3.1. Representação de Variáveis Quantitativas em tabelas e gráficos: Tabelas de frequências para variáveis discretas:

Transcrição

1 3. ANÁLISE DESCRITIVA DE DADOS QUANTITATIVOS 3.1. Representação de Variáveis Quantitativas em tabelas e gráficos: Tabelas de frequências para variáveis discretas: Para a representação de dados quantitativos numa tabela de frequências vamos considerar as quantidades: n = tamanho da amostra ou frequência absoluta total; k = número de classes ; n i = frequência absoluta da i-ésima classe, i = 1, 2,..., k; k ni i 1 n f i = frequência relativa da i-ésima classe, i = 1, 2,..., k; n k k f i n i, tal que f i i 1 n n i 1 i 1 Representação de uma variável quantitativa numa tabela de frequências. Classes Freq. absolutas ni Freq. Relativas Classe 1 n 1 f 1 = n 1 / n Classe 2 n 2 f 2 = n 2 / n Classe k n k f k = n k / n Totais n 1.00 fi

2 Exemplo 1: Dos alunos de Estatística 1, dos anos 2015, 2016 e 2017, que praticam alguma atividade física regularmente, seja o número de vezes que praticam essa atividade física na semana. Dados: Dados ordenados: Tabela de frequências: X = vezes/sem. n i f i % 1 2 0,054 5, ,243 24, ,378 37, ,162 16, ,108 10, ,054 5,4 Total 37 0,999 99,9

3 Gráficos de frequências para variáveis discretas: Por ser uma variável que só assume valores numa escala de números inteiros, a representação gráfica para dados quantitativos discretos é feita por linhas verticais a partir da escala no eixo das abscissas, cujo tamanho é determinado pela frequência absoluta ou frequência relativa do ponto, representada no eixo das ordenadas. Nota: além das frequências relativas ou absolutas, o gráfico de frequências pode, ainda, representar os valores percentuais. Gráfico de frequências

4 Uma possibilidade de representação gráfica para a tabela de frequência de uma variável discreta é o histograma. O histograma é um tipo de gráfico mais apropriado para a representação de variáveis contínuas, porém, para a representação de variáveis discretas, os valores individuais da variável deve coincidir com o centro das bases das respectivas barras, conforme mostra a figura. Gráfico de frequências

5 Exemplo 2: Em um hospital, foram contabilizados o número de pessoas com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas cada. Neste caso, foram obtidos os seguintes dados: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10 Tabela de frequências: X (casos) n i f i F ac 7 1 0,05 0, ,10 0, ,25 0, ,40 0, ,15 0, ,05 1,00 Total 20 1,00 - Fac : é a frequência acumulada. Gráfico de frequências

6 Histograma construído no R: diabetes <- c(10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10) pontos <- c(6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.5, 11.5, 12.5) hist(diabetes, braks=pontos, col="bisque", right=f)

7 Exemplo: Conjunto de dados fictícios representando uma amostra com 250 valores da variável X. Tabela de frequência da variável X. Classes n i f i 0, ,5 34 0, ,0 74 0,296 5, ,5 86 0,344 7, ,0 30 0,120 10, ,5 16 0,064 12, ,0 5 0,020 15, ,5 5 0,020 Total 250 1,000

8 Representação gráfica de variáveis contínuas: O gráfico de pontos é uma forma simples e rápida de representação da amostra que fornece um aspecto visual da concentração e distribuição dos pontos na escala das medidas. No exemplo abaixo temos o gráfico de pontos de uma variável contínua X. Podemos perceber que o conjunto os dados estão concentrados na primeira metade da escala, entre os valores 2,5 e 7,5, com uma dispersão mais acentuada no lado superior (direito) da distribuição, com valores chegando a 17,5. Esta dispersão indica forte assimetria na cauda superior da distribuição (assimetria à direita). Figura 1: Gráfico de pontos de X.

9 Uma forma adequada de representação gráfica para dados contínuos, que considera a divisão da escala em intervalos de classes, é dada pelo histograma, no qual, as frequências das classes da tabela são representadas por barras adjacentes. Tabela de frequências da variável X. Classes de X n i f i 0, ,5 34 0,136 2, ,0 74 0,296 5, ,5 86 0,344 7, ,0 30 0,120 10, ,5 16 0,064 12, ,0 5 0,020 15, ,5 5 0,020 Total 250 1,000 Figura 2: Histograma de X (sobre o gráfico de pontos).

