u unidades elementares, i = 1, 2,..., N.

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1 1. ANÁLISE DESCRITIVA DE DADOS 1.1. CONCEITOS: População: conjunto de indivíduos, ou itens, com pelo menos uma característica em comum. Também será denotada por população objetivo, que é sobre a qual desejamos obter informações e/ou fazer inferências. Pode, ainda, ser chamada de Universo. Será denotada por: U u,u,u, 1 3,u N u unidades elementares, i = 1,,..., N. i N = n o de elementos, ou tamanho, da população. Amostra: é um subconjunto, necessariamente finito, de uma população. é selecionada de forma que todos os elementos da população tenham a mesma chance de serem escolhidos. A população pode ser infinita, mas a amostra é sempre finita. Parâmetro Populacional: normalmente denotado por, é uma característica populacional de interesse, que pode ser expressa através de uma quantidade numérica. Normalmente é desconhecido e fixo. Estatística: é uma medida numérica, que descreve uma característica da amostra. Uma Estatística é uma função da amostra: S = f(x 1, X,..., X n ) X 1, X,..., X n representa as n observações da amostra

2 X n X i i 1 (média amostral) n Exemplos s n i1 X i X n 1 (variância amostral) min = valor mínimo da amostra denotado por X (1) max = valor máximo da amostra denotado por X (n) PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS Nome ESTATÍSTICA (Amostra) PARÂMETRO (População) Média X Variância s Correlação r X,Y X,Y Proporção pˆ p Variável uma variável é uma característica desconhecida, que pode variar de um indivíduo para outro da população e que, ao ser observada ou mensurada, deve gerar uma única resposta. Tipos de variáveis: a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS. Podem ser classificadas em: i) ORDINAIS, quando obedecem a uma ordem natural ou ii) NOMINAIS, quando não obedecem nenhuma ordem. b) Variáveis quantitativas: variáveis cujos possíveis resultados são valores numéricos resultantes de uma mensuração ou contagem. Podem ser classificadas em: i) DISCRETAS, quando assumem valores inteiros, ou ii) CONTÍNUAS, quando assumem valores reais.

3 ESQUEMATICAMENTE

4 Representação gráfica para Variáveis Quantitativas: O gráfico de pontos é a primeira representação da amostra, fornecendo um aspecto visual da concentração e distribuição dos pontos na nossa escala de medidas. No exemplo abaixo, percebemos o conjunto de dados concentrado na primeira metade da escala, com uma grande concentração entre os valores,5 e 7,5, e uma dispersão mais acentuada no lado superior (direito) da distribuição, com valores chegando a 17,5. Esta dispersão indica uma forte assimetria na cauda superior da distribuição (assimetria à direita). Figura 1: Gráfico de pontos.

5 Uma forma prática de representação gráfica para dados quantitativos (em especial dados contínuos) é dada pelo histograma, no qual, representamos as frequências de uma tabela por barras adjacentes para cada intervalo de classe. Histograma com k = 7 classes: Classe (X i ) n i f i 0,0 ---,5 34 0, ,0 74 0,96 5, ,5 86 0,344 7, ,0 30 0,10 10, ,5 16 0,064 1, ,0 5 0,00 15, ,5 5 0,00 Total 50 1,000 Figura : Histograma(sobre o gráfico de pontos).

6 O Polígono de Frequências Marcando o ponto médio de cada retângulo do histograma na sua na parte superior e ligando esses pontos, teremos uma figura que chamaremos de Polígono de Frequências (Figura 3). Figura 3: Polígono de frequências. As linhas retas que compõem o polígono de frequências são uma aproximação rudimentar para uma curva que representa uma Distribuição de Frequências. Essa distribuição é descrita por uma função f(x), contínua e diferenciável, definida num intervalo dos reais, a qual será denotada por função distribuição de probabilidades ou fdp (Figura 4).

