Formulações de Elasticidade Gradiente para Elementos Híbridos de Contorno

Transcrição

1 Dal Hamá Mosqa Fomlaçõs Elastca Gat aa Elmtos Híos otoo Dsstação Mstao Dsstação astaa como qsto acal aa otção o a Mst lo oama ós - aação m Ehaa l a U-Ro. Otao: N sto Dmot Ro Jao osto 8.

2 Dal Hamá Mosqa Fomlaçõs Elastca Gat aa Elmtos Híos otoo Dsstação astaa como qsto acal aa otção o a Mst lo oama ós - aação m Ehaa l a U-Ro. oaa la omssão Eamaoa aao assaa. of. N sto Dmot st/otao Datamto Ehaa l - U-Ro of. Ral Rosas Sla Datamto Ehaa l U-Ro of. alo atsta Goçals Datamto Ehaa l - U-Ro of. Rs Ola UFJF Ro Jao, 8 osto 8

3 Toos os tos saos. É oa a oção total o acal o taalho sm atozação a sa, o ato o otao. Dal Hamá Mosqa Gaao m Ehaa l a otfca Usa atólca l ú m 6. Ico o cso Mstao a U-Ro m 6, atao a lha sqsa a Toa Elastca Gat alcaa ao Métoo Ho Elmtos otoo. Hamá, Mosqa Dal Fcha ataloáfca Fomlação a Toa Elastca Gat aa o Métoo Hío Elmtos otoo / Dal Hamá Mosqa; otao: N sto Dmot - Ro Jao: U, Datamto Ehaa l, 8.., 9 f: l.; 9,7cm. Dsstação mstao - otfíca Usa atólca o Ro Jao, Datamto Ehaa l. Icl fêcas loáfcas.. Ehaa l Ts.. Fomlação a Toa Elastca Gat alcaa ao Métoo Hío Elmtos otoo. I. Dmot, N sto II. otfíca Usa atólca o Ro Jao. Datamto Ehaa l. III. Títlo. DD: 6

4 acmtos mha mã Tacla Mosqa, qm assm como oto sa a ca aos ss cco flhos sm s mota com a fcla q sfcass sso. m a Jsús Hamá, o a-m a a. o m mão Jsús, o sa-m a l, sc, ála o too o aoo ao at mha caa ofssoal. mha mã cl, o s ma osta flêca o âmto stal. mha mã Rocío m mão Ja, o m stmla sm a s ma mlho ssoa. o of. N sto Dmot, o t-m aao a scolh st tssat tma stação sa assstêca. Nq, à U-Ro ao Goo o asl o ofc-m sta a oota cmta m cohcmto, a qala olssta. os ms comahos ós-gaação q m oocoam sm fomaçõs q oo a cohc so o q acotc a ós. À otfca Usa atólca l ú o t-m facltao a oota foma-m a sa sttção a toos os ofssos q tlmt aamm aoo aa alza sta ós-gaação. À mstação o oama ós-gaação a U-Ro o assst-m actmt m toos os asstos amstatos q sm oo tho q cm.

5 Rsmo Hamá Mosqa, Dal; Dmot, N sto. Fomlaçõs Elastca Gat aa Elmtos Híos otoo. Ro Jao, 8. 9 ; Dsstação Mstao Datamto Ehaa l, otfca Usa atólca o Ro Jao. molam matmátca mcosostos, m q stta mcostta têm aomaamt a msma scala mat, assm como macosttas atza omatmt ala o cstala, q ma aoam ão-local fomaçõs tsõs. Há mas cm aos os mãos ossat á tham solo ma toa ãos íos. No tato, sm tmto solmtos os a To otos sqsaos, os taalhos Ml a écaa 96 om s cosaos a as a chamaa toa at fomaçõs, q s too ctmt oto m a úmo staçõs aalítcas mtas, motaas lo solmto oos matas sttas o csct so sostos mco- aomcâcos a ústa. Mas ctmt, fats colaoaos cosam sol ma toa at fomaçõs mas smlfcaa, com as somt m as costats lástcas acoas, statas commtos caactístcos lacoaos às as fomação sfcal olmétca. Uma sé taalhos cts solos o sos colaoaos st o camo alcaçõs a oosta cal fats toz ma solção famtal q fato mota aos taalhos Ml. q sqsa sos oôs as mas mlmtaçõs D D lmtos cotoo aa aálss lastca at tato státcas qato o omío a fqüêca, cls aa olmas a mcâca a fata. Ds o tmo To Ml oca-s stalc ma as aacoal a toa

6 ma fomlação cosstt as coçõs cotoo cmátcas qlío, o q ac t to êto com os cts taalhos maato aas. Esta sstação faz ma são a toa at a fomaçõs asta m sto átco o olma mas smls q s ossa coc, q é o ma aa so fts tos açõs aas fats, sos. solção famtal aa olmas D D tamém é astaa staa, tato m tmos foças otas alcaas, aa ma mlmtação m tmos lmtos cotoo, qato solmtos olomas o caso státco, aa mlmtação m tmos lmtos ftos. Mosta-s q a toa at fomação fats é aqaa a ma fomlação o cotto o otcal Hll-Rss, o q osslta mlmtaçõs hías lmtos ftos cotoo. O st taalho sqsa ota o sto o stao a at o tma, com ma aoam os cas olmas mlmtação comtacoal, cls m tmos as tas slas q sm. O solmto comlto oamas aáls lmtos híos ftos cotoo, aa olmas státcos âmcos, stá laao aa ma ts otoao m fto ómo. alaas - cha Elastca at, Elmtos ftos híos, Elmtos otoo.

7 stact Hama Mosqa Dal. N Dmot. Fomlato of Gat Elastct fo H oa Mthos. Ro Jao, M.Sc. Dsstato Datmt of l E, otfíca Usa atólca o Ro Jao. Th mathmatcal mol of mco-cs whch stct a th mcostct a aot th sam scal of mat, as wll as of macostct of mal ala o cstal at mcocomosts, mas a olocal aoach fo stas a stsss. Mo tha o h as ao th ossat oths ha ala lo a tho fo as. How, a o tmt to To a oth sachs, Ml s wo th 96s ma accot th ass of th so-call sta at tho, whch has ctl com th sct of a la m of aaltcal a mtal statos motat th lomt of ws stctal matals toth wth th cas s of mco a ao-mchacal cs th st. Mo ctl, fats a cowos maa to lo a smlf sta at tho as ol o two atoal lastct costats that a stat of matal lths lat to sfac a olmtc sta. ss of ct wos o sos a collaoatos t th fl of alcatos of fats oostos a toc a famtal solto that actall mots to lomts ala la ow Ml. sos woo ma a as th oot of th fst of th fst oa lmt D a D mlmtatos o th sct fo oth statcs a fqc-oma aalss, also cl cac olms. Sc To a Ml s tm, statos ha lomt to stalsh th aatoal ass of th tho a to cossttl fomlat qlm a matc oa cotos stalsh

8 maato a aas. Ths sstato mas a so of th at sta lastct tho a sts a actc st of th smlst olm that ca coc,.., a a fft aal actos fats, sos. Th famtal solto fo D a D olms s also st a st fo a lastc mm smtt to a ot foc, fo oa mthos lomts, as wll as smtt to olomal stss fls fo statc olms, as th h ft lmt mtho. It s show that fats sta at tho ma lo th cott of th Hll-Rss ottal, fo th sa of h ft a oa lmt mlmtatos. Goal of th st sach wo s as a tal st of stat at of th thm, whch comss a stato of th sla tals o mst al wth a comtatoal mlmtato. Th comlt comtatoal lomt fo statc a amc h oa/ft aalss s la fo a ft octoal thss. K Wos Gat Elastct, H Ft Elmt Mtho, H oa Elmt Mtho.

