Teste Qui-quadrado de aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2014

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1 Teste Qui-quadrado de aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2014 Objetivo: Decidir se um conjunto de dados segue uma determinada distribuição de probabilidades. Exemplo 1: Uma emissora de TV desconfia da qualidade do método utilizado por um instituto para medir a audiência de programas de TV. Tal instituto aponta que em um determinado horário a emissora A tem 37% da audiência, enquanto que a emissora B tem 30%, a C tem 13% e as demais têm 20%. A emissora contratou uma empresa de pesquisa de mercado que selecionou uma amostra de 300 residências. Em cada uma, perguntou-se em qual canal a principal TV da casa estava sintonizada, na última semana, no horário determinado. Dos 300, 95 declararam estar assistindo a emissora A, 87 a emissora B, 51 a C e 67 uma das demais emissoras, ou não estava com a TV ligada. Há evidências de que os dados do instituto estejam errados? Admita: : probabilidade da emissora A ser sintonizada, : probabilidade da emissora B ser sintonizada, : probabilidade da emissora C ser sintonizada, : probabilidade de outras emissoras serem sintonizada, = 95: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora A, = 87: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora B, = 51: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora C e = 67: número de pessoas da amostra que declararam assistir outras emissoras. Temos =4 categorias de resposta e = =300. Além disso, segundo o instituto, = 0,37, = 0,30, = 0,13 e = 0,20. A estatística qui-quadrado busca aferir o quanto os dados são compatíveis com os valores de probabilidades fornecidos. Sua lógica consiste em comparar os dados observados com os dados que deveriam ser observados numa amostra de hipotética (amostra de referência) que obedecesse fielmente às probabilidades fornecidas. 1

2 Amostra de referência Se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidade dada por, quantas pessoas deveríamos ter observado em cada uma das quatro possíveis categorias de resposta? Nesse caso, para a primeira categoria (audiência da emissora A), esperaríamos ter 37% de observações, ou seja, a frequência esperada dessa categoria seria = 0,37 * 300 =111; para a segunda = 0,30 * 300 =90, para a terceira = 0,13 * 300 = 39 e, por fim, para a última = 0,20 * 300 =60. Resultado 1: Seja o valor que seria observado na classe, =1,,, se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidade dada por. =. Estatística qui-quadrado A estatística qui-quadrado é uma medida da distância entre os valores efetivamente observados ( ) e os que esperaríamos observar se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidades fornecida ( ). A constrição dessa medida será feita passo a passo a partir dos dados do Exemplo 1. Na Tabela 1, estão dispostos, lado a lado, os valores observados e esperados. Note que a soma das respectivas colunas é igual ao tamanho da amostra. Isso decorre do Resultado 2. Resultado 2: =. Prova: = = =. Na quinta coluna da tabela são apresentadas as diferenças entre os valores observados e os valores esperados. Caso a estrutura de probabilidades fornecida seja de fato seguida pelos dados, espera-se que esses valores sejam próximos de zero. A estatística qui-quadrado baseia-se na distância quadrática entre os valores observados e esperados (ver Resultado 3). Resultado 3: A distância quadrática entre os valores observados e esperados é dada por:. 2

3 Voltando à Tabela 1, nota-se uma distância de 256 para a primeira categoria de resposta e 144 para a terceira. Será que de fato, em termos qualitativos, a discrepância na categoria 1 é mais importante do que a observada na categoria 3? Tabela 1: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados do Exemplo 1. Categoria ( - ( - ( - / 1 0, ,0-16,0 256,00 2,31 2 0, ,0-3,0 9,00 0,10 3 0, ,0 12,0 144,00 3,69 4 0, ,0 7,0 49,00 0,82 Total 1, ,0 6,92 Na categoria 1, esperávamos encontrar 111 pessoas e na categoria 3, 39. Ao se fazer a razão entre a distância e os valores esperados para essas duas categorias, temos, respectivamente, 2,31 e 3,69. Isso indica que, em termos relativos, o afastamento observado na categoria 3 é mais importante do que na categoria 1. A estatística quiquadrado é construída com base nesse raciocínio. Definição 1: Seja a probabilidade hipotética de uma observação pertencer á categoria de resposta, =1,,, com =1. Seja o número de indivíduos classificados na categoria e seu respectivo valor esperado, conforme definido no Resultado 1, =1,,. Define-se a estatística qui-quadrado como =. Em suma a estatística qui-quadrado nada mais é do que a distância quadrática entre os valores da amostra e da amostra de referência, ponderada pelos valores esperados sob a hipótese de que a estrutura de probabilidades fornecida é correta. Quanto maior o valor dessa estatística, maior é a evidência de que os dados não seguem a estrutura de probabilidades fornecida. Para o Exemplo 1, =6,92. Exemplo 2: A Tabela 2 descreve o número de reclamações diárias observado em 100 dias de funcionamento de um biblioteca. Um analista desconfia que uma distribuição de Poisson poderia ser utilizada para descrever o comportamento dessa variável. Com base nos dados apresentados na Tabela 2, pode-se concluir que ele tem razão? 3

