u unidades elementares, i = 1, 2,..., N.

Transcrição

1 1. ANÁLISE DESCRITIVA DE VARIÁVEIS QUANTIOTATIVAS 1.1. CONCEITOS: População: é formada pelo conjunto de indivíduos (ou itens) que queremos abranger em nosso estudo e para os quais desejamos que as conclusões da pesquisa (inferências) sejam válidas. Em alguns estudos (especialmente os experimentais) a população não pode ser representada por um ente físico. Nesses a população é definida pelo conjunto de todos os valores possíveis de serem observados. Também será denotada por população objetivo, que é sobre a qual desejamos obter informações e/ou fazer inferências. Pode, ainda, ser chamada de Universo. Será denotada por: U u,u,u, 1 2 3,u N u unidades elementares, i = 1, 2,..., N. i N = n o de elementos, ou tamanho, da população. Amostra: é um subconjunto, necessariamente finito, de uma população. é selecionada de forma que todos os elementos da população tenham a mesma chance de serem escolhidos. A população pode ser infinita, mas a amostra é sempre finita. Parâmetro Populacional: normalmente denotado por, é uma característica populacional de interesse, que pode ser expressa através de uma quantidade numérica. Normalmente é desconhecido e fixo. Estatística: é uma medida numérica, que descreve uma característica da amostra. Uma Estatística é uma função da amostra: S = f(x 1, X 2,..., X n ) X 1, X 2,..., X n representa as n observações da amostra

2 X n X i i 1 (média amostral) n Exemplos s 2 n i 1 X i X n 1 2 (variância amostral) min = valor mínimo da amostra denotado por X (1) max = valor máximo da amostra denotado por X (n) PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS Nome ESTATÍSTICA (Amostra) PARÂMETRO (População) Média X Variância s 2 2 Correlação r X,Y X,Y Proporção pˆ p Variável uma variável é uma característica desconhecida, que pode variar de um indivíduo para outro da população e que, ao ser observada ou mensurada, deve gerar uma única resposta. Tipos de variáveis: a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS. Podem ser classificadas em: i) ORDINAIS, quando obedecem a uma ordem natural ou ii) NOMINAIS, quando não obedecem nenhuma ordem. b) Variáveis quantitativas: variáveis cujos possíveis resultados são valores numéricos resultantes de uma mensuração ou contagem. Podem ser classificadas em: i) DISCRETAS, quando assumem valores inteiros, ou ii) CONTÍNUAS, quando assumem valores reais.

3 Representação gráfica para Variáveis Quantitativas: O gráfico de pontos é a primeira representação da amostra, fornecendo um aspecto visual da concentração e distribuição dos pontos na nossa escala de medidas. No exemplo abaixo, percebemos o conjunto de dados concentrado na primeira metade da escala, com uma grande concentração entre os valores 2,5 e 7,5, e uma dispersão mais acentuada no lado superior (direito) da distribuição, com valores chegando a 17,5. Esta dispersão indica uma forte assimetria na cauda superior da distribuição (assimetria à direita). Figura 1: Gráfico de pontos.

4 Uma forma prática de representação gráfica para dados quantitativos (em especial dados contínuos) é dada pelo histograma, no qual, representamos as frequências de uma tabela por barras adjacentes para cada intervalo de classe. Tabela de frequências com k = 7 classes: Classe (X i ) n i f i 0, ,5 34 0, ,0 74 0,296 5, ,5 86 0,344 7, ,0 30 0,120 10, ,5 16 0,064 12, ,0 5 0,020 15, ,5 5 0,020 Total 250 1,000 Figura 2: Histograma(sobre o gráfico de pontos).

5 O Polígono de Frequências Marcando o ponto médio de cada retângulo do histograma na sua na parte superior e ligando esses pontos, teremos uma figura que chamaremos de Polígono de Frequências (Figura 3). Figura 3: Polígono de frequências. As linhas retas que compõem o polígono de frequências são uma aproximação rudimentar para uma curva que representa uma Distribuição de Frequências. Essa distribuição é descrita por uma função f(x), contínua e diferenciável, definida num intervalo dos reais, a qual será denotada por função distribuição de probabilidades ou fdp (Figura 4).

