RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 1 TÓPICOS AVANÇADOS DE TENSÃO

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1 VERSÃO PARA IMPRESSÃO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 1 TÓPICOS AVANÇADOS DE TENSÃO

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3 3 SUMÁRIO Aula 1 Conceitos Básicos A Resistência dos Materiais Curva Tensão-Deformação Carregamento Axial Torção Flexão e Cisalhamento em Vigas Carregamento Combinado e Análise de Tensão Aula 2 Tópicos Avançados no Carregamento Axial Concentração de Tensão Deformação Axial Inelástica Tensões Residuais Aula 3 Tópicos Avançados na Torção Concentração de Tensão Torção no Regime Elástico Torque Elástico Máximo Torque Elastoplástico Torque Último Tensões Residuais Aula 4 Tópicos Avançados na Flexão Vigas Curvas Concentração de Tensão Flexão no Regime Plástico Momento Fletor Elástico Máximo Momento Plástico Momento Último Tensões Residuais... 48

4 4 INTRODUÇÃO Olá, estudante, bem-vindo(a) à disciplina Resistência dos Materiais II! Parabéns por você ter chegado até aqui! Nesta disciplina, iremos nos aprofundar na relação entre os carregamentos aplicados com a resistência interna do material. Lembrando, esses carregamentos são os esforços normais e de cisalhamento, momento de torção e de flexão, assim como a combinação deles. Esses esforços vão causar as tensões normais e de cisalhamento que vão servir para achar as maiores tensões atuantes numa determinada peça, por exemplo. Comparando com a resistência intrínseca do material é possível então realizar dimensionamento estrutural. Muitos dos conceitos mencionados aqui já foram aprendidos na disciplina Resistência dos Materiais I, mas aqui iremos nos aprofundar ainda mais! Na primeira parte da disciplina, UIA 1, você irá aprender sobre alguns tópicos avançados de tensão. Iniciamos com uma revisão dos conceitos básicos: tensão, deformação, as propriedades mecânicas do material e as aplicações em carregamento axial, torção, flexão e suas combinações. Iremos considerar a descontinuidade geométrica em elementos estruturais no cálculo de tensões, pois a maioria das equações de tensão são obtidas para situações de seção constante. Outro ponto importante a ser também estudado na primeira UIA é o efeito do comportamento plástico do material quando submetido a tensões além da tensão de escoamento, isto é, um comportamento não linear do material que não foi abordado profundamente na disciplina anterior. Isso permitirá a você entender o comportamento do material como um todo, desde da fase elástica até a sua ruptura. A segunda parte da disciplina, UIA 2, faremos um estudo sobre análise de tensões e deformações de forma ainda mais aprofundada. Para isso, vamos estudar as transformações das deformações específicas da mesma forma de um estado plano de tensões, só que, agora, iremos abordar o estado plano de deformações. As tensões e deformações vão ser estudadas também por um método alternativo, chamado de círculo de Mohr, que permite visualizar um estado de tensão ou deformação de uma forma gráfica. Vamos estender os conceitos para condições mais complexas de tensão e adotar critérios de resistência ou de falha para materiais dúcteis e frágeis. No final da unidade, introduzimos as bases da resistência dos materiais: a Teoria da Elasticidade.

5 5 Na UIA 3, a terceira parte do curso, vamos estudar sobre projeto de vigas e pilares. Inicialmente, entender a distribuição das tensões normais e de cisalhamento numa viga como um todo, em vez de apenas alguns pontos. Esse entendimento permitirá realizar projeto de vigas prismáticas. Para o projeto de colunas, iremos primeiro estudar a flambagem de colunas, que é uma instabilidade do elemento estrutural (pilar) quando submetido a um carregamento axial. Mesmo que a tensão seja menor que a tensão admissível do material de um pilar, é possível que este venha a falhar devido à flambagem. Esses conceitos, então, podem ser aplicados no projeto de colunas/pilares. A parte final do curso, UIA 4, contém as bases para análise estrutural de estruturas: cálculo de deslocamentos e métodos energéticos. Aqui, iremos utilizar o método de funções singulares e o método de momento de área para o cálculo dos deslocamentos em vigas. Também iremos usar métodos de energia para o cálculo de deslocamentos, mas usando o princípio da conservação de energia, que estabelece o equilíbrio energético quando uma estrutura está carregada. Finalmente, estudaremos o princípio dos trabalhos virtuais, um tópico de grande aplicação em problemas de engenharia. Esta disciplina está estruturada para que você possa compreender mais a fundo os conceitos e aplicações da resistência dos materiais, que irão auxiliar em disciplinas adiantes no seu curso. Esperamos que o material ajude bastante nos seus estudos. Boa sorte! Confira ao final da UIA o glossário com os termos de cada símbolo referente às formulas.

6 6 Aula 1 CONCEITOS BÁSICOS Olá, estudante, bem-vindo(a) à primeira Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Vamos começar a disciplina de Resistência dos Materiais II com um bom resumo de Resistência dos Materiais I. É importante que você lembre os conceitos básicos, pois serão necessários para quase toda parte da disciplina. Vamos relembrar sobre tensão, deformação, as propriedades mecânicas do material e as aplicações em carregamento axial, torção, flexão e suas combinações. Bom estudo! n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados nas UIAs. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1.1. A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Vamos inicialmente lembrar os conceitos da Resistência dos Materiais. A Resistência dos Materiais, também chamada de Mecânica dos Materiais, é o ramo da mecânica que estuda o comportamento de objetos/corpos sólidos (elementos estruturais) sujeitos a forças internas provocadas por forças externas. A disciplina de Resistência dos Materiais aborda o conceito de tensão e deformação e como esses dois conceitos estão relacionados e, finalmente, utiliza métodos e técnicas para calcular as tensões e deformações em alguns elementos estruturais, como vigas, colunas e eixos. O primeiro conceito importante na Resistência dos Materiais é a definição de tensão. O conceito clássico de tensão considera uma força normal D N e de cisalhamento D V numa pequena área D A, representados na figura a seguir. Matematicamente, as tensões são expressas como: ΔN σ = lim &' ) ΔA e τ = lim Portanto, a tensão é igual à força sobre área quando a área tende a zero, isto é, quando a área tende (matematicamente) a um ponto. Em situações em que as forças internas numa determinada área são praticamente uniformes, podemos calcular a média das tensões dadas por: &' ) ΔV ΔA (1.1) σ 5é789 = N A e τ 5é789 = V A (1.2)

7 7 Figura 1. Esforço normal D N e de cisalhamento D V numa área D A Outro conceito importante é a deformação, que podem ser duas: deformação normal específica e deformação por cisalhamento. A deformação normal específica está associada a uma deformação quando o corpo se deforma (estica ou comprime) ao longo de uma linha de referência, como, por exemplo, o objeto mostrado na figura a seguir. Inicialmente, a linha entre A e B tem comprimento D s. Depois que estica, este passa a ter outro comprimento, D s. Logo, a deformação específica normal média é dada por: s s ε 5<7 = s O mesmo ocorre com variação do ângulo entre dois segmentos de reta que são originalmente perpendiculares entre si, como mostra a Figura 3. Esses segmentos de reta se deformam conjuntamente com o corpo e, consequentemente, o ângulo formado entre os segmentos de reta muda para um ângulo q, como mostra a Figura 3b. A deformação de cisalhamento é dada como: γ = π 2 lim D ' 9E FEGHE 7< G I ' 9E FEGHE 7< J (1.3) θ (1.4) Figura 2. Corpo indeformado e deformado para deformação específica normal

8 8 Figura 3. Corpo genérico indeformado e deformado para deformação cisalhante É importante entender que as deduções sobre tensão e deformação são baseadas em algumas hipóteses do material: material coeso (todas as partes são perfeitamente conectadas, não apresentando falhas, trincas ou separações), contínuo (continuidade ou distribuição uniforme de matéria sem vazios), homogêneo (mesmas propriedades físicas e mecânicas ao longo do seu volume) e isotrópico (mesmas propriedades em todas as direções) CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO Você deve estar lembrando que a tensão e deformação estão relacionadas pelas propriedades dos materiais, certo? Uma forma de obter essas propriedades é realizar um teste de tração do material, que, basicamente, usa um corpo de prova padronizado do material, esticando-o até a sua ruptura. Durante esse teste, são medidas as forças, que são transformadas em tensão, e as deformações que permitem construir o diagrama tensão-deformação do material. A figura seguinte mostra um diagrama típico para um metal. Uma forma de obter essas propriedades é realizar um teste de tração do material, que, basicamente, usa um corpo de prova padronizado do material, esticando-o até a sua ruptura. Durante esse teste, são medidas as forças, que são transformadas em tensão, e as deformações que permitem construir o diagrama tensão-deformação do material. A figura seguinte mostra um diagrama típico para um metal. O diagrama tensão-deformação está dividido em quatro regiões: (1) região elástica, (2) escoamento, (3) deformação específica por endurecimento e (4) estrição.