4 O primeiro passo para a determinação da estatística qui-quadrado é o cálculo da probabilidade de ocorrência de cada categoria da variável em questão. Aventa-se a hipótese de que a distribuição de Poisson é adequada para modelar este fenômeno, no entanto, não foi fornecido o valor do parâmetro da distribuição. Desse modo, é necessário estimá-lo a partir dos dados. Como o parâmetro da Poisson é a média da distribuição, decidiu-se estimá-lo por 1,49, a média aritmética dos dados. Tabela 2: Número de reclamações diárias observadas em 100 dias de atividade Número de reclamações Dias Total 100 A Tabela 3 traz as probabilidades de cada categoria, obtidas a partir de uma distribuição de Poisson com média 1,49. Note que essas probabilidades não somam 100%, condição estabelecida para o cálculo da estatística qui-quadrado. Para contornar esse problema, e para levar em conta que há poucas observações na última categoria de resposta, decidiu-se reorganizar os dados conforme a Tabela 4. Tabela 3: Probabilidades associadas aos dados da Tabela 2. Número de reclamações Dias Probabilidade , , , , , ,0138 Total 100 0,9957 4

5 Tabela 4: Número de reclamações diárias observadas em 100 dias de atividade e probabilidades associadas ás categorias de resposta Número de reclamações Dias Probabilidade , , , , ,0644 Total 100 1,0000 Para os dados do Exemplo 2, obteve-se =3,34. A Tabela 5 resume o cálculo dessa estatística. Note que os valores esperados não são números inteiros. Isso é uma ocorrência comum que não deve ser corrigida, uma vez que os valores esperado constituem apenas pontos de referência. Tabela 5: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados da Tabela 4. Categoria ( - ( - ( - / 0 0, ,54 2,46 6,07 0,27 1 0, ,58 1,42 2,01 0,06 2 0, ,02-7,02 49,25 1,97 3 0, ,43 0,57 0,33 0,03 >3 0, ,44 2,56 6,56 1,02 Total 1, ,00 3,34 Exemplo 3: Uma empresa pode ser multada se emitir poluentes acima de níveis tolerados. Especula-se que o nível de emissão de certo poluente segue uma distribuição normal. Os dados da Tabela 5 reproduzem os níveis de emissão em 284 dias. Há evidências de que a emissão segue uma distribuição normal? 5

6 Tabela 6: Emissões diárias de poluentes de uma empresa Emissão Dias 30,0 a 34,5 4 34,5 a 37,5 8 37,5 a 40, ,5 a 43, ,5 a 46, ,5 a 49, ,5 a 52,5 40 Total 284 Assim como no Exemplo 2, não foram fornecidos os parâmetros da distribuição de probabilidades. Sua determinação a partir da média e desvio-padrão amostral dos dados resultou numa média de 44,3 e desvio-padrão de 4,15. Teoricamente, a distribuição normal pode assumir qualquer valor real, desse modo é necessário fazer alterações nas categorias de resposta para fazer com que a soma de suas probabilidades de ocorrência atinja 100%. Conforme pode ser visto na Tabela 7, a primeira categoria foi considerada como Inferior a 34,5 e a última 49,5 ou mais. Tabela 7: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados da Tabela 6. Emissão ( - ( - / - a 34,5 0, ,585 1,415 0,775 34,5 a 37,5 0, ,801-3,801 1,224 37,5 a 40,5 0, ,712-4,712 0,605 40,5 a 43,5 0, ,196 14,804 3,167 43,5 a 46,5 0, ,070-5,070 0,325 46,5 a 49,5 0, ,787-12,787 2,985 49,5 a 0, ,849 10,151 3,452 Total ,000 0,000 12,533 A partir dos dados chega-se a =12,533. A lógica de análise da estatística qui-quadrado é bastante simples: valores muito distantes de zero indicam que a distribuição de probabilidades não segue a distribuição de probabilidades considerada no problema. A dificuldade é sabe se o valor observado está distante o suficiente de zero para se tirar essa conclusão. 6

7 Distribuição de Pode-se construir um teste de hipóteses para verificar se os dados seguem a distribuição em consideração que utiliza como estatística de teste. Nesse caso, temos H 0 : os dados seguem a distribuição em consideração. H 1 : os dados não seguem a distribuição em consideração. Prova-se, sob a hipótese de que os dados seguem a distribuição de probabilidades em consideração e para grandes amostras, que a distribuição de pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado 1 com = 1 graus, sendo o número de parâmetros estimados a partir dos dados. Desse modo, a conclusão final pode ser feita a partir da probabilidade de se observar um valor tão grande ou maior do que o observado (valor p); quanto menor o valor, maior a evidência de que os dados não seguem a distribuição em consideração. Na Tabela 8 são apresentados os valores p associados aos resultados dos exemplos 1, 2 e 3. A partir desses valores podemos concluir que há evidências fortes para rejeitar a hipótese de normalidade dos dados do Exemplo 3, alguma evidência contrária à distribuição apresentada no Exemplo 1 e evidências muito fracas com a hipótese de que os dados do Exemplo 2 seguem uma distribuição de Poisson. Tabela 8: Valor p associados à análise dos exemplos 1, 2 e 3. Exemplo Valor p Comando excel para cálculo do valor p 1 6, ,0745 DIST.QUIQUA.CD(6,92;3) 2 3, ,3421 DIST.QUIQUA.CD(3,34;3) 3 12, ,0138 DIST.QUIQUA.CD(12,53;3) 1 Uma regra empírica diz que a amostra é suficientemente grande para utilizar a distribuição qui-quadrado quando 5 e 1 5, para todo =1,,. Quando a regra não for satisfeita, recomenda-se redefinir as categorias de resposta, agrupando as que a violarem. 7

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