Estatística. August 19, Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

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1 Estatística August 19, 2014 Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

2 NOME 1 ESTATÍSTICA Definições importantes O Método Estatístico Coleta de dados Usando o Excel 2 Tipos de variáveis Variáveis Qualitativas Variáveis Quantitativas Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

3 Introdução A estatística é uma ciência que se interessa em obter conclusões a partir de dados observados e no método cientifico para coleta, organização, resumo, apresentação, análise e interpretação de dados amostrais. A estatística iniciou-se como método cientifico a partir de 1925 com o trabalho de R. A. Fisher, embora o trabalhos pioneiros de Gauss no fim do século anterior e dos trabalhos de Gosset de 1908, publicado com o pseudônimo de Student, foram de extrema importância. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

4 De um modo geral, podemos dividir a estatística em três áreas: Estatística descritiva, Probabilidade e Inferência Estatística. A estatística descritiva pode ser definida como um conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados, a fim de que possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse. A probabilidade pode ser pensada como a teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. A inferência estatística é o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande numero de dados, das informações e conclusões obtidas a partir de um subconjunto de valores. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

5 Definições importantes População: é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. (valores, pessoas, medidas, etc). Amostra: é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população. A amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa. A representatividade é obtida quando apresenta tamanho suficiente e é composta de forma aleatória (probabilística). Censo: atividade de inspecionar (observar) todos os elementos de uma população, objetivando conhecer, com certeza suas características. Amostragem: É o processo de retirada de informações dos n elementos amostrais, no qual deve seguir um método criterioso e adequado (tipos de amostragem). Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

6 Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. Estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. Variável: É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão, geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os símbolos utilizados para representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z,... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

7 O Método Estatístico O Método Estatístico pode ser descrito pelas etapas a seguir: Definição do problema Consiste na: formulação correta do problema; examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisão da literatura); saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente (variáveis, população, hipóteses, etc.) Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

8 Planejamento Determinar o procedimento necessário para resolver o problema: Como levantar informações; Tipos de levantamentos: Por Censo (completo); Por Amostragem (parcial). Cronograma, Custos, etc. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

9 Coleta da dados Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer: A coleta pode ser: Direta - diretamente da fonte ou Indireta - feita através de outras fontes. Os dados podem ser obtidos pela própria pessoa (primários) ou se baseia no registro de terceiros (secundários). Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

10 Apuração e apresentação dos dados Consiste em resumir os dados, através de uma contagem e agrupamento. É a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta e na organização. É um trabalho de coordenação e de tabulação. A apresentação dos dados pode ser: Tabular (apresentação numérica) Gráfica (apresentação geométrica) Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

11 Análise e interpretação dos dados É a fase mais importante e também a mais delicada. Aqui são tiradas as conclusões que auxiliam o pesquisador a resolver seu problema. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

12 Coleta de dados Amostragem Aleatória Simples Dentre as mais diversas maneiras para coletar dados, a amostragem é mais frequente, particularmente sobre fenômenos sociais e econômicos. Apresentamos aqui o processo mais comum e útil para a condução de investigações empíricas: seleção de uma amostra aleatória simples Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

13 Uma amostra é probabilística quando os elementos amostrais são escolhidos com probabilidades conhecidas. Na Amostragem aleatória simples, todos os elementos da população têm igual probabilidade de compor a amostra. Uma amostra em que a probabilidade de escolher qualquer um dos N elementos em uma prova única é igual a 1 N é uma amosta aleatória. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

14 Se a população é infinita, como, por exemplo, toda a produção futura de uma máquina, podemo considerá-la um processo probabilístico compondo as amostras aleatórias na ordem que ocorrerem. Enquanto o processo se mantiver estável, faremos nossas observações admitindo que a probabilidade de cada possível resultado se mantenha constante. Exmplos de processos dessa natureza são: chamadas telefônicas, veículos que cruzam deteminada avenida, produção, tempo de atendimento em caixas de supermercados, etc. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

15 Se a população é finita, tal como livros de uma biblioteca, estudantes de uma faculdade,automóveis de um município, empresas de certa região, etc, a escolha de uma amostra aleatória envolve a compilação de uma lista de todos os elementos da população, e a realização dos sorteios para escolher os itens que irão compor a amostra. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

16 Tabela de Números Aleatórios Tabela de Números Aleatórios As tabelas de números aleatórios contêm os 10 algarimos 0, 1, 2, 9, dispostos aleatoriamente em colunas e linhas. Parte de uma tabela de números aleatórios é apresentada a seguir: Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

