Estatística: é uma medida numérica, que descreve uma característica da amostra. A Estatística é uma função da amostra: S = f(x 1, X 2,...

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1 3. ANÁLISE DESCRITIVA DE DADOS 3.1. Conceitos: Parâmetro Populacional: normalmente denotado por, é uma característica populacional de interesse, que pode ser expressa através de uma quantidade numérica. Normalmente é desconhecido e fixo. Estatística: é uma medida numérica, que descreve uma característica da amostra. A Estatística é uma função da amostra: S = f(x 1, X 2,..., X n ) X 1, X 2,..., X n representam as n observações da amostra média amostral: Exemplos de estatísticas variância amostral: X n X i 1 n i s 2 n i 1 X i X n 1 2 min = valor mínimo da amostra denotado por X (1) max = valor máximo da amostra denotado por X (n) PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS Nome ESTATÍSTICA PARÂMETRO (Amostra) (População) Média X Variância s 2 2 Correlação r X,Y X,Y Proporção pˆ p

2 Variável: característica desconhecida, que pode variar de um indivíduo para outro da população e que, ao ser observada ou mensurada, gera uma única resposta. Tipos de variáveis: a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS. Podem ser classificadas em: i) ORDINAIS, quando obedecem a uma ordem natural ou ii) NOMINAIS, quando não obedecem nenhuma ordem. b) Variáveis quantitativas: variáveis cujos possíveis resultados são valores numéricos resultantes de mensuração ou contagem. Podem ser classificadas em: i) DISCRETAS, quando assumem valores inteiros, ou ii) CONTÍNUAS, quando assumem valores reais.

3 3.2. Representação de variáveis quantitativas em tabelas e gráficos O gráfico de pontos é a primeira representação da amostra, fornecendo um aspecto visual da concentração e distribuição dos pontos na nossa escala de medidas. No exemplo abaixo, percebemos o conjunto de dados concentrado na primeira metade da escala, com uma grande concentração entre os valores 2,5 e 7,5, e uma dispersão mais acentuada no lado superior (direito) da distribuição, com valores chegando a 17,5. Esta dispersão indica uma forte assimetria na cauda superior da distribuição (assimetria à direita). Figura 1: Gráfico de pontos.

4 Uma forma prática de representação gráfica para dados quantitativos (em especial dados contínuos) é dada pelo histograma, no qual, representamos as frequências de uma tabela por barras adjacentes em intervalos de classes. Tabela 1: Tabela de frequências com k = 7 classes: Classe (X i ) n i f i 0, ,5 34 0, ,0 74 0,296 5, ,5 86 0,344 7, ,0 30 0,120 10, ,5 16 0,064 12, ,0 5 0,020 15, ,5 5 0,020 Total 250 1,000 Figura 2: Histograma sobre o gráfico de pontos.

5 O Polígono de Frequências Marcando o ponto médio de cada retângulo do histograma na sua na parte superior e ligando esses pontos, teremos uma figura que chamaremos de Polígono de Frequências (Figura 3). Figura 3: Polígono de frequências. As linhas retas que compõem o polígono de frequências são uma aproximação rudimentar para uma curva que representa uma Distribuição de Frequências. Essa distribuição é descrita por uma função f(x), contínua e diferenciável, definida num intervalo dos reais, a qual será denotada por função distribuição de probabilidades ou fdp (Figura 4).

6 Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.

7 Tabelas de frequências de variáveis quantitativas Para a representação de dados quantitativos em tabelas utiliza-se a mesma notação usada para dados qualitativos, porém, nesse caso os dados são agrupados em intervalos de classes: n = tamanho da amostra ou frequência absoluta total; k = número de classes; n i = frequência absoluta da i-ésima classe, i = 1, 2,..., k; k n i 1 i f i = frequência relativa da i-ésima classe, i = 1, 2,..., k; n k k f i n i, tal que: f i i 1 n n i 1 n i 1 Representação das frequências das categorias da variável qualitativa numa tabela com as frequências absolutas e relativas. Classes Freq. absolutas Freq. relativas Classe 1 n 1 f 1 = n 1 / n Classe i n i f i = n i / n Classe k n k f k = n k / n Totais n 1 Um fato importante agora é a determinação do número de classes k, que deve ser feita levando-se em conta a quantidade total de informação ou frequência absoluta n.

