UNESP Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá

Transcrição

1 UNESP Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá Gurtinguetá

2 MARCOS SEITI SUZUKI ANÁISE ESTRUTURA DE TREIÇAS ESPACIAIS NO SOFTWARE EXCE UTIIZANDO O MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS Trblho de Grdução presentdo o Conselho de Curso de Grdução em Engenhri Mecânic d Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, como prte dos requisitos pr obtenção do diplom de Grdução em Engenhri Mecânic. Orientdores: Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv Gurtinguetá

3 S968 Suzui, Mr Seiti Análise estruturl de treliçs espciis no softwre Ecel utilizndo o método dos elementos finitos / Mr Seiti Suzui Gurtinguetá : [s.n],. 4 f : il. Bibliogrfi: f. Trblho de Grdução em Engenhri Mecânic Universidde Estdul Pulist, Fculdde de Engenhri de Gurtinguetá,. Orientdor: Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv. Teori ds estruturs. Método dos elementos finitos I. Título CDU 64.4

4

5 de modo especil, os meus pis pelo poio e conselhos que contribuírm pr meu progresso.

6 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugr grdeço Àquele que não possui nome, ms é conhecido por vários nomes, à minh fmíli pel pciênci e poio que me judou chegr este momento, o meu orientdor, Prof. Dr. Fernndo de Azevedo Silv pel jud, poio e conselhos que form fundmentis pr relizção deste trblho, todos os professores dest conceitud instituição pelo comprtilhmento de conhecimentos que se mostrrm de grnde vlor e úni, todos os funcionários d instituição, às mizdes d fculdde e os migos de repúblic pelo compnheirismo nos bons e mus momentos.

7 Fç o que tem que fzer e deie os outros discutirem se é certo ou não. Bill Wtterson

8 SUZUKI, M. S. Análise estruturl de treliçs espciis no softwre Ecel utilizndo o método dos elementos finitos.. 4 f. Trblho de Grdução (Grdução em Engenhri Mecânic) Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, Gurtinguetá,. RESUMO O presente trblho tem finlidde de desenvolver um progrm pr relizr nálise estruturl de treliçs espciis. O progrm ser implementdo é bsedo nos conceitos do método dos elementos finitos e utilizou os recursos de progrmção do Visul Bsic for Applictions (VBA) pr o Softwre Ecel. Sendo o Ecel um softwre de fácil cesso, bio custo, cpcidde de relizr cálculos mtriciis e com recursos vnçdos de progrmção VBA é possível desenvolver um solução econômic, eficiente e precis pr nálise estruturl de treliçs espciis. Primeirmente é presentdo o método dos elementos finitos e treliç espcil. N sequenci é desenvolvido lguns lgoritmos importntes pr serem usdos durnte o desenvolvimento do progrm lém do uso de lguns recursos do VBA. E pr vlidr qulidde, eficiênci e precisão de seus resultdos, estes são comprdos com o consgrdo softwre comercil Ansys. PAAVRAS-CHAVE: Treliç espcil. Elementos Finitos. Progrmção em VBA. Simulção Numéric. Método dos

9 SUZUKI, M. S. Structurl nlysis of spce truss in Ecel softwre using the finite element method.. 4 f. Monogrph (Undergrdute Degree in Mechnicl Engineering) Fculdde de Engenhri do Cmpus de Gurtinguetá, Universidde Estdul Pulist, Gurtinguetá,. ABSTRACT The following pper mens to develop progrm to me structurl nlysis of spce trusses. The progrm to be implemented ws bsed on the concepts of the finite element method nd used the progrming resources of Visul Bsic for Applictions (VBA) for the Ecel Softwre. Being Ecel softwre of esy ccess, low t, cpcity to me mtri clcultions nd with dvnced resources of VBA progrming, it is possible to develop n economic solution, efficient nd precise for structurl nlysis of spce trusses. Firstly is presented finite elemento method nd the spce truss. Then is developed few importnt lgorithms to be used during the development of the progrm nd lso the use of few resources of VBA. And to vlidte the qulity, efficiency nd precision of the results, these re compred with the estblished commercil softwre Ansys. KEYWORDS: Spce Truss. Numeric Simultion. Finite Element Method. Progrmming in VBA.

10 ISTA DE FIGURAS Figur Domínio... Figur Gerção de Mlh... Figur Tronco Cônico... Figur 4 Deslocmento nodl em função do comprimento... Figur 5 Convergênci dos elementos pr solução et...4 Figur 6 Tensão em função do comprimento...4 Figur 7 Mtriz ordem mn...6 Figur 8 Vetor-colun ordem m...6 Figur 9 Vetor-linh ordem n...6 Figur Mtriz Identidde...7 Figur Mtriz Trnspost...7 Figur Mtriz multiplicd por esclr...8 Figur Adição e Subtrção ds mtrizes...8 Figur 4 Multiplicção entre mtrizes...9 Figur 5 Sistem de equções...9 Figur 6 Sistem equções n form mtricil...9 Figur 7 Solução por meio de operções elementres... Figur 8 Obtenção de mtriz invers... Figur 9 Refleão do ponto (,y,z) nos três plnos...5 Figur Refleão o eio X...6 Figur Refleão n Origem...7 Figur Rotção em torno do eio Z...7 Figur Mtriz no Ecel...4 Figur 4 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 5 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 6 º Psso pr operção com mtriz no Ecel...4 Figur 7 Som no Ecel...4 Figur 8 Esclr no Ecel...4 Figur 9 Multiplicção no Ecel...4 Figur Determinnte no Ecel...4 Figur Mtriz invers no Ecel...4 Figur Trnspost no Ecel...4

11 Figur Elemento mol...4 Figur 4 Dois elementos mol...44 Figur 5 Digrm de corpo-livre...45 Figur 6 Elemento brr elástic...47 Figur 7 Tronco cônico do Eemplo Figur 8 Plnilh pr solução do Eemplo Figur 9 Discretizção do tronco cônico do Eemplo Figur 4 Plnilh usndo s equções (8), (8), (85) e (56) (Eemplo 4)...54 Figur 4 Mtriz de rigidez com condição de contorno plicd no Ecel (Eemplo 4)...55 Figur 4 - Invers no Ecel (Eemplo 4)...55 Figur 4- Vetor dos crregmentos nodis (Eemplo 4)...56 Figur 44 Deslocmento nodis no Ecel (Eemplo 4)...56 Figur 45 Pós-processmento no Ecel (Eemplo 4)...57 Figur 46 Deslocmentos nodis em função do comprimento (Eemplo 4)...58 Figur 47 Tensões em função do comprimento (Eemplo 4)...58 Figur 48 () Treliç não idel (b) Treliç idel...59 Figur 49 Estrutur não rígid...6 Figur 5 Estrutur rígid...6 Figur 5 Treliç simples...6 Figur 5 Treliç rígid com geometri qudriláter...6 Figur 5 Tipos de Treliç pln...6 Figur 54 Treliç espcil...6 Figur 55 Treliç espcil, totlmente montd no chão, do Centro de Eposições do Anhembi dis ntes de ser erguid por guindstes...6 Figur 56 Vist ére do Centro de Eposições do Anhembi...6 Figur 57 Vist intern do Centro de Eposições do Anhembi...6 Figur 58 Junt esféric MERO...6 Figur 59 Junt em cruzet...6 Figur 6 Junt com pont mssd...6 Figur 6 Estrutur no sistem globl XYZ...64 Figur 6 - Elemento no sistem locl yz...64 Figur 6 Ângulos diretores de um elemento...65 Figur 64 Jnel de código do Visul Bsic...69 Figur 65 Brr de ferrments do Visul Bsic...7

12 Figur 66 Ci de ferrments de controle...7 Figur 67 Grv Mcros...7 Figur 68 Jnel Grvr Mcro...7 Figur 69 Prr Grvção...7 Figur 7 Eecutr Mcro...7 Figur 7 Jnel Eecutr Mcro...7 Figur 7 - Módulo...7 Figur 7 Modo Design...7 Figur 74 Botão de Comndo...7 Figur 75 Proprieddes...7 Figur 76 Jnel de Proprieddes...74 Figur 77 Editor Visul Bsic pr o Botão de Comndo...75 Figur 78 Botão de Rotção...75 Figur 79 Jnel de Propriedde do Botão de Rotção...76 Figur 8 Fórmuls ds Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom...79 Figur 8 Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom...79 Figur 8 Coordends do nó...8 Figur 8 Coordends projetds no plno Z...8 Figur 84 Elementos e nós...8 Figur 85 - Elementos e nós...8 Figur 86 Coordends dos elementos projetdos no plno Z...8 Figur 87 Representção gráfic no Ecel...84 Figur 88 Tel dos ddos iniciis...88 Figur 89 Treliç - Eemplo Figur 9 Informções do Eemplo 5 n plnilh do Ecel...89 Figur 9 Representção gráfic d treliç (Eemplo 5)...9 Figur 9 Mtrizes gerds pr solução do Eemplo Figur 9 Resultdos (Eemplo 5)...9 Figur 94 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 5)...9 Figur 95 Deslocmento nodis vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 96 Forçs e Tensões iis em cd elemento vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 97 Reções dos nós vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 98 Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 5)...9 Figur 99 Treliç espcil (Eemplo 6)...94

13 Figur - Representção gráfic d treliç Espcil (Eemplo 6)...95 Figur - Representção gráfic d deformção (Eemplo 6)...96 Figur - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 6)...96 Figur Treliç espcil (Eemplo 7)...98 Figur 4 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 7)... Figur 5 - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 7)... Figur 6 Plnilh Ddos...5 Figur 7 - Coordends...6 Figur 8 Nós dos Elementos...6 Figur 9 Gráfico d Treliç...7 Figur Trnsldr, Rotcionr e Zoom...7 Figur Outrs informções...8 Figur - Solução...8 Figur Ab resultdo...9 Figur 4 Gráfico de deformção...9 Figur 5 Mtrizes... Figur 6 Céluls ocults... Figur 7 Céluls ocults...

14 ISTA DE QUADROS Qudro Principis funções do Ecel pr cálculo mtricil...4 Qudro Fórmuls Eemplo Qudro Fórmuls Eemplo Qudro 4 Tipos de Vriáveis (Fonte: Ajud do Visul Bsic)...76 Qudro 5 Estruturs de Controle...78 Qudro 6 Reções Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 7 Deslocmentos nodis Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 8 Forçs e tensões iis Ansys e Plnilh (Eemplo 5)...94 Qudro 9 Ddos do Eemplo Qudro - Ddos do Eemplo Qudro Resultdo do Eemplo 6 reções nodis...95 Qudro Resultdo do Eemplo 6, deslocmentos nodis...95 Qudro - Resultdo do Eemplo 6, forç e tensão il...96 Qudro 4 Coordends (Eemplo 7)...97 Qudro 5 Elementos (Eemplo 7)...97 Qudro 6 - Resultdo do Eemplo 7, reções nodis...98 Qudro 7 - Resultdo do Eemplo 7, deslocmentos nodis...99 Qudro 8 - Resultdo do Eemplo 7, forçs e tensões iis...99 Qudro 9 Céluls Número de elementos e Numero de nós... Qudro Fórmuls coluns G, H e I... Qudro Fórmuls colun X... Qudro Fórmuls colun AA, AB e AC... Qudro Fórmuls colun AD, AE e AF... Qudro 4 Fórmuls colun AG, AH e AI... Qudro 5 Fórmuls colun AJ e AK... Qudro 6 Fórmuls colun AN e AO... Qudro 7 Fórmuls colun AP e AQ... Qudro 8 Fórmuls colun AR e AS...

15 ISTA DE ABREVIATURAS E SIGAS CAD CAE MEF VBA - Computer Aided Design - Computer Aided Engineering - Método dos Elementos Finitos - Visul Bsic for Applictions

16 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...7 CONCEITOS TEÓRICOS EEMENTOS FINITOS...8. Histórico (SORIANO, )...8. Teori do Método dos Elementos Finitos Funcionmento do Método de Elementos Finitos..... Comprção entre soluções ets e soluções por Elementos Finitos..... Procedimentos geris pr nálise por elementos finitos...5 ÁGEBRA MATRICIA E EXCE...6. Nomenclturs Usds...7. Operções com Mtrizes...8. Sistem de Equções e Mtrizes Soluções Obtenção de Sistems Equivlentes trvés de Operções Elementres Inversão de mtriz....5 Trnsformções ineres Refleões Rotção Trnslção Projeção Escl Uso do Ecel MATRIZ DE RIGIDEZ, EEMENTO TIPO MOA E BARRA Elemento Mol iner Elemento Brr Elástic Energi de Deformção e º Teorem de Cstiglino TREIÇA Treliç Pln Treliç Simples Treliçs Espciis...6

17 5. Formulção do Elemento finito pr problems de Treliç Espcil Sistem de Coordends ocis e Globis Mtriz Trnsformd VBA NO EXCE E AGORITMOS Grvr um Mcro Ci de Ferrments de Controle Declrndo Vriáveis Declrndo Arrys ou Mtrizes Estruturs de Controle Algoritmos RESUTADOS CONCUSÃO... REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS... BIBIOGRÁFIA...4 APÊNDICE A...5 A. Uso d Plnilh...5 A. Fórmuls d Plnilh...6 A. Código Fonte...

18 7 INTRODUÇÃO O Método de Elementos Finitos (MEF) é um eficiente método numérico de resolução de problems em meios contínuos. Método muito difundido e utilizdo pr resolução de elementos mecâni, eletromgnéti, fluidos e trnsferênci de clor. Porém foi n nálise de elementos mecâni que este método mis se desenvolveu e é mis difundido. Modernos softwres de nálise de problems de engenhri, conhecidos como CAE (Computer Aided Engineering), usufruem do MEF. Alguns eemplos destes softwres são o Ansys, Nstrn, Abqus, Cosmos entre outros. Antes d evolução d computção os problems de engenhri erm nlisdos em escl reduzid em lbortórios, o que er muito dispendioso. Apesr dos conceitos d bse do MEF ter origindo em medos de 9 su plicção prátic er inviável, porque pr tingir precisão necessári os cálculos mtriciis erm demsidmente grndes pr serem relizdos mnulmente. Somente com o dvento do computdor, no pós-guerr (décd de 95 em dinte) que o MEF começou ser utilizd e desenvolvid efetivmente. Atulmente nálise lbortoril de muitos problems de engenhri deirm de ser necessários, pois os resultdos computcionis utilizndo MEF são tão próimos do rel que se podem considerr etos no rmo d engenhri, isso tem reduzido muito o custo dos projetos. Este trblho irá mostrr plicção dos conceitos de MEF n nálise de qulquer estrutur treliçd por meio do softwre Microsoft Ecel e recursos de progrmção do Visul Bsic for Apliction (VBA). O Ecel está presente n miori dos computdores que utilizm pltform Microsoft Windows, portnto nálise de problems de engenhri propost no trblho possui grnde portbilidde de um computdor pr outro. O Ecel possui recursos de clculo mtricil, recursos de progrmção por meio do VBA entre outrs ferrments que fcilit plicção do MEF. Este trblho está voltdo pr nálise de treliçs espciis e tem o intuito de mostrr recursos do softwre Ecel pr nálise do problem físico usndo MEF.

19 8 CONCEITOS TEÓRICOS EEMENTOS FINITOS. Histórico (SORIANO, ) A teori do MEF surgiu em 955 como evolução d nálise mtricil de modelos reticuldos (concebid no início d décd de 9 n indústri eronáutic britânic), juntmente com disponibilidde dos computdores digitis devido necessidde de projetr estruturs de modelos contínuos. Foi concebido inicilmente por engenheiros eronáuti com intenção de relizr nálises de distribuição de chps d s do vião. Formuldo pioneirmente por Argyris e Kesley em 955 (republicd em 96) e por Turner, Clough, Mrtin e Topp (956). Em 96 Gllgher, Pdlog e Bijlrd form os primeiros relizr nálise tridimensionl de tensões por MEF, foi qundo se considerou tmbém o efeito d tempertur em sólidos de form comple. Em 96 Gllgher e Pdlog introduzirm o deslocmento de vigs e plcs o MEF, foi considerdo o efeito d não lineridde geométric e determinção de crgs crítics. As primeirs formulções té então erm feitos por formulção diret, pois prti de um bordgem físic e intuitiv e utilizv os princípios dos deslocmentos. Não tinh critério que grntisse convergênci pr solução et. Em 96 Melosh present o MEF prtindo d minimizção d grndez esclr funcionl d energi potencil totl. Em 965 Veubue presentou formulção do método prtindo de outrs funcionis d mecânic dos sólidos deformáveis. Porém bse do método já hvi sido formuld por ord Ryleigh em 87, Wlther Ritz em 99 e por Richrd Cournt em 94, percebeu-se então que o MEF é um cso prticulr do método de Ruleigh-Ritz. Denominou-se este método como formulção vricionl. A formulção vricionl permitiu resolução de diversos problems em meios porosos, trnsferênci de clor e eletrostáti, lém dos de meio continuo. Em 967 Zieniewicz e Cheug publicm o primeiro livro inteirmente dedicdo o método de elementos finitos.