9 9 A região elástica é onde o material se comporta elasticamente, retornando ao seu estado original quando as cargas são removidas. Na região de escoamento, diz-se que o material se tornou plástico. Nessa região, ocorre um aumento da deformação e quando nenhum aumento da tensão. Quando o comportamento do material entrar nessa região, este não volta ao seu estado original, e a diferença de tamanho é chamada de deformação residual. Na terceira região, deformação específica por endurecimento, ocorre acréscimo de tensão com também acréscimo de deformação até o limite de resistência. Depois dessa região, com o acréscimo de deformação, ocorre diminuição de tensão no diagrama convencional, devido à estrição local no CP. Essa região termina quando ocorre a ruptura do material, que se divide em dois. Nas próximas aulas, iremos abordar a plastificação do material e também a deformação residual. Algumas propriedades podem ser obtidas do diagrama tensão-deformação: Limite de proporcionalidade, s P ; Tensão de escoamento, s e ; Tensão última ou limite de resistência, s u ; Tensão de ruptura, s R ; Tensão de ruptura, s R. Essas são algumas, mas é possível também obter o módulo de elasticidade, que relaciona a tensão e deformação na região elástica, dado por: σ = Eε (1.5) Outra propriedade bastante usada é o coeficiente de Poisson, que relaciona a deformação lateral ou transversal e a deformação longitudinal: ν = ε JP9GQ ε FEGH (1.6) Onde ε JP9GQ é a deformação transversal e ε FEGH é a deformação longitudinal. Reveja o ensaio de tração no material no vídeo do Telecurso Preste atenção na conversão de unidades para não fazer os cálculos errados. O vídeo está disponível no seguinte link CARREGAMENTO AXIAL Antes de entrar em detalhes sobre carregamento axial, temos de relembrar o princípio de Saint-Venant. Esse princípio estabelece que a tensão e deformação específica, gerados em um ponto suficientemente afastado da região de carregamento sobre o corpo, serão as mesmas produzidas por qualquer carregamento atuante que tenha a mesma resultante estaticamente equivalente aplicada ao corpo na mesma região. Entendendo o princípio de Saint-Venant, entendemos até onde podemos aplicar as equações da resistência dos materiais, isto é, longe dos pontos de aplicação de cargas e também longe dos apoios. Vamos considerar a barra carregada, como mostra a figura seguinte, que tem uma seção transversal constante A, módulo de elasticidade E e comprimento L. Devido à aplicação da força na extremidade, essa barra se alonga por um valor d. A tensão e deformação da barra são dadas como: σ = P A e ε = δ L (1.7)

10 10 Figura 5. Barra deformada submetida a uma carga axial Considerando a Lei de Hooke, isto é, σ = E ε, podemos usar as equações anteriores para obter uma relação que permite exprimir o deslocamento d da barra. Em termos mais gerais, o deslocamento de uma barra com vários trechos de seção transversal, com diferentes materiais e também distintos comprimentos, é calculado pelo somatório dos deslocamentos: δ = P L A E (1.8) No caso de uma barra com seção transversal variável em função do seu eixo longitudinal x, A(x), e também uma força variável P(x), a equação do deslocamento é dada pela integral: δ = ) \ P(x) dx A(x) E (1.9) Uma outra situação de carregamento axial é quando a seção é composta de dois ou mais materiais diferentes. Podemos calcular a tensão em cada material com a seguinte equação: σ 8 = P E A E 8 (1.10) Onde σ 8 e E 8 é a tensão e o módulo de elasticidade do material i, enquanto E A é o somatório do produto do módulo de elasticidade e área de todos os materiais que constituem o elemento submetido a força axial TORÇÃO Torção ou torque é um momento que tende a torcer um elemento em relação a seu eixo longitudinal. Um torque num eixo desenvolve tensões de cisalhamento (tangenciais) na seção transversal do eixo como mostra a figura seguinte. A tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo da linha radial do centro, desde zero, quanto r = 0 (centro do eixo), até a um máximo na sua superfície externa, quando r = r (raio do eixo). A distribuição de tensão para um determinado torque T e uma seção circular é dada por: T ρ τ = J (1.11) Onde J é o momento polar de inércia. Para um eixo maciço de raio r ou diâmetro d, o momento de inércia é dado por:

11 11 π rd J = 2 π dd ou J = 32 (1.12) Para um eixo tubular de raio externo r e e raio interno r i, o momento de inércia é dado como: J = π r < d r 8 d 2 (1.13) Figura 6. Representação da distribuição da tensão de cisalhamento num eixo submetido a um torque O ângulo de torção mede a rotação do eixo, em relação a uma referência, quando submetido a um torque. De uma forma geral, podemos considerar um momento polar de inércia variável m função de x, J(x), assim como um torque aplicado ao longo do comprimento do eixo, isto é, um T(x). O ângulo de rotação fica também uma função de x, obtido pela integral: ϕ = \ T(x) J(x) G dx ) (1.14) Onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento. Na maioria dos casos, o torque é aplicado em pontos específicos do eixo, tendo assim valores constantes. Adicionalmente, o raio do eixo também pode ser constante, tendo J(x) e T(x) constante. Portanto, a integral se resume em: ϕ = T L J G (1.15) Quando um eixo estiver sujeito a vários torques diferentes, em diferentes pontos de aplicação, ou as áreas das seções transversais mudam em determinados trechos, ou mais ainda, um eixo com diferente material, a rotação do eixo vai ser a soma dos vários trechos. Considerando que o torque e a área sejam constantes em cada trecho, o ângulo de rotação é dado por: ϕ = T L J G (1.16) Outras situações de torção devem ser consideradas, como, por exemplo, tubo de paredes finas. Como consideramos que a parede é fina, ocorre uma distribuição de tensão média nas paredes, como mostra a figura a seguir. Essa tensão média no tubo é dada por: τ 5<7 = T 2 t A 5 (1.17) Onde T é o momento torsor aplicado, A m é a área média formada na linha média do tubo e t é a sua espessura, na posição onde está sendo calculada a tensão de cisalhamento.

12 12 Figura 7. Distribuição de tensão em tubo de parede fina O tubo de parede fina também rotaciona ao longo do seu comprimento. A rotação infinitesimal do tudo é dada por: d = G T 4A Cm 2 m ds t dx (1.18) T dx d = GJ Onde J em que é a constante de torção da seção transversal do tubo de parede fina, equivalente, no caso de barras circulares, cheias ou vazadas, ao momento polar de inércia. Essa constante é dada por: 4A J= 2 m C m ds t (1.19) Onde a integral acima representa o perímetro médio do tubo dividido pela sua espessura. Considerando um tubo de espessura constante t, a expressão de J se reduz a: 4A J = C 2 m m t (1.20) Onde C m é o perímetro médio do tubo FLEXÃO E CISALHAMENTO EM VIGAS Uma viga é outro elemento estrutural bastante estudado na Resistência dos Materiais. É um elemento estrutural projetado para suportar carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo. Em geral, a viga é uma longa barra retilínea com área de seção transversal constante. As vigas podem ter vários comprimentos, com diversos apoios, mas sempre iremos considerar os carregamentos aplicados perpendicular ao seu eixo. Os esforços internos de uma viga 2D estão representados na Figura 8. O momento fletor é representado apenas por M, e o esforço cortante, apenas por V. O momento fletor provocar tensões normais na seção transversal da viga, enquanto o esforço cortante provoca tensão de cisalhamento. O momento fletor positivo, como mostra a figura, comprime a parte superior da viga (compressão axial) e traciona a parte

13 13 inferior (tração axial). Dessa forma, vai existir um local entre a parte de tração e compressão que é chamado de superfície neutra ou linha neutra. Figura 8. Representação dos esforços internos de uma viga 2D: esforço cortante (força de cisalhamento) e momento fletor A distribuição de tensão em uma viga devido ao momento fletor é mostrada na figura seguinte. Observe a tensão máxima σ 59j situada na posição mais extrema da linha neutra, no lado tracionado, tendo uma variação linear a partir da linha neutra. A parte superior acima da linha neutra, as tensões são negativas e, do lado oposto, as tensões são positivas. A equação da tensão em qualquer ponto da seção transversal é dada por: M y σ j = σ = I (1.21) Onde I (ou I z) é o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo neutro, e y é posição na seção para o cálculo da tensão a partir da linha neutra, como mostra a figura seguinte. Quando se tem vários materiais constituindo a seção da viga, a tensão é dada por: σ j = M y E I n E (1.22) Onde E é o módulo de elasticidade de cada material. Nesse caso, deve-se modificar o cálculo da linha neutra para considerar os vários materiais. Em termos práticos, escolhe-se um módulo de elasticidade de referência, E ref, e calculamos as relações para os materiais: n 8 = E 8 E P<p (1.23) Dessa forma, a equação do centroide (onde passa a linha neutra) é modificada para levar em conta os diferentes materiais por: y q = n y A n A (1.24) Figura 9. Distribuição de tensões de um plano numa viga sob momento fletor

14 14 Figura 10. Distribuição de tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante A seção transversal da viga pode ter também uma força de cisalhamento atuante (Figura 10a), como resultante das tensões de cisalhamento distribuídas ao longo da seção, como mostra a Figura 10b. Nesse caso, a equação da tensão cisalhante em vigas é dada por: τ jr = V Q (1.25) b y I n Onde I n é o momento de inércia em relação ao eixo z, que passa pela linha neutra, b(y) é a largura da viga na posição y, onde se quer determina a tensão cisalhante, e Q é o momento estático da área A y em relação ao eixo z. O momento estático, ou momento de primeira ordem, é dado por: Q = y da (1.26) ' u Ou pode ser simplificada, considerando que a seção da viga tenha uma seção definida por geometrias simples. Nesse caso, a integral é substituída por um somatório: Q = A r y (1.27) Onde A r é a área superior (ou inferior) do plano y e, y é a distância do eixo neutro ao centroide da área A r. Podemos calcular a tensão de cisalhamento numa posição genérica y em uma viga de seção retangular, dada por: τ jr = 6V b h w h x 4 yx (1.28) Essa equação mostra que a distribuição da tensão de cisalhamento é uma parábola que tem valor zero nas superfícies superiores e inferiores e um valor máximo na linha neutra quando y = 0. Logo, a tensão máxima de cisalhamento na viga vai ser dada por: τ 59j = 3 V 2 b h = 1,5 V A Onde A é a área da seção transversal. (1.29) Em vigas constituídas por elementos esbeltos ou elementos de parede fina e seção transversal aberta, podemos utilizar nos cálculos o fluxo de cisalhamento. O fluxo de cisalhamento mede a força de cisalhamento distribuída ao longo do comprimento no sentido longitudinal e é dado por:

15 15 q = τ jr b y = V Q I n (1.30) O deslocamento da viga da viga em função da coordenada no seu eixo longitudinal é representado pela equação da linha elástica. Em termos gerais, a linha elástica tem forma diferencial dada pela equação: d x y dx x = M E I (1.31) Com essas equações diferenciais é possível obter a função y(x) com um processo de integração direta da função diferencial. Entretanto, cada vez que é realizada uma integração, surge uma constante de integração. A determinação das constantes de integração é realizada pelas condições de contorno e condições de continuidade CARREGAMENTO COMBINADO E ANÁLISE DE TENSÃO As tensões mencionadas nas seções anteriores podem ser combinadas com os diversos carregamentos aplicados. Quando dos vários carregamentos, uma estrutura apresentará vários estados de tensões que podem ser combinadas pelo princípio da superposição dos efeitos. Esse princípio estabelece que a tensão resultante ou o deslocamento em um ponto podem ser determinados encontrando-se inicialmente a tensão e deslocamento causados por cada componente do carregamento atuante separadamente sobre o elemento. A tensão ou o deslocamento são determinados pela somatória das contribuições (obedecendo as direções e sentidos). Para lembrar, o princípio da superposição de efeitos deve satisfazer duas condições: A relação entre o carregamento deve ser linear com a tensão e o deslocamento. O material deve trabalhar na região elástica da curva tensão-deformação do material (Lei de Hooke). O carregamento não deve alterar significativamente a geometria original ou configuração do elemento. As análises realizadas são consideradas de pequeno deslocamento, em que a geometria da configuração deformada se aproxima bastante da configuração não deformada. O seguinte procedimento de análise pode ser adotado para obter o estado de tensões de um ponto com carregamentos combinados: Obtenção dos carregamentos internos. Esses carregamentos são as forças normais, a força de cisalhamento, o momento fletor e o momento de torção. Obtenção das componentes de tensão pelas equações mostradas nas subseções anteriores. Aplicação da superposição dos efeitos para um ponto, permitindo obter um estado de tensão normal e de cisalhamento resultante. A combinação das tensões vai gerar um estado de tensões mais complexo que é representado (no caso de estado plano de tensões) esquematicamente pela figura seguinte. Esse estado de tensões não permite avaliar inicialmente as tensões normais e de cisalhamento máximas necessárias para comparação com a resistência do material. Essas tensões são obtidas pelas seguintes equações:

16 16 2 x + y x y 2 máx, mín = 1,2 = ± + xy = méd ± 2 2 máx (1.32) e 2 x y máx = ± xy (1.33) onde σ 5<7 = σ j + σ r 2 (1.34) Figura 11. Representação de estado plano de tensões Existe uma lista de vídeos sobre ensaios de matérias disponíveis no Telecurso Eles podem ajudar a entender o comportamento dos materiais e ensaios. Estes são importantes para Engenharia. Siga o link a seguir! Chegamos ao final de nossa primeira aula, que foi um resumo dos principais pontos de Resistência dos Materiais I. Você deve ter percebido que, apesar dos assuntos serem tratados separadamente, em algum momento combinamos para obter um estado complexo de tensões. Nesse caso, um estado plano de tensões. Mas não termina aí, pois precisamos encontrar os máximos e mínimos. Mais adiante, usaremos esse estado de tensão com critérios de resistência para comparar com os limites do material. Por enquanto, vamos entrar em alguns tópicos avançados de carregamento axial, torção e flexão.

17 17 Aula 2 TÓPICOS AVANÇADOS NO CARREGAMENTO AXIAL Bem-vindo(a) a mais uma aula! Vamos iniciar os tópicos avançados. Nesta aula, iremos abordar com o carregamento axial. Os pontos a serem estudados são: concentração de tensão, deformação inelástica e tensões residuais. Estamos indo além do comportamento linear elástico do material, considerando, assim, a plasticidade do material, que tem um comportamento não linear. Bons estudos! 2.1. CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO Você deve ter percebido na disciplina Resistência dos Materiais I e também na aula passada que o princípio de Saint-Venant estabeleceu um limite de aplicabilidade das equações de tensões. As fórmulas clássicas da análise tradicional de tensões (ou da resistência dos materiais) só são válidas nas regiões da peça que fiquem longe das transições bruscas de geometria e dos pontos de aplicação das cargas concentradas. Por exemplo, a fórmula σ = My/I, usada para calcular as tensões lineares elásticas induzidas pelo fletor M no ponto que distancia y do eixo neutro numa viga de momento de inércia I, só é válida nos trechos onde a seção reta permaneça uniforme (ou varie suavemente). Logo, as fórmulas clássicas só servem para se calcular as chamadas tensões médias σ 5é7 (às vezes chamadas também de tensões nominais σ G ), as quais desprezam os efeitos localizados nas transições geométricas bruscas. Entretanto, a grande maioria das peças reais precisa ter entalhes, ou variações localizadas da sua geometria como furos, rasgos, ombros ou outros detalhes similares, os quais são em geral indispensáveis para a fixação e/ou a operação da peça. Esses entalhes são necessários, mas concentram (isto é, aumentam) localmente as tensões que atuariam na peça se ela fosse isenta deles. Em termos de projeto, essas tensões concentradas vão ser determinantes para comparação com a resistência do material no momento de dimensionamento. Considere, por exemplo, uma barra submetida a um carregamento axial e com um furo no meio como mostra a Figura 12a. De acordo com o princípio de Saint-Venant, não é possível afirmar que ocorre uma distribuição média de tensões na seção do furo indicada na figura. Essa distribuição é não uniforme, como mostra a Figura 12b. Observe que a tensão máxima ocorre na borda interna do furo por uma tensão máxima σ 5áj. Entretanto, podemos calcular uma tensão média simplesmente fazendo a força dividida pela área restante da seção devido ao furo. Com isso, podemos relacionar a tensão máxima com a tensão média.

18 18 Figura 12. (a) Placa com furo sob tensão normal, (b) representação das tensões normais internas na placa com furo O cálculo de tensões em entalhes e furos pode ser resolvido com o fator de concentração de tensões K t. Este é definido pela razão entre a máxima tensão que atua numa dada seção (entalhada) σ 5áj e a tensão média, σ 5é7, que atuaria naquela seção se o entalhe nela não causasse qualquer efeito: K J = σ 5áj σ 5é7 (2.1) Sendo a tensão normal média é calculada a partir da equação σ 5é7 = P/A, onde A é a menor área da seção transversal. A tensão normal média também é denotada por tensão nominal e expressa por σ G. Tendo valores de K t e da tensão média, agora é possível calcular o valor da tensão máxima pela aplicação da equação 2.1. O fator de concentração de tensões é obtido de gráficos e equações e depende da geometria da peça ou barra sob condições de força axial, não dependendo das propriedades do material. No final desta aula, são apresentadas equações de K t para algumas geometrias (observar que a tensão média é denominada de tensão nominal). Outros gráficos e equações podem ser encontrados no Handbook of Stress and Stregth (JUVINALL; LIPSON, 1963). Por exemplo, o fator de concentração de tensões para uma barra com furo é dado por: K J = r D Onde D é a largura da barra e r é o raio do furo. 2r + 3,66 D x 1,53 2r D w (2.2) A concentração de tensões pode ser vista como um aperto das linhas de força que percorrem uma determinada peça com entalhe. As linhas de força indicam qualitativamente o fluxo dos esforços através de uma dada estrutura, ou seja, como eles se distribuem ao atravessá-la. Pode-se pensar nas linhas de força como sendo: 1. Elásticos ou fios esticados sob força constante, ligando os pontos de aplicação dos esforços na estrutura. 2. Ou podem-se visualizar os esforços como sendo análogos à corrente elétrica: ambos se conservam ao fluir através das estruturas que os contêm. 3. Ou, então, pode-se pensar nas linhas de força como análogas às linhas de corrente em hidráulica.

