) 4 3 o quaril: Q3 ( q3), sendo q 3( 1) 3 n (13) 4 Analogamene à maneira pela qual se definem os quaris denro da amosra ordenada, podem ambém ser definidos os decis como D j, sendo j=(n+1)/10, os percenis como C j, sendo j=(n+1)/100, ec. Esas são formas específicas de uma classe de esaísica chamada de 1 quanil amosral. Assim, a mediana é definida como o -ésimo quanil, Q1 é o ésimo quanil, ec. Pode-se desa forma deerminar o -ésimo quanil, o ésimo quanil, ec. 100 Usando-se os dados de uma população Normal hipoéica de 100 elemenos com média 99,8 e desvio-padrão 10,3, N(99,8;10,3), conforme mosrada na abela 2, ais esaísicas podem ser deerminadas conforme exemplo a seguir. Com base no exposo aneriormene, deerminam-se: O 1 o quaril ((100 1)/4) (25.25) (25) 0.25 ( (26) - (25) ) 92,7 0.25( ) A mediana ((100 1)/2) (50.5) (50) 0,5 ( (51) - (50) ) 99,8 0,5 (100,2-99,8) 100

35 21 Tabela 2 Exemplo de amosra ordenada de n=100 iens de uma população Normal N(99,8;10,3) i (i) i (i) i (i) I (i) i (i) 1 74, , , , ,9 2 74, , , , ,4 3 81, , , , ,6 4 83, , , , ,7 5 84, , , , ,2 6 84, , , , ,7 7 85, , , , ,2 8 85, , , , ,2 9 85, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Na figura 4 mosram-se a função cumulaiva de N(99,8;10,3) e um polígono de freqüência acumulada uilizando os valores de probabilidade calculados de forma não-paramérica. Pode-se noar que os resulados das funções paramérica e nãoparamérica se aproximam, indicando a possibilidade de se uilizar as informações não-paraméricas para esimaiva de confiabilidade, mesmo se desconhecendo a forma de disribuição de freqüência dada pela f(). Esa abordagem leva ambém a uma forma de se verificar a aderência da amosra à uma dada disribuição padronizada, chamada de Quani-Quanil-Plo (QQ-Plo), cuja fundamenação é descria dealhadamene por Kenne & Zacks (1998).

36 22 1 0,75 p 0,5 Paramérico Não-paramérico 0, ,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 Figura 4 Comparação da F() de uma amosra Normal N(99,8;10,3) com a F() empírica calculada por meio de esimaiva não-paramérica ESTIMATIVA DE PARÂMETROS Na seção discuiram-se as principais disribuições de probabilidade usadas para a modelagem de confiabilidade, uilizando inferência paramérica. Na abela 1 foram mosradas as funções desas disribuições de probabilidade. Quando se preende fazer esimaivas dos valores de confiabilidade de forma paramérica, pelo uso de uma função f() conhecida, o seguine procedimeno é recomendado: i) Escolhe-se a função f() mais adequada aos dados; ii) iii) Esimam-se os parâmeros da disribuição f() escolhida; Esimam-se os valores da confiabilidade de ineresse.

37 23 A escolha da função de disribuição f() mais adequada pode ser feia aravés de verificação gráfica ou numérica do modelo escolhido para os dados disponíveis. A verificação gráfica de aderência pode ser feia aravés de gráficos de probabilidade QQ-Plo dos quanis (i) para os diversos modelos padronizados e linearizados. Esa é a forma mais simples de se verificar aderência, sendo inegrane da maioria dos sofwares comerciais de esaísica e de confiabilidade. A figura 5 ilusra esa verificação para os dados da abela 2, donde se pode noar claramene que os modelos Normal e Lognormal se adequam melhor aos dados da amosra. Cálculos podem ser feios uilizando-se os diversos eses de aderência conhecidos. Os mais comumene uilizados são os eses do 2 e o ese de Kolmogorov-Smirnov, que esam a hipóese de uma dada amosra perencer a uma dada disribuição de freqüência escolhida. Uma forma empírica de se quanificar numericamene a aderência é calcular o coeficiene de correlação linear dos ponos mosrados no gráfico. A curva que possui maior coeficiene de correlação, considerando ambém os valores e a disribuição dos resíduos, é omada como a de melhor aderência. Dealhes da fundamenação deses eses podem ser ambém enconrados em Kene & Zachs (1998) e O Connor (1988). Uma vez idenificada a disribuição mais adequada aos dados da amosra, é necessário que os parâmeros da função sejam esimados.

