ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA Aula 5

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1 ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA Aula Prof. Dr. Edmilson Rodrigues Pinto Faculdade de Matemática - UFU edmilson@famat.ufu.br Caso de amostras relacionadas O obetivo principal desses testes é comprovar a hipótese de que amostras tenham sido extraídas da mesma população ou de populações idênticas. Nesse caso, serão abordadas técnicas não-paramétricas de comparação de ou mais grupos relacionados entre si, onde os dados têm a seguinte estrutura Blocos B G x Grupos (Tratamentos) G G x x B n xn x n x Onde os blocos representam as unidades amostrais utilizadas no experimento e os tratamentos são as condições de avaliação.

2 Teste Q de Cochran É uma extensão do teste de McNemar para duas amostras e se aplica na verificação de diferença entre três ou mais grupos de freqüências ou proporções. Os dados devem estar em escala nominal ou ordinal dicotômica. O teste envolve tratamentos que são aplicados independentemente para cada um de n indivíduos. Os resultados de cada tratamento são guardados, como uma variável dicotômica de sucesso ou fracasso (uns e zeros), em uma tabela de contingência. O teste de Cochran permite investigar se existe diferença entre os tratamentos Hipóteses H : não existe diferença entre os efeitos dos tratamentos. H : existe diferença entre, pelo menos, dois tipos de tratamentos. Procedimento do teste. Atribua o valor (um) para cada sucesso e o valor (zero) para cada fracasso.. Disponha os dados em uma tabela de contingência com n linhas e colunas. (n: n o de casos e : n o de tratamentos).. Determine o valor de Q, dado por: Onde: G é a soma dos valores ( ou ) das colunas. =,, Q L i é a soma dos valores ( ou ) das i linhas. i =,, n ~ χ Q = G G = = ( ) n n i i i= i= L L 6

3 Decisão Para um nível de significância α, obtenha χ Tab = χ, α Se Q χ Tab, reeite H, caso contrário, aceite. Ou calcule o p-valor ( ˆα ), onde ( ˆ α = P χ ) Q Se ˆα < α reeite H, caso contrário, aceite. Exemplo Cada um dos quatro fãs de futebol criou um sistema para prever os resultados dos ogos da a divisão do campeonato brasileiro. Foram escolhidos, ao acaso, seis ogos e cada um dos fãs previu o resultado de cada ogo. Os resultados dos prognósticos foram dispostos em uma tabela de contingência, utilizando (um) para prognóstico bem sucedido e (zero) para prognóstico falhado. Queremos testar a hipótese de que cada um dos fãs tem um sistema de igual efeito para prever o resultado dos ogos a um nível de % de significância. Os dados são mostrados na tabela seguinte. 8 Fãs Total L i Jogos 6 Total G 9

4 Teste de Friedman É útil quando desea-se comprovar a hipótese de que as amostras relacionadas provêm da mesma população. Neste tipo de estudo observa-se o mesmo grupo de indivíduos sob cada uma das condições, ou então formam-se conuntos de indivíduos homogêneos entre si e estes são alocados aleatoriamente a cada uma das condições. O teste pode ser considerado como uma extensão do teste do sinal para comparação de duas amostras pareadas. Exige-se que os dados esteam, pelo menos, em escala ordinal. Hipóteses H : as amostras relacionadas provêm da mesma população (ou de populações com a mesma mediana) H : as amostras relacionadas provêm de populações distintas. ou H : μ = = μ H : μ para, pelo menos, um onde i μ i i, =,, Procedimento do teste. Disponha os dados em uma tabela de contingência com n linhas e colunas.. Atribua postos de a aos valores de cada linha.. Determine a soma dos postos de cada coluna, R, com =,,. Calcule o valor da estatística Fr = R n( + ) n + = ( ) Onde n : é o número de linhas : é o número de colunas : é a soma dos postos na coluna. R

