PESQUISA OPERACIONAL

Transcrição

1 PESQUISA OPERACIONAL Autor: Prof. Dr. Arturo Alejandro Zavala Zavala Professor do quadro efetivo da Universidade Federal de Mato Grosso - Faculdade de Economia. Especialista em Estatística Econômica, Modelos de Regressão, Series Temporais, Pesquisa Operacional e Econometria. 1

2 Caros Alunos, Na administração, economia e outras áreas das ciências, precisam de modelos matemáticos com a finalidade de otimizar problemas e desta forma descobrir a combinação perfeita de variáveis que façam ótimas nossas necessidades. Este trabalho foi escrito com o intuito de apresentar ao aluno de Economia e em geral a os alunos da área social, elementos da pesquisa operacional com a finalidade de encontrar subsídios necessários para entender a modelagem e estabelecer pontos de decisão que podem ser útil a formadores de opiniões em suas decisões. Este trabalho apresenta 5 Capítulos, sendo a introdução a pesquisa operacional, a solução de problemas em pesquisa operacional, um estudo de analise da sensibilidade, modelo de transporte e problemas de programação inteira. Estes capítulos pretendem dar bases suficientes para que o aluno se inicie na área de programação matemática. A pesquisa operacional por seu alto conteúdo matemático muitas vezes é rejeitada pelos alunos pela suposta complexidade da mesma, mas o presente texto apresenta um auxilio adicional que é o software Solver do Excel, ele de uma forma simples interpretam a solução a partir de um modelo matemático proposto, o grande problema então, na pesquisa operacional é entender o problema e levar a sistema de equações que logo poderão ser implementados no Solver. Convido a vocês a leitura deste trabalho e a sua aplicação. Abraços e boa leitura. Arturo A. Z. Zavala 2

3 Sumário CAPITULO 1: INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Modelo Matemático Programação Linear Exemplos usuais de problemas de Programação Linear Construção do modelo de Programação Linear Solução Gráfica de Programação Linear Analise Gráfico da Sensibilidade Exercícios 27 CAPITULO 2: SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO SIMPLEX Variável de Folga: Variável de Superávit Variável não restrita Algoritmo SIMPLEX Geral EXEMPLO DO USO DO ALGORITMO SIMPLEX 37 CAPITULO 3: ANALISE DE DUALIDADE E DE SENSIBILIDADE Dualidade na Programação Linear Relações entre primal-dual Exemplos de transformação Primal Dual Interpretação Econômica do Problema Dual Analise de Sensibilidade Alteração em um dos coeficientes da função objetivo Alteração em um dos coeficientes de uma restrição. 74 CAPITULO 4: Modelo de Transporte O Modelo Observações Exemplos de Problemas de Transporte Exercícios 97 3

4 CAPITULO 5: PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA Algoritmo Branch-Bound (Ramifica-e-Limita) Exemplos de Programação Inteira Exercícios 118 Referências Bibliográficas 128 Mini Currículo 129 4

5 Unidade 1 5

6 6

7 CAPITULO 1: INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL O desenvolvimento da Pesquisa Operacional, segundo muitos autores, esta apresentando grandes avanços científicos mais importantes desde os mediados do século XX. Na atualidade é uma grande ferramenta que é utilizada pelos diferentes campos da administração, economia e da engenharia. A Pesquisa Operacional era quase desconhecida antes da Segunda Guerra Mundial. O matemático russo Leonid Vitalievitx Kantorovitx, publicou uma extensa monografia em 1939, onde apresentou uma ampla gama de problemas de produção e distribuição que tinham estruturas matemáticas de álgebra linear, mas a Pesquisa Operacional teve um exorbitante desenvolvimento com a chegada da segunda guerra mundial, devido à necessidade de organização de informações, maximizar rendimentos ou minimizar custos de operação. A Pesquisa Operacional tem como base o método científico para pesquisar e ajudar na toma de decisões sobre problemas complexos das organizações nos dias de hoje. Basicamente a Pesquisa Operacional é construída a partir dos seguintes passos: a) A observação de um problema; b) A construção de um modelo matemático que apresente elementos essenciais do problema; c) A obtenção das melhores soluções possíveis com a ajuda de algoritmos exatos ou heurísticos (aproximados); d) A calibração e interpretação da solução e sua comparação com outros métodos. Muitas vezes para encontrar alguma solução na toma de decisão recorremos sem querer a modelos matemáticos, podendo estas ser simples, mas contendo um raciocínio logico em sua concepção. Por exemplo, imaginemos que por motivos de trabalho tenhamos que viajar a São Paulo, todas as semanas, durante 5 semanas, mas para não deixar nossas obrigações em Cuiabá, destinamos nossas tarefas em São Paulo de segunda até quarta feira, devendo sair sempre na segunda feira e voltar na quarta feira, deixando a quinta e sexta para solucionar problemas em Cuiabá. Viajar em avião ida-volta para São Paulo custa em média R$ 400,00. A empresa de viagens possibilitou um desconto de 20% se as datas de viagens pegavam fins de 7

8 semana, já seja em Cuiabá ou São Paulo. Além disso, uma passagem de ida ou de volta custava 75% do preço da viagem de ida-volta para São Paulo. Como se poderiam comprar as passagens de forma que se possa estar em São Paulo e Cuiabá nos dias de semana considerados, com o mínimo custo possível? Para a solução a este problema simples o primeiro que devemos fazer é identificar o problema e nos perguntar o seguinte: i) Quais são as alternativas de decisão? ii) Quais são as restrições de decisão? iii) Qual é o objetivo para avaliar as alternativas? Comecemos por identificar nossas alternativas de decisão de compra de passagem, sendo estas: Comprar 5 passagens Cuiabá São Paulo Cuiabá. Comprar uma passagem Cuiabá São Paulo, quatro passagens São Paulo Cuiabá São Paulo, as quais permitam que as datas incluam os fins de semana em Cuiabá, e uma passagem São Paulo Cuiabá. Comprar uma passagem Cuiabá São Paulo Cuiabá, que considere a segunda feira da primeira semana e a quarta feira da ultima semana, e quatro passagens São Paulo Cuiabá São Paulo, que considerem os finais de semana em Cuiabá. A restrição para nossa decisão será o fato que para cumprir a tarefa deve sair de Cuiabá uma segunda feira e voltar uma quarta feira. Uma forma obvia de avaliação das alternativas proposta, será aquele que apresente o menor custo possível. Custo da Alternativa 1: Como o custo de uma passagem ida-volta para São Paulo é de R$ 400,00. Então o custo para as cinco semanas é de 5 x R$ 400,00 = R$ 2.000,00 Custo da Alternativa 2: 8

9 Como a passagem só de ida o só de volta corresponde a 75% do preço de idavolta, além disso, se as datas contemplam um final de semana teremos um desconto de 20% do preço de ida-volta, então temos o seguinte: 0,75 x R$ 400, x 0,80 x R$ 400,00 + 0,75 x R$ 400,00 = R$ 1.880,00 Custo da Alternativa 3: Para esta ultima alternativa temos que os 5 passagens contemplam o final de semana, porem um desconto de 20% do preço de ida-volta será considerada, desta forma o custo será 5 x 0,80 x R$ 400,00 = R$ 1.600,00 Observa-se que a partir disto podemos indicar que a melhor alternativa a ser considerada seria a terceira, já que ela apresenta o menor custo possível. Outro exemplo se poderia considerar o fato de ter um arame de longitude L cm. e se deseja configurar esse pedaço de arame numa forma retangular, de forma que seja maximizada a área cercada, qual deveriam ser os lados dessa forma retangular? Para isto, podemos imaginar que a forma retangular tem a seguinte estrutura: Então devido a necessidade de maximizar a área cercada, o modelo matemático pode ser definido por: Sujeito a 9

10 Em termos gerais um modelo matemático para um problema de decisão, estaria dado por: Figura 1. Estrutura de um modelo matemático Notemos que no exemplo anterior a Função Objetivo estaria dada pela Área definida pela letra A, e as restrições estaria dado pelas duas expressões matemáticas. 1.1 Modelo Matemático Um modelo matemático se pode entender como a representação simplificada da realidade, expressada na forma de equações matemáticas que serve para simular a realidade. Na pesquisa Operacional este modelo matemático tem alguns componentes de interesse: a) Variáveis de decisão b) Função Objetivo c) Restrições a) Variáveis de decisão: são variáveis utilizadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão. Exemplo: Número de caminhões que chegam de São Paulo a Cuiabá. b) Função Objetivo: É uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de decisão. Ele apresenta dois tipos: Maximização (pudendo ser lucro, renda, utilidade, etc.) ou Minimização (pudendo ser de custos, perdas, etc.) Exemplo: Minimizar os custos de transporte. 10

11 c) Restrições: São regras que dizem o que podemos ou não fazer e quais são as limitações dos recursos ou atividades que estão associados ao modelo. Exemplo: O número total de caminhões despachados pela manhã é menor ou igual ao número de motoristas que a empresa tem a disposição no primeiro turno. 1.2 Programação Linear A programação linear é uma técnica de modelado matemático, desenhada para otimizar o uso de recursos limitados. Suposições da Programação Linear Existem 6 características necessárias nos problemas de programação linear: a) Divisibilidade b) Linearidade c) Aditividade d) Proporcionalidade e) Certeza f) Não Negatividade a) Divisibilidade: Este suposto indica que as variáveis podem ter valores fraccionários, isto é, em essência os valores que tomam as variáveis pertencem aos números reais. b) Linearidade: Neste caso as expressões algébricas para as variáveis só consideram expressões de ordem 1 e não permitem multiplicação entre as variáveis tanto na função objetivo, quanto nas restrições implementadas. b) Aditividade: Este suposto indica que os relacionamentos entre variáveis são de somas e subtrações, nenhuma outra operação além dessas. c) Proporcionalidade: Indica que as contribuições de cada variável de decisão são proporcionais ao valor da variável de decisão. As contribuições da variável de decisão acontecem tanto na função objetivo como no lado esquerdo das restrições. d) Certeza: Esta suposição indica que todos os parâmetros utilizados nos modelos são conhecidos com certeza. Muitas vezes essa suposição não é verdadeira, para isto, é necessário fazer a analise de sensibilidade com a finalidade de atender os parâmetros em questão. 11

12 e) Não Negatividade: Não Economia, Administração e em geral nas Ciências Sociais, as variáveis só aceitam valores positivos, isto é, as soluções se encontram no primeiro quadrante. 1.3 Exemplos usuais de problemas de Programação Linear i) Problema do Caminho Mínimo: Seu objetivo é determinar a rota de menor caminho (distância, tempo ou custo) existente entre um ponto de origem (cidade, endereço, computador, objeto etc.) e um ponto de destino. ii) Problema de Localização de Facilidades: Seu objetivo é determinar a localização e capacidade das facilidades (restaurantes, depósitos, antenas de rádio etc.) de forma a suprir a demanda da região toda com um custo mínimo e/ou lucro máximo (considerando um determinado período). Cada facilidade possui normalmente um custo fixo de instalação e custos variáveis de operação iii) Problema da Mochila: Seu objetivo consiste em determinar as capacidades adequadas de cada compartimento e como esses devem ser carregados, maximizando o valor de utilidade total, descontado o custo de incluir compartimentos. iv) Escolha da Mistura para Rações: Seu objetivo é formular uma ração formada a partir da mistura dos grãos que atenda às necessidades mínimas e máximas de nutrientes e tenha um custo mínimo. v) Bin-packing / Cutting Stock: Seu objetivo é determinar a quantidade mínima possível de barras para que sejam cortados todos os pedaços necessários para suprir a demanda. vi) Fornecimento de Produtos através de uma Rede de Transportes: Seu objetivo é determinar a quantidade do produto que cada fornecedor deve enviar para cada depósito, de forma que o custo total do transporte seja mínimo, que cada depósito tenha sua demanda atendida, e que nenhum depósito estoure sua capacidade de fornecimento. vii) Problemas de Produção: Seu objetivo é determinar as atividades que devem ser realizadas ou produzidas de forma a maximizar o lucro ou minimizar o custo de produção, levando-se em conta a quantidade máxima disponível para cada insumo. viii) O Problema de Designação (caso particular do problema de transporte): Seu objetivo é minimizar o custo total para executar um conjunto de tarefas, onde 12

13 cada tarefa deve ser executada por uma única máquina, e cada máquina executa uma única tarefa. 1.4 Construção do modelo de Programação Linear Para construir um modelo de programação linear é necessário seguir o modelo matemático apresentado na figura 1. Problema de Produção: Para entender o modelo matemático consideremos o seguinte exemplo, imaginemos que exista a empresa de tintas Bela que produz tintas para interiores e exteriores, ela utiliza para a produção dos dois tipos de tintas, dois tipos de matérias primas, digamos T 1 e T 2. A tabela a seguir proporciona a disponibilidade de Matéria Prima e sua utilidade por cada tipo de tinta. Toneladas de Materia Prima por Tonelada de Pintura Para Exteriores Para Interiores Materia Prima T Materia Prima T Utilidade por Tonelada (US$ 1.000,00) 5 4 Disponibilidade Máxima diaria (em Toneladas) Uma pesquisa de mercado restringe a demanda máxima diária de pintura para interiores a 2 toneladas. Além disso, a demanda diária de pintura para interiores não pode exceder a de pintura para exteriores por mais de uma tonelada. A empresa tintas Belas quer determinar a mistura de produto ótima para interiores e exteriores de forma que produza a máxima utilidade possível diariamente. Para estabelecer o modelo matemático apropriado o primeiro que se tem a fazer é definir claramente os três elementos da programação linear: a) Variáveis b) Função Objetivo c) Restrições a) Variáveis: Neste caso estamos frente a duas variáveis. Como a empresa precisa determinar as quantidades que se vão a produzir de pinturas para interiores e exteriores, as variáveis que se deverão definir são: X 1 := Toneladas diárias produzidas de pintura para exterior X 2 := Toneladas diárias produzidas de pintura para interior b) Função Objetivo: Neste caso nossa meta é maximizar a utilidade diária por toneladas de pintura, se definimos a Z como a utilidade diária por venda de pinturas para interiores ou para exteriores, nosso objetivo, então, pode ser reduzido a: 13

14 maximizar Z = 5 X X 2 c) Restrições: Para as restrições considerarmos todas aquelas que apresentam alguma limitação, neste caso a limitação é de disponibilidade máxima de matéria prima. Desta forma as restrições são: i) Emprego de Matéria Prima M 1 : ii) Emprego de Matéria Prima M 2 : 6 X X 2 24 X X 2 6 iii) Outra restrição importante esta no fato de que a pintura para interiores não pode exceder a pintura para exteriores em 1 tonelada, isto é: X 2 X 1 1 iv) Uma restrição refere-se a demanda máxima diária de pintura para interiores é de 2 toneladas, isto é: X 2 2 v) Como não é possível produzir valores negativos para ambos tipos de pintura, temos a restrição: X 1, X 2 0 Desta forma o modelo completo é definido por: maximizar Z = 5 X X 2 Sujeito a 6 X X 2 24 X X 2 6 X 2 X 1 1 X 2 2 X 1, X 2 0 Problema de Mistura para rações: Outro caso, poderíamos considerar, por exemplo, a empresa Completa, que utiliza diariamente pelo menos 800 Kgs de alimento especial. Este alimento especial é uma mistura de milho e semente de soja com a composição seguinte: 14

15 Alimento Especial Quantidade de quilos de composto por quilo de alimento especial Proteinas Fibras Custo/Kg Milho 0,09 0,02 0,30 Semente de Soja 0,60 0,06 0,90 Os requerimentos dietéticos diários de alimento especial consideram que pelo menos um 30% de proteínas e quanto muito 5% de fibras, devem ser considerados na mistura. A empresa Completa deseja determinar o custo mínimo diário de mistura de alimentos. Para a solução do presente exercício, precisamos seguir com os passos seguintes: a) Variáveis: Neste caso estamos frente a dois tipos de variáveis, estas são as que conformam o alimento especial, sendo estas: X 1 := Quantidade de quilogramas de milho X 2 := Quantidade de quilogramas de semente de soja b) Função Objetivo: Já que nosso interesse é minimizar o custo diário de mistura de alimentos, esta pode ser escrita por: minimizar Z = 0,30 X 1 + 0,90 X 2 c) Restrições: i) Conter 800 Kg de alimento especial X 1 + X 2 = 800 ii) Disponibilidade da proteína na mistura ou seja 0,09 X 1 + 0,60 X 2 30% (X 1 + X 2 ) - 0,21 X 1 + 0,06 X 2 0 iii) Disponibilidade de fibra na mistura 0,02 X 1 + 0,06 X 2 5% (X 1 + X 2 ) ou seja 0,03 X 1 0,01 X