7 Gráfico de pontos no MINITAB Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas 0 30 Descriptive Statistics: horastv Estatísticas descritivas no MINITAB Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean horastv Variable Minimum Maximum Q1 Q3 horastv

8 Freqüência Freqüência Histograma para variáveis contínuas no MINITAB Histograma de horas de TV horas Outros limites Histograma de horas de TV horas

9 Freqüência Exemplo: Tabela de freqüências e histograma para variáveis contínuas, no Excel. Bloco Freqüência Mais Histograma Freqüência Mais Bloco

10 Dados discretizados: Uma grande companhia está preocupada com o tempo que seus equipamentos ficam em manutenção na assistência técnica. Sendo assim, fez um levantamento do tempo de manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais detalhado. X = dias em manutenção de equipamentos Dados Ordenados: Tabela de frequências: k = [1 + 3,3*log 10 50] = [ 6,64 ] = 6 a 7 classes A = 1 = 19 h = 19/6 = 3,16 3,

11 Com k = 7 classes: X i (dias) n i f i F ac a ,6 0,6 5 a ,30 0,56 8 a ,0 0,76 11 a ,10 0,86 14 a ,08 0,94 17 a 19 0,04 0,98 0 a 1 0,0 1,00 Total 50 1,00 -

12 Medidas Descritivas de Posição: 39 i) Média: x i = 39 x 7, 84 dias 50 x(5) x(6) 6 6 ii) Mediana: Md(x) = 6 dias iii) Moda: Mo(x) = 5 dias aparece 8 vezes na amostra.

13 Com k = 6 classes: X i (dias) n i f i F ac 0 a 3 9 0,18 0,18 4 a ,38 0,56 8 a , 0,78 1 a ,14 0,9 16 a ,06 0,98 0 a 3 1 0,0 1,00 Total 50 1,00 -

14 Comandos do R para o histograma: manuten <-c(15,13,1, 9, 5, 5,10, 6,,, 9,10, 3, 4,,13,1,16, 7, 6, 4,11, 8, 6, 6,10,17,13, 9, 5,, 5, 9,14,15, 3, 6,18, 3, 4, 5, 7, 8, 3, 10, 5, 5, 4, 5, ) nclass.sturges(manuten) hist(manuten, col="bisque") hist(manuten, breaks="sturges", col="bisque") nclass.scott(manuten) hist(manuten, breaks="scott", col="bisque") nclass.fd(manuten) hist(manuten, breaks="fd", col="bisque") hist(manuten, breaks=7, col="bisque") hist(manuten, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- c(0.5,4.5,8.5,1.5,16.5,0.5,4.5) hist(manuten, breaks=h1, col="bisque") h <- c(1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,18.5,.5) hist(manuten, breaks=h, col="bisque")

15 Dados Contínuos: X = notas de avaliação de teste verbal aplicado em 87 alunos.,5,8,8 3, 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,1 4, 4,5 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,1 5, 5, 5, 5, 5, 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,8 5,9 5,9 5,9 5,9 6,0 6,1 6,1 6,1 6,1 6, 6, 6, 6,3 6,4 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,7 6,7 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,1 7, 7,3 7,5 k = [1 + 3,3*log 10 87] = [ 7,44 ] = 7 a 8 classes A = 7,5,5 = 5 h = 5/7 = 0,714 0,7 Com k = 7 classes: X i (nota) n i f i F ac, , 4 0,046 0,046 3, --- 3,94 5 0,057 0,103 3, ,66 8 0,09 0,195 4, ,38 0,53 0,448 5, , ,184 0,63 6, ,8 4 0,76 0,908 6, ,54 8 0,09 1,000 Total 87 1,000 -

16 Medidas Descritivas de Posição: 475,8 i) Média: x i = 475,8 x 5, ii) Mediana: Md x) x ( 5, 50 ( 44) 14 0,7 iii) Moda: Mo ( x) 4,66 5, 9 (14 )

