Figura 1: Gráfico de pontos.

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1 4. Representação gráfica para variáveis quantitativas Gráfico de pontos O gráfico de pontos é a primeira representação da amostra, fornecendo um aspecto visual da concentração e distribuição dos pontos na nossa escala de medidas. No exemplo abaixo, percebemos o conjunto de dados concentrado na primeira metade da escala, com uma grande concentração entre os valores 2.5 e 7.5, e uma dispersão mais acentuada no lado superior (direito) da distribuição, com valores chegando a Esta dispersão indica uma forte assimetria na cauda superior da distribuição (assimetria à direita). Figura 1: Gráfico de pontos.

2 Histograma Uma forma prática de representação gráfica para dados quantitativos (em especial dados contínuos) é dada pelo histograma, no qual, representamos as frequências de uma tabela por barras adjacentes para cada intervalo de classe. Tabela 1: Tabela de frequências com k = 7 classes: Classe (X i ) n i f i Total 250 1,000 Figura 2: Histograma (sobre o gráfico de pontos).

3 O polígono de frequências Marcando o ponto médio de cada retângulo do histograma na sua na parte superior e ligando esses pontos, teremos uma figura que chamaremos de Polígono de Frequências (Figura 3). Figura 3: Polígono de frequências.

4 Distribuição de frequências As linhas retas que compõem o polígono de frequências são uma aproximação rudimentar para uma curva que representa uma Distribuição de Frequências. Essa distribuição é descrita por uma função f(x), contínua e diferenciável, definida num intervalo dos reais, a qual será denotada por função distribuição de probabilidades ou fdp (Figura 4). Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.

5 4.1. Representação gráfica para dados discretos Um pesquisador contou o número de ervilhas/vagem em 60 vagens coletadas aleatoriamente num canteiro de sua plantação, tendo obtido os seguintes dados: Dados ordenados Vamos construir uma tabela com as contagens e frequências relativas do número de ervilha/vagem Tabela 2: Distribuição de frequências para o número de ervilha por vagem. Freq. Freq. Freq. Ervilhas por absoluta relativa acumulada vagem n i f i F ac Totais Um gráfico para representar as frequências da variável número de ervilhas por vagem é dado a seguir:

6 Figura 5: Gráfico de frequências para a variável número de ervilhas por vagem (feito no R). Também podemos representar a distribuição acima por um gráfico de barras contínuas (histograma), porém, o mais apropriado seria a primeira forma uma vez que os dados são discretos. Figura 6: Histograma para a variável número de ervilhas por vagem (feito no Excel)

7 4.2. Representação gráfica para dados contínuos Seja a variável horas gastas por semana assistindo TV, referentes aos alunos do primeiro ano do curso de engenharia: Dados ordenados: Descriptive Statistics: horastv Estatísticas descritivas no MINITAB Variable N Mean Median StDev SE Mean horastv Variable Minimum Maximum Q1 Q3 horastv Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas Figura 7: Gráfico de pontos (feito no Minitab).

8 Como construir a tabela de frequências? Para variáveis contínuas vamos utilizar a regra de Sturges. a) Número de classes: seja k o número de classes, então, k é determinado por: k log10( n), em que a função [.] indica o maior inteiro contido que, na prática, representa o truncamento do valor obtido. b) Amplitude de classe: denotada por h, é dada por: Seja A max min x( n) x(1), a amplitude da amostra, então, h A k Obs: normalmente o resultado da expressão acima não é inteiro, por isso, o valor de h deve ser arredondado (convenientemente) para cima. Exemplo: Seja a variável: horas gastas por semana assistindo TV. Como n = 50, temos log10(50) k classes, 30 0 h 5h. 6

9 Tabela 3: Distribuição de frequências de horas TV, com k = 6 classes e h = 5h. Freq. Freq. Freq. Horas TV absoluta relativa acumulada classes n i f i F ac Totais Figura 8: Histograma de horas TV, com k = 6 classes e amplitude h = 5h (feito no R).