16 iv) Restrição de não negatividade X 1, X 2 0 Em resumo o modelo pode ser definido por: Sujeito a minimizar Z = 0,30 X 1 + 0,90 X 2 X 1 + X 2 = 800-0,21 X 1 + 0,06 X 2 0 0,03 X 1 0,01 X 2 0 X 1, X 2 0 Problema de Transporte: Uma transportadora utiliza burros e jumentos para transportar cargas entre duas cidades. A capacidade de carga de um burro é de até 100 Kg, enquanto a do jumento é de até 50 Kg. Durante a viagem, um burro consome 3 montes de capim e 100 litros de água. Um jumento consome 2 montes de capim e 30 litros de água. A empresa possui várias estações de alimentação intermediárias entre as duas cidades. Estas estações dispõem, no momento, de 900 litros de água e 300 montes de capim. Os burros e jumentos utilizados pela firma são alugados e o preço do aluguel é de R$ 30,00 por burro e R$ 20,00 por jumento. Existe no momento uma necessidade de transporte de Kg. Quantos burros e jumentos devem ser utilizados de modo a minimizar o custo do aluguel pago? Para a elaboração do modelo matemático devemos considerar: a) Variáveis: X 1 := Quantidade de burros para o transporte X 2 := Quantidade de Jumentos para o transporte b) Função Objetivo: minimizar Z = 30 X X 2 c) Restrições: i) Consumo de Capim na viagem 3 X X ii) Consumo de Água na viagem 100 X X iii) Necessidade de Transporte 100 X X 2 =

17 iv) Não Negatividade X 1, X 2 0 Em forma resumida, temos: Sujeito a minimizar Z = 30 X X 2 3 X X X X X X 2 = 1000 X 1, X 2 0 Fornecimento de Produtos através de uma Rede de Transportes: Deseja-se transportar arroz de três armazéns (1, 2 e 3) a três centros consumidores distintos (A, B e C). Cada armazém apresentou os seguintes níveis de estoque de arroz em determinado mês: Os custos unitários de transporte ($/Kg) envolvidos são os seguintes: Qual será a quantidade de arroz a ser transportada entre armazém e cada centro consumidor, de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que o custo total de transporte seja mínimo? Para encontrar o modelo matemático, precisamos definir o seguinte: a) Variáveis: X 11 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 1} X 12 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 2} X 13 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 3} X 21 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 1} X 22 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 2} X 23 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 3} X 31 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 1} X 32 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 2} X 33 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 3} 17

18 b) Função Objetivo: Minimizar Z = 10 X X X X X X X X X 33 c) Restrições: Neste caso existem três tipos de restrições Estoques disponíveis nos armazéns 1, 2 e 3 X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X Quantidades demandadas nos centros consumidores A,B e C X11 + X21 + X X12 + X22 + X X13 + X32 + X Não negatividade X 11, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23, X 31, X 32, X Solução Gráfica de Programação Linear Para a solução gráfica o procedimento seguem os seguintes passos: a) O problema só poderá contemplar duas variáveis a serem avaliados b) Disponibilizar todas as retas no gráfico c) Identificar a direção das restrições d) Identificar o polígono com a região de possíveis soluções e) Testar a função objetivo em cada ponto do vértice do polígono Para a aplicação pratica da solução gráfica podemos considerar os casos seguintes: Problema de Produção: Sujeito a maximizar Z = 5 X X 2 6 X X 2 24 X X 2 6 X 2 X 1 1 X 2 2 X 1, X

19 Gráfico 1.- Polígono de interseção de restrições do Problema de Produção Como o polígono formado é OABCDE, tendo neste caso 5 vértices possíveis de solução, então: No Ponto A: temos que X 1 = 0 e X 2 = 1, desta forma o valor que toma a função objetivo é: Z A = 5 (0) + 4 (1) = 4 No ponto B: temos que X 2 = 2 e a reta X 2 X 1 = 1, desta forma X 1 = 1, então estes valores permitem obter uma função objetivo igual a: Z B = 5 (1) + 4 (2) = 13 No ponto C: temos que X 2 = 2 e a reta X X 2 = 6, desta forma X 1 = 2, então estes valores permitem obter uma função objetivo igual a: Z C = 5 (2) + 4 (2) = 18 No ponto D: temos a interseção das retas 6 X X 2 = 24 e X X 2 = 6, resolvendo o sistema de equações formada, temos que X 1 = 3 e X 2 = 3/2, então na função objetivo: Z D = 5 (3) + 4 (3/2) = 21 No ponto E: temos que X 1 = 4 e X 2 = 0, na função objetivo temos: Z E = 5 (4) + 4 (0) = 20 19

20 Como nosso interesse é escolher o valor maior dentre os obtidos, podemos concluir que a melhor solução se encontra no ponto D, oferecendo esta uma utilidade de US$ ,00 dólares pela produção diária de 3 toneladas de pintura para exteriores e de 1,5 toneladas diárias de pintura para interiores. Problema de Mistura para rações: minimizar Z = 0,30 X 1 + 0,90 X 2 Sujeito a X 1 + X 2 = 800-0,21 X 1 + 0,06 X 2 0 0,03 X 1 0,01 X 2 0 X 1, X 2 0 Gráfico 2.- Polígono de interseção de restrições do Problema de Mistura para Rações A solução ótima se encontra na região sombreada, como desejamos minimizar devemos encontrar o menor valor nos vértices do polinômio assim formado. No ponto A: Os valores de X 1 e X 2 se encontram na fronteira da interseção das retas X 1 +X 2 =800 e 0,03 X 1 0,01 X 2 = 0, desta forma X 1 = 200 e X 2 = 600, desta forma o valor da função objetivo é: Z A = 0,30 (200) + 0,90 (600) =

21 No ponto B: Os valores de X 1 e X 2 se encontram na fronteira da interseção das retas X 1 +X 2 =800 e -0,21 X 1 + 0,30 X 2 = 0, desta forma X 1 = 470,59 e X 2 = 329,41, desta forma o valor da função objetivo é: Z B = 0,30 (470,59) + 0,90 (329,41) = 437,65 Destas duas soluções encontramos que no ponto B, encontram-se o menor valor observado, pelo que podemos dizer que produzir alimento especial será necessário de 470,59 Kg de Milho, assim como de 329,41 Kg de sementes de soja, tendo desta forma um custo de R$ 437,65 por quilograma produzido de mistura. Problema de Transporte: Sujeito a minimizar Z = 30 X X 2 3 X X X X X X 2 = 1000 X 1, X 2 0 Gráfico 2.- Polígono de interseção de restrições do Problema de Transporte 21

22 Dadas às restrições colocadas o único ponto com solução possível é o ponto A, este ponto tem como pontos a interseção das retas 100 X X 2 = 900 e 100 X X 2 = 1000, sendo seus valores X 1 = 7,5 e X 2 = 5, obtendo a função objetivo seguinte: Z A = 30 (7,5) + 20 (5) = 325 Pelo que podemos dizer que com um mínimo de 8 burros e 5 jumentos poderemos ter um lucro de 340 unidades monetárias. 1.6 Analise Gráfico da Sensibilidade A análise de sensibilidade se faz porque se supõe que os coeficientes encontrados para as varáveis sejam constantes, mas no mundo real quase nunca se tem certeza da existência desses valores. Ao mudar os coeficientes pode se encontrar o seguinte: i) Possíveis variações nos coeficientes, não modificam a solução ótima. ii) Caso houver alteração significativa o que fazer para encontrar a nova solução ótima sem resolver novamente o problema. A analise de sensibilidade deve responder as seguintes perguntas: Qual é o efeito de uma mudança num coeficiente da função objetivo? Qual é o efeito de uma mudança num coeficiente nas restrições do modelo matemático? Qual é o efeito de uma mudança na disponibilidade das restrições? A analise de sensibilidade serve também para estabelecer hipóteses de certeza dos coeficientes, assim como a disponibilidade das restrições. Entre os tipos de analise de sensibilidade a considerar, temos: a) Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função objetivo e disponibilidades das restrições. b) Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima. Esta pode ser feita a través da alteração do problema e sua nova resolução. i) Estudo de Sensibilidade dos coeficientes da função objetivo Para fazer a analise de sensibilidade consideremos o Problema de Produção. 22

23 Do gráfico acima, observemos os seguintes fatos: As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois tem o ponto (3, 3/2) em comum. A diferencia entre as três retas encontra-se no coeficiente angular. A mudança de um coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da função objetivo. Daqui se entende que desde que o coeficiente angular da função objetivo estiver entre as duas retas limites a solução ótima não será alterada. Em forma geral uma Função Objetivo com duas variáveis pode ser representada pela expressão seguinte: Então a variável X 2 pode ser definido por: Z = c 1 X 1 + c 2 X 2... (1) Desta forma pretenderemos identificar as condições da Função Objetivo, em função das mudanças das duas retas que pertencem a família das retas a que pertencem a função objetivo, para isto, em ambas retas isolemos o valor de X 2 em ambas retas. Na reta 6 X X 2 = 24, temos:... (2) 23

24 Na reta X X 2 = 6, temos:... (3) Das expressões (1), (2) e (3), temos que: Considerando que c 2 se mantem constante na função objetivo, neste caso, c 2 = 4, então as variações que pode sofrer c 1 sem alterar a função objetivo é: 2 c 1 6 Da mesma forma se considerarmos c 1 = 5, constante, os valores que pode ser considerado por c 2 sem alterar a função objetivo é: 20/6 c 2 10 Observação: Em alguns casos pode acontecer que o limite de crescimento acontece quando a rotação da função objetivo passa pela vertical ou horizontal, nesses casos se disse que não existe limite inferior ou superior para os coeficientes. Gráfico 4.- Problema de declividade indeterminada ii) Mudanças na disponibilidade das Restrições Para isto o que se deseja é identificar o Preço Sombra do modelo, entendendose por preço sombra como aquele que contabiliza quanto o lucro total seria acrescido se a quantidade da disponibilidade da restrição aumentasse em uma unidade. Esta pode indicar o que esta sendo pago por não ter mais unidades do recurso (maximização do lucro) ou pode indicar o preço justo a ser pago por ter uma unidade extra do produto (minimização de custo). 24

25 Gráfico 5.- Mudanças da Restrição quantidade de Matéria Prima 1 No gráfico 5, observa-se que a quantidade de Matéria Prima 1, pode diminuir seu valor num máximo de 20 toneladas ocasionando uma redução do lucro de 3 mil dólares, enquanto que se a Matéria Prima 1, aumenta a 36 Toneladas, pode-se experimentar um aumento no lucro de 9 mil dólares, em termos simples a penalização (aumento ou diminuição do lucro por unidade aumentada ou diminuída de Matéria Prima 1) sofrida será de 0,75 mil dólares. Gráfico 6.- Mudanças da Restrição disponibilidade de Matéria Prima 2 No gráfico 6, quando a disponibilidade de matéria prima 2, experimenta uma redução em sua disponibilidade até em 2 toneladas, o efeito que isto produz no lucro é 25

26 na diminuição do lucro até em mil dólares, um aumento da disponibilidade matéria prima 2, em até 0,67 Toneladas, produz um incremento no lucro de até 0,33 mil dólares, isto quer dizer, que por cada mudança unitária na disponibilidade de toneladas de matéria prima 2, o lucro sofrerá um impacto de 0,5 milhes de dólares. Gráfico 7.- Mudanças da Restrição da comparação por tipos de Pinturas No gráfico 7, se pode experimentar mudanças na restrição de diferencias entre tipos de pinturas, observa-se que esta restrição só melhora em 2,5 unidades quando ele consegue chegar ao ponto D, que em este caso é o ponto de otimização, o que indica que mudanças não nesta restrição não afetam o aumento ou diminuição do lucro obtido pela empresa, desta forma variações unitárias desta restrição não afetam o comportamento da função objetivo. 26

27 Gráfico 8.- Mudanças na Restrição por capacidade máxima da pintura para Interiores Da mesma forma no gráfico 8, se pode observar que podemos diminuir até em 0,5 unidades da restrição capacidade máxima de pintura para Interiores, mas esta restrição não faz muito efeito sobre a lucratividade da empresa, isto é, variações unitárias desta restrição não produz efeitos significativos na função objetivo. 1.7 Exercícios Em cada um dos exercícios apresente o modelo matemático, a solução gráfica e um estudo da sensibilidade tanto da função objetivo como das restrições. 1. Certa empresa fabrica 2 produtos P 1 e P 2. O lucro por unidade de P 1 é de 100 um, e o lucro unitário de P 2 é de 150 um. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P 1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P 1 e P 2 não devem ultrapassar 40 unidades de P 1 e 30 unidades de P 2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 2. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizadas cereais e carne. Sabe-se que: A ração Tobi utiliza 5 Kg de cereais e 1 kg de carne, e ração Rex utiliza 4 Kg de carne e 2 Kg de cereais; O pacote de Tobi custa R$ 20,00 e o pacote de Rex custa R$ 30; O Kg de carne custa R$ 4,00 e o Kg de cereal custa R$ 1,00; Estão disponíveis por mês Kg de carne e Kg de cereais. Deseja-se saber qual é a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro. 3. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 reais e o de cinto é de 4 reais, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 4. Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária 27

28 é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa?. 5. Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para irrigação de litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá litros de água. 6. Para uma determinada área, utilizada para o plantio de Soja e Algodão, calcula-se, que há 800 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que são necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 40 homens-horas por hectare de algodão. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6.00, dividida da seguinte forma: $ 300 por hectare de soja e $ 100 por hectare de algodão. Como organizar esta área de plantio se é sabido que as margens de lucro esperadas são $ 100 por hectare de soja e $ 80 por hectare de algodão? 7. Um açougue prepara almôndegas misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contem 80% de carne e 20% de gordura e custa R$ 0,80 o Kg; a carne de porco contém 68% de carne e 32% de gordura e custa R$ 0,60 o Kg. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco deve o açougue utilizar por quilograma de almôndega se se deseja minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25% 8. Uma empresa siderúrgica adquire petróleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e óleo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana, um estoque mínimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? 9. Uma empresa do ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40 m 3 de pinho e 80 m 3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$ 5,00 por m 3 e a madeira compensada dá um lucro de 28

29 R$0,70 por m 2. Para produzir uma mistura comerciável de 1 metro cúbico de madeira serrada são requeridos 1 m 3 de pinho e 3 m 3 de canela. Para produzir 100 m 2 de madeira compensada são requeridos 3 m 3 de pinho e 5 m 3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m 3 de madeira serrada e 900 m 2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro de tal forma a usar o máximo possível do estoque de matéria prima e produzir, no mínimo, o compromisso contratual? 10. Uma micro empresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Quantas unidades de cada jogo devem ser produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro?. 11. A loja de comestíveis B&K vende dois tipos de bebidas não alcoólicas, a marca de sabor A1 e a marca da loja. A utilidade por lata da bebida A1 é de 5 centavos de dólar, e pela bebida B&K é de 7 centavos de dólar. Em média, a loja não vende mais de 500 latas de ambas bebidas ao dia. Devido ao preço da bebida as pessoas preferem mais a bebida B&K. Calcula-se que as vendas da marca B&K superam à marca A1 numa relação de 2:1 pelo menos. B&K vende como mínimo 100 latas de A1 ao dia. Quantas latas de cada marca devem ter em existência a loja diariamente para maximizar sua utilidade. 12. A empresa Popeye tem um contrato para receber libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, com isto produz suco de tomate enlatado, assim como a pasta de tomate. Os produtos de tomate em lata são dispostos em caixas de 24 latas. Uma lata de suco precisa uma libra de tomates frescos e uma lata de pasta só precisa de 1/3 de libra. O mercado ganho pela empresa Popeye é limitado por caixas de suco e caixas de pasta. Os preços por caixa de suco e de pasta são de 18 e 9 dólares respectivamente. Desenvolva um programa de produção ótima para a empresa Popeye. 13. Blending de Minério: Uma empresa de mineração deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhões de toneladas por ano do minério Sind Fedd e, para tanto, conta com os seguintes minérios ( a tabela abaixo mostra a composição porcentual e o custo/tonelada de cada minério): M1 M2 Fe 66% 64% Si 1,5% 3,7% Custo 5,60 3,30 O minério a ser produzido por este Blending deve conter no mínimo 65% de Ferro e no máximo 3% de Silício. Qual é o blending a custo mínimo? 29

