Procedimento de dedução de equações de balanço microscópico a partir de VC homogêneos

Transcrição

1 Obtenção de perfis de velocidade... Qual a abordage acroscópica ou icroscópica que deve ser usada para a dedução do perfil de velocidades? Procediento de dedução de equações de balanço icroscópico a partir de VC hoogêneos 1. Selecione u VC infinitesial adequado para o problea a ser resolvido ( o aior possível ) e u sistea conveniente de coordenadas (cartesianas ou cilíndricas ou esféricas). Indique no VC todas as correntes ateriais que entra e que sae, be coo todas as taxas de energia que entra e que sae e as forças atuantes sobre a SC.. Aplique a equação de balanço-acroscópico para o VC escolhido. Para todas as taxas de entrada (ateriais, de quantidade de oviento e energéticas), escreva equações constitutivas que tenha validade pontual. Nas direções e que se deseja (descrita coo avaliar a variação pontual na grandeza conservada: cada taxa de saída função pontual) deve ser relacionada co a taxa de entrada pela expansão e série de Taylor de 1 a orde. Os teros de geração deve ser expressos e função do volue, be coo o tero de acúulo. 3. Procede-se então à siplificação dos teros e à aplicação do liite V 0. Observações:!"No procediento descrito acia, se a superfície de controle através da qual ocorrer escoaento for infinitesial, não é necessário inserir na equação de balanço o fator de correção do perfil de velocidades.!"a escolha do VC infinitesial está relacionada co o tipo de descrição que se deseja obter do problea.!"existe outros procedientos de obtenção das equações de balanço icroscópico. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 81

2 Definição de derivada: Dada, 3 f( x, y, z): R R, define-se as derivadas parciais coo: f f( x+ xyz,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) = li x x 0 x f f( xy, + yz, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) = li y y 0 y f f( x, y, z+ z) f( x, y, z) ( xyz,, ) = li z z 0 z Problea: dada ua função, cujo valor se conhece e u ponto x. Tabé se conhece o valor de todas as derivadas e x. Quer-se obter ua aproxiação para o valor da função calculado e u ponto distante de x de x a partir dos valores conhecidos. Para ua função onovaríavel: 3 df 1 d f 1 d f 3 f( x+ x) = f( x) + ( x) x+ ( x) x + ( x) x +! 3 dx! dx 3! dx Interpretação gráfica da expansão e série de 1 a orde: Observação: a expansão e série de Taylor é ua iportante ferraenta para a solução de probleas da engenharia. Você se deparará co o seu uso para resolver probleas concretos e vários seestres vindouros, particularente para a dedução de equações. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 8

3 Dedução do perfil de velocidades e escoaento lainar de fluidos Newtonianos no interior de tubos horizontais de raio constante R Hipóteses adicionais: escoaento e regie peranente, unidiensional, incopressível, isotérico e desenvolvido, príncipio da aderência válido. Sistea de coordenadas cilíndrico co r=0 no centro do tubo e a direção ascendente. Forças atuantes (VC sobre o fluido) : a) ATRITO F at (devido à existência da parede, haverá ua tensão de cisalhaento) b) PRESSÃO F 1, F Escrevendo o BQM-acroscópico para VC hoogêno é necessário o tero do fator de correção do perfil de velocidades) : t VC " " " " ρvdv = # v # v + F i E i, i i, i i S (coo o VC é infinitesial não Das hipóteses de estado estacionário e escoaento desenvolvido e tubo de raio constante, isotérico e incopressível, ve que F " = 0 Logo, 0 = F1 F Fat Substituindo as forças pelas pressões e da hipótese de escoaento lainar para ua seção de área de raio r<r, ao redor do fluido no interior do tubo: Pπr Pπr τ πrl= 1 0 τ = P1 P r L Mas, coo o fluido é Newtoniano: dv τ = µ dr dv P1 P µ = r dr L UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 83