20 9 Após formulção vricionl verific-se que o método pode ser formuldo diretmente prtir de equções diferenciis e respectivs condições de contorno de problem continuo com plicção do método de Glerin que é um dos métodos de resíduos ponderdos. Foi denomindo formulção de resíduos. Portnto, s equções lgébrics podem ser obtids trvés de formulções direts, vricionl ou residul.. Teori do Método dos Elementos Finitos Ele é bse d tecnologi CAE (Computer Aided Engineering) que uili no projeto e nálises de problems envolvendo estruturs mecânics (unidimensionl, bidimensionl, tridimensionl) lineres ou não-lineres, dinâmics ou estátics, trnsferênci de clor, eletromgnético, etc. O método é um form econômic pr obter resultdos e nálise desses problems, pois muits vezes dispens construção de modelos em escl e relizção de diversos ensios dispendiosos. O Método dos Elementos Finitos (MEF), às vezes chmdo de Análise de Elementos Finitos, segundo Hutton (4) é um técnic computcionl pr obter soluções proimds de problems de vlores de contorno, comumente usdo n engenhri. Apesr de obter um solução proimd pode-se considerr et n engenhri, grçs os vnços tecnológi lcnçdos. Os problems de vlor de contorno são equções diferenciis com um ou mis vriáveis dependentes, ests vriáveis precism stisfzer certs restrições, s chmds condições de contorno. Os problems de vlores de contorno tmbém são conhecids como problems de vriável de cmpo. Vriáveis de cmpo são vriáveis dependentes d equção diferencil. E s condições de contorno são vriáveis de cmpo com vlores específi. Pr cd problem físico eiste um tipo de vriável de cmpo, lguns eemplos são o deslocmento, tempertur, o fluo de clor entre outros.

21 .. Funcionmento do Método de Elementos Finitos Pr melhor ilustrr o funcionmento do MEF considere um volume feito de um mteril (ou mteriis) com proprieddes físics conhecids, como mostr Figur (). Este volume represent o domínio de um problem de vlor de contorno ser resolvido. Pr simplificr ssume-se um cso bidimensionl com um vriável de cmpo genericmente representdo por, y que está definid em qulquer ponto P, y qulquer que sej equção (ou equções) que rege o domínio, e é cpz de stisfzer etmente qulquer ponto. Ou sej, é cpz de obter soluções ets pr qulquer que sej o ponto y P, dentro do domínio. Porém pr obter soluções em domínios de geometri comple é demordo e pode ser inviável. Pr estes csos o MEF propõe um poderos técnic pr obtenção de soluções proimds e junto d computção digitl é possível encontrr soluções pr problems de engenhri compleos com bo precisão. Figur Domínio (dptdo de HUTTON st ed. p. ) Considerndo gor um elemento tringulr de tmnho finito representndo um subdomínio como mostr Figur (b). A vriável de cmpo segundo Hutton (4) pr este subdomínio será:, y N, y N, y N, y ()

22 Onde, e serão vlores d vriável de cmpo (incógnits ou condições de contorno) pr os respectivos nós, e e N, N e N são funções de interpolção pr estes nós. O problem foi simplificdo e limitdo um pequeno subdomínio representdo por três nós, su solução é mis fácil e rápid de ser encontrd, pois geometricmente é mis simples. Porém é simples demis pr representr todo o domínio pr isso é crido diversos elementos finitos tringulres conforme Figur (c), desse modo proim-se mis do domínio originl e consequentemente proimndo d solução et. Os diversos elementos finitos interligdos pelos nós grntem continuidde d vriável de cmpo. Hutton (4) diz que no cso de um descontinuidde, um gp, no domínio pode significr um seprção de mteril em problems estruturis ou diferentes temperturs pr um mesmo nó no cso d trnsferênci de clor. A continuidde ds vriáveis de cmpo é necessári pr formulção dos elementos finitos, e por este motivo que muitos problems utilizm vriáveis de cmpos que não interessm o usuário. No cso de problems estruturis são usdos o deslocmento como vriável de cmpo pr formulção do elemento finito, porém o interesse mior está ns deformções e tensões. A deformção é definid em termos d primeir derivd do deslocmento e deformção não é continu o longo do domínio. E de cordo com intensidde dest descontinuidde é possível verificr precisão e convergênci d solução obtid... Comprção entre soluções ets e soluções por Elementos Finitos O processo de representção do domínio por elementos finitos é conhecido como gerção de mlh (em inglês meshing) e o resultdo dest gerção de mlhs de elementos finitos são s mlhs de elementos finitos (em inglês finit element mesh). Gerlmente, são usdos elementos que não possuem ldos curvos o que torn impossível gerr um mlh de elementos que cubrm todo o domínio conforme Figur.

23 Figur Gerção de Mlh (dptdo de HUTTON st ed. p. 4) Ao diminuir o tmnho dos elementos e consequentemente umentndo su quntidde ess nov representção será cpz de brnger melhor o domínio. Intuitivmente está sendo feito um refinmento (incremento) d mlh de elemento finito e por consequênci convergindo solução pr solução et. Pr eemplificr tl crcterístic considere um tronco cônico sólido engstdo em um etremidde e sujeit um crregmento n outr etremidde conforme mostr Figur. Figur Tronco Cônico (dptdo de HUTTON st ed. p. 5) Foi consider como elementos finitos brrs cilíndrics de comprimentos iguis vrindo somente s áres conforme mostr Figur (b). A seguir estão lguns gráfi mostrndo o comportmento do sistem pr solução et e pr diferentes quntiddes de elementos finitos empregdos. Pr obtenção d solução et é necessário relizr integrção do rio o longo do comprimento pr encontrr o deslocmento. Obvimente pr este problem solução não é tão comple, ms pr problems com geometri mis detlhd

24 solução et é inviável. Os gráfi seguir ilustrrão eficiênci e precisão do MEF. A Figur 4 mostr o deslocmento rel do tronco e dos elementos finitos o longo do comprimento. Note que qunto mior o número de elementos finitos miores convergênci pr curv d solução et isso pode ser melhor visto n Figur 5. N Figur 6 é possível perceber descontinuidde eistente no MEF pr este problem, tensão não é continu como o deslocmento.,5, Delt Rel Delt (MEF) pr elementos Delt (MEF) pr elementos Delt (MEF) pr 5 elementos Delt (MEF) pr elementos Vrição de Delt,5 Delt,,5,,4,6,8, Figur 4 Deslocmento nodl em função do comprimento

25 4,5 Convergênci do Delt Solução Et Delts,,78,89,9 Delt (=),5,,4,79,5,4 5 5 Nº de Elementos Figur 5 Convergênci dos elementos pr solução et Tensão Tensão (MEF) pr elemento Tensão (MEF) pr elemento Tensão (MEF) pr 5 elemento Tensão (MEF) pr elemento 8 Tensão 6 4,5,5,5 Figur 6 Tensão em função do comprimento O refinmento pr este problem poderi ser feito com mis de elementos, porém é necessário o usuário compreender s necessiddes eigids pr cd projeto e dependerá tmbém d eperiênci e conhecimento teórico de cd engenheiro. embrndo que qunto mior o refinmento mior será o uso de cpcidde e tempo

26 5 computcionl lém do custo mior com mão-de-obr e dependendo do projeto nlisdo esse refinmento não se fz necessário vi depender do engenheiro sber prioridde... Procedimentos geris pr nálise por elementos finitos As etps descrits seguir, de cordo com Moveni () e Hutton (4), são seguids pr o uso do MEF, mesmo os softwres comerciis seguem tis pssos pesr de às vezes não estrem tão evidentes. As etps são: Fse de Pré-Processmento descreve e define o problem, nest fse inclui: ) Crir e discretizr o domínio em elementos finitos, ou sej, dividir o problem em nós e elementos, conhecido tmbém como gerção de mlhs; ) Usr um função que descrev o fenômeno físico do comportmento de um elemento; ) Desenvolver equções pr o elemento; 4) Montr mtriz globl de rigidez; 5) Aplicr s condições de contorno, condições iniciis e crregmentos; 6) Definir proprieddes dos elementos; Citndo um máim d computção, grbge in, grbge out em português entr lio, si lio. Est fse é mis importnte, se o problem for definido errdo não é esperd um solução corret. Fse de Solução 7) Achr solução ds equções lineres ou não-lineres desse modo obtendo os resultdos nodis, como tmbém os vlores de deslocmento nos diferentes nós (no cso de problems estruturis) ou s diferentes temperturs nos nós (no cso de problems de trnsferênci de clor). Pós-processmento 8) Obter outrs informções, como tensões principis, fluo de clor, modelos dinâmi nimdos, modelos coloridos, etc. Cberá o engenheiro dizer se solução está stisftóri e condizente com teori já conhecid.

27 6 ÁGEBRA MATRICIA E EXCE Antes de dr continuidde o desenvolvimento do método fz-se necessário presentção de conceitos bási de clculo mtricil, e como este trblho propõe o uso do Ecel com o MEF, será eplicdo, qundo possível, o uso de mtriz no Ecel. O uso de mtriz é muito comum no meio computcionl pr resolver sistems de equções lineres e relizr trnsformções lineres. A mtriz é um tbel bidimensionl de ordem mn(m linhs e n coluns) e no cso unidimensionl são chmdos de vetor. Tnto mtriz qunto o vetor estão dentro de um ctegori chmd rry n progrmção de computdores. Os rry mntêm elementos de ddos de mesmo tipo, pode ssumir dimensões miores que mtriz (bidimensionl), cd elemento possui um posição dentro do rry, e pr cessr determindo elemento é necessário conhecer su posição identificd por índices no cso ds mtrizes e vetores els são representds d seguinte form:... n.. n A m m... mn Figur 7 Mtriz ordem mn v v V v m Figur 8 Vetor-colun ordem m V v v v n Figur 9 Vetor-linh ordem n Por conveniênci s mtrizes serão representds por colchetes [] e os vetores {} por chves. Por meio dos índices conhece-se posição de cd elemento no cso do elemento n primeir linh e segund colun d mtriz d Figur 7 é o elemento representdo pelos índices e.

28 7. Nomenclturs Usds Mtriz qudrd são s mtrizes de ordem nn. Digonl principl d mtriz são todos os elementos ij d mtriz qudrd onde i=j. Digonl secundári d mtriz são todos os elementos ij d mtriz qudrd de ordem n onde i+j=n+. Mtriz identidde I n são mtrizes qudrds de ordem nncom digonl principl formd por elementos iguis e os outros elementos igul, conforme mostr Figur I n... Figur Mtriz Identidde A mtriz identidde qundo multiplicd por outr mtriz de ordem comptível não lter mtriz, por eemplo, MI n =M=I m M sendo mtriz M de ordem mn. Mtriz invers, mtriz A - é dit invers de A qundo o produto entre s mtrizes result n mtriz identidde (AA - =I). Sendo A mtriz de ordem mncom elementos ij trnspost A t será de ordem n m e elementos ji, ou sej, os elementos d linh de A são s coluns de A t e s coluns de A são s linhs de A t, conforme mostr Figur. A m m... n.. n trnspost t A... mn Figur Mtriz Trnspost n n m m nm inlterd. Note que digonl principl, qundo mtriz for qudrd, permnece Mtriz simétric ocorre qundo A=A t, portnto só ocorre em mtrizes qudrd.

29 8. Operções com Mtrizes Multiplicção por esclr é possível efetur um multiplicção de um mtriz por um número esclr rel qulquer, pr isso bst multiplicr todos os elementos d mtriz pelo número. A divisão pode ser feit multiplicndo o inverso do número esclr os elementos d mtriz. Porém nunc se deve dividir um número esclr por um mtriz. Vej Figur.... n..... n.. A m m... mn m m... Figur Mtriz multiplicd por esclr n n mn Adição e subtrção entre mtrizes são feits somente entre mtrizes de mesm ordem, considere A e B, mbs s mtrizes, de ordem m n somndo (ou subtrindo) os elementos de mesm posição. Ou sej, A±B=C onde os elementos c ij = ij ±b ij. Vej o resultdo n Figur. A B m m n n mn b b bm b b b m b b b n n mn m b b b m Figur Adição e Subtrção ds mtrizes m b b b m n n mn b b b n n mn Multiplicção entre mtrizes só pode ser feit se, e somente se, mtriz A de ordem mpmultiplicr um mtriz B de ordem pn, mtriz resultnte dest operção será mtriz C de ordem mnonde os elementos c ij são ddos pel equção (): c ij b b... i j i O resultdo será conforme Figur 4. j ip b pj ()

30 9 pn p p n n mp m m p p b b b b b b b b b AB pn mp n m n m p mp m m p mp m m pn p n n p p p p pn p n n p p p p b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Figur 4 Multiplicção entre mtrizes. Sistem de Equções e Mtrizes Os sistems de equções são fcilmente representdos n form mtricil, e consequentemente podem ser mnuseds e resolvids no computdor. Considere um sistem de equções genéric representd n Figur 5: m n mn m m n n n n c c c Figur 5 Sistem de equções Pr representr n form de mtriz o sistem de equções cim, um mtriz representrá os coeficientes ds equções mntendo su posição n linh e n colun correspondente, ess mtriz irá multiplicr mtriz colun (ou vetor) com s vriáveis, ess multiplicção será igul à mtriz colun contendo os termos independentes. A prênci finl do sistem de equções d Figur 5 n form de mtriz será conforme Figur 6. m n mn m m n n c c c Figur 6 Sistem equções n form mtricil

31 Um dos pré-requisitos pr que um sistem de equções líner tenh um únic solução é quntidde de incógnits ser igul à quntidde de equções, portnto s mtrizes gerlmente serão qudrds e terão ordem mncom m=n..4 Soluções De cordo com Figur 6 é possível obter solução do sistem de equções liner simplesmente encontrndo invers d mtriz e multiplicndo o vetor com termos independentes. Aqui será presentdo um método pr obtenção d solução do sistem de equções mtricil..4. Obtenção de Sistems Equivlentes trvés de Operções Elementres Dois sistems são ditos equivlentes se um sistem de equções possui mesm solução do outro. E é possível obter sistems equivlentes relizndo s seguintes operções elementres: I Permut entre dus equções. II Multiplicção de um equção por um número rel diferente de zero. III Substituição de um equção previmente multiplicd por número rel diferente de zero e somd à outr equção. E por meio do uso sucessivo e finito desss operções elementres é possível chegr à solução do sistem. Eemplo Vej seguir um eemplo do procedimento. Tods s operções são descrits indicndo linh que está sofrendo lterção e operção que est sendo feit. Abio cd linh está sendo multiplicd por um número pr que todos os coeficientes de sejm iguis.

32 z y z y z y No cso de permut entre linhs o procedimento é conforme mostrdo bio. A linh e serão trocds entre si z y z y z y Substituição de equções somd com outr equção é mostrd bio z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y Note que bio d digonl principl formrm-se zeros, té este ponto o processo é conhecid como Eliminção de Guss. Agor será relizdo substituições por equções somds com outr equção previmente multiplicd por um vlor rel, diferente de zero, pr obter zeros cim d digonl principl. 7 5 z y z y z y 8 z y z y z y z y z y z y

33 Note que o procedimento ser seguido é zerr s vriáveis bio d digonl principl e depois zerr s vriáveis cim d digonl principl, o resultdo será mtriz identidde. y z Portnto solução do sistem é o sistem equivlente representdo pel mtriz identidde que é obtid por meio do uso finito de operções elementres. Pr fcilitr visulizção gerlmente o sistem de equções é representdo usndo um mtriz com os coeficientes e os termos independentes seprds por um trço verticl conforme figur seguir. m m n n mn c c operções elementres cm s s sm Figur 7 Solução por meio de operções elementres.4. Inversão de mtriz Outr form de obter solução do sistem de equções pode ser trvés d invers d mtriz, como é mostrdo n sequênci bio. X C A () A AX A C I X (4) A C (5) D mesm form que um sequênci finit de operções elementres pode trnsformr um mtriz n mtriz identidde, mtriz identidde pode ser trnsformd n mtriz invers usndo ess mesm sequênci de operções. Pr fcilitr visulmente o processo mtriz identidde é colocd do ldo d mtriz ser invertid seprd por um trço verticl. Conforme mostr Figur 8.