5 Decisão O método para determinar a probabilidade de ocorrência, sob a hipótese nula, associado a um valor igual ou mais extremo do que o valor observado F r depende dos tamanhos de n e. - Caso : para = com n de a 9 e para = com n de a, use a Tabela N (apostila) para obter as probabilidades exatas associadas a valores tão grandes quanto F r. - Caso : caso ou n excedam os valores da Tabela N, podemos usar a aproximação para a F r, ou sea, Fr ~ χ Se o p-valor, obtido pelo método adequado (caso ou ) não superar α reeite H, caso contrário, aceite. Exemplo A fim de avaliar se houve mudança no aprendizado de seus alunos, um professor reteve as médias de um grupo de alunos no final de cada trimestre, obtendo a seguinte tabela. Trimestre Alunos A B C D o 8 () () () () o () (,) () () o () (,) () () R Comentário: (Teste das comparações múltiplas) O teste de Friedman diz apenas (caso H sea reeitada) que os tratamentos são diferentes. Se quiséssemos verificar se existe diferença entre dois tratamentos quaisquer, o procedimento usado é o teste de comparações múltiplas, que é um complemento do teste de Friedman. H : μi = μ H : μi μ para =,, i, i+,,

6 Procedimento.Calcula-se, para cada par de tratamentos, Ri R onde i é fixo (tratamento que ser comparar) e =,, i, i+,, R R i é a soma dos postos do tratamento é a soma dos postos do tratamento i { }. Obtenha d = min Ri R ; =,, i, i+,,. Calcule ( ) n + Z α ( ) 6 Onde ( ) representa o quantil α da distribuição normal padrão. Z α ( ) 6 Decisão Se ( ) n + d Z α ( ) 6 reeite H, caso contrário, aceite. Caso de amostras independentes O obetivo é verificar se diversas variáveis independentes devem ser consideradas como provenientes da mesma população. 8 6

7 Teste de Krusal-Wallis O obetivo é verificar se as diferentes amostras independentes provêm da mesma população ou de populações com a mesma mediana. O teste supõe que a variável tenha distribuição contínua e exige mensuração no mínimo ao nível ordinal. Este teste é uma extensão do teste de Wilcoxon para duas amostras independentes e se utiliza de postos atribuídos aos valores observados. 9 Hipóteses H : as amostras independentes provêm da mesma população (ou de populações com a mesma mediana) H : as amostras independentes provêm de populações distintas. ou H : μ = = μ H : μi μ para, pelo menos, um i onde i, =,, Procedimento do teste - Disponha, em postos, as observações de todos os grupos (amostras) numa única série, atribuindo-lhes postos de a n. Onde n= n e é o tamanho da amostra (do grupo ). + + n n - Determine o valor de R, a soma dos postos da amostra, para =,, - Caso não haa empates nos postos, calcule o valor de H como: R H = n n n + ( ) ( n ) + = Onde é o número de amostras, n= n é o número total de = casos, em todas as amostras e é o tamanho da amostra. n

8 - caso haa empates nos postos, atribua a cada um dos postos empatados a média desses postos caso não houvesse empates. Neste caso, o valor de H é influenciado pelos empates e precisa ser corrigido. Assim, n n H = ( ) ( ) n + + = n m Tl ( n n) l= R Onde Tl = tl tl, m é o número de grupos de observações empatadas e t l é o número de observações empatadas em cada grupo. Decisão O método para determinar a probabilidade de ocorrência, sob a hipótese nula, associado a um valor igual ou mais extremo do que o valor observado H depende dos tamanhos de n e. - Caso : para = e n, use a Tabela O (apostila) para, n, n obter, sob H, a probabilidade exata associada a um H tão grande quanto o observado. - Caso : para outros valores de, a distribuição de H pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado, ou sea, H ~ χ Se o p-valor, obtido pelo método adequado (caso ou ) não superar α reeite H, caso contrário, aceite. Exemplo Numa pesquisa sobre qualidade de vinho, três tipos de vinho foram avaliados por quatro degustadores. Cada degustador provou amostras ( de cada tipo) e atribuiu a cada uma delas uma nota de zero a dez. As médias das notas atribuídas pelos degustadores, a cada uma das amostras, foram as seguintes. Vinho Degustadores A B C D Tipo, () 6, (), () 6,8 () Tipo 8, () 9, () 8,6 (8) 9, () Tipo 9, () 8, (9), () 8, (6) Com base nas médias das notas fornecidas pelos degustadores, verifique se há diferença entre os tipos de vinho. 8