9 Smáo Itoção Toas Elastca La Não-lásscas 5.. Ecaçõs Eqlío ossat 5.. Elastca La as Mcosttas Ml 6... mátca 7... Eqaçõs omatla 9... Eqaçõs Vaacoas Momto... Eqaçõs ostttas..5. Eqaçõs Momto.. aso atcla Ml.. Smlfcação coal fats.5. Toma a Rcoca o Toma astlao 5 áls o olma Elastca Gat alzao o E. maato N. aas. 8.. amo Dslocamtos olomas Solção Famtal a Elastca Gat 5.. Itoção 5.. Solção a Eqação Dfcal 5.. omaação as Foças Sfíc lásscas Não-clásscas 7.. omotamto a Solção Famtal 8 5 Fomlação o Métoo Elmtos otoo a Elastca Gat 6 Imlmtação Nméca Itoção Motam as Matzs áls a Slaa a Itação Nméca aa Elastca Gat Tasfomação os Tmos Itação a Ss otêcas Itação Nméca oto Fot 57

10 6.5. aâmtos o cálclo, R, U, Q tc álclo os tsos as qaçõs cas o métoo Elmtos Híos otoo Eqaçõs Matcas Eqlío 6 8 Tsão al a a Toa Elastca Gat Itoção Eqaçõs q m o olma Tsão a cío os Taalhos Vtas co Foças Vtas Eqaçõs Momto Lotal ma aa a Tsão Fomlação Hía a Elastca Gat ma aa sta a tsão aal a áls o Domío a Fqüêca áls Estátca Emlos 7 9 Flão a Toa a Elastca Gat Itoção oam o olma 8 oclsõs 87 Rfêcas loáfcas 89

11 Lsta Fas Fa. - Sstmas atíclas q cofomam m sólo smto a foças tas q são qlaas o foças tas fcas clásscas F a ma sa momtos M ão-clásscos. 5 Fa. - Esqma o slocamto o macomo mcomo. 8 Fa.- Rstação os slocamtos lstatos sa om tfcaas o Ml [] 9 Fa. - ofação almas fomaçõs sa om tfcaas o Ml aa a fomlação a toa lastca at l []. Fa 5. - Gazas toas tlzaas aa a tação o Métoo Elmtos otoo. 6 Fa 6. - Itação a foça sfíc o cotoo ccla Γ 8 Fa 7.- omotamto a Solção Famtal: Dslocamto a ção a aa Fa 8.- omotamto a Solção Famtal: Dslocamto cla á aa Fa 9.- omotamto a Solção Famtal: Dfomaçõs Fa. - Elmto cotoo q mosta os aâmtos tlzaos aa a tação 5 Fa.- a Sstma ooaas a matz z; fção o omío Ω, os cotoos Γ, Γ cosots aos cossos tos η η o lmto. 65 Fa. - oçõs cotoo a aa at lástca astaa. 7

12 Fa. - Rsltao os Dslocamtos Dfomaçõs ma aa lastca at smta tsão a; a ssla a /L ssla a l / c ssla a /L ssla a l /. 75 Fa. - Fçõs Foma ma aa Elastca Gat a tsão. 75 Fa 5. - omotamto a Foça Sa Om R aa fts alos l, Emlo ; a l. c..5.7, 79 Fa 6. - Dslocamtos a fomaçõs o olma tsão a a lastca at 8 Fa 7. - Dslocamtos aa a tsão, Emlo. aa ft alos α: a α. α.5 c α.8 8 Fa 8. - Dfomação ' ma aa a Tsão, α: a α. α.5 c α.8. Emlo. 8 Fa 9. - aa com m tmo astao oto l smta a ma foça lso. aa sctzaa m 5 lmtos o Ola [6]. 8 Fa. - Rsosta a Sosção Moal ma aa sctzaa m cco lmtos, com q mlca ma asão a ss fqüêcas até Oω 8. 8 Fa. - Sstma cooaas, caamto stção as tsõs ma a a lastca at. 8 Fa. - Gáfcos slocamtos aa fts talos l l/ c. /L. a ssla a aa l ssla a l aa qo, c ssla a l aa m a. 86

13 Itoção toa clássca a lastca la ão o sc o comotamto as mcosttas q comõm os matas lamt lástcos. mcâca lástca os mos cotíos é m caso atcla ma mcâca mas al os mos cotíos alzaos. ma astação ma toa alzaa é atía aos mãos ossat [5], co taalho asso atcamt sco até 99, moa a éa cal á haa so astaa os taalhos oll ach. Dos qas 5 aos s atcamt oao, ss tma fo ato a écaa 6 com a toa as fatas os mos cotíos. O molo físco ásco stá comosto atíclas q ozm a atza mcosttal o matal. Qao os ftos as mcosttas são motats, o matal comotas maa asotóca. lém sso, as tsõs m oto ão m só a fomação local, mas a stção as fomaçõs ccats ao o a to oto. Qao o fto scala é cosao o olma as mcosttas a toa clássca ão é aqaa aa sc o comotamto o matal é cso co a toas ão-clásscas. Ml [] sol m 96 ma toa la lastca aa mcosttas o as as cllas são ttaas como moléclas m olímo, m cstal o os ãos m matal ala. No taalho Ml otém s ma foma la a alzação a toa To [] o lo sfoço, lmao-s as fças t as fomaçõs as as cllas o mo ccat. S as atíclas, os ãos o os cstas, fossm cosaos ma ma aomação como fomás, o camo slocamtos o mo o qal stão msos chamaos macomos sa aftao aas ssas atíclas ss caso a toa as atíclas fomás z-s ao coto ossat.

14 No taalho Flc Htchso [9] são tataos os ftos a toa lastca at, l s mosta almas caactístcas otas a êca mtal acmlaa ss to foq. mamt, qato mo a omta o sólo, mas ía é a sosta lástca. Em atíclas foçaas com matzs comostas, atíclas mos astam m acéscmo a tsão mssíl o cmto o matal comaao com oto sólo al olm, mas com atíclas maos Kll Ncholso 96; El sh, 966. Fo mostao m tsts toção m fos cos âmtos cotam-s o talo -7 m, q os fos mas laos têm o comotamto mas ío q os mas ossos Flc t al, 99. No st taalho ts asta-s a oosta sola o Elas fats [6] - [8], qm smlfca as qaçõs costttas a lastca at Ml [] cosao aas ma aál aa a stação o fto scala, cohca como a costat a a fomação olmétca. Ica-s o taalho com ma toção as toas ossat, Ml ostomt a smlfcação fats. Nos mlos astaos õ-s o caso ma aa a tsão a oosta o sos t al [], o é tlzaa ma aál mas ot ma comação as toas Ml [] asal [] q é mostaa o taalho Vaolas Slm []. Dos é fta ma comaação sss sltaos com a oosta smlfcaa fats. É solo o olma státco âmco ma aa a tsão é aalaa a sosção moal aaçaa a toa ão clássca sto à clássca. No caítlo st asta-s a fomlação o Métoo Elmtos otoo aa Elastca Gat solo o olzos t al [][] cosqütmt o métoo hío smlfcao solo o Dmot t al [6] alcao à toa Elastca Gat. Em maato t al [8] fo aalsaa a mlmtação as matzs z sos lmtos ftos o âmto a lastca at tlzao aa sto solçõs famtas olomas cas caactístcas as a aalação as foças sfíc são mostaas o atlo.

15 Toas Elastca La Não-lásscas.. Ecaçõs Eqlío ossat Na mcâca os mos cotíos aa matas com mcosttas, a tação t foças momtos tos q atam m coo é scta o foças momtos tos q são asoos las atíclas ataés foças tas fcas cofom lstao a Fa. Nss caso o-s afma q são as as azas q stam as tsõs tas: a ma sta o caát clássco o olma é mostaa a ssão - a sa tsão cooa o oo cocto aza sa om, tsão sa om o ma tsão la caa a ssão - : σ F S M S o σ é a tsão clássca, é a tsão la, fcas M a sa momtos ão-clásscos. - F sta as foças tas Q M F Ω Γ η M Fa. - Sstmas atíclas q cofomam m sólo smto a foças tas q são qlaas o foças tas fcas clásscas F momtos M ão-clásscos. a ma sa

16 6 O qlío t as foças sfíc as tsõs tas σ é ao o: σ η - tsão la o commto as atíclas, aa o caso lmt a toa clássca a tsão la t a zo. Na toa a lastca alzaa cofom astaa m ossat [5] as qaçõs qlío a foma tal são astaos as ssõs - - o s mosta o cálclo a foça la R o momto M m m omío Ω cotoo Γ, acoo com D at Ola []: R Ω σ ηγ - M f Ω Γ Φ Ω f l Ω l l Γ μ σ η Γ - o os ícs stam os os, o caso tmsoal, Φ são as comots o to sa momtos, σ são os tsos tsõs totas alzaos alcaos m Ω Γ. é o tso altat ao o: mtação a... mtação ma... s tm os ssctos as. É ossíl asta a qação qlío a foma cal ftsmal aa m oto m al to o omío Ω: σ, f -5, Φ σ -6.. Elastca La as Mcosttas Ml Em Ml [] fo sola ma toa la aa mcosttas m D aa matas cotíos tozo a éa a clla. Nssa toa foam oostas almas oas qalts às malhas q comõm os

17 7 cstas. a clla o s ttaa como a molécla m olímo, o cstal m ol-cstal o o ão m matal ala. O molo matmátco aa ma célla é ma são la a toa os tos fomás Ecs Tsl []. S as céllas são ías, as qaçõs zm-s ao coto la ossat [5]. Ml [] tlzo a toa lo sfoço To [] aa a otção ma alzação lmao a fça t as fomaçõs a a clla o mo q cota-s too ao oto aáls.... mátca Os slocamtos ma atícla são fos classcamt la fça as cooaas t a osção oal fal to m macomo Ω. Em Ml [] fo fta ma tsão ss ctéo o âmto osação m mco omío Ω'. ssm, tm-s: - X m Ω -7 Sõ-s q to Ω sta m mcomo Ω' to o qal é ossíl f m mcoslocamto, lstao a Fa ao o: ' ' X ' ; m Ω' -8 ssm-s qos slocamtos otém-s: X << << ' ' X' X X -9 Na Fa são lstaos os sstmas cooaas, ' '' tlzaos aa sqmatza o olma.

