O Teorema de Pitágoras

Transcrição

1 O Teorem de Pitágors A UUL AL A Sem dúvid, O Teorem de Pitágors! é respost mis freqüente que s pessos dão qundo perguntmos do que els se lemrm ds uls de Mtemáti. E qundo questionmos se els sem o que o teorem diz, muits respondem: Não lemro o erto, ms flv d hipotenus e dos tetos... o qudrdo d hipotenus... Ests plvrs gente não esquee: Teorem de Pitágors, hipotenus, tetos. Alguns, no entnto, já não se lemrm mis do enunido do Teorem de Pitágors. Ms nós reditmos que, depois d ul de hoje, mesmo que voê tmém não se lemre, ind ssim será omo deduzi-lo novmente. Vmos mostrr n págin 3 um figur muito simples e reveldor que os hineses já onheim há muito tempo, ntes mesmo de Pitágors, e que nos permite deduzir o teorem. Ess figur voê não esqueerá, priniplmente se voê fizer om reortes de ppel ou mesmo loos de mdeir. A elez do teorem ompens o esforço desse trlho extr. Antes de omeçrmos noss ul, qui está um plição práti e interessnte deste fmoso teorem pr que voê poss refletir respeito. Alguns povos ntigos usvm um instrumento muito simples e prátio pr oter ângulos retos: um ord. Nel fzim nós distânis iguis e, então, mrvm três nós distânis de três, qutro e ino nós entre si, onforme mostr ilustrção, juntndo depois o primeiro o último nó. Qundo estivm est ord, fixndo- nos três nós mrdos, otinhm um triângulo... retângulo! Será mesmo reto o ângulo mior do triângulo 3, e 5? (Fç o experimento e meç o ângulo mior do triângulo om seu esqudro ou trnsferidor. Voê onord que o ângulo é reto?) Introdução 3 reto!? 5

2 Noss A Uul L A Quem foi Pitágors de Smos Seri impossível resumir vid e s idéis de Pitágors pens em lguns prágrfos, tl é multipliidde de spetos que present. Sem flr no mistério que envolve su figur. Aredit-se que tenh nsido em Smos (Gréi ntig) por volt de 558.C., e tenh vivido té os 99 nos, emor esses ddos não sejm extos. Desse véu de mistério o que emerge é o Pitágors filósofo, mtemátio e músio. Busou sedori em tod prte, té mesmo qundo esteve preso n Bilôni. Um de seus mestres foi Tles de Mileto (que mos de onheer n Aul 7), que o teri onselhdo visitr o Egito, onde não só estudou geometri, omo seu mestre, ms tmém prendeu ler hieróglifos ( esrit egípi) om os próprios serdotes egípios. E mis ind: pree ter sido iniido nos mistérios d religião egípi. Outros spetos interessntes d vid de Pitágors dizem respeito lgums idéis stnte vnçds pr su épo. Por exemplo: dizem que er vegetrino e um forte defensor d vid em gerl, tendo-se delrdo ontrário o srifíio de nimis, muito omum em su épo. Como seu ontemporâneo distnte Bud, reditv que todos os seres humnos erm iguis e mereim lierdde; seri este o motivo pelo qul teri liertdo seu esrvo Zlmoxis. Pitágors e os pitgórios, lunos d esol que fundou, erm onheidos mntes d lierdde. Se voê está tento o que dissemos, deve ter fido intrigdo: Por que hmmos Teorem de Pitágors, se os hineses já onheim o teorem muito ntes dele? Voê não deix de ter rzão. N verdde é muito omum que um teorem ree o nome de lguém que não tenh sido o primeiro demonstrá-lo. Ms o mérito de Pitágors não é menor, pois foi o responsável por ter prendido pensr geometri de mneir strt, e não em relção ojetos onretos, omo se fzi té então. Espírito ientífio, Pitágors firmv: A fórmul d hipotenus em relção os tetos é verddeir não pens em triângulos retângulos de ljots ou queles desenhdos n lous, ms tmém pr todos os triângulos retângulos que ind não vimos, e mis ind, pr qulquer triângulo retângulo que pensemos. Ms, finl, o que é o Teorem de Pitágors?, voê deve estr se perguntndo. Vmos ele! O Teorem de Pitágors Vmos trlhr um pouo om s mãos. Pegue um ppel qudriuldo e desenhe um triângulo retângulo de 3 m n vertil e m n horizontl. Semos que este triângulo é um triângulo retângulo, porque seus ldos (tetos) estão em direções perpendiulres (horizontl e vertil). A pergunt pr voê é: Qunto mede hipotenus desse triângulo? 3? Voê deve ter enontrdo 5 m pr medid d hipotenus. Será mesmo? Será que geometri pode provr que hipotenus do triângulo retângulo de tetos 3 e m mede 5 m?

