IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA UTILIZANDO COMO ENTRADA UM DEGRAU

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA UTILIZANDO COMO ENTRADA UM DEGRAU Dárcio do Snto Silv Frncico Villrrel Alvrdo Orientdor Mrcelo Crvlho Minhoto Teixeir Co-orientdor Diertção ubmetid à Univeridde Etdul Pulit UNESP, Câmpu de Ilh Solteir, pr obtenção do título de Metre em Engenhri Elétric. Ilh Solteir SP, fevereiro de 8.

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elbord pel Seção Técnic de Aquiição e Trtmento d Informção Serviço Técnico de Bibliotec e Documentção d UNESP - Ilh Solteir. S586i Silv, Dárcio do Snto. Identificção de funçõe de trnferênci utilizndo como entrd um degru / Dárcio do Snto Silv. -- Ilh Solteir : [.n.], 8 8 p. : il. Diertção (metrdo) - Univeridde Etdul Pulit. Fculdde de Engenhri de Ilh Solteir, 8 Orientdor: Frncico Villrrel Alvrdo Co-orientdor: Mrcelo Crvlho Minhoto Teixeir Bibliogrfi: p Identificção.. Função de trnferênci. 3. Entrd degru.

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4 À Jon e o Dniel meu pi

5 AGRADECIMENTOS Gotri de grdecer o poio finnceiro do Conelho Ncionl de Deenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPQ. Agrdeço o meu orientdore profeore Villrrel e Mrcelo Teixeir pelo uxílio fundmentl e que tornrm poível relizção det pequi. A todo o profeore do deprtmento de mtemátic, epecilmente o profeore Mrcelo Reicher, Ernnde e Pulo Hirtuk, que ão grnde influencidore do meu penmento cdêmico e o profeore do deprtmento de engenhri elétric de Ilh Solteir. Ao profeore Edvldo e Zé Pulo pel vlio ugetõe n bnc de Qulificção e tmbém o Adílon pel gentilez. Gotri de grdecer o migo que fiz no decorrer d vid: O peol do Prque Bo Epernç, o peol de Snt Clr, o peol do lb. externo do deprtmento (epecilmente Crlo Febre) e o mordore d Al 8 do lojmento de Ilh Solteir, no qul tive o przer de conviver no último ei no. Epecilmente o migo Snderon (Dnk! Embor eu prefir um plvr que não tem trdução e pertence omente à no língu vernácul: Sudde!), Leonrdo e tmbém o Cáio (São-pulino ofredor), com o qui tive o przer de conhecer n époc d grdução. Agrdeço ti Armêni e minh prim Eline e Vivine pel dipoição em judr. Finlmente, e não meno importnte, gotri de grdecer epecilmente à Jon (minh mãe) e o Dniel (meu pi) que tornrm poível, mi do que eu memo, finlizção det etp d minh vid com êxito. Acredito que mior prte do crédito deve er depoitd o doi e, qundo peno em tudo que mbo fizerm por mim, poo prfrer (e gurdndo devid proporçõe) um cientit que cuou um do miore impcto n hitóri d Ciênci pr elucidr minh (pequen) hitóri...

6 Sempre etive poido no ombro de gignte! Sir Ic Newton (643-77)

7 RESUMO O objetivo do trblho conite em etudr e implementr um método de identificção de modelo de funçõe de trnferênci que utiliz como entrd de tete um degru e que foi propoto inicilmente em Kok (5) e compreende du fe: obtenção de ddo referente à íd do item pó plicção d entrd degru e compoição de um item mtricil formdo por um mtriz de Toeplitz prtir dee ddo. N olução dete item mtricil, etim-e o prâmetro d função de trnferênci do item. Nete etudo é propot um generlizção do método de identificção, decrito em Kok, pr funçõe de trnferênci intávei. Ee novo método tem como be multiplicção, no domínio do tempo, d íd d plnt y(t) por um função exponencil do tipo e -t, endo um número rel poitivo. A contnte deve er uficientemente grnde, de modo que y(t)e -t qundo t. Com ee procedimento o método identific um função de trnferênci etável (G()) e então é identificd função de trnferênci d plnt (G()). O reultdo d vlição motrm que o método generlizdo e propoto pr funçõe de trnferênci intávei tmbém pode er plicdo em funçõe de trnferênci etávei. O método generlizdo fornece melhore reultdo qundo é comprd repot o degru d função de trnferênci etimd pelo método generlizdo com repot o degru do método propoto originlmente por Kok em relção à repot o degru d função de trnferênci d plnt com ruído brnco n íd. Plvr-chve: Identificção, função de trnferênci, entrd degru.

8 ABSTRACT The objective of thi work i to tudy nd implement method of identifying model of trnfer function which ue input one tep nd tht w initilly propoed in Kok (5).Thi method comprie two phe: obtining dt relting to the output of the ytem fter ppliction of the tep nd the compoition of ytem mtrix compoed of by Toeplitz mtrix from thee dt. With the olution of thi mtrix ytem, it i etimted the prmeter of the trnfer function of the ytem. In thi tudy i propoed generliztion of the identifiction method, decribed in Kok, for untble trnfer function. Thi new method i bed on the multipliction in time domin of the plnt' output y (t) by n exponentil function of the type nd e - t,, where i poitive rel number. The contnt "" mut be lrge enough o tht y (t)e - t when t. With thi procedure the method identifie tble trnfer function (G ( )) nd then i identified the trnfer function of the plnt (G ()). The reult of the evlution howed tht the method widepred nd propoed for untble trnfer function cn lo be pplied to tble trnfer function. The generlized method howed better reult when compred with the tep repone of the trnfer function etimted by the method with the tep repone of the trnfer function etimed by the method originlly propoed by Kok (5), regrding the tep repone of the trnfer function of the plnt with white noie in the output.. Keyword: Identifiction, trnfer function, tep input.

9 LISTA DE FIGURAS Figur Elemento de um digrm de bloco... 7 Figur Ponto de om... 7 Figur 3 Exemplo de um repot o degru de um item intável... 8 Figur 4 Digrm de bloco do método etuddo pr um item em mlh bert etável e de primeir ordem... 3 Figur 5 Digrm de bloco do método etuddo pr um item em mlh bert etável de primeir ordem com um zero... 3 Figur 6 Digrm de bloco do método etuddo pr um FT etável de ordem doi Figur 7 Digrm de bloco do método propoto por Kok pr FT etávei Figur 8 Digrm de bloco do método propoto pr FT intávei Figur 9 Configurção do olver eqution Figur Digrm de bloco utilizdo n imulção... 6 Figur Digrm de bloco utilizdo n imulção... 6 Figur Repot o degru d FT identificd etávei e de ordem uperior ou igul à ordem d FT d plnt Figur 3 Repot o degru d FT identificd etávei com ordem inferior à ordem d FT d plnt Figur 4 Repot o degru d FT identificd etávei... 65

10 Figur 5 Comprção d repot o degru entre modelo reduzido com ordem e um zero identificdo pelo método propoto por Kok (5) e o modelo reduzido com retenção do pólo mi lento Figur 6 Digrm de bloco do método propoto pr FT intável d imulção Figur 7 Repot o degru d FT G p ( ) eperd e d FT G e ( ) identificd pelo método generlizdo Figur 8 Repot o degru do modelo reduzido e etávei identificdo pelo método generlizdo n imulção Figur 9 Digrm de bloco do método generlizdo pr FT intável d imulção Figur Repot o degru de G e (4) d imulção 4 e de G p (4) Figur Crro protótipo... 7 Figur Digrm de bloco do item de rtremento Figur 3 Entrd degru e inl do onr Figur 4 Sinl filtrdo e inl proximdo Figur 5 Sinl de G()/() n imulção Figur 6 Repot o degru de G e () Figur 7 Comprção entre o inl de íd com função de trnferênci etimd pelo método generlizdo pr funçõe intávei e o inl de íd (rel) d plnt Figur 8 Comprção entre repot o degru do protótipo (rel) em mlh fechd e repot o degru do modelo identificdo Figur 9 Sinl de G e ( )/() utilizndo diferente contnte... 78