19 19 Usando qualquer dessas analogias, fica fácil compreender que as linhas de força não podem ser cortadas pelos entalhes, elas têm que contorná-los. Assim, como as linhas de força são os caminhos de força constante que ligam os pontos de aplicação da carga, as tensões são proporcionais ao número de linhas de força por unidade de área e, portanto, quanto mais próximas as linhas de força, maior o K t, como mostra a Figura 13. E, da mesma forma que linhas de corrente são suavizadas eliminando as variações bruscas no diâmetro de uma tubulação, podese diminuir o K t numa estrutura retirando os seus cantos vivos. Figura 13. Exemplificação de linhas de força em entalhe severo e suavizado Os valores de concentração de tensão fornecidos nos gráficos e equações foram determinados com base em um carregamento estático e também assumindo que as tensões máximas não excedam ao limite de proporcionalidade. Isto é, K J só vale no regime elástico e para cargas estáticas. No caso de cargas cíclicas que variam de amplitude no tempo, o problema é resolvido pela as abordagens de Mecânica da Fratura e Fadiga, um tópico não abordado nessa disciplina. Exemplo 1: Calcule a força máxima que pode ser aplicada em uma barra de aço de largura de 100 mm e espessura de 20 cm com tensão admissível de 200 MPa. Se um furo de raio de 3 mm for feito no meio da placa, qual o valor dessa força? Solução: Na primeira situação sem furo, devemos usar a equação da tensão axial σ 975 = P 5áj A P 5áj = σ 975 A = ,10 0,02 P 5áj = 400 kn (resposta) Quando se tem furo ou entalhe, devemos aplicar a equação de concentração de tensão: K J = σ 5áj σ 5é7 = σ 975 σ 5é7 Onde σ 5é7 = P/A 58G e A 58G é a menor área da seção transversal. Essa área é dada por

20 20 A 58G = largura 2r espessura = 0,10 2 0, = 1,88 10 w m x Devemos obter o valor do fator de concentração de tensões para r/d = 0,03. K J = r D 2r + 3,66 D x 1,53 2r D K J = ,06 + 3,66 0,06 x 1,53 0,06 w = 2,825 Logo, podemos resolver o problema considerando o fator de concentração de tensões K J = σ 975 = A 58Gσ 975 P σ 5é7 P 59j = A 58Gσ 975 = ,88 10 w 59j K J 2,825 P 59j = 133,1 kn (resposta) w Observe a diminuição da força máxima quando é considerado um furo ou entalhe. Veja um pouco mais sobre concentração de tensão no Wikipédia. Lá você tem informações de causa, prevenção e exemplos sobre concentração de tensão. Acesse o link a seguir DEFORMAÇÃO AXIAL INELÁSTICA O diagrama tensão-deformação, Figura 14, é reproduzido novamente aqui para o estudo de deformação axial inelástica. Apesar dos vários detalhes inerentes ao diagrama, podemos dividi-lo em duas partes: comportamento elástico e comportamento plástico. No comportamento elástico, vale a Lei de Hooke σ=eε. Até agora, nossas análises seguem esse comportamento elástico com pequenas deformações. Na região de comportamento plástico, acima da tensão de escoamento, dizemos que o material escoa, saindo do regime elástico de tensão e deformação. O material pode trabalhar na região de plasticidade, pois existem situações que o elemento é projetado de forma que o carregamento cause escoamento do material, produzindo, assim, uma deformação permanente (detalhes na próxima seção).

21 21 Figura 14. Diagrama tensão-deformação típico Para nossas análises aqui adotaremos dois comportamentos (modelos) de diagrama tensão-deformação simplificados do real: 1. modelo elástico perfeitamente plástico ou elastoplástico ideal, como mostra a Figura 15a; e 2. modelo bilinear, como mostra a Figura 15b. Figura 15. (a) Modelo elástico perfeitamente plástico ou elastoplástico ideal e (b) modelo elástico com endurecimento No modelo elastoplástico, as tensões somente atingem o máximo na tensão de escoamento σ <. Na Figura 15a, a tensão inicial σˆ produz uma deformação εˆ na região elástica do material. Quando o material é mais carregado, chega na tensão de escoamento do material e na deformação específica normal de escoamento ε <. A partir desse momento, ocorre deformação permanente sem acréscimo de tensão. Por exemplo, as deformações εˆ e εˆ sempre têm a mesma tensão σ <. Numa dada seção crítica de uma barra sob carregamento axial, pode ocorrer o escoamento de toda a seção, tendo a tensão de escoamento como limite. Nesse caso, a carga em que atinge essa condição é chamada de carga plástica, uma vez que representa a maior carga que pode ser suportado por um material elastoplástico ideal. O exemplo a seguir mostra uma aplicação.

22 22 Exemplo 2: Uma barra de aço de largura de 120 mm e espessura de 15 mm tem furo no meio de raio 5 mm. O material é considerando elastoplástico ideal com tensão de escoamento de 100 MPa. Calcule e maior carga que se pode aplicar na barra antes de plastificar o material. Calcule também a carga plástica. Solução: A tensão elastoplástica vai ocorre inicialmente na borda do furo. Portanto, deve-se colocar como tensão máxima no furo a tensão de escoamento. A área mínima A 58G é a menor área da seção transversal. Essa área é dada por A 58G = largura 2r espessura = 0,15 2 0,015 0,15 = 1,65 10 w m x Devemos obter o valor do fator de concentração de tensões para r/d = 0,042. K J = r D 2r + 3,66 D x 1,53 2r D K J = , ,66 0,084 x 1,53 0,084 w = 2,76 Logo, podemos resolver o problema considerando o fator de concentração de tensões K J = σ 59j = σ < = A 58Gσ < P σ 5é7 σ 5é7 P 59j = A 58Gσ 975 = ,65 10 w 59j K J 2,76 P 59j = 59,7 kn (resposta) A carga plástica é obtida quando a tensão de escoamento fica distribuída em toda seção da barra. Logo P = A 58G σ < = 165 kn (resposta) w No modelo elástico bilinear, o material ainda aumenta a tensão depois da tensão de escoamento, como mostra a Figura 15b. Novamente, a tensão inicial σˆ produz uma deformação εˆ na região elástica do material. Entretanto, tensão σ x produz uma deformação ε x na região plástica do material. A inclinação da segunda curva no modelo elástico com endurecimento é representada pelo módulo de endurecimento do material com unidade em MPa ou GPa, de forma similar do módulo de elasticidade. Exemplo 3: Uma barra circular de raio 30 mm de alumínio tem a curva tensão-deformação definida como o modelo bilinear na figura a seguir. Calcule a deformação normal específica dessa barra quando for aplicada uma força de 200 kn e 400 kn.

23 23 Solução: Devemos calcular primeiro a área da seção da barra: A = π r x = π 0,03 x = 2,83 10 w m x Para a força normal de 200 kn, a tensão é dada por: σ = F A w = = 70,27 MPa 2,83 10 w Essa tensão está na parte elástica da curva tensão-deformação. Podemos calcular a deformação por semelhança de triângulos ,0012 = 70,27 εˆ εˆ = 7, d mm/mm (resposta) Para a força normal de 400 kn, a tensão é dada por: σ = F A w = = 141,5 MPa 2,83 10 w Nesse caso, a tensão está na parte plástica da curva tensão-deformação. O cálculo da deformação plástica também é realizado por semelhança de triângulos: ,20 0,0012 = 141,5 120 ε x 0,0012 ε x = 0,072 mm/mm (resposta) TENSÕES RESIDUAIS Como foi visto anteriormente, o diagrama tensão-deformação fornece o comportamento do material quando submetido a um estado de tração ou compressão. Na maioria dos casos analisados até aqui, foi considerado que o elemento é carregado até uma determinada força ou momento. O material também reage e segue o diagrama tensão-deformação. Entretanto, o elemento estrutural pode ser descarregado. Isto é, aplicamos uma determinada carga no elemento e depois removemos. Se essa carga provoca uma tensão no material menor que a tensão de escoamento, a tensão e deformação no descarregamento são iguais a zero, assim como o elemento estrutural volta a seu tamanho original. Isso porque estamos no comportamento elástico do material. Figura 16. Carregamento e descarregamento em (a) modelo elástico perfeitamente plástico e (b) modelo elástico com endurecimento

24 24 O comportamento plástico do material é diferente do comportamento elástico quando ocorre descarregamento. O comportamento é esquematizado na figura anterior. Para um modelo perfeitamente plástico, Figura 16a, o material atinge a tensão de escoamento do material e se segue aumentando a deformação, seguindo o caminho BC. Entretanto, se as cargas forem removidas, o caminho que o material segue é o mostrado pela linha CD, não voltando para o ponto A de deformação nula, mas para o ponto D com uma deformação residual ε r. Observar que a linha CD é paralela à linha AB. O mesmo ocorre num material bilinear, como mostra a Figura 16b. A diferença é que a tensão aumenta depois da tensão de escoamento com a deformação específica. Quando o material é descarregando, a deformação específica também não volta ao estado anterior, tendo deformação residual. Vamos imaginar agora que carregamos um determinado sistema estrutural em que alguns elementos indo além da tensão de escoamento no material e depois o sistema é descarregado. Por alguma razão, a carga pode voltar a zero, mas a tensão interna em alguns elementos não volta a zero. Essa tensão que não volta a zero é chamada de tensão residual, pois toda a carga foi removida do sistema estrutural e alguns elementos ainda ficam com tensão residual. Usualmente, esse tipo de problema de tensão residual ocorre em um elemento (ou um grupo de elementos) carregado axialmente, que é estaticamente indeterminado e que pode suportar tanto cargas trativas como compressivas. Os exemplos a seguir mostram o comportamento das tensões e deformações residuais. Selecionamos um vídeo para você sobre Deformação Plástica e Tensões Residuais. É possível visualizar as deformações plásticas em materiais disponíveis, como uma garrafa de plástico. Assista-o a seguir! Exemplo 4: Considere o mesmo problema do exemplo anterior. Uma barra circular de raio 30 mm de alumínio tem a curva tensão-deformação definida como o modelo bilinear na figura a seguir. Calcule a deformação residual normal específica dessa barra quando a força de 400 kn é aplicada e depois descarregada. Solução:

25 25 A força normal de 400 kn gera a tensão de: σ = F A w = = 141,5 MPa 2,83 10 w No carregamento, a tensão está na parte plástica da curva tensão-deformação. O cálculo da deformação plástica é repetido aqui pela semelhança de triângulos: ,20 0,0012 = 141,5 120 ε x 0,0012 ε x = 0,072 mm/mm (resposta) No descarregamento, a tensão se torna igual a zero, mas a deformação segue o caminho CD mostrado na Figura 16b, como indicado na figura abaixo O valor de ε pode ser obtido por semelhança de triângulos: 180 0,0012 = 141,5 ε ε = 0,00141 mm/mm A deformação residual será: ε P = ε x ε = 0,072 0,00141 = 0,07059 mm/mm (resposta) Exemplo 5: Uma barra circular de raio 6 mm de alumínio tem a curva tensão-deformação perfeitamente plástico, com tensão de escoamento σ < = 250 MPa e E = 70 GPa. Essa barra está disposta como mostra a figura a seguir. Uma carga é aplicada de 50 kn no ponto C e depois descarregada. Calcule a deformação de cada barra quando a força é aplicada. Calcule a tensão residual na barra após a remoção da carga.

