e o trabalho realizado pelo campo eletrostático para levar uma carga

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1 olução I-) abendo a densidade linear de carga Λ no anel de raio R, a contribuição du eleento de carga â q Λ R â j para o potencial V HPL nu ponto P do eixo do anel à distância r é â V HPL âq 4 Π o r ΛR 4 Π o r âj Dada a sietria do anel, a distância r â q no anel, pelo que V HPL anel â V HPL à Assi V H0L I--a) 0 Π R + z a u ponto P à cota z no seu eixo não depende da localização da carga ΛR 4 Π o r âj 4 Π o ΛΠR r RΛ o R + z Λ e o trabalho realizado pelo capo eletrostático para levar ua carga o Λ e F â r q à E â r q HV H0L - V H LL q 0 0 o Τe à V HzL q do centro do anel até ao infinito é e Dado que não existe carga no espaço entre as araduras, e pela sietria esférica do potencial, V HrL V HrL, obteos a equação de Laplace e coordenadas esféricas EO MEFT,MEBio, LMAC - IT -- 7//4

2 Ñ V HrL 0 â r â r Para r ¹ 0, esta equação significa â âr r â V HrL 0 âr â V HrL âr r â V HrL 0 âr k V HrL - r k r + k Usando a inforação sobre as condições fronteira, V HR L V 450 V e V HR L V 0, podeos deterinar as constantes de integração k e k : V - k R + k k k V - R + k k HV -V L R R R -R k -8 V R V -R V R -R k -450 V V HrL V r co r e etros. O capo eletrostático entre as araduras será então I--b) V HrL V R R 8 E HrL -Ñ V HrL er er er IV - M r r HR - R L r À superfície da aradura interior a descontinuidade do vetor deslocaento elétrico D perite deterinar a densidade superficial de carga livre. e n er designa a noral à superfície, e dado que dentro do condutor o capo se anula, ID IR+ M - D HR LM n Σ HR L + Σ HR L Dr IR+ M Er IR M A carga elétrica na aradura interior será q Σ HR L 4 Π R 4 Π V R R V R R HR - R L 4 nc R - R e na aradura exterior q HR L -q (por aplicação da Lei de Gauss a ua superfície fechada passando por dentro da + aradura exterior), enquanto q HR3 L 0 porque a aradura está ligada à Terra e Eint HR3 L 0, Eext IR3 M 0, V V 0. As densidades de carga de polarização existe apenas à superfície do dielétrico por se tratar de u dielétrico LHI descarregado, Ρ 0 Ρ 0. Na superfície interior a noral exterior ao dielétrico é n -er, e da polarização P H - o L E obteos + + Σ IR+ M P IR M n -H - o L Er IR M -H r - L o V R 04 R HR - R L - V R 04 nc - 8Π Na superfície exterior do dielétrico a noral é n er pelo que Σ HR L P HR L n H - o L Er HR L H r - L o R HR - R L nc - 3 Π As cargas de polarização deve ter soa nula, ou seja q Σ IR+ M 4 Π R - nc 7//4 ; q Σ HR L 4 Π R nc -q. -- EO MEFT, MEBio, LMAC - IT

3 3 olução: II-) Nua situação de corrente estacionária Ñ J 0 o que significa que, na superfície de raio R de separação dos dois dielétricos deveos ter, tendo e conta que J Σc E e geral, IJ IR + M - J IR - MM n 0 Σc Ere IR + M Σc Ere IR - M Ere IR + M Σc Σc Ere IR - M Por outro lado, ua vez que as peritividades elétricas são iguais nos dois eios, obteos daqui ua descontinuidade e R do vetor deslocaento elétrico D E que deve igualar a densidade superficial de carga livre na superfície de separação dos dielétricos ID IR + M - D IR - MM n Σ IR M Σ IR M Σc Σc - Ere IR - M Aplicando a Lei de Gauss para esferas de raio r na região R r < R obteos Ere HrL 4 Π r Σ 4 Π R donde se conclui Σ IR M Σc - Σc EO MEFT,MEBio, LMAC - IT R R Ere IR - M Σ R R Σ -3-7//4