11 Figur 3 Repot o degru pr FT etável d imulção 6 utilizndo o método propoto pr funçõe intávei e, Figur 3 Repot o degru pr FT etável d imulção 6 utilizndo o método propoto pr funçõe intávei e, Figur 3 Repot o degru pr FT etável d imulção 6 utilizndo o método propoto pr funçõe intávei e... 8 Figur 33 Digrm de bloco do método generlizdo propoto pr FT intávei com ruído omdo à íd d plnt n imulção Figur 34 Sinl de G p () d imulção 8 com ruído brnco Figur 35 Repot o degru d FT etimd n imulção 8 n preenç de ruído e utilizndo,5 e Figur 36 Repot o degru d FT etávei identificd pelo método propoto por Kok coniderndo-e o ruído brnco... 9 Figur 37 Repot o degru d FT etávei com pelo meno um zero e coniderndo-e o ruído brnco com potênci -3 identificd pelo método generlizdo propoto pr funçõe intávei... 9 Figur 37b Repot o degru d FT etávei com numerdor contte e coniderndo-e o ruído brnco com potênci -3 identificd pelo método generlizdo propoto pr funçõe intávei Figur 38 Repot o degru d FT etávei com pelo meno um zero e coniderndo-e o ruído brnco com potênci - identificd pelo método generlizdo propoto pr funçõe intávei... 95

12 Figur38b Repot o degru d FT etávei com numerdor contte e coniderndo-e o ruído brnco com potênci - identificd pelo método generlizdo propoto pr funçõe intávei Figur 39 Comprção d repot o degru entre FT identificd pelo método generlizdo propoto pr FT intávei () e FT identificd pelo método propoto por Kok (b) n imulção Figur 4 Repot o degru d FT identificd pelo procedimento dotdo pr FT intávei n imulção. com ruído omdo à íd d plnt Figur 4 Comprção d repot o degru entre FT identificd pelo método generlizdo propoto pr FT intávei () e FT identificd pelo método propoto por Kok (b) n imulção.3... Figur 4 Repot o degru d FT identificd pelo método generlizdo propoto utilizndo 3 e 4 com ruído n íd d plnt... Figur 4b Repot o degru d FT identificd pelo método generlizdo propoto utilizndo 5, 6 e com ruído n íd d plnt... Figur 43 Sini com ruído brnco omdo à íd d plnt... 4

13 LISTA DE TABELAS Tbel Sitem de equçõe de modelo com pólo e zero cnceldo Tbel Reultdo d identificção em conhecimento prévio d ordem d plnt... 6 Tbel 3 Pólo e zero d FT identificd G e () conforme Tbel Tbel 4 Modelo reduzido de ordem doi com um zero Tbel 5 Modelo reduzido pr G e ( ) identificdo pelo método n imulção Tbel 6 Modelo reduzido pr G e () d imulção Tbel 7 Prâmetro encontrdo utilizndo-e outro vlore pr n imulção Tbel 8 Comprção entre função de trnferênci identificd pelo método (G e ( )) e função de trnferênci d plnt (G p ( )) utilizndo diver contnte Tbel 9 Erro obtido com contnte que reultrm em FT etávei n imulção Tbel Funçõe de trnferênci G e () identificd pelo método propoto pr funçõe intávei e em o conhecimento prévio d ordem d plnt... 8 Tbel Pólo e zero d FT identificd G e ( ) conforme Tbel... 8 Tbel Erro utilizndo o método propoto pr funçõe de trnferênci intávei n função de trnferênci etável d imulção Tbel 3 Erro utilizndo o método propoto por Kok (5) egundo o prâmetro obtido n imulção (Tbel )... 83

14 Tbel 4 Funçõe de trnferênci identificd pelo método generlizdo propoto pr funçõe intávei utilizndo diver contnte, e funçõe de trnferênci identificd pelo método propoto por Kok Tbel 5 Erro d repot o degru n funçõe de trnferênci identificd n imulção Tbel 6 Reultdo encontrdo n preenç de ruído brnco com potênci de, utilizndo o método propoto por Kok Tbel 7 Pólo e zero d FT identificd G e () conforme Tbel Tbel 8 Reultdo encontrdo n preenç de ruído brnco com potênci de, utilizndo o método propoto pr FT intávei e... 9 Tbel 9 Pólo e zero d FT identificd G e () conforme Tbel Tbel Reultdo encontrdo n preenç de ruído brnco com potênci - utilizndo o método propoto pr FT intávei e n imulção Tbel Pólo e zero d FT identificd G e () conforme Tbel Tbel Erro n repot o degru d funçõe de trnferênci d imulçõe 9 e Tbel 3 Comprção entre o método propoto por Kok e o procedimento dotdo pr funçõe de trnferênci intávei utilizdo pr FT etávei Tbel 4 Erro n repot o degru d funçõe de trnferênci identificd (G e ()) utilizndo diver contnte n imulção...

15 SIMBOLOGIA E ABREVIAÇÕES Obervção: Nete trblho, mtrize ão indicd por letr em negrito. Simbologi Y() Síd d plnt no domínio ; y ( ) Sinl de íd d plnt em regime permnente; G() Trnformd de Lplce de g(t); Entrd degru; det(a) Determinnte d mtriz A; G p () G e () Função de trnferênci d plnt; Função de trnferênci etimd (identificd) L{g(t)} Trnformd de Lplce d função g(t); L - {G()}Trnformd inver de Lplce d função G(); C R n Conjunto do número complexo; Epço vetoril RxKxR (n veze);. Produto interno uul do R n ; t. Norm euclidin; P, Pr qulquer; Trnpoição de vetore ou mtrize; Pólo conjugdo d função de trnferênci; x& (t) derivd do vetor de etdo x(t) em relção o tempo; Z, Zero conjugdo d função de trnferênci; * Multiplicção.

16 Abreviçõe BIBO Entrd limitd-id limitd ( bounded input-bounded output ); Cf. Conferir; e.g. Exemplo genérico; FT Função de trnferênci ( FT no plurl ); MCP Método cláico de Pdé; SLIT Sitem liner e invrinte no tempo; SISO Um íd-um entrd (ingle input-ingle output); TVF Teorem do vlor finl.

17 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... Jutifictiv e objetivo... CAPITULO REVISÃO DA LITERATURA Conceito Báico Modelgem Mtemátic Invriânci no Tempo Concentrção de Prâmetro e Prâmetro Ditribuído Tipo de Modelo Modelo Dinâmico e Modelo Etático Modelo Contínuo e Modelo Dicreto Modelo Determinítico e Modelo Etocático Modelo Prmétrico e Não Prmétrico Digrm de Bloco Sinl de Tete pr Entrd e Redução de Modelo... 7

18 CAPITULO PROCEDIMENTO PARA IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem Um Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem Doi Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem n Redução d Ordem do Modelo e o Método Cláico de Pdé (MCP) Exemplo Identificndo Funçõe de Trnferênci Intávei... 5 CAPÍTULO 3 METODOLOGIA, RESULTADOS E CONCLUSÕES Metodologi Plnejmento d Ação Sini de Tete pr Entrd Propriedde d Trnformd de Lplce e o Teorem do Vlor Finl Vlidção do Modelo Reultdo Prâmetro Encontrdo pr Sitem Etávei Prâmetro Encontrdo pr Sitem Intávei Prâmetro Encontrdo pr Sitem Etávei Utilizndo o Método Propoto pr Sitem Intávei Prâmetro Encontrdo em Sitem com Ruído Concluõe Concluão Gerl... 5

19 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 7 APÊNDICE A... 9 APÊNDICE B... 3

20 INTRODUÇÃO A buc por um modelo mtemático que repreente item e fenômeno obervdo é um ntigo defio do homem. Memo coniderndo-e nov técnic de modelgem, o defio de tl buc continu (AGUIRRE, ). A prtir d décd de 9, houve um neceidde crecente de deenvolver form pr obter modelo mtemático prtir de ddo obervdo e não unicmente d equçõe que decrevem o fenômeno fíico do proceo. Ete fto deve-e, principlmente, à complexidde crecente do item em quetão, invibilizndo, em muito co, poibilidde de obter u equçõe báic, procedimento conhecido como modelgem bed n fíic ou modelgem fenomenológic. Outro ftor importnte n mudnç de foco ocorrid no no 9 foi o menor cuto e o melhor deempenho do computdore. Devido ete fto, quiição e o procemento de ddo prm er feito diretmente do item e, prtir de então, o deenvolvimento de modelo mtemático coerente com o ddo tomou forç. Ete procedimento é conhecido como modelgem empíric ou identificção de item. Recentemente, mior cpcidde de coletr ddo obre dinâmic do item que etá endo obervdo, tornou o uo de técnic de identificção deejável e, em últim intânci, neceári em que tod áre do conhecimento, como por exemplo, em item de controle utomático. A identificção buc determinção de um modelo de um item dinâmico prtindo d obervção d entrd e d íd do item (AGUIRRE, ), (LANDAU, 99). O conhecimento do modelo mtemático é fundmentl pr o projeto e implementção de um item de controle de lto deempenho. N miori d ituçõe prátic é neceári