8 i) Regras para o número de classes k Diversos autores indicam regras diferentes para a determinação do número de classes para uma distribuição de frequências e, consequentemente, o histograma. Na tabela abaixo, são apresentados as principais regras encontradas na literatura que levem em conta apenas o tamanho da amostra n. Tabela 2: Regras para o número de classes de uma distribuição de frequências. Regra Raiz quadrada de n k n Raiz quadrada de 2n k 2n Regra do Logaritmo natural k 3 ln n Sturges k log10 n Propriedades Apropriado como valor inicial, fornece valores baixos para n pequeno (n < 50). Pode ser indicado para valores de n entre 80 e 120. Apropriado para valores baixos de n, cresce muito rápido para valores moderados (n > 50). Não é indicado para n > 80. Muito parecido com o método de Sturges, fornece valores ligeiramente maiores para n pequeno, porém a situação se inverte para n >120. Indicado para valores elevados de n. O método mais consagrado fornece valores baixos para n pequeno, e cresce muito devagar. Indicado para valores elevados de n.

9 De maneira geral, é indicado bom senso na determinação do número de classes de um histograma. O número de classes deve ser moderado. Como há um agrupamento de valores nas classes, há perda de informação. Se o número de classes for muito grande ocorre uma perda menor de informação, mas a eficiência do resumo fica prejudicada; Um número muito pequeno de classes resume demais e ocorre perda excessiva de informação. Tabela 3: Número indicado de classes num histograma. n classes até 50 5 a a a a a a a a a ou mais 20 a 40 Fonte: Sistema Galileu, ESALQ/USP

10 Histograma para dados Contínuos Exemplo 1: Altura (em metros) dos alunos da turma B de Bioestatística no primeiro semestre de X = altura dos alunos (em metros). 1,62 1,60 1,60 1,65 1,60 1,73 1,78 1,72 1,62 1,58 1,65 1,81 1,62 1,63 1,67 1,65 1,80 1,75 1,80 1,70 1,65 1,80 1,76 1,60 1,57 1,65 1,70 1,73 1,75 1,65 1,70 1,66 1,74 1,51 1,63 1,55 1,58 1,56 1,80 1,75 1,67 1,58 1,77 Dados ordenados 1,51 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,62 1,62 1,62 1,63 1,63 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,67 1,67 1,70 1,70 1,70 1,72 1,73 1,73 1,74 1,75 1,75 1,75 1,76 1,77 1,78 1,80 1,80 1,80 1,80 1,81 Construindo a tabela de frequências: a) Número de classes (fórmula de Sturges): k = 1 + 3,32 log 10 (n) k = 1 + 3,32 log 10 (43) = 6,43 = 7 classes (6 ou 7) b) Amplitude da classe: 0,30 A = 1,51 1,81 = 0,30 h 0, Podemos arredondar h para 0,043 ou para um valor mais apropriado, no caso 0,05.

11 c) Tabela de frequências: Classe (m) n i f i F ac 1,50 [--- 1,55 1 0, ,55 [--- 1,60 6 0, ,60 [--- 1,65 9 0, ,65 [--- 1,70 9 0, ,70 [--- 1,75 7 0, ,75 [--- 1,80 6 0, ,80 [--- 1,85 5 0, Total 43 1, Figura 5: Histograma feito no Excel

12 Histograma feito no R. Comandos do R para histograma: # inserindo os dados altura <- c(1.51,1.55,1.56,1.57,1.58,1.58,1.58,1.60, 1.60,1.60,1.60,1.62,1.62,1.62,1.63,1.63,1.65,1.65, 1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.67,1.70,1.70,1.70, 1.72,1.73,1.73,1.74,1.75,1.75,1.75,1.76,1.77,1.78, 1.80,1.80,1.80,1.80,1.81) # construindo o histograma com diferentes formatações nclass.sturges(altura) hist(altura, col="bisque", right=f) hist(altura, breaks="sturges", col="bisque", right=f) hist(altura, breaks="sturges", right=f, plot=f) # construindo o histograma com diferentes critérios # para o número de classes nclass.scott(altura) hist(altura, breaks="scott", right=f, col="bisque") nclass.fd(altura) hist(altura, breaks="fd", right=f, col="bisque")

