CONTROLE DE CORRENTE DESACOPLADO DE MI VIA OBSERVADOR DE DISTÚRBIO E CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES

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1 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 CONTROLE DE CORRENTE DESACOPLADO DE MI VIA OBSERVADOR DE DISTÚRBIO E CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES Rorigo Pailha Vieira, Thieli Smit Gabbi, Hilton Abílio Grünling Grupo e Eletrônica e Potência e Controle (GEPOC) Univeriae Feeral e Santa Maria (UFSM) Santa Maria, RS, Brail rorigovieira@ieee.org, thieligabbi@gmail.com, ghilon3@gmail.com Abtract Thi paper preent a ecouple current control ytem applie to inuction machine rive uing liing moe controller an iturbance oberver. The current control of inuction motor i carrie out with inirect fiel orientation rotating at ynchronou reference frame q. Moreover, an algorithm aiming the rotor pee etimation bae on magnetizing current etimation an liing moe approach i preente. A reult, a enorle control ytem with ecoupling of tator current i propoe. Simulation an experimental reult are preente aiming to verify the ytem performance. Keywor Sliing moe control, inuction motor, iturbance oberver. Reumo Ete trabalho apreenta um itema e controle eacoplao e corrente aplicao a motore e inução utilizano controlaor por moo elizante e obervaor e itúrbio. O controle e corrente o motor e inução é realizao com orientação inireta pelo campo em eixo íncrono q. Além io, um algoritmo para etimação a velociae rotórica baeao na etimação a corrente magnetizante e métoo por moo elizante é apreentao. Como reultao, um itema e controle enorle com controle e corrente eacoplao é propoto. Reultao e imulação e experimentai ão apreentao para valiação o métoo propoto. Palavra-chave Controle por moo elizante, motor e inução, obervaor e itúrbio. Introução Máquina e inução (MI) têm io amplamente utilizaa em aplicaçõe inutriai no último ano evio ua robutez, cuto e impliciae quano comparaa a máquina íncrona ou máquina e corrente contínua. O métoo e orientação pelo campo (FOC) permitem a melhora o eempenho inâmico o itema e acionamento e máquina e inução e etão bem etabelecio na literatura (Finch an Giaouri, 8); (Holtz, 5); (Holtz, ); (Va, 998). No métoo FOC a velociae íncrona a máquina é ientificaa e o controle eacoplao e fluxo/corrente e eixo ireto e torque/corrente e quaratura é realizao. No entanto, em eacoplamento, a alteração na corrente em um o eixo provoca um itúrbio tranitório na outra corrente (Comanecu et al., 8). O eacoplamento completo entre a corrente e eixo ireto e quaratura poe er realizao a partir a etimação e etao a máquina e uma realimentação o tipo feeforwar ete termo, porém, o eacoplamento com parâmetro errao poe reuzir o eempenho o itema (Comanecu et al., 8). Comanecu et. al. (8) propueram um métoo e eacoplamento e corrente aplicao a máquina e inução baeao em um controlaor por moo elizante com ação integral. O algoritmo propoto é uao para eacoplar o itema em eixo íncrono e também para compenar incerteza paramétrica na malha e controle e corrente. Por outro lao, vário trabalho apreentao na literatura têm eenvolvio técnica e etimação a velociae rotórica em itema e controle o tipo enorle (Barut et al., 7); (Peng an Fukao, 994); (Utkin, 993); (Orlowka- Kowalka an Dybkowki, ). Nete contexto, o métoo e controle por moo elizante ão caracterizao pela impliciae e implementação, rejeição e itúrbio e forte robutez, eno uao para etimação e controle e vário proceo, incluino etimação e