21 implementção de um metodologi pr identificção diret dee modelo dinâmico prtindo de ddo experimenti. Sendo um proximção experimentl pr determinção d dinâmic do item (AGUIRRE, ), (LANDAU, 99), um identificção complet é contituíd por qutro etágio (LANDAU, 99):. Aquiição d informção referente à entrd/íd do item ob um protocolo experimentl;. Ecolh d etrutur do modelo; 3. Etimção do prâmetro do modelo; 4. Vlidção do modelo identificdo. O primeiro etágio diz repeito bicmente o tipo de entrd que erá utilizd n identificção. O egundo etágio trt d ordem d função de trnferênci e e ecolh depende de ftore como o tipo de item que etá endo identificdo, e.g., item mecânico, item pneumático, etc. O terceiro etágio refere-e o procedimento (lgoritmo) e no qurto verific-e e o modelo identificdo correponde (o comportmento dinâmico) do modelo rel. Conidere que função de trnferênci de um plnt, G p (), preent um número de pólo n mior ou igul o número do eu zero. Então ordem det plnt é n. A implificção ou redução de ordem de modelo vi técnic que permitm um modelo reduzido R() de ordem m < n ordem G p () e que R() e proxime de G p (). Em outr plvr, deej-e que trnformd inver de Lplce de R(), L - {R()} r(t) g(t) L - {G p ()} (no co de um repot o impulo) ou ind, L - {R() /} L - {G p () /}, pr repot o degru unitário (AGUIRRE, ). Logo, um modelo de ordem reduzid é quele que tem um comportmento dinâmico próximo (precido) àquele do qul deriv. Jutifictiv e objetivo Com qued do cuto do hrdwre e crecente demnd por método de identificção de item, o objetivo do preente trblho é etudr o método de identificção de funçõe de trnferênci (FT ) propoto por Kok (5), tornndo o método mi

22 fcilmente compreendido (epecilmente por luno de grdução em engenhri elétric, mecânic, de controle e utomção, entre outro). Buc-e, tmbém, generlizção do método pr FT intávei, já que o método propoto por Kok exige que função ej etável. Algun modelo ão extremmente complexo e, em lgun co, trblhr com um modelo cuj função de trnferênci de ordem reduzid pou um comportmento temporl (dinâmico) próximo à função de trnferênci d qul deriv deve er levd em coniderção. Ete etudo tmbém buc obter redução de ordem de um FT, priori, deconhecid. O trblho encontr-e orgnizdo d eguinte form: No Cpítulo, ão preentdo lgum definiçõe e conceito báico, como, por exemplo, definição de modelo determinítico e modelo prmétrico, o digrm de bloco e lgun ini de entrd pr tete, epecilmente entrd degru, e trt-e tmbém d redução de modelo e o principi trblho referente o tipo de inl de tete e modelo reduzido. No Cpítulo detc-e o método de identificção pr FT etávei propoto por Kok (5) crecido de um ilutrção trvé do digrm de bloco. Nee cpítulo, inicilmente trt-e de funçõe de trnferênci de primeir ordem e de egund ordem pr, no decorrer do cpítulo, lém de preentr, fmilirizr o leitor com o método de identificção propoto por Kok (5) pr FT de ordem n. Nee cpítulo encontr-e tmbém generlizção do método propot pr identificção de FT intávei, poi o método propoto por Kok exige etbilidde d FT. No Cpítulo 3, princípio, é bordd metodologi d pequi e, poteriormente, ão motrdo, trvé de imulçõe e tmbém trvé de um implementção prátic, o reultdo decorrente dee etudo. Aind no cpítulo 3, ão feit lgum comprçõe entre o método propoto por Kok (5) e generlizção do método propot pr funçõe de trnferênci intávei. No finl do cpítulo, encontrm-e concluõe decorrente d imulçõe e d implementção relizd e tmbém concluão gerl do trblho. Poteriormente é litd bibliogrfi conultd durnte o trblho e que dá embmento teórico o memo. No finl, encontrm-e o pêndice com lgun conceito e reultdo relevnte pr pequi.

23 3 CAPÍTULO REVISÃO DA LITERATURA. Conceito Báico Net prte do texto, definiremo como modelo repreentção mtemátic de um item. Por er um formulção mtemátic do item, eper-e que o modelo ej repreenttivo d principi crcterític do item rel. No contexto de identificção, o modelo é um equcionmento que é obtido prtir de ddo d entrd/íd de um fenômeno obervdo pr repreentr mtemticmente o item (fenômeno) rel... Modelgem Mtemátic Um modelo mtemático de um item (fenômeno) rel é um repreentção mtemátic prtir de lgum crcterític obervd em tl item (fenômeno). Aim, um modelo mtemático é pen um repreentção proximd, um vez que não exite o modelo do item (fenômeno), e im um fmíli de modelo com crcterític, form e deempenho vrido e ete modelo etão ocido o interee e circuntânci prticulre. Por exemplo, em problem de controle ótimo, é vntjoo o uo de repreentçõe no epço de etdo. Já pr nálie d repot trnitóri ou de repot em freqüênci de item com um entrd e um íd, linere e invrinte no tempo,

24 4 pode er mi conveniente repreentção trvé de funçõe de trnferênci. Tmbém é poível melhorr precião de um modelo mtemático umentndo u complexidde. Porém, deve exitir um contrto entre implicidde do modelo e precião do reultdo d nálie d repot dete modelo. De form, qundo não for neceári um complexidde (precião) extrem, é preferível obtenção de um modelo mtemático implificdo. N obtenção de um modelo mtemático rzovelmente imple, normlmente ignore cert propriedde fíic do item (fenômeno), como, por exemplo, m de um mol que pode er deprezd em operçõe de bix freqüênci. Entretnto, tl m torne um propriedde importnte em lt freqüênci (OGATA, 998)... Invriânci no Tempo Um item invrinte no tempo ignific que o comportmento do item modeldo não e lter com o tempo. Ito não ignific que vriávei do item têm vlore fixo e, im, que evolução temporl do item é determind por um lei, comumente conhecid por dinâmic do item. De form, invrinte no tempo ignific que dinâmic d evolução temporl do item permnece inlterável...3 Concentrção de Prâmetro e Prâmetro Ditribuído A concentrção de prâmetro preupõe que vriávei de interee vrim com o tempo e não no epço, ou ej, decrevem o comportmento do item num único ponto do epço, cujo modelo pode er decrito por equçõe diferencii ordinári. Por outro ldo, item prâmetro ditribuído podem er decrito por equçõe diferencii prcii, decrevendo o item tnto no tempo qunto no epço em que o obervmo.

25 5..4 Tipo de Modelo Aqui é feit um breve preentção do tipo de modelo mi utilizdo...4. Modelo Dinâmico e Modelo Etático Um modelo etático não lev em coniderção relção (dependênci) temporl entre u vriávei e pode er utilizdo qundo dinâmic é muito rápid ou muito lent em relção à ecl de tempo de interee. Se evolução temporl de um item é deejd, deve-e optr por um modelo que lev em coniderção tl relção temporl entre u vriávei, como o modelo dinâmico...4. Modelo Contínuo e Modelo Dicreto Modelo contínuo repreentm evolução do item continumente no tempo, enqunto que modelo dicreto repreentm evolução do item em intnte do tempo Modelo Determinítico e Modelo Etocático Modelo determinítico não levm em coniderção incertez preente no problem rel. Enqunto que o modelo etocático coniderm ti incertez, ocionndo, im, um vriável letóri n u íd, e não um número determinítico. Como coneqüênci, o modelo determinítico ão mi fetdo pelo efeito cudo por ruído, poi o método etocático utilizm ferrment mi dequd pr o trtmento do ruído (AGUIRRE, ). De um form gerl, pode-e dizer que o termo determinítico e etocático dizem repeito à form como o ruído é trtdo no método de identificção.