18 8 X X X Γ X X Ω' Ω X X Fa. - Esqma o slocamto o macomo mcomo. ssão -9 mt qaltmt à lastca clássca aa qos slocamtos cosa: X, ;, t - X, ; ' ', t - o t é a aál tmo. ssm-s q os mcoslocamtos om s ssos como ma somatóa otos fçõs fçõs. Em Ml [] fo cosao só m tmo la as ss como aomação o slocamto o mcomo: ' ' ψ - o ψ ψ,t. osao - Ml [] f o at slocamto o mcomo como:, ψ - ssão - a q a mcofomação ψ sa homoêa o mcomo Ω' ão homoêa to o macomo Ω. Na ssão - é fa a at smétca atsmétca a mcofomação sctamt:

19 9 ψ ψ ψ / ; ψ [] ψ - ψ / - fomação sal é saa aq como ma macofomação: ε -5,, fomação lata é ssa o: γ, ψ -6 Na ssão aao asta-s o oo cocto mcofomação o macoat a mcofomação: κ ψ, -7 Os tês tsos ε, γ κ, são ts a mcocooaa '.... Eqaçõs omatla s oas as qaçõs comatla astam-s a s las sts ssõs: m l ε l, -8 mκ l, -9 ε, ω, γ, κ - ω,, /, o é o tso altat. - Fa 5.- Rstação os slocamtos lstatos sa om tfcaas o Ml []

20 ... Eqaçõs Vaacoas Momto s são astaas as qaçõs tas a cétca aa o m sólo loal o sstma atíclas com cooaas locas localzaas o mcomo. a Ea étca a cétca total aa os sstmas cooaas locas a mcostta '' ''' tal como é mostao o Ml [7], lstaas as Fas, oém soma a ssão clássca os tmos claos com as fçõs fomação ta ψ : K t t ρ & ρ ψ& ψ& Ω t Ω & 6 l - o: l q δ δ q l l l δ δ q l l l δ δ q l l l são as msõs a mcostta ao qaao, Fa. ρ ρ'ρ m : sa total o coto. ρ' : sa o mcomo. ρ m : sa o macomo. : cmmtos as as cllas. l : cosos tos a otação a a clla '' com os '. S ' '' são aallos a mcostta tm laos qaaos, tão l δ. Nss caso a aação a a cétca smlfca-s os faz ma tação o ats: δ K Ω t t & - ρ& δ ρ & ψ δψ Ω t Ea otcal a otcal a lastca as mcosttas é flcaa la oa comot a mcofomação κ mostaa a ssão -7.

21 UUε,γ,κ - Df-s: U τ Tso tsão ach -5 ε σ U Tso tsão lata -6 γ U, Tsão sa om o tsão la -7 κ Falmt a aação a Ea otcal é fa o: δ U τ δε σ δγ δκ Ω -8 Ω c Taalho as Foças Etas O taalho as foças tas f o caso clássco lo a momtos Φ T os qas são sctos a st qação: Ω f δ Φ δψ Ω t δ T δψ Γ δ V -9 Γ o: Φ : ttaa como ma foça la o a olm T : foça la o a áa aoal Φ a aoal T são foças las q ão cotêm momto, qato as foças stats são foças las q sm cotm momto. Os tsos Φ [] T [] são sctamt as somas at-smétcas a foça la massa Φ a tsão la T. T [] é o to sfoço lo ossat. Qao ψ é ossíl ot as qaçõs o coto ossat, ao como sltao q σ τ ; q aas os tmos fts zo sam [] σ []. O tmo [] sta a tsão la ossat σ [] é cosaa como a acla at-smétca a tsão assmétca τ.

22 Eqaçõs Eqlío Dâmco. Ml [] z ataés qaçõs aacoas momto qaçõs qlío tsão: τ ρ& &, σ, ; qaçõs m Ω - & ψ ; 9 qaçõs m Ω -, σ Φ ρ l l f Eqaçõs oçõs otoo D foma aáloa Ml [] mosta coçõs cotoo: t τ σ η, m Γ - T η, m Γ -... Eqaçõs ostttas Nas qaçõs costttas m matal sotóco o úmo cofcts é cosalmt mo. s qaçõs costttas stão aas o: τ c ε γ f κ - q q q q q q q q σ ε γ κ -5 q q q f ε γ a κ -6 q as qas somam aás ε, γ, 5 qaçõs costttas. Dos 76 cofcts só / 9 são ts...5. Eqaçõs Momto omo ão stm tsos sotócos osto ma tão lm f lm. Os cofcts stats são homoêos sltam m fçõs las os otos lta Koc. S fom ftos ssas çõs os cofcts zm-s a 8:,,,,,,, a, a, a, a, a 5, a 8, a, a, a, a, a 5 ; ssa foma as qaçõs costttas são aas o Na toa a lastca at o caso sotóco é latamt smls cotm mtas oas o matal homoêo:

23 ψ,,, ψ, ψ f ρ& &, -7 aa o mcomo a qação fcal slocamto é: a δψ ψ a a ψ ψ a 5 l, l,,, a a ψ, aδψ ll, a8 a5 ψ, aψ, aψ, δ ψ δ ψ,,,,, ψ Φ ρ & ψ -8, s comots a tsão la a mcofomação são tmaas las fçõs foma lstaas a Fa 6 cofam fomas atclas mcofomaçõs: a Tsão a Gat Rotacoal Tsão la c Tsão Dla Gat Rotação Fa 6. - ofação almas fomaçõs sa om tfcaas o Ml aa a fomlação a toa lastca at l [].

24 .. aso atcla Ml aa o caso scal matas sotócos, o a fomação macoscóca coc com a mcofomação, a toa Ml é astaa ma mofcação atcla a L Hoo: σ τ ε s τ ε s,,, / c ε c δ c, δ, ll, -9 o σ é cohco como o tso tsão total, τ o tso tsão ach, ε é o tso fomação s é o tso tsão lata. É ossíl ota q as qaçõs atos são astaas 5 costats costttas: as as cohcas costats Lamè,, tês oas costats q stam a lastca at c, c c... Smlfcação coal fats Uma smlfcação acoal fo oosta m fats t al [7]-[8]. Essa smlfcação lacoa a tsão sa om com a tsão lata ataés as sts ssõs: s τ,, τ, - o é o cofct a a fomação olmétca, a úca costat q lacoa a mcofomação com a macostta. É fácl cof q sta smls toa o s ota como m caso atcla a smlfcação Ml qao c c c. osao a fomlação fats é ossíl stalc a qação qlío státco:,,,, τ f τ τ f - ssm, otém-s falmt a qação fcal slocamtos qata om aa o caso státco aa m matal lastca at:

25 5 f -,,,, qação qlío státco é ssa o:,, τ Φ f - o Φ sta as foças las massa f as foças massa clásscas..5. Toma a Rcoca o Toma astlao Em maato t al [9] é mostaa ma são o toma a coca, o co Sat Vat o toma astlao aa matéas lastca at. Esss tmas são tlzaos o solmto a fomlação os lmtos cotoo. Toma a Rcoca No caso o tham-s foças las massa fts zo ão é ossíl stalc o toma a coca a sa fomal al o tato assm-s q Φ. Nss caso a ssão o toma a coca stá aa o: Ω f Ω Γ R Γ a a E Ω f Ω Γ R Γ - o são as foças sfíc claa com τ.. Usao o oao at sfíc D,, a foça fca fa a st foma: τ Φ D D -5, R, as foças las o sa om, são fas como: R -6 a a E a

26 6 aa o caso tsõs scotías t fts s-cotoos sas a q o caso lao stá stao los otos m sqas, as tsõs scota ométca são staas la st ssão: [ ] [ ] E l -7 o l s ; s são, sctamt, o to tat o to omal às cas a. tca acla a ta a qação - sta o taalho alzao las tsõs sa om q s astam a toa lastca at o às tsõs E as scotas ométcas. S ão tm s foças massa, f, s só tm-s sfícs sas, tão E o toma tt stá ao o: Γ Γ Γ Γ R R -8 s qaçõs astaas stão acoo com os sltaos otos o olzos t al []-[] a fomlação o métoo lmtos cotoo astaa o caítlo 5. Toma astlao O toma astlao aa lastca at astao m maato t al [9] é sso o: U / U R m -9 o: M m m m N N R U U M,..., ;,..., -5 sta a a fomação lástca. O so toma é: c U m c m R U -5

27 7 o U c sta a a fomação lástca comlmtaa. Em maato t al [9] é comoaa a alz o co Sat Vat o cotto ão clássco. Utlzao o métoo lmtos ftos m mlos mécos aa tsão a, cotat flão as, sss tomas cíos são comoaos satsfatoamt.