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20 Usando o Excel Os pacotes estatísticos e a Planilha Eletrônica do Excel têm procedimentos para a geração de números aleatórios e, consequentemente, de amostras aleatórias. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

23 Essa função, que tem sintaxe = Aleatorio ou = Rand, retorna um número aleatório ou randômico igual ou superior a 0 (zero) e menor do que 1 (um) na célula selecionada. Esse número é recalculado automaticamente sempre que qualquer operação for realizada no ambiente da planilha onde foi gerado, ou sempre que a tecla F 9 for acionada. Uma vez que o pesquisador necessite de valores no intervalo entre 00 e 99, deverá multiplicar o número aleatório por 10 2, no intervalo de 000 a 999 por 10 3, e assim, sucessivamente, de acordo com a necessidade. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

24 No entanto, nesta opção podem ser gerados valores fora do intervalo desejado a exemplo do que ocorre na tabela de números aleatórios. A fórmula escrita poderá ser copiada para outras células localizadas abaixo ou lateralmente. Vamos selecionar os funcionários do exercício anterior utilizando essas funções. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

25 Existe outra função que pose ser bem mais interessante do ponto de vista prático, pois é capaz de gerar números aleatórios entre dois limites fixados pelo pesquisador. A sintaxe é a seguinte: = ALEAT RIOENT RE() ou = RANDBET W EEN() Na janela selecione a categoria Math&T rig e em seguida a função Aleatorioentre. Em seguida informe os valores mínimo e máximo, por exemplo, 001 e 700. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

27 Tipos de variáveis Antes de definir o problema a ser estudado, devemos ter em mente quais as características dos elementos de uma população deverão ser estudados. Ou seja, não trabalharemos com os elementos existentes, mas com algumas características desses elementos. Por exemplo, os elementos a serem estudados podem ser a população de uma cidade, mas estaremos interessados em alguma característica como renda, idade, sexo, tipo de moradia, etc. Trabalharemos, portanto com os valores de uma VARIAVEL, que é a característica de interesse, e não com os elementos originalmente considerados. A escolha da variável, ou variáveis de interesse dependerá dos objetivos do estudo estatístico em questão. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

28 As variáveis podem ser classificadas como qualitativas ou quantitativas. A variável será QUALITATIVA quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos. As variáveis qualitativas ainda podem ser subdivididas em qualitativa nominal e qualitativa ordinal. Se tais variáveis têm uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização, então, elas serão classificadas como qualitativas ordinais. Caso contrário, quando não é possível estabelecer uma ordem natural entre seus valores, elas são classificadas como qualitativas nominais. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

29 Exemplos: Variável qualitativa nominal. - sexo (feminino ou masculino) - tipo de habitação (casa, apartamento, kitnet, barraco, etc) Variável qualitativa ordinal. - qualidade de um programa de TV (ruim regular, boa, ótima) - grau de instrução: ensino fundamental, ensino médio e ensino superior. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

30 A variável será QUANTITATIVA quando seus valores forem expressos por números. As variáveis quantitativas podem ser subdivididas em quantitativas discretas, quando temos números resultantes de uma contagem e quantitativas continuas, quando temos números resultantes de uma mensuração. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

31 Exemplos: Variável quantitativa discreta - Numero de filhos (0,1,2...) - Numero de peças defeituosas numa produção de pregos Variável quantitativa continua - Comprimento (em centímetros, metros, etc) - Peso (em quilogramas) Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

33 Variáveis Qualitativas Para resumir dados qualitativos, utilizam-se contagens, proporções, porcentagens, taxas por 1000, taxas por , etc, dependendo da escala apropriada. Freqüentemente o primeiro passo da descrição de dados é criar uma tabela de freqüências. Antes de montar a tabela de distribuição de freqüências temos algumas definições: Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

34 Freqüência - medida que quantifica a ocorrência dos valores de uma variável a um dado conjunto de dados. As freqüências podem ser: Absoluta (f i ) - contagem das observações de uma variável. Relativa (f r ) - divisão da freqüência absoluta pelo total de observações. f r = f i n Percentual (f p ) - é a frequência relativa multiplicada por 100. f p = 100xf r Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

35 Exemplo Foi observado a atividade agropecuária predominante em 20 propriedades de um município. Como se observa, a atividade predominante corresponde a uma variável qualitativa nominal, pois não é passível de ordenação. café leite leite milho café milho soja leite leite café milho café olericultura leite café laranja café milho café café Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

36 Tabelas simples como esta são na maioria das vezes suficientes para descrever dados qualitativos especialmente quando existem poucas categorias. Atividade f i f r f p café 8 0,40 40 leite 5 0,25 25 olericultura 1 0,05 5 soja 1 0,05 5 milho 4 0,20 20 laranja 1 0,05 5 Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