26 26 Solução: De acordo com a solução elástica, temos as reações: Área da seção da barra: R ' = P L DI L R I = P L 'D L = = = 12,5 kn = 37,5 kn A = π r x = π 0,006 x = 1,13 10 d m x A força normal de AB gera a tensão de tração: σ 'D = F A = 12,5 10w 1,13 10 d = 110,5 MPa (tração) < σ < (OK) A força normal de BC gera a tensão de compressão: σ DI = F A = 37,5 10w 1,13 10 d = 331,5 MPa compressão > σ < (não OK) A tensão no trecho BC não pode ser maior que a tensão de escoamento. Logo, podemos calcular a maior força desenvolvida no trecho BC: F r = (F DI ) r = σ < A = ,13 10 d = 28,27 kn Logo, por equilíbrio, devemos recalcular a força axial AB: F 'D = w (F Dq ) r = 21,73 kn < F r (regime elástico ainda) As novas tensões nas barras: σ 'D = F A = 21,7 10w 1,13 10 d = 192,09 MPa tração < σ < σ DI = σ < = 250 MPa (compressão) Para conhecer as tensões residuais, calculamos as deformações específicas de cada trecho. Uma vez que AB responde elasticamente, podemos calcular o deslocamento de B: δ D = F 'D L 'D EA As deformações específicas: = (21,73 kn) 0, (1,13 10 d ) = 8, d m ε 'D = δ D 8, d = = 2, w m (resposta) L 'D 0,3 ε DI = δ D 8, d = = 8, w m (resposta) L DI 0,1 Quando da retirada da carga de 50 kn, podemos imaginar uma força aplicada no sentido oposto que gera tensões elásticas dadas anteriormente como:

27 27 σ 'D = F A 12,5 10w = = 110,52 MPa (compressão) 1,13 10 d σ DI = F A 37,5 10w = = 331,57 MPa tração 1,13 10 d Essas tensões podem ser adicionadas àquelas produzidas pelo carregamento para obter as tensões residuais: σ 'D = 192,09 110,52 = 81,57 MPa (resposta) σ DI = ,57 = 81,57 MPa (resposta) A barra tem uma tensão residual igual em todos os segmentos que é coerente. Confira abaixo alguns gráficos de Concentração de Tensão Figura 2A.1 - Kt para placa com furo Figura 2A.2 - Kt para placa com dois entalhes

28 28 Figura 2A.3 - Kt para placa com ombros. Figura 2A.3 - Kt para eixo circular com ombros. Chegamos ao fim da segunda aula. Você viu que concentração de tensão eleva a tensão a valores além da tensão média. Além disso, aprendeu sobre o comportamento plástico do material quando temos tensão acima da tensão de escoamento do material. Apesar do comportamento não linear, podemos resolver alguns problemas de plasticidade usando o equilíbrio e seguindo o diagrama tensão deformação por modelos simplificados. Vimos também algo muito interessante: mesmo que um sistema de barras não tenha forças aplicadas (pois foi descarregada), ainda assim pode ter tensão residual decorrentes da plastificação do material. Esperamos que você continue estudando. Aula 3 TÓPICOS AVANÇADOS NA TORÇÃO Bem-vindo(a) a mais uma aula! Vamos continuar com tópicos avançados, mas agora para componentes sob torção. Os pontos a serem estudados são bastante semelhantes da aula passada: concentração de tensão, deformação inelástica e tensões residuais. Bons estudos! 3.1. CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO A concentração de tensão também se aplica a vários componentes de eixo sujeitos ao esforço de torção, pois a fórmula seguinte é aplicada somente em regiões de eixo de seção transversal circular constante:

29 29 T c τ 59j = J (3.1) Onde T é o esforço de torção, c é o raio do eixo e J é o momento polar de inércia. É possível que componentes mecânicos tenham mudança brusca da geometria da seção transversal, como entalhes ou diminuição de sua seção transversal. Em componentes reais na prática, a aplicação de momento de torção é dada através de franges ou engrenagens ligadas ao eixo por chavetas colocadas dentro de rasgos realizados na superfície, como mostra a Figura 17a. Outra situação é o rebaixamento do eixo que passa de um diâmetro maior para um diâmetro menor, como mostra a Figura 17b. Em ambos os casos, ocorre concentração de tensão que será maior que aquelas calculadas pela equação 3.1. Figura 17. (a) acoplamento de engrenagem e (b) rebaixo de eixo Fonte: Em algumas situações, é possível calcular a concentração de tensão em peças sob torção sem que haja a necessidade de realizar uma análise complexa na região de descontinuidade geométrica. A tensão de cisalhamento máxima pode ser determinada para uma geometria específica através do fator de intensidade de tensão, K t. Você deve lembrar que, na aula passada, K t foi introduzido para elementos carregados axialmente e, aqui, também são usados para o caso de torção. Figura 18. Kt para eixo circular com ombros

30 30 Como anteriormente, K t são obtidos de gráficos ou equações como ilustra a Figura 18. Nesse gráfico, deve-se obter uma relação D/d entre os diâmetros do eixo para definir a curva a ser utilizada no gráfico. Com essa curva, deve-se calcular a relação entre r/d, de forma a ser usada na abcissa. Assim, a tensão de cisalhamento é calculada por: τ 59j = K J T c J Nesse caso, c é o raio menor dos eixos a serem conectados e τ 59j ocorre no ponto de concentração de tensão. Observe que o valor da tensão máxima deve ser menor que a tensão de proporcionalidade do material, pois a equação acima só vale para regime elástico do material. Na figura 3A são apresentados outros gráficos para cálculo de K t para diferentes situações de geometria. (3.2) Figura 3A.1 - Kt para eixo com furo Figura 3A.2 - Kt para eixo circular com ombros.

31 31 Figura 3A.3 - Kt para eixo circular com entalhe. Observe nos gráficos que a diminuição no raio do filete causa um aumento na concentração de tensão. Logo, o inverso é verdadeiro também, isto é, a diminuição da concentração de tensão pode ser obtida com o aumento do raio do filete. Observe também que a diminuição da razão D/d também diminui a concentração de tensão. Esses dois aspectos podem ser utilizados para diminuição do valor de K t no projeto de eixos. Exemplo 1: A junção entre dois eixos, como mostra a Figura 18, recebe um momento de torção de 200 N.m, como mostra a figura a seguir. Considerando que o diâmetro do eixo maior é 40 mm, do eixo menor é 30 mm e do raio do filete é 3 mm, determine a tensão máxima de cisalhamento nesse eixo. Solução: Devemos usar K t para calcular a tensão, pois ocorre concentração de tensão. Deve-se calcular inicialmente as razões entre as dimensões: D d = = 1,33 e r d = 3 30 = 0,10 O valor do K t é obtido na Figura 18, dando um valor de 1,4. Cálculo do valor de tensão, sendo considerado o diâmetro menor: τ 59j = K J T c J 200 0,015 = 1,4 π 0,03 d = 52,8 MPa (resposta) 32 Exemplo 2: Um eixo circula de alumínio, diâmetro de 65 mm, com entalhe apresenta um rasgo de diâmetro de 50 mm e raio de 2,5 mm no filete, conforme Figura 3A.3 mostrada a cima. Se o material tem tensão admissível ao cisalhamento de 20 MPa, calcule o maior momento de torção que pode ser aplicado no eixo.