10 Notas: 1) Observe que o valor 30 foi incluído na última classe, para que não seja criada uma nova classe; 2) Isto se deve pela forma como foi calculada a amplitude de classes h e pelo fato dos intervalos serem fechados à esquerda e abertos à direita. Para contornar esse fato, podemos aumentar ligeiramente o valor de h (e de forma conveniente) para que os extremos fiquem contidos na amplitude total das classes. Para o exemplo o limite inferior deve ser 0 pela natureza da variável, mas o valor de h pode ser aumentado em 0.5 unidades, levando o limite superior a Tabela 4: Distribuição de frequências de horas TV, com k = 6 classes e h = 5.5h. Freq. Freq. Freq. Horas TV absoluta relativa acumulada classes n i f i F ac Totais

11 Freqüência Histograma de horas de TV horas Figura 9: Histograma de horas TV, com k = 6 classes e amplitude h = 5.5h (feito no Minitab) Regras para a escolha do número de classes k Existem diversas propostas para a determinação do número de classes k. A regra de Sturges é a mais popular delas, estando implementada em diversos softwares tal como o R-gui. A seguir apresentaremos outras maneiras para se definir o número de classes de um histograma. a) Sturges: k log10( n) em que [.] indica a função maior inteiro contido. b) Raiz quadrada: pela regra da raiz quadrada, se: se n 100 k n se n > 100 k 5log( n) c) Velleman (1976): se n 50 k 2 n

12 Outros autores, ainda, criaram procedimentos que primeiro determina a amplitude das classes h, após o que, o número de classes é determinado pela relação A k. h A ideia por trás desses procedimentos consiste em obter uma melhor visualização para o histograma. Mais detalhes podem ser obtidos no link:

13 Freqüência Exemplos: a) Excel: Tabela de frequências e histograma para variáveis contínuas, no Excel. Bloco Frequência Mais 2 Histograma Freqüência Mais Bloco Figura 10: Histograma de horas TV, com k = 6 classes e amplitude h = 5.5h (feito no Excel).

14 b) Dados discretizados: Uma grande companhia está preocupada com o tempo que seus equipamentos ficam em manutenção na assistência técnica. Sendo assim, fez um levantamento do tempo de manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais detalhado. X = dias em manutenção de equipamentos Dados Ordenados: Tabela de frequências: k = [ log 10 50] = [ 6.64 ] = 6 a 7 classes A = 21 2 = 19 h = 19/6 =

15 Com k = 7 classes: X i (dias) n i f i F ac 2 a a a a a a a Total Figura 11: Histograma de dias de manutenção, dados discretizados (feito no Excel).

16 Figura 12: Gráfico frequências acumuladas de dias de manutenção (feito no Excel). Medidas Descritivas de Posição: 392 i) Média: x i = 392 x dias 50 x(25) x(26) 6 6 ii) Mediana: Md(x) = dias iii) Moda: Mo(x) = 5 dias aparece 8 vezes na amostra.

17 Com k = 6 classes: X i (dias) n i f i F ac 0 a a a a a a Total Figura 13: Histograma de dias de manutenção, (k = 6) dados discretizados (feito no Excel).

18 Comandos do R-gui para o histograma: x <-c(15, 13, 21, 9, 5, 5, 10, 6, 2, 2, 9, 10, 3, 4, 2, 13, 12, 16, 7, 6, 4, 11, 8, 6, 6, 10, 17, 13, 9, 5, 2, 5, 9, 14, 15, 3, 6, 18, 3, 4, 5, 7, 8, 3, 10, 5, 5, 4, 5, 2) # pela regra de Sturges ####################### nclass.sturges(x) hist(x, col="bisque") hist(x, breaks="sturges", col="bisque") # pela regra de Scott ##################### nclass.scott(x) hist(x, breaks="scott", col="bisque") # pela regra de Fridman-Diacomis ################################ nclass.fd(x) hist(x, breaks="fd", col="bisque") hist(x, breaks=7, col="bisque") hist(x, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- c(0.5,4.5,8.5,12.5,16.5,20.5,24.5) hist(x, breaks=h1, col="bisque") h2 <- c(1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,18.5,22.5) hist(x, breaks=h2, col="bisque")

19 c) Dados contínuos: X = notas de avaliação de teste verbal aplicado em 87 alunos k = [ log 10 (87)] = [ 7.44 ] = 7 a 8 classes A = = 5 h = 5/7 = Com k = 7 classes: X i (nota) n i f i F ac Total

20 Figura 11: Histograma de nota de avaliação verbal, (feito no Excel). Medidas descritivas de posição: i) Média: x i = x ii) Mediana: Md x) x ( ( 44) iii) Moda: Mo (x) 5.2 e 6.5 (bimodal)