37 Representação gráfica Os dados qualitativos podem ser bem representados pelos gráficos de disco ou pizza e também pelo gráfico de barras. O gráfico de disco ou pizza, ou ainda, diagrama circular se adapta muito bem às variáveis qualitativas nominais. Consiste em repartir um disco em setores circulares correspondentes à porcentagem de cada valor, multiplicando-se por 100, a freqüência relativa f i. O gráfico de barras utiliza o plano cartesiano com os valores da variável no eixo das abcissas e as freqüências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variavel desenha-se uma barra com uma altura correspondendo à sua freqüência ou porcentagem. Este gráfico se adapta muito bem às variáveis discretas ou qualitativas ordinais. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

38 Construção de gráficos Automóveis nacionais masi vendidos - janeiro/agosto de 2000 veiculos quantidades vendidas gol uno palio astra corsa vectra palio weekend fiesta corsa sedan parati Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

41 Os passos seguintes podem melhorar o gráfico: Clicar sobre a legenda (Série 1) e Delete para que o gráfico automaticamente se ajuste ao espaço da figura. Para incluir títulos, clicar no gráfico e utilizar o menu Layout que aparece na barra de ferramenta principal do Excel. Retirar as linhas horizontais no gráfico, clicando nas mesmas e em seguida Delete. Para alterar o tipo de gráfico, utilize o menu Inserir. Ao clicar sobre o novo tipo de gráfico, a figura automaticamente sofrerá alterações. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

44 Gráfico final - Exemplo Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

45 Variáveis Quantitativas Para os dados quantitativos a forma de representação mais simples é a distribuição de freqüência. A distribuição de freqüência é a distribuição dos dados em classes ou categorias, onde o número de elementos pertencentes a cada classe é determinado e representa a freqüência de classe. Uma das formas mais comuns de se construir uma tabela de distribuição de freqüência é a seguinte: Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

46 1 o Passo: Construir o Rol (dados em ordem crescente) e determinar a Amplitude Total ou Range A = Maior valor na amostra Menor valor na amostra A = X (n) X (1) Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

47 2 o Passo: Determinar o número de classes (k): geralmente o número de classes é escolhido por muitos autores em um valor entre 5 e 20, de uma forma empírica. A familiaridade do pesquisador com os dados é que deve indicar quantas classes devem ser construídas. Uma maneira de se determinar um número razoável, k, de classes consiste em aplicar a fórmula de Sturges, que sugere o cálculo de k mediante a expressão: k = 1 + 3, 32 logn Outra forma de se calcular o valor de k consiste em tomar a raiz quadrada de n, assim, k = n Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

48 3 o Passo: De posse do valor k e de A, iremos encontrar a amplitude de classe (c), dada por c = A k. 4 o Passo: Definir o limite inferior da primeira classe: L i = X (1) Quanto aos limites das classes, usaremo o seguinte critério: a b (incluiremos nesta classe todos os elementos maiores ou iguais a a e menores do que b) Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

49 Temos ainda que: x i é o ponto médio da i-ésima classe, é a média dos pontos extremos da classe, f i é a quantidade de observações, ou freqüência, da i-ésima classe, n é a quantidade total de observações n = f i, f r é a freqüência relativa da classe f r = f i n, F A é a freqüência acumulada até a i-ésima classe e indica a quantidade de observações inferiores ao limite superior da classe. F ra é a freqüência relativa acumulada até a i-ésima classe e indica a quantidade de observações relativas inferiores ao limite superior da classe. Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

50 Exemplo Construa uma tabela de distribuição, para as seguintes alturas, expressas em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma universidade: Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

51 Ordenar os dados Calcular da amplitude total (maior valor - menor valor): A = X (n) X (1) = = 22 Calcular do número de classes: k = 30 = 5 Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

52 Calcular da amplitude da classe: c = amplitudetotal nmerodeclasses = A k = 22 5 = 4, 40 Definir o limite inferior da primeira classe: LI 1 = X (1) = 164 Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54

54 Representação gráfica Os dados quantitativos podem ser bem representados pelo histograma e polígono de freqüência. Histograma é um gráfico representado por retângulos (barras) contíguos (que toca em alguma coisa) no qual os extremos da base do retângulo i são definidos pelos limites da classe i e a altura é proporcional à freqüência. A área total do histograma deve ser igual a 1 ou 100%. Polígono de frequências: consideramos a poligonal que une os pontos médios das bases superiores dos retângulos dos histogramas (pontos médios das classes). Mestrado em Educação Matemática UFOP August 19, / 54