Mecânica não linear. Introdução. Elementos. Hiperelasticidade. Conclusões. (Maxwell e Kelvin-Voigt) + Complexos

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1 Mestrado e ngenharia Mecânica Mecânica não linear Dra. Lúcia Dinis Viscoelasticidade Silvestre T Pinho 8 de Novebro de 5 Objectivos ntender o que é viscosidade e viscoelasticidade Conceitos de fluência e relaxação de tensões Conhecer os eleentos viscoelásticos básicos ( e ) Reconhecer eleentos básicos e odelos ais coplexos Modelos viscoelásticos para grandes deforações (visco-hiperelasticidade) 8 de Novebro de 5

2 Suário da aula e odelos viscoelásticos leento de leento de Modelos ais coplexos Modelos ateriais visco-hiperelásticos Recapitulação e conclusões 8 de Novebro de 5 3 Alguns conceitos e odelos Viscosidade F A A viscosidade é ua quantidade que descreve a resistência que u aterial oferece ao escoa- ento. O aterial é forçado a escoar por ua força F. Quando a força é retirada, o aterial para de escoar. ste fenóeno é representado pelo eleento viscoso, de acordo co a lei de Newton da. viscosidade: = η γ 8 de Novebro de 5 4 F

3 Alguns conceitos e odelos lasticidade Aos ateriais que não escorre, as que ostra propriedades típicas t de sólidos, s é usada ua ola para representá-los A A ola é caracterizada pela lei de Hook Quando a força F é retirada, a ola retorna à configuração inicial F F 8 de Novebro de 5 5 Alguns conceitos e odelos Viscoelasticidade U aterial viscoelástico stico apresenta siultaneaente características viscosas e elásticas A viscoelasticidade depende da escala de tepo da experiência, quando coparada co a escala de tepo do aterial (tepo de relaxação) 8 de Novebro de 5 6

4 Materiais viscoelásticos Não sós os ateriais usados e engenharia (eg( políeros) são viscoelásticos sticos Fro Bio55Lecture.ppt Osso: aterial poro-visco visco-elástico anisotrópico gradativo 8 de Novebro de 5 7 (Mow 99) Materiais viscoelásticos As tensões depende das deforações e das taxas de defoação & & 4 > & 3 & > & 3 & > & & 8 de Novebro de 5 8

5 Materiais viscoelásticos relaxação de tensões T t = T Input t T t > T = 3 = = Tensão Output 8 de Novebro de 5 9 T Materiais viscoelásticos fluência Tensão T t = T Input t T t T 8 de Novebro de 5 = 3 = = T Output

6 Diferentes eleentos lasticidade elasticidade, a ola é a unidade principal, e assue-se se que responde instantaneaente e de fora reversível vel a cargas e deforações aplicadas Mola = 8 de Novebro de 5 Diferentes eleentos Viscosidade A A unidade viscosa fundaental é o aortecedor, onde a tensão é assuida ser ua função da taxa de deforação e não da deforação O O aortecedor é noralente assuido ser linear, e a constante de proporcionalidade é chaada viscosidade Dashpot Aortecedor = f (& ) = η& 8 de Novebro de 5

7 Diferentes eleentos U ponto chave e odelar o coportaento viscoelástico de diferentes ateriais está e escolher a fora adequada das coponentes elástica e viscosa (eg linear) be coo cobinar os eleentos no elhor sistea possível por fora a que o coportaento e função do tepo seja previsto adequadaente 8 de Novebro de 5 3 Diferentes eleentos e série: s = =,,, = = + = 8 de Novebro de 5 4

8 Diferentes eleentos e paralelo:,,, + = = = 8 de Novebro de 5 5 leento de O eleento de é o odelo básico de u fluído (fluído,, porque a resposta a longo prazo correspondente a ua tensão constante aplicada é idêntica à de u fluído do ie continua a deforar-se) = η& = = = = η& + = 8 de Novebro de 5 6

9 leento de - relaxação de tensões stado inicial: Deforação = H ( t) Resposta instantânea: stado final: 8 de Novebro de 5 7 leento de - relaxação de tensões = H ( t) = η& = = = = η& η & + = H ( t) + = 8 de Novebro de 5 8