34 A I A I elementres operções Figur 8 Obtenção de mtriz invers Eemplo Pr eemplificr será usd mtriz do sistem do Eemplo z y z y z y Pr comprovr que est é mtriz invers, situdo no ldo direito do trço verticl, bst multiplicá-l pel mtriz dos coeficientes. O resultdo será mtriz identidde A solução do sistem pode ser obtid usndo equção (5) z y Eistem csos em que mtriz não possui invers, ou sej, o sistem não possui um únic solução ou simplesmente não possui solução. O sistem liner pode receber s seguintes clssificções qunto à solução:

35 4 Pr o cso do sistem liner comptível determindo eistirá um únic solução, mtriz com os coeficientes será inversível. E solução n form mtricil tem seguinte prênci: z y Pr o sistem liner comptível indetermindo eistirá mis de um solução, gerlmente infinits. Costum ter menos equções que o número de vriáveis, portnto não possui invers. O resultdo pós sequênci de operções elementres terá seguinte prênci: z y Pr o sistem liner incomptível não eistirá solução, portnto não terá invers. Gerlmente possui igulddes incoerentes. O resultdo pós sequenci de operções elementres terá seguinte prênci: z y.5 Trnsformções ineres As trnsformções lineres são funções que trblhm com espços vetoriis, ou sej, são funções vetoriis. Seu uso é muito comum em softwres que trblhm com gráfi vetorizdos como softwres CAD e jogos. Sejm V e W espços vetoriis, um trnsformção liner se s seguintes proprieddes ocorrerem: I T(u+v)=T(u)+T(v) Sistem iner -Comptível (possui solução) -Incomptível -Determindo (possui um solução) -Indetermindo (possui mis de um solução)

36 5 II T(u)=T(u) pr V v u, e R. N computção o uso ds trnsformções lineres se dá trvés d form mtricil. A seguir lgums trnsformções mis utilizds..5. Refleões.5.. Refleão em relção os plnos coordendos Figur 9 Refleão do ponto (,y,z) nos três plnos A equção (6) refere-se refleão o plno XOY, equção (7) o plno XOZ e equção (8) o plno YOZ. z y (6) z y (7) z y (8)

37 6.5.. Refleão em relção os eios coordendos Figur Refleão o eio X z y (9) z y () z y ()

38 7.5.. Refleão n origem Figur Refleão n Origem z y ().5. Rotção Figur Rotção em torno do eio Z As equções (), (4) e (5) representm rotção em torno do eio z, y e respectivmente.

39 8 z y sen sen z z z z () z y sen sen (4) z y sen sen y y y y (5).5. Trnslção A trnslção é feit conforme equção (6), é necessário umentr um linh no vetor ds coordends, y e z devido o tmnho d mtriz trnsformção. z y v v v z y (6) Os v, v y e v z serão os vlores somdos às respectivs coordends. Um form lterntiv pr trnslção é: z y v v v z y (7).5.4 Projeção Est trnsformção é mis utilizd pr que elementos tridimensionis sejm eibidos no monitor, plotter, etc. A mtriz trnsformção bio represent projeção

40 9 no plno z=. Pr projetr em outros plnos bst usr mtriz identidde e substituir o vlor por zero no respectivo plno ser projetdo. (8) y z A equção (8) represent um projeção prlel ortogonl. As linhs d vist d projeção são prlels entre si e perpendiculr o plno de projeção. Eistem dus forms de projeção s prlels e em perspectivs. Dentro desss ctegoris eistem subctegoris. Somente citndo lguns tipos eistem isométric, bi-métric e tri-métric esss estão n ctegori projeções prlels, s projeções perspectivs s linhs d projeção convergem pr um ponto, conhecido como ponto de fug..5.5 Escl Trnsformções usndo escls são usds pr redução e umento de objetos. v v y y v z z (9) Outr form de usr escl é multiplicr o vetor por um vlor esclr..6 Uso do Ecel Neste tópico será presentdo o uso do Ecel pr relizr cálculos mtriciis. Cd linh e colun ds céluls do Ecel podem ser considerds linhs e coluns de um mtriz. A Figur mostr vlores destcdos no qudro vermelho e pode ser considerd um mtriz de ordem. Esses vlores são os mesmo usdos nos Eemplo e Eemplo.

41 4 Figur Mtriz no Ecel Serão mostrds lgums operções que pode ser feit com mtrizes. De form gerl s operções com mtrizes no Ecel seguem os seguintes pssos: º Psso: Selecionr céluls vzis com quntidde de linh e coluns d mtriz resultnte, conforme Figur 4. Figur 4 º Psso pr operção com mtriz no Ecel º Psso: Digitr n brr de formuls fórmul. Figur 5 º Psso pr operção com mtriz no Ecel º Psso: Segurr os botões Ctrl+Shift e depois perte Enter. Figur 6 º Psso pr operção com mtriz no Ecel Note presenç de chves em torno d fórmul, n brr de formul, ess é representção de mtriz no Ecel. Qulquer modificção n fórmul dess nov mtriz é preciso selecionr tods s céluls envolvids. O qudro bio mostrrá lgums operções que pode ser feits no Ecel em português.

42 4 Qudro Principis funções do Ecel pr cálculo mtricil Operção Brr de Formul Eemplo Som =Céluls+Céluls Produto Esclr Produto Mtricil Determinnte =Esclr*Céluls =MATRIZ.MUT(Céluls;Céluls) =MATRIZ.DETERM(Céluls) Figur 7 Som no Ecel Figur 8 Esclr no Ecel Figur 9 Multiplicção no Ecel Mtriz Invers Trnspost =MATRIZ.INVERSO(Céluls) =TRANSPOR(Céluls) Figur Determinnte no Ecel Figur Mtriz invers no Ecel Figur Trnspost no Ecel O determinnte é o único cso de operção com mtriz que não necessit seguir os pssos nteriores.

43 4 4 MATRIZ DE RIGIDEZ, EEMENTO TIPO MOA E BARRA O clculo mtricil é form pel qul o MEF trblh. E por ess rzão foi dotdo e populrizou-se no meio computcionl. A mtriz de rigidez é mtriz de mior importânci dentro do método. É nel que estão embutids s principis informções pr solução do problem, como tipo de elemento finito usdo, geometri, propriedde dos mteriis, coneão entre os elementos, ou sej, mtriz de rigidez trduz o comportmento do sistem. Conforme o estimulo eterno tunte sobre o sistem ser nlisdo, mtriz de rigidez mostrrá como o sistem regirá. Os estímulos eternos são diversos, pr cd tipo de problem pode ser empregdo um ou mis tipo, lguns eemplos são: crregmento, forç, fluo de clor, etc. O uso do termo rigidez é bem proprido, pois mtriz mostrrá tmbém o qunto é difícil ou fácil tirr o sistem de seu estdo inicil, de form prlel pode-se comprr mtriz de rigidez o módulo de rigidez d mol, qunto mior seu vlor mis difícil é pr comprimi-l ou trcioná-l e qunto menor o vlor mis fácil é pr deformá-l. O uso d mol nests nlogis não é um coincidênci, el é utilizd como form comprtiv nos estudos mis bási de MEF e Resistênci dos Mteriis. 4. Elemento Mol iner MEF. Este é o elemento mis simples e comumente usdo pr introduzir no estudo do A mol liner como um mero dispositivo mecânico é cpz de suportr esforços iis somente, e su deformção, qundo submetido trção ou compressão, é diretmente proporcionl forç plicd, representd pel equção (). F () onde F é forç, é constnte de proporcionlidde conhecid como constnte de

44 4 Figur Elemento mol (dptdo de HUTTON st ed. p. ) A formulção do elemento mol é feito de por meio direto, sem necessidde de demonstrção mtemátics ou cálculos compleos. Os elementos conectm-se pelos nós i e j estes podem sofrer deslocmento u i e u j cusds pels forçs f i e f j respectivmente. Por conveniênci é rbitrdo direção do eio coordendo coincidente com deformção il do elemento. Por enqunto será trtdo somente o sistem de coordends unidimensionl. As equções seguir descrevem o comportmento do sistem: Substituindo () em (): u j u () i f u j u ) () ( i Pr o equilíbrio f f f f reescrevendo equção () pr termos i j i j ds forçs em cd nó: f i f j u u ) () ( j i u u ) (4) ( j i As equções () e (4) form um sistem de equções que escrits n form mtricil será: ui fi u j f j De form simplificd será epress como: Onde, u f (5) e (6) (7) e

45 44 Onde [ e ] represent mtriz de rigidez do sistem, {u} é o vetor com os deslocmentos nodis e {f} é o vetor com s forçs nodis do elemento. A mtriz de rigidez (7) é de ordem signific que o elemento possui deslocmentos nodis ou grus de liberdde. Um sistem ou elemento que possui N grus de liberdde corresponderá um mtriz de rigidez qudrd de ordem NN. Est foi representção de um único elemento e pr o csos em que é feit representção de um elemento isoldmente do resto do sistem são usdos os termos sistem locl ou do elemento. Por eemplo, [ e ] é mtriz de rigidez do elemento ou mtriz de rigidez do sistem locl, isso ocorre tmbém com o sistem de coordends eistirá um sistem de coordends locl pr cd elemento. A solução do problem reduz-se um simples clculo mtricil do tipo: u f (8) e O elemento mol formuld isoldmente não possui solução, seri necessário restrição do seu movimento em um dos nós ou conectdo outro elemento de um sistem mior. Ao tentr resolver este sistem mtricil será encontrdo um sistem liner comptível indetermindo. E como é necessári um solução em específico é necessário restringir o movimento em um ou mis nós. E esss restrições são s chmds condições de contorno. Até o momento foi nlisdo o elemento individulmente do sistem globl. Porém pr encontrr solução do sistem globl é necessário relcionr elemento outro, pr isso é necessário montr o sistem de equções mtricil globl que será chmdo de sistem globl. Pr mostrr o desenvolvimento d solução será mostrdo no eemplo seguir: Eemplo Considere um sistem formdo por dus mols, definido conforme Figur 4: Figur 4 Dois elementos mol (dptdo de HUTTON st ed. p. )

46 45 O sistem possui nós (portnto deslocmentos ou grus de liberdde), os elementos mol estão conectds por um dos nós. Anlisndo cd elemento individulmente encontr-se o seguinte digrm de corpo-livre. Figur 5 Digrm de corpo-livre (dptdo de HUTTON st ed. p. 4) Considerndo o digrm de corpo-livre individulmente de cd elemento em equilíbrio epress-se condição de equilíbrio pr cd mol usndo equção (5). () () () () f f u u (9) () () () () f f u u () É possível notr lgums relções entre o sistem globl com os sistems locis cim, que são: () U u () () () U u u () () U u () O sistem globl possui mtriz de rigidez globl d ordem, já que possui nós e portnto grus de liberdde. Desse modo é necessário tornr mtriz de rigidez do sistem locl pr o tmnho comptível (). Pr isso dicion-se (zeros) ns respectivs linh e coluns ds mtrizes locis no qul flt representção d vriável deslocmento. O sistem deste eemplo ficrá do seguinte modo: () () f f U U U (4) () () f f U U U (5) Fzendo som de (4) e (5) encontr-se:

47 46 () () () () f f f f U U U (6) Pelo digrm de corpo-livre é possível sber: () F f (7) () () F f f (8) () F f (9) Fzendo s devids substituições de (7), (8)e (9) em (6) encontr-se o seguinte sistem globl: F F F U U U (4) A mneir simplificd de representr o sistem é: } { } ]{ [ F U K (4) Note que form usds letrs minúsculs nos elementos do sistem locis e miúsculs pr o sistem globl, lém de numerções pr diferencir nós dos elementos mol. Pr encontrr solução do sistem flt plicr condição de contorno. Considere que o nó está engstdo, portnto não sofrerá deslocmento. Pr plicr condição de contorno bst eliminr s linhs e coluns d mtriz e dos vetores n posição correspondente o nó restringido, neste cso o s linhs d mtriz de rigidez e vetores e colun d mtriz de rigidez. O sistem mtricil ficrá: F F U U (4) Agor bst inverter mtriz de rigidez e multiplicr pelo vetor ds forçs. F F U U (4)

48 47 4. Elemento Brr Elástic O elemento brr elástic ou simplesmente brr tmbém conhecid como Spr, in ou Truss (treliç) é muito similr mol, porém possui um formulção mis gerl, tmbém possui mis plicções, como estruturs treliçds, pórti bidimensionis e tridimensionis. Suport somente esforços iis como o elemento mol. Pr fzer formulção deste elemento finito é necessário relizr lgums considerções: - brr é ret - o mteril obedece lei de Hooe - s forçs plicds ocorrem somente ns sus etremiddes - sofre somente esforços iis. Torção, momento e fleão não são trnsmitidos o longo dos elementos devido sus coneões. Pr isso ocorrer considerm-se os elementos conectdos por pinos ou junts esférics, permitindo rotção dos elementos em torno do nó. A formulção seguir é presentd por Hutton (4, p. ). A Figur 6 represent um brr de comprimento, o deslocmento il é coincidente coordend. Os nós e loclizdos ns etremiddes e o deslocmento o longo d brr é descrito por um função u(), o nó está engstdo e não sofre deslocmento. A função nos nós e stisfz u i (=)= e u j (=)=. Est é um função continu u() que pode ser epress em termos de u i e u j e considerndo eistênci ds funções de interpolção N i () e N j () encontr-se função (44). u N ( ) u N ( ) u (44) i i j j Figur 6 Elemento brr elástic (dptdo de HUTTON st ed. p. )

49 contorno: Pr encontrr s funções de interpolção serão usdos os seguintes vlores de u ( ) u i u ) u j 48 ( (45) Usndo s equções (44) e (45) encontr-se os seguintes condições de contorno que precism stisfzer s funções de interpolção. N ( ) N ( ) (46) i j N i ( ) N j ( ) (47) Por se trtr de um elemento com grus de liberdde pode-se usr um polinômio liner pr descrever cd função de interpolção: N i N j ( ) b b ( ) (48) (49) Aplicndo s condições (46) e (47) ns funções (48) e (49) encontr-se: A função u() reescrit ficrá: N form mtricil: N i ( ) (5) ( ) (5) N j u ( ) ui u j (5) ui u ( ) N i ( ) N j ( ) (5) u j A prtir dos conceitos de resistênci dos mteriis, um brr de secção A, cumprimento e sofrendo um crregmento P ddo por: F d d (54) AE Considerndo o elemento com secção constnte o será: F (55) AE Onde E é o modulo de elsticidde do mteril. A constnte de rigidez d mol equivlente será: AE (56) F

50 Gerlmente é usdo deformção do mteril nos cálculos d resistênci do mteril, como formulção trblh com deslocmento é necessário relcionr deformção com o deslocmento. Considerndo brr elástic com um deformção uniil sbe-se que: Aplicndo (5) em (57): 49 du (57) d u j ui (58) A tensão il, pel lei de Hooe, é dd por: A forç il é: u j ui E E (59) AE F A u j ui (6) Considerndo s forçs nodis f i e f j em equilíbrio f i +f j =, trvés de (6) tem-se: AE f i u j u i (6) AE f j u j u i (6) Epressndo o sistem formdo por (6) e (6) n form mtricil: AE A mtriz de rigidez é dd por: u i fi u j f j AE (6) e (64) 4. Energi de Deformção e º Teorem de Cstiglino A formulção seguir é presentd por Hutton (4, p. 8). Outr form de se obter formulção de que envolve deslocmento dos nós é trvés do uso d Energi de Deformção combindo com o º Teorem de Cstiglino. O trblho mecânico de deformção W de um ponto o ponto é ddo por:

51 onde: Reescrevendo (66): W W F 5 dr (65) dr di dyj dz (66) F di y y F dyj y z z F dz Considerndo um elemento só com deformção uniil, F= o trblho mecânico pr um únic direção é ddo por: z (67) W d (68) Aplicndo (56) em (69): Aplicndo (55) em (69): W (69) AE W (7) AE F W (7) AE AE F W AE (7) W V (7) Onde V é o volume deformdo d brr e é energi de deformção por unidde de volume u e. A energi de deformção por unidde de volume é dd por: u e d A energi de deformção U é dd por: (74) U n W i i No cso uniil com um únic crg sendo plicd: U W V (76) O º Teorem de Cstiglino firm que derivd prcil d energi de deformção em relção o deslocmento do nó i é igul forç plicdo neste nó: (75)

52 U fi i Combinndo s equções (58), (59) e (74): 5 (77) u j ui AE U V E A E A u j uiu j u Aplicndo o º Teorem de Cstiglino em relção cd nó: U fi i U f j AE AE j u u j j u u Note que s equções (79) e (8) são iguis (6) e (6). O Eemplo 4 mostr utilizção dos conceitos do elemento brr e os procedimentos utilizdos em MEF trvés do Ecel. i i i (78) (79) (8) Eemplo 4 Será usdo um tronco cilíndrico cônico, s informções já form usds nteriormente no tópico.., vej Figur 7. Figur 7 Tronco cônico do Eemplo 4 (dptdo de HUTTON st ed. p. 6) O rio o longo do cone é ddo por: A áre A() o longo de será: A r r (8) r r r r r r (8)

53 5 Atrvés d equção (54) o deslocmento devido à forç F é ddo por: i i F F d d A E E i i r r r (8) F E ( r r ) r i ( r r ) r i ( r r ) (84) Usndo o Ecel e s equções (84) e (59) pr obter o deslocmento e tensão o longo do comprimento será obtido o resultdo d Figur 8. Está é solução et do problem. Figur 8 Plnilh pr solução do Eemplo 4 As céluls mrcds em mrelo podem ser modificds, fcilitndo vlição de tron côni cilíndri de dimensões e proprieddes diferentes por meio itertivo. Pr fcilit reprodução d plnilh bio no Qudro estão descrito s fórmuls mis relevntes. Os termos em destque em negrito serão os úni vlores mudrem em cd célul. Qudro Fórmuls Eemplo 4 Céluls Fórmuls A9 =$B$4/+A8 B9 =$E$*$B$4^/(PI()*$E$*$H$4)*(/($H$-A9*$H$4)-/($H$-$A$8*$H$4)) C9 =B9*$E$/$B$4 Pr o uso de MEF s seguintes etps form eecutds:

