Termoestatística. Função de Distribuição de Maxwell IV

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1 Teroestatística Função de Distribuição de Maxwell IV

2 Função de Distribuição de Maxwell: Gás Monoatôico Função de Distribuição para as coponentes cartesianas de velocidade: f(v x )= f(v y )= f(v z )= 1/2 e 1/2 e 1/2 e 2k B T v2 x 2k B T v2 y 2k B T v2 z f(v x,v y,v z )=f(v x )f(v y )f(v z )= 3/2 e 2k B T (v2 x +v2 y +v2 z )

3 v x Distribuição de Maxwell: Velocidades Escalares v z ~v dv v y dp (v x,v y,v z )=f(v) dv x dv y dv z O ódulo do vetor v, e portanto a função f(v), é constante sobre a casca esférica de raio v = v e espessura dv. Note que a casca esférica representa u evento coposto que conté eventos siples representados pelos eleentos dv x dv y dv z contidos no volue da casca esférica (4πv 2 dv). Para contabilizar todos os eventos siples, ireos realizar a integral dp (v) = R casca dp (v x,v y,v z )= R casca f(v)dv xdv y dv z = f(v) R casca dv xdv y dv z =4 v 2 f(v)dv dp (v) =4 3/2 v 2 e 2k B T v2 dv

4 f(v x ) Exercício: A figura ao lado ostra a distribuição f(v x ) para a coponente v x no gás hélio. (a) Coo seria os gráficos das distribuições f(v y ) e f(v z ) para as deais coponentes cartesianas de velocidade? v x (/s) (b) Que unidades tê f(v x ), f(v y ) e f(v z )? c) Calcule a variância σ 2 = <v x2 > <v x > 2 utilizando a distribuição f(v x ).

5 (a) O gás ideal é isotrópico (não há direções privilegiadas), de fora que f(v x ), f(v y ) e f(v z ) tê a esa fora funcional (ver expressões obtidas anteriorente). Os gráficos seria idênticos. (b) Deve-se lebrar que f(v x )dv x, f(v y )dv y e f(v z )dv z representa probabilidades, sendo grandezas adiensionais. Dessa fora, as funções de distribuição tê unidades de inverso de velocidade, isto é, s/ no SI. (c) Os cálculos a seguir serão realizados e teros do expoente α, utilizando as integrais tabuladas. Ao final, substituireos α = /(2k B T). hv x i = 1/2 R +1 1 v x e v2 x dvx =0 hv 2 xi = 1/2 R +1 1 v2 x e v2 x dvx = 1/ /2 3 = 1 2 = k BT 2 = hv 2 xi hv x i 2 = k BT

6 f(v x ) Continuação: (d) Podereos considerar velocidades édias escalares características por eio da expressão <v x2 > 1/2. Estie essa velocidade para o gás hélio a 300K, lebrando que M = 4.00 g/ol e que k B = J/K. v x (/s) e) Indique a probabilidade de encontrar u átoo co coponentes de velocidade nos intervalos (v x, v x +dv x ), (v y, v y +dv y ) e (v z, v z +dv z ). Indique a probabilidade de encontrar u átoo co coponente x de velocidade no intervalo (v x, v x +dv x ). Esses eventos são siples ou copostos?

7 (d) Massa de u átoo: = M/N A = (4.00 g/ol)/( ) = kg. Ainda: k B T = = J. hv 2 xi 1/2 = k BT 1/2 = 790 /s (e) A probabilidade de encontrar ua olécula co coponentes de velocidades nos intervalos (v x, v x +dv x ), (v y, v y +dv y ) e (v z, v z +dv z ) é dp(v x, v y, v z ) = f(v x )f(v y )f(v z )dv x dv y dv z. Se quiseros indagar sobre a probabilidade no intervalo (v x, v x +dv x ) quaisquer que seja as coponentes v x e v y, devereos levar e consideração todos os eventos favoráveis, isto é, dp (v x )=f(v x )dv x R +1 1 dv yf(v y ) R +1 1 dv zf(v z )=f(v x )dv x =1 =1 Note que dp(v x, v y, v z ) é a probabilidade de u evento siples, enquanto dp(v x ) = f(v x )dv x é a probabilidade de u evento coposto para o qual contribue todos os eventos siples contabilizados na integração.

8 Distribuição de Maxwell: Velocidades Escalares F (v) =4 3/2 v 2 e 2k B T v2 F (v) Máxio da distribuição: v = v p df dv v=v p =0 v p = q 2k B T A velocidade e que a distribuição é áxia (v p ) auenta co a teperatura. Quanto aior a teperatura, enor o expoente (/2k B T), fazendo co que a curva F(v) seja ais larga (decaia ais lentaente para v ). Lebrese que F(v) é noralizada (verifique!), de fora que a área sob a curva é sepre 1.

9 F (v) T 1 df dv v=vp =0 T 2 v p = q 2k B T v Exercício: Alé de v p, obtenha a édia das velocidades escalares <v>, e velocidade (raiz) quadrática édia <v 2 > 1/2 da distribuição f(v). Lebre-se que 0 v <. F (v) =4 3/2 v 2 e 2k B T v2

10 F (v) T 1 df dv v=vp =0 T 2 v p = q 2k B T hvi = R 1 vf(v) dv =4 0 q = 8k B T hv 2 i = R 1 0 v 2 F (v) dv =4 = 3k BT =)hv2 i 1/2 = q v 3k B T 3/2 R 1 0 v 3 e 3/2 R 1 0 v 4 e integral conhecida, x 2n+1 exp( αx 2 ) 2k B T v2 dv integral conhecida, x 2n exp( αx 2 ) 2k B T v2 dv

11 Exercício: Partindo da Distribuição de Maxwell para velocidades escalares, F(v), obtenha (a) a energia édia por partícula do gás ideal onoatôico, e (b) a energia interna do gás ideal onoatôico. F (v) =4 3/2 v 2 e 2k B T v2

12 (a) Coo discutido anteriorente, no gás ideal onoatôico as partículas (átoos) apenas tê energia cinética de translação (K): hki = h 1 2 v2 i = 1 2 hv2 i = = 1 2 R +1 v 2 F (v) dv = 0 = = 1 2 3k BT 3/2 R +1 0 v 4 e = 3 2 k BT 2k B T v2 dv (b) Perceba, no resultado anterior, a relação entre energia édia por partícula e teperatura! Para a energia interna (U): U = P N i=1 K i = N = 3 2 Nk BT P 1 N N i=1 K i = NhKi =