17 Comandos do R para o histograma: verbal <- c(.5,.8,.8,3.,3.5,3.6,3.7,3.8,3.9, 4.0,4.1,4.1,4.1,4.1,4.,4.5,4.6,4.7,4.7,4.7, 4.7,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0,5.0,5.1,5.1,5.1,5., 5.,5.,5.,5.,5.3,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4,5.4, 5.4,5.5,5.5,5.5,5.6,5.7,5.7,5.8,5.9,5.9,5.9, 5.9,6.0,6.1,6.1,6.1,6.1,6.,6.,6.,6.3,6.4, 6.4,6.4,6.4,6.5,6.5,6.5,6.5,6.5,6.6,6.6,6.7, 6.7,6.7,6.7,6.8,6.9,6.9,7.0,7.0,7.1,7.,7.3, 7.5) hist(verbal, col="bisque") nclass.sturges(verval) hist(verbal, breaks="sturges", col="bisque") nclass.scott(verbal) hist(verbal, breaks="scott", col="bisque") nclass.fd(verbal) hist(verbal, breaks="fd", col="bisque") hist(verbal, breaks=7, col="bisque") hist(verbal, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h <- c(.50,3.,3.94,4.66,5.38,6.10,6.8,7.54) hist(verbal, breaks=h, col="bisque") boxplot(verbal, col="yellow", horizontal=false) boxplot(verbal, col="yellow") boxplot(verbal, plot=f)

18 Média, Moda e Mediana e a Simetria dos dados Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma. O que podemos dizer acerca desta distribuição de frequências em relação a sua simetria? Quando uma distribuição de frequências é simétrica, teremos que a Média, a Moda e a Mediana serão iguais, ou seja: x = Mo(x) = Md(x)

19 E quanto ao exemplo acima, como podemos classificálo em função da sua falta de simetria? Quando a distribuição não é simétrica, podemos distinguir duas situações possíveis (Figura 5): a) Quando a cauda superior da distribuição for mais alongada, puxando a distribuição para a direita. Neste caso, a média é maior do que a moda e a assimetria é dita à direita ou positiva. b) Quando a cauda inferior da distribuição for mais alongada, puxando a distribuição para a esquerda. Neste caso, a média é menor do que a moda e a assimetria é dita à esquerda ou negativa. Figura 5: Assimetrias à direita e à esquerda, respectivamente.

20 Relação entre média, moda e mediana i) A Média é sempre influenciada por valores extremos, sendo puxada na direção da cauda mais alongada (ver a seta na Figura 5); ii) A Moda é o elemento de maior frequência, sendo o ponto de máximo de f(x); iii) A Mediana está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ficando entre as duas medidas anteriores. Assim, para cada situação, teremos: a) Quando a simetria é perfeita as três medidas são iguais.

21 b) Na situação em que ocorre a assimetria à direita, teremos a moda menor do que a mediana que é menor do que a média. c) E, para a assimetria à esquerda, devemos ter a média menor do que a mediana que é menor do que a moda.

22 Sumário dos exemplos: I Representação gráfica para Variáveis Quantitativas II Histograma para variáveis contínuas no soft MINITAB III Tabela de freqüências e histograma para v. contínuas, no Excel IV Exemplo Estatísticas Descritivas de dados contínuos V Estatísticas Descritivas no soft MINITAB VI Estatísticas Descritivas no EXCEL VII Exemplos de Dados Agrupados VIII Representação gráfica para Variáveis Qualitativas IX Histogramas pelo número de observações

23 Gráfico de pontos no MINITAB Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas 0 30 Estatísticas descritivas no MINITAB Descriptive Statistics: horastv Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean horastv Variable Minimum Maximum Q1 Q3 horastv

24 Freqüência Freqüência II - Histograma para variáveis contínuas no MINITAB Histograma de horas de TV horas Outros limites Histograma de horas de TV horas III - Tabela de freqüências e histograma para v. contínuas, no Excel.

