Andamento das aulas - Prova 1

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1 Andamento das aulas - Prova 1 Caros alunos, neste pdf colocarei de forma sucinta os tópicos vistos em cada semana de aula, assim como indicações de materiais para leitura. Recomendei para vocês o seguinte livro: Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 1 - Conjuntos - Funções. Podem encontrar várias cópias deste livro (edições novas e antigas, mas com o mesmo conteúdo) na biblioteca central ou setorial 1. Como leitura complementar e de embasamento matemático, quem quiser, pode ler os capítulos 1,2,3 e 4 e fazer a Lista 0. Nosso curso começa no capítulo 5. Aulas dos dias 23/03 e 27/03 Nesta primeira semana, definimos os seguintes conceitos: funções, domínios, contra domínios e imagens. Foram feitos alguns exemplos, como a função raiz quadrada, funções na forma de fração e outras. Lembrem-se que quando queremos encontrar o domínio de uma função temos que ver os pontos nos quais teríamos problemas, por exemplo: função raiz quadrada: só esta definida para números positivos; funções como fração: o denominador nunca pode ser 0. Com isso, cobrimos quase todo Capítulo 5 do Fundamentos... Falamos também sobre gráficos de algumas funções, as chamadas elementares. Aulas dos dias 31/03 e 03/04 Nesta semana (Sexta feira feriado), vimos como fazemos a soma/subtração, produto, quociente e produto por um escalar (um número fixado) de funções. Lembrem-se que devemos fazer ponto a ponto, ou seja, (f + g)(x) = f(x) + g(x) e assim por diante em todas as operações. Também estudamos as composições entre funções: a composição entre duas funções f A B e g B C é uma nova função chamada g f, em que (g f)(x) = g(f(x)). Temos sempre que verificar se o contra domínio da primeira função é igual ao domínio da segunda (no caso acima, C.D(f) = B =Dom(g)). Outros conceitos que vimos foram: 1 Willian Velasco 1

2 função injetora: cada ponto da imagem está associada a apenas um ponto do domínio; função sobrejetora: seu contra domínio é igual à sua imagem. Dica para descobrir pelo gráfico da função: dada uma função f A B, nós esboçamos o gráfico desta função e fazemos a seguinte análise: se nenhuma reta horizontal corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora; se toda reta horizontal no contra domínio corta o gráfico, então f é sobrejetora. Quando um função é injetora e sobrejetora, dizemos que ela é bijetora. Toda função bijetora possui uma função inversa, isto é, se f A B é bijetora, existe uma função f 1 B A tal que (f f 1 )(x) = x e (f 1 f)(x) = (x). Resumindo: para verificar se uma função possui inversa primeiro temos de conferir sua injetividade e sua sobrejetividade; depois encontramos a inversa fazendo y troca por x, x troca por y e isola y e por fim conferimos se as composições são como acima. Bom feriado a todos! Aulas dos dias 07/04 e 10/04 Nesta semana conversamos sobre inversas e começamos limites. Limites inicia nossa Unidade 2, podem conferir como apoio o livro: Fundamentos da Matemática Elementar Vol. 8. O conceito intuitivo de limites é o seguinte: quando estou me aproximando de um certo ponto (x tende a este ponto a, digamos) quero saber o que acontece com f(x), por notação matemática lim f(x). As propriedades para se calcular limites, quando eles existem: Unicidade: o limite quando existe é único; Se m e n e são constantes (números) e a função é dada por f(x) = mx+n, então lim f(x) = ma + n; Se a função é constante, isto é, f(x) = c para todo x e c é um número, então lim f(x) = c; O limite da soma/diferença de funções é a soma/diferença dos limites de cada função, lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x); Willian Velasco 2