54 5 Pré-processmento Discretizr o domínio d solução em elementos finitos (gerção de mlh), brr será discretizd em nós e elementos conforme Figur 9. A etidão do problem será dd pel quntidde de nós e elementos dotdos. Está sendo ssumindo elementos de comprimentos iguis e nós, s áres médis estipulds são dds por: i i i A A A (85) Figur 9 Discretizção do tronco cônico do Eemplo 4 (dptdo de HUTTON st ed. p. 6) Usr o elemento mis proprido pr descrever o comportmento do sistem, neste cso será o elemento do tipo brr elástic já formuld nteriormente, descrit pelo sistem mtricil (6). Montr mtriz rigidez globl: K eq (86)

55 54 Pr obter solução será plicd condição de contorno. Como brr está engstd, portnto u = tmbém é informdo que n outr etremidde d brr possui um crregmento F. Então o sistem de equções lineres fic: F u u u u u u (87) Completndo outr prte d plnilh e usndo s equções (8), (8), (85) e (56), o resultdo será como presentdo n Figur 4. Figur 4 Plnilh usndo s equções (8), (8), (85) e (56) (Eemplo 4) Pr fcilit reprodução d plnilh no Qudro estão descrito s fórmuls mis relevntes. Os termos em destque em negrito serão os úni vlores mudrem em cd célul. Qudro Fórmuls Eemplo 4 Céluls Fórmuls E8 = E9 =SE(($B$4/$H$+E8)>$B$4;$B$4;$B$4/$H$+E8) F8 =$B$-E8*$H$4/$B$4 G8 =PI()*F8^ I9 =(G8+G9)/ J9 =I9*$E$/($B$4/$H$)

56 55 Pr plicr condição de contorno n mtriz de rigidez elimin-se ª linh e ª colun d mtriz, já que no nó um seu deslocmento está restrito, n plnilh ficrá d seguinte form de cordo com equção mtricil (87): Figur 4 Mtriz de rigidez com condição de contorno plicd no Ecel (Eemplo 4) Fse de Solução Resolver o sistem de equções, pr resolver o sistem de equções lineres bst inverter mtriz de rigidez descrito em (87) (já com condição de contorno plicd) e multiplicá-l pelo vetor ds forçs nodis. ' Onde K eq ' u ' K f ' (88) eq é invers d mtriz de rigidez com s condições de contorno. A mtriz invers pelo Ecel usndo função MATRIZ.INVERSO será: O vetor ds forçs nodis será: Figur 4 - Invers no Ecel (Eemplo 4)

57 56 Figur 4- Vetor dos crregmentos nodis (Eemplo 4) Multiplicndo mtriz e o vetor com função MATRIZ.MUT será obtid os deslocmentos. Figur 44 Deslocmento nodis no Ecel (Eemplo 4) Pós-processmento No pós-processmento serão obtids outrs informções. A informção que pode ser obtid trvés dos deslocmentos é tensão norml, dd pel equção (59). Atrvés do Ecel será obtido o seguinte resultdo:

58 57 Figur 45 Pós-processmento no Ecel (Eemplo 4) Outr informção que pode ser obtid são s forçs de reção R i nos nós d brr, fornecid por: f u K R eq (89) Tem-se então: F u u u u u u u R R R R R R R (9) Obtém-se solução: 5 4 F R R R R R R R (9)

59 58 Pr verificr convergênci dos ddos vej os gráfi bio:,4, MEF com elementos,,8 Delt,6,4,,5,5,5 Figur 46 Deslocmentos nodis em função do comprimento (Eemplo 4),5,5 Tensão,5,5,5,5,5 Figur 47 Tensões em função do comprimento (Eemplo 4)

60 59 5 TREIÇA Segundo Beer e Johnston Júnior (98) treliç é um tipo de estrutur d engenhri comumente usdo em construção de prédios e pontes onde se busc um solução o mesmo tempo prátic, econômic e estétic. Um treliç idel consiste de brrs rets conectds e rticulds ns junts. Conectds somente ns etremiddes, sendo ssim, nenhum brr é continu pós um junt, como mostr Figur 48 (b) diferentemente d Figur 48 () em que o segmento AB é constituído de um únic brr. Figur 48 () Treliç não idel (b) Treliç idel (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.) As crgs ns treliçs são plicds ns junts, rrmente são plicds o longo ds brrs, pois sus brrs são delgds e não resistem tis esforços. As junts podem ser unids por pinos, sold, rebites ou prfusos, porém pr efeito didático els são considerds pinds e rticulds. Dest form os úni esforços suportdos pel treliç são os esforços iis. Os mteriis utilizdos n su construção podem ser tubos de ço, lumínio, perfil, brrs de metl, estruturs de mdeir, etc. N nálise desss estruturs gerlmente ignor-se o peso d estrutur, pois crg plicd gerlmente é muito mior. 5. Treliç Pln As treliçs plns ou bidimensionis são estruturs treliçds em que todos seus elementos podem ser representdos num mesmo plno.

61 6 A treliç n Figur 49 qundo submetido um crg provvelmente sofrerá um deformção n su estrutur originl. A treliç n Figur 5 sob mesm crg sofrerá somente deformção do mteril, somente seu comprimento, este tipo de treliç é conhecid como treliç rígid, denomin-se rígid, pois el não entrrá em colpso (desde que não ultrpsse os limites de resistênci do mteril). O objetivo de um projetist será sempre construir um treliç rígid. Figur 49 Estrutur não rígid (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.) Figur 5 Estrutur rígid (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.) 5.. Treliç Simples Segundo Beer e Johnston Júnior (98) treliç tringulr é treliç rígid mis elementr e prtir del pode-se construir treliçs rígids miores, pr isto bst dicionr mis dus brrs treliç tringulr ligds em diferentes nós eistentes e interligds um novo nó conforme Figur 5. O processo pode ser repetido diverss vezes e sempre obterá um treliç rígid. Treliçs constituíds dest form são conhecids como treliçs simples. Ms nem sempre s treliçs simples são constituíds por forms tringulres. Como mostr Figur 5 treliç é rígid e construíd diciondo dus brrs e não é constituído somente de geometri tringulr. Figur 5 Treliç simples (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.)

62 6 Figur 5 Treliç rígid com geometri qudriláter (dptdo de BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed.) Nem sempre treliçs rígids são simples como é o cso d treliç Fin e Bltimore mostrdo n Figur 5. Tods s outrs d figur são treliçs simples, já que podem ser construíds conforme descrição nterior. Figur 5 Tipos de Treliç pln (fonte: BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed. p. 9) 5. Treliçs Espciis Tod vez que brrs rets são unids de form construir um configurção tridimensionl denomin-se estrutur como treliç espcil.

63 6 A form mis elementr dentre s treliçs espciis é formd por 6 brrs e 4 nós formndo ssim um tetredro. De form nálog à treliç simples bidimensionl, dicionndo mis três brrs treliç tetrédric pode-se obter um estrutur rígid mior conhecid como treliç espcil simples. Como mostr Figur 54 Abio. Figur 54 Treliç espcil (fonte: BEER e JOHNSTON JÚNIOR ed. p. 7) O uso d de estruturs espciis, em especil s treliçs, é muito recente, su primeir plicção comercil ocorreu n décd de pel indústri lemã MERO. N décd de 6 surgem outrs empress europeis e mericns que utilizrm tmbém esss estruturs espciis. No Brsil um mrco n engenhri e rquitetur ncionl ocorreu entre s décds de 6 e 7, foi construção do Centro de Eposições do Anhembi, em São Pulo, primeir treliç espcil em grndes dimensões, este mrco impulsionou o uso dests estruturs em todo pís. Figur 55 Treliç espcil, totlmente montd no chão, do Centro de Eposições do Anhembi dis ntes de ser erguid por guindstes. (fonte:

64 6 Figur 56 Vist ére do Centro de Eposições do Anhembi (fonte: Figur 57 Vist intern do Centro de Eposições do Anhembi (fonte: Por cus d fácil fbricção dos elementos, montgem, trnsporte e su vibilidde econômic o uso d treliç espcil em grndes mbientes tem sido bem comum em todo o mundo. As forms mis comuns pr conectr os elementos são mostrds ns figurs seguir. Figur 58 Junt esféric MERO Figur 59 Junt em cruzet Figur 6 Junt com pont mssd Pr que s crgs plicds ns estruturs concentrem-se nos nós os tipos de coneões mis proprids e mis condizente com teori, são s representds n Figur 58 e Figur 59. Porém form mis usd é presentd n Figur 6 por serem s mis econômics, este tipo de coneão impede rotção em torno dos nós cusndo esforços como torção, momento e fleão, lém não terem um bo estétic.

65 64 5. Formulção do Elemento finito pr problems de Treliç Espcil O elemento finito ser utilizdo é brr elástic, já descrit e formuld no cpitulo nterior. Porém, té o momento form usds coordends unidimensionis pr formulr os elementos, gor que será presentd estrutur tipo treliç usndo MEF fz-se necessário o uso ds coordends bidimensionis e tridimensionis. 5.. Sistem de Coordends ocis e Globis É comum n modelgem em CAD trblhr com sistem de coordends locis e globis, principlmente em desenhos tridimensionis, no intuito de fcilitr o modelmento. Figur 6 Estrutur no sistem globl XYZ Figur 6 - Elemento no sistem locl yz N Figur 6 é mostrd um estrutur no sistem de coordends globl XYZ (com letrs miúsculs). Isolndo brr formd pelos nós e 4 foi rbitrdo um sistem de coordends locl yz (letrs minúsculs) pr fcilitr formulção do elemento finito, onde o zero é coincidente com o nó e o eio coincidente com eio

66 65 il d brr. O elemento finito será etmente o mesmo que brr elástic já presentd. O sistem de equções mtricil será (9) etmente igul (6). AE u f (9) u4 f 4 É possível relizr esse mesmo processo pr tods s outrs brrs e obter um sistem de coordends locis pr cd elemento e um sistem de equções mtriciis pr cd elemento. Porém pr montr o sistem globl é necessário converter cd sistem de coordends locl no sistem de coordends globl. Ess conversão é feit pel mtriz trnsformd. 5.. Mtriz Trnsformd N Figur 6 é eibid um brr de comprimento com sistem de coordends, X Y Z são os ângulos formdos por em relção o sistem globl (estes ângulos tmbém são conhecidos como ângulos diretores), i e j são os nós d brr. Figur 6 Ângulos diretores de um elemento Os elementos finitos são definidos no sistem de coordends pelos nós. As coordends dos nós i e j respectivmente são (X i,y i,z i ) e (X j,y j,z j ). O comprimento do vetor formdo pelos nós i e j pode ser clculdo d seguinte form: X X Y Y Z Z j i j i j i X X i Y Y j Z Z i j j i j i j i X Y z (9) (94)

67 66 Onde i, j e são os vetores unitários do sistem de coordends globis com mesm direção de X, Y e Z respectivmente. Portnto: X j X i X i (95) Y j Yi Y j (96) Z j Zi Z (97) As equções cim são conhecids como seno diretor. Considerndo u i e u j deslocmentos nodis no sistem de coordends locl, com mesm direção de do sistem de coordends locl. Em termos de seno diretor u i e u j ficrá: u i U Xi X UYi Y U Zi Z (98) u j U Xj X UYj Y U Zj Z (99) N form mtricil (98) e (99): U Xi UYi u i X Y Z U Zi () u j X Y Z U Xj U Yj U Zj X Y Z T () X Y Z A mtriz T é mtriz trnsformd, que converte o vetor deslocmento do sistem de coordends locl pr o globl. T, tem-se: Fzendo s devids substituições de (), () e (64) em (6): U Xi UYi U Zi fi e T () U Xj f j U Yj U Zj Multiplicndo mbos os ldos do sistem ds equções pel trnspost d mtriz

68 67 X Y Z É sbido que: X Y Z T T e e F T T U U U U U U U U U U U U Xi Yi Zi Xj Yj Zj Xi Yi Zi Xj Yj Zj X Y Z fi X fi Y f i Z f j X f j Y f j Z f X f Y Z i j () (4) Xi f i X (5) F F Yi f i Y (6) Zi f i Z (7) F F F Xj Yj Zj f j X (8) f j Y (9) f j Z () Onde F Xi, F Yi e F Zi são s forçs do nó i em nos sistem de coordends globis X, Y e Z respectivmente, e F Xj, F Yj e F Zj são s forçs no nó j em nos sistem de coordends globis X, Y e Z respectivmente. será: Fzendo s devids substituições n equção (): T T e T U U U U U U Xi Yi Zi Xj Yj Zj F F F F F F Xi Yi Zi Xj Yj Zj () A mtriz de rigidez globl pós multiplicção pel mtriz T e trnspost de T,

69 68 e Z Z Y Z X Z Z Y Z X Z Y Y Y X Z Y Y Y X Z X Y X X Z X Y X X Z Z Y Z X Z Z Y Z X Z Y Y Y X Z Y Y Y X Z X Y X X Z X Y X X e e T K T T () O sistem de equções lineres de um elemento finito brr elástic no sistem globl será: Zj Yj Xj Zi Yi Xi Zj Yj Xj Zi Yi Xi Z Z Y Z X Z Z Y Z X Z Y Y Y X Z Y Y Y X Z X Y X X Z X Y X X Z Z Y Z X Z Z Y Z X Z Y Y Y X Z Y Y Y X Z X Y X X Z X Y X X e F F F F F F U U U U U U () A mtriz de rigidez gor está mior. El indic 6 grus de liberdde por elemento, cd nó pode se deslocr em três direções.

70 69 6 VBA NOEXCE E AGORITMOS Como pôde ser visto no cpitulo nterior mtriz de rigidez, pr um único elemento em três dimensões com dois nós, eige um mtriz de rigidez globl de ordem 66. Pr um cso onde eistem 4 nós mtriz globl eigid seri d ordem *nós*nós ou. Escrever mnulmente ests mtrizes e modificá-ls cso necessário é totlmente inviável, demord e muito suscetível erros por prte do usuário, pr csos deste tipo onde um tref repetitiv é eigid o Ecel tem um ecelente ferrment o VBA. Que permite crição de mcros. Mcro é um pequeno progrm onde reliz trefs pré-estbelecids, el pode ser personlizd e otimizd cso o usuário conheç lingugem de progrmção ntiv. A lingugem de progrmção usd é Microsoft Visul Bsic for Aplictions (VBA), bsedo no Visul Bsic est lingugem é voltd, como o próprio nome diz, pr plicções, está presente em vários softwres e em quse todos os plictivos do Microsoft Office. Figur 64 Jnel de código do Visul Bsic Pr cessr o código fonte do mcro bst cessr sequênci Ferrments>Mcros>Editor do Visul Bsic ou pertr <Alt+F>, brirá um jnel conforme Figur 64. Como o uso é frequente o idel é deir brr do Visul Bsic

71 visível n brr de ferrments, lém do botão pr cessr o código fonte ele present outros recursos conforme mostr figur bio. 7 Figur 65 Brr de ferrments do Visul Bsic Eecutr mcros: eecut mcros grvds. Grvr mcros: grv um mcro. Segurnç: modificr permissões e restrições do us d mcro. Editor do Visul Bsic: cess o código fonte ds mcros pr serem editds. Ci de ferrments de ferrments de controle: bre Ci de ferrments de controle, Figur 66. Figur 66 Ci de ferrments de controle Modo design: permiti editr Ferrments de Controle. N Ci de Ferrments de Controle é possível dicionr e editr controles pdrões do Microsoft Office ou dicionr outrs. Alguns desse controles são mostrdos n Figur 66, como Ci de Teto, Botão de comndo, botão de opção entre outros. Estes controles fcilitm o mnuseio do softwre pelo usuário finl. Eistem dus forms de crir mcros pelo grvdor de mcros ou pelo editor do Visul Bsic e progrmndo diretmente nele. 6. Grvr um Mcro Pr grvr um mcro perte o botão pr Grvr Mcros.

72 7 Figur 67 Grv Mcros Surgir jnel pr definir o nome d mcro e outrs informções. Figur 68 Jnel Grvr Mcro Aperte no OK prtir de gor tods s ções feit pelo usuário será grvd. Após eecução de tods s ções desejds perte no botão Prr Grvção : Figur 69 Prr Grvção Pr eecutr mcro grvdo bst pertr o botão Eecutr Mcro : Figur 7 Eecutr Mcro A jnel pr selecionr mcro surgirá, selecione mcro que será eecutr e perte OK. O mcro será eecutdo conforme foi crid. Outrs ções podem ser tomds nest jnel como ecluir um mcro crido, editr e depurr.

73 7 Figur 7 Jnel Eecutr Mcro Pr cessr progrmção d mcro crid perte sequenci <Alt+F>. Surgir jnel conforme Figur 64. N pequen jnel de Projeto estão listds todos o projetos envolvidos. N pst Módulos estão s instruções gerds pelo método nterior Grvr Mcros. Figur 7 - Módulo O código pode ser modificdo conforme vontde do desenvolvedor.