6 Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.

7 Freqüência Exemplo: Dados Estudantil, variável: horas TV = tempo semanal assistindo TV Gráfico de pontos no MINITAB Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas Histograma para variáveis contínuas no MINITAB Histograma de horas de TV horas

8 Freqüência Outros limites Histograma de horas de TV horas Histograma feito no Minitab Tabela de frequências e histograma, no Excel. Classe (h) Bloco Frequência Histograma feito no Excel (sem formatação)

9 A) Dados Contínuos: Exemplo 1: Altura (em metros) dos alunos da turma B de Bioestatística no primeiro semestre de X = altura dos alunos (em metros). 1,62 1,60 1,60 1,65 1,60 1,73 1,78 1,72 1,62 1,58 1,65 1,81 1,62 1,63 1,67 1,65 1,80 1,75 1,80 1,70 1,65 1,80 1,76 1,60 1,57 1,65 1,70 1,73 1,75 1,65 1,70 1,66 1,74 1,51 1,63 1,55 1,58 1,56 1,80 1,75 1,67 1,58 1,77 Dados ordenados 1,51 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,62 1,62 1,62 1,63 1,63 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,67 1,67 1,70 1,70 1,70 1,72 1,73 1,73 1,74 1,75 1,75 1,75 1,76 1,77 1,78 1,80 1,80 1,80 1,80 1,81 Construindo a tabela de frequências: a) Número de classes (fórmula de Sturges): k = 1 + 3,32 log 10 (n) k = 1 + 3,32 log 10 (43) = 6,43 = 7 classes (6 ou 7) b) Amplitude da classe: 0,30 A = 1,51 1,81 = 0,30 h 0, Podemos arredondar h para 0,043 ou para um valor mais apropriado, no caso 0,05.

10 c) Tabela de frequências: Classe - m n i f i F ac 1,50 [--- 1,55 1 0, ,55 [--- 1,60 6 0, ,60 [--- 1,65 9 0, ,65 [--- 1,70 9 0, ,70 [--- 1,75 7 0, ,75 [--- 1,80 6 0, ,80 [--- 1,85 5 0, Total 43 1, Histograma feito no Excel

11 Histograma feito no R: Comandos do R para histograma: altura <- c(1.51,1.55,1.56,1.57,1.58,1.58,1.58,1.60, 1.60,1.60,1.60,1.62,1.62,1.62,1.63,1.63,1.65,1.65, 1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.67,1.70,1.70,1.70, 1.72,1.73,1.73,1.74,1.75,1.75,1.75,1.76,1.77,1.78, 1.80,1.80,1.80,1.80,1.81) nclass.sturges(altura) hist(altura, col="bisque", right=f) hist(altura, breaks="sturges", col="bisque", right=f) hist(altura, breaks="sturges", right=f, plot=f) nclass.scott(altura) hist(altura, breaks="scott", right=f, col="bisque") nclass.fd(altura) hist(altura, breaks="fd", right=f, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- seq(1.50, 1.85, by=0.05) hist(altura, breaks=h1, right=f, col="bisque") hist(altura, breaks=h1, right=f, plot=f) h2 <- seq(1.51,1.81, by=0.05) hist(altura, breaks=h2, right=f, col="bisque") hist(altura, breaks=h2, right=f, plot=f)

12 Exemplo 2: Medidas do ph em precipitação pluviométrica durante o período de 20/12/1973 a 23/05/1974 no nordeste dos Estados Unidos. X = medida do ph em amostras de chuva. Dados ordenados 4,12 4,12 4,26 4,26 4,29 4,30 4,31 4,39 4,39 4,40 4,41 4,45 4,52 4,56 4,57 4,60 4,63 4,64 4,73 4,82 5,08 5,29 5,51 5,62 5,67 5,78 a) Número de classes (fórmula de Sturges): k = 1 + 3,322 log 10 (26) = 5,70 = 6 classes (5 ou 6) b) Amplitude da classe: 1,66 A = 5,78 4,12 = 1,66 h 0, 28 6 c) Tabela de frequências: Classe - ph n i f i F ac 4,12 [--- 4,40 9 0,346 0,346 4,40 [--- 4,68 9 0,346 0,692 4,68 [--- 4,96 2 0,077 0,769 4,96 [--- 5,24 1 0,038 0,807 5,24 [--- 5,52 2 0,077 0,884 5,52 [--- 5,80 3 0,115 0,999 Total 26 0,999 * - * o valor ocorreu devido ao arredondamento na precisão considerada (3 casas).