26 6 A mior prte do modelo determinítico fornece modelo contínuo, em detrimento d miori do etocático, que reultm em modelo dicreto no tempo Modelo Prmétrico e Não Prmétrico Embor ditinção entre modelo prmétrico e não prmétrico não ej totlmente ceit, net pequi ão coniderdo prmétrico quele modelo que contêm prâmetro (coeficiente) que o determinm. Modelo não prmétrico erão quele modelo que não têm prâmetro e im repreentçõe gráfic, e.g., Repot o Degru, Repot em Freqüênci, etc. De form, o termo prmétrico e não prmétrico referem-e, eencilmente, o tipo de modelo reultnte, ou ind à form como e preent o método de identificção.. Digrm de Bloco Um item de controle pode er contituído por certo número de componente. Pr motrr funçõe deempenhd por cd componente cotum-e ur um repreentção pictóric chmd digrm de bloco. Ao contrário de um repreentção mtemátic btrt, o digrm tem vntgem de indicr mi reliticmente o fluxo de inl do item rel e trt-e de um método potente pr nálie de item (YOUNKIN, 3). Cd bloco é um ímbolo d operção mtemátic obre o inl de entrd que produz o inl de íd. A funçõe de trnferênci ão introduzid no bloco que ão conectdo por et pr indicr o entido de fluxo de ini. Outr vntgem no uo do digrm de bloco reide no fto de que é poível vlir contribuição de cd componente pr o deempenho globl do item (YOUNKIN, 3).

27 7 U() Função de Trnfêrenci Y() Figur - Elemento de um digrm de bloco. A A - B B Figur - Ponto de om. Um bloco pode er conectdo em érie omente e íd do bloco não for fetd pelo bloco eguinte. Se houver quiquer efeito de crregmento entre o componente é neceário combinr ee componente num único bloco equivlente, cuj FT é implemente o produto d FT individui (OGATA, 998), (YOUNKIN, 3)..3 Sinl de Tete pr Entrd e Redução de Modelo A Repot o Degru, o Método do Mínimo Qudrdo (APÊNDICE A) e Repot em Freqüênci ão mplmente utilizdo como método de identificção off-line (AGUIRRE, ), (KOSAKA, 5), (LANDAU, 99). Um inl de entrd do tipo M-equency (Mximum Lenght Sequency) cu reonânci em um plnt mecânic, com reultdo preentndo lto nívei de ruído ou vibrção (KOSAKA, 5, p. 5). Z. Wng e H.Unbchuen, citdo por Kok (5, p. 5), firmm que outro ftor importnte reide no fto de que o método menciondo, excetundo-e entrd em degru, não poibilitm quiição de um modelo reduzido diretmente do ddo referente à entrd/íd do item. Pr De Moor, Moonen, Vndenbergue e Vndewlle, Ljung, Viberg, Vn Overhee e De Moor, Verhegen e Dewilde, citdo por Kok (5, p. 5), outro método utilizdo n redução de modelo, e.g., o bedo no Subepço, neceitm obter

28 8 um mtriz de Hnkel uficientemente grnde pr redução de ordem do modelo, lém d utilizção do método do mínimo qudrdo n obtenção de lgun prâmetro do item em quetão. Conforme R.G. Hkvoort, R.J. P. Schrm e P.M.J. Vn den Hof, Z. Zng, R. R. Bitmed e M. Gever, citdo por Kok (5, p. 6), deej-e que o ervoitem preentem um erro pequeno n modelgem em bix freqüênci. Porém, egundo B. Whlberg e L. Ljung, citdo por Kok (5, p. 6), o método do mínimo qudrdo tende reduzir o erro pen em lt freqüênci. Outr form utilizd pr redução do modelo é que mntém o pólo mi lento de um FT, ou ej, no modelo de ordem reduzid, o pólo mi próximo do eixo imginário no plno complexo ão mntido, enqunto o pólo que encontrm-e mi ftdo do eixo imginário ão decrtdo. Entretnto, tl técnic pode não er mi dequd, poi o pólo mi lento podem não er o dominnte, dificultndo ecolh bed no critério de ditânci do eixo imginário (AGUIRRE, ). Outro método conhecido pr redução d ordem do modelo é o Método Cláico de Pdé (MCP) e eu derivdo, e.g., Método de Pdé em torno de du freqüênci (MPDF), que utiliz o prâmetro de Mrkov do modelo originl e o Método de Pdé em torno de du freqüênci com retenção de pólo (MPDFRP), propoto por Shmh e citdo por Aguirre (). Pr item intávei, ou ej, pr item com FT que pouem pólo com prte rel poitiv, íd reultnte não é limitd (OGATA, 998), dificultndo interpretção do ddo referente à entrd/íd do item como ilutrdo n Figur 3, onde oberv-e que repot o degru d função de trnferênci intável G() indefinidmente qundo o tempo ument. tende crecer 5 Amplitude Tempo(egundo) Figur 3 Exemplo de um repot o degru de um item intável.

29 9 CAPÍTULO PROCEDIMENTO PARA IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA Nete cpítulo, é preentdo o método de identificção de funçõe de trnferênci propoto por Kok (5). Primeiro, trt-e do método pr FT etávei de primeir ordem n Seção.. Logo pó pr FT etávei de egund ordem n Seção. e de ordem rbitrári n eção.3, onde propõe-e, tmbém, um digrm de bloco. São então preentdo vário exemplo n Seção.4. Finlmente, é propot um generlizção do método pr FT intávei n Seção.5, um vez que o método propoto por Kok (5) trt pen de item com funçõe de trnferênci etávei.. Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem Um Um item liner e invrinte no tempo (SLIT) com um entrd e um íd (SISO) é repreentdo por Y () G()U(), (.) endo que Y () é íd do item, U() entrd degru unitário e G() FT etável definid por b G(). (.)

30 3 Coniderndo o digrm de bloco (Figur 4), por (.), (.) e utilizndo o Teorem do Vlor Finl (TVF) ( demontrdo no Apêndice A) tem-e: b y ( ) lim Y () G(). (.3) Por outro ldo, note que etbilidde de G() egur que. Aim, de (.) e (.3), G() G(). (.4) Fzendo, pode-e reecrever (.4): G() G(). (.5) N Figur 4 é preentdo o digrm de bloco que motr como obter o inl Y () que erá utilizdo n identificção. U() Y () W () Y () G(). Função de trnferênci y ( ) Figur 4 - Digrm de bloco do método etuddo pr um item em mlh bert etável e de primeir ordem. Integrdor O coeficiente que prece em (.5) pode er identificdo como decrito eguir. Atrvé d Figur 4 e d álgebr de digrm de bloco (OGATA, 998) tem-e, y ( ) W () Y (). De (.3) e (.5) vem W () [ G() G() ],

31 3 G() W () G(), G() G()( ) W (), W () G(), W () G (). (.6) Novmente utilizndo Figur 4, o TVF e (.6), vem y ( ) lim Y () W () G(). De (.3) tem-e o vlor de G() y ( ) e de (.6) o vlor de W () y ( ). (.7) A fórmul (.3) e (.7) permitem determinção do vlor de em: W () y ( ). G() y ( ) Figur 5. Conidere G() b b, um FT etável, U() e o digrm de bloco n U() Y () W () Y () W () Y 3 () G() Função de Trnferênci Integrdor Integrdor y ( ) y ( ) Figur 5 Digrm de bloco do método etuddo pr um item em mlh bert etável de primeir ordem com um zero. b Note que etbilidde de G() egur que. Sendo G(), fzendo

32 3 b b,, obtém-e b G() G(). (.8) De (.3), (.8) e d Figur 5 vem W () [ G() G() ], b G() W () G(), b W () G( ). (.9) W () b G(). (.) Novmente utilizndo Figur 5 e o TVF, poi G() foi upot etável, então y ( ) lim Y () W () b G(). (.) N expreão (.) têm-e du incógnit ( b e ) e pen um equção. Continundo o proceo de mneir nálog o que foi feito nteriromente, trvé do digrm d Figur 5: y ( ) W () Y (),, W () [ W () y ( )] W () [ W () W ()]. De (.9)-(.) egue W () b G() W ()( ),

33 33 W () b G( ) W ( ) b G( ), W () W (), W () W (), W () W (). Utilizndo novmente o TVF e o digrm de bloco: y 3 ( ) lim Y3 () W () W (). (.b) De form, de (.) e (.b) tem-e um item liner de equçõe do tipo Ax c, endo que G() A, W () x b e c W (). W () Supondo det(a), tem-e olução pr x A - c. Oberve que det(a) -W (). Aim, de (.), det(a) -W () -( G() ) e e omente e o pólo de G() em (.8), que é igul b, não for igul o zero de G(). Ou ej, não pode ocorrer o cncelmento de pólo com o zero e, im, plnt deve er controlável e obervável (CHEN, 999).. Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem Doi. 6. Conidere b b b G(), etável, U() e o digrm de bloco d Figur N eção.3 erá bordd quetão d obervbilidde e controlbilidde.