velociae e máquina elétrica e controle e corrente, torque ou velociae (Rao et al., 9); (Utkin et al., 999); (Lacu et al., 9); (Yang et al., 3); (Vieira et al., 3). Yang et. al. (3) propueram um itema e controle por moo elizante com obervaor não-linear e itúrbio aplicao a um itema com itúrbio não caao. O trabalho e Deriyok et. al. () apreenta um obervaor a velociae rotórica e a contante e tempo rotórica aplicao a máquina e inução trifáica, e forma que na contrução ete obervaor não é neceária a informação o fluxo rotórico para obtenção a velociae rotórica etimaa, e por fim, no trabalho é apreentaa a análie e etabiliae pelo métoo Lyapunov. No preente trabalho é apreentao um itema e controle eacoplao e corrente em máquina e inução utilizano controlaor por moo elizante e obervaor e itúrbio. Além io, é apreentao um métoo e eti- 364

2 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 mação a velociae rotórica e máquina e inução baeao na etimação a corrente magnetizante e métoo por moo elizante. Com io, um itema e controle enorle com controle e corrente eacoplao é apreentao. A análie e etabiliae é realizaa a partir e funçõe caniata Lyapunov. Reultao e imulaçõe e experimentai ão apreentao para verificação o eempenho o métoo propoto. Ete trabalho é organizao como egue: a eção apreenta o moelo o motor e inução; a eção 3 apreenta o controlaor e corrente por moo elizante e obervaor e itúrbio; a eção 4 traz o algoritmo e etimação a velociae rotórica; na eção 5 ão apreentao o reultao e imulação, a eção 6 apreenta o reultao experimentai, enquanto a eção 7 apreenta a concluõe o etuo realizao. Moelo o motor e inução O comportamento inâmico e um motor e inução poe er moelao por equaçõe iferenciai a corrente etatórica e o fluxo rotórico em um referencial íncrono (q e ) (Kraue et al., 995), pela expreõe, = γ ω i + βηϕ rq βpω r ϕ r + σl v q () i = γi + ω + βpω r ϕ rq + βηϕ r + σl v () ϕ rq = ηϕ rq (ω pω r ) ϕ r + ηl m (3) ϕ r = ηϕ r + (ω pω r ) ϕ rq + ηl m i (4) T e = 3 L m p (ϕ r ϕ rq i ) (5) L r ω r = B n J ω r + J (T e T L ) (6) one, R, R r ão a reitência o enrolamento etatórico e rotórico, L, L r ão a inutância o etator e o rotor e L m é a inutância mútua;, i, ϕ rq, ϕ r, v q, e v ão a corrente etatórica, fluxo no rotor e tenão no etator, ω r é a velociae rotórica, ω é a velociae íncrona, T e é o torque eletromagnético, T L é o torque e carga, J é o momento e inércia, B n é o coeficiente e atrito vicoo, e p é o número e pare e pólo. A contante na equaçõe acima ão efinia como, η R r L r, σ L m L L r, β γ R σl + βηl m. L m σl L r, 3 Controlaor por moo elizante baeao em obervaor e itúrbio Coniere o itema com a preença e itúrbio ecrito pela eguinte equaçõe, { ẋn (t) = Ax n (t) + Bu n (t) + G n y n (t) = Cx n (t) (7) one, n repreenta o eixo q ou, x n é um etao o itema, A, B, C e G ão parâmetro a planta, u n é a ação e controle, y n é a aía a planta, e n é um itúrbio. A expreõe () e () poem er reecrita no formato e (7), e forma que o parâmetro o itema ão ao por, x q =, x = i, u q = v q, u = v ; y q =, y = i ; A = γ, B = σl, C =, G = ; q = ω i + βηϕ rq βpω r ϕ r ; = ω + βpω r ϕ rq + βηϕ r. Um obervaor não-linear e itúrbio é apreentao e utilizao em iferente aplicaçõe por (Chen et al., ); (Chen, 4); (Yang et al., 3). Tal obervaor e itúrbio também poe er utilizao na forma linear com o intuito e obervar o itúrbio o itema (7), eno ecrito pelo eguinte itema, { ṗn = lgp n l (Glx n + Ax n + Bu n ) ˆ n = p n + lx n (8) one, l R +. Com a utilização o obervaor e itúrbio apreentao