74 7 6. Ci de Ferrments de Controle Pr umentr intertividde dos usuários com os mcros o desenvolvedor poder utilizr Ferrments de Controle como botões, cis de teto, botão de opção, cis de listgem, entre outros. Será mostrdo como configurr os mis utilizdos. Pr dicionr qulquer ferrment de controle é necessário entrr no modo design, pertndo o botão do Modo Design. Figur 7 Modo Design Agor qulquer ferrment de controle pode ser diciond, ecluíd ou modificd. Pr voltr o modo norml bst pertr novmente no botão Modo Design. Primeirmente será eplicdo o Botão de Comndo Figur 74 Botão de Comndo O botão de comndo qundo ciondo pelo usuário irá eecutr s instruções progrmds pelo desenvolvedor. Pode-se modificr lgums proprieddes de cd Ferrment de Controle pertndo o botão Proprieddes. Figur 75 Proprieddes Um Jnel de Proprieddes surgirá.

75 74 Figur 76 Jnel de Proprieddes Algums ds proprieddes mis importntes são eplicds bio: (Nme) lter o nome d ferrment de controle; Cption lter vlor eibido n ferrment de controle; Enbled dei tiv ou destiv ferrment de controle; Height design ltur d ferrment de controle; eft design distânci d ferrment de controle em piels em relção etrem esquerd d tel; Top design distânci d ferrment de controle em piels em relção o topo d tel; Visible torn ferrment de controle visível ou invisível n tel. Aind com o modo design tivdo dndo um duplo clique n ferrment de controle é possível dicionr instruções ele no editor do Visul Bsic.

76 75 Figur 77 Editor Visul Bsic pr o Botão de Comndo No cso do Botão de Comndo surgirão s seguintes linhs no editor: Privte Sub Commnd_Clic() End Sub A primeir linh mostr o inicio ds instruções do botão de comndo, neste cso qundo o usuário pert o botão inicirá eecução ds instruções bio dele. E o End Sub inform o fim ds instruções do botão de comndo. Ou sej, tods s instruções progrmds pelo desenvolvedor que estiverem entre esss dus linhs serão eecutds qundo o usuário der um clique no botão de comndo. Outr Ferrment de Controle interessnte pr ser usd no Ecel é o Botão de Rotção. Figur 78 Botão de Rotção É possível ssocir os vlores ssumidos por ele com um célul d plnilh, pr isso bst cessr propriedde inedcell e informr qul célul será ssocid. Pode se lterr os vlores máimos e mínimos lterndo propriedde M e Min.

77 76 Figur 79 Jnel de Propriedde do Botão de Rotção 6. Declrndo Vriáveis Como tod lingugem de progrmção o VBA trblh com vriáveis. Pr declrr um vriável n jnel de código do editor do Visul Bsic insir instrução d seguinte form: Dim nomedvrivel As Tipo Um trdução livre pr instrução cim seri, dimensione nomedvrivel como Tipo. No lugr de nomedvrivel será colocdo o nome d vriável desejd e no lugr de Tipo será inserido o tipo de vriável. Os tipos de vriáveis eistentes no VBA são: Qudro 4 Tipos de Vriáveis (Fonte: Ajud do Visul Bsic) Tipo de ddos Tmnho de rmzenmento Intervlo Byte byte de 55 Boolen bytes True ou Flse

78 Integer bytes de ong (número inteiro longo) 4 bytes de Single (vírgul flutunte de precisão simples) Double(vírgul flutunte de dupl precisão) Currency (número inteiro em escl) Deciml Dte String (comprimento vriável) String 4 bytes 8 bytes 8 bytes 4 bytes 8 bytes 77 de,48e8 -,498E-45 pr vlores negtivos; de,498e-45,48e8 pr vlores positivos de, e8-4, e-4 pr vlores negtivos; de 4, E-4, E8 pr vlores positivos. de , ,587 +/ sem vírgul deciml; +/-7, com 8 css decimis à direit; o menor número diferente de zero é +/-,. De de jneiro de de dezembro de 9999 Objeto 4 bytes Qulquer referênci Object bytes + comprimento d De proimdmente bilhões sequenci (comprimento fio) Vrint (com números) Vrint (com crcteres) Definido pelo usuário (usndo Type) Comprimento d sequenci 6 bytes bytes + comprimento d sequenci Número requerido por elementos De proimdmente 65.4 Qulquer vlor numérico té o intervlo de um Double O mesmo intervlo de String de comprimento vriável O intervlo de cd elemento é igul o intervlo do seu tipo de ddos. Outrs forms de declrr um vriável são: Dim intx As Integer, inty As Integer, intz As Integer Dim intx, inty, intz As Integer

79 Declrndo Arrys ou Mtrizes Os rrys ou mtrizes são declrdos d mesm mneir que s vriáveis, pr declrr um mtriz com o tmnho de linhs e coluns cpz de rmzenr teto é feit d seguinte form: Dim nomedrry(,9) As String O tmnho d rry é informdo entre prênteses o ldo do nome d rry. No cso cim s linhs inici em e termin em ( linhs) e s coluns inici em e termin em 9 ( coluns). Pr que um rry comece com um índice diferente é usdo seguinte instrução: Dim nomedrry( to, to ) As String A rry cim continu com linhs e coluns, porém começm com o índice. Ao longo d progrmção um rry pode ser redimensiondo cso necessário trvés d seguinte instrução: ReDim nomedrry(,5) As String 6.5 Estruturs de Controle seguir: O VBA tmbém dispõe de lgums estruturs de controle descrits no qudro Qudro 5 Estruturs de Controle Controle If -Then - Else For Net Do While oop Do Until oop Uso Test um condição e eecut um determindo conjunto de instruções pr um cso TRUE e outro conjunto de instruções pr o cso FASE. Eecut um determind tref um determindo número de vezes. Eecut um determind tref enqunto que vlição de um condição permneç TRUE. Eecut um determind tref enqunto que vlição de um condição té que sej TRUE.

80 79 Select - Cse For Ech Net Selecion um dos trechos de código medinte vlição de diverss condições. Reliz um determind tref repetitiv em cd objeto de um coleção ou em cd item de um rry. 6.6 Algoritmos Os lgoritmos seguir fcilitrão compreensão do uso do VBA, s linhs dos códigos estão comentds pr fcilitr n compreensão. Pr mostr o potencil dos Mcros será crido um que sej cpz de plotr um desenho D simples tipo rme. Figur 8 Fórmuls ds Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom Figur 8 Mtrizes de rotção e trnslção e Zoom Primeirmente é preciso inserir s informções igul Figur 8. As céluls destcds em vermelho, verde e mrelo são fórmuls d mtriz de rotção, vetor de trnslção e ângulos em rdinos respectivmente. A fórmul d mtriz de rotção é

81 8 obtid trvés do produto vetoril ds mtrizes de rotção (), (4) e (5). O vetor trnslção é obtido pelo produto vetoril entre mtriz de rotção e o vetor posição. As céluls destcdos em roo são os ângulo de rotção em grus e s céluls destcds em mrelos são os ângulos convertidos em rdinos. Em outr prte d plnilh será digitd s coordends dos nós do desenho, conforme Figur 8. Figur 8 Coordends do nó A colun J precisrá conter vlores iguis, pois será multiplicd pel mtriz de rotção e o vetor posição. Pr obter s coordends projetds no plno ortogonl o eio Z, us-se função do Ecel =MATRIZ.MUT(G:J;B:D5)*B5 e plicndo somente em dus coluns, conforme equção (8) só são necessário s coordends X e Y. O resultdo será conforme Figur 8.

82 8 Figur 8 Coordends projetds no plno Z Pr conectr os pontos pr formr o desenho digite s informções conforme Figur 84 e Figur 85. Figur 84 Elementos e nós Figur 85 - Elementos e nós Pr eibir s coordends de cd elemento use s funções =PROCV(O;$F$:$$;6), =PROCV(O;$F$:$$;7),

83 =PROCV(P;$F$:$$;6) e =PROCV(P;$F$:$$;7) ns coluns Q, R, S e T e preench o restnte ds linhs com o uto-preenchimento. O resultdo será: 8 Figur 86 Coordends dos elementos projetdos no plno Z Adicione um botão, loclizd n Ci de ferrments de controle. Com o modo design tivdo clique com o botão direito no botão crido e selecione Proprieddes. Em (Nme) ltere o nome do botão e em Cption ltere o nome de eibição. Dê um duplo clique no botão pr precer o Editor do Visul Bsic. Entre s linhs Privte Sub CommndButton_Clic() e End Sub coloque o código bio. Código Fonte - Plotr Dim ntes As Vrint 'o comndo Dim cri e dimension vriável ntes = DteTime.Now 'rmzen hor tum n vriável ntes Dim i As Integer 'os três comndo bio deim eecução d mcro mis rápid Appliction.ScreenUpdting = Flse 'destiv tulizção d tel Appliction.EnbleEvents = Flse 'destiv os eventos do Ecel Appliction.Clcultion = lmnul 'dei o clculo ds céluls no mnul Dim newchrt As Object Set newchrt = Chrts.Add 'cri um novo gráfico newchrt.visible = Flse 'não dei o gráfico visível dei mcro mis rápido newchrt.chrttype = lxysctterines 'gráfico tipo dispersão com linhs newchrt.hsegend = Flse 'tir s legends 'lço de repetição, eecut os comndo enqunto ' célul indicd não está vzi i = Do While Cells(i, 5).Vlue <> "" newchrt.seriescollection.newseries 'cri um nov série de ddos With newchrt.seriescollection(i - ) 'insere célul d colun 7 e 9 nos vlores de X.XVlues = "=(Plot!R" & i & "C7,Plot!R" & i & "C9)"

84 8 'insere célul d colun 8 e nos vlores de Y.Vlues = "=(Plot!R" & i & "C8,Plot!R" & i & "C)".ApplyDtbels 'eibe os Rótulos dos pontos 'os dois comndo bio modific o teto dos Rótulos.Points().Dtbel.Tet = Worsheets("Plot").Cells(i, 5).Vlue.Points().Dtbel.Tet = Worsheets("Plot").Cells(i, 6).Vlue 's linhs bio são formtção ds linhs e pontos.dtbels.font.colorinde =.Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito".Points().Dtbel.Font.Size =.Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito".Points().Dtbel.Font.Size =.Border.ColorInde = 4.MrerBcgroundColorInde = 4.MrerForegroundColorInde = 4.MrerStyle = lcircle End With i = i + oop 's linhs bio formt o gráfico newchrt.plotare.interior.colorinde = lnone With newchrt.aes(lvlue).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.aes(lctegory).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.hsais(lctegory, lprimry) = Flse.HsAis(lVlue, lprimry) = Flse End With 'os três comndos bio retiv tulizção d tel, 'eventos do Ecel, o clculo utomático ds céluls 'e torn visível o gráfico Appliction.ScreenUpdting = True Appliction.EnbleEvents = True Appliction.Clcultion = lautomtic newchrt.visible = True 'coloc o gráfico n plnilh Plot newchrt.oction Where:=loctionAsObject, Nme:="Plot" 'lter dimensão e posição do gráfico ChrtObjects.Width = 6 ChrtObjects.Height = 6 ChrtObjects.eft = ChrtObjects.Top = 'eibe um ci de mensgem eibindo o tempo de eecução d mcro MsgBo "Clculo concluído. Tempo de eecução foi de " & Minute(Now - ntes) & ":" & Second(Now - ntes)

85 84 Volte pr plnilh e destive o Modo design. Pr eecutr mcro bst dr um clique no botão crido. O resultdo será lgo semelhnte Figur 87. Pode-se melhorr visulizção do desenho bst lterr s céluls do ângulo de rotção, posição ou zoom. Mnulmente seri possível construir o desenho, ms demorri muito, pel mcro demorou 6 segundos (dependerá ds crcterístics de cd computdor). Figur 87 Representção gráfic no Ecel As versões do Ecel nteriores versão 7 (conhecid tmbém como versão 4.) são incpzes de clculr mtrizes inverss miores que 55 trvés d função Mtriz.Inverso do Ecel ( Pr resolver este problem o lgoritmo bio é cpz de inverter s mtrizes qudrds de qulquer tmnho. Usndo s informções do tópico.4. pr desenvolver o lgoritmo. Crindo um botão pr rmzenr o código d mcro, digite o Código Fonte.

86 85 Código Fonte Inversão de Mtriz Privte Sub CommndButton_Clic() Dim ntes As Vrint ntes = Now Dim i As ong Dim j As ong Dim As ong Dim As Double Dim celuls As Vrint Dim ordem As Integer Dim mtriz() As Vrint Dim invers() As Double 'O comndo bio eibe um InputBo pr selecionr mtriz ser invertid e rmzen n vriável celuls Set celuls = Appliction.InputBo("Selecione s céluls d mtriz ser invertid?","invers", Type:=8) 'verific o tmnho d mtriz e se célul é qudrd If celuls.columns.count = celuls.rows.count Then ordem = celuls.columns.count 'ordem d mtriz Else MsgBo "A mtriz não é qudrd." Eit Sub End If ReDim mtriz(ordem, ordem) ReDim invers(ordem, ordem) mtriz = celuls.vlue 'Armzen os vlores de celuls num rry Appliction.ScreenUpdting = Flse 'Este comndo destiv tulizção d tel Appliction.Clcultion = lmnul 'Este comndo destiv o clculo utomático ds céluls Appliction.EnbleEvents = Flse 'Este comndo destiv os eventos do Ecel 'lço de repetição que cri um mtriz identidde e rmzen n vriável invers For i = To ordem For j = To ordem If i = j Then invers(i, j) = Else invers(i, j) = End If Net j Net i 'lço de repetição pr fzer tringulção inferior d mtriz For = To ordem If mtriz(, ) <> Then For i = To ordem If mtriz(i, ) <> And mtriz(i, ) <> Then = mtriz(i, ) For j = To ordem mtriz(i, j) = mtriz(i, j) / invers(i, j) = invers(i, j) / Net j End If Net i For i = + To ordem If mtriz(i, ) <> Then For j = To ordem

87 86 mtriz(i, j) = mtriz(i, j) - mtriz(, j) invers(i, j) = invers(i, j) - invers(, j) Net j End If Net i Else MsgBo "Não eiste Mtriz Invers." Eit Sub End If Net 'lço de repetição pr fzer tringulção superior d mtriz For = To ordem - For i = To ordem - - If mtriz(i, ordem - ) <> Then = mtriz(i, ordem - ) For j = To ordem mtriz(i, j) = mtriz(i, j) - * mtriz(ordem -, j) invers(i, j) = invers(i, j) - * invers(ordem -, j) Net j End If Net i Net limp s informções d plnilh Pln Worsheets("Pln").Cells.Cler 'lço de repetição que trnscreve mtriz pr plnilh Pln For i = To ordem For j = To ordem Worsheets("Pln").Cells(i, j) = invers(i, j) Net j Net i Appliction.EnbleEvents = True Appliction.Clcultion = lautomtic Appliction.ScreenUpdting = True MsgBo "Clculo concluído. Tempo pr chr solução foi de " & Minute(Now - ntes) & ":" & Second(_ Now - ntes) End Sub Tlvez o lgoritmo mis importnte pr o MEF sej quele que ger mtriz de rigidez globl. O Código Fonte é usdo pr gerr mtriz globl no Ecel. Código Fonte Gerr Mtriz de Rigidez Globl c=cells.find(wht:="").column 'colun dos vlores de 'lço de repetição pr gerção d mtriz de rigidez globl For n= To elemento i=cells(n+,cells.find(wht:="nó i").column).vlue 'no i j=cells(n+,cells.find(wht:="nó j").column).vlue 'no j r=n+ 'linh d célul do elemento n For = To For b= To c=cells.find(wht:="cosz").column- c=cells.find(wht:="cosz").column-b mtriz(*i--, *i-b-)=mtriz(*i--,*i-b-)+cells(r,c)*cells(r,c)*cells(r,c)

88 mtriz(*i--,*j-b-)=mtriz(*i--,*j-b-)-cells(r,c)*cells(r,c)*cells(r,c) mtriz(*j--,*i-b-)=mtriz(*j--,*i-b-)-cells(r,c)*cells(r,c)*cells(r,c) mtriz(*j--,*j-b-)=mtriz(*j--,*j-b-)+cells(r,c)*cells(r,c)*cells(r,c) Net b Net Net n 87

89 88 7 RESUTADOS Após todo o conhecimento desenvolvido o resultdo finl é plnilh bio, que irá clculr treliçs espciis e plns. Algums céluls estão ocults pr fcilitr visulizção ds informções. Figur 88 Tel dos ddos iniciis As informções são dicionds ou modificds ns céluls de cor brnc. As céluls cinz já possuem fórmuls, pr utomtizr o modelmento d treliç. Pr mostrr o funcionmento d plnilh e su eficáci serão mostrdos lguns eemplos, e será feito um comprção dos resultdos com um softwre comercil já consgrdo n áre, o Ansys. Eemplo 5 A Figur 89 mostr um treliç de suporte de scd. Sus dimensões e os crregmentos empregdos são eibidos n própri figur, todos os elementos possuem áre d secção de 8 in e modulo de elsticidde E=,9 6 lb/in.