28 áls o olma Elastca Gat alzao o E. maato N. aas. Em maato aas [8] foam solas m talh as toas lastca at laoaas o Ml [] aa a fomlação os lmtos ftos mstos. omo fo zo o catlo ato, qao o olma é fomlao m tmos slocamtos a qação fcal q oa a solção é qata om. Em maato aas [8] a fêca à sa a a fomação astaa o Ml é fta m tês fomas qalts: W W ε, κ Wˆ ε, ˆ κ W ε, κ, κ - cos amtos aás ás são tfcaos como o To I, To II To III, sctamt, sm o caso matas las sotócos. Utlzao a sa a a fomação m tês fomas fts, f-s assm a tsão ach o: τ W Wˆ W τ ε ε ε - o W, W ˆ, W stam a a fomação os Tos I, II III sctamt fas m -. ao s f fts ssõs aa as tsõs las o sa om q tmam os fts tos a fomação: W Wˆ W W, ˆ,, - κ κˆ κ κ cas aás cmátcas são fas as qaçõs sts:,,, [, ], ε : Dfomação - ψ : Tso otacoal -5,

29 9 ω Vto otacoal -6, κ ω Gat otacoal -7, κ So at slocamtos -8, κ,, ε.,, κ κ κ ˆ κ Gat fomação -9 κ, at smétca κ ˆ κ. - Usao as ssõs ---9 asta-s a aação o taalho to m tês ssõs fts aa caa m os tos sctamt: δ W t δwv Ω Ω σ δε δ κ σ δε ˆ δ ˆ κ Ω Ω δε δκ δκ Ω σ Ω - Ω osao-s Φ como as foças las massa o as olm cha-s a st lação a aação o taalho alzao las foças tas: δw t f δ Φ δ δ δ, Ω [ R D ]Γ Ω Γ f δ Φ δ δ δ ˆ Rˆ, Ω [ D ]Γ Ω Ω Γ f δ [ δ α α Φ[ ] δψ Φ δε Ω Q E δ s t t δω R Γ D δε ]Γ α α α α E δ s Eˆ δ s - fomação ε ε é a comot o tso fomação a ção omal, R, E, Rˆ, Ê, R, E stam as foças tas à sfíc Γ, ˆ,

30 alzaas os tos I, II II, sctamt. aa ca α sta a sfíc ão sa Γ sctzaa m áas cas sas α. ta foças tas : t δ W δw,, t coz às sts laçõs qlío τ Φ F - To I σ, Φ D D R E l - [ ] To II ˆ σ ˆ Φ D ˆ D ˆ R ˆ ˆ [ l ], E ˆ ˆ -5 To III σ, D R t t, q Q q q q Φ [ s ] D E l -6 o é a tsão omal sa om. O símolo [[ ]] m -6 stam as scotas ométcas as cas α. Nas ssõs ---6 tlzas-s o at coal sfíc: Sˆ,, D, δ -7 tamém a ssão com sscto mo: ˆ -8 D S,, q q

31 Dsts tês tos stação azas, olzos tlza a fomlação o métoo lmtos cotoo o To I, além a ssão tlzaa o fats aa a fção a tsão la, σ τ.,, ssm, sta-s a mlmtação méca o métoo lmtos cotoo as azas, Q, R, tc. foma cal tlzao aa sso as azas famtas a tsão ach m m m τ U U U δ. Tamém s amt Φ, oto-s maa latamt comacta as ssõs sts: Qm Um, R τ m, m τ m τ m, D τ m, D τ m, U U m, ˆ m Q Q m, -9 ˆ m R R m, ˆ m m, ˆ m o ˆ á to omal o oto fot. sa altata aa o cálclo as azas, Q, R, tc. cosst m ma mlmtação méca sttaa sqcalmt q fo sola o olzos astaa o aítlo 5. fça t amas altatas fca a salzação o smto cálclo comtacoal. aa a motam m oama otóto o Mal tlza-s ssa alcação mas comacta a comoação mlos smls caát acaêmco slta fácl. No tato, aa a mlmtação m oama mas comlo o os úmos as la sam as, ão é ossíl lamt fta açõs alécas tamt to o oama m m, m m m, m m, m

32 as ssõs smstaas o olzos mtm faz ma mlmtação fct m oamas a o ocssamto como Fota o. No st taalho, foam ftas amas as altatas com a fala comoação sltaos fcêca comtacoal... amo Dslocamtos olomas É ossíl tlza m camo slocamtos m fção l faz m cálclo sátl as azas sctas a ssão -9 aa fts coçõs cotoo. No taalho maato aas [8] foam tlzaos os camos slocamtos olomas aa calcla altatamt as foças massa m fts tos lmtos ftos. K H G F E D - Utlzao-s as qaçõs qlío -, o sa f. σ, otém-s as foças massa: ] [ ] [ K K K H G G H E F D K E D K f - ] [ ] [ K K K H G H G F E D K F D K f - S stas foças massa são las tão s o smlfca o olma. ssm, os cofcts o camo slocamtos assmm os sts alos: K H G K H G - ] [ D E F - ] [ D F E -5

33 Em fção as ssõs ---5 é ossíl tamém faz o cálclo as foças sfíc o mo a qação -9, as qas são mostaas a s: F D D E -6 s ssôos são:,,,,,,,,,,,, 5 D D D D,,,,,,,, 6 D,,,,,, 7 D D,,,,,,,,, 8 D

34 ,,,,,,,,, 5 D D D,,,,,, 6,,,,,,,,, 7 D,,,,,,,,,,,, 8 D D D D -7 D foma qalt, aa o camo slocamto fo, as foças sa om R são sctas la st ssão: F D D E R R -8 o são: D stá fa a ssão -8,, ˆ é o at a omal. s ssõs aa as foças sfíc mtão a costção as matzs z os fts tos lmtos ftos.

35 Solção Famtal a Elastca Gat.. Itoção Na fomlação o métoo lmtos cotoo, olzos t al []-[], asta-s m solmto talhao a tmação a solção famtal a lastca at. ofom astao a ssão -, a solção famtal mafsta o fto scala ataés a lação o commto o ao a costat /, os qas são amtos as fçõs ssl mofcaa aa o caso D a fção ocal o caso D; ls são somaos a tmos h-slas om O/ aa o caso D O/ aa o caso D. Qao / a solção famtal t ao caso clássco. qação famtal m a qação fcal qata om astaa a fomlação smlfcaa Ml: [ ],,,, -.. Solção a Eqação Dfcal olzos t al [] comça a astação a solção a qação fcal tlzao a comosção Hmholtz m ma at otacoal ota soloal. solção famtal ota falmt é a st: 6π ν [ Y, ν, X, ] m δ m,, m o: ν : mólo osso, : costat a a fomação olmétca [, ] aa D [,, ] aa D, é to ométco lstao a Fa 5. -

36 6 Γ Ω Na Fa 5 são tamém lstaos os tos omas ˆ, ˆ. O mólo o to, o to táo a ção a aa acal o mólo o ao são otos las sts ssõs: ; ˆ ;, - Fa 7. - Gazas toas tlzaas aa a tação o Métoo Elmtos otoo. s fçõs X Y astaas a ssão - são sctas como: D D K X / - D D K K Y aa aa l / / ν ν ν ν ν -5 o K K são as fçõs ssl mofcaas so to as os sctamt.

37 7 Qao o cofct at t a zo, o-s comoa faclmt q: D ν l X Y D ν l D D -6 ssas ssõs stam a solção famtal clássca státca. S ssas azas são tlzaas a foma ss aas m D, tms: l/ γ X O l O Y ν O 8l γ 6 l O 6l γ 8ν l γ -8 o-s fca q amas as ssõs são las m lação a, q a slaa o caso clássco a moa qao é ossíl faz o cálclo o slocamto aa, cofom é mostaa a ssão aao: m ν l γ δ 6π ν m -9 o γ é a costat El. aloamt, o caso D os tasfoma a X Y sés, tm-s q o slocamto a solção famtal aa é: m 6ν 5 δ π ν m -.. omaação as Foças Sfíc lásscas Não-clásscas aso s alq ma caa táa o oto om s t o camo foças sfíc ao o m cotoo ccla Γ, cofom lstao a Fa 6, tlzao as ssõs - -, fca-s q a tal foças, aatmt, ão fca qlaa com a foça táa alcaa. S, o

38 8 oto lao, fzss-s o msmo como a tsão total σ m, tão é ossíl a otção o qlío. Ess é m ascto tssat a lastca at. ˆ Γ Fa 8. - Itação a foça sfíc o cotoo ccla Γ Na qação st é mostaa ssa fça: o: K / σ m Γ δ m m Γ [ K / ] δ - m Γ m m Γ τ D D σ m m, m, l l m, m m - K o K são as fçõs ssl mofcaas. O caso o é smla a cosa a tação a foça sfíc t ao caso clássco, o sa, ao lta Koc δ m... omotamto a Solção Famtal omo at o sto ma oa toa lastca ão clássca sta sção asta s o fto scala : o úco aâmto costtto acoal à toa clássca. O oto ss tm é asta as smlhaças t a toa clássca ão clássca m qal ção las s afastam. om ss oto fo soçao o comotamto aâmtos commt saos como os slocamtos,, as fomaçõs ε, ε, ε os os aalação aallos aos os cas. foça sla tlzaas é alcaa a om a ção. Na Fa 9 é lstaa a ssla a solção famtal a lastca at a coêca la à solção clássca qao, aa

39 9 ma caa táa aalla ao o. costat a ma ção os slocamtos aallos ao caamto qao la amta. Na Fa são lstaos os slocamtos tassas à caa táa como sts são aftaos lo alo fazo l mos osclat mas fom. Na Fa é lstao o comotamto as fomaçõs aallas tassas à caa táa. o-s tamém fca q a stção las é s mas fom mos osclat qao amta.