21 Comandos do R para o histograma: v <- c(2.5, 2.8, 2.8, 3.2, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 4.0, 4.1, 4.1, 4.1, 4.1, 4.2, 4.5, 4.6, 4.7, 4.7, 4.7, 4.7, 4.8, 4.8, 4.9, 4.9, 5.0, 5.0, 5.1, 5.1, 5.1, 5.2, 5.2, 5.2, 5.2, 5.2, 5.3, 5.3, 5.3, 5.3, 5.4, 5.4, 5.4, 5.4, 5.5, 5.5, 5.5, 5.6, 5.7, 5.7, 5.8, 5.9, 5.9, 5.9, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.2, 6.2, 6.3, 6.4, 6.4, 6.4, 6.4, 6.5, 6.5, 6.5, 6.5, 6.5, 6.6, 6.6, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.8, 6.9, 6.9, 7.0, 7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.5) hist(v, col="bisque") # pela regra de Sturges ####################### Nclass.Sturges(v) hist(v, breaks="sturges", col="bisque") # pela regra de Scott ##################### nclass.scott(v) hist(v, breaks="scott", col="bisque") # pela regra de Fridman-Diaconis ################################ nclass.fd(v) hist(v, breaks="fd", col="bisque") hist(v, breaks=7, col="bisque") hist(v, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h <- c(2.50,3.22,3.94,4.66,5.38,6.10,6.82,7.54) hist(v, breaks=h, col="bisque") boxplot(v, col="yellow2", horizontal=false) boxplot(v, col="yellow2") boxplot(v, plot=f)

22 4.3. Média. moda, mediana e a simetria dos dados Figura 12: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma. O que podemos dizer acerca desta distribuição de frequências em relação a sua simetria? Quando uma distribuição de frequências é simétrica, teremos que a média, a moda e a mediana serão iguais, ou seja: x = Mo(x) = Md(x)

23 E quanto ao exemplo acima, como podemos classificá-lo em função da sua falta de simetria? Quando a distribuição não é simétrica, podemos distinguir duas situações possíveis a) Quando a cauda superior da distribuição for mais alongada, puxando a distribuição para a direita. Neste caso, a média é maior do que a moda e a assimetria é dita à direita ou positiva. b) Quando a cauda inferior da distribuição for mais alongada. puxando a distribuição para a esquerda. Neste caso, a média é menor do que a moda e a assimetria é dita à esquerda ou negativa. Figura 13: Assimetrias à direita e à esquerda, respectivamente.

24 Relação entre média, moda e mediana i) A Média é sempre influenciada por valores extremos, sendo puxada na direção da cauda mais alongada; ii) A Moda é o elemento de maior frequência, sendo o ponto de máximo de f(x); iii) A Mediana está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ficando entre as duas medidas anteriores. Assim, para cada situação, teremos: a) Quando a simetria é perfeita as três medidas são iguais.

25 b) Na situação em que ocorre a assimetria à direita, teremos a moda menor do que a mediana que é menor do que a média. c)e, para a assimetria à esquerda, devemos ter a média menor do que a mediana que é menor do que a moda.

26 Relação empírica entre média, moda e mediana Karl Pearson, metemático famoso, no final do século XIX e início do XX, observou empiricamente, a seguinte relação entre as três medidas de posição média mediana e moda. x mo( x) 3 x med ( x) Observações: i) A relação só se aplica à distribuições com boa simetria; ii) Só é valida para casos unimodais; iii) Depende de um tamanho de amostra n elevado Moda de Czuber Figura 14: Cálculo da moda de Czuber

27 Distribuição de frequências de horas TV, Freq. Freq. Freq. Horas TV absoluta relativa acumulada classes n i f i F ac Totais mo CZ ( x) (3 5) O gráfico box-plot Representação gráfica da dispersão dos dados em torno da mediana Valores discrepantes Valores discrepantes Q 1 1.5A Q Q 1 x ~ Q 3 Q A Q