90 89 Figur 89 Treliç - Eemplo 5 (fonte: MOAVENI nd Ed. p. 7) A plnilh não é cpz de considerr s uniddes dimensionis ds informções, portnto, els têm que ser comptíveis. No cso do eemplo será usdo uniddes em polegds (in) e librs (lb) somente. (ft=in) Trnscrevendo s informções n plnilh el ficrá conforme Figur 9. Figur 9 Informções do Eemplo 5 n plnilh do Ecel Pr plicr s condições de contorno bst digitr (zero) bio d colun UX, UY e UZ nos nós e direções em que há restrição de movimento. Neste cso, um treliç pln, movimentção dos nós n direção Z são restringidos. Pr verificr se treliç está conforme desenho clique em Plotr. Será eibido um gráfico semelhnte Figur 9.

91 9 4 5 Y Z X Figur 9 Representção gráfic d treliç (Eemplo 5) As informções form inserids corretmente, gor bst clicr em Solução. N b Mtriz serão eibids s mtrizes envolvids pr relizr o clculo d solução, conforme Figur 9. Figur 9 Mtrizes gerds pr solução do Eemplo 5

92 9 As céluls destcds em lrnj representm mtriz de rigidez globl do sistem, s verdes é mtriz de rigidez com s condições de contorno, s mrels é mtriz invers d mtriz verde (condição de contorno) e mtriz zul é mtriz finl d solução onde é zerdo s linhs e s coluns onde s condições de contorno estão plicds. N b Resultdos estão s informções geris d solução, como deformção de cd elemento, deslocmento dos nós, reções nos nós, tensões e crgs iis de cd elemento, etc. Vej Figur 9. UX, UY e UZ são deslocmentos nodis ns direções X, Y e Z respectivmente. FX, FY e FZ são s reções nodis ns direções X, Y e Z. Figur 9 Resultdos (Eemplo 5) Pr ter um visulizção proimd de como será deformção d estrutur clique em Plotr. Será eibido um gráfico semelhnte Figur 94.

93 9 4 5 Y Z X Figur 94 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 5) Ansys. Ns figurs Figur 95, Figur 96 e Figur 97 são presentdos os resultdos vi Figur 95 Deslocmento nodis vi Ansys (Eemplo 5)

94 9 Figur 96 Forçs e Tensões iis em cd elemento vi Ansys (Eemplo 5) Figur 97 Reções dos nós vi Ansys (Eemplo 5) A Figur 98 present um imgem pr fcilitr visulizção d deformção. Figur 98 Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 5) Pr efeito de comprção s Qudro 6, Qudro 7 e Qudro 8 presentm os resultdos obtido pelo Ansys e pel Plnilh.

95 94 Qudro 6 Reções Ansys e Plnilh (Eemplo 5) Nós Ansys Reções Plnilh Reções Vrições FX FY FX FY FZ FZ FX FY FZ 5,, 5,,,, - -,,, - -5,, -5,,,, 4 - -,,, ,,, - Qudro 7 Deslocmentos nodis Ansys e Plnilh (Eemplo 5) Nós Ansys Plnilh Vrições UX UY UZ UX UY UZ UX UY UZ,,,,E+,E+,E+ -,556E- -,5E-, -,556E- -,5E-,E+,,,,E+,E+,E+ 4,84E- -,46E-,,84E- -,46E-,E+ 5,684E- -,95E-,,684E- -,95E-,E+ Qudro 8 Forçs e tensões iis Ansys e Plnilh (Eemplo 5) Elementos Ansys Plnilh Vrições Forç Ail Tensão Ail Forç Ail Tensão Ail Forç Ail Tensão Ail -5, -87,5-5, -87,5 44, 76,78 44, 76,78 5, 6,5 5, 6,5 4-5, -6,5-5, -6,5 5-77, -88,88-77, -88,9 6 5, 6,5 5, 6,5 O próimo eemplo irá mostrr um treliç espcil. Eemplo 6 Um treliç espcil conforme Figur 99 é submetid um crg de lb no nó, seu modulo de elsticidde é de E=,6 6 lb/in e áre d secção de,56 in. Desej-se sber defleão no nó. Figur 99 Treliç espcil (Eemplo 6) (fonte: MOAVENI nd Ed. p. 54)

96 Digitr s informções fornecids ns céluls correspondentes conforme os Qudro 9 e Qudro. Qudro 9 Ddos do Eemplo 6 Nós y z F Fy Fz UX UY UZ Nó 6 Nó 7 - Nó -6 Nó 4 7 Qudro - Ddos do Eemplo 6 Elementos Nó i Nó j Áre Modulo E Elemento,56,6E+7 Elemento,56,6E+7 Elemento,56,6E+7 Elemento 4 4,56,6E+7 Elemento 5 4,56,6E+7 Elemento 6 4,56,6E+7 Plotr o gráfico pr verificr se os elementos estão corretmente conectdos. 95 Y 4 X Z Figur - Representção gráfic d treliç Espcil (Eemplo 6) Os resultdos obtidos n Plnilh e no Ansys form: Qudro Resultdo do Eemplo 6 reções nodis Nós Ansys Reções Plnilh Reções Vrições FX FY FZ FX FY FZ FX FY FZ,,, ,6E-5, - - -,4E-4 4 -, - - Qudro Resultdo do Eemplo 6, deslocmentos nodis Nós Ansys Reções Plnilh Reções Vrições UX UY UZ UX UY UZ UX UY UZ,,,,,, -,6694E- -,6E- -,885E- -6,694E-4 -,6E- -,885E-4,,885E- -,77E-,E,885E-4 -,77E-4 4,,,,,,

97 96 Qudro - Resultdo do Eemplo 6, forç e tensão il Ansys Plnilh Vrições Elementos Forç Tensão Forç Tensão Forç Tensão Ail Ail Ail Ail Ail Ail -,8-7,67 -,8-7,67 -,8-7,67 -,8-7,67 5,5 5,,5 4,, 5 8,84 8, 8,84 8, 6,, A representção gráfic d deformção será: 4 Y Z X Figur - Representção gráfic d deformção (Eemplo 6) Figur - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 6) Neste eemplo surgirm lguns vlores diferentes entre plnilh e o Ansys, no nós e s reções n plnilh form FX=-,6E-5 e FZ=-,4E-4 respectivmente.

98 97 Ms considerndo estes vlores são muito próimos dos vlores obtidos no Ansys (zero) pode-se dizer que não eiste divergênci. O eemplo seguinte irá testr cpcidde d plnilh clculr mtrizes inverss miores que 55, um limitnte no Ecel e versões nteriores. Eemplo 7 As coordends d treliç espcil estão descrits no Qudro 4, os elementos são descrits no Qudro 5. Qudro 4 Coordends (Eemplo 7) Nós y z Nós y z Nó Nó 7 88 Nó 7 Nó Nó 7 7 Nó Nó 4 7 Nó 88 7 Nó 5 7 Nó 6 Nó Nó 6 7 Nó Nó Nó Nó Nó 9 44 Nó 5 4 Nó 44 7 Nó Nó Nó Nó 44 7 Nó Nó 6 Nó 9 54 Nó Nó 54 7 Nó Nó Nó Nó 54 7 Qudro 5 Elementos (Eemplo 7) Elementos Nó i Nó j Elementos Nó i Nó j Elementos Nó i Nó j Elementos Nó i Nó j Elemento Elemento Elemento 49 6 Elemento 7 7 Elemento Elemento Elemento 5 6 Elemento 74 7 Elemento 4 Elemento Elemento 5 4 Elemento 75 6 Elemento 4 4 Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento 9 9 Elemento 5 8 Elemento Elemento Elemento Elemento 54 7 Elemento Elemento Elemento Elemento 55 7 Elemento 79 7 Elemento Elemento 9 Elemento 56 5 Elemento 8 5 Elemento 9 9 Elemento 5 Elemento Elemento 8 5 Elemento Elemento Elemento 58 9 Elemento 8 8 Elemento Elemento 5 9 Elemento 59 7 Elemento 8 8 Elemento 9 Elemento 6 7 Elemento 6 7 Elemento 84 6 Elemento 4 Elemento 7 7 Elemento 6 8 Elemento Elemento Elemento 8 5 Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento Elemento 6 6 Elemento 4 6 Elemento Elemento 88 7 Elemento Elemento 4 6 Elemento Elemento 89 Elemento Elemento 4 4 Elemento Elemento Elemento 9 9 Elemento Elemento 67 5 Elemento 9 9 Elemento 7 Elemento 44 8 Elemento 68 6 Elemento Elemento Elemento 45 6 Elemento 69 6 Elemento Elemento Elemento 46 6 Elemento 7 4 Elemento 94 4 Elemento 4 Elemento Elemento Elemento Elemento 4 4 Elemento 48 8 Elemento 7 9 Elemento 96 Nos nós,, e 4 têm restrição ns três direções. Nos nós 7, 8,,, 5, 6, 9,,, 4, 7 e 8 são submetidos um crregmento FY=-5 lb. O modulo de elsticidde dos elementos é E=,6 6 lb/in e áre d secção de 8 in.

99 98 A estrutur será precid com Figur Y Z X Figur Treliç espcil (Eemplo 7) Os resultdos obtidos são mostrdos nos qudros seguintes. Qudro 6 - Resultdo do Eemplo 7, reções nodis Nós Ansys Plnilh Vrições FX FY FZ FX FY FZ FX FY FZ 55 5,6E- 55 5,455E ,9E ,546E ,6798E-,596E ,89E ,6798E-,89E- 9,949E ,94E-,94E-,89E ,68E ,5E- -7,76E- -,9559E ,68E ,68E-,68E- -,5E ,45697E- 7,76E ,4559E- -,455E-,67E ,455E-,455E- -5,457E ,8899E-,89E ,6798E-,455E- -,89E ,94E-,455E-,785E ,89E ,98E- 4,656E- -6,665E ,89E- -,455E ,89E- -,88E-,4E ,76E- 7,76E- -7,77E ,457E- -9,949E ,687E-,455E- 7,77E ,8899E- -,455E- -9,949E ,89E ,5475E- -7,958E- -,57E ,8899E ,5475E- -4,5475E- 9,949E-

100 99 Qudro 7 - Resultdo do Eemplo 7, deslocmentos nodis Nós Ansys Plnilh Vrições UX UY UZ UX UY UZ UX UY UZ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4,,,,,, 5 -,84E- -8,598E- 4,4575E- -,84E- -8,598E- 4,4575E- 6-4,4575E- -8,598E- 4,4575E- -4,4575E- -8,598E- 4,4575E- 7,84E- -8,7E- 4,4575E-,84E- -8,7E- 4,4575E- 8 4,4575E- -8,598E- 4,4575E- 4,4575E- -8,598E- 4,4575E- 9-6,679E- -,887E-,547E- -6,679E- -,887E-,547E- -6,58E- -,887E-,547E- -6,58E- -,887E-,547E- 6,679E- -,887E-,547E- 6,679E- -,887E-,547E- 6,58E- -,99E-,547E- 6,58E- -,99E-,547E- -7,645E- -,959E- 4,88E- -7,645E- -,959E- 4,88E- 4-8,78E- -,959E- 4,88E- -8,78E- -,959E- 4,88E- 5 7,645E- -,957E- 4,88E- 7,645E- -,957E- 4,88E- 6 8,78E- -,959E- 4,88E- 8,78E- -,959E- 4,88E- 7-8,95E- -5,8778E- 4,6698E- -8,95E- -5,8778E- 4,6698E- 8-9,96E- -5,8778E- 4,6698E- -9,96E- -5,8778E- 4,6698E- 9 8,95E- -5,8778E- 4,6698E- 8,95E- -5,8778E- 4,6698E- 9,96E- -5,899E- 4,6698E- 9,96E- -5,899E- 4,6698E- -9,74E- -7,887E- 5,7E- -9,74E- -7,887E- 5,7E- -9,9764E- -7,887E- 5,7E- -9,9764E- -7,887E- 5,7E- 9,74E- -7,98E- 5,7E- 9,74E- -7,98E- 5,7E- 4 9,9764E- -7,887E- 5,7E- 9,9764E- -7,887E- 5,7E- 5-9,96E- -9,8787E- 6,679E- -9,96E- -9,8787E- 6,679E- 6-9,9764E- -9,8787E- 6,679E- -9,9764E- -9,8787E- 6,679E- 7 9,96E- -9,8787E- 6,679E- 9,96E- -9,8787E- 6,679E- 8 9,9764E- -9,8999E- 6,679E- 9,9764E- -9,8999E- 6,679E- 9-9,96E- -,8E- 7,47E- -9,96E- -,8E- 7,47E- -9,9764E- -,8E- 7,47E- -9,9764E- -,8E- 7,47E- 9,96E- -,8E- 7,47E- 9,96E- -,8E- 7,47E- 9,9764E- -,8E- 7,47E- 9,9764E- -,8E- 7,47E- Qudro 8 - Resultdo do Eemplo 7, forçs e tensões iis Ansys Plnilh Vrições Elementos Forç Ail Tensão Ail Forç Ail Tensão Ail Forç Ail Tensão Ail ,5-5 -, ,5-5 -, ,5-5 -, ,6E-,77E ,4E- -,55E- -5 -,5-5 -,5-5 -,5-5 -, ,E- -,8E- 6 7,6E-,77E ,5-5 -,5 9

101 , , , , , , , , ,5-5 -, ,5-5 -,5 9 -,4E- -,55E , , ,5-5 -, ,5-5 -, , , , , ,5E- -,44E- -7,56E- -9,45E- 46 -,7E- -,59E- -6,947E- -8,68E , ,5 48 5,5 5,5 49 5,5 5, , , , ,75 5 6,9E- 8,6E- 5,78E- 6,85E- 5 6,9E- 8,6E- 4,95E- 6,9E , , , , ,5 5 87, ,5 5 87,5 58 5,5 5,5 59 5,5 5,5 6,4E-,554E- 6 -, -65,7 -, -65, ,8,97 767,76695, , -76,78-44,6-76, ,7,58 6,667, , -88,88-77,678-88, ,55 44,94 5,559 44, ,9E- -,5E- -4,9E- -6,4E- 68, 65,7,4 65, ,8 -,97-767,767 -, , 76,78 44,56 76, ,7 -,58-6,66 -, , 88,88 77,678 88, ,55-44,94-5,559-44, ,9E-,5E-,569E-,57E- 75 -,78E- -,E- -,E- -,5E- 76,4E-,76E-,9E-,664E- 77 -,6E- -,58E- -,9E- -,4E- 78 5,7E- 6,46E-,766E-,8E- 79 -,7E- -,5E- -,94E- -,4E- 8-6,9E- -8,6E-,788E-,86E- 8 4,6E- 5,75E- -4,86E- -5,E- 8-9,77E- -,E- -,67E- -,7E- 8 7,76E- 9,7E-,95E-,867E- 84-8,4E- -,E- -,57E- -,8E- 85 4,E- 5,E-,96E-,66E- 86-7,47E- -9,4E- -9,E- -,5E- 87 6,9E- 8,6E- 4,84E- 5,5E- 88 5,75E- 7,8E-4 -,45E- -,6E- 89 9,E-,87E- 9 4,88E- 6,E- -,65E- -,8E- 9 4,6E- 5,75E- -,4E- -,4E- 9-5,7E- -6,46E-,559E-,9E- 94,84E-,E- -,94E- -,6E- 95,5E-,44E-,45E-,68E- 96 -,8E- -,7E-,668E-,959E-

102 Y X Z Figur 4 - Representção gráfic d deformção (Eemplo 7) Figur 5 - Representção gráfic d deformção vi Ansys (Eemplo 7) Os resultdos neste eemplo form bem próimos entre os softwres, sofreu vrições mínims d ordem de - ou menores ns tensões, crgs iis e reções, que podem ser ignords. Tnto no Ansys como n plnilh surgirm vlores etremmente pequenos que deverim ser zero. Esss vrições etremmente pequens podem ser eplicds pelo problem dos pontos flutuntes.

103 8 CONCUSÃO Os resultdos finis form muito stisftórios, levndo em considerção o problem dos pontos flutunte não houve vrições entre plnilh e o Ansys, este trblho conseguiu comprovr que o uso do Ecel é cpz de relizr muito bem nálises vi método dos elementos finitos em treliçs espciis. O trblho nlisou treliçs espciis bsedo em conceitos ideis do comportmento deste tipo de estrutur, onde sofrem somente esforços estáti iis. O uso rel dests estruturs são bem mis compleos, sofrem diversos tipos de esforços inclusive dinâmi. Apesr disso credito que pr nálise de pequenos projetos ou em pré-projetos o uso d plnilh Ecel junto dos recursos progrmáveis no VBA mostrou-se tão eficiente qunto o softwre comercil Ansys lém de ser um solução mis econômic. Acredito que uso dos recursos do Ecel junto do MEF pode ser mplido pr outros problems d engenhri, mesmo que este trblho tenh borddo somente form mis simples dentre estes problems. Do ponto de vist didático o uso d plnilh é bem intuitivo, e itertividde fcilit o estudo dos processos e cálculos eigidos pelo MEF, fcilitndo àqueles que estão inicindo o uso e estudo do método. As vntgens do uso d plnilh pr nálise ds treliçs espciis: - Solução econômic em relção os softwres comerciis. - Grnde portbilidde já que pode ser utilizd em qulquer computdor que possu o Ecel. - O seu uso é intuitivo mis descomplicdo que o Ansys. - Qulidde e precisão dos resultdos. - Pode ser personlizd conforme necessidde do usuário. - Pode perfeiçor nálise grçs su fácil itertividde. Apesr d eistênci de softwres comerciis com soluções pronts utilizndo o MEF, o conhecimento d teori é essencil pr vlir melhor os resultdos finis. Afinl tnto os softwres e o MEF são ferrments de uilio somente, cbe o usuário (engenheiro) definir, conduzir e nlisr melhor solução pr seu problem.