40 DESLOMENTOS SOLUÇÃO FUNDMENTL D R X os {.6,.9,.6,.8, }, talo [-,]...6 lássco Elastca Gat Fa 9.- omotamto a Solção Famtal: Dslocamto a ção a aa

41 MO DESLOMENTOS SOLUÇÃO FUNDMENTL D os {.6,.9,.6,.8, }, ao [-,] lássco Elastca Gat...6 Fa.- omotamto a Solção Famtal: Dslocamto cla á aa

42 lássco DEFORMÇÕES SOLUÇÃO FUNDMENTL D ε o {.6,.9,.6,.8, }, ao [-,] ε o {.6,.9,.6,.8, }, ao [-,] ' Elastca Gat...6 Fa.- omotamto a Solção Famtal: Dfomaçõs

43 5 Fomlação o Métoo Elmtos otoo a Elastca Gat Nsta sção asta-s a fomlação o métoo lmtos cotoo a lastca at solo o olzos t al [] - [] aa a solção olmas lastostátcos fata. om ssa fala tlza-s o ctéo oosto o Ml Eshl [7] cosa m matal sotóco o caso scal a toa al Ml [] a qal s aota q as fomaçõs macoscócas cocm com as mcofomaçõs. ssm, soça-s a mofcação a l Hoo ataés a cotção cco costats, tês costats ão-clásscas além as Lamè. at ssa hóts é ossíl ot ma qação costtta mas smls matmatcamt mas malál zo o úmo total costats costttas a tês, cofom astao as sçõs... s, asta-s oamt as qaçõs costttas q são tlzaas a fomlação o métoo lmtos cotoo: σ τ s, 5- τ ε, δ 5- / ε, 5-,, τ, 5- s, τ, 5-5 o δ m é o lta Koc, as costats Lamè, ε o tso fomaçõs, τ o tso tsõs ach, s o tso tsõs latas o cofct a a fomação olmétca, a úca costat q lacoa a mcofomação com a macostta. osao as foças massa clásscas ão-clásscas las, a qação qlío státco fca staa foma cal la qação:

44 τ 5-6 m, m, acomahaas las coçõs cotoo clásscas: Γ Γ, Γ Γ 5-7 Γ as coçõs cotoo ão-clásscas: q q q,, Γ R ˆ ˆ R R, Γ, Γ Γ Γ 5-8 Na ssão 5-8 ˆ é o to omal m Γ, é o to foças sfíc, R sta as foças las sfíc os ssctos stam azas sctas m Γ. otao-s a toa smlfcaa Ml, comaas com as ssõs a ssão 5-6, otém-s a qação qlío a lastca at m tmos o slocamto. Essa ssão á fo astaa amt a sção. clo as foças massa: [ ] 5-9,,,, ca solção famtal fo tamém astaa o aítlo como: o: 6π ν [ Y, ν, X, ] U m δ m,, m U, slocamto o o. m m 5- U m é o tso o camo slocamtos a solção famtal, m : é a comot o to táo a ção. aa o caso al sfícs ão sas, a fomlação tal o olma lmtos cotoo é staa las sts ssõs o moo cal:

45 5 [ ] Γ Γ,, U c [ ] Γ,, Γ,, E E U R R Q 5- Γ Γ,, U c E E U R R Q,, Γ,, Γ Γ 5- o / sta a aa coal sto ao to omal o oto fot. s é astaa a asão lícta toos os tmos claos ás ssõs 5-5-, as qas foam tasfomaas a foma oal smólca, cofom olzos t al [], à foma cal. Tso o amo Dslocamtos Sa Om: X Y X X Q δ 5- Tso Foças Sfíc Sa Om: R δ 5-

46 6 Tso Foças Sfíc lássco: [6] [5] [] [] [] [] 5-5 [ ] δ [] [ ] G G G G G [] δ o: 5 7 G G 6 G 6 G 5 G [] α α [ ] δ α α } α α δ α α [] α α α [5]

47 7 δ δ [6] [ ] α α φ φ β β s aas coas os tsos atos são astaas as ssõs ação coal o tso slocamtos: X X X Y U δ 5-6 ação coal o tso slocamtos sa om: X X X X X Q 8 5 X X X Y Y Y δ δ X X X 5-7 ação a foça sa om R é: R δ δ δ ação coal as foças sfíc é:

48 8 [6] [5] [] [] [] [] 5-9 δ δ [] [] 5 δ δ δ δ F F F F F F δ [] F F F F F F D D D D D D δ [] D D D D δ [5]

49 9 δ δ δ δ [6] 6 7 δ > < > < > < > < > < θ θ θ θ θ β β > < > < α α θ θ ação coal a tsão scota ométca: E 5 m m 5 δ m m m m 7 8 s astam-s aás aâmtos q cotam-s cotos as ssõs astaas acma. D - aa, D - aa, α

50 5 ; ; 5-6π ν 6π ν 6π ν s aás acoas scalas to caa tmo stão ssas o: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5- m ˆ ˆ m mˆ m ˆ 5 S ˆ,, Sˆ : ˆ ˆ α 5- ˆ ˆ ˆ ˆ : S ˆ α Tsos q tamém cotam-s to os tmos tação: [ ] ˆ S α α,, [ ] ˆ ˆ ˆ S β β α [ ] ˆ ˆ ˆ ε S ε α β [ ] ˆ ˆ ˆ φ S φ α [ ] ˆ ˆ ˆ γ S γ α φ 5- [ < > ] ˆ ˆ ˆ S [ < > ] ˆ ˆ ˆ S [ < > ] ˆ ˆ ˆ ˆ Sˆ [ < > ] ˆ ˆ ˆ S [ < 5> ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ θ <> α θ θ <> α θ θ < > α θ θ > α S < 5-5 θ θ < > α < 6> [ θ ] ˆ ˆ ˆ T S [ ] T θ < 6> α θ < > θ < 7> ˆ ˆ ˆ ˆ Sˆ θ < 7> < 5> α θ

51 5 X X, X Y, X X X Y α ν ν,,, 5-5 5, 6 ; 7, 8, ; 9,, 5 6, , 8 9 F α α ; F α α 5-7 F α α D α α D α α 5-8 D α

52 6 Imlmtação Nméca 6.. Itoção mao fcla astaa a mlmtação comtacoal stá lacoaa com os as slaa q aacm os tmos tação. Els ão s o caát faco loaítmco Ol, ma fot slaa O/ até ma h-slaa O/. Em olzos t al [] tlza-s a tação as slaas a mtooloa a malação ta o alo cal ach. Essa aalação ta faz so o ocsso lmt as ats slas os tmos sctos mas ma tação aalítca ftaa m sstma cooaas locas o lmto o o oto slaa stá coto. as tóca sto é taía os taalhos solos o Ga [],[5] Dmot t al []-[]. 6.. Motam as Matzs mt-s m lmto al scto ca mação sta saa o, tct ao sólo cotoo sa Γ, o os s-lmtos q cofomam o lmto stão fos ataés otos tfcaos lo to cêca oal [,, ] lstao a Fa. Elmto, Fa. - Elmto cotoo q mosta os aâmtos tlzaos aa a tação

53 5 s sc-s os tmos as ssõs Sa o úmo lmtos sctzaos o sólo cofomao o otos, a om o lmto o aa lmto qaátco o úmo oto oal fot o tfcaa com. Sa N a fção soaamétca q sta as fçõs foma, q cla os slocamtos os otos o lmto, so q sscto ca o úmo oto, aa à o úmo total otos o lmto o ; falmt, sa J o acoao a tasfomação cooaas o oto, à cooaa aamétca. To m cosação as coçõs cotoo aoaas as qaçõs a fomlação o métoo é ossíl cha às sts ssõs: o o o o J N J N J N J N R Q U R q,,,, 6- o o o o J N J N J N J N R Q U R q q,,,, 6- É ossíl aota ma mação loal q assoc a mação o lmto a mação local ataés m úmo β o to cêca oal β, lstao a ssão 6-:

54 5 m mas cal o lmto caso : oto q é fal q é tmo o lmto caso : oto local m mas cal o lmto oto q é fal caso : ], ] [, [ ], [ ], ] [, [ N N N N N o o o o β 6- Dsta foma, os slocamtos clásscos ão clásscos m m ó om s calclaos sctamt ataés as sts ssõs: β β β β β β β β β β β β R L G q K H 6- R W V q T S q β β β β β β β β β β β β 6-5 S X sta qalq as azas,,, Q U R, tc. tão a matz β M om [] staa sctamt aaloamt a β β β β L G K H,,,, tc. fa o: caso caso caso,,,,, β J N J N J N J N J N o o X X X X X M 6-6 Fazo a colocação stas qaçõs os otos o sólo é ossíl a otção m sstma qaçõs stao a foma matcal ao o. R W V L G q T I S K H I Q U Q U R R ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 6-7 o tm as la clásscos cosots ao otos q tm as la sa om cosot aos msmos otos. s matzs S H K,,, tc. são a om [ ] os ssctos cam smlsmt as azas as qas stão fas.

