Universidade Federal de Mato Grosso-CUA. Professor: Renato Ferreira da Cruz. Horário das Aulas. Sexta-feira: 08:00h às 11:30h

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1 Universidade Federal de Mato Grosso-CUA Álgebra Linear I 96h Professor: Renato Ferreira da Cruz Horário das Aulas Quarta-feira: 13:30h às 16:00h Sexta-feira: 08:00h às 11:30h

2 Ementa: Revisão de vetores. Matrizes e sistemas de equações lineares. Espaços vetoriais. Base e Dimensão.Transformaçõeslineares.

3 Conteúdo Programático: 1. Matrizes e Sistemas Lineares 1.1. Adição de matrizes 1.2. Produto de matriz por número 1.3. Produto de Matrizes 1.4. Matriz Transposta e Matriz Inversa 1.5. Sistemas de equações lineares e determinantes Técnicas para o cálculo do determinante de uma matriz; 1.7. Propriedades adicionais;

4 Conteúdo Programático: 2. Espaços Vetoriais 2.1. Revisão de vetores 2.2. Definição de espaço vetorial e propriedades 2.3. Subespaços vetoriais e Soma de subespaços 2.4. Soma direta 2.5. Combinações Lineares 2.6. Base, dimensão e dependência linear 2.7. Propriedades da dependência linear 2.8. Mudança de base 2.9. Produto Interno

5 Conteúdo Programático: 3. Transformações Lineares 3.1. Noções sobre aplicações e Transformações Lineares 3.2. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 3.3. Isomorfismos e Operações com Transformações Lineares 3.4. Matriz de uma Transformação Linear

6 Bibliografia Básica: MACHADO, A.S. Álgebra Linear e Geometria Analítica.2ed.SãoPaulo:McGraw-Hill,1987. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. Harper & RowdoBrasil,SãoPaulo,1994. LIPSCHIRTZ, Seymour. Álgebra Linear. 2ed., ColeçãoSchaum,McGraw-Hill. SILVA,ValdirV.ÁlgebraLinear.CEGRAF-UFG. HOFFMAN, K. et al. Álgebra Linear. 2ed., Rio de Janeiro:LTC,1979.

7 Avaliação: Serão realizadas 3 provas escritas P 1, P 2 e P 3, com peso 7 cada e um trabalho T com peso 3. A nota do trabalho T será obtida pela média de 16 questionários on-line individuais que cada aluno deverá responder na plataforma moodle a cadasemanadeaula. Caso necessário, haverá prova substitutiva para oalunoqueobtivermédiafinalinferiora5,0. Aprovasubstitutiva serárealizadanasemana do dia10aodia14deoutubrode2016.

8 Avaliação: Amédia finalserá amédia ponderada das notas, ouseja, MF 7(P + P + P ) + 3T O aluno será considerado aprovado se obtiver média final igual ou superior a 5,0 (cinco) e apresentar um mínimo de 75% de frequência às aulas. = As datas previstas para as provas: Prova 1-15/07/16 Prova 2-26/08/16 Prova 3-07/10/16 24

9 Aplicações da Álgebra Linear na Computação O campo de aplicação da disciplina é muito vasto. Na computação gráfica, a álgebra é usada por exemplo, na manipulação de imagens, rotação, redimensionamento, e alteração de cores.

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15 Aplicações da Álgebra Linear na Computação Esses exemplos nos mostram o quanto é importante a aplicação da Álgebra linear no mundo da computação e o quanto o computador é poderoso ao realizar tanto cálculos para uma simples mudança de tonalidade ou uma simples mudança de tamanhodeumaimagem.

16 Aplicações da Álgebra Linear na Computação Entãolembre-se,quandoforassistiraquelefilme de animação no cinema, pense no quanto a matemática, especialmente a álgebra linear foram importantes para a realização desse trabalho, pois o computador sem a aplicação da matemática seria apenas uma caixa com alguns ledsquepiscam.

17 O monitor de computador funciona como uma matriz (tabela) com informações (pontos coloridos mostrados na tela, os pixels) armazenadas em linhas e colunas. Um pixel é o menorpontoqueformaumaimagemdigital,eo conjunto de milhares de pixels, ao qual é possível atribuir-se uma cor, forma a imagem inteira.

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21 As matrizes são tabelas que relacionam dados numéricos. As tabelas a seguir relacionam dados sobre o desempenho das equipes do grupo B da Liga MundialdeVôlei,em2012.

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23 Agora, acompanhe esta outra situação: Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de um ano pode ser expressa pela tabelaaseguir.

24 Sequisermossaber: quantos livros de Matemática foram vendidos emfevereiro,basta olharmosonúmero que está naprimeiralinhaenasegundacoluna; quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segundalinhaenaprimeiracoluna;

25 quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na terceiralinhaenaterceiracoluna.

26 Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3 3 (lê-se três por três) e podemosrepresentá-lapor:

27 Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguaisa1. Denomina-se matriz m n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m n números reais,dispostosemmlinhasencolunas. Dizemos que a matriz é do tipo m n ou de ordemm n.