em (8) poe-e projetar um controlaor por moo elizante com o objetivo e ratrear uma eterminaa referência e corrente e rejeitar o itúrbio o itema (7). Para tanto, efine-e uma uperfície e elizamento, σ n = y n y n (9) one, y n é a referência para a corrente e i. Uma ação e controle por moo elizante com obervaor e itúrbio é projetaa a forma, u n = (CB) [ CAx n + kign (σ n ) ẏ n + CG ˆ n ] one, k R +. () 3. Análie e etabiliae o obervaor e itúrbio Hipótee : A erivaa o itúrbio o itema (7) é limitaa e atifaz lim n (t) =. t O erro e etimação o itúrbio é efinio como, 365

3 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 e n = n ˆ n. () A equação iferencial o erro e etimação o itúrbio poe er ecrita na forma, ė n = n ˆn. () Subtituino a eguna equação e (8) em () reulta ė n = n (ṗ n + lẋ n ) (3) A partir a hipótee, ubtituino a primeira equação e (7) e a primeira equação e (8) em (3) obtém-e, ė n = lge n (4) A partir e (4) verifica-e que o obervaor e itúrbio apreentao em (8) é aintóticamente etável para (lg R + ), e que a etimativa o itúrbio ˆ n poe ratrear o itúrbio n o itema (7). 3. Análie e etabiliae o controlaor e corrente por moo elizante A equação iferencial a uperfície e elizamento aa em (9) poe er ecrita a forma, σ n = C (Ax n + Bu n + G n ) ẏ n (5) Reolveno (5), σ n = kign (σ n ) + CGe n (6) Coniere a função caniata Lyapunov, Derivano V = ( σ n + e n) (7) V = σ n σ n + e n ė n (8) Subtituino (4) e (6) em (8), reulta, V = k σ n + σ n e n lge n (9) Logo, para k e l poitivo e grane uficiente, a erivaa e V é negativa e a variávei σ n e e n tenem a zero. Quano σ n =, o itema (7) ob a lei e controle u poe er expreo por, ẋ n = Ax n + B ( (CB) [ CAx n ẏn + CG ˆ ]) n +G n () A inâmica a aía a planta poe er obtia erivano y n, ẏ n = Cẋ n () Subtituino () em () e acrecentano a inâmica o erro e etimação o itúrbio, reulta, Ou eja, { ẏn = ẏ n CG ˆ n + CG n ė n = lge n () { ẏn = ẏ n CGe n ė n = lge n (3) A partir e (3) verifica-e que o itema eliza aintóticamente para o ponto e equilíbrio com a utilização a lei e controle projetaa. 4 Etimação a velociae rotórica Em (Vieira et al., 3) é propoto um algoritmo para etimação a velociae rotórica utilizano algoritmo por moo elizante. A partir a equaçõe inâmica o motor e inução em um referencial etacionário q aa por, i q = γi q + β τ r ϕ rq βpω r ϕ r + σl v q (4) i = γi + βpω r ϕ rq + β τ r ϕ r + σl v (5) A força contra eletromotriz (fcem) poe er calculaa com bae no inai e tenão e corrente, ou a partir a corrente magnetizante, e mq = v q R i q σl t i q = L m t i qm (6) e m = v R i σl t i = L m t i M (7) one, L m = L m/ Lr. A equaçõe iferenciai a corrente magnetizante ão calculaa por, t i qm = τ r i qm + pω r i M + τ r i q = e mq /L m (8) t i M = τ r i M pω r i qm + τ r i = e m /L m. (9) 366

4 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 4. Etimação a corrente magnetizante Um obervaor por moo elizante poe er projetao a forma, tîqm = τ r î qm + τ r i q + U α (3) tîm = τ r î M + τ r i + U β (3) one, U α e U β ão funçõe econtínua aa por, U α = U ign (ī qm ) (3) U β = U ign (ī M ) (33) one, U R +. Lemma. Coniere a uperfície e elizamento ī qm e ī M, a expreõe para U α e U β apreentaa em (3) e (33). Então, para U R + grane o uficiente a etimativa e î qm e î M ratreiam o valore calculao e i qm e i M, repectivamente. Prova: A equaçõe iferenciai o erro e etimação a corrente magnetizante ão obtia a partir e (8), (9), (3) e (3), tal como, tīqm = τ r ī qm + U α pω r i M (34) tīm = τ r ī M + U β + pω r i qm (35) A função caniata