55 áls a Slaa a Itação Nméca aa Elastca Gat Um ascto tssat é q as tsõs totas σ m as foças tação m são flcaas o maos as slaa; o oto é q a solção famtal U m as fomaçõs ε m ão têm-s slaa são cotías qao o oto fot é al ao oto aalação Tasfomação os Tmos Itação a Ss otêcas aa s tfca as slaas as azas, Q, tc., fo cssáo tasfoma ssas ssõs m sés otêcas foma tal como as fçõs ssl ma acla loaítmca Ol, ota ão sla, ota acla fot slaa O/ falmt ota acla h-sla O/. comosção a fção ssl é ossíl faz a at a solção famtal U, á q toos os tmos tação Q, R,, tc., são aos la, chao at até a qata om ação. omo a solção famtal sscalmt as fçõs X Y como s asta a solção famtal: [ Y X ] U m 6 ν δ m,, m π 6-8 tão é ossíl tfca as slaas os tmos sctos m fção a slaa astaa qato csc a om ação X Y até a qata om. s asta-s o solmto as sés X. atza a slaa Y é êtca a X. s sés ao o o oto, m, stão ssas aa D la st qação: l/ γ X O l O 8 Osa-s q a ssão ato ão tm slaa qao. 6-9

56 56 l/ γ X O l O ma aa X tamém ão tm slaa. 6- X O 6l/ 6γ 5 l/ γ l O Na sa aa a slaa é faca caát loaítmca Ol. l/ γ X O l O Ettato, a tca ação asta-s ma slaa fot O/. l/ γ X O l O Falmt a qata ação asta-s a h-slaa O/. Toa ssa aáls é astaa foma sma a Tala : Tmo Itação Om Dação X, Y To Slaa U X, Y No ha. Q, U / X', Y' No ha R, Q / X'', Y'' Ol, R / X"', Y"' O/ / X"', Y"', X, Y O/,O/ Tala. - Itfcação o to slaa q s astam as fts azas tação o métoo lmtos cotoo aa lastca at.

57 Itação Nméca ota-s à Ã ma aza qalq tação comosta m sés com qato tmos tação: 6- S S L l G l tação sa fta o st to: L G F l ; Qaata Gass Loaítmco : Qaata Gass Rla S GL S S l h 6-5 O a ma acla sta a tação sla la Gass; é oto o qaata Gass. aalaa m ; h, stam os otos a s azas q astam a slaa fot são, /, R /. S aac aas o caso /. Nst caso, a aoal a matz cosot é calclaa tlzao as oas sctas cosots aos slocamtos coo ío. 6.. oto Fot fça o métoo clássco, o a úca fomação ométca o oto coso às cooaas catsaas, o caso a lastca at é cssáo faz o cálclo o to omal ss oto, sao o cálclo ˆ. aa o ˆ tmo-s o to cêca oal com l as cooaas catsaas, o acoao a tasfomação aas o:

58 58 [ ]N, [ ]N 6-6 J ' ' sta somatóa m, ' aa m lação a, é a cooaa aamétca q tfca o oto. Falmt o to omal o oto fot stá ao o: [ ' / J, ' / J ] aâmtos o cálclo, R, U, Q tc. mlmtação méca csa latamt ma a qata aás q csam s sttaas ma sqüêca cálclo aoaa. a. alcla-s as cooaas caa lmto m fção a cooaa aamétca. Nst caso é cssáo saa caa lmto m o s lmtos a tação loal tm q s ota ataés a soma acal caa s lmto s ataés ma sa tasfomação N q omalza caa s lmto m talo tação como m [..]. [ ]N ; [ ]N ' ' [ ]N [ ]N ' ' coalmt, é cso faz ma sa ação aa a otção o at o to omal. " [ ]N " " " [ ]N " " J ' ', 6-9 ['/J, -'/J] [,][, ] ; [ /, / ] [, ]; o tamém, ˆ, são cooaas os otos q sctzam ao sólo.

59 59. Um oo tmo q aac tas zs sta são at o métoo cotoo é o at o to omal: ˆ, ' / ' 6- O / ft, / o tato J J ; o J J 6-, J / c at o tm ato é ossíl o cálclo o at coal sfíc: ˆ δ S,,, D otação cal tlzaa o maato Ml 6- ssm, otém-s o scala: S ˆ,, q q D álclo os tsos as qaçõs cas o métoo. om a fala laoa o otóto m oama alcação mas al, o métoo fo mlmtao o oama Mal. om l é ossíl oama m to latamt cosao o alotmo tação aa a motam as matzs. omo os mlos a sol têm caát acaêmco, os as la ão são as é ossíl ca ma famta átca aa comça o sto sta toa maa sátl. Mas, a átca mosta q o ocssamto st to é aa q é mas áa a comosção m aclas fta o olzos [] asta as qaçõs o atlo 5. aa tato ca-s como a solção famtal m D aa o: o: 6π ν [ Yδ m X, m ] m U m, 6-

60 6 8 K 6-5 X ν l ν K K 6-6 Y No oama Mal é sfct ta tamt com as stças as sts ssõs: τ U U U δ m m, τ m, m m, m, Qm Um, R m m τ m, m τ m m l, l D D U ˆ Q ˆ R ˆ ˆ m m m U m, m m m, Q U U m m, m, q m,, q m, R τ τ m, m, q m,, q τ m, m, τ m, q τ m,, q q m [ τ m, lq l m, l, ql, ql l, q ] q τ τ τ m, q m,, q q, q τ m, q τ m,, q q { D τ D [ τ τ ]}, q m, m, q m,, q, q q τ m, q τ m,, q q τ [ τ τ ] { }, lq m, l, l m, q l m,, q l l, q q

61 7 Elmtos Híos otoo Nss caítlo sá fta ma astação sma a fomlação hía os lmtos ftos q o s tlzaa o solmto o métoo lmtos cotoo aa a lastca at. Mosta-s as qaçõs matcas qlío, acoo com a fomlação smlfcaa os lmtos cotoo. 7.. Eqaçõs Matcas Eqlío O métoo hío lmtos cotoo, tozo o Dmot [5] como ma alzação os coctos solos o a o métoo lmtos ftos, só csa a aalação as tas ao loo o cotoo tlzao a solçõs famtas como fçõs tolação o omío. O métoo tlza m omío atáo a foma m úco macolmto fto q tm a qata as la cocoao lo a atão méca q cs a solção o olma. O métoo fo alcao satsfatoamt m olmas otcal lastca, olmas ts o tmo a mcâca a fata. ház [6] fto ma são smlfcaa s métoo otém-s ma fomlação mas áa q a ato. fomlação smlfcaa tm como sltao o st a qaçõs matcas: U o H T é o to slocamtos oas 7-

62 6 é o to slocamtos a solção atcla q aa o caso státco é zo. U : a matz slocamtos, o os cofcts U tcm à solção famtal, otas os otos oas m commto aa m aâmto foças s. s matzs H U aa lastca at são fas a ssão 6-7, I H K [ ] [ R] H 7- S [ ] I T[ R] G L [ U] [ Q] U 7- V[ U W ] [ Q] qação ásca q lacoa as foças os slocamtos é fa o: K 7- o: KH T U matz a qação ato é smétca s a fção tolação toza a qação o sta aaltcamt o cotoo as ssõs s, como são os casos aas as, Dmot [7].

63 8 Tsão al a a Toa Elastca Gat 8.. Itoção loafa so ss assto fo fa ascamt aos taalhos Elas fats [7] qm alzo m sto totóo à aáls státca âmca lotal ma aa smta a tsão a a lastca at. ostomt m Tsoa t al [] fo comlmtao ss taalho mat a cosação ma costat costtta ão clássca acoal, a qal é staa m talh o st caítlo ataés a cosação fts coçõs cotoo. 8.. Eqaçõs q m o olma Tsão a Em Tsoa t al [] fo solo o caso atcla q lacoa a tsão a fomação ma aa smta a tsão aal a com os aâmtos costttos l sctos a ssão 8-. Nst caso cosams os slocamtos z,. O oto ásco é mosta como a fomação ão s matém costat ao loo a aa como o caso clássco. s é astao o to tsõs alzaas ma aa tlça: o: τ l E l : slocamto lotal o o. 8- / tacoalmt cohca la fomação lotal mas aq tamém é o slocamto sa om. τ τ : tsão ach o o. : tsão la, o tsão sa om. l : costat a a fomação sfcal lotal.