34 34 U() Y () W () Y () W () Y () 3 G() Função de Trnferênci Integrdor Integrdor y ( ) y ( ) Y 3 () W 3 () Y 4 () W 4 () Y 5 () Integrdor 3 Integrdor 4 y3 ( ) y4 ( ) Figur 6 Digrm de bloco do método etuddo pr um FT etável de ordem doi. Obervndo que devido à etbilidde de G() e fzendo b i j b, j,,, i,, i j G() b, (.) tem-e b b G() G(). (.3) De (.3), (.), (.3) e d Figur 6 vem: b b G() W () G(), b W () b G() G()( ),

35 35 b W () W () b G()(, ) b b G()( ), (.4) W () b G(). (.5) Utilizndo Figur 6 e plicndo o TVF obtém-e y ( ) lim Y () W () b G(). (.6) D Figur 6 e d álgebr de digrm de bloco egue y ( ) W () Y (),, W () [ W () y ( )] W () [ W () W ()]. De (.4) e (.5) vem W () b b G()( ) W ()( ), W () b b G()( ) W ()( ) b G(), W () b G() W ()( ), (.7) W () b G() W (). (.8) Aplicndo o TVF e utilizndo Figur 6 tem-e y 3 ( ) lim Y3 () W () b G() W (). (.9) Novmente trvé d Figur 6 tem-e y ( ) W 3 () 3 Y3 (),

36 36 W 3 () [ ] W () W (). De (.7) e (.8) egue W 3 () W G b W W G b ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) (, W 3 () ) ()( W W (), (.) W 3 () () W () W. (.) Utilizndo Figur 6 e plicndo o TVF, obtém-e: W () W () W () () lim Y ) ( y. Anlogmente, d Figur 6 vem W 4 () ) ( y () Y 4 4. W 4 () [ ] () W () W 3 3. De (.) e (.) egue W 4 () () W W () ) ()( W ) ()( W W () 3. W 4 () ) W ()( W () 3, W 4 () 3 () W () W. (.) Levndo em cont Figur 6 e plicndo o TVF tem-e W () W () W () () lim Y ) ( y. De (.6), (.8), (.) e (.), tem-e o item liner mtricil Ax c, endo que

37 37 G() b W () W () G() b W () A, x e c. W () W () W 3() W3 () W () W 4() Note que o item mtricil tem olução e [W ()] W ()W 3 (), poi et condição egur que det(a) e im x A - c é olução do item..3 Identificndo Funçõe de Trnferênci Etávei de Ordem n Conidere (.) com G() b b m m m m n n n n K b b K, n m, (.3) onde m() G (), com n() m m n n m() b m bm K b b, n() n n K e eguinte hipótee pr plicção do método: R: G() é um FT etável; R: U() ; R3: m() e n() ão coprimo entre i. Note que hipótee R3 exige que m() e n() não poum ríze em comum, ou ej, e pr λi, κ j C, m( λ i ), i,..., m e n( κ j ), j,..., n, então λ i κ j, pr todo i e pr todo j. Conidere dicionlmente o digrm d Figur 7 (SILVA, 7).

38 38 U() Y () W () Y () G() y ( ) M Y () W () Y 3 () y ( ) M Y nm () W nm () Y nm () yn m ( ) Figur 7 Digrm de bloco do método propoto por Kok pr FT etávei. b Por R e utilizndo o TVF tem-e: y ( ) lim Y () b G(). Note que condição R egur que. Fzendo bi b i,i, L, m, j, j,, n, j L e utilizndo (.4) e (.5), pode-e reecrever (.3) n form: (.4) (.5) (b m G() m b m n n ( m L b ) G(). (.6) L )

39 39 Do digrm d Figur 7 vem W () ) ( y () Y, W () [ ] G() G(). (.7) De (.4) e (.6) tem-e W () ) G( ) ( G() ) b b (b n n m m m m K L, W () ) ( G() ) G()( G() ) b b (b n n n n m m m m K K L, W () ) ( ) G()( ) b b (b n n n n m m m m K K L, (.8) W () G() b. (.9) Novmente utilizndo Figur 7 e o TVF, poi G() foi upot etável, obtém-e G() b W () () lim Y ) ( y. (.3) Anlogmente tem-e W () ) ( y () Y, W () [ ] ) ( y W (), W () [ ] W () W (). (.3) De (.7) e (.8) egue W () ) ( ) ( ) )( ( ) ( W G b b b n n n n m m m m K K L G b W G b b b n n n n n n m m m m ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( K K K L

40 4 ( m m3 ) ( )( n ) ( )( n b ) m bm L b G n K W n K. n ( n K ) (.3) W () b G() W (). (.33) Utilizndo novmente o TVF e o digrm de bloco tem-e y 3 ( ) lim Y3 () W() b G() W (). (.34) Generlizndo (.4), (.3) e (.34) trvé d Figur 7 e do TVF, pr i n m, tem-e: yi ( ) lim Yi () W i (), endo que [Apêndice A]: Pr i m : W i () b i G() i W () i L Wi (), (.35) pr m < i n : W i () G () i W () i L Wi (), (.36) pr n < i n m : W i () W in () n Wi (n) () n L Wi (). (.37) Fzendo-e n m N, G() W () e undo (.35)-(.37), tem-e o item mtricil do tipo Ax c: I mxm nxm W () W () W () W M N () W () W () W () W M N () K O O O O L b M W () M W () b m W (). (.38) W () M W () M M W N() n W () m Note que pr i,..., N e j m,..., N, ( i, j ) A, tem-e

41 4 ( i, j ), ( i, j) - Wi - j m(), e i j m,, e i - j m <. Então o coeficiente d FT ão obtido d eguinte form: Bi [W i ()] A A, (.39) i mx nx Nx onde Bi R,Ai R, W i () R B i b,..., b ) ( m A i,..., ) ( n W i () (W (),, W N ()) t. t, t,, endo: Prticionndo A tem-e mxm I A nxm A, (.4) A onde Wm ( ) K G( ) L O O M O A M Wm ( ) L G( ), (.4) M O W N ( ) L Wm( ) com A ( i, j ) -W m (), pr i j, ou ej, A tem form de um mtriz de Toeplitz e, invertendo ordem d linh de A obtém-e mtriz de Hnkel (BARNETT, 996). De (.4), e o det(a ) então det( A ) (LIMA, ). Pr provr que mtriz A que prece em (.38) é um mtriz não ingulr, erá provdo que A é não ingulr. De form, erão introduzid repreentção em epço de etdo e definiçõe de mtriz de obervbilidde e mtriz de controlbilidde que erão utilizd pr provr que A é inverível.