25 Freqüência Bloco Freqüência Mais Histograma Freqüência Mais Bloco

26 Dados do estudo sobre exposição à violência familiar de crianças em idade escolar ( grupos Expostos à violência e Não Expostos) IV - Exemplo Estatísticas Descritivas de dados contínuos: Variável: Renda PC por grupo (Exposto e Não Exposto) Grupo EXP Mediana: Md x) x ( 10 reais ( 8) - 1 o Quartil: Q 1 = x (4) = 100 reais - 3 o Quartil: Q 3 = x (1) = 160 reais Média: x x 134 reais n 15 - Variância: x s x nx ( n 1) (134) (15 1) s desvio-padrão: s s reais

27 Freqüência Box-plot renda per capita Grupo Exposto Grupo Exposto

28 Grupo NEXP Mediana: Md x) x ( 10 reais ( 8) - 1 o Quartil: Q 1 = x (4) = 184 reais - 3 o Quartil: Q 3 = x (1) = 0 reais 07 - Média: x x reais n 15 - Variância: x (147.13) x nx s ( n 1) (15 1) 14 s desvio-padrão: s s reais

29 Freqüência Box-plot renda per capita Grupo Não Exposto Grupo não Exposto ex <- c(68,96,100,100,11,11,117,10,10,135,150,160, 160,00,60) nex <- c(36,50,70,84,108,109,10,10,150,150,180,0, 50,60,300) renda <- c(ex,nex) gr <- c(rep("ex",length(ex)),rep("nex",length(nex))) boxplot(renda~gr, col=c("red3","green3"))

30 V - Estatísticas Descritivas no soft MINITAB Variável: Renda PC por grupo (Exposto e Não Exposto) Descriptive Statistics: EXP; NEXP Variable N Mean Median TrMean StDev SE_Mean EXP NEXP Variable Minimum Maximum Q1 Q3 EXP NEXP VI - Estatísticas Descritivas no EXCEL Variável: Renda PC por grupo (Exposto e Não Exposto) Exp Nexp Média Erro padrão Mediana Modo Desvio padrão Variância da amostra Curtose Assimetria Intervalo Mínimo Máximo Soma Contagem 15 15

31 VII Exemplos com Dados Agrupados Exemplo 1: dados coletados em entrevistas com 500 pessoas (a) variável número de divórcios por indivíduo (b) variável tempo (em anos) até o primeiro divórcio a) Variável discreta: tabela do número de divórcios por indivíduo. Divórcios = x i n i f i x i f i F ac n i x i ,480 0,480 0, ,50 0,500 0, ,16 0,486 0, ,096 0,384 0, ,01 0,060 1, Total 500 1,000 1, Média amostral: x x i f i = 1.91 divórcios Variância amostral: i s x nx ( n 1) (1.910) (500 1) s 1,06 divórcios Outra representação: Divórcios = x i n i f i x i f i F ac (x i x ) n i (x i x ) ,480 0,480 0,480-0, , ,50 0,500 0,730 0,090 1, ,16 0,486 0,89 1,090 96, ,096 0,384 0,988,090 09, ,01 0,060 1,000 3,090 57,886 Total 500 1,000 1,910 56,950 Média amostral: x Variância amostral: x i fi = 1.91 divórcios x x ( n 1) i s

32 b) Variável contínua: tabela do tempo até o primeiro divórcio. Anos ponto médio Casados x i n i f i x i f i F ac n i x i ,56 1,68 0, ,8,5 0, ,1 1,80 0, ,03 0,63 0, ,01 0,7 1, Total 500 1,00 6, Média amostral: x x i f i = 6.90 anos Variância amostral: (6.90) xi nx s ( n 1) (500 1) s 5.6 anos Anos = x i ptos. médios n i f i x i f i F ac (x i x ) n i (x i x ) ,56 1,68 0,56-3,9 458, ,8,5 0,84,1 617, ,1 1,80 0,96 8,1 3936, ,03 0,63 0,99 14,1 98, ,01 0,7 1,00 0,1 00,05 Total 500 1,00 6, Média amostral: x Variância amostral: x i fi = 6.90 anos x x ( n 1) i s