13 # definindo os intervalos para o histograma # 1º. Caso: h1 <- seq(1.50, 1.85, by=0.05) hist(altura, breaks=h1, right=f, col="bisque") hist(altura, breaks=h1, right=f, plot=f) # 2º. Caso: h2 <- seq(1.51,1.81, by=0.05) hist(altura, breaks=h2, right=f, col="bisque") hist(altura, breaks=h2, right=f, plot=f)

14 Exemplo 2: Medidas do ph em precipitação pluviométrica durante o período de 20/12/1973 a 23/05/1974 no nordeste dos Estados Unidos. X = medida do ph em amostras de chuva. Dados ordenados 4,12 4,12 4,26 4,26 4,29 4,30 4,31 4,39 4,39 4,40 4,41 4,45 4,52 4,56 4,57 4,60 4,63 4,64 4,73 4,82 5,08 5,29 5,51 5,62 5,67 5,78 a) Número de classes (fórmula de Sturges): k = 1 + 3,322 log 10 (26) = 5,70 = 6 classes (5 ou 6) b) Amplitude da classe: 1,66 A = 5,78 4,12 = 1,66 h 0, 28 6 c) Tabela de frequências: Classe - ph n i f i F ac 4,12 [--- 4,40 9 0,346 0,346 4,40 [--- 4,68 9 0,346 0,692 4,68 [--- 4,96 2 0,077 0,769 4,96 [--- 5,24 1 0,038 0,807 5,24 [--- 5,52 2 0,077 0,884 5,52 [--- 5,80 3 0,115 0,999 Total 26 0,999 * - * o valor ocorreu devido ao arredondamento na precisão considerada (3 casas).

15 Frequencia Histograma do ph da chuva ph Comandos do R para histograma: # inserindo os dados ph <- c(4.57,5.62,4.12,5.29,4.64,4.31,4.30,4.39, 4.45,5.67,4.39,4.52,4.26,4.26,4.40,5.78,4.73, 4.56,5.08,4.41,4.12,5.51,4.82,4.63,4.29,4.60) # construindo o histograma hist(ph, breaks="sturges", right=f, col="bisque") hist(ph, breaks="sturges", right=f, plot=f) # definindo os intervalos para o histograma # 1º. Caso: h1 <- seq(4.12, 5.80, by=0.28) hist(ph, breaks=h1, right=f, col="bisque") hist(ph, breaks=h1, right=f, plot=f) # 2º. Caso: h2 <- seq(4.10, 5.80, by=0.34) hist(ph, breaks=h2, right=f, col="bisque") hist(ph, breaks=h2, right=f, plot=f)

16 Exemplo 3: Notas de teste verbal aplicado em 87 alunos da rede pública americana. X = nota do aluno 2,5 2,8 2,8 3,2 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,5 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,8 5,9 5,9 5,9 5,9 6,0 6,1 6,1 6,1 6,1 6,2 6,2 6,2 6,3 6,4 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,7 6,7 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,1 7,2 7,3 7,5 k = 1 + 3,322 log = 7,44 = 8 classes A = 7,5 2,5 = 5 h = 5/7 = 0,714 0,72 Distribuição de frequências com k = 8 classes: X i (nota) n i f i F ac 2, ,15 3 0,034 0,034 3, ,80 4 0,046 0,080 3, ,45 8 0,092 0,172 4, , ,138 0,310 5, , ,253 0,563 5, , ,161 0,724 6, , ,230 0,954 7, ,70 4 0,046 1,000 Total 87 1,000 -

17 Histograma feito no Excel Histograma feito no R

18 Comandos do R para o histograma: # inserindo os dados verbal <- c(2.5,2.8,2.8,3.2,3.5,3.6,3.7,3.8,3.9, 4.0,4.1,4.1,4.1,4.1,4.2,4.5,4.6,4.7,4.7,4.7, 4.7,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0,5.0,5.1,5.1,5.1,5.2, 5.2,5.2,5.2,5.2,5.3,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4,5.4, 5.4,5.5,5.5,5.5,5.6,5.7,5.7,5.8,5.9,5.9,5.9, 5.9,6.0,6.1,6.1,6.1,6.1,6.2,6.2,6.2,6.3,6.4, 6.4,6.4,6.4,6.5,6.5,6.5,6.5,6.5,6.6,6.6,6.7, 6.7,6.7,6.7,6.8,6.9,6.9,7.0,7.0,7.1,7.2,7.3, 7.5) # construindo o histograma com a regra de Sturges hist(verbal, col="bisque", right=f) # definindo os intervalos (k = 8) h <- seq(2.5,7.7, by=0.65) hist(verbal, breaks=h, col="bisque", right=f,ylim=c(0,22)) # definindo os intervalos (k = 7) h <- seq(2.50,7.54, by=0.72) hist(verbal, breaks=h, col="bisque", right=f,ylim=c(0,25)) Gráfico de frequências acumuladas