64 6 : costat a a fomação olmétca. E : mólo lastca o matal. l S é fa a matz E E é cssáo st la como osta l fa o tato - l >, o > l; tsão total é fa como: σ τ E σ cío os Taalhos Vtas Na aação a a otcal é cosao além os tmos clásscos o taalho alzao las foças sa om R ao loo os slocamtos sa om assm é ossíl cha a st ssão a Ea otcal Total: L L L L δ Π τδ σδ qδ δ δ 8- Itao o ats otém s: δ Π L [ q τ δ] [ τ δ] [ R δ ] L L 8- Oto-s assm a ma acla a tal q sta a qação fcal slocamtos: q E 8-5 Da sa tca acla otém-s as coçõs cotoo clásscas ão-clásscas sctamt. [ τ δ] [ R δ ] L L 8-6

65 co Foças Vtas Smlamt, o-s soça o olma m fção foças tas mat as sts cosaçõs:, ', aás m Ω.,, aás m Γ. δτ, δ, aaçõs τ m Ω. No sstma cooaas lstao a Fa sta-s com las flchas as cooaas, q são os as la sa om ' a qação 8-:,,,, a Γ Γ η η Fa.- a Sstma ooaas a matz z; fção o omío Ω, os cotoos Γ, Γ cosots aos cossos tos η η o lmto. aa t ctza a comatla slocamtos -s cm-s o st: L [ ] δτ δ 8-7 q taa o ats fca: L [ ] L L τ δ δ δr δ 8-8

66 66 Qao s cosa o sstma cooaas cofom lstao a Fa as coçõs cotoo 8-9, otém-s:, '' L, 'L', RR L, RLR 8-9 q om s sctos como: δ δr L δ R δ L Eqaçõs Momto Lotal ma aa a Tsão É ossíl a otção a qação momto aa ma aa a tsão a mat a qação qlío Nwto: σ q ρ& & 8- o: ρ : é a sa massa o a cmmto. σ E '- ''' : tsão total. 8- om 8-8- otém-s falmt a qação momto ma aa com tsão aal a a lastca at: E q ρ&& 8- taés a maça aás ωt, cosao q, otém-s a qação slocamtos o omío a fqüêca: ca solção é: o: ρ " ω E 8- c s c sh c cos c cosh 8-5

67 67 ω α, ω α, α ρ / E 8-6 so a sa o sólo ρ, a áa a sção tassal o mólo lastca o matal E. aa o caso státco é cso cosa ω a solção a qação fcal o olma slta m: c / c / c c / / [ ] [ c c c c ] T cas qaçõs cotoo foam stalcas amt m s o to a fomlação hía o olma: ó 8-7 é fo aa o calclo os tmos q são tlzaos / / [ ] 8-8 q, cosqtmt, f as azas cosots ao cotoo:, 8-9 L 8.6. Fomlação Hía a Elastca Gat ma aa sta a tsão aal a solção a qação fcal slocamtos o s scta m tmos os as la, ', ma aa smta a tsão a o âmto a lastca at. cofação o soço matcal é aáloa ao solmto aa flão alzao o Ola [6], o tamém s cosa o lmto msoal com os as la. Ess foq faclta o ocmto a solção o st olma. O slocamto alzao ma aa é: o: ' ' ' ' ' 8-

68 68 [,,, ] T ; o s ttao como m to as m sstma to ala cooaas sto lo símolo. om ssa cosação é ossíl tamém f as foças tas alzaas a aa como: [ ] ' ' ' ' D E l l E T τ 8- o D é o oao slocamtos o sstma to. ao são fas matcalmt as foças o sstma to a aa: ' ' ' ' D E E R l 8- o D é m so oao matcal slocamtos o sstma to. a mcoa q a msão a foça sa om é foça commto, q o slocamto cosot a ' é amsoal, aáloo ao caso flão as. No caso tsão a o slocamto sa om é a fomação lotal. Nst caso é fácl oa q a foça a tsão omal ao loo a aa são costats, E, σ. Eftamt, ao-s a qação 8-8 tlzao-s a ssão aa foça sfíc 8-, otém-s: [ ] / / / / / / / / E E E 8- aa o cálclo a matz H asta-s a s a tmação os tmos q são cssáos: N D ; N N L N N

69 69 8- L L Dsta foma é ossíl caactza m sstma toal slocamtos toos os as la a aa mat as sts matzs tasfomação cooaas os tos cossos tos la: N ; η m Γ 8-5 N ; η m Γ s ssõs m 8-5 mtm calcla a matz z cmátca H q tasfoma os slocamtos o sstma ala ao sstma loal lstao a Fa. N N N N H η η T T 8-6 Tamém é ossíl calcla a matz flla o sstma to N N F η η 8-7 D foma aáloa a matz z o sstma loal K é ota as fomas: H F H U H K T T 8-8 o: U ota o mo Falmt, otém-s o to slocamtos com: K 8-

70 7 U 8- o é oto com 8-8, U com 8-9 são os slocamtos mostaos so os aos la a Fa áls o Domío a Fqüêca. Utlzao a ssão U H K T tm-s alcamt a matz K [ ]. Fazo a maça aás cosh L; Ssh L; ccos L; ss L otém-s os tmos K: [,] c ss Ss Sc s Sc s E K / [,] c Ss Ss Ss Ss Ss c Ss c E K [,] c ss Ss S s S s E K [,] c ss Ss c c E K [,] c ss Ss s cs E K [,] c ss Ss c c E K [,] c ss Ss s S E K [,] c Ss Ss Sc s Sc s E K

71 7 / [,] c Ss Ss Ss S Ss S s ss s ss c c c c c E K [,] c Ss Ss s cs Sc s E K 8- o são astaos a ssão áls Estátca osao-s o sstma cooaas lstao a Fa, sc-s a solção slocamtos alzaos como: / / / / / / ' 8- Utlzao-s as qaçõs 8-, otém-s a ssão H: N N N N H T T η η / / / / / / / / l l l l l l L L L L E 8- om 8-9 otém-s a matz U aa o olma: / / / / / / / / l L L L L L U 8-5 Falmt, aa o caso státco ma aa lastca at a matz K, amt a st ssão: U H K T

72 7 E / S L β / S / S K / S S L / S / S / S / S S L / S / S K 8-6 o: β / LS / LS K l / S Ll / S L l K l / S Ll / S L l S shl/ ; coshl/ L : commto a aa : áa a sção tassal E: mólo lastca o matal D-s mcoa q o ostok aa o caso státco. lém sso, o-s aalsa o caso lmt qao t a zo: sh L / lm cosh / L ; lm [ S/ ] ; lm [ / S ] Oto cossttmt a matz z clássca K E lm K L 8-7 clasco 8-8

73 Emlos Nsta sção são solos fts tos mlos q tm como oto mosta a ssla o olma tsão a aa as coçõs cotoo ão-clásscas. Emlo K. G. Tsoa t al [] sol o st olma com as coçõs cotoo lstaas a Fa q mtm calcla os cofcts a solção slocamtos. Nst taalho ot-s a solção ataés o métoo a z ta com a matz K ota a sção ato: R? '?? R? ' ε L Fa. - oçõs cotoo a aa at lástca astaa. Os tmos a matz ota m 8-6 om s ssttíos o a,, c, a st qação cosot à cohca lação o métoo a z: / / / / / / / / / / a a c a a L E K S S L S S S S S L S S K S S S L E ε β ε β K 8-9

74 7 ca solção é: o: aε a c Lβ c cε ε ; E ac ε 8- R R c ε a ε cε acε ε / ac 8- Nst caso, é ossíl osa o smto ma foça la. o qlío, a foça tsão clássca tm q s costat ao loo a aa. Os slocamtos om s calclaos ataés a ssão 8- são lstaos a Fa 5 aa m talo alos aa l. l / [....] / L [...5] U 8- ' Na Fas salza-s o comotamto os slocamtos csct o o, st a fça a fomação com o caso clássco o 'εcostat. Na Fa s aca como o caso ão clássco a fomação é csct fotmt a at a mta o commto a aa qato l / aa /L matém-s costat. Nst caso, é acál a flêca o aâmto l /, q é fção D/L, lação o âmto as mcosttas t o commto a aa. D-s mcoa q ss mlo flt a mta o caso ma aa smta a as tsõs m amos os tmos cmmto L. Fa ão mosta a ossla ma smta a fomação st caso, aos a úa s é aoao o so a costat l q é omta o Elas fats [7].

75 75 a /L. /L. c /L.5 /L.5 l/. l/. l, l/. l/. Fa 5. - Rsltao os Dslocamtos Dfomaçõs ma aa lastca at smta tsão a; a ssla a /L ssla a l / c ssla a /L ssla a l /. Fçõs Foma Não-clásscas qação as fçõs foma ma aa lastca at o s calclaa mat a st ssão o métoo hío lmtos cotoo astaa a Fa 6 aa m talo /L[.,.5]. U 8- /L. /L.5 Fa 6. - Fçõs Foma ma aa Elastca Gat a tsão.