28 Procedimento para a construção do box-plot i) Construir a caixa ou box com os quartis Q 1 e Q 3 ; ii) Com uma linha, demarcar a mediana, dividindo a caixa em duas partes; iii) Calcular os limites inferior (L I ) e superior (L s ): - L I = Q 1 1.5A Q - L S = Q A Q Os valores da amostra menores do que L I ou maiores do que L S são identificados como valores discrepantes e destacados no box-plot com pontos além desses limites. iv) Para os braços do box-plot, traçar linhas a partir dos centros das laterais inferior e superior da caixa até os valores mais afastados que não sejam discrepantes, ou seja: - traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o menor valor que não seja discrepante e marcar os pontos discrepantes (menores do que L I ); - traçar uma linha da lateral superior da caixa até o maior valor que não seja discrepante e marcar os pontos discrepantes (menores do que L S ); Exemplo: Seja a variável: horas gastas por semana assistindo TV. 10 Q 5 14 E 0 30

29 Figura 15: Box-plot para a variável horas de TV Comandos do R para o box-plot: x <- c( 0, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 18, 20, 20, 20, 25, 25, 28, 30) boxplot(x, col="bisque", main="horas assistindo TV", ylab="horas", pch=19)

30 Exemplo: Dados do estudo sobre exposição à violência familiar de crianças em idade escolar (2 grupos Expostos à violência e Não Expostos) Variável: Renda PC grupo (Exposto e Não Exposto) Grupo: EXP Mediana: Md x) x ( 120 reais ( 8) - 1 o Quartil: Q 1 = x (4) = 100 reais - 3 o Quartil: Q 3 = x (12) = 160 reais Média: x x 134 reais n Variância: x s x nx ( n 1) (134) (15 1) s Desvio-padrão: s s reais

31 Freqüência Box-plot renda per capita Grupo Exposto Figura 16: Box-plot renda, grupo exposto Grupo Exposto Figura 17: Histograma renda, grupo exposto

32 Grupo NEXP Mediana: Md x) x ( 120 reais ( 8) - 1 o Quartil: Q 1 = x (4) = 184 reais - 3 o Quartil: Q 3 = x (12) = 220 reais Média: x x reais n Variância: x (147.13) x nx s ( n 1) (15 1) 14 2 s Desvio-padrão: s s reais

33 Freqüência Box-plot renda per capita Grupo Não Exposto Figura 18: Box-plot renda, grupo não exposto Grupo não Exposto Figura 19: Histograma renda, grupo não exposto

34 Figura 20: Box-plot renda, comparativo entre os grupos exposto e não exposto Comandos do R-gui para o box-plot comparativo ex <- c( 68, 96,100,100,112,112,117,120,120,135,150, 160,160,200,260) nex <- c( 36, 50, 70, 84,108,109,120,120,150,150,180, 220,250,260,300) renda <- c(ex,nex) gr <- c(rep("ex",length(ex)),rep("nex",length(nex))) boxplot(renda~gr, col=c("red3","green3"))

35 Exemplo: Dados simulados do tempo de uma reação química em função do tipo do catalisador. Comandos do R para o exemplo # Entrada dos dados ################### Cat.A <- c(77.9,72.6,74.2,76.1,77.8,81.9,83.2,76.3,79.3,77.2,90.8, 79.7,79.7,80.4,84.4,81.7,80.0,71.5,73.4,81.7,71.5,70.9, 85.1,84.0,63.4) Cat.B <- c(87.4,89.3,99.4,100.2,99.4,85.6,102.2,94.7,92.4,89.4, 91.9,88.9,98.0,99.8,91.9,99.1,95.9,89.4,90.5,91.4,87.6, 89.7,92.5,77.4,90.8) Cat.C <- c(89.4,84.2,86.2,82.2,83.4,87.0,82.3,81.9,86.4,80.7,83.2, 87.6,88.9,84.2,85.1,83.8,85.2,88.1,84.2,87.1,87.6,87.3, 85.1,85.6,96.7) Cat.D <- c(84.6,92.3,85.7,88.1,85.5,98.0,98.1,86.5,89.3,93.4,91.2, 93.7,97.3,79.5,94.6,87.9,87.4,88.2,97.3,92.2,98.5,94.5, 93.3,92.8,94.4) # Estatísticas descritivas ########################## medias <- round(c(mean(cat.a), mean(cat.b), mean(cat.c), mean(cat.d)),3) desvios <- round(c(sd(cat.a),sd(cat.b),sd(cat.c),sd(cat.d)),4) quantis <- rbind(quantile(cat.a), quantile(cat.b), quantile(cat.c), quantile(cat.d)) descr <- cbind(medias, desvios, quantis) dimnames(descr)[1] <- list(c("catalisador A","Catalisador B","Catalisador C","Catalisador D")) dimnames(descr)[2] <- list(c("média","d.padrão","min.", "Q1", "Mediana", "Q3","Max.")) dimnames(descr)[1] <- list(c("catalisador A","Catalisador B", "Catalisador C","Catalisador D")) descr Média D.Padrão Min. Q1 Mediana Q3 Max. Catalisador A Catalisador B Catalisador C Catalisador D