19 Tabela de frequência e histograma para dados discretos Exemplo 4: Em um hospital foi contabilizado o número de pessoas com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas cada. X = casos de diabete por grupo de 1000 pessoas Neste caso, foram obtidos os seguintes dados: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10 X (casos/10000 pessoas) Tabela de frequências n i f i F ac % 7 1 0,05 0, ,10 0, ,25 0, ,40 0, ,15 0, ,05 1,00 5 Total Gráfico de frequências de uma variável discreta Gráfico de frequências, feito no Excel

20 Histograma: de preferência deve ser construído de forma que os valores da tabela sejam os pontos médios das classes. Histograma feito no R diabetes <- c(10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10) h1 <- seq(6.5,12.5) hist(diabetes, breaks=h1, col="bisque")

21 Exemplo 5: Número de dias/semana que os alunos da disciplina Estatística 1 (do curso de Estatística) praticam atividade física. X = dias/semana de atividade física. Dados ordenados: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7 Tabela de frequências X (casos) n i f i F ac 1 1 0,056 0, ,222 0, ,278 0, ,278 0, ,111 0, ,000 0, ,056 1,001 Total 18 1,001 - Histograma feito no R dias <- c(1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7) h1 <- seq(0.5,7.5) hist(dias, breaks=h1, col="bisque")

22 Dados discretos agrupados Exemplo 6: Um produtor caixas registrou o número de caixas de morango produzidas por canteiro. X = caixas de morango/canteiro. Dados ordenados: Com k = 6 classes A = = 26 h = 30/6 = 5 Distribuição de frequências com k = 6 classes: X i n i f i F ac ,075 0, ,150 0, ,250 0, ,200 0, ,225 0, ,100 1,000 Total 40 1,000 -

23 Histograma feito no R > X <- c(22,23,24,26,27,27,29,29,29,30,31,31,32, 32,33,34,34,34,34,35,35,36,37,38,38,39,39, 40,40,40,42,42,43,43,44,44,45,45,46,48) > h1 <- seq(20, 50, by=5) > hist(x, breaks=h1, right=f, col="bisque", main="caixas de morango/canteiro") Obs: para dados discretos, a tabela pode ser construída considerando apenas os valores inteiros como limites, conforme mostrado abaixo. Distribuição de frequências com k = 6 classes: X i n i f i F ac 20 a ,075 0, a ,150 0, a ,250 0, a ,200 0, a ,225 0, a ,100 1,000 Total 40 1,000 -

24 Caso especial: Dados discretizados Muitas vezes, apesar da variável ser contínua, os dados são apresentados por valores inteiros. Nestes casos, os dados podem ser considerados como discretos, num processo chamado de discretização. Esta situação, na maioria das vezes, ocorre com a variável tempo de vida, que é apresentada por valores inteiros da unidade de medida (anos, meses, semanas, dias, etc ) Exemplo 7: Uma grande companhia está preocupada com o tempo que seus e ficam em manutenção na assistência técnica. Sendo assim, fez um levantamento do tempo de manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais detalhado. X = dias em manutenção de equipamentos Dados Ordenados: Tabela de frequências: k = 1 + 3,322 log = 6,64 = 7 classes A = 21 2 = 19 h = 19/6 = 3,16 3,2

25 Distribuição de frequências com k = 7 classes: X i (dias) n i f i F ac 2 a ,26 0,26 5 a ,30 0,56 8 a ,20 0,76 11 a ,10 0,86 14 a ,08 0,94 17 a ,04 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 - Histograma feito no Excel

26 Gráfico de frequências acumuladas, feito no Excel

27 Distribuição de frequências com k = 6 classes: X i (dias) n i f i F ac 0 a 3 9 0,18 0,18 4 a ,38 0,56 8 a ,22 0,78 12 a ,14 0,92 16 a ,06 0,98 20 a ,02 1,00 Total 50 1,00 - Histograma feito no Excel