13 Frequencia Histograma do ph da chuva ph Comandos do R para histograma: ph <- c(4.57,5.62,4.12,5.29,4.64,4.31,4.30,4.39, 4.45,5.67,4.39,4.52,4.26,4.26,4.40,5.78,4.73, 4.56,5.08,4.41,4.12,5.51,4.82,4.63,4.29,4.60) hist(ph, breaks="sturges", right=f, col="bisque") hist(ph, breaks="sturges", right=f, plot=f) h1 <- seq(4.12, 5.80, by=0.28) hist(ph, breaks=h1, right=f, col="bisque") hist(ph, breaks=h1, right=f, plot=f) h2 <- seq(4.10, 5.80, by=0.34) hist(ph, breaks=h2, right=f, col="bisque") hist(ph, breaks=h2, right=f, plot=f)

14 Exemplo 3: Notas de teste verbal aplicado em 87 alunos da rede pública americana. X = nota do aluno 2,5 2,8 2,8 3,2 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,5 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,8 5,9 5,9 5,9 5,9 6,0 6,1 6,1 6,1 6,1 6,2 6,2 6,2 6,3 6,4 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,7 6,7 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,1 7,2 7,3 7,5 k = 1 + 3,322 log = 7,44 = 8 classes (7 ou 8) A = 7,5 2,5 = 5 h = 5/7 = 0,714 0,72 Distribuição de frequências com k = 8 classes: X i (nota) n i f i F ac 2, ,15 3 0,034 0,034 3, ,80 4 0,046 0,080 3, ,45 8 0,092 0,172 4, , ,138 0,310 5, , ,253 0,563 5, , ,161 0,724 6, , ,230 0,954 7, ,70 4 0,046 1,000 Total 87 1,000 -

15 Histograma feito no Excel Histograma feito no R

16 Gráfico de frequências acumuladas Comandos do R para o histograma: verbal <- c(2.5,2.8,2.8,3.2,3.5,3.6,3.7,3.8,3.9, 4.0,4.1,4.1,4.1,4.1,4.2,4.5,4.6,4.7,4.7,4.7, 4.7,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0,5.0,5.1,5.1,5.1,5.2, 5.2,5.2,5.2,5.2,5.3,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4,5.4, 5.4,5.5,5.5,5.5,5.6,5.7,5.7,5.8,5.9,5.9,5.9, 5.9,6.0,6.1,6.1,6.1,6.1,6.2,6.2,6.2,6.3,6.4, 6.4,6.4,6.4,6.5,6.5,6.5,6.5,6.5,6.6,6.6,6.7, 6.7,6.7,6.7,6.8,6.9,6.9,7.0,7.0,7.1,7.2,7.3, 7.5) hist(verbal, col="bisque") # definindo os intervalos (k = 8) ################################# h <- seq(2.5,7.7, by=0.65) hist(verbal, breaks=h, col="bisque", right=f,ylim=c(0,22)) # definindo os intervalos (k = 7) ################################# h <- seq(2.50,7.54, by=0.72) hist(verbal, breaks=h, col="bisque", right=f,ylim=c(0,25))

17 Distribuição de frequências com k = 7 classes: X i (nota) n i f i F ac 2, ,22 4 0,046 0,046 3, ,94 5 0,057 0,103 3, ,66 8 0,092 0,195 4, , ,253 0,448 5, , ,184 0,632 6, , ,276 0,908 6, ,54 8 0,092 1,000 Total 87 1,000 -

