ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA OPERACIONAL

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1 ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA OPERACIONAL André Luis Trevisan Universidade Tecnológica Federal do Paraná Magna Natalia Marin Pires Universidade Estadual de Londrina Resumo:O objetivo deste minicurso é apresentar alguns problemas da Pesquisa Operacional, com destaque àqueles que podem ser abordados no Ensino Médio. Por estar alicerçada na modelagem matemática e fazer uso de situações-problema que fazem parte da realidade, a Pesquisa Operacional mostra-se como um tópico que contribui tanto para o desenvolvimento do raciocínio matemático do aluno quanto para a formação e capacitação dos professores de Matemática. A partir das soluções apresentadas pelos participantes pretende-se discutir estratégias de resoluções de problemas que podem ser ensinadas nas aulas de matemática. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Pesquisa Operacional; Estratégias; Educação Matemática. AS ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA É fato que uma das estratégias de ensino da Matemática consiste na utilização da Resolução de Problemas em sala de aula, como forma para um processo ensino e aprendizagem que ofereça uma melhor compreensão da matéria por parte dos alunos. Nesse sentido, a resolução de problemas, inserida em um ensino baseado em um processo constante de construção de conhecimentos pode constituir como um modo de conceber as atividades educativas. A Resolução de Problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Matemática é resolver problemas, pode ser um bom caminho para fazer com que os alunos construam novos conceitos matemáticos, participem mais ativamente das aulas, e vejam a Matemática útil e prazerosa. Neste minicurso, pretendemos apresentar estratégias diferentes de solução de um mesmo problema a partir das soluções dadas pelos participantes. 1

2 Segundo MUSSER e SHAUGHNESSY (1997), tentativa-e-erro, padrões, resolver um problema mais simples, trabalhar em sentido inverso e simulação são algumas estratégias de resolução de problemas. Segue algumas particularidades de cada uma das estratégias mencionadas: tentativa-e-erro: envolve simplesmente a aplicação das operações pertinentes às informações dadas; padrões: generaliza a partir de casos particulares dos problema para chegar a solução; resolver um problema mais simples: pode envolver a resolução de um caso particular de um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida; trabalhar em sentido inverso: parte do objetivo, ou do que deve ser provado, e não dos dados; simulação: compreende em preparar e realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada em uma análise de dados. PESQUISA OPERACIONAL Conforme nos colocam HILLIER e LIEBERMAN (006), desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia um crescimento extraordinário no tamanho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial dessa mudança foi o extraordinário aumento na divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas organizações. Entretanto, junto com seus pontos positivos, essa crescente especialização criou problemas novos, problemas estes que ainda ocorrem em muitas organizações. À medida que aumentam a complexidade e a especialização em uma organização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da maneira mais eficiente para a organização como um todo. Esses tipos de problemas e a necessidade de encontrar o melhor caminho para solucioná-las criaram condições necessárias para o surgimento da Pesquisa Operacional (comumente referida como PO).

3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM MODELOS MATEMÁTICOS A pesquisa operacional e, em particular, a programação matemática tratam de problemas de decisão e fazem uso de modelos matemáticos que procuram representar o problema real. Segundo ARENALES et al (007), para formular um modelo matemático, simplificações razoáveis do sistema ou problema real precisam ser consideradas e a validação deste modelo depende da coerência entre uma solução e o contexto original. Variáveis (incógnitas) são definidas e relações matemáticas entre essas variáveis são estabelecidas de forma a descrever o comportamento do sistema. O modelo matemático é resolvido (isto é, são determinados valores para as incógnitas, produzindo soluções que dependem dos dados do problema) e o passo seguinte consiste na validação do modelo, isto é, verificar se as soluções obtidas pela resolução do modelo matemático, para diversas situações alternativas (por exemplo, alterando-se dados do problema como demandas, custos, etc) são compatíveis com a realidade. A abordagem de resolução de um problema por meio da pesquisa operacional pode ser sintetizada nas seguintes fases: (i) definição do problema; (ii) construção do modelo; (iii) solução do modelo; (iv) validação do modelo e (v) implementação da solução. EXEMPLOS ILUSTRATIVOS Na Pesquisa Operacional, trabalhamos com situações cujo objetivo é encontrar a melhor solução, que chamamos de solução ótima. Por exemplo, podemos objetivar encontrar o maior lucro, ou o menor custo possível em determinada situação. No caso do lucro, desejamos encontrar o lucro máximo, por isto também chamamos esses tipos de problemas de problemas de maximização. Já se nosso objetivo é obter um custo mínimo de produção, temos um problema de minimização. De forma geral, uma situação que exige a obtenção de uma melhor solução para determinada função é um problema de otimização. Para ilustrar a aplicação da Pesquisa Operacional na formulação de problemas, consideremos os exemplos descritos a seguir, construindo, passo a passo, o modelo matemático em cada um deles. 3