4 4 II--a) Usando a Lei de Apére para cada condutor separadaente obteos para a agnitude do capo agnético e P o eso valor, B HPL Μo I Πd B HPL sendo a direcção de cada capo perpendicular ao correspondente lado do triângulo equilátero co vértice e P. Assi B HPL B HPL Μo I Πd Μo I Πd I-cosH30 L ex + sinh30 L ey M IcosH30 L ex + sinh30 L ey M Usando o princípio de sobreposição II--b) B HPL B HPL + B HPL Μo I Πd sinh30 L ey ey HTL O fluxo total é a soa dos fluxos parciais dos capos de cada corrente. Neste caso estes fluxos são iguais, pelo que basta calcular u deles. endo a noral à superfície plana co bordo nos condutores n ey, o fluxo do capo B será através de eleentos de área n â ey â x â z e B nessa superfície é orientado segundo ey, pelo que Μo I d-a d-a Μo I Φ àà B HrL n â à à âx âz log 0 a a Πx Π Assi Φ Φ Μo I Π d-a log a Ua vez que a ` d o capo B é aproxiadaente constante a distâncias entre d - a» d e d + a» d. A força exercida sobre u eleento de corrente I â r pelo capo B HdL da outra corrente é dada pela expressão Μo I Μo I â F I â r B Hr L H-I â z ez L ey â z ex Πd Πd Nu copriento de corrente a força total será Μo I â z ex ex 0 Πd Πd F à Μo I pelo que a força por unidade de copriento é F 7//4 Μo I ex ex IN - M Πd -4- EO MEFT, MEBio, LMAC - IT

5 5 olução: III--a) Desprezando o tero de corrente de deslocaento D na equação de Maxwell obteos a lei de t Apére Ñ H J + D t»j Ñ B Μo J Pela sietria cilíndrica do solenóide podeos deduzir que as coponentes de B não deve depender de z (sietria de translação vertical) ne de j (sietria de rotação aziutal). Assi teos e geral B Hr, tl Br Hr, tl er HjL + Bj Hr, tl ej HjL + Bz Hr, tl ez Dado que Ñ B 0 podeos concluir que Br Hr, tl 0 porque o fluxo através da superfície lateral de u cilindro de raio r e altura, coaxial co o solenóide, deve ser nulo (o fluxo nas bases cancela-se porque Bz não depende de z e as norais são siétricas). Br Hr, tl Π r 0 Br Hr, tl 0 Coo dentro do solenóide não há correntes, a circulação de B ao longo de u círculo horizontal de raio r, centrado no eixo, deve ser nula Bj Hr, tl Π r 0 Bj Hr, tl 0 Usando a lei de Apére para ua superfície rectangular, co u lado vertical de copriento dentro do solenóide, à distância r < R do eixo, e o outro lado paralelo fora deste, intercetando assi N n espiras co corrente i HtL, obté-se EO MEFT,MEBio, LMAC - IT -5-7//4

6 6 àà Ñ B â B â r Μo àà J â Bz Hr, tl Μo n i HtL O fluxo através da secção recta do solenóide é Φ HtL Bz HtL Π R Μo n Π R i HtL B HtL Μo n i HtL ez pelo que o fluxo por unidade de copriento do solenóide será F HtL n Φ HtL Μo n Π R i HtL L i HtL L Μo n Π R A energia agnética por unidade de copriento será assi W F HtL i HtL L i HtL Μo n Π R i HtL Outra fora de calcular esta energia é através da densidade de energia no capo agnético W ààà B âv V III--b) Μo Bz HtL Π R W Μo Μo n Π R i HtL Por razões de sietria podeos tabé concluir que as coponentes de E não deve depender de z ne de j, ou seja E Hr, tl Er Hr, tl er HjL + Ej Hr, tl ej HjL + Ez Hr, tl ez A partir da Lei de Faraday podeos concluir, para u círculo Γ de raio r < R, horizontal e coaxial co o eixo do solenóide, âφ E â r Γ Ej Hr, tl Π r - âφ E â r Γ Ej Hr, tl Π r - â Bz HtL Π r â Bz HtL Π R Ej Hr, tl - enquanto que para u círculo de raio r > R nas esas condições Ej Hr, tl - r â Bz HtL R â Bz HtL r Usando agora u circuito rectangular G co lados verticais de copriento a distâncias r variável e d fixo concluios, da ausência de fluxo agnético através da sua superfície (porque Bj º 0) e da independência de Er e z, que E â r HEz Hr, tl - Ez Hd, tll 0 G Ez 0 r A expressão para o rotacional de E e coordenadas cilíndricas é assi Ñ E Ez - r j Para r < R teos Ñ E r r Ej Er Ez Ir Ej M Er Ir Ej M er + ej + ez º ez r r z z r r j r r â Bz HtL â Bz HtL B ez ez t Para r > R teos Ñ E r r R â Bz HtL B ez 0 t já que B 0 nessa região. III-) A carga de cada placa e oviento representa densidades superficiais de corrente J± ± Σ vo Pelas condições dadas o capo B de cada placa não deve depender de x ou de y (longe dos bordos) para distâncias à placa pequenas coparadas co a. O capo de cada placa pode ser calculado nestas condições usando a Lei de Apére para u circuito rectangular perpendicular a J± e de largura. 7//4-6- EO MEFT, MEBio, LMAC - IT