18 B) Dados discretos: Exemplo 4: Em um hospital foi contabilizado o número de pessoas com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas cada. X = casos de diabete por grupo de 1000 pessoas Neste caso, foram obtidos os seguintes dados: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10 Tabela de frequências X (casos) n i f i F ac % 7 1 0,05 0, ,10 0, ,25 0, ,40 0, ,15 0, ,05 1,00 5 Total Gráfico de frequências de uma variável discreta Gráfico de frequências, feito no Excel

19 Histograma: Histograma feito no R diabetes <- c(10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10) hist(diabetes, right=f, col="bisque")

20 B.1) Dados discretizados: Exemplo 5: Uma grande companhia está preocupada com o tempo que seus e ficam em manutenção na assistência técnica. Sendo assim, fez um levantamento do tempo de manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais detalhado. X = dias em manutenção de equipamentos Dados Ordenados: Tabela de frequências: k = 1 + 3,322 log = 6,64 = 7 classes (6 ou 7) A = 21 2 = 19 h = 19/6 = 3,16 3,2

21 Distribuição de frequências com k = 7 classes: X i (dias) n i f i F ac 2 a ,26 0,26 5 a ,30 0,56 8 a ,20 0,76 11 a ,10 0,86 14 a ,08 0,94 17 a ,04 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 - Histograma feito no Excel

22 Gráfico de frequências acumuladas, feito no Excel

23 Distribuição de frequências com k = 6 classes: X i (dias) n i f i F ac 0 a 3 9 0,18 0,18 4 a ,38 0,56 8 a ,22 0,78 12 a ,14 0,92 16 a ,06 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 - Histograma feito no Excel

24 Comandos do R para o histograma: manuten <-c(15,13,21, 9, 5, 5,10, 6, 2, 2, 9,10, 3, 4, 2,13,12,16, 7, 6, 4,11, 8, 6, 6,10,17,13, 9, 5, 2, 5, 9,14,15, 3, 6,18, 3, 4, 5, 7, 8, 3, 10, 5, 5, 4, 5, 2) nclass.sturges(manuten) hist(manuten, col="bisque") hist(manuten, breaks="sturges", col="bisque") nclass.scott(manuten) hist(manuten, breaks="scott", col="bisque") nclass.fd(manuten) hist(manuten, breaks="fd", col="bisque") hist(manuten, breaks=7, col="bisque") hist(manuten, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- c(0.5,4.5,8.5,12.5,16.5,20.5,24.5) hist(manuten, breaks=h1, col="bisque") h2 <- c(1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,18.5,22.5) hist(manuten, breaks=h2, col="bisque")

25 Mais exemplos A- Representação gráfica para Variáveis Qualitativas Exemplo1: Pesquisa PNAD 2004 Moradores por domicílio Brasil. a) Tabela de uma entrada: número de domicílios por região Região domicílios % SE ,8 NE ,3 S ,8 CO ,2 NE , ,0 Gráfico de setores (pizza) do número de domicílios por região. Proporções (freq. Relativas) e ângulo do número de domicílios/região. Região Domicílios Proporção Ângulo SE , o NE , o S , o CO , o NE , o , o - Para achar o ângulo, deve-se usar a relação: 100% = 360 o. - Portanto, se uma categoria tem proporção de 0,447, então, basta multiplicar 0,447 por 360 o para encontrar o ângulo correspondente (regra de três).

26 Logo: 0, o = 161 o 0, o = 26 o 0, o = 91 o 0, o = 25 o 0, o = 57 o Gráfico de setores monocromático, com diferentes preenchimentos. Gráfico de setores 3D.