28 Comandos do R para o histograma: manuten <-c(15,13,21, 9, 5, 5,10, 6, 2, 2, 9,10, 3, 4, 2,13,12,16, 7, 6, 4,11, 8, 6, 6,10,17,13, 9, 5, 2, 5, 9,14,15, 3, 6,18, 3, 4, 5, 7, 8, 3, 10, 5, 5, 4, 5, 2) nclass.sturges(manuten) hist(manuten, col="bisque") hist(manuten, breaks="sturges", col="bisque") nclass.scott(manuten) hist(manuten, breaks="scott", col="bisque") nclass.fd(manuten) hist(manuten, breaks="fd", col="bisque") hist(manuten, breaks=7, col="bisque") hist(manuten, breaks=8, col="bisque") # definindo os intervalos ######################### h1 <- c(0.5,4.5,8.5,12.5,16.5,20.5,24.5) hist(manuten, breaks=h1, col="bisque") h2 <- c(1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,18.5,22.5) hist(manuten, breaks=h2, col="bisque")

29 Anexos: A.1: Taxas de octanagem de combustível de várias misturas de gasolina (dados retirados da revista Technometrics (Vol. 19, 1977, p. 425): Figura A.1.1: Gráfico de pontos da variável octanagem de gasolina.

30 A.2: Dados Estudantil, variável tempo semanal gasto assistindo TV (horas TV). Tabela A.2.1: Tabela de frequências e horas TV. Classe (h) Bloco Frequência Gráfico de pontos para horas de TV 0 10 horas Figura A.2.1: Gráfico de pontos de horas TV feito no MINITAB.

31 Freqüência Freqüência Histograma de horas de TV horas Figura A.2.2: Histograma de horas TV feito no MINITAB. Histograma de horas de TV horas Figura A.2.3: Histograma de horas TV feito no MINITAB, com outros limites de classes.

32 Figura A.2.4: Histograma de horas TV feito no Excel (sem formatação)

33 A.3: Dados discretos não agrupados: X = variável representando o número de vezes que um sistema travou, por período de execução, na sua carga máxima de processamento Tabela de Frequências: X n i f i F ac 1 3 0,12 0, ,20 0, ,24 0, ,24 0, ,12 0, ,08 1,00 Total 25 1,00

34 A.4: Dados contínuos Em 1798 o cientista Henry Cavendish mediu a densidade do glogo terrestre em 29 ensaios. Os dados foram obtidos do Annals os Statistics, X = densidade do globo terrestre (g/cm 3 ). 5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,62 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 Dados ordenados 4,88 5,07 5,10 5,26 5,27 5,29 5,29 5,30 5,34 5,34 5,36 5,39 5,42 5,44 5,46 5,47 5,50 5,53 5,55 5,57 5,58 5,61 5,62 5,63 5,65 5,68 5,75 5,79 5,85 x 157, 99 e x 862, 09 2

35 A.5.: Tabelas de frequências e histogramas no Excel A.5.2.: Construção da tabela de frequência e histogramas no Excel i) > Dados > Análise de Dados > Histograma > OK ii) Marcar as opções: Intervalo de entrada => conjunto de dados para a tabela Intervalo do bloco => coluna com os limites das classes da tabela Intervalo de saída => local onde a tabela será colocada marcar Porcentagem cumulativa para a frequência acumulada F ac marcar Resultado do gráfico para obter o Histograma A.5.2.: Construção de histogramas no Excel i) marcar os dados; ii) selecionar > Inserir > Gráficos > Colunas iii) acertar as configurações para melhor visualização do gráfico: título (tipo de fonte e tamanho) eixos (fontes e espaçamentos) linhas de grade espaçamento (clicar numa das colunas do gráfico e selecionar: > Formatar > Largura do Espaçamento definir a largura no máximo: Intervalo Grande A.5.3.: Construção de tabelas dinâmicas no Excel i) marcar os dados ii) selecionar: > Inserir > Tabela Dinâmica iii) arrastar X para a margem esquerda e centro da tabela iv) clicar com o botão direito sobre a coluna Total; selecionar > Resumir Dados por; marcar a opção Contagem; v) inserir as colunas e concluir a tabela, atentando para que os cálculos sejam feitos corretamente.