42 4 Inicilmente uponh, em perd de generlidde, m n em (.4), obtendo (.4). Wm () Wm() L O A M Wm () O W N() WN() L W () W () M M W () m (.4) G() Um FT é relção d entrd U() com íd Y (), ou ej Y (), (.4) U() cuj repreentção em epço de etdo é dd eguir. x& (t) Px(t) Bu(t), y(t) Cx(t) Du(t), onde x(t) é um vetor de etdo (n-dimenionl); y(t) é um vetor de íd (m-dimenionl); u(t) é o inl de controle; P é um mtriz nxn; B é um mtriz nx; C é um mtriz mxn. (.43) Um item é dito obervável e todo vetor de etdo x(t ) pode er determindo prtir d obervção d íd y(t) durnte um intervlo de tempo finito. Um condição neceári e uficiente pr que o item ej completmente obervável é que mtriz mnxm n [ C PC M... M P C] t M (.43)

43 43 pou poto n. Um item é dito controlável em um tempo t e for poível projetr um controle de inl que irá trnferir um etdo inicil pr um etdo finl qulquer em um intervlo de tempo finito. O item ddo pel equçõe (.43) é controlável e e omente e o vetore B, PB,..., P n- B ão linermente independente, ou ej, qundo mtriz nxn n [ B BP M... M BP ] M (.43b) tem poto n. Aplicndo trnformd de Lplce em (.43) e coniderndo x(), vem IX() Y() PX() BU(), CX() DU(), (.44) X() Y() - (I - P) BU(), (.45) - C(I - P) BU() DU(). (.46) G() De (.4), (.45) e (.46), egue que Y () C(I - P) - B D. (.47) U() Agor, oberve que, pel érie de Tylor (I- P) - (I- P) (-P - -P - -P )(I- P) I, e im, de (.47), G() C(-P - -P - -P )B D, (.48) G() (-CP - B D) - CP - B - CP -3 B -... (.49) G() (-CP - B D). (.5) De (.7), tem-e. W () [ G() G() ] De (.49)-(.5) W () [- (-CP - B D) (-CP - B D) - CP - B - CP -3 B -... ],

44 44 W () - CP - B - CP -3 B - CP -4 B -..., (.5) W () - CP - B. (.5) De (.3), vem. W () [ W () W ()] De (.5)-(.5), tem-e W () [ (CP - B) (-CP - B) - CP -3 B - CP -4 B -... ] W () - CP -3 B - CP -4 B - CP -5 B -... (.53) W () - CP -3 B. (.53) Generlizndo (.5) e (.53), tem-e W k () - CP -(k) B, k,,..., N-, N nm (.54) De (.4) e (.54), tem-e A CP CP CP -(n ) -(n ) M -n B B B O CP CP -n CP B -(n ) -(n) B B K L CP CP CP M O B 3 -(n ) B B. (.55) Note que A ( i, j ) -(n i j) CP B. Invertendo ordem d linh em (.55) ou ej A ( i, j ) A ( n - i, j ), i,..., n, tem-e

45 45 -n -(n) CP B CP B -(n ) A M CP B N -(n ) -n CP B CP B -(n ) K CP B N M L CP B. (.55b) C CP A CP n n P [ B PB P B L P B] M n CP. (.56) Por R3, (.56) é controlável e obervável. Logo (.4) é não ingulr. (CHEN, 999). Anlogmente, upondo m n-, de (.4), vem W A M W m () N () O W W W m m N () () () L G() W () M. M O L W () m Por (.5) e (.54) tem-e

46 46 A CP CP CP -n B -(n ) M -(n-) B B O CP CP CP -(n-) -n -n B B B L K O CP CP M CP -n B B B, e invertendo-e ordem d linh como em (.55b) CP A M CP -(n-) -n B B N CP CP CP -(n-) -n -n B B B K L -n CP B N M, CP B C CP (n) n A CP P [ B PB P B L P B] M n CP. (.56b) Novmente, por R3, (.56b) é controlável e obervável. Logo (.4) é não ingulr. (CHEN, 999). Por exemplo, conidere G() ( ) FT er identificd. Note que, nete co, m() e n() () 3 pouem o ftor () em comum. De (.4), (.35)-(.37), obtém-e G(), W (), W (), W 3 () e W 4 (), como endo, repectivmente,, -, 3,-4 e 5.

47 47 Utilizndo (.38), obtém-e A Utilizndo o método de eliminção de Gu, tem-e A,5 e x 3 b. ou ej, o item não poui olução únic. Note que det(a) e ito ocorreu devido o fto de m() e n() não tifzerem R3, poi não ão polinômio coprimo entre i. Portnto, não é poível identificr um FT pr um item cuj plnt poui pelo meno um ftor em comum no numerdor e no denomindor. Aind coniderndo mem função de trnferênci e fzendo o cncelmento do ftor comum, têm-e o reultdo n Tbel, onde é ordem d FT d plnt e o repectivo item mtricil onde e verific que o det( A). Tbel - Sitem de equçõe de modelo com pólo e zero cnceldo. Numerdor Denomindor pólo item mtricil Ax b P - P Redução d Ordem do Modelo e o Método Cláico de Pdé (MCP) Um quetão importnte que urge qunto o método etuddo é qunt iterçõe erão neceári, ou ej, d Figur 7, qul o vlor de n e m tl que o procedimento dotdo ej precio em relção à ordem, princípio deconhecid, de um item, ou ind, que o prâmetro do modelo identificdo tenhm comportmento dinâmico emelhnte o do modelo d plnt.

48 48 Suponh que e queir um modelo reduzido de G() em (.3) d form b m m m b m K b b R() n n n n K, m n. É fácil ver que R() tem m n coeficiente deconhecido. De form determinr de modo único, ti incógnit deve-e impor m n retriçõe. No MCP, m n retriçõe ão tomd. A retrição que flt é ou b ou b m. Pr determinr R(), o eguinte conjunto de retriçõe deve er reolvido fim de determinr o coeficiente, j, L, n e b i,i, L, m. (AGUIRRE, ): j b m, b c, k b k j ck j j ck,k,, L,m n, (.57) onde c k, ão conhecido como coeficiente de Pdé e ão obtido de G() como em (.57b). b c, k bk j ck j j ck, k,, L, m n, (.57b) b k pr k > m, e j pr j > n. Oberve que d equçõe (.57b), c k, k,,..., mn, ão obtido trvé d função de trnferênci d plnt e de (.57) ee memo coeficiente ão utilizdo n obtenção do coeficiente do modelo de ordem reduzid R(). Note tmbém que equçõe (.35)- (.37) tem form (.57b). De form, ecolh d ordem do modelo identificdo, ou ej, de n e m no método de identificção propoto por Kok (5) é idêntico o propoto por Pdé e citdo por Aguirre (). Nete co, o método propoto por Kok (5) trblh em o conhecimento prévio d FT do item. Já o método de Pdé envolve o conhecimento explícito d FT.

49 49.4 Exemplo Exemplo : Com o conhecimento prévio d ordem do item. Inicilmente conider-e G() em (.3) como 3. (E.) 4 Nete co tem-e n e m, onde n é ordem e m o número de zero d plnt. De (.4) tem-e b y ( ) lim Y () G() 3. (E.) De (E.) e por (.35): ( ) W () b G() 3* 4. (E.3) y De (E.3) e por (.36): ( ) W () G() W () 3* 4 4* 4. (E.4) y3 De (E.4) e por (.37): ( ) W () W () W () 4* 4 4* 4. (E.5) y4 3 Depoi de obtido o vlore de G(), W (), W () e W 3 () em (E.)-(E.5), como endo, repectivmente, 3, -4, -4 e 4 tem-e, de (.38): 3 b Por (3.39): b W () A W (), W3 ()

50 ,486,486 -,74,486,343,4857 b, cuj olução é:. 4 b Nete co FT identificd do item é dd por 4 3 G() b G(), coincidindo com FT d plnt. Exemplo : Conidere G() do exemplo e, dicionlmente, que não há qulquer informção referente à ordem d FT er identificd. Supondo que G() não tem nenhum zero, ou ej,, () G C, tem-e m. Adicionlmente, uponh que n. Nete co tem-e: De (E.): 3 G() b lim Y () ) ( y. De (.36) e (E.3): 4. G() W () ) ( y De (.37) e (E.4): 4 W () G() () W ) ( y 3. Por (.38):

51 5 De (.39): 4 4,3333,4444,3333, cuj olução é 3,,3333. Utilizndo (.6), FT do item é dd por:,3333 3, 3 G() G(). Supondo n e m. De (E.): 3 G() b lim Y () ) ( y. De (.35) e (E.3): 4. G() b W () ) ( y De (.36) e (E.4): ( ) y 3 W () 4 ) ( y () W 3. Por (.38): 4 4 b 4 3. Por (.39): / 4 3/,

52 5 cuj olução é b 7, obtendo-e im b G 7 3 G ( ) ( ). Oberv-e que G() com n m é intável. Portnto não é poível, trvé dete método de identificção, encontrr um FT etável de ordem um com um zero..5 Identificndo Funçõe de Trnferênci Intávei Coniderndo G() L{g(t)} em (.3), trnformd de Lplce de e -t g(t) erá dd por (OGATA, 998): L{ e -t -t t g(t)} [ g(t) e ] e dt, L{ e -t g(t)} g(t) -( )t e dt, L{ e -t g(t)} G( ), (.58) L{ e -t g(t)} G n (). Utilizndo o SLIT decrito por (.), ou ej Y() G()U(), com U(). de (.58), tem-e G( ) Y ( ) L{ y(t) e -t }. (.59)

53 53 () Y n Tomndo um nov íd Y n (), endo que: L{ y(t) e -t }, (.6) com > uficientemente grnde de modo que < -t y(t)e dt, (.6) tem-e () Y n G( ) G( ). (.6) y Aplicndo o TVF em (.6) ( ) G() G (). (.63) n n Note que condição (.6) exige que íd y n (t) ej limitd. Um vez que entrd degru unitário é limitd e tem-e um íd limitd, pelo corolário do Teorem d Bibo etbilidde função de trnferênci G() poui todo o pólo com prte rel negtiv, ou ej, G() é etável (CHEN, 999). Logo, bt plicr o método etuddo pr FT etávei. A Figur 8 motr o digrm de bloco do método propoto pr FT intávei.