30 14. A PC-Express é uma loja de computadores que vende dois tipos de microcomputadores: desktops e laptops. A empresa ganha R$600,00 por cada desktop vendido e R$900,00 por cada laptop vendido. Os computadores que a PC- Express vende são montados por outra empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de forma que não poderá montar mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os funcionários da PC-Express gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops. No caso dos laptops eles gastam 3 horas. No próximo mês os empregados da PC-Express trabalharão 300 horas nessas atividades. A PCExpress quer saber quantos desktops e laptops serão solicitados à empresa que faz a montagem, de forma a maximizar seu lucro. Formule e resolva o problema de programação linear. 15. Uma pequena siderúrgica recebe encomenda de um lote de lingotes de ferro que deverá totalizar 240 toneladas de conteúdo do elemento ferro (Fe). O cliente admitirá que o lote homogêneo tenha quantidades adicionais do elemento silício (Si), mas para cada tonelada de Si deverá haver na liga pelo menos 15 toneladas de Fe. A firma tem em estoque quantidade mais que suficiente: Minério do tipo A (min A), que custa R$6.000,00 cada centena de toneladas e que tem2% de Si e 60% de Fe. Minério do tipo B (min B), que custa R$3.000,00 cada centena de toneladas e que tem 4% de Si e 40% de Fe. A firma tem ainda a oportunidade de usar como matéria-prima uma sucata de boa qualidade, que custa R$2.500,00 a tonelada, e que possui praticamente 100% de Fe. Formule o problema de programação linear que calcula a mistura de mínimo custo de matérias-primas necessárias para a produção dos lingotes encomendados. 16. Uma fábrica manufatura 5 tipos de prateleiras ( p 1, p 2, p 3, p 4, p 5) utilizando dois processos de produção (processo normal (N) e processo acelerado (A)). Cada produto requer certo número de horas para ser trabalhado dentro de cada processo e alguns produtos só podem ser fabricados através de um dos tipos de processos. O quadro a seguir resume o consumo (em horas) dentro de cada esquema de fabricação e os lucros obtidos (em R$) após a dedução dos custos de produção. Prateleiras p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 Lucro/Unidade (R$) Processo Normal (horas) Processo Acelerado (horas)

31 A montagem final de cada prateleira requer 16 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica possui 3 máquinas para o processo normal e 2 para o processo acelerado. As máquinas trabalham em dois turnos de 8 horas por dia, em um regime de 6 dias semanais. Uma equipe de 8 homens trabalha em turno único de 8 horas e durante 6 dias, na montagem das prateleiras junto aos clientes. Formule o problema de programação linear que calcula o melhor esquema de produção. 17. Um investidor pode investir dinheiro em duas atividades A e B disponíveis no início dos próximos 5 anos. Cada $1 investido em A no começo de um ano retorna $1,40 (um lucro de $0,40) dois anos mais tarde (a tempo de imediato reinvestimento).cada $1 investido em B no início de um ano retorna $1,70, três anos mais tarde. Existem ainda 2 atividades C e D que estarão disponíveis no futuro. Cada $1 investido em C no início do segundo ano retorna $2,00, quatro anos mais tarde. Cada $1 investido em D no começo do quinto ano, retorna $1,30 um ano mais tarde. O investidor tem $ Ele deseja conhecer como investir de maneira a maximizar a quantidade de dinheiro acumulado no início do sexto ano. Formule um modelo de Programação Linear para este problema. Considere que não há inflação. 18. Com seus conhecimentos do curso, um aluno calcula que poderia se preparar com perfeição para o exame de uma certa disciplina D1 em 20 horas de estudo intensivo. Para uma outra disciplina D2 ele precisa de 25 horas. Para passar, ele precisa obter no mínimo 50 pontos (num máximo de 100) em cada uma delas. Além disso, ele deseja alcançar a maior média ponderada possível, sendo 3 e 5 os pesos de D1 e D2 respectivamente. Ele dispõe de apenas 30 horas para estudar. Formule o problema como um modelo de Programação Linear, a fim de obter a distribuição das horas de estudo, considerando proporcionalidade entre o esforço e o rendimento de seus estudos. 19. Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro quer saber as áreas de arroz (x 1 ) e milho (x 2 ) que devem ser plantadas para que o seu lucro nas plantações sejam o máximo. O seu lucro por unidade de área plantada de arroz é 5 u.m., e por unidade de área plantada de milho é 2 u.m. As áreas plantadas de arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 Respectivamente. Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homem hora. Cada unidade de área plantada de milho consome 2 homens-hora. O consumo total de homens hora nas duas plantações não deve ser maior que 9. Resolva o problema utilizando o método gráfico. 31

32 20. Uma escola prepara uma excursão para 400 alunos. A empresa de transporte possui 8 ônibus de 40 lugares e 10 de 50 lugares mas, somente dispõe de 9 motoristas. O aluguel de um ônibus grande custa R$1.800,00 e de um pequeno R$1.000,00. Calcular quantos ônibus de cada tipo devem ser utilizados para que a excursão resulte o mais econômica possível para a escola. Construa o modelo de programação linear correspondente e resolva aplicando o método gráfico. 32

33 Unidade 2 33

34 34

35 CAPITULO 2: SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO SIMPLEX O método SIMPLEX é um algoritmo desenvolvido por George B. Dantzig em 1947, é uma técnica popular para dar soluções de programação linear. A Idea Básica deste método consiste em resolver repetidamente um sistema de equações lineares para obter uma sucessão de soluções básicas, cada uma melhor que as anteriores, até chegar a uma solução básica ótima. O nome SIMPLEX é derivado de uma generalização do conceito de triângulo a outras dimensões. O método usa o conceito de polítopo de N+1 vértices em N dimensões. Exemplo de Polítopo: 0 SIMPLEX é um ponto 1 SIMPLEX é um segmento de reta 2 SIMPLEX é um triângulo 3 SIMPLEX é um tetraedro Para efetuar o método SIMPLEX devemos passar um modelo matemático a solução básica, para isto, teremos que definir os seguintes conceitos: 2.1 Variável de Folga: É aquela variável que identifica quanto falta para completar a restrição, esta é considerada como uma variável fictícia, usualmente é usada nas restrições de tipo. Exemplo: Nosso desejo é que esta inequação seja convertida em equação, para isto, devemos incrementar uma variável adicional, podendo ser: Onde S 1 é chamada de variável de folga. 2.2 Variável de Superávit São aquelas variáveis que diminuem o valor da restrição numa inequação, para lograr converter a uma equação, esta também é considerada variável fictícia, é usualmente usada nas restrições de tipo. 35

36 Exemplo: Como desejamos converter a igualdade a inequação acima, então criamos a variável de superávit S 1, e o disponibilizamos da forma a seguir: Onde S 1 é chamada de variável de superávit. 2.3 Variável não restrita Existem situações nas quais uma variável pode assumir qualquer valor real. Neste caso a variável em questão pode ser definida como a diferencia de duas variáveis não negativas. Consideramos que seja uma variável irrestrita, então podemos considerar dois valores, e, de forma que Exemplo: Se, então podemos definir e, de forma que. 2.4 Algoritmo SIMPLEX Geral Em termos gerais o algoritmo SIMPLEX segue a seguinte estrutura: a) INICIO: Identificar uma solução básica admissível inicial Nesta parte se procura levar as inequações a equações, conformando-se desta forma a solução básica do modelo matemático proposto. b) ITERAÇÃO: Passar a uma solução básica admissível melhor Para isto será necessário fazer as seguintes perguntas: Que variável deve de entrar como solução do sistema? Que variável deve de sair da solução do sistema? A ideia é melhorar a função objetivo com a saída e entrada de variáveis na solução do sistema de equações. 36

37 c) PARAGEM: O algoritmo para quando não houver mais variáveis que possam entrar como solução ao sistema de equações. 2.5 EXEMPLO DO USO DO ALGORITMO SIMPLEX Exemplo1: Problema extraído de Caixeta-Filho (2001), adaptado de Hillier e Lieberman (1988) Certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não lucrativo. Isso criou uma considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção e o número de horas de máquinas requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecida como coeficiente de produtividade (em horas de máquinas por unidade), está resumida na tabela a seguir: Tipo de Produtos Tempo disponível Maquina (horas de máquina) A B C O lucro unitário estimado é de US $ 30,00, US $ 12,00 e US $ 15,00, respectivamente, para os produtos 1, 2 e 3. Determine a quantidade de cada produto que a agroindústria deve produzir para maximizar seu lucro. Para a interpretação do modelo matemático precisamos os seguintes procedimentos: a) Definição das variáveis: b) Definição das restrições do modelo: X 1 : Quantidade a produzir pela máquina 1 X 2 : Quantidade a produzir pela máquina 2 X 3 : Quantidade a produzir pela máquina 3 Restrições que sofrem o sistema dependem do tempo disponível de produção, da tabela de coeficiente de produtividade, temos: Maquina A: 9 X X X horas Maquina B: 5 X X horas 37

38 Maquina C: 3 X X horas c) Definição da Função Objetivo O que é o que se deseja? ==> Maximizar Lucros Maximizar Z = 30 X X X 3 Desta forma o modelo matemático é definido por: Sujeito a Maximizar Z = 30 X X X 3 9 X X X X X X X X 1, X 2, X 3 0 Procedimento SIMPLEX a) INICIO: Identificar uma solução básica admissível inicial Esta metodologia trabalha com pontos de igualdade, isto é, se temos equações com desigualdades devemos converter a equações de igualdade, desta forma o modelo matemático muda ao seguinte formato 9 X X X 3 + S 1 = X X 2 + S 2 = X X 3 + S 3 = 150 X 1, X 2, X 3, S 1, S 2, S 3 0 Como S 1, S 2, S 3 são variáveis de folga o valor que representa na função objetivo é nula, desta forma a função objetivo é definida por: Z - 30 X 1-12 X 2-15 X 3-0 S 1-0 S 2-0 S 3 = 0 A partir destas equações podemos gerar a solução básica do SIMPLEX da forma seguinte: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z Z S S S As variáveis que podem entrar são todas aquelas que estão atuando como inicio de coluna na tabela acima e as variáveis que podem sair são todas as variáveis que estão colocadas como inicio da linha na tabela acima. 38

39 b) ITERAÇÃO: Passar a uma solução básica admissível melhor Iteração 1: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável X 1. Encontrar a razão que é a relação entre as disponibilidades das restrições e os coeficientes da variável que entra, neste caso A escolha da variável que sai será aquele que proporcione o menor valor entre os valores positivos, caso de ter no sistema razões negativas, não serão considerados como solução, o mesmo acontece com valores infinitos, eles levam a resultados in determinados A variável que sai é aquela que apresenta a menor razão entre as variáveis soluções do modelo, neste caso a variável S 3. O seguinte passo é incluir a variável X 3 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 3) a toda linha da variável que entra, obtendo: Agora se devem preencher os espaços em branco, de a forma a seguir: 39

40 Obtendo Devemos perguntar: na linha do Z existem valores negativos? > SIM!!!!!!!! Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 2: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável X 2, a variável que sai é S 1, por ser a variável que menor razão apresenta O seguinte passo é incluir a variável X 2 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 3) a toda linha da variável que entra, obtendo: 40

41 Agora se devem preencher os espaços em branco, de a forma a seguir: Então o resultado obtido é Devemos perguntar: na linha do Z existe valores negativos? SIM! Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 3: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável S 3, a variável que sai é S 2, por ser a variável que menor razão apresenta 41

42 O seguinte passo é incluir a variável X 2 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 7/3) a toda linha da variável que entra, obtendo: Os cálculos para a interação são as seguintes: Daqui o resultado desta iteração é: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z Z 0 0-5/7 20/7 6/ /7 X /21-5/21 3/ /21 S /7-4/7 3/ /7 X /21 4/21-1/ /21 Devemos perguntar: na linha do Z existe valores negativos? SIM! 42

43 Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 4: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível na função objetivo, em nosso caso é a variável X 3, a variável que sai é X 1, por ser a variável que menor razão apresenta O seguinte passo é incluir a variável X 3 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 20/21) a toda linha da variável que entra, obtendo: Z X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z X 2 S 3 X 3 21/ /5-3/ /20 = 47,5 Os outros valores são obtidos a partir das operações seguintes c) PARAGEM Os resultados destes cálculos apresenta a seguinte solução: 43

44 Devemos perguntar: na linha do Z existe valores negativos? ] NÃO Então paramos de utilizar a metodologia SIMPLEX Segundo o resultado do método SIMPLEX, temos que: X 1 = 0 Não se produz nada da maquina 1; X 2 = 87,5 É necessário produzir 87,5 unidades da maquina 2; X 3 = 47,5 É necessário produzir 47,5 unidades da maquina 3; S 3 = 55 temos 55 horas disponíveis na maquina C; S 1 = S 2 = 0 Consumimos todas as horas das máquinas A e C; Contudo teremos um lucro de: Z = R$1.762,50 Exemplo 2: Extraída do Livro Pesquisa Operacional de Caixeta Filho Um produtor comprou uma propriedade com 500 ha de pasto. Ele tem um capital de $ para gastar na compra de gado bovino ou ovino. Os preços de mercado, os lucros anuais estimados por animal e o número de hectares requeridos por animal são dados na tabela a seguir: Determine a melhor combinação de investimentos a ser perseguida. Se bem é certo este problema exige uma programação inteira, já que o resultado adequado é um valor inteiro em sua colocação, mas para efeitos de exemplificar esta seção consideraremos que podemos ter frações de bichos (Gados ou Carneiros). Para a interpretação do modelo matemático precisamos os seguintes procedimentos: a) Definição das variáveis: X 1 : Quantidade de Carneiro Merino X 2 : Quantidade de Gado Herefold X 3 : Quantidade de Carneiro Romey 44

45 b) Definição das restrições do modelo: O produtor comprou a propriedade com 500 ha de pasto, isto é: X X 2 + 0,5 X Ele tem um capital de $ para adquirir algum das três espécies de animais c) Definição da Função Objetivo 7 X X X Nosso objetivo é que com a adequada compra destes animais o proprietário possa lucrar, desta forma: Maximizar Z = 12 X X X 3 Desta forma o modelo matemático é definido por: Sujeito a Maximizar Z = 12 X X X 3 X X 2 + 0,5 X X X ,0 X X 1, X 2, X 3 0 Procedimento SIMPLEX a) INICIO: Identificar uma solução básica admissível inicial X X 2 + 0,5 X 3 + S 1 = X X ,0 X 3 + S 2 = X 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Como S 1, S 2 são variáveis de folga o valor que representa na função objetivo é nula, desta forma a função objetivo é definida por: Z - 12 X 1-40 X 2-7 X 3-0 S 1-0 S 2-0 S 3 = 0 A partir destas equações podemos gerar a solução básica do SIMPLEX da forma seguinte: 45

46 X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z Z S S S As variáveis que podem entrar são todas aquelas que estão atuando como inicio de coluna na tabela acima e as variáveis que podem sair são todas as variáveis que estão colocadas como inicio da linha na tabela acima. b) ITERAÇÃO: Passar a uma solução básica admissível melhor Iteração 1: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável X 1. Encontrar a razão que é a relação entre as disponibilidades das restrições e os coeficientes da variável que entra, neste caso A escolha da variável que sai será aquele que proporcione o menor valor entre os valores positivos, caso de ter no sistema razões negativas, não serão considerados como solução, o mesmo acontece com valores infinitos, eles levam a resultados in determinados A variável que sai é aquela que apresenta a menor razão entre as variáveis soluções do modelo, neste caso a variável S 3. O seguinte passo é incluir a variável X 3 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 3) a toda linha da variável que entra, obtendo: Agora se devem preencher os espaços em branco, de a forma a seguir: 46

47 Obtendo Devemos perguntar: na linha do Z existem valores negativos? SIM! Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 2: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável X 2, a variável que sai é S 1, por ser a variável que menor razão apresenta O seguinte passo é incluir a variável X 2 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 3) a toda linha da variável que entra, obtendo: 47

48 Agora se devem preencher os espaços em branco, de a forma a seguir: Então o resultado obtido é Devemos perguntar: na linha do Z existem valores negativos? SIM! Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 3: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível, em nosso caso é a variável S 3, a variável que sai é S 2, por ser a variável que menor razão apresenta O seguinte passo é incluir a variável X 2 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 7/3) a toda linha da variável que entra, obtendo: 48

49 Os cálculos para a interação são as seguintes: Daqui o resultado desta iteração é: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z Z 0 0-5/7 20/7 6/ /7 X /21-5/21 3/ /21 S /7-4/7 3/ /7 X /21 4/21-1/ /21 Devemos perguntar: na linha do Z existe valores negativos? SIM! Então seguimos utilizando a metodologia SIMPLEX Iteração 4: Identificar a variável que entra, que será a variável cujo valor é a mais negativa possível na função objetivo, em nosso caso é a variável X 3, a variável que sai é X 1, por ser a variável que menor razão apresenta O seguinte passo é incluir a variável X 3 na tabela SIMPLEX e dividi-la pelo pivô (o valor 20/21) a toda linha da variável que entra, obtendo: 49

