O USO DA FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

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1 O USO DA FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR João Batista de Jesus FATEC-JAHU Célio Favoni 2 FATEC-JAHU Resumo Este trabalho expõe de maneira sintetizada as funcionalidades da ferramenta Solver do Microsoft Excel, para resolução de problemas de programação linear. Tem como objetivo ser um instrumento de introdução à ferramenta Solver e despertar o interesse do leitor para o uso desta e de outras ferramentas de otimização. Palavras-chave: Solver, Programação Linear, Excel. Abstract This work summarizes the features of the tool Solver for Microsoft Excel, used to solve problems of Linear Programming. Its objective is to introduce the Solver tool and call the readers attention to this and other optimization tools. Keywords: Solver, Linear Programming, Excel. Programação Linear Segundo CAIXETA-FILHO (2004), programação linear é um aprimoramento da técnica de resolução de sistema de equações lineares via inversões sucessivas de matrizes, com a vantagem de incorporar uma equação linear adicional representativa relacionada com um comportamento que deve ser otimizado. A programação linear é um das técnicas mais utilizadas na pesquisa operacional. Sua aplicação é facilitada devido a simplicidade do modelo e a disponibilidade de uma técnica de solução programável em computador. As aplicações mais comuns são feitas em Produção, Finanças, Logística, Matemática aplicada entre outras SILVA et al. (998). Elaboração do Modelo SILVA et al. (998), apresenta o seguinte roteiro para a formulação do modelo matemático de programação linear: a) Variáveis de decisão Consiste em explicar as decisões que deverão ser tomadas. Por exemplo, se for um problema de programação de produção, as variáveis poderão representar as quantidades a produzir de cada produto em um determinado período. b) Função objetivo Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, é a otimização (maximizar ou minimizar algo) desejado. Geralmente aparecem na forma de maximização de lucros ou receitas; minimização de custos ou perdas etc. c) Restrições Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), elaboradas com as variáveis de decisão. Por tanto, as variáveis de decisão poderão estar sujeitas a uma ou mais limitações. Normalmente as variáveis de decisão podem assumir apenas valores positivos, sendo assim faz-se necessário também expressar as restrições de não negatividade. Para exemplificar o a montagem de um modelo, considere o seguinte problema extraído de SIL- VA et al. (998) pg. 9. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 00 caixas de pêssegos a 0 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter lucro máximo? Construa o modelo do problema. Nota: u.m. corresponde a unidade monetária. Solução: a) Variáveis de decisão As variáveis de decisão representam os valores desconhecidos referente ao problema proposto. No caso desse problema, não sabemos a quantidade de caixas de pêssegos e de tangerinas 2