4 Lebrando da condição de não-escorregaento, i.e., r=r: v=0, teos: P P v v r 1 dv = 0 µ L R rdr 1 = 0 P P r R µl ( ) P1 P R r v = 1 4µL R equação de Hagen-Poiseuille (século XIX) Observação: nu plano, a equação acia ostra que o perfil é parabólico. Note que a velocidade é áxia no centro, a saber: r = 0: v= v = ax ( P P ) R 1 4µL Interpretação e validade da equação de Hagen-Poiseuille: #" existência de força otriz para ipriir ua dada energia cinética e para vencer atrito #" queda de pressão afetada por: viscosidade (e.g. pelo tipo de fluido e teperatura), velocidade de escoaento, copriento e diâetro da tubulação (d p =R) #" a equação de Hagen-Poiseuille é válida para ua extensa variedade de fluidos (para fluidos uito viscosos co viscosidade até 10 6(Prandtl, v. não apresenta a unidade desta viscosidade) ). Contudo para fluidos uito viscosos, a equação sofre desvios para diâetros abaixo de certo valor. Ressaltaos que a equação não é não é válida na entrada de tubos aonde o escoaento não é desenvolvido. o CÁLCULO DA VAZÃO VOLUMÉTRICA E DA VELOCIDADE MÉDIA: $"abordage gráfica: Coo o perfil de velocidades é parabólico, isto significa que o volue transportado terá o forato de u parabolóide de rotação, cujo volue é π Rvax dado por (do curso de Cálculo Integral e Diferencial):, donde: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 84

5 ( ) π Rv P ax 1 P π R Q = = 8µ L assi, a velocidade édia é obtida coo: 4 v ( ) π ( ) ( ) Q P P R P P R v = = = = A π R 8µ L 8µ L ax Ou seja, a velocidade édia é etade da áxia. $"abordage analítica: v R 4 r ax 1 R R π R v π rdr v vrdrdθ 0 ax R 4R 0 0 vax π R = = = = rdrdθ π R R 0 0 o CÁLCULO DO FATOR DE CORREÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADES Nas condições do problea e pauta o fator de correção do BQM pode ser obtido de: β = i vda A i Av i, i Ou seja, π R R v rdrdθ π 0 0 v rdr 0 R vrdr πrv 0 πrv Rv β = = = Logo, para o escoaento lainar co as hipóteses da p. 83: 4 R r v R ax r r ax β = v rdr = + rdr Rv R Rv R R β ( v ) v R R R ax = R 4 Rv + R R = = Rv UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 85

6 Resuindo as equações deduzidas para escoaento lainar e tubos: ( ) P1 P R r v = 1 4µL R ( P1 P) R vax 4µL vax 4 β = 3 perfil parabólico = velocidade é áxia no centro v = velocidade édia é etade da áxia Observação: Analisando as equações acia, percebeos que é possível relacionar a vazão co a viscosidade e variação de pressão e assi é possível bolar u experiento para o cálculo da viscosidade (assuindo escoaento lainar e desenvolvido). Prandtl & Tietjens (v.ii) coenta que tal procediento é bastante preciso e discrepâncias aiores são observadas e gases rarefeitos, aonde ocorre u escorregaento significativo na superfície e contato co a parede. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 86

7 PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTO LAMINAR PARA GEOMETRIAS COMUNS Exercício 01: Mostre coo a dedução da equação de Hagen-Poiseuille deve ser odificada para tubos verticais de odo que para estes obtê-se as seguintes relações: ( P1+ ρgl P) R Escoaento descendente: vax = 4µ L ( P1 ρ gl P) R Escoaento ascendente: vax = 4µ L Exercício 0: Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoaento lainar descendente de u file sobre ua placa plana vertical inclinada (a dedução pode ser encontrada e Bird et al., p ) : x vz = vax 1 δ ρgδ cos β vax = µ v = vax 3 sendo, δ a espessura do fluido e x a distância da placa e z a direção ao longo do escoaento sobre a placa. figura extraída de Bird et al. (p. 41) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 87

8 Exercício 0: Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoaento lainar entre duas placas planas paralelas separadas de ua distância h (a orige do sistea de coordenadas é colocada no eio entre as placas, na p. confore figura 51 de White o perfil é deduzido) : Pe Ps v= h y µl Pe Ps vax = h µl v = vax 3 ( ) figura extraída de White (p. 51) Exercício 04: Deduza o seguinte perfil de velocidades para o escoaento lainar no (a dedução pode ser encontrada e Bird espaço anular entre dois tubos concêntricos et al., p ) : Pe P s r r1 r v= r r ln 4µ L r ln r r 1 P e Ps r r1 v = r + r1 8µ L r ln r1 sendo, r e r 1, respectivaente o raio interno do tubo aior e o raio externo do tubo enor. Exercício 05: Qual o valor da áxia velocidade e e que posição ela ocorre para o escoaento do exercício 4 (a resposta pode ser encontrada e Bird et al., p.53). UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 88

9 Evidências experientais de perfis de velocidades: Foração de bolhas de hidrogênio observação do padrão de escoaento (Fotografia de aparelho da Arfield para a visualização de escoaentos através da foração de bolhas de hidrogênio por hidrólise.) (Fotografia de perfil de velocidade entre placas planas paralelas. Visualização do perfil de velocidades obtida pela foração de bolhas de hidrogênio figura extraída de catálogo da Arfield) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 89