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29 Quando temos matrizes linha ou matrizes coluna, também podemos chamá-las de vetores. Essa denominação é bastante utilizada em Computação e Álgebra linear. É muito comum uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita como (2,0,5)quandosetrabalhacomvetores.

30 Os números que aparecem na matriz são chamadoselementosoutermosdamatriz. Analisemos,porexemplo,aseguintematriz: Nela,podemosobservarque: o elemento 3 está na 1ª linha e na 1ª coluna; indica-se: a = 3; 11

31 Os números que aparecem na matriz são chamadoselementosoutermosdamatriz. Analisemos,porexemplo,aseguintematriz: Nela,podemosobservarque: oelemento 5 a = 5 21 indica-se: ; está na 2ªlinha ena1ª coluna;

32 Os números que aparecem na matriz são chamadoselementosoutermosdamatriz. Analisemos,porexemplo,aseguintematriz: Nela,podemosobservarque: oelemento está na 3ªlinha ena1ª coluna; indica-se: 6 ; 31 a = 6

33 Os números que aparecem na matriz são chamadoselementosoutermosdamatriz. Analisemos,porexemplo,aseguintematriz: Nela,podemosobservarque: oelemento está na 1ªlinha ena2ª coluna; indica-se: 2 ; 12 a = 2

34 Os números que aparecem na matriz são chamadoselementosoutermosdamatriz. Analisemos,porexemplo,aseguintematriz: Nela,podemosobservarque: oelemento está na 3ªlinha ena4ª coluna; indica-se: 2 ; 34 a = 2

35 Assim: para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo indica em que coluna; por exemplo, a 23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna;

36 Assim: o elemento genérico de uma matriz A será indicado por a ij, em que i representa a linha, e j representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado ij-ésimo elemento da matriz; A matriz A, do tipo m n, será escrita, genericamente,doseguintemodo:

37 De maneira abreviada, podemos escrever a matriz Anaforma:

38 Consideremos uma matriz m n. Quando m=n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n nousimplesmentedeordemn.

39 Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos a 11, a 22, a 33,...,a nn formamadiagonal principaldamatriz(sãooselementosa ij comi=j). A outra diagonal da matriz quadrada, que vai do último elemento da 1ª linha até o 1º elemento da última linha, é conhecida como diagonalsecundária.

40 A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e osoutroselementossãoiguaisazeroéchamada matrizidentidadeeseusímboloéi n.

41 No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero denomina-se matriz nula. Vamos simbolizar a matriz nula do tipo m n por 0 m n, e a matriz nula de ordem n por0 n.

42 Duasmatrizes,AeB,sãoiguaisse,esomentese, têm o mesmo tipo e seus elementos correspondentessãoiguais. Dadas as matrizes A=(a ij ) m n e B=(b ij ) m n, temos Simbolicamente:

43 Acompanheaseguintesituação: O gerente de vendas de uma loja têm sua disposição as tabelas de vendas mensais, em reais, dos seus três vendedores, por produto vendido.veja:

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45 O gerente precisava saber as vendas do 1º bimestre, em reais por produto vendido, dos seus três vendedores. Nesse caso, ele somou os dados das duas tabelas (janeiro e fevereiro), obtendoatabeladosdadosbimestrais:

46 Depois,ogerenteprecisavasaberaevoluçãodas vendas de janeiro para fevereiro: tiveram aumento? diminuíram? qual a diferença do faturamento entre janeiro e fevereiro? Uma maneira de obter essas informações é calcular a diferença dos dados das duas primeirastabelas(fevereiroejaneiro),obtendoa tabela da evolução das vendas de janeiro para fevereiro:

47 Esse exemplo ilustra as operações de adição e subtraçãodematrizes.

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50 Sendo A e B duas matrizes do tipo m n, denomina-se diferença entre A e B (representadapora B)asomadamatrizAcom amatrizopostadeb.

51 Propriedades: Sendo A, B e C matrizes de mesma ordem, então: a) A+B=B+A b) (A+B)+C=A+ (B+C) c) A+O=O+A=A,ondeOéamatriznula d) A+( A)=( A)+A=O

52 Se A é uma matriz m n, de elementos a ij, e k é um número real, então ka é uma matriz m n cujoselementossãoka ij. Propriedades: Sendo k e m números reais e A e B matrizes demesmaordem,então: a) (k+m)a=ka+ma b) k(a+b)=ka+kb c) k(ma)=(km)a d) 1A=A

53 Seja A uma matriz m n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por A t ) a matriz n m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas dea.

54 Notamos que, se A = (a ij ) é do tipo m n, então A t =(b ij )édotipon meb ij =a ji. Propriedades: Sejam A e B matrizes de mesma ordem e k um númeroreal.então: a) (A t ) t =A b) (ka) t =k A t c) (A+B) t =A t +B t