Lyapunov é ecrita a forma, V = A erivaa e (36) é, (ī qm + ī ) M. (36) V = ī qm ī qm + ī M ī M. (37) Subtituino a equaçõe e (34) e (35) na expreão e (37), reulta, V = U ( ī qm + ī M ) τ r (ī qm + ī M ) + pω r (i qm ī M i M ī qm ) (38) o que ignifica que para uma contante U grane o uficiente, então, V <, e a uperfície e elizamento irá ocorrer em ī qm = e ī M =. Quano a moção e moo elizante ocorre, ī qm = e ī M =, a inâmica a ação por moo elizante poe er obtia ubtituino a funçõe econtínua U α e U β pelo componente a lei e controle equivalente U αeq e U βeq, o quai ão calculao efinino tīqm, ī qm, tīm e ī M igual a zero em (34) e (35) (Utkin, 993). U αeq = pω r i M (39) U βeq = pω r i qm (4) one, U αeq e U βeq poem er obtio a partir e funçõe econtínua U α e U β uano filtro paa-baixa como apreentao em (Utkin, 993); (Deriyok et al., ). 4. Obervaor a velociae rotórica Coniere a eguinte hipótee. H: A inâmica a variávei mecânica, tal como, a velociae rotórica, ão mai lenta que a inâmica a variávei elétrica como a corrente o etator e o fluxo rotórico. Então, poe-e aumir que ω r =. A partir a hipótee H, a erivaa e (39) e (4) poem er ecrita na forma, t U αeq = U αeq + pω r U βeq + pω r i (4) τ r τ r t U βeq = U βeq pω r U αeq pω r i q (4) τ r τ r Um obervaor para (4) e (4) poem er projetao na forma, = U αeq + pˆω r U βeq + pˆω r i tûαeq τ r τ ) r K (Ûαeq U αeq (43) = pˆω r U αeq U βeq pˆω r i tûβeq q τ r τ ) r K (Ûβeq U βeq (44) one K é um ganho poitivo. O erro e etimação ão Ūαeq = Ûαeq U αeq e Ūβeq = Ûβeq U βeq, ua erivaa ão ecrita na forma, = tūαeq KŪαeq + p ω r U βeq + p ω r i (45) τ r = tūβeq KŪβeq p ω r U αeq p ω r i q (46) τ r one ω r = ˆω r ω r. Teorema : Coniere a uperfície e elizamento ī qm e ī M a hipótee H e o obervaor apreentao em (43) e (44). Então, a lei e aaptação aa por, 367

5 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 ω r pu βeq Ū αeq p τ r i Ūαeq + pu αeq Ū βeq + p τ r i qūβeq (47) * * i + _ + _ CMD +OD v * v q * CMD +OD i ˆr q e q abc e q i abc q IM é etável e garante a convergência e ˆω r para ω r quano t. Prova: Seja a função caniata Lyapunov, ˆr Obervaor por moo elizante i v v q V = (Ū αeq + Ū βeq + ω r ). (48) A erivaa e (48) é aa por V = Ūαeq Ū αeq + Ūβeq Ū βeq + ω r ω r (49) Subtituino (45) e (46) em (49) reulta V = K ( Ūαeq + Ū βeq ) + p ωr U βeq Ū αeq + p ω r i Ūαeq p ω r U αeq Ū βeq p ω r i qūβeq τ r τ r + ω r ω r. (5) Uano a lei e aaptação (47) em (5), V = K ( Ū αeq + Ū βeq). (5) Logo, a partir e (5) é poível concluir que para K > uano a lei e aaptação (47) a função (49) é negativa e a variávei Ūαeq e Ūβeq tenem a zero quano t. 5 Reultao e imulação Reultao e imulação ão obtio com o objetivo e avaliar o eempenho a etratégia e controle propota. Uma etratégia e controle com orientação inireta pelo campo (IFOC), em um itema e referência íncrono q e girano a velociae íncrona ω e é uao para o controle e corrente. O itema e controle propoto é imulao uano Matlab/Simulink R e a biblioteca SimPowerSytem, tal como apreentao na Fig., one é repreentao o Controlaor por Moo Delizante + Obervaor e Ditúrbio (CMD + OD). O parâmetro nominai o motor e inução imulao ão apreentao na tabela. Tabela : Parâmetro a máquina e inução. Diagrama e bloco o itema pro- Figura : poto. A primeira imulação tem como objetivo verificar o eempenho o controlaor por moo elizante em conjunto com o obervaor e itúrbio apreentao. Para evitar erro evio a orientação o itema e controle, inicialmente ua-e a velociae real o rotor na obtenção a velociae íncrona e