54 54 Figur 8 Digrm de bloco do método propoto pr FT intávei. Oberve que Y () é dd por (.6). Exemplo 3: Conidere 3 5,6 G() (E.6) 3,4,6 um FT er identificd. Note que G() poui um pólo n origem. Por (.6) e, de (E.6), vem 3 8,6,6 G( ), (E.7) 7 5,4,4 endo el um FT com pólo etávei.

55 55 De (E.7), (.4) e (.35)-(.37) obtém-e: G() 8/5; W () -4/5; W () 7/5 e W 3 () -39/65. Por (.38): 8/ 5 4/ 5 7 /5 b 4/ 5 8 / 5 7 /5. 4/ 5 39 / 65 De (.39): b 38/5 4 7/5 64 4/ / / 65, cuj olução é: b 3/ 5 7 / 5. / 5,6,6 G( ).,4,4,6 G(),,4,6 coincidindo com (E.6).

56 56 CAPÍTULO 3 METODOLOGIA, RESULTADOS E CONCLUSÕES 3. Metodologi Nee cpítulo preent-e, n Seção 3., metodologi empregd prtindo do embmento teórico inicil. N Seção 3.., preent-e colet de ddo pr vlidção do método propoto por Kok (5), pndo pelo problem enfrentdo durnte pequi e u repectiv oluçõe e reultdo obtido. N Seção 3.., é verificd vlidção do método propoto por Kok (5) e gor generlizdo pr funçõe de trnferênci intávei. N Seção 3..3, é relizd um comprção entre o método propoto por Kok (5) e o procedimento dotdo pr plicção do método em FT intávei, mbo plicdo em funçõe de trnferênci etávei. N Seção 3..4, erá verificdo o deempenho do método levndo em coniderção preenç de ruído brnco n íd d plnt. Finlmente têm-e concluõe n Seção 3..5, bed no reultdo obtido. N Seção 3.3, encontr-e concluão gerl det pequi. 3.. Plnejmento d Ação epecilmente: A ção inicil conitiu bicmente de um buc n litertur que elucide,

57 57. Seleção do vário tipo de ini de tete diponívei e u principi crcterític.. Propriedde d Trnformd de Lplce que, de lgum form, contribum com o deenvolvimento de um método de identificção. 3. Embmento teórico. 4. Pequi n litertur científic mundil obre o tem propoto. 3.. Sini de Tete pr Entrd A princípio, foi ecolhid entrd degru unitário, um vez que mem podi er obtid fcilmente e poui crcterític relevnte pr identificção de item, como tenução do ruído prtir do momento em que o degru é plicdo (KOSAKA, 5). N primeir etp d pequi, item de primeir ordem e de item com ordem doi, coniderndo-e plicção d entrd rmp pó plicção d entrd degru Propriedde d Trnformd de Lplce e o Teorem do Vlor Finl Apó ecolh do tipo de entrd que deve er plicd (entrd degru), o TVF que relcion o comportmento de G() n vizinhnç de o comportmento etcionário de g(t), onde G() L{g(t)}, é um FT etável, etudou-e generlizção do método pr FT de ordem n. Entretnto, não eri poível plicr o método pr um FT intável. Pr olucionr o problem d intbilidde, recorre-e um função exponencil etável que, multiplicd pel função temporl cuj íd é ilimitd, reult num item novo etável. Aim, tem-e L{e -t y(t)} Y(), onde Y() é intável e é um contnte tl que Y() é limitd.

58 Vlidção do Modelo Sob o embmento teórico, FT etudd ão generlizd em relção à u ordem. Etudou-e, de form, um método recurivo cpz de identificr FT de qulquer ordem e que ão, incluive, intávei. Retv ind, egundo Lndu (99), o qurto etágio de um identificção complet: vlidção do modelo. O método determinítico propoto por Kok (5) e generlizção do método propot pr funçõe de trnferênci intávei deverim, priori, identificr FT d plnt com extidão, como vito no cpítulo nterior. Entretnto, no ddo coletdo em qulquer experimento rel hverá ruído (AGUIRRE, ). De form, com o uo do oftwre Mtlb 7 relee 4 (MATSUMOTO, 3) ão relizdo um érie de tete, ou colet de ddo, trvé do mbiente Simulink (MATSUMOTO, ) com utilizção do digrm de bloco cujo objetivo é verificr vlidde do modelo identificdo. 3. Reultdo 3.. Prâmetro Encontrdo pr Sitem Etávei Pr tod imulçõe o olver eqution é configurdo como n Figur 9, endo que: Type: refere-e o tipo de intervlo pr integrção - vriável ou fixo. O fixo conider um tempo de integrção contnte, e.g., T, egundo. N imulçõe dote vriável. Solver: Método empregdo pr reolver um EDO (Equção Diferencil Ordinári). É empregdo o ODE 45. Pr repot o degru há um vrição no intervlo em que o gráfico form plotdo pen pr tentr evidencir lgum diferenç entre curv, qundo io foi poível, poi vári curv ão prticmente idêntic, endo que prioridde foi dd o

59 59 tempo de etbelecimento no co do método propoto por Kok (5), e qundo G e ()/() < -4, no co do método generlizdo pr FT intávei. Conidere G p () FT d plnt er identificd e G e () FT etimd (identificd). (m, n) refere-e à ordem n de um função de trnferênci com m zero. Figur 9- Configurção do olver eqution. Net eção o objetivo é verificr vlidde do método propoto por Kok (5) pr funçõe de trnferênci etávei. N imulção é previmente utilizd informção referente à ordem d plnt. N imulção upõe-e não etr diponível tl informção. Aind n imulção erá trtd quetão de redução do modelo d plnt e é relizd um comprção entre o modelo reduzido utilizndo o método propoto por Kok e o modelo reduzido com retenção de pólo. Simulção Sej 3 G p (), um função de trnferênci etável er identificd. Atrvé do digrm de bloco d Figur, obtém-e G(), W (), W () e W 3 (), repectivmente,,, -4 e 6. obervndo-e que o tempo de imulção foi de egundo.

60 6 De (.38), vem: A De (.39): b -/5 -/5-4/5 /5 /5 -/5 4, 6 cuj olução é [ b ] t [ 3 ] t. De (.3), tem-e 3 G e (), coincidindo com FT d plnt G p (). Figur - Digrm de bloco utilizdo n imulção. Simulção : Sej,5,6 G p (), 3,5,5,45

61 6 FT er identificd. Supondo não diponível informção referente à ordem d FT, erá utilizdo ordem 3 e 4, repectivmente, pr o numerdor e o denomindor e tmbém o digrm d Figur pr obtenção de G(), W ()-W 7 (), obervndo que o vlor no bloco contnt 3 é,6. O tempo de imulção foi de egundo. O reultdo encontrm-e n Tbel e 3. Figur - Digrm de bloco utilizdo n imulção.