10 Perfis obtidos através de edição de velocidades locais. Por exeplo pode-se usar u aneôetro laser/doppler (LDA) para a obtenção das velocidades. Os resultados pode ser apresentados graficaente coo ostra a figuras a seguir. figura perfil de velocidade entre duas placas planas (Kunz, R. F.; D Aico, S. W.; Vassallo, P. F.; Zaccaria, M.A. LDV easureent of confined parallel jet ixing. J. of Fluid Mechanics, v. 13, p , 001) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 90

11 A dedução de perfis de velocidade e escoaento turbulento não é trivial e envolve ua abordage sei-epírica e até hoje corresponde a u alvo de pesquisa e aberto. Não ireos apresentar coo se pode deduzir u perfil de velocidades e escoaento turbulento, apenas apresentar o coportaento de u tipo de perfil bastante conhecido, o da lei de potência de 1 7. O que deve ser ressaltado é que o perfil de velocidades e escoaento turbulento será achatado ou pistonado (coo na figura a seguir). Diz-se assi que o escoaento e regie turbulento é pistonado (no inglês usa-se o tero plug-flow (este é u jargão uito conhecido dos engenheiros quíicos...) ). escoaento turbulento e tubos: perfil achatado de velocidade lei da potência de v = v = 60 v = v ax ax R r R 1 7 v ax fator de correção do BQM-L para escoaento turbulento e tubos: β = 1.0 (Lei potência de 1 7 ) da Observação: o perfil da lei de potência de 1/7 não é o único perfil proposto! referência indicada para estudo da obtenção de perfis de velocidade e escoaento turbulento: Bird et al.: capítulo 5 UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 91

12 Padrões/regies/odelos de escoaento Coplete a tabela a seguir... Características principais Escoaento se atrito Perfil de velocidades no interior de tubos Outros coentários Escoaento lainar Escoaento de transição Escoaento turbulento UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 9

13 Ua definição epírica para a força de atrito e escoaento interno incopressível e cálculo do fator de atrito Sobre u eleento de fluido existe três tipos de força atuantes, a saber (Prandtl & Tietjens, v. I, p. 107): a força peso por unidade de volue: ua força devido a ua variação de pressão: γ = ρg (o seu efeito é notado apenas quando o deslocaento é na vertical) P ( a saber, e coordenadas cartesianas teos: P" P " P " P= i + j + k x y ua força de fricção ou de atrito, tabé chaada de força viscosa O escoaento do fluido é governado por forças de inércia e viscosas, sendo a últia e geral insignificante para porções uito grandes de fluidos. Assi, u balanço de forças ( a Lei de Newton para velocidade constante) pode ser expresso para u tubo horizontal co escoaento unidiensional, desenvolvido, incopressível e isotérico se alteração da coposição do fluido, e regie peranente, coo: ( ) F F F = 0 A P P F = 0 () 1 at p 1 at A questão que surge é coo caracterizar a força de atrito (Fat) e usar ua tal expressão que seja válida independenteente do regie de escoaento. A força de atrito é devida à interferência do fluido co a parede sólida e tabé ao atrito entre as oléculas do fluido (chaado de atrito viscoso). A questão que surge é coo esta força de atrito pode ser odelada. Para tanto, deveos considerar os fatores que a provoca, quais seja: velocidade de escoaento do fluido. Quanto aior a velocidade, aior o atrito. Basta iaginar o escoaento de pessoas de ua sala a outra, através da passage por ua porta e iaginar o que acontece se ao invés das pessoas andare se pore a correr... geoetria do sistea, definida, por exeplo, pela área superficial de contato (aonde ocorrerá o atrito entre o duto sólido e o fluido escoando). outros fatores: aterial e caracterização da superfície do duto (se é rugosa ou não), propriedades e tipo de fluido (viscosidade, densidade, etc.) O ponto de partida para o estabeleciento da equação de atrito é a equação de Newton para escoaento externo, a qual para escoaento interno é escrita coo: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 93