realizar a tranformaçõe e referenciai. A Fig. apreenta o primeiro reultao e imulação. Verifica-e a partir a análie a figura e que o efeito o acoplamento entre o q foi mitigao em comparação com o efeito apreentao na figura 3 e quano o obervaor e itúrbio não foi utilizao. A Fig. apreenta a velociae rotórica imulaa. A Fig. () apreenta o itúrbio calculao e o itúrbio obervao, verifica-e o bom eempenho o obervaor e itúrbio apreentao. O eguno reultao e imulação, Fig. 3, tem como objetivo ilutrar o acoplamento entre o eixo q. A figura 3 e motram a corrente e i quano controlaore PI ão utilizao na malha e controle e corrente a máquina. É poível verificar o acoplamento na corrente i quano há alteração na corrente. A figura 3 apreenta a repota e velociae imulaa. O terceiro reultao e imulação tem como objetivo verificar o eempenho o controlaor e corrente por moo elizante e obervaor e itúrbio em um itema e controle enorle. A Fig. 4 motra o reultao o itema e controle enorle. A figura 4 e apreentam a corrente e eixo e quaratura e e eixo ireto o acionamento enorle. É poível verificar que não há efeito o acoplamento na corrente e eixo ireto na Fig. 4. A Fig. 4 motra a repota e velociae o itema propoto, verificae a boa etimativa a velociae rotórica. S nominal =.5 CV n nominal = 7 RPM p = f = 6 Hz R = 3.4 Ω R r = 4.96 Ω L = 4.4 mh L r = 44.8 mh L m = mh 6 Reultao Experimentai Reultao experimentai ão obtio com o intuito e verificar o eempenho o itema e controle propoto. O parâmetro nominai o motor e inução ão apreentao na Tabela. Utiliza- 368

6 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 i q i q iq (A) iq (A) i i.5 i i i (A).5 i (A) ωr (ra/) ωr (ra/) ˆ time () () Figura : Reultao e imulação controlaor por moo elizante e obervaor e itúrbio. e i q. i e i. ω r. () e ˆ e uma etratégia e controle com orientação inireta no campo (IFOC). A implementação a etratégia e controle é realizaa uano um DSP e ponto fixo TMS3F8 e inveror trifáico, com frequência e chaveamento e 5 khz. A icretização é realizaa a partir o métoo e Euler na frequência e 5 khz. Utiliza-e função igmóie como função inal para reuzir o efeito evio a chattering. A Figura 5 apreenta o controle e corrente utilizano a etratégia e controle eno que utiliza-e a velociae meia para a etimação a velociae íncrona na etratégia IFOC. Verificae a partir a Figura 5 o baixo acoplamento entre 3 4 Figura 3: Reultao e imulação utilizano controlaor PI. e i q. i e i. ω r. o controle a corrente e i memo para velociae rotórica elevaa. A Figura 6 motra a corrente e i quano e utiliza na malha e controle e corrente traicionai controlaore o tipo PI. Verifica-e o acoplamento entre a corrente e i principalmente aociao a valore elevao para a velociae rotórica. A Figura 7 apreenta a repota o controlaor propoto one e utiliza a velociae etimaa para obtenção a velociae íncrona para o controle IFOC. Implementou-e o métoo icreto apreentao em (Vieira et al., 3). A Figura 7 motra o bom eempenho a técnica e controle propota. 7 Concluõe Ete trabalho apreentou um itema e controle aplicao a máquina e inução com controle e corrente eacoplao uano etratégia por moo elizante e obervaor e itúrbio. Além io, ete trabalho apreentou um equema para obervação a velociae rotórica baeao na etimação a corrente magnetizante. Com o uo 369