3 O limite do produto de funções é o produto dos limites de cada função, lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x); O limite da divisão de funções é a divisão dos limites de cada função quando for possível dividir, isto é, lim f(x) lim [f(x) g(x) ] = lim g(x) quando g(x) 0 e lim g(x) 0; O limite de uma função elevada a um número n é o limite desta função elevado ao mesmo número n, lim [f(x)]n = [lim f(x)] n ; O limite da raiz n-ésima de uma função (raiz quadrada, raiz quarta, raiz quinta, etc.) é a raiz n-ésima do limite da função (o limite pula pra dentro da raiz), n lim f(x) = n lim f(x); O limite do módulo de uma função é o módulo do limite desta função, lim f(x) = lim f(x). Com essas propriedades em mente, calcular limites (quase sempre) é uma tarefa de apenas substituir o valor de x na fórmula de f e resolver as continhas. ATENÇÃO: quando temos o limite de uma fração, devemos primeiro verificar se podemos substituir. Quero dizer, devemos verificar se aparece o número 0 em baixo da fração. Caso isto ocorra, devemos simplificar a fração. Dicas para simplificar: Se aparecer algo do tipo f(x) = ax 2 + bx + c fazemos Báskara, isto é, x = b ± b 2 4 a c, 2 a onde encontramos duas raízes x 1 e x 2. Daí podemos reescrever nossa função como f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Errata: em sala errei ao passar uma simplificação como esta, por favor chequem o material de vocês. Acredito que foi um dos exemplos em funções por partes. Se aparecer algo do tipo a 2 ± 2ab + b 2 podemos usar o produto notável a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2. Se aparecer algo do tipo a 2 b 2, podemos reescrever na forma do produto notável a 2 b 2 = (a + b)(a b). Willian Velasco 3

4 Se aparecer algo do tipo a 3 + b 3 podemos usar o produto notável a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ). Se aparecer algo do tipo a 3 b 3 podemos usar o produto notável a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Aulas dos dias 14/04 e 17/04 Esta semana vimos mais duas estratégias para simplificarmos uma função e resolvermos limites, são elas: Pode ser útil a seguinte identificação Pois desta temos algo do tipo a 2 b 2. x y = ( x) 2 ( x) 2. Quando precisamos lidar com raízes, pode ser útil uma conjugação, por exemplo x + y = x + y ( x y) x y. Observe que devemos trocar apenas um sinal, e na fração aparace o mesmo termo em cima e em baixo. Outro tópico abordado foi o cálculo de limites laterais, isto é, dada uma função por partes f 1, x>x 0 f(x) = f 2, x<x 0. Calculamos então os seguintes limites: lim f(x) = lim f 1, x x + 0 x x + 0 onde o + significa que estando nos aproximando de x 0 por valores maiores do que x 0. Também calculamos lim f(x) = lim f 2, x x 0 x x 0 onde o significa que estando nos aproximando de x 0 por valores menores do que x 0. Lembrem-se da dica que dei, sempre desenhe uma retinha com os pontos maiores e menores do que x 0 e identifique a função nos dois lados. Dizemos que O limite de uma função por partes existe quando os limites laterais são iguais, isto é, lim f(x) existe somente quando lim f(x) = lim f(x). x x 0 x x + 0 x x 0 Willian Velasco 4

5 Outros conceitos que começamos a estudar foram os limites infinitos e no infinito. Vimos poucos exemplos, mas a estratégia básica é colocar em evidência o termo x que tem a maior potência. Fazemos isto para evitar coisas sem sentido como 0 0,, ±, 0, 1, 0,. Os cálculos destes limites (infinitos e no infinito) recairão sobre raciocínios como os listados a seguir, onde c representa um número qualquer fixado: c lim x 0 x = ; c lim x x = 0; x lim x c = ; lim x c x =. Tendo isto em mente vocês serão capazes de resolver grande quantidade de limites. Bom feriado a todos. Aula do dia 24/04 Nesta aula vimos o conceito de função contínua. Intuitivamente é uma função que não tem pulos/saltos. Mais formalmente dizemos que uma função f é contínua é um ponto a quando: existe lim f(x) e lim f(x) = f(a). Dizemos então que f é contínua em a. Com isto finalizamos a matéria para a P1. Aulas dos dias 28/04 Revisamos a matéria para prova e resolvemos dúvidas das listas, num aulão de exercícios. Aula do dia 05/05 Prova 1 Willian Velasco 5