14 F * at = f AEc c c (FA-D) sendo, f * o fator de atrito de Newton, A c a área característica que descreve o atrito e Ec c a energia cinética específica. Na equação de Newton os fatores que afeta a força de atrito são odelados coo: influência da velocidade é feita através do cálculo da energia cinética específica característica (Ec c ). Esta é obtida a partir da energia cinética toada nua velocidade característica do escoaento, adotada usualente (as ne sepre) 1 coo a velocidade édia do escoaento, a saber: Ec = ρv, sendo v c a velocidade característica do escoaento. influência da geoetria é caracterizada pela área característica (A c ), que descreve o atrito no escoaento, noralente caracterizada pela área superficial de contato entre o fluido e a superfície por onde o fluido escoa. Cada sistea terá a sua área característica, por exeplo: escoaento e tubos: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 94 Ac = π dl escoaento através de ua válvula: de difícil definição, já que irá depender da área de passage que depende da abertura da válvula e existe inúeras válvulas (tipo gaveta, borboleta, globo, esfera,...). outros fatores: a influência exata dos outros fatores na força de atrito é de difícil equacionaento. Assi, todos os outros fatores são correlacionados epiricaente ou sei-epiricaente por ua grandeza chaada de fator de atrito, denotado por f * ou f. Este últio será chaado de fator de atrito de Darcy. O fator de atrito é co poucas exceções deterinado de ensaios experientais. A correlação experiental é ua função ateática, uitas vezes coplexa, que envolve variáveis que afeta o atrito. Assi, pode ser expressa genericaente coo: f = f ( ρµ,, v, geoetria, rugosidade, etc.) A densidade (assa específica) e a viscosidade (dinâica) caracteriza o fluido escoando e tabé caracteriza as forças viscosas. A velocidade édia de escoaento, v, é noralente considerada, pois ela irá afetar a característica do escoaento. Para alguas aplicações particulares, esta poderá ser substituída por outros tipos de velocidade, coo ua velocidade superficial ou pontual. A geoetria deve novaente ser considerada de algua aneira, pois o tipo de escoaento tabé dela irá depender. Estes parâetros, a saber, densidade, viscosidade, velocidade e u parâetro da geoetria do sistea, são agrupados no núero de Reynolds. Assi para o escoaento no interior de tubos podeos caracterizar a força de atrito coo: 1 Fat v dlf * = ρ π (FA-T_N) c c

15 Para o escoaento de tubos o núero de Reynolds, coo visto anteriorente, é definido coo: Re = ρvd µ Adicionalente às variáveis agrupadas no núero de Reynolds, pode ser colocados tantos parâetros quantos se achar necessário para a descrição do atrito, desde que a toada de dados experientais perita a obtenção de ua correlação estatisticaente coerente. Por exeplo, e tubos, u parâetro iportante que deve ser considerado no caso do escoaento e regie turbulento é a rugosidade do tubo, ε, a ser foralente definida ais adiante. Exercício: faça ua análise diensional na equação que define o fator de atrito e verifique que f * é adiensional. Coo ressaltado, para tubos a área que caracteriza o atrito é a área superficial do tubo (responsável pela aderência do fluido à parede) e a velocidade característica do escoaento é a velocidade édia de escoaento. Assi, substituindo a expressão da perda de pressão para escoaento lainar obtida da equação de Hagen-Pouisuille e a definição da força de atrito (equação FA) na a Lei de Newton (equação ), podeos deduzir a expressão para o fator de atrito e escoaento lainar, a saber: * 1 Ap( P1 P) = f Ac ρvc π d 8µ Lv 1 = f πd L ρv 4 R µ * 1 d = f d ρv R 4µ * d = f d ρv d 4 * 16µ = f d ρv * * 16µ 16 f ρvd Re = = fator de atrito de Newton para escoaento lainar e tubos UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 95

16 A equação acia foi proposta no início do século XX e posteriorente, alguns autores propusera ua ligeira odificação na expressão do fator de atrito de odo que e alguns livros, o fator de atrito para escoaento lainar é definido coo: 64 f = (correspondente à redefinição da força de atrito coo Re sendo * Fat = f Ac ρvc = f Ac ρvc = facρvc ) 4 8 O fator de atrito f é chaado de fator de atrito de Darcy ou Darcy Weissbach (White, p. 40). Note que a distinção nas duas expressões é u fator de 4 e futuraente vereos porque esta outra proposição foi feita. O cuidado que se deve ter é verificar que definição de força de atrito u dado livro ou artigo utiliza. Infelizente, ne sepre esta inforação aparece escrita de ua fora clara! Leitura recoendada: Bird et al.: capítulos e 6 (inteiro) White: p Opções de cálculo do fator de atrito para escoaento turbulento e tubos lisos Equação de Blasius (1911) para tubos lisos (erros da orde de % até Re de 10 5 (correção não ), esta fórula foi corrigida por Lees para Re aiores apresentada) f = Re 0.5 faixa de validade: < Re < 10 Equação de Colebrook ( ) para tubos lisos f Re = 1.8log 6.9 outra correlação usada para tubos lisos f = Re 0. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míria Tvrzská de Gouvêa/004-S 96