10 leento de - relaxação de tensões η & + = H t η ( t) e = ( t) Deforação viscosa: t η ( t) = ( e ) Tensões: Tensão = H ( t) 8 de Novebro de 5 9 leento de fluência Tensão = H ( t) stado inicial Resposta instantânea stado final 8 de Novebro de 5

11 leento de fluência = η& Tensão = = = = η& + = = H ( t) H H ( t) = η& ( t) = 8 de Novebro de 5 leento de fluência Def. elástica: = ( t) H ( t) Def. viscosa: ( t) t = η Def. total: ( ) = H ( t) deforação t η t + 8 de Novebro de 5 = H ( t)

12 leento de O eleento de é o odelo básico de u sólido s (sólido,, porque a resposta a longo prazo correspondente a ua tensão constante aplicada é idêntica à de u sólido ieie deixa de deforar-se) + = = η& = = η& + = = 8 de Novebro de 5 3 leento de relaxação de tensões stado inicial: Deforação = H ( t) Resposta instantânea: stado final: 8 de Novebro de 5 4

13 leento de relaxação de tensões = η& Deforação = H ( t) = + = η& + = = = ( ) + H ( t) η δ = t 8 de Novebro de 5 5 Tensão leento de fluência Tensão = H( t) stado inicial: Resposta instantânea: stado final: 8 de Novebro de 5 6

14 leento de fluência = η& Tensão = H( t) = + = η& + = = = η & + = H 8 de Novebro de 5 7 ( t) leento de fluência η & + = H Solução t ( t) t η ( t) = ( e ) = ce 8 de Novebro de 5 8 t hoogénea: ( ) η Solução particular: ( t) = Solução total co c.i. ( ( t = ) = ): Def. = H( t)

15 Modelos ais coplexos Ne o odelo de ne o odelo de produz ua resposta viscoelástica stica que capture qualitativaente o coportaento de uitos ateriais reais; Portanto, odelos ais coplexos deve ser usados 8 de Novebro de 5 9 Modelos ais coplexos: 3 eleentos e paralelo co ua ola = + = η& + = + η η& + = 8 de Novebro de 5 3

16 Modelos ais coplexos: 3 eleentos e série s co ua ola (three( paraeter solid) η = + η& = = + ( + ) + η& = 8 de Novebro de 5 3 e série co ua ola relaxação de tensões = H ( t) stado inicial: η Resposta instantânea: stado final: 8 de Novebro de 5 3

17 e série co ua ola relaxação de tensões η = + η& = = + = H ( t) ( + ) + η& = ( + ) + η& = = H ( t) 8 de Novebro de 5 33 e série co ua ola relaxação de tensões ( + ) + η& = = H ( t) leento de Kelvin + ( + ) t ( t) = e η [ ] leento elástico = H t + ( + ) t ( t) ( ) e η [ ] = H ( t) Tensão + Tensão total + [ ] ( ) ( ) ( ) + t η t = t = e 8 de Novebro de 5 34

18 e série co ua ola fluência Tensão = H( t) stado inicial: η Resposta instantânea: stado final: 8 de Novebro de 5 35 e série co ua ola fluência η = + η& = = + = + ( t) = H = + η& = ( + ) + η& = 8 de Novebro de 5 36 Tensão = H( t)

19 e série co ua ola fluência = + ( t) = H = + η& = Tensão = H( t) leento de Kelvin t η ( t) = + η& ( t) = ( e ) H leento elástico H H ( t) = ( t) = Defoação total t η e ( t) = + 8 de Novebro de 5 37 ( t) + e série co ua ola funções de relaxação e de fluência A função de relaxação de tensões e a função de fluência são deterinadas toando u valor unitário da variável vel de entrada (input), seja esta tensão ou deforação 8 de Novebro de 5 38

20 e série co ua ola funções de relaxação e de fluência Função de relaxação t η [ ] ( + ) ( t) = e + ( ) G t = + t τ, + e τ = η + 8 de Novebro de 5 39 e série co ua ola funções de relaxação e de fluência Função de fluência J ( t) ( t) = = e t η e + t τ + η, τ = 8 de Novebro de 5 4