4 Num primeiro momento, abordaremos Problemas de Otimização Combinatória, ou seja, problemas cujas variáveis são inteiras ou apenas 0 ou 1, tornando o conjunto de possíveis soluções muito grande. Tais problemas podem ser abordados através de métodos que levam em conta sua formulação ou por métodos heurísticos ou exatos de busca em árvores ou grafos. Na segunda etapa, trabalharemos com problemas de Programação Linear com duas variáveis de decisão, cuja resolução será feita por meio de procedimento gráfico, e cuja solução será determinada explorando a função objetivo e as regiões definidas por inequações que representam as restrições do problema. Durante as 1ª e ª etapas, descritas anteriormente, serão discutidas as estratégias utilizadas pelos participantes do minicurso. A última etapa será destinada a classificação das estratégias utilizadas, tomando como parâmetro a classificação proposta por MUSSER e SHAUGHNESSY (1997). Nesta etapa poderão ser desenvolvidas outras solução para os problemas trabalhados. Problema 1 1 : João foi fazer compras no Paraguai e deseja obter o máximo de lucro com as futuras vendas. Porém, ele só pode levar no ônibus 0 kg de produtos e tem garantido a compra de uma e apenas uma unidade de cada produto. Ajude João a selecionar quais produtos comprar para obter o máximo de lucro, levando em conta os dados da tabela 1. Tabela 1: Peso e lucro dos itens Item Peso (Kg) Lucro (R$) DVD 4 60 TV Monitor LCD Jogos Eletrônicos Computador Calculadora Filmadora Máquina Fotográfica Adaptado de SALLES NETO (006). 4

5 Problema : A mãe de Tiago torceu um pé, mas as compras para o jantar têm de ser feitas. A lista que a mãe do Tiago fez contempla idas aos seguintes locais: açougue (A), mercearia (M), frutaria (F) e padaria (P). Tiago também precisa de um sapato novo e de dois livros para a escola e, por isso, tem de passar na sapataria (S) e na livraria (L). Tome como pontos os locais onde Tiago tem de ir e desenhe um trajeto que Tiago poderá percorrer de modo a visitar cada um desses locais e regressar novamente a casa (C), tomando por base a figura 1. Figura 1: Esquema para o problema. Figura extraída de COSTA a) sem restrições; b) sabendo que quer ir primeiro à livraria; c) sabendo que só vai ao açougue imediatamente antes de ir para casa. Problema 3 3 : No esquema seguinte estão representadas as ligações entre cidades asseguradas por uma companhia de ônibus, bem como as distâncias entre elas (em km). Supondo que o ônibus sai da cidade A, qual é o percurso mais curto que lhe permite passar por todas as cidades e regressar à A, conforme a figura? Adaptado de COSTA. 3 Adaptado de COSTA. 5

6 Figura : Esquema para o problema 3. Figura extraída de COSTA Problema 4 4 : Um vendedor de material de informática tem de visitar empresas em diversos locais do país. No grafo seguinte estão indicadas as cidades a visitar, bem como as distâncias entre elas (em km). Escolhendo um vértice qualquer como ponto de partida, qual é o percurso que representa a menor distância a ser percorrida, conforme a figura 3? Figura 3: Esquema para o problema 4. Figura extraída de COSTA 4 Adaptado de COSTA. 6

7 Problema 5 5 : Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de sorvete: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de $3 e os lotes de creme com o lucro de $1. Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolo de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menor do que 0. O mercado só é capaz de consumir até 40 bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação de sorvete disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consome horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Determinar o esquema de produção que maximize os lucros com a venda dos bolos de sorvete. Algo mudaria em sua solução de tivéssemos disponíveis 185 horas de operação? REFERÊNCIAS ARENALES, Marcos et. al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 007. COSTA, Álvara. Grafos hamiltonianos. Disponível em Acesso em: 15 mar HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: McGraw-Hill, 006. MUSSER G.L. e SHAUGHNESSY J. M. Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar. In: KRULIK, S. e REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, p SALLES NETO, Luiz Leduíno de. Tópicos de pesquisa operacional para o ensino médio. In: III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 006. Disponível em Acesso em: 08 mai SOUZA, Marcone Jamilson Freitas. Otimização combinatória. Disponível em Acesso em: 15 mar Adaptado de SOUZA. 7