32 32 Solução: Devemos usar K t para calcular a tensão, pois ocorre concentração de tensão. Deve-se calcular inicialmente as razões entre as dimensões: D d = = 1,30 e r d = 2,5 50 = 0,05 O valor do K t é obtido na Figura 3A.3, dando um valor de 1,8. Cálculo do valor do maior momento de torção: τ 59j = K J T c J T = τ π J 10 0,05d K J c = 32 1,8 0,025 = N. m Digite no seu pesquisador favorito da web tabela fator de concentração de tensão. Irão aparecer várias imagens com tabelas de Kt para outras geometrias que não foram mostradas aqui. Acesse! TORÇÃO NO REGIME ELÁSTICO As equações de tensão de cisalhamento apresentadas até aqui consideram que estas estejam no regime elástico do material. Entretanto, é possível que os torques sejam excessivos, provocando o escoamento do material e, por seguinte, uma análise plástica deve ser realizada para determinar a distribuição de tensões de cisalhamento e do ângulo de torção. Figura 19. Tensão de cisalhamento em eixo circular Vamos inicialmente estabelecer a relação entre a tensão interna em um determinado eixo circular me relação ao esforço de torção. Para isso, considere a Figura 19a, onde a tensão é aplicada em um determinado elemento infinitesimal de área da. A força gerada por uma tensão é dada por df = τ da. Por sua vez, o torque gerado pela força é dado por dt = df ρ = ρ τ da. Portanto, o torque total é finalmente calculado pela integração de dt resultando em:

33 33 T = ' ρ τ da (3.3) Se a área é definida por um anel circular da = 2π ρ dρ, podemos melhorar a equação anterior por: T = 2π q τ ρ x dρ ) Esta última equação, que reflete uma condição de geometria e carregamento específicos, é utilizada aqui para determinar três condições de distribuição de tensões de cisalhamento no eixo quando este é submetido a três tipos de torques. (3.4) Esses torques são denominados de: torque elástico máximo, torque elastoplástico e torque último TORQUE ELÁSTICO MÁXIMO O torque elástico máximo ocorre quando a tensão máxima na superfície externa do eixo atinge a tensão de cisalhamento de escoamento do material. A distribuição de tensão é linear, sendo τ = τ < quando ρ = c. Logo, a distribuição de tensão é dada por τ = τ < (ρ/c), onde c é o raio do eixo. O torque elástico máximo, T <, é então obtido por substituição da distribuição de tensão na equação (3.4), resultando em: T < = 2π q τ < (ρ/c) ρ x dρ ) = 2πτ < c Finalmente, podemos obter a equação do torque elástico máximo: T < = π 2 τ <c w (3.6) q ρ w dρ ) Como a distribuição é linear, o mesmo resultado pode ser obtido pela fórmula de tensão de cisalhamento em eixo circular sob torção: τ < = T <c J T < = π 2 τ <c w (3.7) (3.5) TORQUE ELASTOPLÁSTICO O torque elastoplástico ocorre quando o material do eixo sob torção apresentar plasticidade nas tensões de cisalhamento. Essa é uma situação diferente do caso anterior, pois a tensão de escoamento ao cisalhamento era atingida somente na face exterior do eixo. No caso aqui, estamos considerando que parte ou toda a seção do eixo apresenta plastificação. Para nosso estudo, vamos considerar o material elastoplástico perfeitamente plástico, onde a curva tensão deformação é semelhante a apresentada na Figura 20a. Nesse diagrama, tem-se a tensão de

34 34 escoamento ao cisalhamento τ < constante a partir de uma deformação γ < (deformação normal específica no escoamento). Antes dessa tensão, tem-se o comportamento linear do material. Figura 20. Torção no regime plástico Veja um vídeo de teste de torção em um eixo circular. Ao mesmo tempo que o material é ensaiado, é mediada a tensão e deformação. Veja que a parte plástica do material é quase uma linha horizontal. Por isso, adotamos um modelo de material elastoplastico perfeitamente plástico. Acesse o link a seguir. O torque elastoplástico vai ocorrer quando um torque for aplicado no eixo por um valor maior que o torque máximo elástico (T > T < ). Numa situação intermediária, podemos ter uma distribuição de tensão de cisalhamento semelhante ao apresentado na Figura 20b. Nessa situação, uma parte da seção, as tensões se situação ainda na região elástica do material até a posição ρ <. A outra parte da seção, entre ρ < e c, as tensões são plásticas com um valor constante da tensão de escoamento ao cisalhamento τ <. Temos, então, uma região somente elástica chamada de núcleo elástico, e outra parte plástica, chamada de anel plástico. Vamos considerar inicialmente que sabemos a posição do raio do núcleo elástico dado por ρ <. Logo, a distribuição de tensão nesse núcleo é dada por τ = τ < (ρ/ρ < ), no intervalo 0 ρ ρ <. No anel plástico, a tensão de cisalhamento é constante τ = τ <, no intervalo ρ < ρ c. Substituindo na equação (3.4), temos: = 2π τ < (ρ/ρ < ) ρ x dρ ) q + 2π τ < ρ x dρ (3.8) O que resulta em: T = π 6 τ < 4c w ρ < w (3.9) Com o aumento do torque, é possível que toda a seção do eixo fique sob plastificação, tendo uma tensão de cisalhamento constante τ < em toda a seção, como mostra a Figura 20c. Nessa situação, ρ < 0 e temos o torque plástico, T, dado por:

35 35 T = 2π 3 τ <c w (3.10) Comparando a última equação com equação do torque máximo plástico, encontramos a seguinte relação: T = 4 3 T < (3.11) Isso significa que o torque plástico é 33% superior que o valor do torque máximo plástico TORQUE ÚLTIMO Um material real de engenharia apresenta no geral um diagrama tensão-deformação similar ao apresentado na Figura 21a. Tem-se uma região elástica até τ < e, então, o material endurece plasticamente até a tensão de cisalhamento última, τ. Internamente, na seção transversal do eixo sob torção, a face externa pode atingir essa tensão de cisalhamento última, como mostra a Figura 21b. O torque que produz esse comportamento de distribuição é chamado de torque último, ou T, uma vez que qualquer aumento na deformação vai resultar em uma tensão de cisalhamento menor que a tensão τ. Consequentemente, um torque menor que T. Figura 21. Torção última O ideal é que seja possível obter uma equação de tensão ao longo do raio do eixo dada por τ ρ, onde, para ρ = c, a tensão τ c = τ. Dessa forma, é possível calcular a tensão última de cisalhamento pela equação: T = 2π q τ(ρ) ρ x dρ ) (3.12) Exemplo 3: Um eixo tubular de raio interno de 40 mm e raio externo de 60 mm deve ser submetido a um torque. O material é considerando elastoplástico perfeitamente plástico com tensão de escoamento de 15 MPa ao cisalhamento. Calcule o torque elástico máximo e o torque plástico. Solução: A figura a seguir mostra a distribuição da tensão de cisalhamento para o momento máximo elástico e o momento plástico.

36 36 O cálculo do momento máximo plástico pode ser feito com a equação da tensão a seguir: τ < = T <c J π T < = τ 15 <J 10 0,06d 0,04d c = 2 0,060 T < = 4 kn. m (resposta) O cálculo de momento plástico é obtido pela integral: T = 2π P τ < ρ x 1 dρ = 2πτ < P š 3 ρw ),) ),)d T = 2π ,06w 0,04 w = 4,77 kn. m (resposta) TENSÕES RESIDUAIS As tensões residuais são aquelas deixadas no material mesmo depois de retirados os esforços solicitantes. No caso de um eixo, um torque é aplicado provocando tensões e deformações plásticas, e depois é removido deixando as tensões residuais. Essas tensões permanecem no eixo mesmo com nenhum torque aplicado. A distribuição de tensão residual pode ser calculada através do princípio da superposição dos efeitos. Figura 22. Comportamento do material sob carregamento e descarregamento Antes de entramos em detalhes de como calcular as tensões residuais, vamos olhar o comportamento de um ponto (num eixo por exemplo) sob tensão de cisalhamento quando submetido a um carregamento de torção. Para isso, vamos considerar um material elastoplástico perfeitamente plástico, como mostra a

37 37 Figura 22. Podemos considerar um torque T > T <, que, provocando na curva tensão-deformação um caminho inicial que sai do ponta A, vai para o ponto B e deforma para o ponto C. Um torque aplicado no sentido oposto ao inicial provoca uma recuperação elástica do material, tendo o limite o ponto D na figura. O comportamento elástico reverso, linha CD, é paralelo ao comportamento elástico do material. Observe que a recuperação elástica em termos de deformação é igual a 2γ <, onde γ < é a deformação de escoamento ao cisalhamento. Figura 23. Princípio da superposição dos efeitos na determinação das tensões residuais Vamos voltar ao problema original de tensões residuais. Vamos considerar inicialmente um eixo com aplicação de um torque plástico, causando deformações plásticas por cisalhamento, como mostra a Figura 23a. Se o torque é retirado, aplicando um torque no sentido oposto ao anterior, esse torque provocará uma distribuição linear de tensão como mostra a Figura 23b, pois estamos considerando agora uma recuperação elástica do material. Considerando somente o efeito da recuperação elástica, temos o valor da tensão de cisalhamento na face do eixo denominado de módulo de ruptura, τ P, como indicado na Figura 23b. Esse módulo pode ser obtido pela equação do cisalhamento ao torque: Isso resulta em: τ P = T c J = T c (π/2)c d = τ P = 4 3 τ < (3.12) 2π 3 τ <c w c (π/2)c d (3.12) Podemos agora sobrepor as duas distribuições de tensão para obter o perfil da tensão residual, como mostra a Figura 23c. A compressão na face externa do eixo é dada por: τ P τ < = 4 3 τ < τ < = 1 3 τ < (3.12) Podemos fazer esse mesmo procedimento para outras aplicações, isto é, obtendo a perfil de distribuição de tensões elastoplástica e adicionar com o perfil de tensão devido à recuperação elástica. Exemplo 4: Calcule a tensão residual externa de eixo tubular que recebe o torque plástico e, depois, esse mesmo torque é removido. Esse eixo tem raio interno de 45 mm, raio externo de 60 mm e o material do eixo é considerando elastoplástico perfeitamente plástico com tensão de escoamento de 10 MPa ao cisalhamento.