50 Z X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 Z X 2 S 3 X 3 21/ /5-3/ /20 = 47,5 Os outros valores são obtidos a partir das operações seguintes c) PARAGEM Os resultados destes cálculos apresenta a seguinte solução: Devemos perguntar: na linha do Z existe valores negativos? > NÃO!!!!!!!! Então paramos de utilizar a metodologia SIMPLEX Segundo o resultado do método SIMPLEX, temos que: X 1 = 0 Não se produz nada da maquina 1; X 2 = 87,5 É necessário produzir 87,5 unidades da maquina 2; X 3 = 47,5 É necessário produzir 47,5 unidades da maquina 3; S 3 = 55 temos 55 horas disponíveis na maquina C; S 1 = S 2 = 0 Consumimos todas as horas das máquinas A e C; Contudo teremos um lucro de: Z = R$1.762,50 50

51 2.6 Solução de um problema de Programação Linear pelo Software SOLVER do Excel Para instalar o recurso Solver, clique em Suplementos no menu Ferramentas e marque a caixa de seleção Solver, Clique em OK e o Excel instalará o recurso Solver, Após a instalação do suplemento, você poderá executá-lo clicando em Solver no menu Ferramentas. Para resolver o problema na planilha, devemos definir células para representar as variáveis de decisão, uma célula para representar o valor da função objetivo e também devemos representar as restrições. Para entender o Solver consideramos o seguinte exemplo: Exemplo 3. O Sr. A. Galo, diretor - técnico de um aviário, pretende determinar a composição da alimentação que deverá ser fornecida diariamente aos animais misturando rações, de forma a conseguir certa qualidade nutritiva a um custo mínimo. Os dados relativos ao custo e às propriedades nutritivas de cada tipo de ração constam da tabela abaixo. Propriedades Ração Quantidade Unidades Nutritivas Super Galo Extra Galo Milho Minima Requerida Energia Calorias/Kg Vitaminas u.i./kg Proteinas gr/kg Custo U.M./Kg Ração a) Definição das variáveis: b) Definição das restrições do modelo: X 1 : Quantidade de Ração Super Galo X 2 : Quantidade de Ração Extra Galo X 3 : Quantidade de Ração de Milho Quantidade de Calorias/Kg necessária para produzir a ração: 500 X X X Quantidade de Vitaminas por Kg necessária para produzir a razão: 300 X X X Quantidade de Proteínas por Kg necessária para produzir a razão: 51

52 60 X X X 3 20 c) Definição da Função Objetivo Nosso objetivo é conseguir certa qualidade nutritiva a um custo mínimo, desta forma: Minimizar Z = 250 X X X 3 Desta forma o modelo matemático é definido por: Sujeito a Minimizar Z = 250 X X X X X X X X X X X X 3 20 X 1, X 2, X 3 0 caso No Excel devemos criar um espaço que define as variáveis em estudo, neste Uma vez composto a estrutura, devemos utilizar o SOLVER para encontrar a solução, da maneira seguinte, primeiro no Excel fazer um click em Dados e logo em Solver, como se indica abaixo. 52

53 Uma vez feito o passo anterior se abre a janela parâmetros do Solver, aqui em principio devemos definir Objetivo e as Células Variáveis, como se amostra a continuação: Após temos que introduzir as restrições, neste caso se deve clicar no ícone Adicionar, da forma seguinte: 53

54 Agora só falta a inclusão da disponibilidade Mínima na janela de restrição, da maneira seguinte: Após fazer OK, voltamos a janela inicial de Parâmetros do Solver, tendo que fazer o seguinte: 54

55 Para nossa solução devemos assegurar que esses dois elementos em circulo estejam ativados, após fazer um click em Resolver, obtendo a resposta seguinte: Observemos que: X1 = 0 X2 = 0 X3 = 0,75 Z = 75 De Calorias se precisou 225 De Vitaminas se precisou 150 De Proteínas se precisou 22,5 55

56 2.7 Exercícios 1. Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ /mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic- Tac. 2. Uma empresa do ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40 m 3 de pinho e 80 m 3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$ 5,00 por m 3 e a madeira compensada dá um lucro de R$0,70 por m 2. Para produzir uma mistura comerciável de 1 metro cúbico de madeira serrada são requeridos 1 m 3 de pinho e 3 m 3 de canela. Para produzir 100 m 2 de madeira compensada são requeridos 3 m 3 de pinho e 5 m 3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m 3 de madeira serrada e 900 m 2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro de tal forma a usar o máximo possível do estoque de matéria prima e produzir, no mínimo, o compromisso contratual? 3. A empresa PARMALAT tem duas maquinas distintas para processar leite puro e produzir leite desnatado, manteiga ou queijo. A quantidade de tempo necessário em cada maquina para produzir cada unidade de produto resultante e os lucros netos são proporcionados na tabla a seguir: Unidade LEITE MANTEIGA QUEIJO DESCREMADO MAQUINA #1 (min/galão) 0,2 0,5 1,5 MAQUINA #2 (min/galão) 0,3 0,7 1.2 LUCRO NETO (US$/Galão) 0,22 0,38 0,72 Supondo que se dispõe de 8 horas em cada maquina diariamente, como Gerente do Departamento de Administração, formule um modelo para determinar um plano de produção diária que maximize os lucros netos e que produza um mínimo de 300 galões de leite desnatada, 200 libras de manteiga e 100 libras de queijo. 56

57 4. Uma certa corporação tem três fábricas filiais com capacidade de produção excedente. As três unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência decidido utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode ser feito em três tamanhos - grande, médio e pequeno -, os quais geram um lucro unitário líquido de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas l, 2 e 3 têm capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do produto por dia, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque de produtos em processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 têm 1.170, e 450 metros quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em processo, em um dia de produção, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, produzida por dia, requer 1,80; 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, e 750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter uma carga de trabalho uniforme entre as fábricas, e para reter algum tipo de flexibilidade, a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento. A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro (HILLIER e LIEBERMAN, 1988). 5. Uma fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que proporcionam lucros unitários da ordem de $ 16, $ 30 e $ 50, respectivamente. As exigências de produção mínimas mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B e 60 para o modelo C. Cada tipo de implemento requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. Especificamente, uma dúzia de unidades do modelo A requer três horas para fabricar, quatro horas para montar e uma para testar. Os números correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma dúzia de unidades do modelo C, são 5, 8 e 3. Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Formule e resolva o problema de programação de produção como um modelo de programação linear (CAIXETA-FILHO, 2001, adaptado de WAGNER, 1986). 6. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: 57

58 Um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; Um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20 respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro (ANDRADE, 2000). 7. A LCL Equipamentos produz 3 tipos de furadeiras que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricado, um custo de preparação da fábrica é incorrido (ajustes que devem ser feitos na linha de montagem). Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo serão produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Os dados relevantes à análise do problema encontram-se na tabela a seguir. Encontre as quantidades a serem fabricadas para maximizar o lucro do próximo mês. 8. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açucar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alq) e irrigação ( litros de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire no ano Usar uma terça parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e litros de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00 / Alqueire no ano Disponibilidade de recursos por ano: litros de água, kg de adubo e 100 alqueires de terra. 58

59 Quantos alqueires deverão destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 9. Uma tarefa é constituída de três operações: Preparação, Embalagem e Transporte. As capacidades máximas diárias de cada seção são: Preparação: 160 up (unidades de preparação), Embalagem: 240 ue (unidades de embalagem), Transporte: 170 ut (unidades de transporte). A manipulação de uma unidade de produto A exige 5up, 10ue e 5ut; para o produto B, cada unidade exige 2up, 2ue e 6ut; uma unidade do produto C exige 8up, 6ue e 3ut. Os lucros líquidos de cada unidade A, B e C são, respectivamente 10, 8, 5 unidades monetárias. Formule o programa de tarefas (decisão quanto às quantidades de A, B e C), sob a forma de um Modelo de Programação Linear, de modo a maximizar o lucro líquido total sem ultrapassar as capacidades máximas das seções. 10. Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada é de 1800 Kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 Kg por unidade de área plantada de arroz e 2900 Kg por unidade de área plantada de milho. Para atender o consumo interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo ,0 Kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de 0,20 R$/Kg, o arroz 0,15 R$/Kg e o milho 0,11 R$/Kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que seu lucro seja o maior possível? 11. Em uma fazenda deseja-se fazer Quilos de ração com o menor custo possível. De acordo com as recomendações do veterinário dos animais da fazenda, a mesma deve conter: 15% de proteína. Um mínimo de 8% de fibra. No mínimo 1100 calorias por Quilo de ração e no máximo 2250 calorias por Quilo. Para se fazer a ração, estão disponíveis 4 ingredientes cujas características técnico-econômicas estão mostradas abaixo:(dados em %, exceto calorias e custo) A ração deve ser feita contendo no mínimo 20% de milho e no máximo 12% de soja. Formule um modelo de Programação Linear para o problema. 59

60 12. Uma fábrica de papel recebeu 3 pedidos de rolos de papel com as larguras e comprimentos mostrados abaixo: A fabrica tem que produzir os pedidos a partir de 2 rolos de tamanho padrão que tem 100 e 200 centímetros de largura e cumprimento muito grande (para efeitos práticos pode-se considerar infinito). Os rolos dos pedidos não podem ser emendados na largura embora possam ser emendados no cumprimento. Deseja-se determinar como devem ser cortados os 2 rolos de tamanho padrão para atender os pedidos, com o objetivo de que a perda de papel seja a mínima possível. 13. O gerente de um restaurante que está encarregado de servir o almoço, em uma convenção, nos próximos 5 dias tem que decidir como resolver o problema do suprimento de guardanapos. As necessidades para os 5 dias são 110, 210, 190,120 e 100 unidades respectivamente. Como o guardanapo é de um tipo especial, o gerente não tem nenhum em estoque e suas alternativas durante os 5 dias são: Comprar guardanapos novos ao preço de $10 cada um. Mandar guardanapos já usados para a lavanderia onde eles podem receber 2 tratamentos: (a)devolução em 48 horas ao preço de $3 a peça. (b) Devolução em 24 horas ao preço de $5 a peça. Considerando que o objetivo do gerente é minimizar o custo total com os guardanapos formule um modelo de Programação Linear para o problema. As seguintes observações devem ser levadas em conta: O tempo da lavanderia é considerado ser exato, ou seja, o guardanapo enviado as 15 horas de um dia volta as 15 horas do dia seguinte (serviço de 24 horas) ou seja após o almoço. Idem para o serviço de 48 horas. Após a convenção os guardanapos serão jogados no lixo. 60

61 14. A Motorauto S/A fabrica 3 modelos de automóveis nas suas fábricas: Modelo de cilindradas (c.c.), modelo de c.c. e modelo de c.c. Um problema trabalhista faz prever uma greve prolongada na fábrica 1 num futuro muito próximo. Para fazer frente a esta situação, a direção da empresa decidiu preparar um plano excepcional de produção e vendas para o próximo período, pressupondo que não haverá produção na fábrica 1 durante este período. Neste mesmo período, a capacidade de produção da fábrica 2 será de unidades de c.c., ou unidades de c.c. ou unidades de c.c. ou qualquer combinação apropriada destes 3 modelos. Uma combinação apropriada pode ser, por exemplo, unidades de c.c.(50% da capacidade), 900 unidades de c.c. (30% da capacidade) e 400 modelos de c.c. (20% da capacidade). Analogamente a fábrica 3 tem capacidade para modelos de c.c. ou modelos de c.c. ou qualquer combinação apropriada destes 2 modelos, não sendo o modelo de c.c. produzido nesta fábrica. Cada automóvel de c.c. é vendido por $1.150, cada modelo de c.c. é vendido por $1.450 e cada modelo de c.c. é vendido por $ O custo de produção na fábrica 2 é de $875, $1.200 e $1.450 para cada unidade produzida dos modelos de c.c., c.c. e c.c. respectivamente. Por sua vez o custo de produção na fábrica 3 é de $900 para cada unidade produzida do modelo de c.c. e de $1.100 para cada unidade do modelo de c.c. A empresa assumiu compromissos que a obrigam a fornecer unidades do modelo de c.c. para exportação. Por outro lado, dada a queda na procura pelos modelos de c.c. e c.c., o departamento comercial estima em e unidades as vendas máximas destes 2 modelos, respectivamente. Como o modelo de c.c. é atualmente um grande sucesso comercial, não existe limitação para suas vendas. No início do período, os estoques dos 3 modelos são de 200 unidades do modelo de c.c., 600 unidades do modelo de1.400 c.c. e 200 unidades do modelo de c.c. É possível, dados os últimos acordos assinados, importar da Argentina até 500 unidades do modelo de c.c. Cada modelo importado custará $ Considerando que o objetivo da Motorauto é maximizar seus lucros, formule um modelo de Programação Linear para o problema. 15. Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de um certo produto ao Rio de Janeiro e a São Paulo, pretende estabelecer um plano de distribuição do produto a partir dos centros produtores situados em Belo Horizonte, Ribeirão Preto e Campos. As quantidades semanalmente disponíveis em B.Horizonte, R.Preto e Campos são 70, 130 e 120 toneladas respectivamente. O consumo semanal previsto deste produto é de 180 toneladas no Rio e 140 toneladas em S.Paulo. Os custos de transporte, em $/ton, de cada centro produtor para cada centro consumidor está dado abaixo: 61

62 Considerando que o objetivo da empresa é minimizar seu custo total de transporte, formule um modelo de Programação Linear para o problema. 16. Na produção de unidades de 4 tipos de produtos, são utilizadas 2 máquinas. O tempo utilizado na fabricação de cada unidade, de cada tipo de produto, em cada uma das 4 máquinas está dado na tabela abaixo: O custo total de produção de uma unidade de cada produto é diretamente proporcional ao tempo de uso da máquina. Considere que o custo por hora para as máquinas 1 e 2 são $10 e $15 respectivamente. O total de horas disponíveis para todos os produtos nas máquinas 1 e 2 são 500 e 380 respectivamente. Se o preço de venda, por unidade, dos produtos 1, 2, 3 e 4 é de $65, $70, $55 e $45, formule o problema como um modelo de Programação Linear com o objetivo de maximizar o lucro líquido total. 17. Uma companhia de aviação está considerando a compra de aviões de passageiros de 3 tipos: de pequeno curso, de curso médio e de longo curso. O preço de compra seria de $6,7M para cada avião de longo curso, $5M para aviões de médio curso e $3,5M para aviões de pequeno curso. A diretoria autorizou um gasto máximo de $150M para estas compras, independentemente de quais aviões serão comprados. As viagens aéreas em todos os tipos de aviões, fazem prever que os aviões andarão sempre lotados. Estima-se que o lucro anual líquido seria de $0,42M para cada avião de longo curso, $0,30M para avião de médio curso e $0,23M para avião de pequeno curso. A companhia terá pilotos treinados para pilotar 30 novos aviões. Se somente aviões de pequeno curso forem comprados, a divisão de manutenção estaria apta a manter 40 novos aviões. Cada avião de médio curso gasta 1/3 a mais de manutenção do que o dispendido por um avião de pequeno curso e o de longo curso 2/3 a mais. As informações acima foram obtidas por uma análise preliminar do problema. Uma análise mais detalhada será feita posteriormente. No entanto, usando os dados acima como uma primeira aproximação, a diretoria da empresa deseja conhecer quantos aviões de cada tipo deveriam ser comprados se o objetivo é maximizar o lucro. Formule um modelo de Programação Linear para este problema. (M = ) 62

63 18. Uma empresa tem 3 fábricas com ociosidade na produção. Todas as 3 fábricas tem capacidade de produzir um certo produto e a gerência decidiu usar uma parte da ociosidade na produção deste produto. O produto pode ser feito em 3 tamanhos: grande, médio e pequeno, que dão um lucro líquido de $12, $10 e $9 respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 tem capacidade de fabricar 500, 600 e 300 unidades do produto respectivamente, independentemente do tamanho a ser produzido. Há, no entanto, limitação do espaço para estocagem. As fábricas 1, 2 e 3 tem 9000, 8000 e 3500 m 2 de área para estocagem respectivamente. Cada unidade de tamanho grande, médio e pequeno necessita de 20, 15 e 12 m 2 respectivamente. O Departamento de Vendas indicou que 600, 800 e 500 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente, podem ser vendidas por dia. De maneira a manter uma certa uniformidade, a gerencia decidiu que a percentagem do uso das capacidades ociosas das 3 fábricas devem ser iguais. A gerência deseja saber quanto de cada tamanho deve ser produzido em cada fábrica de maneira que o lucro seja máximo. Formule um modelo de Programação Linear para este problema e encontre sua solução 19. O Governo decidiu instalar em uma certa área 3 indústrias: U 1, U 2 e U 3. Três localidades diferentes L 1, L 2 e L 3 foram selecionadas. As condições geoeconômicas (energia, comunicações, etc...) variam de local para local. As indústrias também possuem características técnicas distintas (custos operacionais, capacidade, tipo de produção, etc...). Um estudo preliminar levou a conclusão que as eficiências relativas das diversas indústrias nas diferentes localidades são: Assim em L 3, por exemplo, U 1 funcionaria 2 vezes mais eficientemente, do ponto de vista econômico, do que em L 2. O problema é distribuir as 3 indústrias pelas 3 localidades (no máximo 1 indústria em cada localidade) da maneira mais eficiente. Formule o problema como um modelo de Programação Linear. 20. Uma família de fazendeiros possui 100 acres de terra e tem $ em fundos disponíveis para investimento. Seus membros podem produzir um total de homens-hora de trabalho durante os meses de inverno e homens-horas durante o verão. Se todos estes homens-horas não são necessários, os membros mais jovens da família podem ir trabalhar em uma fazenda da vizinhança por $4,00 por hora durante o inverno e $4,50 por hora durante o verão. A família obtém renda com 3 colheitas e 2 tipos de criação de animais: vacas leiteiras e galinhas (para obter ovos). Nenhum investimento é necessário para as colheitas mas no entanto cada vaca necessita de um investimento de $900 e cada galinha de $7. Cada vaca necessita de 1,5 acre de terra, 100 homens-hora de trabalho no inverno e outros 50 homens-hora no verão. Cada vaca produzirá uma renda líquida anual de $800 para a família. Por sua vez cada galinha não necessita de 63