21 8 de Novebro de de Novebro de 5 4

22 Coparação - Fluência Input Tensão = H( t) 8 de Novebro de 5 43 Coparação - Fluência Output e série co ua ola 8 de Novebro de 5 44

23 Coparação Relaxação de tensões Input = H ( t) 8 de Novebro de 5 45 Coparação Relaxação de tensões Tensão Output e série co ua ola Tensão Tensão 8 de Novebro de 5 46

24 Modelos visco-hiperelásticos Modelos constitutivos co variáveis veis internas Muitos ateriais usados e engenharia são inelásticos Os odelos hiperelásticos estudados na últia aula não são adequados para estudar esses ateriais, e que pode haver dissipação No restante desta aula, vaos estudar ateriais inelásticos co base no conceito de variáveis internas Aplicações: Modelação de dano e ateriais viscoelásticos 8 de Novebro de 5 47 Modelos visco-hiperelásticos Conceito de variáveis veis internas O estado terodinâico corrente (co T=c te ) de u aterial (hiper)elástico pode ser deterinado co base apenas no gradiente de deforação F O gradiente de deforação F pode ser edido e por isso é chaado variável externa O estado terodinâico corrente de ateriais que involva dissipação pode ser deterinado a partir de u núero de variáveis internas 8 de Novebro de 5 48

25 Modelos visco-hiperelásticos Conceito de variáveis veis internas ssas variáveis descreve aspectos da estrutura interna de ateriais, associados co efeitos irreversíveis (dissipação) As tensões e deforações depende das variáveis internas Portanto, o conceito de variável interna postula que o estado terodinâico corrente nu ponto de u aterial dissipativo é definido pelo gradiente de deforação F (variável externa; e tabé eventualente a teperatura) e variáveis internas ξ 8 de Novebro de 5 49 Modelos visco-hiperelásticos Conceito de variáveis veis internas Ou seja, o estado terodinâico pode ser entendido coo u estado fictício de equilíbrio terodinâico O estado terodinâico corrente é descrito pelos valores actuais (e não pela história) do gradiante de deforação (e teperatura), be coo de u deterinado núero de variáveis internas A natureza das variáveis internas pode ser física (ecânica, térica, quíica ou eléctrica), descrevendo processos icroscópicos sob u ponto de vista acroscópico 8 de Novebro de 5 5

26 Modelos visco-hiperelásticos quações constitutivas nergia livre de Helholtz para caso isotérico Ψ = Ψ F ξ,..., (energia de deforação): ( ) Desigualdade de Clausius-Plank (Clausius-Duhe): D w Ψ& F, ξ,..., ξ D int Ψ& ( ) int = int Ψ ( F, ξ,..., ξ ) = : F& + = w int Ψ = P Ψ, : ξ& F = ξ Ψ& ξ ( F, ξ,..., ξ ) = ( F, ξ,..., ξ ) Ψ( F, ξ,..., ξ ) : F& : F = ξ ξ& 8 de Novebro de 5 5 Modelos visco-hiperelásticos quações constitutivas quações constitutivas Ψ( F, ξ,..., ξ ) P = F Dissipação: D int = Ξ : ξ& = quações constitutivas internas Ψ( F, ξ,..., ξ ) Ξ = ξ 8 de Novebro de 5 5

27 Modelos visco-hiperelásticos quações constitutivas quações de evolução e equilíbrio terodinâico É necessário copleentar as equações constitutivas + equações constitutivas internas co ua relação cineática que descreva coo as variáveis ξ varia no tepo equações de evolução: ξ & t) A F, ξ,..., ξ ( = ( ) 8 de Novebro de 5 53 Modelos visco-hiperelásticos Materiais viscoelásticos Postulado: Ψ co Υ ( C, Γ ) = ( C, Γ,..., Γ ) = Ψvol ( J ) + Ψiso ( C ) + Ψvol () =, Ψiso ( I ) =, Υ ( I, Ι) = 8 de Novebro de 5 54 = Ψvol ( J ); Ψiso ( C) Resposta voluétrica e isocórica quando t = = Υ ( C, Γ ) Potencial dissipativo Υ nergia livre configuracional