6 Andamento das aulas - Prova 2 Aula do dia 08/05 Iniciamos os estudos das derivadas. Nesta primeira aula, apenas definimos a derivada de uma função f num ponto x o como sendo o limite f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ), x x 0 x x 0 quando o este limite existe. Há quem chame a derivada de Taxa Média de Variação da função Também vimos que, geometricamente, a derivada de uma função num ponto específico é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste ponto. Em particular se queremos a equação da tangente t ao gráfico de uma função f no ponto (x 0, y 0 ), em que f é derivável, basta fazer y 0 = f(x 0 ) e m = tg(α) = f (x 0 ), onde tg(α) é o coeficiente angular da reta. Assim, a equação da reta t é dada por y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ). Observe que esta é a famosa fórmula: y y 0 = m (x x 0 ) chamada carinhosamente de yo-yô-mi-xi-xô! Aulas dos dias 12/05 e 15/05 Observe que primeiro definimos a derivada de uma função f em um ponto específico x 0 como o limite f(x) f(x 0 ) lim, x x 0 x x 0 quando este existe. Podemos também definir a derivada da função f para um ponto x qualquer, através do limite f(x + x ) f(x) lim = f (x), x 0 x quando este existe, em que x = x x 0. Mas no fundo podemos sempre pensar no primeiro limite. Continuando o estudo das derivadas, aprendemos várias regrinhas que facilitam o cálculo destas. Em resumo nós vimos que dadas funções f e g deriváveis e a,b e k números reais quaisquer: f(x) = k para todo x f (x) = 0 ; f(x) = ax + b f (x) = a; k f(x) (k f(x)) = k f (x); f(x) = x n para n qualquer f (x) = nx n 1 ; Willian Velasco 6

7 f(x) + g(x) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x); f(x) g(x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x); f(x) para g(x) 0 (f(x) g(x) g(x) ) = f (x) g(x) f(x) g (x) ; (g(x)) 2 f(x) = a x em que a > 0 e a 1 f (x) = a x ln(a) (ln é o log e ); caso especial do anterior: se a = e então f(x) = e x f (x) = e x ; f(x) = log a (x) em que a > 0 e a 1 e x > 0 f (x) = 1 x ln(a) ; caso especial do anterior: se a = e então f(x) = ln(x) f (x) = 1 x ; (f g)(x) = f(g(x)) (f g) (x) = f (g(x)) g (x); seja f 1 a inversa de f e derivável, então (f 1 ) (x) = f (f 1 (x)) 0 1, em que f (f 1 (x)) Outro fato importante é que podemos pensar na derivada da derivada de uma função, quando possível, isto é, f (x) = f (2) (x), f (x) = f (3) (x), e assim por diante. Procedemos da seguinte forma para calcular tais derivadas, por exemplo se queremos calcular a terceira derivada de uma função fazemos: a primeira derivada, depois derivamos esta e por fim derivamos a derivada da derivada, isto é, f (3) (x) = (f (2) (x)) = ((f (x)) ). Aulas dos dias 19/05 e 22/05 Esta semana aprendemos a diferencial de uma função e aplicações das derivadas no estudo da variação das funções, isto é, como identificamos onde uma função é crescente ou decrescente e seus pontos de máximo e mínimo. Primeiro, a diferencial significa uma micro variação da função quando x é muito pequeno. A diferencial de uma função f em um ponto x 0 é calculada usando a fórmula: df = f (x 0 ) x. Podemos sempre comparar o valor da diferencial com o real valor da variação da função que é dada por f = f(x 0 + x) f(x 0 ), e perceber que quanto menor x mais esses valores são parecidos/próximos. Quanto ao comportamento da função sobre crescente, decrescente, máximos e mínimos os seguintes resultados nos ajudam. A primeira derivada nos diz onde uma função é crescente e decrescente. Willian Velasco 7