38 24 Figura 5 QQ-Plo das amosras da abela 2 para diversas disribuições, feias pelo sofware Miniab A esimaiva dos parâmeros pode ser feia ambém com a uilização dos gráficos da figura 5. Para disribuições como a de Weibull, que em ambém um parâmero de forma, o coeficiene angular da rea ajusada aos ponos é a esimaiva dese parâmero. Dos ponos que inercepam dados valores de probabilidade, podem ser obidos os parâmeros de localização e escala. Para a disribuição Normal, o parâmero de localização (a média) corresponde à probabilidade de 50%, sendo o parâmero de escala (desvio-padrão) calculada como a diferença enre os empos equivalenes às probabilidades de 84,14% e 15,85%, que equivalem às probabilidades relacionadas a um desvio-padrão acima e um desvio-padrão abaixo da média, respecivamene; O mesmo se aplica à disribuição Lognormal, lembrando-se, porém, que esas probabilidades esimam o valor do logarimo do empo. Ouras alernaivas para a esimaiva dos parâmeros são os méodos dos momenos, dos mínimos quadrados e da máxima verossimilhança (MLE

39 25 Maximum Likelihood Esimaor), conforme apresenados por Kene & Zachs (1998). O méodo MLE é basane uilizado em esudos de confiabilidade, noadamene por se adequar a esudos de amosras censuradas e de pequeno amanho, como se verá na seção Basicamene, raa-se de um méodo que busca maximizar a função de verossimilhança, que por sua vez é definida pela equação (14). A função de verossimilhança é uma medida de aderência de cada dado discreo da amosra a uma disribuição e seus parâmeros. Dada uma amosra 1, 2,..., n de variáveis perencenes a uma mesma disribuição f(,), sendo f(,) a f() com parâmero ou conjuno de parâmeros, a função de verossimilhança de é dada por: n 1,..., n ) f ( i, ) i1 L( ; (14) Na função de verossimilhança uilizam-se os valores da amosra e o conjuno de parâmeros da disribuição como variáveis. Tomando-se os valores amosrais e variando-se os valores do conjuno de parâmeros da disribuição, o conjuno que resular em máximo valor da função de verossimilhança é o conjuno de parâmeros mais adequado para que a disribuição se adeqüe aos dados da amosra. Noa-se que, para uilização do MLE, é necessário que se assuma uma dada disribuição, sendo, porano, um méodo compleamene paramérico. Para se maximizar a função de verossimilhança, deve-se igualar a zero a sua primeira derivada. Ese cálculo não em solução direa para odas as funções de probabilidade, podendo ser execuado aravés de méodos numéricos ineraivos. Tais méodos demandam uso de compuador para que se alcance convergência da função para o valor máximo.

40 26 Tendo sido enconradas a disribuição e seus parâmeros, que melhor modelam os dados da amosra, os valores de confiabilidade de ineresse podem ser calculados pela aplicação direa das funções mosradas na abela 1, aneriormene mosrada MODELAGEM DOS DADOS DE FALHAS A qualidade de uma análise de dados depende do ipo de informação disponível sobre os empos de ocorrência das falhas. Quando se raa de empo de falha, deseja-se idealmene que exisam regisros do empo exao de ocorrência de falhas para cada iem da amosra. No enano, podem ocorrer casos em que não se disponha de informação do empo exao de ocorrência de falhas para odos os iens da amosra. Esa fala de informação pode ocorrer devido ao regisro da falha não er sido adequadamene feio, porque se perdeu o momeno exao de ocorrência da falha, ou mesmo porque uma falha não enha efeivamene ocorrido no momeno do regisro. A esa quesão da fala do regisro do momeno exao da falha dá-se o nome de censura 1. A observação que apresena al caracerísica é chamada de observação censurada. Ao conrário, quando se conhece o empo exao de ocorrência da falha, a observação é dia complea. Porano, uma possibilidade de censura ocorre quando apenas k iens denro de uma amosra de amanho n (com k < n) apresenaram falha denro do empo de observação o. Ou seja, exisem n-k iens denro da amosra que não falharam denro do empo o de observação, consiuindo-se uma amosra censurada. Dos iens que não falharam, sabe-se apenas que o empo de falha é maior que o empo de observação o, caracerizando assim uma censura à direia. 1 Alguns auores fazem disinção enre os ermos censura e suspensão. No enano, esa disinção não é relevane para a discussão nese rabalho, de forma que o ermo censura será usado de forma genérica, ano em caso de censura como de suspensão.