10 O Polígono de Frequências Marcando o ponto médio de cada retângulo do histograma na sua na parte superior e ligando esses pontos, teremos uma figura que chamaremos de Polígono de Frequências (Figura 3). Figura 3: Polígono de frequências. As linhas retas que compõem o polígono de frequências são uma aproximação rudimentar para uma curva que representa uma Distribuição de Frequências. Essa distribuição é descrita por uma função f(x), contínua e diferenciável, definida num intervalo dos reais, a qual será denotada por função distribuição de probabilidades ou fdp (Figura 4).

11 Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.

12 Exemplo 1: Altura (em metros) de n = 30 alunos de Estatística 1, de 2015 a X = altura dos alunos (em metros) 1,70 1,73 1,83 1,60 1,75 1,84 1,77 1,78 1,74 1,62 1,70 1,67 1,63 1,90 1,54 1,68 1,95 1,90 1,59 1,74 1,80 1,57 1,75 1,72 1,59 1,70 1,65 1,78 1,79 1,72 Dados ordenados: 1,54 1,57 1,59 1,59 1,60 1,62 1,63 1,65 1,67 1,68 1,70 1,70 1,70 1,72 1,72 1,73 1,74 1,74 1,75 1,75 1,77 1,78 1,78 1,79 1,80 1,83 1,84 1,90 1,90 1,95 Número de classes - k, pela regra de Sturges: k = 1 + 3,322 log 10 (n) k = 1 + 3,322 log = 5,91 = 6 classes Amplitude das classes - h: A = max min = 1,95 1,54 = 0,41

13 h A k h 0,41 6 0, ,070 Nesse caso, vamos usar h 0, 07. Tabela de frequências com k = 6 classes: X i (altura) n i f i F ac 1, ,61 5 0,167 0,167 1, ,68 4 0,133 0,300 1, ,75 9 0,300 0,600 1, ,82 7 0,233 0,833 1, ,89 2 0,067 0,900 1, ,96 3 0,100 1,000 Total 30 1,000 -

14 Comandos do R para o histograma: altura <- c(1.70, 1.73, 1.83, 1.60, 1.75, 1.84, 1.77, 1.78, 1.74, 1.62, 1.70, 1.67, 1.63, 1.90, 1.54, 1.68, 1.95, 1.90, 1.59, 1.74, 1.80, 1.57, 1.75, 1.72, 1.59, 1.70, 1.65, 1.78, 1.79, 1.72) # default do programa hist(altura, col="bisque") # definindo a cor (commando col) hist(altura, col="bisque", right=false) # opção Sturges p/intervalos hist(altura, breaks="sturges", col="bisque", right=false) # definindo os intervalos # k = 6 e k = 5 classes ######################### h6 <- seq(1.54,1.96,by=0.070) hist(altura, breaks=h6, col="bisque", right=false, axes=false) axis(1, h6) axis(2) h5 <- seq(1.540,1.955,by=0.083) hist(altura, breaks=h5, col="bisque", right=false) # explorando opções do commando hist() hist(altura, plot=f, right=false) hist(altura, plot=f, right=false)$counts hist(altura, plot=f, right=false)$breaks

15 Regra Raiz quadrada de n k n Raiz quadrada de 2n k 2n Sturges k log10 Logaritmo natural k 3 ln n Regras para o número de classes k: n Propriedades Apropriado como valor inicial, fornece valores baixos para n pequeno (n < 50). Pode ser indicado para valores de n entre 80 e 120. Apropriado para valores baixos de n, cresce muito rápido para valores moderados (n > 50). Não é indicado para n > 80. O método mais consagrado fornece valores baixos para n pequeno, e cresce muito devagar. Indicado para valores elevados de n. Muito parecido com o método de Sturges, fornece valores ligeiramente maiores para n pequeno, porém a situação se inverte para n >120. Indicado para valores elevados de n. Figura 1: Regras para o número de classes de um histograma

16 De maneira geral, é indicado bom senso na determinação do número de classes de um histograma. O número de classes deve ser moderado. Como há um agrupamento de valores, a perda de informação é inevitável. Se o número de classes for muito grande ocorre uma perda menor de informação, mas a eficiência do resumo fica prejudicada; Um número muito pequeno de classes resume demais e ocorre perda excessiva de informação. Tabela 1: número de classes num histograma. n classes até 50 5 a a a a a a a a a ou mais 20 a 40 Fonte: Sistema Galileu, ESALQ/USP