9 Medidas de correlação Coeficiente de correlação por postos de Kendall Denominamos τ o coeficiente de correlação por postos de Kendall. O obetivo é medir a intensidade da correlação dos postos entre duas variáveis (grupos) X e Y. Se a correspondência entre os postos for perfeita, no sentido positivo, ou sea, se todos os postos forem iguais para as duas variáveis, τ =+ (correlação perfeita positiva). Se houver uma discordância perfeita entre os postos das duas variáveis, ou sea, se o primeiro posto de uma corresponder ao último posto da outra, se o segundo posto de uma corresponder ao penúltimo da outra e assim por diante, τ = (correlação perfeita negativa) Procedimento Seam os pares ( x, y),, ( xn, yn) - Atribua postos de a n para cada uma da variáveis X e Y, de modo a formar n pares de postos. - Ordene os pares de postos de acordo com os postos de X. Desta forma, os postos de Y, ordenados de acordo com os postos de X, serão : PYx, PY x,, PY x n n - Usando PYx, PY,,, calcule x PY x n P= pi p i onde representa o número de postos à direita de maiores do que ele. i= PY xi 6 - Calcule ( ) n n S = P - O coeficiente de correlação por postos de Kendall é obtido então por: S τ = n n ( ) 9

10 Exemplo Suponhamos que um número de alunos está classificado por postos de acordo com suas habilidades em matemática e em música. A tabela seguinte mostra os valores de cada aluno. Aluno Disciplina Matemática (X) Música (Y) A B C D E F G H I J Aluno Disciplina Matemática (X) I F C B J E 6 A H 8 G 9 D Música (Y) Comentários - Em caso de haver observações empatadas, atribuímos a elas a média dos postos que lhe caberiam se não houvesse empate. Nesse caso, o valor de τ seria modificado da seguinte forma S τ = n( n ) Tx n( n ) Ty Onde: Tx = t( t ), sendo t o número de observações empatadas em cada grupo de empates da variável X. Ty = t( t ), sendo t o número de observações empatadas em cada grupo de empates da variável Y. 9 - Se os n indivíduos (elementos) constituem uma amostra aleatória de alguma população, pode-se comprovar se o valor observado τ indica existência de associação entre as variáveis X e Y na população. H : não existe correlação entre X e Y H : existe correlação entre X e Y O método depende do tamanho de n. Caso: para n a Tabela Q dá a probabilidade (unilateral) associada a um valor tão grande quanto um S observado.

11 caso : para n > podemos usar a aproximação normal com Z = τ ( n + ) n( n ) 9 Para os dois casos, obtenha o p-valor ˆα. Caso ˆα < α, reeite H, caso contrário, aceite. Coeficiente de correlação por postos de Spearman Denominamos de Spearman. < r s < o coeficiente de correlação por postos É necessário que as variáveis apresentem nível de mensuração, no mínimo, ordinal. Procedimento Seam os n pares ( x, y),, ( xn, yn) - Atribua postos de a n para cada uma da variáveis X e Y, de modo a formar n pares de postos. - Para cada par de postos de X e Y, determine d i o valor da diferença entre o posto em X i e o posto em Y i, i=,, n - O coeficiente de correlação por postos de Spearman é dado por: n 6 di i= rs = n n

12 Exemplo Calcule o coeficiente de correlação por postos de Spearman para o exemplo anterior (habilidades em matemática e música) Aluno Disciplina Matemática (X) Música (Y) A B C D E F G H I J Comentários - Em caso de haver observações empatadas, atribuímos a elas a média dos postos que lhe caberiam se não houvesse empate. Nesse caso, o valor de seria modificado da seguinte forma Onde: n n x = r s e r s x + y d x y i = T x n n y = T y t t T, sendo t o número de observações empatadas em x = cada grupo de empates da variável X. t t T, sendo t o número de observações empatadas em y = cada grupo de empates da variável Y. 6

13 - Se os n indivíduos (elementos) constituem uma amostra aleatória de alguma população, pode-se comprovar se o valor observado r s indica existência de associação entre as variáveis X e Y na população. H : não existe correlação entre X e Y H : existe correlação entre X e Y O método depende do tamanho de n. Caso: para n = até a Tabela P dá os valores críticos de rs para níveis de significância, e, (Teste unilateral) caso : para n pode-se determinar a significância de um valor tão grande quanto o r s observado, usando a aproximação pela distribuição t de Student. usar a aproximação normal com n t = rs ~ t r s n Para os dois casos, obtenha o p-valor ˆα. Caso ˆα < α, reeite H, caso contrário, aceite. 8