33 Exemplo : Escores GMAT (Graduate Management Apititude Test) aplicado num processo seletivo para a escolha de alunos num programa de graduação. Escores Pto. Médio x i n i f i x i f i n i x i ,035 11, ,08 30, ,1 90, ,8 134, ,176 9, ,118 67, ,047 9, ,047 31, Totais Histograma:

34 Medidas de dispersão (variabilidade): i) Variância amostral: s n i1 x i x n 1 s 1 n xi nx n 1 i1 ii) Quartis (quantis 5% e 75%): medidas que dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais de 5% cada 5% 5% 5% 5% Q 1 Q Q 3 Md(x) Amplitude interquartil Denotada por A Q, determina o tamanho da região em torno da mediana que contém 50% das observações: A Q = Q 3 Q 1

35 iii) O gráfico box-plot Representação gráfica da dispersão dos dados em torno da mediana Valores discrepantes Valores discrepantes Q 1 1.5A Q Q 1 Md(x) Q 3 Q A Q Procedimento para a construção do box-plot i) Construir a caixa ou box com os valores dos quartis Q 1 e Q 3 ; ii) Com uma linha, demarcar a mediana na caixa, dividindo-a em duas partes; iii) Calcular os limites inferior (L I ) e superior (L s ): - L I = Q 1 1.5A Q - L S = Q A Q Obs: valores da amostra menores do que L I ou maiores do que L S são identificados como valores discrepantes e destacados no box-plot com pontos além desses limites.

36 iv) Para os braços do box-plot, traçar linhas a partir dos centros das laterais inferior e superior da caixa, obedecendo ao seguinte critério: - se min(x) < L I, traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o limite L I e marcar os pontos discrepantes com símbolos (asteriscos) segundo a escala; - se min(x) L I, traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o limite o valor min(x); - se max(x) > L S, traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o limite L S e marcar os pontos discrepantes com símbolos (asteriscos) segundo a escala; - se max(x) L S, traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o limite o valor max(x);

37 VIII - Representação gráfica para Variáveis Qualitativas: Exemplo1: Pesquisa PNAD 004 Moradores por domicílio Brasil. a) Tabela de uma entrada: número de domicílios por região Região domicílios % SE ,8 NE ,3 SE ,8 CO , NE , ,0 b) Tabela de dupla entrada: moradores/dom. por região (dados brutos) MOR. Brasil N NE SE S CO OU Total b) Tabela de dupla entrada: moradores/dom. por região (porcentagens) MOR. Brasil N NE SE S CO 1 10,5 8, 9,1 11,3 10,9 11,3 19,4 14, 16,4 0,8,7 19,7 3 3,4 1,0 1,3 4,3 5,7,5 4 3,4,,4 3,9 3,0 5,3 5 1,5 14,9 14, 11,6 11, 1, 6 5,6 8,7 7,6 4,7 3,9 5,1 7,5 4,5 4,1 1,8 1,6,0 8 OU +,7 6, 4,9 1,6 1,0 1,8 Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

38 Gráfico de setores (pizza): número de domicílios por região Região Domic. (freq) proporção ângulo SE , NE ,53 91 SE , CO ,07 6 NE , Para achar o ângulo, deve-se usar a relação: 100% = 360 o. - Portanto, se uma categoria tem proporção de 0,447, então, basta multiplicar 0,447 por 360 o para encontrar o ângulo correspondente (regra de três). Logo: 0, o = 161 o 0, o = 6 o 0, o = 91 o 0, o = 5 o 0, o = 57 o Domicílios por região 16% 7% 7% 45% SE NE S CO N 5%

39 Domicílios por região 45% 7% SE NE S 7% CO N 16% 5% Gráfico de colunas: 5 Moradores por domicílio - regiões SE e N N SE