7 7 B â r By Μo Jx G By HzL By HzL - O capo total é a sobreposição destes dois Μo Σ vo ey 0 < z < d B HzL Μo Σ vo sgn HzL Μo Σ vo placa inferior sgn Hz - dl placa superior z < 0 ÈÈ z > d 0 Para o capo elétrico, e usando o teorea de Gauss, obteos de fora seelhante - Σ o E ez 0 < z < d z < 0 ÈÈ z > d 0 O vetor de Poynting é E B Μo Σ vo Σ vo ez e y ex o o O seu fluxo através de ua secção recta deste sistea é Σ vo e â ad x àà o A energia arazenada nu copriento x das placas é We ààà Ez V o + By Μo Σ âv o + Μo Σ vo x a d Σ + o vo c xad Quando as placas se desloca à velocidade vo, a energia que atravessa ua secção recta do sistea por unidade de tepo é a que reside nu volue de copriento x vo s, ou seja Σ Pe + o vo c vo a d O fluxo do vetor de Poynting através de ua superfí-cie fechada representa a taxa de variação da energia arazenada no volue que essa superfí-cie deliita. Neste caso, o vetor de Poynting te fluxo zero e qualquer segento do sistea forado pelas duas placas, o que é consistente co a conservação da energia aí residente. n â 0 EO MEFT,MEBio, LMAC - IT â We -7-7//4

8 8 olução: IV--a) Coeçando por usar a Lei de Faraday E - âφ obteos e cada instante x HtL+ x HtL+ Φ HtL àà B ez â à HBo - a xl â x BBo x - a x F Bo - a I x HtL + M x HtL x HtL Então E - âφ a â x HtL a v > 0 Assi a corrente induzida percorre o circuito no sentido directo (contrário aos ponteiros du relógio) quando a noral escolhida é ez i E R a v R Alternativaente, podeos calcular a força electrootriz E pelo trabalho realizado pelo capo E v B -v HBo - a xl ey induzido no circuito devido ao oviento 7//4-8- EO MEFT, MEBio, LMAC - IT

9 9 E E â r v B â r v HBo - a x HtLL - v HBo - a Hx HtL + LL a v G IV--b) G A força de Laplace que actua u eleento de corrente i â r na espira é â F i â r B y â F4 4 â F B â F3 3 i v z x â F obre os lados verticais, ua vez que â F não depende de y, F -i HBo - a x HtLL ex F3 i HBo - a Hx HtL + LL ex obre os lados horizontais as forças são siétricas F -F4 Assi a 4 v F F + F3 -i a ex ex R Para anter ua velocidade constante é necessário assi aplicar ua força exterior Fext -F para que a espira não acelere, donde a potência ecânica fornecida é 4 a 4 v a v Pec Fext v R R i PJ R R onde PJ é a potência dissipada por efeito de Joule na resistência R. IV-) As distâncias de cada fenda a u eso ponto P no alvo são r d + x - a ; EO MEFT,MEBio, LMAC - IT r d + x + a r - r a x -9-7//4

10 0 r x r r a F a * a d d A diferença de percurso nos dois cainhos é, assuindo que r, r p a, ax r - r ax» r + r a sinhθl r Para os prieiros áxios x ` r e portanto x sinhθl» tanhθl d obtendo-se ax r - r» d A diferença de fase é assi k Hr - r L Π ax Λ d Os áxios ocorre para n Π pelo que o prieiro áxio (n ) verifica Π Π a x Λ d x d Λ a A separação deste áxio para as duas radiações é assi Dx 7//4 d a 3 DΛ 0-5 I Π Π 0-7 M.5 Π c -0- EO MEFT, MEBio, LMAC - IT