104 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS BEER, F. P.; JOHNSTON JÚNIOR, E. R. Mecânic vetoril pr engenheiros: estátic..ed. São Pulo. McGrw-Hill, 98. v., 46p. HUTTON, D. V.; Fundmentls of Finite Element Anlysis. st ed. New Yor McGrw-Hill, p. MOAVENI, S.; Finite Element Anlysis Theory nd Appliction with Ansys. nd ed. New Jersey. Prentice Hll,. 8p. SORIANO, H..; Método de Elementos finitos em Análise de Estruturs..ed. São Pulo. Edusp,. 68p. Descrição ds limitções de trblho com mtrizes no Ecel. Suporte do Microsoft. Disponível em: < Acesso em: 5 jn.. Pvilhão de Eposições do Anhembi. Prque Anhembi. São Pulo. Disponível em: < Acesso em: br.. Ajud do Microsoft Visul Bsic. Disponível em: <F> no editor do Visul Bsic. Acesso em: 5 jn..

105 4 BIBIOGRÁFIA BARROSO, P. A. B.; Aplicção de Mlhs Espciis n Arquitetur. Technic Consultori e Projetos Industriis. Disponível em: < Acesso em: 9 jn.. BEER, F. P.; JOHNSTON JÚNIOR, E. R. Resistênci dos Mteriis..ed. São Pulo. McGrw-Hill, p. OPPENHEIMER, D. M.; Ecel VBA Performnce Coding Best Prctices. Ecel Blog. Disponível em: < prctices.sp>. Acesso em: 5 jn.. STEINBRUCH, A.; WINTERE, P.; Álgebr iner..ed. São Pulo. McGrw-Hill, p. D Projection. Disponível em: < Acesso em: nov.. Histórico. Histórico ds Treliçs Espciis. Curso de Arquitetur e Urbnismo. Universidde Federl de Snt Ctrin. Disponível em: < Acesso em: br.. Orthogrphic Projection. Disponível em: < Acesso em: nov..

106 5 APÊNDICE A Neste pêndice será mostrd plnilh crid pr relizr os cálculos do cpitulo 7, s fórmuls usds n plnilh e os códigos fonte do VBA. Fcilitndo su reprodução e compreensão. A. Uso d Plnilh As plnilhs form seprds em três bs: Ddos, onde são inseridos os ddos iniciis do problem. Mtriz, onde é gerd s mtrizes pr solução do problem. Resultdo, onde se presentdo os resultdos do problem. Figur 6 Plnilh Ddos N plnilh de Ddos são inserids s informções do problem. Ns céluls brncs são inseridos os ddos e ns céluls cinz já possuem fórmuls, e não podem ser modificds. Os pssos pr definir o problem são: º Psso: Inserir s coordends, y e z dos nós d treliç (coluns K, e M) conforme Figur 7.

107 6 Figur 7 - Coordends º Psso: Informr os nós de cd elemento brr d treliç (colun Y e Z) conforme Figur 8. Figur 8 Nós dos Elementos º Psso: Aperte no botão Plotr, será gerdo um gráfico, conforme Figur 9.

108 7 Figur 9 Gráfico d Treliç 4º Psso: Cso necessário trnslde, rotcione ou de zoom pr visulizr melhor o gráfico, modificndo s céluls destcds n Figur. Figur Trnsldr, Rotcionr e Zoom 5º Psso: Verifique se o gráfico está conforme desejdo, cso não estej repit os pssos o 4 té que fique correto. 6º Psso: Termine de inserir s outrs informções, s áres ds secções dos elementos (colun AJ), os módulos de elsticidde (colun AK), s crgs plicds nos nós (coluns Q, R e S) e os nós que estão trvdos inserindo zero (coluns T, U e V). Pr problems bidimensionis ou unidimensionis é preciso trvr o sistem de coordends que não são usdos inserindo zero ns coluns T, U ou V.

109 8 Figur Outrs informções 7º Psso: Aperte o botão Solução. Será gerd solução do problem. Figur - Solução 8º Psso: Abr b Resultdo. Será eibido os deslocmentos nos nós (coluns O, P e Q), reções nos nós (coluns W, X e Y), deslocmentos dos elementos (colun AN), deformção dos elementos (colun AO), forç il dos elementos (colun AP) e tensão il dos elementos (colun AQ).

110 9 Figur Ab resultdo Plotr. 9º Psso: Pr verificr deformção d estrutur n form gráfic perte o botão Figur 4 Gráfico de deformção Após o botão Solução ter sido pertdo est plnilh pode ter s informções iniciis lterds (coordends, forçs nos nós, áre d secção, modulo de elsticidde e trvmento dos nós) e o resultdo finl será modificdo imeditmente, desde que não dicione mis elementos neste cso é necessário pert o botão solução novmente. Isso ocorre porque plnilh foi utomtizd de form vinculr s informções iniciis s mtrizes e os resultdos finis. Pr s versões do Ecel nteriores que tenhm mtrizes de rigidez miores que 55 (ou sej mis de 7 nós), será preciso pertr o botão solução pr

111 que s modificções sejm tulizds. Cso versão do Ecel sej ou nterior e mtriz ser clculd sej mior que 55 os vlores n plnilh d Mtriz são fios. Um observção ser feit é que todos os vlores inseridos e gerdos não possuem uniddes, fic sob responsbilidde do usuário pssr s informções com os vlores no formto dequdo. Por eemplo, se o problem estiver definido no sistem interncionl (SI) todos os vlores deverão estr no formto comptíveis, s distâncis e comprimentos em metros [m], modulo de elsticidde em Pscl [g.m/s /m ], forçs em Newton [g.m/s ] e s áres em metros qudrdos [m ]. A b Mtriz tmbém é gerd qundo o botão Solução é pertdo. Nest plnilh conterá s mtrizes usds pr os cálculos d solução. Figur 5 Mtrizes São gerds qutro mtrizes destcds ns cores lrnj, verde, mrelo e zul. A mtriz em lrnj é mtriz de rigidez sem condição de contorno. A mtriz verde é mtriz de rigidez com s condições de contorno plicds. A mtriz mrel é invers d mtriz verde. A mtriz zul é mtriz usd pr multiplicr o vetor ds forçs.

112 A. Fórmuls d Plnilh Neste trblho, sempre que possível, usou os recursos pdrões do Ecel pr utomtizr os cálculos pr solução dos problems. Algums céluls d plnilh Ddos form ocultds pr fcilitr visulizção ds informções. Neste tópico serão mostrds s formuls que estão ocults, pr fcilitr su reprodução. Abio são mostrds s fórmuls ds céluls D8 e D9. Qudro 9 Céluls Número de elementos e Numero de nós D 8 =CONT.SE(X:X;">") 9 =CONT.SE(J:J;">") As coluns G, H, I e N possuem s céluls pr relizr projeção pr Plotr treliç. As coluns O e P presentrá s coordends pr projeção. As fórmuls e vlores ds coluns N, O e P são gerds pelo botão Plotr. Figur 6 Céluls ocults Qudro Fórmuls coluns G, H e I G H I =COS(H7)*COS(I7) =-COS(G7)*SEN(I7)+SEN(G7)*SEN(H7)*COS(I7) =SEN(G7)*SEN(I7)+COS(G7)*SEN(H7)*COS(I7) =COS(H7)*SEN(I7) =COS(G7)*COS(I7)+SEN(I7)*SEN(G7)*SEN(H7) =-COS(I7)*SEN(G7)+COS(G7)*SEN(H7)*SEN(I7) 4 =-SEN(H7) =SEN(G7)*COS(H7) =COS(H7)*COS(G7) 5 =MATRIZ.MUT(G:I;G:I4) =MATRIZ.MUT(G:I;G:I4) =MATRIZ.MUT(G:I;G:I4) 6 7 =B8*PI()/8 =C8*PI()/8 =D8*PI()/8 8 9 =B- =C- =D- =G*$C$6 =H*$C$6 =I*$C$6 4 =G*$C$6 =H*$C$6 =I*$C$6 5 =G4*$C$6 =H4*$C$6 =I4*$C$6

113 As coluns AA té AF são s coordends dos nós do elemento. As coluns AG té AI presentrá os vlores dos senos dos ângulos dos elementos em relção X, Y e Z. As coluns AN AS são s coordends pr Plotr treliç. Figur 7 Céluls ocults Os termos em destque em negrito ns fórmuls seguir serão os úni vlores mudrem em cd célul. Utilize o recurso de uto-preenchimento pr completr s linhs bio. Qudro Fórmuls colun X X =SE(E(Y<>"";Z<>"");;"") =SE(E(Y<>"";Z<>"");X+;"") Qudro Fórmuls colun AA, AB e AC AA AB AC =SE($Y<>"";PROCV($Y;$J$:$M$5;);"") =SE($Y<>"";PROCV($Y;$J$:$M$5;);"") =SE($Y<>"";PROCV($Y;$J$:$M$5;4);"") Qudro Fórmuls colun AD, AE e AF AD AE AF =SE($Z<>"";PROCV($Z;$J$:$M$5;);"") =SE($Z<>"";PROCV($Z;$J$:$M$5;);"") =SE($Z<>"";PROCV($Z;$J$:$M$5;4);"") Qudro 4 Fórmuls colun AG, AH e AI AG AH AI =SE($X<>"";(AD-AA)/$A;"") =SE($X<>"";(AE-AB)/$A;"") =SE($X<>"";(AF-AC)/$A;"") Qudro 5 Fórmuls colun AJ e AK AJ AK =SE($X<>"";RAIZ((AA-AD)^+(AB-AE)^+(AC-AF)^);"") =SE(AJ<>;AK*AJ/A;"") Qudro 6 Fórmuls colun AN e AO AN AO =SE($Y<>"";PROCV($Y;$J$:$R$5;6);"") =SE($Y<>"";PROCV($Y;$J$:$P$5;7);"") Qudro 7 Fórmuls colun AP e AQ AP AQ =SE($Z<>"";PROCV($Z;$J$:$P$5;6);"") =SE($Z<>"";PROCV($Z;$J$:$P$5;7);"")

114 Qudro 8 Fórmuls colun AR e AS AR AS =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) 4 =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) 5 =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) =MATRIZ.MUT({..;..;..;..};G:I5) A. Código Fonte O código fonte seguir está n plnilh de Ddos. Código Fonte 4 Plnilh Ddos Privte Sub Plotr_Clic() If Cells(8, 4) = Or Cells(9, 4) = Then Eit Sub End If Dim ntes As Vrint ntes = Now Dim i As Integer, colun As Integer, no As Integer Dim newchrt As Object Appliction.ScreenUpdting = Flse Appliction.EnbleEvents = Flse colun = Cells.Find(wht:="Unidde").Column Rnge(Cells(, colun), Cells(6556, colun + )).Cler If Cells(9, 4) <> Then no = Cells(9, 4) Else no = End If Rnge(Cells(, colun), Cells(no +, colun)).formulrc = "" Rnge(Cells(, colun + ), Cells(no +, colun + )).FormulArry = "=MMUT(RC:R" & no + & "C"_ & colun & ",RC7:R5C9)*R4C/" Set newchrt = Chrts.Add newchrt.visible = Flse newchrt.chrttype = lxysctterines newchrt.hsegend = Flse i = Do While Cells(i, 4).Vlue <> "" newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection(i - ).XVlues = "=(Ddos!R" & i & "C4,Ddos!R" & i & "C4)" newchrt.seriescollection(i - ).Vlues = "=(Ddos!R" & i & "C4,Ddos!R" & i & "C4)" newchrt.seriescollection(i - ).ApplyDtbels newchrt.seriescollection(i - ).Dtbels.Font.ColorInde = newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Tet = Cells(i, 5).Vlue newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Tet = Cells(i, 6).Vlue newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito" newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Font.Size = 9 newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito" newchrt.seriescollection(i - ).Points().Dtbel.Font.Size = 9 With newchrt.seriescollection(i - ) With.Border.ColorInde = 4.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous

115 4 End With.MrerSize =.MrerBcgroundColorInde = 4.MrerForegroundColorInde = 4.MrerStyle = lcircle End With i = i + oop newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection.newseries With newchrt.seriescollection(i - ).Nme = "=""X""".XVlues = "=(Ddos!RC44,Ddos!RC44)".Vlues = "=(Ddos!RC45,Ddos!RC45)".ApplyDtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Border.ColorInde = 6.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito".Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Tet = "X".Points().Dtbel.Delete End With With newchrt.seriescollection(i).nme = "=""Y""".XVlues = "=(Ddos!RC44,Ddos!R4C44)".Vlues = "=(Ddos!RC45,Ddos!R4C45)" With.Border.ColorInde = 5.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone.applydtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito".Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Tet = "Y".Points().Dtbel.Delete End With With newchrt.seriescollection(i + ).Nme = "=""Z""".XVlues = "=(Ddos!RC44,Ddos!R5C44)".Vlues = "=(Ddos!RC45,Ddos!R5C45)" With.Border

116 5.ColorInde =.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone.applydtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito".Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Tet = "Z".Points().Dtbel.Delete End With newchrt.plotare.interior.colorinde = lnone With newchrt.aes(lvlue).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.aes(lctegory).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.hsais(lctegory, lprimry) = Flse.HsAis(lVlue, lprimry) = Flse End With Appliction.ScreenUpdting = True newchrt.visible = True Appliction.EnbleEvents = True newchrt.oction Where:=loctionAsObject, Nme:="Ddos" MsgBo "Clculo concluído. Tempo pr chr solução foi de " & Minute(Now - ntes) & ":"_ & Second(Now - ntes) End Sub Privte Sub Soluco_Clic() 'Botão ger mtriz e principis cálculos e rotins If Cells(8, 4) = Or Cells(9, 4) = Then Eit Sub End If Dim ntes As Vrint ntes = Now Appliction.Clcultion = lmnul Appliction.EnbleEvents = Flse Worsheets("Mtriz").Cells.Delete Shift:=lUp 'Apg tod plnilh Mtriz 'Crição de vriáveis Dim mtriz() As String Dim invers() As Vrint Dim contorno() As Vrint Dim As Double Dim As Integer Dim b As Integer Dim i As Integer

117 6 Dim j As Integer Dim l As Integer Dim n As Integer Dim no As Integer Dim elemento As Integer Dim r As Integer Dim c As Integer Dim c As Integer Dim c As Integer Dim c As Integer Dim d As Integer Dim ColUX As Integer elemento = Cells(8, 4) no = Cells(9, 4) ReDim mtriz( * no -, * no - ) 'coloc em todos os cmpos do rry mtriz o sinl = For i = To * no - For j = To * no - mtriz(i, j) = "=" Net j Net i c = Cells.Find(wht:="").Column 'colun onde está 'oop pr montr mtriz de rigidez For n = To elemento = Cells(n +, Cells.Find(wht:="").Column).Vlue 'VAOR DE K DO EEMENTO N i = Cells(n +, Cells.Find(wht:="Nó i").column).vlue 'no i j = Cells(n +, Cells.Find(wht:="Nó j").column).vlue 'no j r = n + 'linh d célul do elemento For = To For b = To c = Cells.Find(wht:="CosZ").Column - c = Cells.Find(wht:="CosZ").Column - b mtriz( * i - -, * i - b - ) = mtriz( * i - -, * i - b - ) & "+Ddos!R" & r & "C" & c &_ "*Ddos!R" & r & "C" & c & "*Ddos!R" & r & "C" & c mtriz( * i - -, * j - b - ) = mtriz( * i - -, * j - b - ) & "-Ddos!R" & r & "C" & c &_ "*Ddos!R" & r & "C" & c & "*Ddos!R" & r & "C" & c mtriz( * j - -, * i - b - ) = mtriz( * j - -, * i - b - ) & "-Ddos!R" & r & "C" & c &_ "*Ddos!R" & r & "C" & c & "*Ddos!R" & r & "C" & c mtriz( * j - -, * j - b - ) = mtriz( * j - -, * j - b - ) & "+Ddos!R" & r & "C" & c &_ "*Ddos!R" & r & "C" & c & "*Ddos!R" & r & "C" & c Net b Net Net n 'oop pr colocr zeros ns mtrizes vzis For i = To * no - For j = To * no - If mtriz(i, j) = "=" Then mtriz(i, j) = End If Net j Net i