76 76 Emlo S é cosao m camo slocamtos clássco com o o cooaas localzao o mo a aa, tm-s: / / L 8- / / L tão a solção fca clássca. S l a matz z al astaa a ssão 8-6 fo aaaa foma a tfca m sstma to, cosot aos slocamtos clásscos, m sstma to, cosot aos slocamtos ão clásscos, a matz K o s staa la st ssão: K K K 8-5 K K s são cosaas las as foças sa om, tão é ossíl sa ma cosação státca, K co K K K K, a qal fca tamém clássca.

77 77 Emlo : atza o a la ão clássco é smlhat à flão ma a o sso a s é fta ma aaloa as qaçõs aa tsão a a lastca at com a flão tacoal a lastca clássca. θ / MEI M /L/LM VM/ct. '/ R E '' E' ''' ct. M Momto Flto R Foça Sa Om o Foça Dla V Foça otat Tsão al FLEXÃO D ELSTIIDDE LÁSSI RREGMENTO XIL N ELSTIIDDE GRDIENTE aso L/ c shl/ c L/ L/ c shl/c L/ 8-6 c shl/c L/; OK c, c ' ' ' c / coshl/ c ; ' c / coshl/ c ' ;OK c, c 8-7

78 78 R R R El ' ''E[l c / cosh/ c sh/ c l ] 8-8 o tato s R RL/ R RL/, tão c c, l 8-9 cosh L / Est alo c é t o alo l. É tssat mcoa q c stá cocoao los alos cotoo R, q R stá cocoao los alos l, mas c ão os alos l aa as coçõs cotoo sctas. costat E' ''' E c otato c /E Falmt, sh / E ; l 8-5 cosh L / Nst caso, é tssat aalsa mo o comotamto a foça sa om lotalmt aa fts alos l acoo com lstao a Fa 7. Nos áfcos astaos ssa fa o-s fca q as coçõs cotoo smétcas ão sltam m sltaos smétcos, sso aas aal. Dssa foma, a smlfcação astaa m fats [7], qm sa só aál ão clássca, é aatmt mas cosstt m ma ttação físca o olma.

79 79.6. a l l/ l/ l/. l/. c l/ l /. l/ l/. Fa 7. - omotamto a Foça Sa Om R aa fts alos l, Emlo ; a l. c..5.7 omotamto ' O comotamto slocamto aa fts qocts /L mosta a têca aa o caso clássco qao st t a zo. Smlamt, acotc com as fomaçõs, as qas são ts o alo l. Oto ascto tssat é q m fts coçõs cotoo as fomaçõs as tmas matêm-s las.

80 8 /L. /L. /L /L.5 a Fa 8. - Dslocamtos a fomaçõs o olma tsão a a lastca at aso aa R R a solção é totalmt clássca aa alos qasq l. aso Nst caso, coso-s l ma coção cotoo q mta ot ma stção fomaçõs q ão sa la as tmas, tal como é mostao o st sqma: ε E ε M ε E /ε M α os sltaos são lstaos a Fa 9 a Fa : a c /L.8 /L.8 /L. Fa 9. - Dslocamtos aa a tsão, Emlo. aa ft alos α: a α. α.5 c α.8. /L.

81 8 a c /L. /L.6 /L.6 /L.8 /L[.,.,.9,.6,.5,.6,.9,.6,.8, ] /L [.,.,.,.,.5,.6,.7,.8,.9, ] Fa. - Dfomação ' ma aa a Tsão, α: a α. α.5 c α.8. Emlo. Emlo Ralzo-s o mlo sosção moal fo comaao com o molo clássco solo o Ola [6] aa ma aa a m cco lmtos smta a ma foça lso. O sqma al o olma é lstao a Fa. No olma solo ão fo cosao o amotcmto a stta. Daos o olma:, L, E, ρ, ζ. Fa. - aa com m tmo astao oto l smta a ma foça lso. aa sctzaa m 5 lmtos o Ola [6]. Ess olma fo solo aa fts alos. Osa-s q qao a solção o olma s assmlha à solção clássca. o oto lao qato csc tamém csc a fqüêca ação. Na Fa é lstaa a sosta o olma com fts cos q stam a sosta os cco as la clásscos a aa, so o alo so o tct ao tmo a aa.

82 8 s coçõs cas são,t /E,t/ t. aa a asão as sés o omío a fqüêca fo tlzao ω 8, alo mostao o Ola [6] como o mo alo q foc a solção mas óma azoál à solção aalítca. ascamt o-s cocl q o fto a scala a ação l aas faz com q a fqüêca amt qato o tamaho lato as atíclas toa-s a. aso lássco aso o lássco.5... Fa. - Rsosta a Sosção Moal ma aa sctzaa m cco lmtos, com q mlca ma asão a ss fqüêcas até Oω 8.

83 9 Flão a Toa a Elastca Gat 9..Itoção Em aa-so t al [8] fo sola ma aáls a flão aa matas lastca at cosao a hóts El oll; a sto acscto-s o sto flamam q fo solo aaltcamt a lastca at mat as costats costttas: a costat fomação olmétca a costat a fomação sfcal l. s qaçõs q m o qlío a flão o olma flamam são otas tlzao cíos aacoas as hótss áscas El oll. Falmt são otas as coçõs cotoo clásscas ão-clásscas mat a aáls aacoal sao-s a fção a fomação o métoo síos oaos. O olma flão as fo stao o toas ão-clásscas com o oto lca sltaos mtas q ão am s lcaos la lastca clássca. 9.. oam o olma mta-s ma a smta a m caamto q, m sstma cooaas so ao loo a a os os stats localzaos como são lstaos a Fa. No taalho solo o aa-so t al [8], co-s à toa smls lastca at oosta o Vaolas Slm []. Dssa toa msta-s os coctos as a toa Ml [] com o cocto os ftos a a fomação sfcal asal [], otato são tlzaas costats costttas clásscas ão-clásscas m z 8 costats a toa oal Ml.

84 8 σ q M a Fa. - Sstma cooaas, caamto stção as tsõs ma a a lastca at. s qaçõs Vaolas Slm aa o calclo ach, a tsão la a tsão total são fas como: o τ E le 9- le E 9- σ τ E E 9- : fomação aal a a a flão. l : costat a a fomação sfcal. : costat a fomação olmétca. E : mólo Yo s coçõs qlío a sção tassal lstaas a Fa - são otas mat as laçõs clásscas: σ 9- σ M 9-5

85 85 aa a otção a qação slocamtos stalc-s a lação clássca t momto flto foça cotat aa o: M V V q 9-6 la hóts El oll: 9-7 tfcao como a cata a ção. osqtmt as qaçõs qlío são: E 9-8 M E S fo tlzaa a hóts El oll, tm-s: 9-9 M EI 9-9- tão, otém-s a qação fcal slocamtos tassas a flão ma aa lastca at como: M q é qalt a: IV VI q EI 9- EI IV VI q ca solção homoêa stá staa la qação: 9- h c c c c c5 sh / c6 cosh / 9- Um mlo solo o aa [8] é mostao a s aa o caso ma a m alaço smta as sts coçõs cotoo clásscas ão-clásscas: 9-5

86 86 solção st olma é astaa os áfcos a Fa a, c, taíos a fêca. Nos áfcos osa-s a ssla os slocamtos a l l / c. /L a flêca a ssla szíl os slocamtos a costat costtta a fomação sfcal l, mato-s costat. ssm, otém-s q tm qas toa a cêca o comotamto a aa smta a flão. a c Fa. - Gáfcos slocamtos aa fts talos l l/ c. /L. a ssla a aa l ssla a l aa qo, c ssla a l aa m a.

87 87 oclsõs stação são loáfca a om olção as toas lastca at foam ftas o st taalho comçao com a toa ossat. Uma osção al a toa as mcosttas Ml é alzaa, falmt, asta-s a smlfcação as qaçõs costttas oosta Elas fats, qm sc o fto scala a mcâca os matas ataés ma só costat costtta ão clássca acoal. solção famtal a lastca at fo aalsaa comaaa com a clássca. Fo tfcaa a atza a slaa m fts tmos, q o caso slocamtos fca ast o caso foças sfíc, a slaa é acsctaa até at ma h-slaa O/. O cálclo foças sfíc clássca ão-clásscas aa lmtos ftos o mo solçõs famtas olomas fo soçao o cotto sto a lastca at. alcação a toa lastca at fo sola a solção olmas msoas a aáls státca âmca; fo mostaa a fça smlhaça t as solçõs clásscas ão-clásscas. Estalcam-s osaçõs so o so costats costttas ão clássca m z ma, coclo-s q só, a claa com a a fomação olmétca, lca mlho aatmt o fto scala. Fo tctao q a fção as coçõs cotoo ão-clásscas stam ma as maos fclas a solção os olmas a lastca at; aatmt, las ão om fca ls cto a ataa além ão o at lhs m caát físco sfcato q aa ão são tfcaos mtalmt, como é o caso foças las.