3 O que há de espeil em medir 5 m e não 5, ou,9?, lguém poderi perguntr. Pois vej o que ontee se os ldos forem iguis 3, e 5 m. Se onstruírmos um qudrdo om d um dos três ldos, então teremos o triângulo retângulo erdo por três qudrdos. O que podemos dizer sore s áres destes três qudrdos? A U L A áre do qudrdo de um teto áre do qudrdo do outro teto = áre do qudrdo d hipotenus (se 5 estiver erto) 5 5 O que Pitágors se perguntou foi: Será que não pens neste, ms em todo triângulo retângulo o qudrdo d hipotenus é som dos qudrdos dos tetos? E oteve respost: Sim, em qulquer triângulo retângulo.... E pr que voê vej logo omo isso é em simples, olhe pr figur ixo. ou sej: Est re ( ) som ds dus res ( + )? O que queremos demonstrr é que, se hipotenus de um triângulo retângulo é e seus tetos são e, então ² = ² + ². Vmos omeçr desenhndo o qudrdo de ldo. Brinndo om outrs peçs iguis ests em ppel ou ppelão, vemos lgo interessnte: qutro ópis do triângulo retângulo olods em torno do qudrdo formm um novo qudrdo de ldo +. O que nos dizem s áres ds figurs ixo? áre do qudrdo de ldo + ( + ) áre do qudrdo de ldo Logo: ² + + ² = ² + ² + ² = ² (C.Q.D.) (áre do triângulo) 3

4 A U L A Muito engenhos ess figur dos hineses que usmos pr omprovr o teorem, não é? Assim, está provdo o Teorem de Pitágors: Num triângulo retângulo, o qudrdo d hipotenus é som dos qudrdos dos tetos. Exeríio Em d item ixo temos um triângulo retângulo om hipotenus e tetos e. Clule o ldo ou ltur que se pede (ns mesms uniddes): ) = 0 = 6 =? (Fç figur. Meç e onfirme om o Teorem de Pitágors.) ) =? (Use luldor, no teorem. Meç e onfirme.) =7 =0 ) =? h =? (Fç uso novmente do teorem. Depois, pense n áre do triângulo pr hr h. Meç e onfirme.) =9 h = Exeríio Seu Rimundo preis enomendr ljots de mármore om o formto que está n figur ixo. Ele oservou que dus dels junts formm um retângulo. Qunto mede o outro ldo do retângulo? X 7, Q? Y

5 Resolvendo o exeríio Em se trtndo de lulr omprimentos noss titude nturl é prourr por triângulos semelhntes e plir regr de três omo vimos n ul 7 e veremos novmente n ul. Qundo esses omprimentos são ldos de um triângulo retângulo, então outr idéi que logo nos oorre é plir o Teorem de Pitágors. Temos: A U L A ) ² = ² + ² 0² = 6² + ²; ² = = 6. Logo, = 8 m. ) ² = ² + ² ² = 0² + 7² = 9. Logo, =, m. ) ² = ² + ² ² = 9² + ² = 8 + = 5. Logo, = 5 m. E pr hr h? Oservmos que áre do triângulo pode ser luld de dois modos (pelo menos), usndo mesm fórmul: A tring = se ltur l om se = = e ltur = = 9: A tring = 9 = 5 l om se = = 5 e ltur = h: A tring = h = (figur nterior) = 5h = 5h =5. Logo m Seu Rimundo tmém deve usr o Teorem de Pitágors: num triângulo retângulo, ² = ² + ² - onsiderndo: = XY =,3 Assim: (7,)² = ² + QY = QY = 50, = 6 + QY = QY =? QY = 3, e QY A reípro do Teorem de Pitágors Sestião é um operário muito tento o trlho e um luno igulmente tento de º gru. Qundo o professor terminou de demonstrr o Teorem de Pitágors e de dr exemplos sore ele, Sestião pediu plvr: Professor, o teorem está provdo e os exemplos nos mostrm que ele tem inúmers plições, 5