64 área, requer 0,6 homens-hora durante o inverno e 0,3 homens-hora no verão. Cada galinha produzirá uma renda líquida de $5 (anual). O galinheiro pode acomodar um máximo de galinhas e o tamanho dos currais limita o rebanho para um máximo de 32 vacas. As necessidades em homens-hora e a renda líquida anual, por acre plantado, em cada uma das 3 colheitas estão mostradas abaixo: A família deseja maximizar sua renda anual. Formule este problema como um modelo de Programação Linear. 64

65 Unidade 3 65

66 66

67 CAPITULO 3: ANALISE DE DUALIDADE E DE SENSIBILIDADE 3.1 Dualidade na Programação Linear Todo problema de programação linear que até o momento estivemos trabalhando podemos de chamar de problema primal, tem outro problema de programação linear associada, denominada de problema dual. Esta segunda ótica de analise de um problema leva a dois resultados importantes: 1 A primeira é a facilidade de obter uma solução ao problema. 2 A segunda é que a dualidade permite um entendimento mais profundo do problema o que permite fazer uma analise de sensibilidade adequada Relações entre primal-dual Estas relações surgem do intercambio entre variáveis e restrições, entre custos ou lucros e disponibilidades, e Maximização e Minimização de maneira geral entre um problema primal e um problema dual. Para entender este intercambio, consideremos a seguinte estrutura de um problema primal: Sujeito a (S.A.) onde Para obter o problema dual, devemos definir cada restrição como uma variável e as constantes de disponibilidade como função de custo da nova função objetivo. Desta forma podemos definir m variáveis, definidas com a simbologia Y, se nosso interesse na função objetivo do primal era de minimizar, no dual será de maximizar, desta forma o problema dual estará definida por: Sujeito a (S.A.) 67

68 onde Tabela 1.- Relação entre soluções ótimas primal e dual Problema de Maximização Restrições: = Variáveis 0 0 Irrestrita Problema Minimização Variáveis: 0 0 Irrestrita Restrições: = de Exemplos de transformação Primal Dual Exemplo 1: Considere o seguinte problema primal S.A. Obter a formulação do problema dual. Neste exemplo temos 3 restrições, pelo que devemos definir 3 variáveis X, os valores restritivos do problema primal seria definido como constantes associadas as variáveis X, desta forma o problema dual pode ser definido: S.A. 68

69 Note que para estabelecer a restrição no problema dual consideramos a variável do primal, isto é: Variável Restrição Como foi definido na tabela 1. Em relação a definição da variável dual, consideramos a sinal da restrição observada no primal, da forma seguinte: Restrição Variável Como foi definida na tabela 1. Exemplo 2: Seja o problema primal seguinte: S.A. Obter a formulação do problema dual. Então S.A. Exemplo 3: Considere o problema primal seguinte: S.A. 69

70 Obter a formulação do problema dual. Então S.A Interpretação Econômica do Problema Dual As variáveis num problema dual são chamadas de diversas formas, dentre elas temos: Preço Sombra (Shadow Price), Preços Duais, Multiplicadores SIMPLEX, Valor Implícito, entre outros. Estes representam o valor marginal do recurso da restrição i-ésima em relação ao valor da função objetivo. Matematicamente se pode entender como: Onde (k) representa o estado final da variável e (0) representa o estado inicial da variável. Para entender consideremos o seguinte exemplo: Exemplo: Extraído de Emerson C. Colin A Daicast Ind. e Com. é uma empresa metalúrgica que fabrica peças de Alumínio e Zamak para os mercados de autopeças, de telecomunicações e de eletrônica, dentre outros. Ela tem uma linha de produtos que atende a mercados com demandas dependentes (como o autopeças para montadoras) e uma outra linha com demandas independentes (como o mercado de reposição de autopeças). Como é uma empresa pequena comparativamente ao tamanho do mercado de reposição de auto peças, ela consegue escoar toda a sua produção de produtos com demanda independente sem grandes problemas. A tabela seguir oferece uma visão geral do problema enfrentando por eles mensalmente: definir as quantidades a serem produzidas considerando os recursos disponíveis, os recursos necessários para a produção dos itens e as margens dos mesmos. 70

71 O problema primal é: Recurso Recursos Necessários peça Disponibilidade Unidades Tampa Suporte Plaqueta Materia - Prima Kg 0,300 0,200 0,100 Injetora h 0,003 0,005 0,007 Furadeira 800 h 0,007 0,008 0,010 Afinação 600 h 0,033 0,005 0,002 Margem Liquida (R$) 5,00 7,00 8,00 S.A. O problema dual é: S.A. Note que com o Solver identificamos o Preço Sombra dos Recursos, isto é, Matéria Prima teve um preço sombra de 5 o que quer dizer que por cada unidade adicional acrescentado ou diminuído da Restrição da Matéria Prima, esta terá um efeito sobre a função objetivo de ± 5 unidades, para efeitos práticos incrementaremos em uma unidade os Recursos da Matéria Prima, para ver o efeito sobre a função objetivo. 71

72 Outra restrição que teve Preço Sombra é a Furadeira, sendo esta de 750, isto quer dizer que qualquer movimento na restrição do tempo na Furadeira esta terá um efeito positivo ou negativo na função objetivo em 750 unidades. Agora se rodamos com o Solver o problema Dual, encontraremos o seguinte: Observe-se que o valor final no Solver de um problema Dual produz o Preço Sombra de um problema Primal e o Preço Sombra do problema Dual é o Valor final do problema primal. Nesta saída observa-se que mudanças unitárias no suporte provocariam mudanças na função objetivo em , Analise de Sensibilidade Ao tentar fazer uma otimização usando a programação linear uma das hipóteses propostas é a consideração da certeza nos coeficientes e constantes, isto é, a solução otimizada é dependente dos coeficientes da função objetivo e dos coeficientes e constantes das restrições. 72

73 No mundo real, quase nunca temos certeza destes valores, desta forma, devemos saber o quanto a solução otimizada esta dependente de uma determinada constante ou coeficiente. Em uma analise de sensibilidade deve-se responder basicamente a dois perguntas: a) Qual é o efeito de uma mudança num coeficiente da função objetivo. b) Qual é o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição Alteração em um dos coeficientes da função objetivo. Considerando o problema da Daicast indica que a produção deveria ser apenas de suportes e plaquetas, enquanto tampas foi nula, observe a imagem abaixo: Este resultado exige que não deva ser feita tampas pelo baixo margem de lucro que pode ser obtida pela produção de tampas. Podemos supor que se aumenta o preço de ventas das tampas, esta situação possivelmente poderia apresentar maior lucratividade a empresa. Neste caso observe-se que se o preço da tampa aumenta de 5 para 6,75, isto é, um aumento de 1,75 como se indica na coluna de custo reduzido, na solução (Final Valor) do modelo aparecerá tampas como elemento da solução, mantendo constante a solução obtida na função objetivo, como se amostra a continuação: Observando o gráfico anterior, a variável tampa entra na função objetivo enquanto a variável suporte sai, observe também que a função objetivo se mantem inalterada. 73

74 3.2.2 Alteração em um dos coeficientes de uma restrição. Com o uso do computador é fácil introduzir ou retirar variáveis ou restrições, com muita facilidade, mas o importante deve ser a construção de um modelo que facilite a introdução ou retirada de variáveis ou restrições, em modelos medianos e grandes, isso é uma necessidade. Esta introdução de variáveis ou restrição afetam diretamente a função objetivo, a continuação apresentamos uma tabela da situação da função objetivo pela entrada ou retirada de variáveis ou restrições. Tabela 2.- Introdução e retirada de variáveis ou restrições Flexibilidade do Modelo Valor da Função Objetivo Variável Restrição Introdução Aumenta Diminui Retirada Diminui Aumenta Introdução Se mantem ou melhora Se mantem ou piora Retirada Se mantem ou piora Se mantem ou melhora Esta tabela oferece um resumo dos efeitos da introdução e retirada de variáveis e restrições em modelos de programação linear. Como no modelo inicial a variável tampa é pouco relevante para a solução ótima, podemos sugerir a retirada dessa variável do modelo. Note-se, que a retirada da variável tampa traz a diminuição da Flexibilidade do Modelo, em relação a função objetivo que esta retirada produz que a solução da função objetivo se mantenha. 74

75 3.3 Exercícios 1. Em todos os casos a seguir determine o problema Dual 2. Mostrar utilizando o Solver, que ambos os modelos de programação Primal e Dual, referentes aos exercícios 1, apresentam o mesmo valor ótimo de Z. 3. Sabe-se que os alimentos leite, carne, e ovos fornecem as quantidades de vitaminas dadas conforme a tabela a seguir: Deseja-se calcular quais quantidades de Vitaminas A, B e D, a fim de satisfazer as quantidades necessárias de Leite, Carne e Ovos ao máximo de quantidades diárias possíveis. (Sugestão: O enunciado exige o modelo Dual) 4. Encontrar o Dual do seguinte problema Primal 5. Uma empresa deseja realizar um show na televisão para publicitar os seus produtos. O show durará exatamente 30 minutos e nele atuarão um ator cómico e um grupo musical. 75

76 A empresa deseja que sejam consagrados a anúncios pelo menos 4 minutos. A estação de TV exige que o tempo dedicado aos anúncios não exceda 8 minutos, não podendo, além disso, em caso algum ser superior ao tempo atribuído ao ator cómico. Este, por sua vez, não está disposto a atuar durante mais de 15 minutos. Ao grupo musical caberá o tempo restante. O custo de atuação do ator é de 200 ct./min e o do grupo musical é ct./min. Sondagens recentes mostram que : por cada minuto de exibição do actor, 4000 espectadores sintonizam essa estação; por cada minuto de exibição do grupo musical, espera-se 2000 novos espectadores; por cada minuto de anúncios 1000 pessoas desligam o aparelho ou sintonizam outra estação. De modo a tomar uma decisão fundamentada, a empresa pretende dispor de programas que : a) maximizam o número de espectadores; b) minimizem o custo dos shows. Formule matematicamente ambos os problemas e resolva-os usando o método Simplex. 6. Encontre o problema dual da seguinte equação: 7. Encontrar as expressões Duais das seguintes Primais e rodar com Solver 8. Uma empresa produz dois tipos de cadeira reclinável. Há duas etapas no processo de fabricação das cadeiras montagem e acabamento. Uma unidade da cadeira top de linha requer 3/2 horas na montagem, 1 hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 20,00. 76

77 Uma unidade da cadeira mais simples requer ½ hora na montagem e ½ hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 12,00. A disponibilidade atual é de 100 horas para montagem e 80 horas para acabamento. A empresa está envolvida em negociações com o sindicato em relação a modificações salariais para o próximo ano e pediram que você determinasse (quantificasse) o valor da hora de montagem e de acabamento. 9. Giapetto Woodcarving, Inc fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria-prima. Cada soldado fabricado incrementa os custos variáveis de trabalho e "overhead" por $14. Um trem é vendido por $21 e usa $9 de matéria-prima. Cada trem produzido incrementa os custos variáveis de trabalho e "overhead" por $10. A fabricação de soldados de madeira e de trens requer dois tipos de trabalho qualificado: carpintaria e acabamento. Um soldado requer 02 horas de trabalho de acabamento e 01 hora de trabalho de carpintaria. Um trem requer 01 hora de trabalho de acabamento e 01 hora de trabalho de carpintaria. A cada semana, Giapetto pode obter toda a matéria prima necessária, mas dispõe de somente 100 horas de trabalho de acabamento e 80 horas de trabalho de carpintaria. A demanda para os trens é ilimitada, mas no máximo 40 soldados são vendidos a cada semana. Giapetto deseja maximizar seu lucro semanal (faturamento menos custos). Temos a seguinte formulação: a) Resolva o Problema de Programação Linear pelo método simplex. b) Qual será o efeito no valor da função objetivo se a Giapetto Woodcarving decidir contratar mais funcionários e aumentar a quantidade de horas de acabamento para 115? c) Qual será o efeito no valor da função objetivo se a Giapetto Woodcarving decidir contratar mais funcionários e aumentar a quantidade de horas de carpintaria para 110? d) Existe a possibilidade de fabricar bonecas que são vendidas por R$26,00, usam $7 de matéria-prima e incrementariam os custos variáveis de trabalho e "overhead" por $15. Além disso, cada boneca requer 03 horas de trabalho de acabamento e 02 hora de trabalho de carpintaria. Vale a pena fabricar essa boneca? e) Qual será o efeito no valor da função objetivo se os custos variáveis de trabalho e "overhead", na fabricação de soldados for reduzido de $14 para $12? 77

78 10. A empresa FazTudo, Lda. fabrica dois produtos, P1 e P2, não tendo problemas com a venda da totalidade da produção. Os dados técnico-económicos relevantes são os seguintes: a) Determine o plano óptimo de produção. b) Suponha que há possibilidade de recorrer a um turno extraordinário, com acréscimo de 40 horas no Departamento D1 e 30 horas em D2, a que corresponde um aumento nos custos de 120 UM. Acha que é aconselhável o recurso ao turno extraordinário? Em caso afirmativo indique o novo plano de produção. c) O Departamento de I&D, após ter realizado os estudos respectivos, propôs alterações no produto P2. De acordo com essa proposta, P2 passará a necessitar de apenas 1 hora em D1 e 1.5 horas em D2, mantendo-se o consumo unitário de matéria-prima. Analise as implicações da proposta. d) O Departamento de Marketing sugere a introdução de um novo produto que necessita de 1 hora em D1, 3 horas em D2 e 3 unidades de matéria-prima, por unidade produzida, possibilitando uma margem unitária de 20. Analise igualmente as implicações desta sugestão. Caso seja recomendável e perante a imposição de aceitação de apenas uma das propostas (do departamento de I&D ou do departamento de Marketing) indique por qual delas optaria. e) Analise o comportamento da solução óptima perante a variação da margem de lucro de P2 entre 10 e 20 UM. 11. Os associados da Adega Cooperativa de Alguidares de Baixo (ACAB) dedicam-se à produção de vinho verde. O escoamento de toda a produção de vinho tem sido garantido todos os anos pela ACAB. As áreas de vinha atualmente dedicadas a cada tipo de vinho, a produção média anual de vinho por hectare e o valor de comercialização do vinho, encontram-se na seguinte tabela: A Direção Regional de Agricultura em colaboração com a ACAB pretende elaborar um estudo de reestruturação da vinha, tendo em conta diretivas comunitárias, nomeadamente: 1 a impossibilidade de aumentar em mais de 10% a área total de vinha atualmente disponível; 78