38 38 Solução: A figura a seguir mostra como ocorre o processo de carregamento e descarregamento, tendo a distribuição de tensão residual no final. O cálculo de momento plástico é obtido pela integral: T = 2π P τ < ρ x 1 dρ = 2πτ < P š 3 ρw ),) ) ),)dœ T = 2π ,060w 0,045 w = 2,6 kn. m Módulo de ruptura é dado por: τ P = T c J = 2,6 10 w 0,060 π 0,060 d 0,045 d 2 = 11,28 MPa A tensão residual externa é dada por: τ P τ < = 11,28 10 = 1,28 MPa (resposta) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Essa foi mais uma aula de estudos avançados, mas aplicado a componentes sob carregamento de torção. Você aprendeu aspectos importantes sob concentração de tensão e também como a plasticidade do material se comporta quando aplicado uma torção. Esse entendimento permite fazer projetos estruturais levando em conta não só o comportamento linear elástico do material, indo além do convencional. Além disso, você aprendeu sobre as tensões residuais que ocorrem mesmo sem a presença de cargas. Continue estudando!

39 39 Aula 4 TÓPICOS AVANÇADOS NA FLEXÃO Esse é último tópico de tópicos avançados, mas agora sendo aplicado sob flexão de vigas. Diferentemente dos outros assuntos sobre concentração de tensão e plasticidade, adicionamos uma seção sobre vigas curvas sob flexão. Esse tópico tem aplicações em ganchos e elos de corrente, por exemplo. Novamente, bons estudos! 4.1. VIGAS CURVAS Nessa seção, iremos considerar a flexão de vigas curvas, pois as equações que você aprendeu em vigas para cálculo de tensão, deformação e deslocamento só valem para elementos considerados retilíneos. Lembrando que a tensão e deformação em vigas retilíneas em vigas tem um perfil linear ao longo da altura, uma hipótese não mais válida para vigas curvas. Por esse motivo, temos de desenvolver equações específicas para essas vigas. Exemplo de vigas curvas podem ser encontradas em ganchos e elos de corrente. A hipótese que iremos adotar aqui é que os elementos não são esbeltos, apresentando uma curvatura bem definida, e as dimensões de sua seção transversal são relativamente grandes se comparadas com seus raios de curvatura. Vamos considerar uma viga curva de raio constante, seção transversal também constante e com um eixo de simetria como mostra a Figura 24. Vamos considerar também que o material seja isotrópico, homogêneo e comportamento linear elástico. A mesma hipótese que a seção da viga permanece plana, quando aplicado o momento, é considerada aqui. Qualquer outra distorção em seu próprio plano é desprezada. Figura 24. Posições em uma viga curva sob momento Na Figura 24 podemos distinguir três posições de raio com origem no ponto O : localização do centroide da seção transversal, r; localização do eixo neutro R; e a posição genérica de um ponto de área na seção, r. Observe agora que o centroide não necessariamente coincide com a linha neutra. No caso específico na Figura 24, a viga está tracionando as fibras inferiores e comprimindo as faces superiores.

40 40 Figura 25. Elemento infinitesimal de viga curva Vamos isolar um elemento infinitesimal, como mostra a Figura 25, submetido a um momento fletor puro M. Considerando que a rotação da seção transversal é plana, a posição y a partir da linha neutra é dada por R r. Nessa posição, o comprimento infinitesimal da linha neutra é dado por rdθ. A variação da posição dessa fibra é dada por δθ(r r), devida à variação da rotação da seção dada por δθ/2. Então, a deformação específica nessa fibra é dada por: δθ(r r) ε = rdθ (4.1) Definindo κ = δθ/dθ, que é uma constante, podemos reescrever a equação acima: ε = κ R r r Essa equação é uma função não linear função de r. Se consideramos ainda a Lei de Hooke, temos também a tensão como uma função não linear ao longo da altura da viga curva. Entretanto, ainda não temos a posição da linha neutra, mas que pode ser obtida por equilíbrio de forças internas. No caso de flexão, o somatório de forças resultantes tem de ser igual a zero: (4.2) F j = 0 σda = 0 Eκ Da equação anterior, podemos isolar R por: ' ' R r r da = 0 (4.3) R = A (4.4) da ' r Onde R é a localização do eixo neutro, A é a área da seção transversal, e r é a posição arbitrária na seção da viga a partir do ponto O. Para diversas seções transversais de vigas curvas, a área e a integral da equação 4.4 são obtidas em tabelas, como mostra a tabela a seguir.

41 41 Tabela 1. Fórmulas para cálculo de eixo neutro em vigas curvas sob flexão Agora que sabemos a posição da linha neutra, é possível obter a distribuição da tensão ao longo da seção transversal da viga curva. Sabemos que a equação de momento é dada por: M = yσda Onde para viga curva y = R r. Podemos expandir para: ' (4.5) M = ' R r Eκ R r r da = Eκ R x da r 2R ' ' da + rda ' (4.6) Sabemos que as integras separadas resultam em: E substituindo na equação do momento: ' da = A r R e rda ' = ra (4.7) M = EκA r R (4.8) Utilizando a equação da tensão, temos: M(R r) σ = Ar r R (4.9) Podemos ainda considerar na equação da tensão a distância da linha neutra r = R y e a diferença entre r e R como uma excentricidade e = r R para obter a equação da seguinte forma: My σ = Ae R y (4.10)

42 42 As duas equações anteriores são conhecidas como fórmulas de tensão em vigas curvas. A Figura 26 mostra esquematicamente a distribuição de tensão em uma viga curva com um momento M. Observe a forma não linear da tensão ao longo da altura da viga. Figura 26: Distribuição de tensões em viga curva sob momento fletor Assista a um vídeo sobre vigas curvas, disponível no link a seguir. O material está em inglês, mas mesmo sem áudio é possível acompanhar as definições usadas nessa seção, assim como acompanhar um exercício. Acesse! Exemplo 1: Calcular a tensão máxima em viga curva de base 15 cm e altura de 30 cm, com raio de curvatura de 0,5 m que passa pelo centroide, quando um momento fletor positivo de 100 kn.m é aplicado. Qual o valor da tensão mínima? Solução: Devemos usar a Tabela 1 para calcular a posição da linha neutra. Os raios e a integral: rˆ = 0,35 m e r x = 0,65 m ' da = b ln r x r rˆ = 0,15 ln 4,15 = 0,093 m 3,85 Posição da linha neutra: R = A da ' r 0,15 0,30 = = 0,485 m 0,093 Tensão máxima: σ = M(R r) Ar r R = w (0,485 0,35) 0,15 0,30 0,35 0,5 0,485 = 55,58 MPa Tensão mínima: σ = M(R r) Ar r R = w (0,485 0,65) 0,15 0,30 0,35 0,5 0,485 = 36,77 MPa

43 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO Vamos voltar para as vigas retilíneas, mas agora com concentradores de tensão. Nós já sabemos calcular a tensão máxima em vigas devido ao momento fletor pela fórmula: σ 59j = Mc I (4.11) Onde M é o momento fletor, c é a posição mais distante da viga linha neutra até a superfície externa e I é o momento de inércia. Essa equação é somente válida se não houver variação brusca da seção transversal ao longo da viga. Figura 27. Exemplo de viga com furo Fonte: Uma viga pode apresentar redução brusca de sua seção transversal quando da necessidade de um entalhe ou furo, como mostra a Figura 27. Nesse caso, podemos proceder da mesma forma com já apresentado para elementos sob esforço axial e rotacional (visto em aulas anteriores). Isto é, calcular a tensão normal máxima usando o fator de intensidade de tensões. Os gráficos apresentados a seguir mostram alguns valores de K t para algumas situações de entalhes e furos. Figura 4A.1 - Kt para viga entalhada sob flexão.

44 44 Figura 4A.2 - Kt para viga entalhada deitada sob flexão. Figura 4A.3 - Kt para viga com furo sob flexão. Figura 4A.4 - Kt para viga com redução de seção sob flexão. Com o valor de K J, é possível calcular a tensão nessas situações excepcionais por:

45 45 σ 59j = K J σ GE5 = K J Mc I (4.12) Onde c e I são obtidos na menor área da seção transversal, uma vez que a tensão máxima ocorre na base do filete ou furo. σ GE5 é chamada de tensão nominal, isto é, a tensão atuante sem consideração do concentrador de tensão. Para determinar K J nos gráficos, é necessário calcular a razão entre w/h e r/h, onde w é a maior altura da viga, h é a menor altura da viga e r é o raio do filete. Observe que K J aumenta com a razão w/h e também com a diminuição de r/h. Portanto, para diminuir a concentração de tensão, recomenda-se aumentar o raio do filete e reduzir a razão w/h. Exemplo 2: Uma viga de base constante de 5 cm tem variação brusca na altura, passando de 15 cm para 11 cm com raio de filete de 2 cm. Se a viga é submetida a um momento fletor de 1,8 kn.m, calcule a máxima tensão normal desenvolvida. Solução: Devemos usar K t para calcular a tensão, pois ocorre concentração de tensão. Deve-se calcular inicialmente as razões entre as dimensões: D d = = 1,36 e r d = 2 11 = 0,18 O valor do K t é obtido na Figura 4A.4, dando um valor de 1,5. Cálculo do valor de tensão, sendo considerado o diâmetro menor: 6M σ 59j = K J σ GE5 = K J = 1,5 = 26,78 MPa (resposta) tdx 0,05 0,11x FLEXÃO NO REGIME PLÁSTICO Vamos agora considerar o efeito da plasticidade em vigas retilíneas. Isso ocorre quando um momento fletor é aplicado numa determinação seção da viga, causando o escoamento do material. Nesse caso, devemos proceder com uma análise plástica para determinação das tensões. Vamos considerar três casos de carregamento: momento fletor elástico máximo, momento plástico e momento último. Nossa análise será similar ao apresentado para o caso de torção em eixos. Vamos considerar também a aplicação em seções transversais retangulares MOMENTO FLETOR ELÁSTICO MÁXIMO O momento fletor elástico máximo, M <, ocorre quando o material apresenta a eminência de apresentar deformações específicas plásticas nas superfícies superior e/ou inferior da seção da viga. No caso específico de uma seção retangular de altura h e largura b, podemos escrever a equação da tensão linear como: σ 59j = Mc I = M(h/2) bh w /12 = 6M bh x (4.13)