6 A U L A tnto n Mtemáti qunto no speto que mis nos interess d noss vid profissionl, quero dizer, omo pedreiros, mreneiros et. E prosseguiu ele: Ms nós ind não resolvemos o prolem. O Teorem de Pitágors nos firm que: se o ângulo entre os ldos e for reto, então ² = ² + ². Agor, noss questão é preismente demonstrr que o ângulo é reto, sendo que ² = ² + ² pr = 5, = 3 e =. Isto é extmente reípro do Teorem de Pitágors? De fto, é muito freqüente, n vid otidin, enontrrmos um pesso onfundindo s firmções om sus reípros. Voê se lemr de lgum so ssim? Um prov d reípro do teorem Método sorátio Em homengem o grnde sáio grego Sórtes (69.C., 399.C). O professor de Sestião preisou então de mis lguns rgumentos pr onluir om extidão que, de fto, o triângulo de ldos que medem 3, e 5 m, tão usdo pelos ntigos e tão prátio té hoje tem mesmo um ângulo reto. A demonstrção prinípio intrigou o nosso migo Sestião, ms depois de refletir em s ele eitou. O professor usou o que se hm de método sorátio. Ele fez pergunts o luno que o levrm à onlusão verddeir. O professor e o luno tiverm o seguinte diálogo: Professor - O que estmos querendo provr, Sestião? Sestião - Que se os ldos do triângulo medem 3, e 5 m, então o ângulo entre os ldos de 3 e m é um ângulo reto. P - Muito em; voê inlusive seprou prte d firmção que omeç om se ( hipótese) d prte que omeç om então ( tese). Exelente. Dig-me gor: voê já viu lgum triângulo om ldos 3, e 5 m? S - Vi, no iníio d ul nós o desenhmos em ppel qudriuldo pr judr resolver o rolem. P - Isso mesmo. Ms não hvi um dúvid lá respeito d medid, se seri mesmo 5 ou 5, m... S - Sim, ms depois o senhor nos ensinou o Teorem de Pitágors; se o ângulo é reto, então ² = ² + ². Logo, pr = 3 e = vimos que = 5. P - Então voê viu mesmo um triângulo de ldos 3, e 5 m: onde de fto, os ldos que medem 3 e m fzem um ângulo reto. Agor dig-me: Quntos triângulos de ldos 3, e 5 m podemos ter? S - Or, professor, isso eu vi qundo desenhei o triângulo ABC de ldos = BC = 5, = AC = 3 e = AB = (m). Comeei pelos pontos A e B. (Figur) Então pensei: se AC = 3, então C dist 3 m de A e trei om o ompsso um írulo de entro A e rio 3 m. E omo C dist 5 m de B, então C tmém deve estr sore um írulo de entro B e rio 5 m. P - Portnto, quntos triângulos de ldos 3, e 5 m existem? 6