36 # box-plot comparativo ###################### tempo <- c(cat.a, Cat.B, Cat.C, Cat.D) ni <- length(cat.a) cat <- c(rep("catalisador A",ni), rep("catalisador B",ni), rep("catalisador C",ni), rep("catalisador D",ni)) boxplot(tempo ~ cat, col=c("green4","blue3","red3","yellow3", main="tempo de reação x catalisador"), ylab="tempo de reação", cex=0.8)

37 4.5. Estatísticas descritivas para dados agrupados Exemplo 1: dados coletados em entrevistas com 500 pessoas a) variável número de divórcios por indivíduo b) variável tempo (em anos) até o primeiro divórcio a) Variável discreta: tabela do número de divórcios por indivíduo. Divórcios = x i n i f i x i f i F ac 2 n i x i Total Média amostral: x x i f i = 1.91 divórcios Variância e desvio-padrão amostrais: (1.910) xi nx s ( n 1) (500 1) s 1.06 divórcios Outra forma de representação: Divórcios = x i n i f i x i f i F ac (x i x ) n i (x i x ) Total Média amostral: x Variância amostral: x i fi = 1.91 divórcios x x ( n 1) 2 s i

38 b) Variável contínua: tabela do tempo até o primeiro divórcio. Anos ponto médio Casados x i n i f i x i f i F ac 2 n i x i Total Média amostral: x x i f i = 6.90 anos Variância e desvio-padrão amostrais: (6.90) xi nx s ( n 1) (500 1) s 5.26 anos Outra forma de representação: Anos = x i ptos. médios n i f i x i f i F ac (x i x ) n i (x i x ) Total Média amostral: x Variância amostral: x i fi = 6.90 anos x x ( n 1) 2 s i

39 Exemplo 2: Escores GMAT (Graduate Management Apititude Test) aplicado num processo seletivo para a escolha de alunos num programa de graduação. Escores Pto. Médio x i n i f i F ac x i f i n i x i Totais Histograma:

40 Pela interpolação linear (ou semelhança de triângulos), temos: a) Q (0.133) Q b) ~ x ~ 50(0.171) x c) Q (0.139) Q

41 4.6. Representação gráfica para variáveis qualitativas Exemplo 1: Pesquisa PNAD 2004 Moradores por domicílio Brasil. a) Tabela de uma entrada: número de domicílios por região Região Domicílios % SE NE S CO N b) Tabela de dupla entrada: moradores/dom, por região (dados brutos) Moradores Região por domicílio N NE SE S CO ou Total

42 Tabela de dupla entrada: moradores/dom, por região (porcentagens) Moradores por domicílio Região N NE SE S CO OU Total c) Gráfico de setores (pizza): número de domicílios por região Região Domicílios proporção ângulo SE NE S CO N Para achar o ângulo, deve-se usar a relação: 100% = 360 o. - Portanto, se uma categoria tem proporção de 0.447, basta multiplicar por 360 o para encontrar o ângulo correspondente (regra de três). Logo: o = 161 o o = 26 o o = 91 o o = 25 o o = 57 o

43 Domicílios por região 16% 7% 7% 25% 45% SE NE S CO N

44 d) Gráfico de colunas:

45 Exemplo 2: Variável: Notas de português por grupo de estudantes expostos à violência familiar. Nota português Expostos Não expostos n i % ângulo n i % ângulo I 5 33% 119 o 3 20% 74 o S 8 54% 194 o 6 40% 144 o PS 5 13% 47 o 6 40% 144 o I = Insatisfatória, S = Satisfatória e PS = Plenamente Satisfatória a) Gráfico de colunas: Perfil por grupo Perfil por nota

46 b) Gráfico de setores (pizza):