8 Seja f uma função derivável em (a, b), então: se f (x) = 0 em (a, b) então f é constante em (a, b); se f (x) > 0 em (a, b) então f é crescente em (a, b); se f (x) < 0 em (a, b) então f é decrescente em (a, b). Agora para máximos e mínimos temos o Teste da Segunda Derivada. Seja x 0 um ponto crítico de ma função f, isto é, f (x 0 ) = 0 e suponha que f (x) existe para qualquer valor de x em algum intervalo aberto contendo x 0. Então se f (x 0 ) < 0 então x 0 é ponto de máximo de f; se f (x 0 ) > 0 então x 0 é ponto de mínimo de f. Aulas dos dias 26/05 e 29/05 Fizemos uma revisão sobre regras de derivação e vimos exemplos de como esboçar o gráfico de uma função qualquer apenas com técnicas aprendidas até o momento no curso (roteiro junto à questão bônus). Aula do dia 02/06 Aula de exercícios para a prova. Aulas dos dias 09/06 Prova 2. Willian Velasco 8

9 Andamento das aulas - Prova 3 Agora usaremos o livro Fundamentos da Matemática elementar Volume 4. Aulas do dia 12/06 Nesta primeira aula definimos que uma tabela M com m linhas e n colunas preenchida por números reais recebe o nome de matriz. Por notação M m n. Vimos também, que cada elemento de uma matriz M pode ser denotado pelo símbolo a ij em que i indica a posição na linha e j a posição na coluna da matriz, desta forma 1 i m e 1 j n. Por convenção as linhas são numeradas de cima para baixa e as colunas da esquerda para a direita. Uma matriz M de ordem m n é presentada por: a 11 a 12 a 1n a M m n = 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Dada uma matriz M de ordem n n, ela é chamada quadrada (pois se assemelha a um quadrado).os elementos a ij tais que i = j desta matriz recebem o nome de diagonal principal. Veja em negrito a diagonal principal da matriz M a 11 a 12 a 1n a M n n = 21 a 22 a 2n. a n1 a n2 a nn Vimos alguns exemplos de matrizes e como podemos através de uma regrinha (lei de formação) criar uma matriz. Aulas dos dias 16/06 e 19/06 Nesta semana aprendemos tipos especiais de matrizes, operações entre matrizes e determinantes. Matrizes que recebem nomes especiais: Matriz quadrada: toda matriz A = [a ij ] de ordem n n; Matriz nula: toda matriz A m n = [a ij ] m n, tal que a ij = 0 para todo i e j; 0, i j Matriz identidade: toda matriz I n n = [a ij ], tal que a ij = 1, i = j ; Willian Velasco 9

10 Matriz linha: toda matriz A 1 n, com n > 1; Matriz coluna: toda matriz A m 1, com m > 1; Aprendemos que duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B m n = [b ij ] m n são iguais quando a ij = b ij para todo i e j. Definimos as seguintes operações entre matrizes: Soma de matrizes: Dadas duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B m n = [b ij ] m n, então (A + B) m n = [a ij + b ij ] m n. A soma satisfaz: A + B = B + A e (A + B) + C = A + (B + C). Multiplicação por um escalar/número: Dada uma matriz A m n = [a ij ] m n e k R, então k A = [k a ij ]. Isto é, multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar todos os elementos desta matriz por este número. Matriz transposta: Dada uma matriz A m n = [a ij ] m n, definimos A t n m = [a ji ] n m. Isto é, trocamos as linhas de A por suas colunas, por isso a ordem da matriz se inverte. A transposição satisfaz às seguintes propriedades: (A + B) t = A t + B t ; (k A) t = k A t, k R; (A t ) t = A; (A B) t = B t A t, quando existe o produto A B. Produto de matrizes: Dadas duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B n p = [b ij ] m n - as colunas de A devem ser iguais em número às linhas de B-, então n j=1 a 1j b j1 n j=1 a 1j b jp (A B) m p = n j=1 a mj b j1 n j=1 a mj b jp Isto significa que operaremos os elementos das linhas de A com os elementos das colunas de B. Propriedades do produto de matrizes: (A B) C = A (B C); A (B + C) = A B + A C; (A + B) C = A C + B C;. Willian Velasco 10