2 que devemos transportar, portanto esse problema possui duas variáveis, podemos chamálas de x e x 2 onde: x representa a quantidade de caixas de pêssego a ser transportada. x 2 representa a quantidade de caixas de tangerina a ser transportada. Note que a quantidade de caixas de laranja foi fixada em 200. b) Função Objetivo A função objetivo define a otimização desejada. No caso desse problema, deseja-se a maximização do lucro. O lucro atribuído a cada tipo de fruta deve ser multiplicado pela respectiva quantidade a ser transportada, portanto a função objetivo é expressa pela seguinte equação: L = 0x + 30x () Onde: L é o lucro máximo. 0 lucro por cada caixa de pêssego transportada. x quantidade de caixa de pêssego a ser transportada. 30 lucro por cada caixa de tangerina transportada. x 2 quantidade de caixa de tangerina a ser transportada lucro obtido pelo transporte de 200 caixas de laranja a 20 u.m. cada. c) Restrições As restrições definem as limitações a que o problema está sujeito. Neste caso, há três restrições: Sendo a quantidade total de caixas a serem transportadas, a quantidade de caixas de pêssego deve ser de pelo menos 00 e a de tangerina no máximo 200. Portanto teremos três inequações denominadas como restrições técnicas. Total de caixas a serem transportadas. x + x <= 800 ou x + x2 <= 600 (2) Mínimo de caixas de pêssego. x >= 00 (3) Máximo de caixas de tangerina. x <= 200 (4) 2 Devemos também expressar as restrições de não negatividade para que as variáveis de decisão não assumam valores negativos. Então, teremos mais duas inequações: x >= 0 (5) x >= 0 2 (6) A elaboração de um modelo é um passo muito importante para que se possa posteriormente chegar a uma resolução. Solver do Excel Conforme o manual do usuário do Office 2003, o Solver faz parte de um conjunto de programas, que geralmente são chamados de ferramentas de análise hipotética, ou seja, uma ferramenta que possibilita encontrar um valor ideal (otimizado) para uma determinada equação. Para resolver problemas lineares e de números inteiros, o Solver utiliza o algoritmo Simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite. Esse método foi implementado por John Watson e Dan Fylstra, ambos da Frontline Systems, Inc. Definindo o Modelo de Otimização no Excel Winston (2004), propõe a montagem de um modelo de otimização no Excel em três partes: Célula de destino (fórmula da função objetivo), Células variáveis e as Restrições. Este método é bem semelhante ao modelo matemático anteriormente explicado, Entretanto facilitará a passagem dos dados do modelo matemático convencional para uma planilha do Excel e posteriormente a manipulação dos mesmos pelo Solver. Célula de destino É a célula que representa a meta ou o objetivo que se deseja atingir. Esta célula deverá conter uma fórmula que represente a função objetivo do modelo proposto. Por exemplo, combinar a quantidade de caixas de frutas a serem transportadas conforme suas respectivas demandas com a finalidade de maximizar o lucro. Células variáveis Estas células poderão ser alteradas ou ajustadas a fim de atingir a otimização da célula de destino. A determinação destes valores está diretamente relacionada às restrições e/ou limitações do modelo. Restrições As células das restrições representam os valores a que o modelo está limitado. Estes valores estão relacionados à quantidade de recursos disponíveis, por exemplo, matéria-prima e mão 2

3 de obra, sendo que não podemos produzir mais do que é demandado, portanto a demanda também pode ser um fator limitante do modelo. Geralmente cada restrição poderá ser constituída de três células com os respectivos conteúdos: ª célula (Termo da esquerda): contém fórmula com constantes e variáveis do modelo. Ex: 3*B5+2*B6. 2ª célula: Operador relacional. Ex: >=, <=, =. Nesta etapa, serve apenas como ilustração. 3ª célula (Termo da direita): contém o Valor limitante da restrição. Instalando o Solver O Solver é distribuído juntamente com o pacote Office da Microsoft como suplemento que pode ser incorporado ao Excel. Por padrão o Solver não estará instalado após a instalação típica do pacote Office, portanto será necessário instalálo através do recurso de instalação de suplementos descrito a seguir. Para instalar o Solver siga os seguintes passos:. Com o Excel aberto, clique no menu Ferramentas e depois em Suplementos. 2. Na caixa de diálogo Suplementos, procure o Solver na lista de suplementos disponíveis e selecione-o conforme a figura a seguir. 3. Clique em OK para confirmar a instalação. Figura 2: Planilha com os dados do modelo proposto. Nota: As células B2 e B3 representam as células ajustáveis (variáveis). 2. Acrescente nesta planilha as seguintes fórmulas: Na célula B6: =0*B2+30*B Na célula A0: =B2+B3+200 Na célula A: =B2 Na célula A2: =B3 3. Selecione a célula de destino (B6) e execute a ferramenta Solver. Para isso, clique na célula B6 e depois clique no menu Ferramentas e em seguida clique em Solver.(figura 3) Figura : Caixa de diálogo Suplementos com o suplemento Solver selecionado. Resolvendo Problema Linear no Solver Utilizaremos o método proposto por Winston (2004) para montagem no Excel do modelo do transporte de caixas de frutas que foi abordado anteriormente. Para isso, execute o Excel e em uma nova planilha, siga os seguintes passos:. Prepare uma planilha com os dados do modelo conforme a figura 2 a seguir. Figura 3: Caixa de diálogo dos Parâmetros da Ferramenta Solver. 4. Defina a célula de destino, clicando sobre ela ou digitando a referência da mesma. Se a célula de destino já estiver selecionada antes de abrir o Solver, a célula de destino já estará definida. Nota: O cifrão é utilizado para definir uma referência absoluta. Isto significa que se precisarmos mover o valor da célula referenciada, as definições especificadas no Solver serão atualizadas automaticamente. Para maiores esclarecimentos sobre tipos de referências, consulte a ajuda do Excel. 5. Defina o tipo otimização, Max para maximizar a função objetivo, Min para minimizar a função 3