46 46 Como a parte superior/inferior fica na eminência da tensão de escoamento, mas segue a Lei de Hooke na distribuição linear da tensão, temos que: σ < = 6M < bh x (4.14) O que permite obter o momento fletor máximo elástico: M < = 1 6 bhx σ < (4.15) MOMENTO PLÁSTICO O momento plástico ocorre quando o momento fletor aplicado é maior que o momento fletor máximo plástico, M> M e. Considerando um material elastoplástico perfeitamente plástico, podemos ter duas situações de plasticidade. Com o aumento do momento fletor, acima do momento fletor máximo elástico, temos as fibras superiores e inferiores se deformando plasticamente com a tensão de escoamento no limite de tensões. Essa é uma situação intermediária em que parte da seção está plastificada e outra parte ainda segue o comportamento elástico do material, como mostra a Figura 28a. O aumento de tensão pode atingir a plastificação de toda seção transversal da viga, como mostra a Figura 28b. Nesse caso, o momento que provoca a plastificação de toda seção é conhecido como momento plástico. Figura 28. Plastificação de viga sob momento No momento plástico, temos uma distribuição constante de tensão na meia metade da seção transversal. Na outra metade, a distribuição é também constante, mas com sinal contrário de tensão. Logo, podemos usar a equação do equilíbrio de momento para determinar o momento plástico, M, dada por: M = ' yσ < da /x = 2bσ < ydy ) (4.16) O que permite obter: M = 1 4 bhx σ < (4.17) A relação entre o momento elástico máximo e o momento plástico é dada por: M = 3 2 M < (4.18) Podemos observar que M é 150% maior que M <. Em algumas situações de projeto de vigas, pode-se dimensionar as vigas para trabalhar plastificada, mas seguindo normas de projeto.

47 47 Existem também a situação intermediária em que o momento aplicado fica entre os dois limites mostrados, isto é, M < < M < M, como mostra a Figura 28a. Nessa situação, tem-se uma parte da seção da viga sob regime elástico e outra no regime plástico. O procedimento de cálculo é similar ao apresentado anteriormente, tendo cuidado de representar adequadamente a distribuição de tensões ao longo da seção na equação de equilíbrio de momento MOMENTO ÚLTIMO Um material como o aço apresenta um gráfico tensão-deformação semelhante ao apresentado na Figura 29a, em que é possível atingir uma tensão de ruptura superior à tensão de escoamento. Por exemplo, numa seção transversal retangular de uma viga, a deformação normal específica atinge a deformação onde a tensão de ruptura é máxima, como mostra a Figura 29b, tendo uma distribuição linear. Em termos de tensão, a distribuição segue o diagrama tensão-deformação e a tensão de ruptura é atingida nas faces inferior e superior da viga, como mostra a Figura 29c. Quando essa situação ocorre, dizemos que atingimos o momento último. Um momento maior que o momento de último não é possível, pois as tensões começam a diminuir com o aumento da deformação. Figura 29. Comportamento de tensão e deformação no momento último O ideal é que seja possível exprimir a distribuição de tensão ao longo da altura da viga em termos de σ y. Assim, podemos utilizar a equação de equilíbrio de momento: M = ' y σ(y) da (4.19) Veja mais sobre plasticidade em vigas acessando o link a seguir. Nesse arquivo, é possível revisar alguns modelos de plasticidade, assim como os exemplos. Exemplo 3: Uma viga I tem as dimensões mostradas na figura a seguir. Se esta é fabricada com material com comportamento perfeitamente plástico, cuja tensão de escoamento é

48 MPa, calcule o momento fletor elástico máximo e o momento fletor plástico. Solução: Para o momento fletor máximo elástico, podemos usar a fórmula da flexão. Para isso, devemos calcular inicialmente o momento de inércia (vamos considerar uma seção total menos uma seção vazada). 0,2 0,2w 0,18 0,172w I = = 5,7 10 œ m d Veja o cálculo do momento fletor máximo elástico: M < = σ <I c = ,7 10 œ = 114 kn. m (resposta) 0,10 Para o cálculo do momento fletor plástico, a seção fica toda plastificada com a tensão de escoamento. Podemos calcular duas resultantes de forças na aba superior, Rˆ, e da alma, R x, acima da linha neutra: Rˆ = Aˆ σ < = 0,014 0, = 560 kn R x = A x σ < = 0,020 0, = 744 kn Tem-se os seguintes braços de alavanca para as resultantes a partir da linha neutra: dˆ = 0,20 2 0,014 = 0,093 m 2 0,10 0,014 d x = = 0,043 m 2 O momento plástico é a soma dos momentos em relação à linha neutra (multiplicar por dois, pois tem a aba de baixo). M = , ,043 = 168,14 kn. m (resposta) TENSÕES RESIDUAIS A tensão residual vai surgir na viga quando for carregada de forma a causar o escoamento do material e, então, depois, esse carregamento é retirado. As deformações plásticas no carregamento ficam de forma permanente no material, mas assim que o carregamento é retirado ocorre uma redistribuição das tensões permanentes, surgindo assim as tensões residuais.

49 49 A análise que fizemos para o caso de torção se aplicada de forma similar para o caso de flexão: uso do princípio da superposição de efeitos e o conceito da recuperação elástica do material. Considere, por exemplo, o comportamento do material elastoplástico perfeitamente plástico, com mostra a Figura 30. No carregamento elastoplástico, o material segue para o ponto A e depois para o ponto B. No descarregamento, existe uma recuperação elástica do material que pode atingir o ponto C na tensão de escoamento negativa. Observe que a linha da recuperação elástica é paralela ao carregamento elástico do material. Figura 30. Comportamento elastoplástico e recuperação elástica Vamos agora considerar a situação de carregamento e descarregamento do momento plástico numa viga. Inicialmente, o carregamento plastifica toda seção transversal da viga, como mostra a Figura 31a, com momento dado por: M = 1 4 bhx σ < (4.20) Depois esse momento é retirado, o que equivale a aplicar o momento inverso na viga. Entretanto, a recuperação elástica tem uma distribuição linear de tensão com máximo nas extremidades dado pelo módulo de ruptura, σ P. Usando a equação de tensão devido ao momento, temos: σ 59j = Mc I (4.21) E, substituindo o momento plástico e considerando a tensão como módulo de ruptura, temos a equação: σ P = 1 4 bhx σ < (h/2) bh w = 3 /12 2 σ < (4.22) Observe pelo gráfico no diagrama tensão-deformação, apresentado na Figura 30, que a máxima recuperação elástica (linha CD) é dada 2σ <. Isso significa que o módulo de ruptura está ainda na linha de recuperação elástica. Dessa forma, podemos usar o princípio da superposição dos efeitos para determinação da tensão residual. A Figura 31 mostra a aplicação da superposição dos efeitos para determinação da tensão residual. Na Figura 31a, temos somente a distribuição de tensão para o momento plástico. Esse momento plástico é

50 50 usado para determinar o módulo ruptura na recuperação elástica, como mostra a Figura 31b. Finalmente, as duas distribuições de tensão são somadas para ter o perfil final da distribuição das tensões residuais, como mostra a Figura 31c. Observe que não há nenhum momento fletor aplicado, mas as tensões permanecem na seção da viga. Figura 31. Superposição dos efeitos para cálculo da tensão residual Exemplo 5: Uma viga de seção retangular de 5 x 10 cm recebe um momento fletor até plastificar toda sua seção. Esse momento é retirado da viga, surgindo assim tensões residuais. Se a viga é fabricada com material elastoplástico com comportamento perfeitamente plástico com tensão de escoamento de 50 MPa, calcule o momento plástico, o módulo de ruptura e a máxima tensão residual no bordo superior da viga. Solução: O momento plástico é dado por: M = 1 4 bhx σ < = 1 4 0,05 0,10x = 6,25 kn. m resposta O módulo de ruptura é dado por: σ P = 3 2 σ < = = 75 MPa resposta A máxima tensão residual no bordo superior da viga: σ 59j = 0,5σ < = 25 MPa (resposta) Chegamos ao final da Unidade Iterativa de Aprendizagem 1. Você viu a aplicação de concentradores de tensão e plasticidade em elementos quando carregados sob esforço normal, torção e flexão. São situações que devem ser consideradas em projeto, como em estruturas de concreto armado, onde é possível dimensionar as tensões atuantes no concreto na região de plasticidade. Entendendo esses conceitos, você poderá entender outras disciplinas de seu curso.