27 b) Tabela de dupla entrada: moradores/domicílio por região Moradores/domicílio por região PNAD 2004 Moradores Brasil N NE SE S CO OU Total Moradores/domicílio por região, em % PNAD 2004 Moradores Brasil N NE SE S CO 1 10,5 8,2 9,1 11,3 10,9 11,3 2 19,4 14,2 16,4 20,8 22,7 19,8 3 23,4 21,0 21,3 24,3 25,7 22,5 4 23,4 22,2 22,4 23,9 23,0 25,3 5 12,5 15,0 14,2 11,6 11,2 12,2 6 5,6 8,7 7,6 4,7 3,9 5,1 7 2,5 4,5 4,1 1,8 1,6 2,0 8 OU + 2,7 6,2 4,9 1,6 1,0 1,8 Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

28 Moradores por domicílio - regiões SE e N N SE Gráfico de barras moradores/domicílios, regiões SE e N (PNAD 2004)

29 Exemplo 2: Notas de Português por grupo de estudantes expostos à violência familiar (grupos Expostos e Não Expostos). a) Tabela de dupla entrada: notas de português por exposição à violência doméstica do pai contra a mãe. Notas de português por exposição (perfil coluna) Nota Expostos Não Expostos Português n i % n i % I 5 33,3% 3 20,0% S 8 53,4% 6 40,0% PS 2 13,3% 6 40,0% ,00% ,00% Notas de português por exposição (perfil linha) Nota Expostos Não Expostos Português n i % n i % I 5 62,5% 3 37,5% 100,0% S 8 57,1% 6 42,9% 100,0% PS 2 25,0% 6 75,0% 100,0% Nota: I = Insatisfatória, S = Satisfatória e PS = Plenamente Satisfatória a) Gráfico de colunas:

30 b) Gráfico de setores (pizza):

31 Exemplos A) Dados DISCRETOS não agrupados: X = variável representando o número de vezes que um sistema travou, por período de execução, na sua carga máxima de processamento Medidas de tendência central mais comuns, no Excel: a) Média aritmérica... =MÉDIA(A1:A25) b) Mediana... =MED(A1:A25) c) Moda... =MODO(A1:A25) d) Média geométrica... = MÉDIA.GEOMÉTRICA(A1:A25) e) Média harmônica... = MÉDIA.HARMÔNICA(A1:A25) Para construir Tabelas de Frequências no Excel i) marcar os dados ii) selecionar > Inserir > Tabela Dinâmica iii) arrastar X para a margem esquerda e centro da tabela iv) clicar com o botão direito sobre a coluna Total, selecionar > Resumir Dados por e marcar a opção Contagem; v) inserir as colunas e concluir a tabela, atentando para que os cálculos sejam feitos corretamente. Tabela de Frequências: X n i f i F ac 1 3 0,12 0, ,20 0, ,24 0, ,24 0, ,12 0, ,08 1,00 Total 25 1,00

32 Para construir Gráfico de Frequência (Histograma) no Excel i) marcar os dados; ii) selecionar > Inserir > Gráficos > Colunas iii) acertar as configurações para melhor visualização do gráfico: - título (tipo de fonte e tamanho) - eixos (fontes e espaçamentos) - linhas de grade - espaçamento (clicar numa das colunas do gráfico e selecionar: > Formatar > Séria de Dados definir Largura do Espaçamento no máximo Intervalo Grande

33 Construindo a Tabela de Frequência e o Histograma no Excel i) > Dados > Análise de Dados > Histograma > OK ii) Marcar as opções: - Intervalo de entrada => conjunto de dados para a tabela - Intervalo do bloco => coluna com os limites das classes da tabela - Intervalo de saída => local onde a tabela será colocada - marcar Porcentagem cumulativa para obter a freqüência acumulada F ac - marcar Resultado do gráfico para obter o Histograma iii) Escolher a opção Estatística Descritiva

34 B) Dados CONTÍNUOS: Exemplo: Em 1798 o cientista Henry Cavendish mediu a densidade do glogo terrestre em 29 ensaios. Os dados foram obtidos do Annals os Statistics, X = densidade do globo terrestre (g/cm 3 ). 5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,62 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 Dados ordenados 4,88 5,07 5,10 5,26 5,27 5,29 5,29 5,30 5,34 5,34 5,36 5,39 5,42 5,44 5,46 5,47 5,50 5,53 5,55 5,57 5,58 5,61 5,62 5,63 5,65 5,68 5,75 5,79 5,85 x 157, 99 2 x 862, 09