17 Exemplo 2: X = notas de avaliação de teste verbal aplicado em 87 alunos. 2,5 2,8 2,8 3,2 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,5 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,8 5,9 5,9 5,9 5,9 6,0 6,1 6,1 6,1 6,1 6,2 6,2 6,2 6,3 6,4 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,7 6,7 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,1 7,2 7,3 7,5 k = 1 + 3,322 log = 7,44 = 8 classes (7 ou 8) Vamos considerr k = 7 classes: 5 A = 7,5 2,5 = 5 h Tabela de frequências com k = 7 classes: X i (nota) n i f i F ac 2, ,22 4 0,046 0,046 3, ,94 5 0,057 0,103 3, ,66 8 0,092 0,195 4, , ,253 0,448 5, , ,184 0,632 6, , ,276 0,908 6, ,54 8 0,092 1,000 Total 87 1,000 -

18 Comandos do R para o histograma: verbal <- c(2.5,2.8,2.8,3.2,3.5,3.6,3.7,3.8,3.9, 4.0,4.1,4.1,4.1,4.1,4.2,4.5,4.6,4.7,4.7,4.7, 4.7,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0,5.0,5.1,5.1,5.1,5.2, 5.2,5.2,5.2,5.2,5.3,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4,5.4, 5.4,5.5,5.5,5.5,5.6,5.7,5.7,5.8,5.9,5.9,5.9, 5.9,6.0,6.1,6.1,6.1,6.1,6.2,6.2,6.2,6.3,6.4, 6.4,6.4,6.4,6.5,6.5,6.5,6.5,6.5,6.6,6.6,6.7, 6.7,6.7,6.7,6.8,6.9,6.9,7.0,7.0,7.1,7.2,7.3, 7.5) nclass.sturges(verbal) hist(verbal, breaks="sturges", col="bisque", right=false) nclass.scott(verbal) hist(verbal, breaks="scott", col="bisque", right=false) nclass.fd(verbal) hist(verbal, breaks="fd", col="bisque", right=false) # definindo os intervalos ######################### h <- c(2.50,3.22,3.94,4.66,5.38,6.10,6.82,7.54) hist(verbal, breaks=h, col="bisque", right = FALSE)

19 Freqüência Exemplo 3: Conjunto de dados Estudantil, variável: horastv = tempo semanal assistindo TV. (Magalhães, M.N. e Lima, A.C.P. Noções de probabilidade e estatística, 5ª Ed., Edusp, 2005) Dados ordenados: Gráfico de pontos pelo MINITAB Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas Histograma pelo MINITAB Histograma de horas de TV horas

20 Dados discretizados: Uma grande companhia está preocupada com o tempo que seus equipamentos ficam em manutenção na assistência técnica. Sendo assim, fez um levantamento do tempo de manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais detalhado. X = dias em manutenção de equipamentos Dados Ordenados: Tabela de frequências (regra de Sturges): k = 1 + 3,322 log = 6,64 = 7 classes 19 A = 21 2 = 19 h dias 7

21 Com k = 7 classes: X i (dias) n i f i F ac 2 a ,26 0,26 5 a ,30 0,56 8 a ,20 0,76 11 a ,10 0,86 14 a ,08 0,94 17 a ,04 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 -

22 Gráfico da frequência acumulada Fac

23 Com k = 6 classes: X i (dias) n i f i F ac 0 a 3 9 0,18 0,18 4 a ,38 0,56 8 a ,22 0,78 12 a ,14 0,92 16 a ,06 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 -

24 Comandos do R para o histograma: manuten <-c(15,13,21, 9, 5, 5,10, 6, 2, 2, 9,10, 3, 4, 2,13,12,16, 7, 6, 4,11, 8, 6, 6,10,17,13, 9, 5, 2, 5, 9,14,15, 3, 6,18, 3, 4, 5, 7, 8, 3, 10, 5, 5, 4, 5, 2) nclass.sturges(manuten) hist(manuten, col="bisque") hist(manuten, breaks="sturges", col="bisque") nclass.scott(manuten) hist(manuten, breaks="scott", col="bisque") nclass.fd(manuten) hist(manuten, breaks="fd", col="bisque") hist(manuten, breaks=7, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- c(0.5,4.5,8.5,12.5,16.5,20.5,24.5) hist(manuten, breaks=h1, col="bisque") h2 <- c(1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,18.5,22.5) hist(manuten, breaks=h2, col="bisque")