62 6 Tbel - Reultdo d identificção em conhecimento prévio d ordem d plnt. (m,n) Numerdor Denomindor 3 (3,4) -,36 5,694 3,79,6,4863 4,33 3 4,8 4,9 (,4) 8, ,9 -,6,75 8,49 5,89 35, (,4),47,6,73,4736,5, (,4),6 7,5-34,5 9,7 -,98 (3,3) -,3 3,97 3,5,6 3 3,65,539,95 (,3) -,8 3,45,6,4554,497,443 3 (,3),47,6,474,5,446 G p (),5,6 3,5,5,5 3 (,3),6 34,5-9,7,98 - (,) -,69,9,6,3693,354 (,),44,6,54,44 (,),6 9,7 -,98 (,),378,6,665 (,),6,98 -

63 63 Tbel 3 Pólo e zero d FT identificd G e () conforme Tbel. (m,n) Zero Pólo (3,4) Z 8,467 ; Z -,387 P -9,46 ; P -,755 Z 3 -,67 P 3 -,44 ; P 4 -,386 (,4) Z -,67; Z,7 P -6,579 ; P -3,33 P 3 -,45 ; P 4,7 (,4) Z -,67 P -65,595; P -6,649 P 3-3,579 ; P 4 -,49 (,4) não poui zero P,,43 ±,949j P 3,4 -,95 ±,63j (3,3) Z,464 ; Z -,683 P -,5477 ; P -,45 Z 3 -,67 P 3 -,66 (,3) Z 76,784 ; Z -,67 P -6,6395 ; P -3,586 P 3 -,49 (,3) Z -,67 P -6,563 ; P -3,338 P 3 -,45 G p () Z -,666 P -5 ; P -4 P 3 - (,3) não poui zero P, -,39 ±,96j P 3,333 (,) Z,867 ; Z -,67 P -,647 ; P -,49 (,) Z -,674 P -,545 ; P -,65 (,) não poui zero P,,6 ±,364j (,) Z -,53 P -,66 (,) não poui zero P,435 Note que o modelo reduzido identificdo de ordem,, 3 e 4, que não pouem zero ão intávei. Ou ej, trvé do método propoto por Kok (5), não é poível identificr modelo reduzido de FT com e orden e que tenhm um repot o degru precid com repot o degru d plnt rel. Pr funçõe de trnferênci identificd e etávei ver Figur -4 pr repot o degru. Pr ordem 4 com zero ocorreu o cncelmento de um pólo com um zero.

64 64.5 Amplitude (m,n) (3,4) (,4) (3,3) (,3) plnt (,3) Tempo(egundo) Figur - Repot o degru d FT identificd etávei e de ordem uperior ou igul à ordem d FT d plnt..5 (,) (,) (,) plnt Amplitude.5 (,) (,) Tempo(egundo) Figur 3- Repot o degru d FT identificd etávei com ordem inferior à ordem d FT d plnt.

65 65.5 Demi FT' encontrd pelo método e tmbém FT d plnt (,) (m,n).5 Amplitude (,) Tempo(egundo) Figur 4- Repot o degru d FT identificd etávei. Note que FT identificd com ordem uperior ou igul doi prticmente preentm mem repot o degru, como motr Figur, endo et repot prticmente idêntic à repot o degru d plnt. Pr comprção entre o modelo reduzido de ordem (m, n) (,), utilizndo-e retenção de pólo (que mntém o pólo mi lento, ou ej, o pólo mi próximo à origem do plno complexo) e o método propoto por Kok (5), ver Tbel 4 e Figur 5. Tbel 4- Modelo reduzido de ordem doi com um zero. Numerdor Denomindor Pólo Zero plnt,5,6 3,5,5,45 P -5 método propoto retenção de pólo P -4 P 3 -,47,6,54,44 P -,545 P -,65,5 3,5,5 P -4 P - Z-,66 Z-,66 Z-,66

66 plnt metodo propoto retenção de pólo 6 5 Amplitude Tempo(egundo) Figur 5- Comprção d repot o degru entre modelo reduzido com ordem e um zero identificdo pelo método propoto por Kok (5) e o modelo reduzido com retenção do pólo mi lento. Note que FT identificd pelo método propoto por Kok (5) preent um repot o degru emelhnte (próxim) à repot o degru d FT d plnt qundo comprd com repot preentd pelo método de retenção do pólo mi lento. 3.. Prâmetro Encontrdo pr Sitem Intávei Net eção o objetivo é verificr vlidde do procedimento propoto pr FT intávei. N imulção 3 é previmente utilizd informção referente à ordem d FT intável d plnt (G p ()) prtir d qul é identificd um nov FT etável G e () d qul deriv um conjunto de modelo de ordem reduzid, endo que, prtir dee modelo reduzido determin-e o modelo reduzido d plnt intável. N imulção 4, lém de utilizr informção referente à ordem d plnt, ão relizdo vário tete pr diferente vlore d contnte. A imulção 5 é relizd prtir de um experimento rel e ujeito ruído externo com um FT intável.

67 Simulção 3: Sej G p (), 3 como em (E.) um FT intável er identificd.,6,6 Oberve que G p ().,4,4 A Figur 6 motr como obter o vlore G(), W (), W () e W 3 (), obervndo-e que o tempo de imulção é de egundo e. Figur6- Digrm de bloco do método propoto pr FT intável d imulção 3. Fcn. Note que o vlor d contnte encontr-e no bloco Trnfer Fcn e Trnfer De (.38), G(), W ()-W 3 () e Figur 6, tem-e,6,64,656 b,64,6,656.,64,66 De (.39)

68 68 b,64 65, ,656, 4,4 4,66 cuj olução é: b,656,46.,46,656,6 G e ( ),,46,46,656,975 G e ().,464, Repot eperd Repot encontrd Amplitude Tempo (egundo) Figur 7- Repot o degru d FT G p ( ) eperd e d FT G e ( ) identificd pelo método generlizdo.

69 69 Tbel 5- Modelo reduzido pr G e ( ) identificdo pelo método n imulção 3. (m,n) Numerdor Denomindor Pólo Zero G p (), 6 6,,4,4 P -,5 Z -,667 eperdo P - (,) G e (),656,6,464,46 P -,3999 P -,7 Z -,56 (,) G e (), 6,563,5 P -64,69 P -,996 não poui zero (,),439,6, P -,993 Z 65,67 G e () (,) G e (), 6,5 P -,9756 não poui zero.6.4. Amplitude Gp() (m,n) Ge()(,) Ge()(,) Ge()(,) Ge()(,) Tempo(egundo) Figur 8- Repot o degru do modelo reduzido e etávei identificdo pelo método generlizdo n imulção 3. Note que repot o degru preentm comportmento temporl prticmente idêntico. A prtir do modelo identificdo n Tbel 5 cheg-e o modelo n Tbel 6.

70 7 Tbel 6- Modelo reduzido pr G e () d imulção 3. (m,n) Numerdor Denomindor Pólo Zero G p (),6,4,6 P -,5 G e () (,) G e () (,) G e () (,) G e () (,) P, 65, 975,464,5836 P -,45 P, 6,563,9938, 94 P -63,69 P,95 Z -,667 Z -,56 não poui zero, 439, 643,, P,97 Z 66,59, 6,5, 5 P,44 não poui zero 3 Simulção 4: Conidere G p () 5, um FT intável er identificd. A Figur motr como obter o vlore G(4) e W (), obervndo-e que o tempo de imulção é de egundo e contnte utilizd pr etbilizr íd y n (t) é 4 (bloco Trnfer Fcn e Trnfer Fcn). Figur 9- Digrm de bloco do método generlizdo pr FT intável d imulção 4.

71 7 De (.4), (.35), (.38),(.39), (.58)-(.63) e d figur tem-e:, G e ( ),,673 () G e 3,3.,39 5,55.8 Ge(4) Gp(4) Amplitude Tempo(egundo) Figur Repot o degru de G e (4) d imulção 4 e de G p (4). N Tbel 7 encontrm-e o prâmetro encontrdo utilizndo-e outro vlore pr contnte. Pr o vlore G(),..., W nm () det imulção e d próxim imulçõe o longo do texto, confir Apêndice B.

72 7 Tbel 7 - Prâmetro encontrdo utilizndo-e outro vlore pr n imulção 4. numerdor denomindor pólo 3 G p (3) 3 -,5 G e (3) 3,,976 -,56 4,5 G p (4,5),75,5 - G e (4,5),754,5 -,99 5 G p (5),6,4 -,5 G e (5),63,4 -,49 6 G p (6),48,857-3,5 G e (6),488,868-3,48 G p (),,33-7,5 G e (),,35-7,6 Simulção 5: Pr et imulção foi plicdo o método generlizdo pr FT intávei n implementção lbortoril de um crro protótipo controldo utomticmente, que utiliz trndutor ultr-ônico (Figur ) (CÂNDIDO, 7). Figur - Crro protótipo. Todo o ddo det imulção form dquirido por Cândido (7, p. 3-35).