7 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 i q i q iq (A) iq (A) i i.5 i i i (A).5 i (A) ωr (ra/) ω r Figura 4: Sitema e controle enorle. e i q. i e i. ω r. ˆω r ωr (ra/) 3 4 Figura 5: Reultao experimental a etratégia e controle propota. e i q. i e i. ω r. o obervaor e itúrbio apreentao é poível reuzir o efeito evio ao acoplamento entre eixo caracterítico o controle vetorial em máquina e inução, e também melhorar a performance o controlaor frente a incerteza paramétrica. O reultao e imulação e experimentai emontram que com o uo o equema propoto é poível reuzir o acoplamento entre a corrente e eixo ireto e eixo e quaratura memo com velociae rotórica elevaa. Referência Barut, M., Bogoyan, S. an Gokaan, M. (7). Spee-enorle etimation for inuction motor uing extene kalman filter, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 54(): 7 8. Chen, W.-H. (4). Diturbance oberver bae control for nonlinear ytem, IEEE/ASME Tranaction on Mechatronic 9(4): Chen, W.-H., Ballance, D., Gawthrop, P. an O Reilly, J. (). A nonlinear iturbance oberver for robotic manipulator, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 47(4): Comanecu, M., Xu, L. an Batzel, T. (8). Decouple current control of enorle inuction-motor rive by integral liing moe, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 55(): Deriyok, A., Yan, Z., Guven, M. an Utkin, V. (). A liing moe pee an rotor time contant oberver for inuction machine, Annual Conference of the Inutrial Electronic Society,. IECON. Finch, J. an Giaouri, D. (8). Controlle AC electrical rive, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 55(): Holtz, J. (). Senorle control of inuction motor rive, Proceeing of the IEEE 9(8): Holtz, J. (5). Senorle control of inuction machine: With or without ignal injection?, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 53():

8 Anai o XX Congreo Braileiro e Automática Belo Horizonte, MG, a 4 e Setembro e 4 i q i q iq (A) iq (A) i i.5 i i i (A).5 i (A) ωr (ra/) 3 4 Figura 6: Reultao experimental utilizano controlaor PI na malha e corrente. e i q. i e i. ω r. Kraue, P. C., Waynczuk, O. an Suhoff, S. D. (995). Analyi of Electric Machinery, en, Picataway, NJ: IEEE Pre. Lacu, C., Bolea, I. an Blaabjerg, F. (9). A cla of pee-enorle liing-moe oberver for high-performance inuction motor rive, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 56(9): Orlowka-Kowalka, T. an Dybkowki, M. (). Stator-current-bae MRAS etimator for a wie range pee-enorle inuction-motor rive, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 57(4): Peng, F.-Z. an Fukao, T. (994). Robut pee ientification for pee-enorle vector control of inuction motor, IEEE Tranaction on Inutry Application 3(5): Rao, S., Bu, M. an Utkin, V. (9). Simultaneou tate an parameter etimation in inuction motor uing firt- an econ-orer liing moe, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 56(9): ωr (ra/) ω r Figura 7: Reultao experimental a etratégia e controle propota em conjunto com um itema e controle enorle. e i q. i e i. ω r. Utkin, V. (993). Sliing moe control eign principle an application to electric rive, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 4(): Utkin, V. I., Gulner, J. an Shi, J. (999). Sliing Moe Control in Electromechanical Sytem, en, Taylor & Franci. Va, P. (998). Senorle Vector an Direct Torque Control, Oxfor Univ. Pre. Vieira, R., Gatalini, C., Azzolin, R. an Grunling, H. (3). Senorle liing moe rotor pee oberver of inuction machine bae on magnetizing current etimation, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic PP(99):. Yang, J., Li, S. an Yu, X. (3). Sliingmoe control for ytem with mimatche uncertaintie via a iturbance oberver, IEEE Tranaction on Inutrial Electronic 6(): ˆω r 37