79 2 a área de produção de vinho branco loureiro não poderá ultrapassar 350 ha. a) No plano de reestruturação, que áreas deverão ser atribuídas a cada tipo de vinho, de forma a maximizar o rendimento global dos associados? b) Negociações posteriores entre a ACAB e o Instituto da Vinha e do Vinho (IVV) resultaram na possibilidade de dedicar até um máximo de 450 ha à produção de vinho branco loureiro. Que modificações provocaria esta alteração no plano estabelecido na alínea anterior? c) Uma diretiva comunitária impõe que se produza pelo menos 1 ha de vinho tinto, por cada 2 ha de vinho branco loureiro. Que implicações traria para o rendimento dos agricultores esta nova diretiva comunitária? 12. A Porcão Lda produz dois tipos de alimento para cães: o produto A é uma mistura de 1 unidade de cereal com 1.5 unidades de carne, recorrendo a 1 unidade de capacidade de empacotamento da Porcão e gerando a contribuição de 56$ por pacote, nos lucros; o produto B é uma mistura de 2 unidades de cereal e de 1 unidade de carne, gerando a contribuição de 42$ por pacote, nos lucros. Os recursos disponíveis são unidades de cereal, unidades de carne e equipamento que no máximo pode empacotar pacotes de produto A por mês. Construa um modelo de PL que permita maximizar os lucros da empresa ao decidir quanto produzir de cada produto. a) Formule o problema dual e interprete o significado das variáveis e relações usadas. b) Resolva o dual pelo Simplex Dual. Qual a solução óptima do Primal? c) Se a empresa pudesse dispor de mais alguma quantidade dos recursos, qual deveria escolher em primeiro lugar? Analise esta questão com o detalhe que entender. 13. Futebolas Lda fabrica bolas de futebol de diversos modelos, tendo especial destaque o abastecimento de estabelecimentos escolares. Está em curso um estudo, com vista ao planeamento das quantidades de bolas a produzir para escolas primárias (x 1 ), secundárias (x 2 ) e superiores (x 3 ), admitindo-se, por um lado, que se deverá maximizar o resultado (em euros) traduzido pela função R = 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 e, por outro, garantir a produção de pelo menos 1000 bolas para escolas primárias. Restrições à produção incluem limitações de três departamentos - Corte e tinturaria, Costura, Inspeção e embalagem. O modelo de optimização linear referente ao estudo em questão é o seguinte: max R = 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 suj. a: 12x x 2 + 8x [Corte e tinturaria (tempo)] 15x x x [Costura (tempo)] 3x 1 + 4x 2 + 2x [Inspeção e embalagem (tempo)] 79

80 x 1 x 1, x 2, x [Modelo para escolas primárias] Considere as seguintes questões: a) Qual é a solução óptima? Qual o significado do valor das variáveis de folga? b) Apresente, e comente, os intervalos de optimalidade da contribuição para o resultado (R) dos três modelos de bola. c) Determine o problema dual. Qual a sua solução óptima? Qual o preço sombra da 4ª restrição? Que importância lhe atribui? d) O custo da hora extraordinária no departamento de costura é de 12euros por hora. Recomendaria o recurso a horas extraordinárias nesse departamento? Suponha que a contribuição para o resultado (R) duma bola para escola secundária aumenta de 1 euro. Como espera que a solução (óptima) evolua? Justifique bem. 14. Um fazendeiro tem 500 acres de terra e deseja determinar quantos acres serão alocados às seguintes lavouras: trigo, milho e soja. A tabela baixo nos dá o número de homem-horas, custo de preparação e lucro por acre das três lavouras Suponha que o número máximo de homem-horas disponível é 5000 e que o fazendeiro tem R$ 60000,00 para o preparo da terra. Assumindo que o dia de trabalho tem 8 horas, seria lucrativo para o fazendeiro adquirir ajuda extra a R$ 3,00 por hora? Por quê? Suponha que o fazendeiro contratou uma compra do equivalente a 100 acres de trigo. Aplique a Analise de Sensibilidade para encontrar a nova solução ótima. 15. Um produto é composto de três partes que são produzidas em duas máquinas A e B. Nenhuma máquina pode processar partes diferentes ao mesmo tempo. O número de partes processadas por cada máquina por hora é dado na tabela abaixo: O engenheiro procura uma esquematização das máquinas de tal maneira a maximizar o número do produto final. Atualmente a empresa tem 3 máquinas do tipo A e cinco máquinas do tipo B. a) Formule o problema. 80

81 b) Resolva o problema (se quiser, pode usar o SOLVER do Excel). c) Se a empresa desejar adquirir mais uma máquina, de qual tipo você recomendaria? Por quê? d) A gerência está contemplando a compra de uma máquina do tipo A a um custo de R$ 100 mil reais. Suponha que a vida útil da máquina A seja de 10 anos e que cada ano seja equivalente a 2000 horas de trabalho. Você recomendaria a compra se o lucro unitário de cada produto fosse R$ 1,00 real? Por quê? 16. O dono de uma loja de eletrodomésticos contratou no passado um consultor para determinar a quantidade mensal ótima de geladeiras das marcas W, X e Z que deveriam ser compradas. Na época que o serviço foi executado, a loja tinha uma disponibilidade de capital de giro de R$5.000,00 para a compra de geladeiras e, por restrições logísticas, o dono da loja queria comercializar no máximo 7 geladeiras por mês (soma das marcas W, X e Z). Em relação aos ganhos, uma geladeira da marca W era comprada pela loja por R$700,00 e vendida por R$1.000,00, uma geladeira da marca X era comprada pela loja por R$600,00 e vendida por R$850,00 e uma geladeira da marca Z era comprada pela loja por R$500,00 e vendida por R$650,00. O consultor fez as análises demandadas e recomendou ao dono da loja comprar 7 unidades da marca W, o que consumiria R$4.900,00 de capital de giro e geraria um lucro de R$2.100,00. Com o passar do tempo a demanda por geladeiras aumentou e a disponibilidade de capital de giro também. O dono da loja, por restrições logísticas, quer comercializar no máximo 10 geladeiras por mês e a há R$8.000,00 para capital de giro. Sem resolver o problema pelo método simplex (nem pelo método gráfico) determine a nova solução ótima (diga se houve mudança da base e explique como você chegou nesta conclusão, estime a quantidade de geladeiras das marcas W, X e Z que deverão ser compradas e o lucro resultante) 17. Um fabricante de bebidas pretende lançar um novo refrigerante que é obtido misturando refrigerante sabor laranja e suco de laranja. Análises executadas pelo fabricante mostraram que cada ml de refrigerante sabor laranja tem 0,5 ml de açúcar e 1 mg de vitamina C e que cada 1 ml de suco de laranja tem 0,25 ml de açúcar e 3 mg de vitamina C. O custo de produção de 1 ml de refrigerante sabor laranja é de R$0,002 e de 1 ml de suco de laranja é de R$0,004. O departamento de marketing da empresa decidiu que o novo refrigerante será comercializado em embalagens de 300 ml por R$ 2,00 e que cada unidade do produto deve conter no mínimo 600 mg de vitamina C e no máximo 120 ml de açúcar. A partir desses dados responda: a) Formule o problema como um PPL (problema de programação linear) sabendo que o objetivo da empresa é obter uma composição que minimize o custo de produção do novo produto (e que conseqüentemente maximizará o lucro do fabricante). b. Resolva o PPL formulado pelo método gráfico. c. Resolva o PPL formulado pelo método simplex. 81

82 d. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir comercializar o produto em embalagens de 290 ml (e mostre graficamente)? e) Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir que o produto deve ter no máximo 115 ml de açúcar(e mostre graficamente)? f) Existe a possibilidade de colocar no novo produto um aditivo que custa R$0,015 por ml, e que tem 0,1 ml de açúcar e 9 mg de vitamina C por ml de aditivo. Vale a pena incluir esse aditivo? g) Qual será o efeito no valor da função objetivo se o custo de produção de 1 ml de suco de laranja aumentar de R$0,004 para R$0,005(e mostre graficamente)? 18. Uma Companhia Vidreira (CV) fabrica em 3 centros de produção (CP) produtos de vidro de alta qualidade, incluindo janelas e portas. No CP1 são produzidos caixilhos de alumínio, no CP2 caixilhos de madeira e o CP3 é usado para produzir o vidro e fazer a montagem final dos produtos. Devido a uma diminuição das receitas, a administração resolveu introduzir algumas alterações na linha de produção. Alguns produtos que se revelaram não lucrativos deixam de ser fabricados, de modo a libertar capacidade de produção para fabricar outros produtos para os quais existe procura potencial. Um dos produtos (P1) é uma porta de vidro com caixilho de alumínio e o outro (P2), é uma janela com caixilho de madeira. O departamento de marketing concluiu que a CV conseguirá vender toda a produção que for possível com a capacidade disponível. Os dados do problema estão agrupados na seguinte tabela: a) Construa um modelo matemático para o problema de maximizar o lucro de CV. b) Resolva o problema graficamente. c) Resolva o problema usando o método Simplex. Qual seria a melhoria do valor da função objetivo se fosse possível dispor de mais uma unidade de capacidade disponível no CP2? (E nos outros centros de produção?) 19. Suponha que lhe saiu um prémio de contos no Totoloto e que pretende investir a totalidade deste dinheiro ou apenas uma parte. Sabendo disto, 2 amigos seus (o Alberto e o Belmiro) ofereceram-lhe sociedade em 2 negócios diferentes que pretendem realizar. Em ambos os casos, a sua participação envolve quer disponibilizar dinheiro, quer colaborar com trabalho. Tornar-se sócio a parte inteira do Alberto, implica um investimento de contos e 400 h de trabalho, e o lucro esperado é de contos (sem levar em 82

83 conta o valor do seu tempo). Os valores correspondentes relativos à participação (a parte inteira) no negócio do Belmiro são 4000 contos e 500 h de trabalho, e 4500 contos para o lucro esperado. Contudo, ambos os amigos são flexíveis e permitem-lhe participar com qualquer fracção de sócio a parte inteira; obviamente que a sua parte nos lucros será também proporcional a esta fracção. Dado que pretende também algum tempo livre no Verão, não quer dedicar mais de 600 h de trabalho. Cabe-lhe então decidir qual a combinação de participação num ou em ambos os projetos dos seus amigos, de modo a maximizar o seu lucro. a) Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando as variáveis de decisão, restrições e função objetivo. b) Resolva o problema graficamente e utilizando o método Simplex. c) Qual a gama de valores, dentro da qual pode variar o número de horas de trabalho, de modo a que a solução atual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente ao lucro? 20. A Companhia Pintados de Fresco produz tinta para interiores e exteriores. A tinta á fabricada por meio da transformação de 2 tipos de matéria prima: A e B. A companhia tem acessíveis diariamente um máximo de 6 Ton de A e 8 Ton de B. Para produzir 1 Ton de tinta de exteriores, são necessárias 1 Ton de A e 2 Ton de B, enquanto que para produzir 1 Ton de tinta de interiores, são necessárias 2 Ton de A e 1 Ton de B, em cada dia. Um estudo de mercado concluiu que, a procura diária de tinta de interiores não pode exceder a da tinta de exteriores, em mais de 1 Ton. Este estudo, também mostrou que a procura diária de tinta de interiores está limitada a 2 Ton. O preço de venda por Ton é 3 u.m. para a tinta de exteriores e 2 u.m. para a tinta de interiores. Pretende-se determinar o esquema de produção a adoptar para maximizar a receita diária. a) Construa um modelo matemático de Programação Linear para o problema, explicitando as variáveis de decisão, as restrições e a função objetivo. b) Resolva o problema graficamente e utilizando o método Simplex. c) Qual a gama de valores, dentro da qual pode variar a disponibilidade de matéria prima do po A, de modo a que a solução atual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente à receita diária? d) Estudos de mercado indicam que o preço da tinta de exteriores diminuirá a um ritmo de 0.2 u.m. por mês, enquanto que o preço da tinta de interiores aumentará a um ritmo de 0.4 u.m. por mês. Com esta tendência, quantos meses se manterá óptima a solução atual? 83

84 84

85 Unidade 4 85

86 86

87 CAPITULO 4: Modelo de Transporte Este modelo é um caso especial de programação linear, se baseia em procurar o menor custo que se pode gerar a partir do envio de bens de um ponto de origem (exemplo fabricas) a ponto de destino (exemplo armazém). Este modelo pressupõe que o custo de envio numa rota específica é diretamente proporcional ao número de unidades enviadas nessa rota. Alguns exemplos de transporte se encontram em controle de inventários, horários de emprego e distribuição do pessoal. 4.1 O Modelo Para entender o modelo, deve-se considerar que neste modelo podemos ter m pontos de origem e n pontos de destino, cada uma representada por um nó. As rotas poderão ser representadas pela seta de união de nós, como se apresenta a continuação: Matematicamente pode-se representar por: Sendo as restrições Onde : é a quantidade de bens transportados do ponto de origem i ao ponto de destino j. 87

88 : é o custo de bens transportados do ponto de origem i ao ponto de destino j. : quantidade total ofertado pelo ponto de origem i. : quantidade total demandado pelo ponto de destino j. Para encontrar a solução neste modelo, uma condição necessária e suficiente é que: 4.2 Observações No caso de que a oferta seja maior que a demanda, se deve introduzir um ponto de destino fantasma (dummy) que tenha os custos unitários de todos os pontos de origem aos pontos de destino iguais a zero. No caso da demanda seja maior a oferta se deve introduzir um ponto de origem fantasma (dummy) que tenha os custos unitários de todos os pontos de origem aos pontos de destino iguais a zero. Outra forma de programar as restrições é: No caso de oferta total maior que a demanda total, a restrição seria: No caso da demanda total seja maior que a oferta total, a restrição seria: 4.3 Exemplos de Problemas de Transporte EXEMPLO 1: Deseja-se transportar arroz de três armazéns (1, 2 e 3) a três centros consumidores distintos (A, B e C). Cada armazém apresentou os seguintes níveis de estoque de arroz em determinado mês: 88

89 Os custos unitários de transporte ($/Kg) envolvidos são os seguintes: Qual será a quantidade de arroz a ser transportado entre armazém e cada centro consumidor, de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que o custo total de transporte seja mínimo? Para a solução deste problema seguimos as seguintes etapas: Objetivo: Minimização do custo de transporte Variáveis: Restrições: X 11 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 1} X 12 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 2} X 13 = {transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 3} X 21 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 1} X 22 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 2} X 23 = {transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 3} X 31 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 1} X 32 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 2} X 33 = {transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 3} Estoques disponíveis nos armazéns 1, 2 e 3 Quantidades demandadas nos centros consumidores A,B e C Desta forma: Min Z = 10 X X X X X X X X X 33 Sujeito a: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X

90 Considerando o solver teríamos: X 11 + X 21 + X X 12 + X 22 + X X 13 + X 32 + X X 11, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23, X 31, X 32, X 33 0 Com Excel, ativar o Solver, temos Para as restrições fazemos: 90

91 Obtendo Após isso o resultado foi: 91

92 Daqui pode-se concluir que: Se deve transportar 0 Kg de Arroz do armazém 1 ao centro consumidor 1. Se deve transportar 200 Kg de Arroz do armazém 1 ao centro consumidor 2. Se deve transportar 0 Kg de Arroz do armazém 1 ao centro consumidor 3. Se deve transportar 100 Kg de Arroz do armazém 2 ao centro consumidor 1. Se deve transportar 50 Kg de Arroz do armazém 2 ao centro consumidor 2. Se deve transportar 0 Kg de Arroz do armazém 2 ao centro consumidor 3. Se deve transportar 0 Kg de Arroz do armazém 3 ao centro consumidor 1. Se deve transportar 50 Kg de Arroz do armazém 3 ao centro consumidor 2. Se deve transportar 250 Kg de Arroz do armazém 3 ao centro consumidor 3. Observa-se desta forma que o custo pelo transporte é de 3.750,00. Note-se também que todo o que é demandado é consumido. EXEMPLO 2: Suponha que Inglaterra, França e Espanha produziam todo o trigo, cevada e aveia do mundo. A demanda mundial de trigo requer que 50 milhões de hectares de terra sejam dedicados à produção de trigo. Similarmente, 24 milhões de hectares de terra são requeridos para cevada e 30 milhões de hectares de terra para aveia. As quantidades totais de terra disponível para esses propósitos na Inglaterra, na França e na Espanha são 28 milhões de hectares, 44 milhões de hectares e 32 milhões de hectares, respectivamente. O numero de horas de trabalho necessária na Inglaterra, na França e na Espanha para produzir uma hectare de trigo é 45 horas, 32h30min e 40 horas, respectivamente. O numero de horas de trabalho necessária na Inglaterra, na França e na Espanha para produzir uma hectare de aveia é 30 horas, 25 horas e 40 horas, respectivamente. O numero de horas de trabalho necessária na Inglaterra, na França e na Espanha para produzir uma hectare de cevada é 37h30min, 30 horas e 30 horas, respectivamente. O custo de mão-de-obra por hora para a produção de trigo é $ 3,00; $ 2,40 e $ 3,30 na Inglaterra, na França e na Espanha, respectivamente. O custo de mão-de-obra por hora para a produção de cevada é $ 2,70; $ 3,00 e $ 2,80 na Inglaterra, na França e na Espanha, respectivamente. O custo de mão-de-obra por hora para a produção de aveia é $ 2,30; $ 2,50 e $ 2,10 na Inglaterra, na França e na Espanha, respectivamente. Solucione o problema de modo a atender a demanda por alimento em nível mundial, minimizando o custo total de mão-de-obra. A representação prática é dada em: 92