40 Exemplo: Notas de Português por grupo de estudantes expostos à violência familiar (grupos Expostos e Não Expostos). Nota Expostos Não Expostos Port. n i % ângulo n i % ângulo I 5 33% 119 o 3 0% 74 o S 8 54% 194 o 6 40% 144 o PS 5 13% 47 o 6 40% 144 o I = Insatisfatória, S = Satisfatória e PS = Plenamente Satisfatória a) Gráfico de colunas: Notas de Português I S PS 0.0 Exposto Não Exposto Notas de Português Exposto Não Exposto I S PS

41 b) Gráfico de setores (pizza): Notas de Português - Grupo Exposto I 33% S 54% PS 13% Notas de Português - Grupo Não Exposto PS 40% I 0% S 40%

42 Exemplos A) Dados DISCRETOS não agrupados: X = variável representando o número de vezes que um sistema travou, por período de execução, na sua carga máxima de processamento Medidas de tendência central mais comuns, no Excel: a) Média aritmérica... =MÉDIA(A1:A5) b) Mediana... =MED(A1:A5) c) Moda... =MODO(A1:A5) d) Média geométrica... = MÉDIA.GEOMÉTRICA(A1:A5) e) Média harmônica... = MÉDIA.HARMÔNICA(A1:A5) Para construir Tabelas de Frequências no Excel i) marcar os dados; ii) selecionar > Inserir > Tabela Dinâmica ; iii) arrastar X para a margem esquerda e centro da tabela; iv) clicar com o botão direito sobre a coluna Total, selecionar > Resumir Dados por e marcar a opção Contagem ; v) inserir as colunas e concluir a tabela, atentando para que os cálculos sejam feitos corretamente. Tabela de Frequências: X n i f i F ac 1 3 0,1 0,1 5 0,0 0, ,4 0, ,4 0, ,1 0,9 6 0,08 1,00 Total 5 1,00

43 Para construir Gráfico de Frequência (Histograma) no Excel i) marcar os dados; ii) selecionar > Inserir > Gráficos > Colunas ; iii) acertar as configurações para melhor visualização do gráfico: - título (tipo de fonte e tamanho); - eixos (fontes e espaçamentos); - linhas de grade; - espaçamento (clicar numa das colunas do gráfico e selecionar > Formatar > Séria de Dados e definir Largura do Espaçamento no máximo Intervalo Grande. Para construir Gráfico de Frequência Acumulada: - digitar a tabela de forma a construir um gráfico XY.

44 B) Dados DISCRETOS agrupados: X = variável representando o número de dias em manutenção de equipamentos de uma empresa X n i X (dias) n i f i F ac 5 01 a ,18 0, a ,34 0, a ,16 0, a 1 6 0,1 0, a ,1 0, a ,06 0, a 1 1 0,0 1, Total 05 1, Total 50

45 Construindo a Tabela de Frequência e o Histograma no Excel i) > Dados > Análise de Dados > Histograma > OK ; ii) Marcar as opções: - Intervalo de entrada => conjunto de dados para a tabela; - Intervalo do bloco => coluna com os limites das classes da tabela; - Intervalo de saída => local onde a tabela será colocada; - marcar Porcentagem cumulativa para obter a freqüência acumulada F ac ; - marcar Resultado do gráfico para obter o Histograma; (Ver resultado na planilha) ** Ver a saída da opção Estatística Descritiva e comparar com o MINITAB.

46 C) Dados CONTÍNUOS: Exemplo: Em 1798 o cientista Henry Cavendish mediu a densidade do glogo terrestre em 9 ensaios. Os dados foram obtidos do Annals os Statistics, X = densidade do globo terrestre (g/cm 3 ). 5,50 5,61 4,88 5,07 5,6 5,55 5,36 5,9 5,58 5,65 5,57 5,53 5,6 5,9 5,44 5,34 5,79 5,10 5,7 5,39 5,4 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 Dados ordenados 4,88 5,07 5,10 5,6 5,7 5,9 5,9 5,30 5,34 5,34 5,36 5,39 5,4 5,44 5,46 5,47 5,50 5,53 5,55 5,57 5,58 5,61 5,6 5,63 5,65 5,68 5,75 5,79 5,85 x 157, 99 x 86, 09