7 S - Dois, ms que de fto são iguis; um é o reflexo do outro num espelho horizontl, o ldo AB. P - E qunto mede o ângulo entre os ldos de 3 e m, nesse triângulo? A U L A S - Bem, o triângulo que vimos ntes... P - É o únio que vimos om ests medids, não é? Continue. S - Sim, ele tem ângulo reto. P - Pode hver lgum triângulo om estes ldos ujo ângulo não sej reto? S - Não, professor: se um triângulo tem ldos 3, e 5 m, então ele é um triângulo retângulo, pois só há um triângulo om estes ldos e ele é retângulo! N ul seguinte, Sestião foi direto o professor: A reípro do Teorem de Pitágors que o senhor me provou ser verddeir, no so do triângulo de ldos 3, e 5 m, é verddeir não só pr este, ms pr qulquer triângulo de ldos, e em que ² = ² + ²! E Sestião exiiu, então, seu rioínio strto, hernç de mestres omo Tles e Pitágors: A mesm figur que nos judou rioinr nteriormente tmém nos mostr que há pens um triângulo ( menos de reflexão no espelho) em que os ldos medem, e. Suponh que em nosso triângulo ² = ² + ², qul é, então, o ângulo entre e? E onluiu em seguid: Como no triângulo retângulo ² = ² + ² e só existe um triângulo de ldos, e em que ² = ² + ², então indiretmente onluímos que o ângulo entre e só pode ser um ângulo reto! Rioínio perfeito, Sestião! Continue desenvolvê-lo. Às vezes mis preios lição de um ul de mtemáti não se refere números ou triângulos, ms um mneir ritiv de pensr. Nós onordmos. E espermos que voê, luno ou lun deste Teleurso, estej tmém tento à preisão e à purez do rioínio mtemátio. Hor de prtiá-lo, então, nos exeríios de hoje! Exeríio 3 Em d um destes itens, lule o tereiro ldo do triângulo; desenhe o triângulo e onfirme. Tods s medids estão em m: Exeríios finis ) = 7 = 5 ) = 0 = 0 ) =, = 6 7

8 A U L A Exeríio ) Qunto mede digonl do piso de um sl retngulr de 3 m? ) Qul o tmnho máximo que pode ter um pu de ortin que se quer gurdr deitdo no hão de um sl de 3 m? ) Sej d digonl de um retângulo de ldos e, enontre um fórmul que lule d prtir de e. d Exeríio 5 ) Qul o tmnho máximo que pode ter um pu de ortin que se desej gurdr provisorimente num qurto de 3 x m e ltur 3 m? ) Sej D digonl intern de um prlelepípedo de ldos, e, lule D. Sugestão: Trçndo digonl d d se retngulr vemos que e d são perpendiulres pois é vertil e d é horizon- D d tl. Logo, o triângulo de ldos, d e D é retângulo. Exeríio 6 Um triângulo retângulo ABC tem A = 90º, B = 60º e AB =,5 m: B,5 60¼ º A C ) Clule hipotenus BC. Sugestão: Desenhe um triângulo igul ABC, hme-o AB C, resultdo de ABC refletido no espelho AC. Qunto medem os ângulos de BB C? Que tipo de triângulo é BB C? Qunto mede, então, BC? ) Clule o outro teto. Exeríio 7 ) Enontre,,, d e e. ) Complete figur. Oserve que os vérties dos ângulos retos formm um espirl. d e 8

9 Exeríio 8 Quer-eç Quisquer dois qudrdos, não import seus tmnhos reltivos, podem ser ortdos em ino peçs que se juntrão novmente pr formr um só qudrdo mior. Os ortes estão ilustrdos nos qudrdos do exemplo ixo. A U L A Exemplo: Tre estes outros dois qudrdos. Voê se onde fzer os ortes de modo que depois sejmos pzes de remontr s peçs num outro qudrdo? Exeríio 9 O triângulo retângulo de ldos om 3, e 5 m, que onheemos nest ul, se tornou fmoso devido o fto de que seus ldos são medidos por números nturis (i.e, inteiros positivos) pequenos. Este exeríio present outros triângulos desse tipo. Fç um tel omo est ontendo n horizontl e n vertil os qudrdos dos números nturis. Oserve que d número n tel é som de dois qudrdos. Por exemplo 5 = +. Chmemo-los ² e ². ) Proure pelos ² + ² que são eles próprios tmém qudrdos, estndo então n sequêni et. Por exemplo, = 5 = 5² n 3 n Sugestão: Pr filitr, use est tel de qudrdos:

10 A U L A ) Desenhe os triângulos que voê enontrou Exemplo: 3 Sugestão: Fç su tel em ppel qudriuldo. Voe pereerá que própri tel lhe dá o triângulo desenhdo. Exemplo: ) Existem triângulos semelhntes entres os enontrdos? Isto é, de mesmo formto ms de tmnhos diferentes? Exeríio 0 Inspirndo-se no exeríio d ul, prove que num triângulo retângulo de hipotenus e tetos e, ltur reltiv à hipotenus mede h = 50