11 Em geral A B B A; Se A B = 0, não necessariamente A = 0 ou B = 0. Aprendemos na última aula que o determinante de uma matriz quadrada é um número associado a operações feitas com os elementos desta matriz. Por notação Determinante de 2 a ordem: Determinante de 3 a ordem: det(a) = A. det(a 2 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 12 a 13 det(a 3 3 ) = a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Para ordem superior a três o cálculo pode se tornar muito difícil. Uma forma de encontrar tais determinantes é via cofatores, como exemplificamos em sala. Porém algumas propriedades ajudam a identificar certos determinantes. Propriedades dos determinantes: seja A n n então (P1) se todos os elementos de uma linha ou coluna de A são nulos, então det(a) = 0; (P2) se duas linhas ou colunas de A são iguais, então det(a) = 0; (P3) se duas linhas ou colunas de A são proporcionais, então det(a) = 0; (P4) se os elementos de uma linha ou coluna de A são combinações lineares dos elementos correspondentes das outras linhas ou colunhas (respectivamente, linhalinha ou coluna-coluna), então det(a) = 0; (P5) det(a t ) =det(a); (P6) quando os elementos de uma linha ou coluna forem multiplicados por um número, então o determinante desta matriz sera multiplicado por este número. Exemplo k a 11 k a 12 k a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a = k 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn (P7) det(a B) =det(a) det(b); (P8) det(k A) = k n det(a) - k fica elevado à ordem da matriz. Willian Velasco 11

12 Aulas dos dias 23/06 e 26/06 Nesta semana aprendemos que dada uma matriz A n n a sua inversa A 1 n n é a matriz tal que A A 1 = I n e A 1 A = I n. A inversa existe somente quando det(a) 0. Para encontrar a inversa procedemos da seguinte forma. Matrizes de ordem 2: seja A = [ a c b ] tal que det(a) 0, então d A 1 1 = det(a) [ d b c a ]. Matrizes de ordem superior a 2: para estes casos usamos o método de Gauss- Jordan que consiste em realizar operações entre as linhas da matriz a fim de transformá-la numa matriz identidade. Isto é, seja A n n tal que det(a) 0, então A n n I n n I n n A 1 n n em que significa que vamos operar as linhas da matriz A entre si de forma que A se transforme na matriz identidade., Por fim, aprendemos Sistemas lineares e escalonamento. Dado um sistema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 S = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m, vimos que podemos escrever este sistema em forma matricial. Teremos A X = C onde a 11 a 12 a 1n x 1 c 1 a A m n = 21 a 22 a 2n x, X = 2 c e C = 2. a m1 a m2 a mn x n c m O sistema S possuí outra matriz relacionada, chamada matriz ampliada que é dada por A m n C, ou seja, acoplamos a matriz C ao final da matriz A. Vimos que o sistema S possuí uma única solução somente quando m = n, isto é, a matriz A é quadrada. Além disto, precisamos que det(a) 0. Neste caso, para encontrarmos a solução de S temos duas formas de proceder: Willian Velasco 12

13 Método da inversa: encontramos A 1 e da forma matricial de S obtemos X = A 1 C. Método do escalonamento: devemos operar as linhas da matriz ampliada entre si de forma a transformá-la numa matriz triangular superior, desta forma encontramos as incógnitas (da última para a primeira); devemos fazer A n n C 0 C 0 0 Observe que quando alteramos as linhas de A também devemos fazer as mesmas operações nas linhas de C, por isso no final do processo obtemos uma matriz C. Por fim, escrevemos novamente este sistema na forma de equações e substituímos as incógnitas.. Aulas dos dias 30/06 e 03/07 Aula de exercícios. Aulas dos dias 07/07 e 10/07 Prova 3 dia 07/07. Matéria: matrizes: lei de formação; tipos de matrizes; operações entre matrizes; determinantes e inversão de matrizes. sistemas lineares: forma matricial; existência de solução; métodos da inversa e do escalonamento para encontrar soluções. Prova substitutiva dia 10/07. Aulas do dia 14/06 Prova de recuperação. Término das aulas. Obrigado e boas férias! Willian Velasco 13