93 Objetivo: Minimização do custo total de mão-de-obra Variáveis: X 11 = {produção de trigo na Inglaterra} X 12 = {produção de trigo na França} X 13 = {produção de trigo na Espanha} X 21 = {produção de cevada na Inglaterra} X 22 = {produção de cevada na França} X 23 = {produção de cevada na Espanha} X 31 = {produção de aveia na Inglaterra} X 32 = {produção de aveia na França} X 33 = {produção de aveia na Espanha} Restrições: Demanda mundial de trigo, cevada e aveia (em milhões de ha) Disponibilidade total de terra para os Três produtos na Inglaterra, França e Espanha O Modelo: Min Z = 135 X X X ,25 X X X X ,5 X X 33 Sujeito a: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X X 11 + X 21 + X X 12 + X 22 + X X 13 + X 32 + X X 11, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23, X 31, X 32, X 33 0 Utilizando o Solver, temos: 93

94 Daqui pode-se concluir que: Se deve produzir 0 bilhões de Toneladas de Trigo na Inglaterra. Se deve produzir 44 bilhões de Toneladas de Trigo na França. Se deve produzir 6 bilhões de Toneladas de Trigo na Espanha. Se deve produzir 0 bilhões de Toneladas de Cevada na Inglaterra.. Se deve produzir 0 bilhões de Toneladas de Cevada na França. Se deve produzir 24 bilhões de Toneladas de Cevada na Espanha. Se deve produzir 28 bilhões de Toneladas de Aveia na Inglaterra. Se deve produzir 0 bilhões de Toneladas de Aveia na França. Se deve produzir 2 bilhões de Toneladas de Aveia na Espanha. Observa-se desta forma que o custo de produção é de 8.340,00. Note-se também que todo o que é demandado EXEMPLO 3: Um avião tem três compartimentos para transportar carga: frente, centro e traseira. Esses compartimentos têm limites de capacidade tanto em peso quanto em volume, conforme tabela abaixo: Além disso, o peso da carga nos respectivos compartimentos tem que observar a mesma proporção das capacidades de peso dos compartimentos, para manter o equilíbrio do avião. As quatro cargas seguintes aguardam remessas nos próximos vôos, a medida que haja espaço disponível O objetivo é determinar quanto de carga deve ser aceito e como distribuí-las pelos compartimentos a fim de maximizar o lucro total do voo. 94

95 Objetivo: Maximizar o lucro total do voo Variáveis: Restrições: X 11 = {transportar a carga 1 no compartimento da frente} X 12 = {transportar a carga 1 no compartimento do centro} X 13 = {transportar a carga 1 no compartimento traseiro} X 21 = {transportar a carga 2 no compartimento da frente} X 22 = {transportar a carga 2 no compartimento do centro} X 23 = {transportar a carga 2 no compartimento traseiro} X 31 = {transportar a carga 3 no compartimento da frente} X 32 = {transportar a carga 3 no compartimento do centro} X 33 = {transportar a carga 3 no compartimento traseiro} X 41 = {transportar a carga 4 no compartimento da frente} X 42 = {transportar a carga 4 no compartimento do centro} X 43 = {transportar a carga 4 no compartimento traseiro} Capacidade em peso de cada compartimento Capacidade em volume de cada compartimento Peso da Carga Proporcionalidade entre os compartimentos O Modelo: Max Z = 220 X X X X X X X X X X X X 43 Sujeito a: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X X 41 + X 42 + X ,5 X ,9 X ,2 X ,8 X ,5 X ,9 X ,2 X ,8 X ,5 X ,9 X ,2 X ,8 X X 11 + X 21 + X 31 + X X 12 + X 22 + X 32 + X X 13 + X 32 + X 33 + X (X 11 + X 21 + X 31 + X 41 ) 12 (X 12 + X 22 + X 32 + X 42 ) = 0 10 (X 12 + X 22 + X 32 + X 42 ) 18 (X 13 + X 32 + X 33 + X 43 ) = 0 X 11, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23, X 31, X 32, X 33, X 41, X 42, X

96 Após rodar com o Solver temos: Daqui pode-se concluir que: Se deve transportar 0 Toneladas da carga 1 no comportamento da frente. Se deve transportar 15,5 Toneladas da carga 1 no comportamento do centro. Se deve transportar 0 Toneladas da carga 1 no comportamento traseiro. Se deve transportar 7,33 Toneladas da carga 2 no comportamento da frente. Se deve transportar 0,83 Toneladas da carga 2 no comportamento do centro. Se deve transportar 3,33 Toneladas da carga 2 no comportamento traseiro. Se deve transportar 0 Toneladas da carga 3 no comportamento da frente. Se deve transportar 0 Toneladas da carga 3 no comportamento do centro. Se deve transportar 0 Toneladas da carga 3 no comportamento traseiro. Se deve transportar 4,67 Toneladas da carga 4 no comportamento da frente. Se deve transportar 1,67 Toneladas da carga 4 no comportamento do centro. Se deve transportar 6,67 Toneladas de carga 4 no comportamento traseiro. Observa-se desta forma que o custo de produção é de 9.230,00. Não foi utilizado todos os recursos disponíveis. 96

97 4.4 Exercícios 1. Três reservatórios, com capacidades diárias de 15, 20 e 25 milhões de litros de água, abastecem 4 cidades com consumos diários de 8, 10, 12 e 15 milhões de litros de água. O custo de abastecimento, por milhão de litros, é apresentado na tabela a seguir: O problema consiste em determinar a política de abastecimento óptima (aquela com menor custo). Formule o problema como um problema de transportes e resolva-o usando o respectivo algoritmo. 2. Uma empresa possui duas fábricas (P1 e P2) onde produz um produto que é exportado para 3 locais num país vizinho (L1, L2 e L3). O transporte é feito através de duas fronteiras (F1 e F2) (não se impõe limites máximos à quantidade que pode atravessar diariamente cada uma delas). Por outro lado, cada fronteira cobra uma taxa por cada unidade do referido produto que a atravessa (independentemente de vir de P1 ou P2) como se apresenta na tabela a seguir: São conhecidas as disponibilidades diárias em cada fábrica, que são suficientes para satisfazer as necessidades diárias de cada local, também conhecidas (tabela). Sabemse também quais são os custos para transportar uma unidade do produto, de cada produtor para cada fronteira e de cada fronteira para cada destino, indicados na figura: 97

98 a) Considere o problema que permite encontrar a política óptima de transporte do produto entre cada produtor, fronteira e local de destino. Formule-o (sem resolver!) como um problema de transportes na forma standard. b) Considere agora que diariamente chegam às fronteiras F1 e F2 100 e 90 unidades do produto, respectivamente. Usando o algoritmo de transportes, determine quais as quantidades a transportar de cada fronteira para cada um dos locais de destino, por forma a minimizar o custo global associado a esse transporte. Considere iguais os restantes dados do problema. 3. Uma companhia construtora de aviões pretende planear a produção de um motor, durante os próximos 4 meses. Para satisfazer as datas de entrega contratuais, necessita de fornecer os motores nas quantidades indicadas na 2a coluna da tabela 1. O número máximo de motores que a companhia produz por mês, bem como o custo de cada motor (em milhões de dólares) são dados na 3a e 4a colunas da mesma tabela. Dadas as variações nos custos de produção, pode valer a pena produzir alguns motores um ou mais meses antes das datas programadas para entrega. Se se optar por esta hipótese, os motores serão armazenados até ao mês de entrega, com um custo adicional de milhões de dólares/mês. O diretor de produção quer saber quantos motores deve fabricar em cada mês (e para que meses de entrega) por forma a minimizar os custos globais de produção e armazenagem. Formule o problema e resolva-o pelo algoritmo de transportes 4. Durante a semana de exames do Instituto de Altos Estudos, realizados sob a forma de provas de escolha múltipla preenchidas a lápis, sendo este fornecido pelo Instituto (conforme o modelo usado nos EUA), são necessários 60, 50, 80, 40 e 50 lápis afiados no início de cada dia, de segunda a sexta-feira respectivamente. Os lápis afiados podem ser comprados por 15$00 cada. Os lápis usados num dia de exame podem ser afiados, recorrendo ao serviço da Afiadora Lda. - a um custo de 2,00 a unidade - que os devolve 2 dias depois, isto é, os lápis usados na segunda-feira só poderão ser reutilizados (já afiados) na quarta-feira, e assim sucessivamente. No fim da semana os lápis podem ser revendidos a um preço de 5$00 a unidade. a) Formule este problema como um Problema de Transportes, de forma a que o fornecimento de lápis para o exame seja feito a um custo mínimo. b) Resolva o problema 5. A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências (10 3 kwa) de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: 98

99 Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? 6. Dois reservatórios d água capazes de fornecer cada um 50 milhões de litros/dia abastecem três cidades, cada qual com uma demanda diária de 30 milhões de litros. Os custos de energia para bombear 1 milhão de litros d água de cada reservatório para cada cidade são: Escreva o modelo matemático capaz de suprir as demandas a um custo mínimo de energia. 7. Uma empresa de construção civil necessita nos seus estaleiros (A, B, C, D e E) 10, 9, 6, 5 e 5 toneladas de cimento respectivamente. A empresa fornecedora planeou a entrega de cimento do seguinte modo: Verificar se esta é a melhor solução, e não sendo, otimizar utilizando-a como primeira aproximação. 8. Admita dispor de 25 computadores na sua loja A(5), B(10), C(4) e D(6). No momento, as encomendas a satisfazer dos revendedores E 1, E 2, E 3, E 4, são de 3, 5, 4 e 6 computadores, respectivamente. O quadro seguinte indica a tarifa dos CTT para transporte e entrega de um computador. 99

100 a) Calcule o melhor plano de expedição. b) Se o stock da loja C não for utilizado em sua totalidade, recalcular o plano de expedição para que suceda. 9. Uma empresa tem as fabricas F1, F2 e F3 onde produz, semanalmente, 9, 18 e 23 toneladas do produto A, respetivamente. Este produto é transportado para os locais de distribuição L1, L2, L3 e L4 onde a procura média semanal é de 10, 10, 9 e 11 toneladas, respectivamente. Os custos de transporte (u.m.) por tonelada, são os seguintes: O atual plano de produção obriga a reter o excesso de produção de 10 ton na fabrica F1 (5 ton) e na fabrica F3 (5 ton). a) O plano apresentado garante a minimização do custo total de transporte? b) Caso seja negativa o resultado, indicar: Onde deve ser armazenado o excesso de produção. Qual é a diferença de custo que existe relativamente ao atual plano. 10. Uma empresa tem 4 instalações (A, B, C e D) onde se fabrica o mesmo produto. O quadro a seguir apresenta para cada uma dessas instalações o custo de produção (u.m./ton) e a respectiva capacidade produtiva semanal (ton) O quadro a seguir apresenta o preço de venda (u.m./ton) e total de vendas semanal (ton) em cada um dos depósitos regionais (D 1, D 2, D 3 e D 4 ). 100

101 O quadro a seguir apresenta os custos de transporte (u.m./ton) de A, B, C e D para D 1, D 2, D 3 e D 4. O atual programa de transporte semanal prevê que seja a instalação C a armazenar o excesso de produção. a) Considerar correto que seja C a armazenar o excesso de produção? Justifique sua resposta. b) Se é negativa sua afirmação. Qual é o mínimo, o aumento de lucro associado à sua proposta? Justifique sua resposta. 11. Uma empresa fabricante de sapatos previu as seguintes demandas, em unidades, para os próximos 6 meses: mês 1 200; mês 2 260; mês 3 240; mês 4 340; mês 5 190; mês Custa $7 para produzir um par de sapatos no turno de trabalho regular e $11 fora do turno regular. Em cada mês, a capacidade de produção, trabalhando-se apenas no turno regular, é de 200 pares de sapato e trabalhando-se forma do turno regular, a empresa consegue fabricar mais 100 pares de sapato. Sabendo-se que o custo mensal para estocar um par de sapatos é $1, formule o problema como um problema de transporte buscando minimizar o custo total de produção, atendendo a demanda dos 6 meses. 12. Uma grande empresa de transporte urbano serve cinco grandes cidades. Formule o problema da realocação dos ônibus, respeitando as restrições de demanda, de modo a minimizar a distância percorrida. 13. A partir da tabela de transporte a seguir: 101

102 Onde S i corresponde a quantidade ofertada e D j corresponde a quantidade demandada. C ij corresponde ao custo da quantidade ofertada com a quantidade demandada. Responda: a) Mostre que a solução é ótima. b) O problema tem soluções ótimas alternativas (explique sua resposta)? c) Formule o PPL original e seu dual. d) Obtenha a solução ótima para o problema dual. e) Crie o tableau do método simplex para a solução ótima. f) Suponha que o custo C 43 é aumentado de $11 para $13. Essa solução ainda é ótima? Se não, encontre a nova solução ótima. 14. Um hospital precisa comprar 3 galões de um medicamento perecível para utilizar no mês corrente e 4 galões para utilizar no próximo mês. Como o medicamento é perecível, ele só pode ser utilizado ao longo do mês que foi comprado. Apenas duas empresas fabricam o medicamento (A e B) e existe falta deste no mercado. Por esse motivo, o hospital poderá comprar no máximo 5 galões do medicamento, de cada empresa, nos próximos 2 meses. O preço do galão do medicamento, por mês, por fabricante é dado na tabela abaixo: Formule e resolva o problema como um problema de transporte buscando minimizar o custo total de aquisição do medicamento 15. Formule o problema e aplique o método simplex simplificado, para o problema de transporte abaixo, para encontrar a solução de custo mínimo. Apresente em cada 102

103 iteração e tabela de fluxos e a tabela de coeficientes (correspondente à linha (0) do tabela). A solução ótima encontrada é única? Justifique. 16. Na terça-feira a empresa GT Railroad terá 4 locomotivas na IE Junction, 1 locomotiva em Certerville e 2 locomotivas em Wayover. Necessita-se 1 locomotiva em cada uma das estações: A-Station, Fine Place, Goodville e Somewhere Street. A tabela abaixo tem a distância entre as origens e os destinos: Formule e resolva o problema de atribuição de locomotivas objetivando minimizar a distância total percorrida. 17. Uma companhia de transporte aéreo deve planejar suas compras de combustível. Existem 3 fornecedores e a companhia reabastece seus aviões em qualquer dos 4 aeroportos que serve. Os fornecedores de combustível comunicaram que podem fornecer as seguintes quantidades durante o próximo mês. As necessidades em cada aeroporto são: Aeroporto 1: litros Aeroporto 2: litros Aeroporto 3: litros Aeroporto 4: litros Formule e resolva o problema para que a companhia de transporte aéreo minimize o custo de compra 103

104 18. A empresa de calçado Sapatex SA tem duas fábricas (F1 e F2) em território nacional e outros tantos centros de distribuição (C1 e C2). O departamento de gestão da empresa pretende estabelecer o plano de distribuição óptimo, ou seja, aquele que minimiza o custo de distribuição. Após um estudo rigoroso, determinaram-se os custos envolvidos no transporte do calçado das fábricas para os centros de distribuição, que são: 1.1, 1.2, 0.9 e 1.5 por par, de F1 para C1, F1 para C2, F2 para C1 e F2 para C2, respectivamente. A capacidade de produção das fábricas 1 e 2 é de 50 e 40 centenas de pares de sapatos, respectivamente, e que a capacidade e stock dos centros de distribuição 1 e 2 é de 30 e 60 centenas de pares. a) Esboce o problema e tente resolvê-lo mentalmente. b) Determine o plano de distribuição óptimo, através dos vários algoritmos aplicáveis. c) Verifique o resultado obtido através do solver. 19. Considere o problema de transportes com a seguinte tabela de parâmetros: a) Usando um dos critérios para obter uma solução inicial, resolva o problema pelo método do simplex dos transportes (meça o tempo que demora a resolver esta alínea) b) Formalize o problema como um problema geral de programação linear e resolva-o. Meça o tempo utilizado para resolver a alínea e compare-o com o da alínea anterior. 20. A fábrica P&T Company produz ervilhas em lata em três fábricas, as quais são enviadas para quatro armazéns para serem posteriormente distribuídas. Devido ao facto dos custos de distribuição serem um dos maiores custos, a empresa decidiu reduzi-los ao máximo, por forma a aumentar o lucro. Nesse sentido, pretende-se estabelecer qual o plano de distribuição óptimo. Os custos de transporte da fábrica 1 para os armazéns 1, 2, 3, e 4 são, respectivamente: 464, 513, 654 e 867 /camião. Analogamente, os custos da fábrica 2 são 352, 416, 690, e 791 /camião e os da fábrica 3 são 995, 682, 388 e 685 /camião. 104