118 7 'Trnscreve o rry mtriz pr plnilh mtriz For i = To * no For j = To * no Worsheets("Mtriz").Cells(i, j).formulrc = mtriz(i -, j - ) Net j Net i 'plic condição de contorno ColUX = Cells.Find(wht:="UX").Column For i = To * no For j = To * no If i = j Then mtriz(i -, j - ) = "=IF(AND(Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX + (j - ) Mod ) &_ "=,Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX + (j - ) Mod ) & "<>""""),,R[-" & ( * no + ) & "]C)" Else mtriz(i -, j - ) = "=IF(OR(nd(Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX + (i - ) Mod ) &_ "=,Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX + (i - ) Mod ) & "<>""""),nd(ddos!r" & (j - ) \ + _ & "C" & (ColUX + (j - ) Mod ) & "=,Ddos!R" & (j - ) \ + & "C" & (ColUX + (j - ) Mod ) &_ "<>"""")),,R[-" & ( * no + ) & "]C)" End If Net j Net i 'trnscreve mtriz condição de contorno For i = To * no For j = To * no Worsheets("Mtriz").Cells( * no + i +, j).formulrc = mtriz(i -, j - ) Net j Net i Rnge(Cells(, 46), Cells( * no, * no + 46)).Font.ColorInde = 'verific versão do Ecel e escreve invers n plnilh Mtriz Dim verso As Integer verso = Appliction.Version With Worsheets("Mtriz") If no <= 7 Or verso >= Then.Rnge(.Cells(6 * no +, ),.Cells(9 * no +, * no)).formularry = "=MINVERSE(R" & * no + _ & "C:R" & 6 * no + & "C" & * no & ")" 'cri mtriz invers d mtriz condição de contorno Else 'clcul mtriz invers d mtriz de contorno ReDim invers( * no -, * no - ) ReDim contorno( * no -, * no - ) For i = To * no - For j = To * no - contorno(i, j) = Worsheets("Mtriz").Cells(i + * no +, j + ) If i = j Then invers(i, j) = Else invers(i, j) = End If Net j Net i For l = To * no - For i = l To * no - If contorno(i, l) <> And contorno(i, l) <> Then

119 8 = contorno(i, l) For j = To * no - contorno(i, j) = contorno(i, j) / invers(i, j) = invers(i, j) / Net j End If Net i For i = l + To * no - If contorno(i, l) <> Then For j = To * no - contorno(i, j) = contorno(i, j) - contorno(l, j) invers(i, j) = invers(i, j) - invers(l, j) Net j End If Net i Net l For l = To * no - For i = To * no - - l If contorno(i, * no - - l) <> Then = contorno(i, * no - - l) For j = To * no - contorno(i, j) = contorno(i, j) - * contorno( * no - - l, j) invers(i, j) = invers(i, j) - * invers( * no - - l, j) Net j End If Net i Net l 'trnscreve mtriz invers For i = To * no For j = To * no Worsheets("Mtriz").Cells(i + 6 * no +, j) = invers(i -, j - ) Net j Net i MsgBo "A função MATRIZ.INVERSO não clcul invers de mtrizes miores que 55 no Ecel_ Versão" & Appliction.Version & ". Um modo lterntivo será usdo." End If End With For i = To * no For j = To * no If i = j Then Worsheets("Mtriz").Cells(i + 9 * no +, j) = "=IF(AND(Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX_ +(j - ) Mod ) & "=,Ddos!R" & (i - ) \ + & "C" & (ColUX + (j - ) Mod ) & "<>""""),,R[-" & ( *_ no + ) & "]C)" Else Worsheets("Mtriz").Cells(i + 9 * no +, j) = "=R[-" & ( * no + ) & "]C" End If Net j Net i 'Formtção d plnilh mtriz With Worsheets("Mtriz") With.Rnge(.Cells(, ),.Cells( * no, * no)).interior.colorinde = 4.Borders(lInsideVerticl).ineStyle = lcontinuous.borders(linsidehorizontl).inestyle = lcontinuous End With With.Rnge(.Cells( * no +, ),.Cells(6 * no +, * no)).interior.colorinde = 5

120 9.Borders(lInsideVerticl).ineStyle = lcontinuous.borders(linsidehorizontl).inestyle = lcontinuous End With With.Rnge(.Cells(6 * no +, ),.Cells(9 * no +, * no)).interior.colorinde = 6.Borders(lInsideVerticl).ineStyle = lcontinuous.borders(linsidehorizontl).inestyle = lcontinuous End With With.Rnge(.Cells(9 * no + 4, ),.Cells( * no +, * no)).interior.colorinde = 7.Borders(lInsideVerticl).ineStyle = lcontinuous.borders(linsidehorizontl).inestyle = lcontinuous End With.Rows(":9").Insert Shift:=lDown.Rnge("B").FormulRC = "egend".rnge("c4:e4").merge.rnge("c5:e5").merge.rnge("c6:e6").merge.rnge("b4").interior.colorinde = 4.Rnge("B5").Interior.ColorInde = 5.Rnge("B6").Interior.ColorInde = 6.Rnge("B7").Interior.ColorInde = 7.Rnge("C4").FormulRC = "Mtriz Rigidez".Rnge("C5").FormulRC = "Mtriz Condição de Contorno".Rnge("C6").FormulRC = "Mtriz Invers d Mtriz Condição de Contorno".Rnge("C7").FormulRC = "Mtriz Finl" With.Rnge("A:F8").Borders(lEdgeeft).Weight = lmedium.borders(ledgetop).weight = lmedium.borders(ledgebottom).weight = lmedium.borders(ledgeright).weight = lmedium End With End With 'formtção d plnilh resultdo With Worsheets("Resultdo").Rnge("J:BA").Cler.Cells.HorizontlAlignment = lcenter With.Rnge(.Cells(, ),.Cells( * no +, )).Borders.ineStyle = lcontinuous.borders(ledgeeft).weight = lmedium.borders(ledgetop).weight = lmedium.borders(ledgebottom).weight = lmedium.borders(ledgeright).weight = lmedium End With With.Rnge(.Cells(, 4),.Cells(no +, 5)).Borders.ineStyle = lcontinuous.borders(ledgeeft).weight = lmedium.borders(ledgetop).weight = lmedium.borders(ledgebottom).weight = lmedium.borders(ledgeright).weight = lmedium End With.Rnge(.Cells(, 4),.Cells(no +, 4)).Borders(lEdgeRight).Weight = lmedium

121 .Rnge(.Cells(, ),.Cells(no +, )).Borders(lEdgeeft).Weight = lmedium.rnge(.cells(, 8),.Cells(no +, 8)).Borders(lEdgeRight).Weight = lmedium.rnge(.cells(, 4),.Cells(, )).Borders(lEdgeBottom).Weight = lmedium.rnge(.cells(, ),.Cells(, )).Borders(lEdgeBottom).Weight = lmedium.rnge(.cells(, ),.Cells(4, )).Borders(lEdgeBottom).Weight = lmedium.rnge(.cells(, ),.Cells(4, )).AutoFill Destintion:=.Rnge(.Cells(, ),.Cells( * no, )).Rnge("J").FormulRC = "Nós".Rnge("K").FormulRC = "Crregmento".Rnge("").FormulRC = "Deslocmento".Rnge("M").FormulRC = "Reções".Rnge("N").FormulRC = "Nós".Rnge("O").FormulRC = "UX".Rnge("P").FormulRC = "UY".Rnge("Q").FormulRC = "UZ".Rnge("R").FormulRC = "Zeros".Rnge("S").FormulRC = "UX'".Rnge("T").FormulRC = "UY'".Rnge("U").FormulRC = "X'".Rnge("V").FormulRC = "Y'".Rnge("W").FormulRC = "FX".Rnge("X").FormulRC = "FY".Rnge("Y").FormulRC = "FZ".Rnge("AH").FormulRC = "UXi".Rnge("AI").FormulRC = "UYi".Rnge("AJ").FormulRC = "UZi".Rnge("AK").FormulRC = "UXj".Rnge("A").FormulRC = "UYj".Rnge("AM").FormulRC = "UZj".Rnge("AN").FormulRC = "Deslocmento".Rnge("AO").FormulRC = "Deformção".Rnge("AP").FormulRC = "Forç Ail".Rnge("AQ").FormulRC = "Tensão Ail" 'Vetores deslocmento, Reções e coordends pr plotr.rnge(.cells(, ),.Cells( * no +, )).FormulArry = "=MMUT(Mtriz!R" & 9 * no + & "C:R"_ & * no + & "C" & * no & ",RC:R" & * no + & "C)".Rnge(.Cells(, ),.Cells( * no +, )).FormulArry = "=MMUT(Mtriz!RC:R" & * no + 9 &_ "C" & * no & ",RC:R" & * no + & "C)-RC:R" & * no + & "C".Rnge(.Cells(, 9),.Cells(no +, )).FormulArry = "=MMUT(RC5:R" & no + &_ "C8**R5C+Ddos!RC:R" & no + & "C4,RC7:R5C9)".Rnge(.Cells(, ),.Cells(no +, )).FormulArry = "=MMUT(Ddos!RC:R" & no + &_ "C4,RC7:R5C9)" 'Escreve colun Nós, UX, UY, UZ, FX, FY, FZ, Crregmento no nós For i = To no.cells( * i -, ).FormulRC = "X" & i.cells( * i, ).FormulRC = "Y" & i.cells( * i +, ).FormulRC = "Z" & i.cells(i +, 4) = i.rnge(.cells(i +, 5),.Cells(i +, 7)).FormulArry = "=TRANSPOSE(R" & * i - & "C:R" &_ * i + & "C)".Cells(i +, 8) =.Rnge(.Cells(i +, ),.Cells(i +, 5)).FormulArry = "=TRANSPOSE(R" & * i - & "C:R" &_ * i + & "C)".Cells( * i -, ).FormulRC = "=Ddos!R" & i + & "C" &_ Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="FX").Column.Cells( * i, ).FormulRC = "=Ddos!R" & i + & "C" &_ Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="FY").Column.Cells( * i +, ).FormulRC = "=Ddos!R" & i + & "C" &_

122 Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="FZ").Column Net i 'Reproduz s coluns Elementos, Áre, Modulo E, Comprimento e K.Cells(, 7).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Elementos").Column.Cells(, 8).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Nó i").column.cells(, 9).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Nó j").column.cells(, ).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Áre").Column.Cells(, ).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Modulo E").Column.Cells(, ).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="Comprimento ").Column.Cells(, ).FormulRC = "=Ddos!RC" & Worsheets("Ddos").Cells.Find(wht:="").Column.Rnge(.Cells(, 7),.Cells(, )).AutoFill Destintion:=.Rnge(.Cells(, 7),.Cells(elemento +, )) 'Preenche s coluns dos deslocmentos nodis dos elementos For i = To elemento.cells(i +, 4).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 5) - & "C".Cells(i +, 5).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 5) & "C".Cells(i +, 6).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 5) + & "C".Cells(i +, 7).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 6) - & "C".Cells(i +, 8).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 6) & "C".Cells(i +, 9).FormulRC = "=R" & * Worsheets("Ddos").Cells(i +, 6) + & "C" Net i 'Preenche s celuls dos deslocmentos, deformção, forçs iis e tensão il.cells(, 4).FormulArry = "=MMUT((R[]C7:R[]C9-_ R[]C4:R[]C6),TRANSPOSE(Ddos!R[]C:R[]C5))".Cells(, 4).FormulRC = "=RC4/RC".Cells(, 4).FormulRC = "=RC4*RC".Cells(, 4).FormulRC = "=RC4*RC" If elemento <> Then.Rnge(.Cells(, 4),.Cells(, 4)).AutoFill Destintion:=.Rnge(.Cells(, 4),.Cells(elemento +, 4)) End If 'Formtção With.Rnge("AA:AQ").Font.ColorInde =.Interior.ColorInde = 6 End With With.Rnge("J:Y").Font.ColorInde =.Interior.ColorInde = 6 End With With.Rnge(.Cells(, 7),.Cells(elemento +, 4)).Borders.ineStyle = lcontinuous.borders(ledgeeft).weight = lmedium.borders(ledgetop).weight = lmedium.borders(ledgebottom).weight = lmedium.borders(ledgeright).weight = lmedium End With.Rnge(.Cells(, 7),.Cells(, 4)).Borders(lEdgeBottom).Weight = lmedium.rnge("az:ba5").formularry = "=MMUT({,,;,,;,,;,,},RC7:R5C9)".Rnge("AR").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC5,RC4:R" & no + & "C,6)".Rnge("AS").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC5,RC4:R" & no + & "C,7)".Rnge("AT").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC6,RC4:R" & no + & "C,6)".Rnge("AU").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC6,RC4:R" & no + & "C,7)".Rnge("AV").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC5,RC4:R" & no + & "C,8)".Rnge("AW").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC5,RC4:R" & no + & "C,9)".Rnge("AX").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC6,RC4:R" & no + & "C,8)"

123 .Rnge("AY").FormulRC = "=VOOKUP(Ddos!RC6,RC4:R" & no + & "C,9)" If elemento <> Then.Rnge("AR:AY").AutoFill Destintion:=.Rnge(.Cells(, 44),.Cells(elemento +, 5)) End If.Rnge(.Cells(, 44),.Cells(elemento +, 5)).Font.ColorInde =.Rnge("AX:BA5").Font.ColorInde = End With Appliction.Clcultion = lautomtic Appliction.EnbleEvents = True MsgBo "Clculo concluído. Tempo pr chr solução foi de " & Minute(Now - ntes) & ":" &_ Second(Now - ntes) End Sub O código fonte seguir está n plnilh de Resultdo. Código Fonte 5 - Plnilh Resultdo Privte Sub CommndButton_Clic() If Worsheets("Ddos").Cells(8, 4) = Or Worsheets("Ddos").Cells(9, 4) = Then Eit Sub End If Dim ntes As Vrint ntes = DteTime.Now Dim i As Integer, no As Integer, elemento As Integer Dim newchrt As Object Appliction.ScreenUpdting = Flse Cells(, ).Select elemento = Worsheets("Ddos").Cells(8, 4) Set newchrt = Chrts.Add newchrt.visible = Flse newchrt.chrttype = lxysctterines i = Do While Cells(i, 44).Vlue <> "" newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection(i - ).XVlues = "=(Resultdo!R" & i & "C44,Resultdo!R" & i & "C46)" newchrt.seriescollection(i - ).Vlues = "=(Resultdo!R" & i & "C45,Resultdo!R" & i & "C47)" With newchrt.seriescollection(i - ) With.Border.ColorInde = 4.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerSize =.MrerBcgroundColorInde = 4.MrerForegroundColorInde = 4.MrerStyle = lcircle End With i = i + oop i = Do While Cells(i, 48).Vlue <> "" newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection(i + elemento - ).XVlues = "=(Resultdo!R" & i & "C48,Resultdo!R" & i & "C5)" newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Vlues = "=(Resultdo!R" & i & "C49,Resultdo!R" & i & "C5)"

124 newchrt.seriescollection(i + elemento - ).ApplyDtbels newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Dtbels.Font.ColorInde = newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Tet = Worsheets("Ddos").Cells(i, 5).Vlue newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Tet = Worsheets("Ddos").Cells(i, 6).Vlue newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito" newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Font.Size = 9 newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Font.FontStyle = "Negrito" newchrt.seriescollection(i + elemento - ).Points().Dtbel.Font.Size = 9 With newchrt.seriescollection(i + elemento - ) With.Border.ColorInde = 5.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerSize =.MrerBcgroundColorInde = 5.MrerForegroundColorInde = 5.MrerStyle = lsqure.border.inestyle = ldsh End With i = i + oop newchrt.hsegend = Flse newchrt.plotare.interior.colorinde = lnone With newchrt.aes(lvlue).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.aes(lctegory).minimumscle = -.MimumScle =.HsMjorGridlines = Flse End With With newchrt.hsais(lctegory, lprimry) = Flse.HsAis(lVlue, lprimry) = Flse End With newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection.newseries newchrt.seriescollection.newseries With newchrt.seriescollection( * elemento + ).Nme = "=""X""".XVlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!RC5)".Vlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!RC5)".ApplyDtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Border.ColorInde = 6.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito"

125 4.Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Delete End With With newchrt.seriescollection( * elemento + ).Nme = "=""Y""".XVlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!R4C5)".Vlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!R4C5)" With.Border.ColorInde = 5.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone.applydtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito".Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Delete End With With newchrt.seriescollection( * elemento + ).Nme = "=""Z""".XVlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!R5C5)".Vlues = "=(Resultdo!RC5,Resultdo!R5C5)" With.Border.ColorInde =.Weight = lmedium.inestyle = lcontinuous End With.MrerStyle = lnone.applydtbels AutoTet:=True, ShowSeriesNme:=True With.Dtbels.Font.Nme = "Aril".FontStyle = "Negrito".Size =.ColorInde = End With.Points().Dtbel.Delete End With newchrt.visible = True Appliction.EnbleEvents = True newchrt.oction Where:=loctionAsObject, Nme:="Resultdo" MsgBo "Clculo concluído. Tempo pr chr solução foi de " & Minute(Now - ntes) & ":"& Second(Now - ntes) End Sub