4 objetivo e Valor para especificar um valor para função objetivo. No caso do exemplo proposto, será a opção Max, para maximizar o Lucro. 6. Especifique as células ajustáveis. Quando essas células forem adjacentes, clique na caixa Células ajustáveis, clique na primeira célula e arraste até a última célula ajustável. Caso contrário utilize ponto e vírgula entre cada referência. No caso do exemplo proposto, serão as células B2 e B3, que podem ser referenciadas como B2:B3 por serem adjacentes. Nota: O Solver suporta até 200 células ajustáveis (variáveis). 7. No quadro Submeter às restrições, siga os seguintes passos para inserir as restrições: 7.. Clique no botão Adicionar. Surgirá uma janela conforme a figura Clique na caixa Referência de célula, em seguida na célula ou digite a referência que conterá o valor que será comparado com o limite da restrição que está sendo especificada Escolha o operador conforme o tipo de restrição Clique na caixa Restrição, em seguida na célula ou digite a referência que contém o limite para a restrição que está sendo especificada e depois em OK para adicionar a restrição. Figura 5: Caixa de diálogo Opções do Solver. A figura 6 demonstra como modelo proposto como exemplo ficará definido no Solver. Antes de clicar no botão Resolver certifique-se de que todas as definições estejam corretas. Figura 4: Janela Adicionar restrição com a ª restrição do modelo proposto definida. Repita o passo 7 e todos os seus sub-passos para cada restrição do modelo. 8. Para atender as restrições de não negatividade, clique no botão opções e selecione a caixa de seleção Presumir não negativos. Como estamos trabalhando com problemas lineares, selecione também a caixa de seleção Presumir modelo linear, conforme demonstrado na figura 5. Figura 6: Janela do Solver com as definições do modelo proposto. 9. Clique no botão Resolver. Surgirá uma janela perguntando se desejamos Manter ou Restaurar os valores, como mostra a figura 7. Também é possível selecionarmos os relatórios sobre o processo de solução. Selecione as opções que desejar e clique em OK. Figura 7: Janela de Resultados do Solver. 4

5 Confira na figura 8, o resultado da função objetivo na célula de destino (B6), e os valores das células ajustáveis B2 e B3 que propiciaram a otimização do modelo proposto através da maximização do Lucro. Prolin (João Matos e Ricardo Matos (Escola Superior de Tecnologia de Setúbal) Multisimplex (Gabritech Solutions) Bibliografia CAIXETA-FILHO, José Vicente. PESQUISA OPERACIONAL: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. 2. ed. São Paulo, Atlas, cap. 2. p SILVA, Ermes Medeiros; et al. PESQUISA O- PERACIONAL: Programação linear. São Paulo, Atlas, 998. cap. 2. p Figura 8: Resultado do modelo proposto. Nota: Mesmo depois que o problema foi resolvido, é possível realizar alterações na planilha ou nas definições do Solver, portanto, caso isso ocorra, abra novamente o Solver, e excute a resolução novamente através do botão Resolver. WINSTON, Wayne L. Introdução à otimização com a ferramenta Solver do Ms-Excel. Disponível em: <http://office.microsoft.com/ptbr/assistance/ha aspx> Acessado em: 7 mar Microsoft Office On-Line - Sobre o Solver. Disponível em: <http://office.microsoft.com/ptbr/assistance/hp aspx> Acessado em: 20 mar Substituindo as variáveis x e x 2 da função objetivo pelos valores que foram obtidos através do solver nas células ajustáveis B2 e B3, obtemos a seguinte expressão: L = Resolvendo a expressão acima, chegaremos ao mesmo resultado obtido através do Solver: 4000 u.m. Esse é o valor ótimo para o modelo proposto, neste caso ótimo significa maximizar o Lucro levando em consideração as restrições impostas. Outras Ferramentas de Otimização Veja a seguir alguns softwares da área de pesquisa operacional disponíveis para download (baixar) da Internet gratuitamente para fins acadêmicos. Para utilização comercial é necessário licenciar o produto. LINDO (Lindo Systems Inc) 5

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