28 Modelos visco-hiperelásticos Materiais viscoelásticos Cada variável interna Γ caracteriza o coportaento viscoso do aterial Γ edida de deforações inelásticas Γ C Para u aterial hiperelástico (e regie isotérico), o estado de equilíbrio terodinâico é definido por C. Para u aterial viscoelástico (e regie isotérico), o estado (fictício) de equilíbrio C Γ, Γ,..., terodinâico é definido por ( ), Γ 8 de Novebro de 5 55 Modelos visco-hiperelásticos Materiais viscoelásticos Tensões Segundas tensões de Piola-Kirchoff Ψ( C, Γ,..., Γ ) S = C Dissipação Υ ( C, Γ ) Dint = : Γ& Γ = 8 de Novebro de 5 56

29 Modelos visco-hiperelásticos Materiais viscoelásticos Decoposição das segundas tensões de Piola-Kirchoff: Ψ( C Γ Γ ) S =,,..., Ψvol ( J ) + Ψiso ( C) + Υ ( C, Γ ) = = = C C Ψvol ( J ) Ψiso ( C) Υ ( C, Γ ) = C 443 C = 443 C 4 S S Q vol iso Q tensões de desiquilíbrio 8 de Novebro de 5 57 Modelos visco-hiperelásticos Materiais viscoelásticos É possível ostrar que as tensões de desiquilíbrio Q são conjugadas energéticas de Γ, e que as equações constitutivas internas se pode escrever: Υ ( C, Γ ) Q = Γ 8 de Novebro de 5 58

30 Modelos visco-hiperelásticos xeplo > η > q > γ η γ > q η τ = > > 8 de Novebro de 5 59 = + = = = q q = η & γ, =,..., Modelos visco-hiperelásticos xeplo = + q, = =, q Teos tabé q = ( γ ) = η & γ Derivando a expressão anterior: q& = (& & γ ) q O que leva a: q& + = τ a dissipação é: D q γ = η ( γ ) int = & = = & 8 de Novebro de 5 6

31 Modelos visco-hiperelásticos xeplo A energia de deforação pode ser definida coo: ψ +, γ = (, γ,..., γ ) = ψ ( ) υ ( ) Co: ψ ( ) e υ(, γ ) = ( γ ) = 8 de Novebro de 5 6 Modelos visco-hiperelásticos xeplo ψ ψ ( ) e υ(, γ ) = ( γ ) (, γ,..., γ ) dψ ( ) υ ( γ ) = A derivada de ψ e orde à deforação perite obter a tensão : = + d = + = + q = = ( γ ) = 8 de Novebro de 5 6

32 Modelos visco-hiperelásticos xeplo Derivando ψ relativaente às variáveis internas γ, obte-se: υ γ (, γ ) ( γ ) = = q a dissipação pode ser expressa coo: D int = = υ & γ γ 8 de Novebro de 5 63 Recapitulação Vios o que é viscosidade e viscoelasticidade Conceitos de fluência e relaxação de tensões Vios quais os eleentos viscoelásticos básicos ( e ) Vios odelos coplexos coo cobinação de eleentos básicos Modelos viscoelásticos para grandes deforações (visco-hiperelasticidade) 8 de Novebro de 5 64

33 Vários ateriais reais tê coportaento viscoelástico De u odo geral, o odelo ais adequado para cada aterial o qual pode ser bastante coplexo pode ser obtido por cobinação de eleentos siples Para grandes deforações, é adequado usar ua forulação baseada e hiperelasticidade 8 de Novebro de 5 65 Referências G A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics, A continuu approach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, ngland,. L Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Mediu. Prentice-Hall, Inc, USA, 969. I Doghri. Mechanics of Deforable Solids, Linear and nonlinear, analytical and coputational aspects. Springer-Verlag, Gerany,. V A Lubarda. lastoplasticity theory. CRC Press LLC, G T Mase, G Mase. Continuu Mechanics for ngineers, Second dition, CRC Press LLC, 999 J Bischoff, Viscoelasticity Constitutive response of tissue at large strain rates. sci 74 Mechanics of Bioaterials, The University of Auckland, 8 de Novebro de 5 66

34 Apontaentos sta apresentação (e forato pdf) encontra-se e: e e Perguntas? 8 de Novebro de 5 67