105 As capacidades de produção das fábricas 1, 2 e 3 são, respectivamente, 75, 125 e 100 cargas/mês. As necessidades de cada armazém são 80, 65, 70 e 85 cargas/mês. a) Esboce o problema produzindo um diagrama de rede b) Formalize o problema como um problema de programação linear, e verifique que uma das restrições é linearmente dependente das outras. c) Resolva o problema pelo método do simplex. d) Resolva o problema pelo método do simplex dos transportes. Utilize os três critérios para obter a solução inicial e resolva-os. e) Compare o número de iterações que necessitou nas alíneas anteriores. f) Verifique os resultados obtidos através do Solver. 105

106 106

107 Unidade 5 107

108 108

109 CAPITULO 5: PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA Este tipo de programação se caracteriza por ter em suas resoluções variáveis que assumem somente valores inteiros. Existem neste tipo de problemas dois tipos básicos: a) a programação linear inteira total (ILP), onde todas as variáveis de decisão são de tipo inteiro; b) a programação inteira mista (MILP), onde apenas uma parte das variáveis são de tipo inteiro, enquanto as outras são de tipo real. As principais dificuldades que podem surgir ao realizar um modelo de programação linear com variáveis inteiras: Após arredondamento a solução pode não ser admissível para o problema PI. Falta de garantia de que uma solução (convenientemente) arredondada seja solução óptima para o problema PI. Aliás, pode mesmo estar bem longe do óptimo. Então a solução a este tipo de problemas é desenvolver algum algoritmo que possa entregar solução para variáveis inteiras. 5.1 Algoritmo Branch-Bound (Ramifica-e-Limita) A abordagem mais amplamente adotada para resolver problemas de Programação Inteira utiliza um método de busca em árvore, também referido como um Algoritmo de Retrocesso (Backtracking). Mista. O método pode ser aplicado em Problemas de Programação Inteira Pura ou Admitindo que o problema de Programação Inteira seja modelo por (modelo misto): Sujeito a 109

110 Supondo que para cada variável inteira seja possível fornecer limites inferiores L i e superiores U i que seguramente incluam os valores ótimos. A ideia principal do algoritmo Branch-Bound é oriunda de que um valor inteiro T qualquer contido no intervalo e X i uma solução ótima também satisfará: ou 5.2 Exemplos de Programação Inteira Exemplo 1: As praias usualmente são vigiadas no verão por salva-vidas. Uma programação numa praia deseja ser considerada, onde sete dias por semana estarão disponíveis vários nadadores(as)-salvadores. Por regulamento nenhum poderá trabalhar mais do que 5 dias por semana, tendo 2 dias consecutivos de repouso. Ao contrário da maior parte dos trabalhadores estes terão mais sobrecarga ao fim de semana. Atendendo especialmente ao nº de frequentadores das praias, à experiência de anos anteriores e à promoção de mais segurança, foi aprovada a seguinte tabela com a segurança necessária. Quantos nadadores(as)-salvadores deverão entrar ao serviço em cada dia da semana, procurando empregar o menor nº (N), mas satisfazendo as exigências? Este é um problema clássico de Programação Inteira Total (ILP), consideremos as variáveis seguintes: X 1 := Número de Salva-vidas que trabalham no dia domingo 110

111 X 2 := Número de Salva-vidas que trabalham na segunda X 3 := Número de Salva-vidas que trabalham na terça X 4 := Número de Salva-vidas que trabalham na quarta X 5 := Número de Salva-vidas que trabalham na quinta X 6 := Número de Salva-vidas que trabalham na sexta X 7 := Número de Salva-vidas que trabalham no dia sábado Como nenhum salva-vidas pode trabalhar mais de 5 dias, devendo descansar dois dias consecutivos, então, no dia domingo teremos aqueles que trabalharam todos os dias menos os de segunda e terça, para os outros dias acontece a mesma coisa, desta forma temos: Desta forma o modelo de programação linear fica dado por: As variáveis são introduzidas no Excel para encontrar a solução, o Solver já tem incluído o algoritmo Branch and Bounds em seu sistema, os passos para encontrar a solução são: 1 Introduzir os dados no Excel 2 Introduzir os parâmetros no Solver 111

112 3 Introduzir as restrições 4 Definir as variáveis inteiras como restrição do modelo, da forma seguinte: Obtendo os seguintes parâmetros 112

113 5 Apresentação da solução no Excel Isto quer dizer, que para o dia domingo serão necessários 2 salva-vidas, para segunda feira não haverá salva-vidas, para terça feira será necessário de 1 salva-vidas, na quarta feira são necessários de 7 salva-vidas, na quinta feira não haverá salva-vidas, na sexta feira haverá 5 salva-vidas e no sábado não haverá salva-vidas. Desta forma serão necessários 15 salva-vidas para uma semana. EXEMPLO 2: Se estão avaliando cinco projetos ao longo de um horizonte de planejamento de três anos. A tabela a seguir proporciona as utilidades esperadas para cada projeto e os egressos anuais associadas. 113

114 Determine os projetos que se iriam a executar ao longo do horizonte de três anos. Este problema é reduzido a uma decisão de sim-não para cada projeto. As variáveis podem ser definidas como: O modelo é definido por: Sujeito a Para a solução deve-se fazer os seguintes passos: 1 Introduzir dados 2 Introduzir parâmetros no Solver a) Introduzir Função objetivo e variáveis 114

115 b) Introduzir Restrições 3 O resultado 115

116 Os projetos selecionados foram do 1 a 4, o quinto projeto não foi selecionado, estes produziram uma lucratividade de 95 milhões de dólares, observe-se que não é consumido todos os fundos disponíveis em cada um dos três anos. EXEMPLO 3: Uma pessoa foi consultada por três companhias de Telefone para subscrever-se a seu serviço de Longa Distancia nos Estados Unidos. MaBell cobrará uma tarifa fixa de 16 dólares por mês, mais 0,25 centavos por minuto. PaBell cobrará 25 dólares por mês, mas reduzirá o custo por minuto a 0,21 centavos. Enquanto a BabyBell, a tarifa mensal fixa é de 18 dólares e o custo por minuto é de 0,22 centavos. Geralmente a pessoa consultada faz uma média de 200 minutos de chamada a longa distancia ao mês. Supondo que não pague a tarifa fixa, a menos de fazer as chamadas e de que possa dividir mais chamadas entre as três companhias, segundo ele ache conveniente, Como a pessoa pode usar os serviços das três companhias para minimizar a conta mensal de telefone? Observe-se que neste caso existem dois tipos de variáveis, estas são: X 1 := Minutos de longa distancia ao mês com a MaBell. X 2 := Minutos de longa distancia ao mês com a PaBell. X 3 := Minutos de longa distancia ao mês com a BabyBell. Y 1 := 1, se X 1 > 0 e Y 1 :=0, se X 1 = 0 Y 2 := 1, se X 2 > 0 e Y 2 :=0, se X 2 = 0 Y 3 := 1, se X 3 > 0 e Y 3 :=0, se X 3 = 0 Esta ultima definição exige que se Y i := 1, X i é positiva, desta forma: Desta forma o modelo é definido por: Sujeito a 116

117 Para a solução deste problema recorremos ao Solver do Excel, os passos são os seguintes: 1 Inclusão de dados 2 Inclusão de Parâmetros 117

118 3 Resultados Observe-se que segundo esta saída se deve considerar a empresa telefônica BabyBell como a empresa adequada para ligações a longa distancia, desta forma ele teria um gasto mensal de 62 dólares. 5.3 Exercícios 5.3 Exercícios 1. Certa indústria decidiu se expandir, construindo uma nova fábrica em Los Angeles ou em San Francisco. Também está sendo considerada a construção de um novo depósito na cidade que for selecionada para a nova fábrica. O valor presente líquido (lucratividade total considerando o valor do dinheiro no tempo) de cada uma destas alternativas está apresentado na tabela abaixo. A última coluna dá o capital requerido para os respectivos investimentos, onde o capital total disponível é de US$ ,00. O objetivo é encontrar a combinação viável de alternativas que maximize o valor presente líquido total. 2. Um jovem casal, Eva e Estêvão, quer dividir suas principais tarefas domésticas (compras, cozinhar, lavar pratos e lavar roupas) entre si, de modo que cada um tenha duas tarefas, mas que o tempo total gasto em tarefas domésticas seja mínimo. Suas eficiências nessas tarefas diferem, sendo que o tempo que cada um gastaria para desempenhar uma tarefa dada pela seguinte tabela: 118

119 3. Numa certa região existe uma usina nuclear para geração de energia elétrica. Face à possibilidade da ocorrência de vazamento de material radioativo, é necessária a preparação de um plano de evacuação de emergência para a região circumvizinha. O plano deverá prever a retirada segura de pessoas, animais e patrimônio essencial antes que os mesmos possam sofrer os efeitos nocivos da exposição radioativa. O modelo proposto para a evacuação idealiza a concentração das pessoas, animais e patrimônio em um centro de triagem e evacuação. A determinação do número de centros de triagem transcende a dimensão econômica. Se por um lado, um número excessivo de centros dificulta a coordenação da evacuação e aumenta o risco da exposição dos seres humanos, por outro, um número pequeno ocasionará certamente insuficiência no atendimento. As unidades de discretização possuem as seguintes demandas: p i = número de pessoas na área i v i = número de animais na área i o i = número de unidades de patrimônio na área i Cada centro de evacuação pode atender g pessoas, k animais e l unidades de patrimônio. Formule o problema de minimizar o número de centros de triagem do sistema de evacuação. 4. Uma grande fabrica de moveis dispõe de um estoque de 250 m. de tábuas, 600 m. de planchas e 500 m. de paneis de conglomerado. A fabrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome certa quantidade de matéria-prima, segundo a tabela abaixo. A escrivaninha é vendida por 100 u.m., a mesa por 80 u.m., o armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se exibir um modelo de programação linear que maximize a receita com a venda dos moveis. 5. A empresa Sun & Sons, com bastante sucesso em Portugal, está em fase de expansão, projetando-se a construção de novas fábricas e de mais eficientes sistemas de distribuição dos produtos. Atualmente tem uma fábrica junto a Santarém, com a capacidade de unidades. A crescente procura leva a direção da empresa a considerar, potencialmente, 4 zonas para localização de 119

120 fábricas novas: Chaves, Bragança, Viseu e Beja. O quadro seguinte apresenta um sumário das capacidades possíveis a instalar em cada fábrica, dos custos unitários (em u.m.) de transporte de cada fábrica para 3 destinos, que são cidades distantes entre si e com porto marítimo (Viana, Figueira e Setúbal), e as previsões da procura para 1 ano de planeamento Consideram-se os seguintes custos fixos de construção de novas fábricas: Chaves: c. Bragança: c. Viseu: c. Beja: c. A empresa pretende minimizar o custo total de construção e distribuição dos produtos. a) Apresente, e caracterize, um modelo de optimização para este problema. b) Modifique o modelo em a) por forma a que uma fábrica fique em Chaves ou em Bragança, mas não em ambas. c) Modifique o modelo em a) por forma a que: - no máximo fiquem 2 fábricas em Chaves, Bragança, e Viseu; - só possa haver fábrica em Bragança se outra for construída em Beja. 6. A fábrica da Companhia de Papel Textura Fina produz papel de diversas qualidades, mas sempre em rolos gigantes com uma largura padrão de 680 cm. Os clientes da companhia encomendam rolos (bobinas) com larguras menores ou iguais às dos rolos gigantes. Por exemplo, a tabela seguinte inclui os pedidos do dia, em papel duma dada qualidade: Assumindo que existem rolos gigantes suficientes, planeie o modo de os cortar (ver figura) por forma a satisfazer os pedidos e a a) minimizar o nº de rolos (gigantes) a utilizar; b) minimizar o desperdício, resultante do corte de rolos (gigantes). 120

121 Resolva, recorrendo a software adequado, via programação linear e via programação inteira. Comente as abordagens e os resultados. 7. Uma empresa pretende investir numa nova fábrica em Los Angeles ou em San Francisco (ou em ambas as cidades). Considera além disso, a construção de quando muito um armazém, o qual deverá ficar localizado na mesma cidade onde for construída uma nova fábrica. O capital disponível para investir é de 10 milhões de dólares 8. Uma empresa industrial desenvolveu 3 possíveis produtos novos e considera as seguintes restrições: a) Evitar diversificação: produzir quando muito 2 novos produtos b) Gestão de recursos: embora tenham 2 fábricas capazes de produzir os novos produtos apenas uma delas deverá ser usada. c) O tempo de produção nas duas fábricas não é o mesmo, nem a capacidade de produção disponível. 9. A LCL Tecnologia S/A tem que planejar seus gastos em P&D. A empresa préselecionou 4 projetos e deve escolher dentre esses quais deve priorizar em função de restrições orçamentárias. Os dados relevantes encontram-se na tabela abaixo. 121

122 10. A LCL Equipamentos S.A. produz três tipos de furadeiras que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricada, um custo de preparação da fabrica é incorrido. Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo serão produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Abaixo os dados relevantes à análise do problema. 11. Uma empresa necessita de alugar veículos pesados adicionais para a distribuição diária de 120 toneladas de um determinado produto a um novo cliente. A empresa de aluguer de veículos de transporte dispõe de: veículos articulados de 35 toneladas que requerem um condutor e dois ajudantes e custam 350 U.M. por dia; veículos de 20 toneladas, com um custo de 250 U.M., e requerendo um condutor e um ajudante; veículos de 10 toneladas, com um custo diário de 160 U.M., e requerendo apenas um condutor. Sabendo que a companhia dispõe de 6 condutores e de 6 ajudantes, e que, dada a distância a que se encontra o cliente, cada veículo só pode efetuar uma viagem por dia, determine a política óptima de aluguer. 12. A companhia de transporte de mercadorias, Expresso Cargo, está a atravessar uma fase de profunda reestruturação. Um dos principais objetivos a atingir é a renovação da sua frota, através da aquisição imediata de, pelo menos, seis novos 122

123 camiões, mais modernos e rentáveis do que os utilizados presentemente pela empresa. Depois de uma análise cuidada das opções disponíveis, a Expresso Cargo selecionou os seguintes modelos: Um estudo efetuado pela empresa mostra que o lucro anual estimado para cada novo tipo de camião pode ser representado por : Onde Lucro = * CC - 10 * CO (UM) CC = Capacidade de carga do camião (m 3 ) e CO = Custo de operação (UM/km). Por razões que se prendem com a tradição da Expresso Cargo, pelo menos metade dos novos camiões devem ser do modelo Bolbo (este modelo é extremamente popular junto dos camionistas da empresa, pela sua fiabilidade). Infelizmente, dada a atual situação financeira da empresa, não é possível investir mais do que UM na aquisição de novos camiões. A administração do Expresso Cargo acaba de contratar como consultor. Quantos camiões de cada modelo aconselha a empresa a comprar, por forma a maximizar o lucro anual esperado e respeitando as restrições mencionadas? 13. Uma empresa decidiu abrir uma nova fábrica em um de dois locais possíveis: Braga ou Guimarães. A empresa está também a considerar a hipótese de construir um armazém de venda direta ao público na mesma cidade em que instalar a fábrica. Após ter efetuado um estudo económico do problema, a empresa estima que os valores presentes do investimento necessário e dos lucros associados a cada projeto serão os indicados na tabela seguinte: 123

124 A empresa dispõe de um máximo de U.M. para investir, e o seu objetivo é maximizar os lucros. Apresente uma formulação adequada à resolução do problema 14. Uma empresa está a planear a possível introdução de quatro novos produtos. O Departamento de Gestão da Produção terá que decidirem quais dos quatro produtos devem realmente ser produzidos, e a que níveis de produção. Um custo substancial está associado à introdução de qualquer um dos produtos, como se pode ver na primeira linha da tabela seguinte. O lucro líquido esperado por cada unidade de um novo produto é dado na segunda linha da mesma tabela Se x 1, x 2, x 3, x 4 representarem os níveis de produção para cada um dos produtos, e se o Departamento de Gestão considerar que: não poderão ser introduzidos mais do que dois novos produtos; o produtos 3 só poderá ser introduzido em conjunto com o produto 1 ou com o produto 2; só uma das restrições tecnológicas seguintes deverá ser efetiva: 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 4x x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 5x Formule o problema como um modelo de Programação Linear Inteira. 15. A empresa SóLogística S.A. pretende resolver um problema de localização dos seus dois futuros armazéns. O problema consiste em escolher dois, de entre três possíveis, locais de implementação já previamente identificados (Locais 1, 2 e 3), e em determinar os respectivos níveis de utilização. Os dois armazéns servirão de entrepostos de abastecimento de uma vasta gama de produtos que a empresa irá distribuir pelos seus numerosos clientes espalhados por quatro regiões distintas (Regiões A, B, C e D). Na tabela abaixo, os valores apresentados representam a grandeza relativa dos custos de transporte Local-Região, tendo como base o custo estimado para o par (Local 1 Região A) por exemplo, o custo estimado para o par (Local 2 Região A) terá sido o triplo desse custo de referência. A tabela mostra também o valor esperado da procura mensal por região. 124